§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

In der Zwischenzeit seit dem Erscheinen der ersten 1½ Bände bin ich
der Möglichkeit inne geworden, den Lehrgang des ersten Bandes schon in
einigen Hinsichten zu vervollkommnen, welche mir zu bedeutsam erscheinen,
als dass es sich empfehlen könnte, ihre Besprechung blos unter die Berichtigungs-
nachträge einzureihen. Ich will vielmehr die einschlägigen, nicht durchweg
miteinander zusammenhängenden Verbesserungen und Fortschritte in gegen-
wärtiger Vorlesung darlegen.

Man fasse den Überblick des in Band 1 befolgten Lehrganges ins
Auge, wie er sich etwa S. 28—34 des gegenwärtigen Band 2 gegeben
findet.

Derselbe bedarf (vergl. die Berichtigungsnachträge) nur der einen
Richtigstellung, dass in der Aussagengleichheit S. 34, Z. 12 v. u. rechter-
hand der Aussagenfaktor (a b = 0) beizufügen ist, so dass die Gleichung
lautet:
(a x + b x1 = 0) = (a b = 0) (x = b x1 + a1x)
Dementsprechend sollten auch in der verbalen Fassung des „Hülfstheorems
des § 24“, Bd. 1, S. 502 die nachher kursiv gedruckten drei Worte
eingeschaltet werden, so dass es lautet: die Gleichung a x + b x1 = 0
ist, ihre Möglichkeit vorausgesetzt, (oder: sofern sie überhaupt erfüllbar
ist), äquivalent der: x = b x1 + a1x.

Bei dem dort angeführten Beweise ist nämlich — für die rückwärtige
Aussagensubsumtion — von der Resultante a b = 0 der erstern Gleichung
in der That wesentlich Gebrauch zu machen.

Hiervon abgesehen, gibt sich nun noch eine Unvollkommenheit
unserer Theorie kund in der späten Stellung, welche unser System dem
Theoreme 37) anweist, nämlich dem Satze von der (Konversion durch)
Kontraposition bei Subsumtionen:
37) (a ⯑ b) = (b1⯑a1)
— trotz der Einfachheit und des überaus hohen Grades von unmittel-
barer Evidenz, deren dieser Satz sich erfreut.

Zum Beweise desselben hatten wir uns Bd. 1, S. 357 berufen auf
die Theoreme 20), 32) und 36), die von Gleichungen handeln, wogegen
Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 26
[402]Vierundzwanzigste Vorlesung.
es natürlicher erschiene, umgekehrt das Kontrapositionstheorem für
Gleichungen:
32) (a = b) = (a1 = b1)
kraft Def. (1) auf dasjenige 37) für Subsumtionen zu gründen. Zum
mindesten ist es wünschenswert, jenes auf dieses auch gründen zu
können.

Die gerügte Unvollkommenheit kam mir früh zum Bewusstsein. Die-
selbe entsprang daraus, dass ich mich lange Zeit ganz vergeblich bemühte,
den von Herrn Peirce5 p. 27 für das Th. 37) gegebnen „Beweis“ zu ver-
stehen, woran dessen Darstellung nicht ohne Schuld ist. Wäre ich statt
dessen zeitig darauf ausgegangen, selbst einen Beweis aufzusuchen, so würde
mir der Erfolg wohl früher zuteil geworden sein. Zuletzt fand ich zwei
einander dual entsprechende sehr einfache Beweise, deren einer sich aber
als zusammenfallend mit dem Kern des Peirce’schen Beweises erwies, als
dieser selbst also, gewissermassen befreit von verdunkelndem Beiwerk.

Die fragliche Verbesserung ist aber darum von besondrer Wichtig-
keit, weil sie es erst ermöglichen wird, auch höchst beachtenswerte
Beweise von noch andern Sätzen, nämlich den De Morgan’schen
Theoremen 36), in den Lehrgang aufzunehmen, bei denen solches bis-
lang ohne Zirkelschluss nicht angängig gewesen ist.

Das ersehnte Ziel lässt sich in der That sehr einfach erreichen,
wenn man die Reihenfolge der Theoreme 36), 37), 38) in die entgegen-
gesetzte verwandelt.

Um keine Verwirrung bei den Citaten zu verursachen, werde ich in-
dessen die bisherigen Chiffren der Sätze beibehalten. — Wenn ich von neuem
zu chiffriren hätte, würde ich überdies vorziehen, den Satz 35) „vom Dualismus“
unchiffrirt zu lassen, da derselbe, ohnehin — vergl. S. 33 oben — von
anderer Natur als die übrigen „Theoreme“, eine Art von zunächst nur
empirisch anerkanntem „Prinzip“ statuirt.^*)

Das Theorem
38) (1 ⯑a1 + b) = (a ⯑ b) = (a b1⯑ 0)
lässt sich in der That ohne weiteres — z. B. dicht hinter das Th. 35) —
vorannehmen. Denn in Bd. 1, S. 358 haben wir dazu Beweise gegeben,
die nur die Theoreme 5), 15), 16), 20), 21), III× oder 27) und 30)
voraussetzten.

Wenn wir uns nun also schon hierauf berufen dürfen, so kann
jetzt angereiht werden das Theorem:
37) (a ⯑ b) = (b1⯑a1)
mit den folgenden beiden Beweisen:

[403]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Beweis 1. (a ⯑ b) = (1 ⯑a1 + b) = {1 ⯑ (b1)1 + (a1)} = (b1⯑a1)
nach 38+), 31) und 38+), — wobei wir durch die Klammer um a1 nur
darauf hinweisen wollten, dass a1 demnächst wie ein einfaches Symbol
angesehen werden möchte.

Beweis 2. Desgleichen hat man dual entsprechend
(a ⯑ b) = (a b1⯑ 0) = {(b1) (a1)1⯑ 0} = (b1⯑a1)
nach 38×), 31) und 38×).

Schliesst man übrigens im Geiste des ersten Bandes noch verbal, also
ohne wirkliche Aussagenäquivalenzen zu statuiren, so wird man b1⯑a1
als Folgerung aus a ⯑ b, also nur: (a ⯑ b) ⯑ (b1⯑a1) erhalten und dieses
(blos verbal angesetzte) Ergebniss nach demselben Schema in Verbindung
mit Th. 31): (b1⯑a1) ⯑ {(a1)1⯑ (b1)1} = (a ⯑ b) auch als rückwärts
gültige Aussagensubsumtion nachzuweisen haben, mit der es sich erst zur
Aussagengleichung 37) gemäss der für Aussagen in Anspruch genommenen
Def. (1) zusammenzieht.

Mit jenem Th. 38) kann jetzt auch der Satz 37) der Kontraposition
ebenfalls noch vor das Th. 32) gestellt werden, und dann lässt sich
auch dieses Theorem
32) (a = b) = (b1 = a1)
der Kontraposition von Gleichungen nun kraft 37) aus
(a ⯑ b) = (b1⯑a1)
(b ⯑ a) = (a1⯑b1)
durch überschiebendes Multipliziren, oder die darauf hinauslaufenden
„Überlegungen in Worten“ sofort beweisen.

Der erheblichste Gewinn aus der Umstellung der Sätze ist aber
der, dass wir jetzt auch die schönen Beweise in unsere Theorie auf-
nehmen können, welche Herr Peirce5 p. 37 für die De Morgan’schen
Theoreme 36) gibt. Allerdings muss zu dem Ende diesen Theoremen
auch ferner noch vorangestellt werden das Theorem 41) von Peirce
41) (a b ⯑ c) = (a ⯑ b1 + c).

Für dieses haben wir Bd. 1 S. 364 auch einen Beweis gegeben, welcher
von keinem späteren Satze als von Th. 33) Gebrauch machte, so dass
die Voranziehung auch dieses Satzes ohne weiteres angängig ist. Und
mehr in den Vordergrund der Theorie gerückt zu werden, als es in
Bd. 1 geschah, verdient auch dieses Th 41) schon seiner eminenten
Wichtigkeit halber, die z. B. auch in Bd. 3 deutlich zutage treten wird.
Bildet dasselbe doch ein Gegenstück zu den fundamentalen Definitionen (3).
Während nämlich letztere zeigen, wie eine Subsumtion, deren Prädikat
ein Produkt, resp. deren Subjekt eine Summe ist, zerfällt werden kann in
26*
[404]Vierundzwanzigste Vorlesung.
einfachere Subsumtionen, lehrt dieses Th. 41): welche Umformungen mit
einer Subsumtion vorgenommen werden dürfen, bei der umgekehrt das Sub-
jekt ein Produkt oder das Prädikat eine Summe ist. Für a = 1 resp. c = 0
geht zudem das Th. 41) über in die beiden Theoreme 38), von denen
es eine Zusammenfassung und zugleich Verallgemeinerung vorstellt.

Hiernach hat man nun für De Morgan’s bekannte Theoreme:

den folgenden Peirce’schen

Beweis. Nach Th. 30) ist

oder nach Def. (1) und dem Assoziationsgesetz 13)

Bringt man in diesen Subsumtionen gemäss Th. 41) regelrecht
den Faktor a (von links) nach rechts | das Glied a (von rechts) nach links,
so kommt:

und wenn darnach ebenso der Term b hinübergeschafft wird:

womit die Theoreme zunächst einseitig als Subsumtionen bewiesen er-
scheinen.

Um auch die umgekehrten Subsumtionen zu beweisen, wendet
Peirce den Schluss der Kontraposition gemäss Th. 37) an auf die
Theoreme 6):

wonach wir haben:

und sich nach Def. (3) in der That diese noch ausstehenden Subsumtionen:

ergeben, die sich endlich mit den vorhin gefundenen kraft Def. (1) zu
den Gleichungen zusammenziehen, welche zu beweisen gewesen.

Was ich von Begründungsweisen der elementaren Sätze unserer
Theorie sonst noch gerne in den Bd. 1 aufgenommen haben möchte,
ist vor allem folgendes.

Die Art, wie Herr Robert Grassmann die Eindeutigkeit der
Negation und den Satz 31) der doppelten Verneinung beweist, bildet eine
Variante der Bd. 1, S. 302 sq. und S. 305 von uns gegebenen Beweise,
welche keinen Gebrauch macht von dem Hülfstheorem 29), Bd. 1, S. 299.

[405]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Der Zusatz 1 zur Def. (6) der Negation knüpft l. c. an die Vor-
aussetzungen

die Behauptung
a'1 = a1
und wird von R. Grassmann wie folgt bewiesen.

Nach Th. 21×), der Voraussetzung 30'+), Prinzip III×, der Voraus-
setzung 30×) und Th. 21+) haben wir:
a1 = a1 · 1 = a1 (a + a'1) = a1a + a1a'1 = 0 + a1a'1 = a1a'1,
und ebenso, nur 30') mit 30) bei den Citaten vertauscht:
a'1 = a'1 · 1 = a'1 (a + a1) = a'1a + a'1a1 = 0 + a'1a1 = a1a'1,
also a'1 = a1 kraft Th. 4), q. e. d.

Das Theorem 31)
(a1)1 = a
wird ferner so bewiesen.

Nach Th. 21), 30), Pr. III×, Th. 30×) und 21×) ist:
(a1)1 = (a1)1 · 1 = (a1)1 (a + a1) = (a1)1a + (a1)1a1 = (a1)1a + 0 = (a1)1a,
a = a · 1 = a {a1 + (a1)1} = a a1 + a (a1)1 = 0 + a (a1)1 = (a1)1a,
also (a1)1 = a wiederum nach Th. 4), q. e. d.

In ähnlicher Weise lässt sich auch bei dem Beweise der Theoreme 36)
De Morgan’s Bd. 1, S. 352 das Hülfstheorem 29) entbehren.

z. B. links vom Mittelstriche:
Th. 36×) (a b)1 = a1 + b1;

Beweis. Nach 21×), 30×), III×, 27×) 13×), 30+) und 21+) ist
a1 + b1 = (a1 + b1) · 1 = (a1 + b1) {(a b) + (a b)1} = (a1 + b1) (a b) +
+ (a1 + b1) (a b)1 = a1a b + b1a b + (a1 + b1) (a b)1 = 0 + 0 +
+ (a1 + b1) (a b)1 = (a1 + b1) (a b)1
und ebenso nach 21×), Zusatz zu 34), 27×) usw.
(a b)1 = (a b)1 · 1 = (a b)1 (a1 + b1 + a b) = (a b)1 (a1 + b1) + (a b)1 (a b) =
= (a b)1 (a1 + b1) + 0 = (a b)1 (a1 + b1),
sonach a1 + b1 = (a b)1 kraft Th. 4), q. e. d.

Man sieht jedoch, wie diese Beweise eben durch Vorannehmen des
Hülfstheorems 29) in unserem Bd. 1 einfacher gestaltet sind.

Gleichwol erscheint der in Bd. 1, S. 352 von mir gegebene Beweis
des Th. 36) dem oben vorgetragenen Peirce’schen gegenüber, — nachdem
dieser zur Aufnahme in unser System geeignet geworden, — nun als ein
minderwertiger.

[406]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Resumirend können wir etwa sagen, dass die Umordnung der
chiffrirten Sätze unserer Theorie in die nachstehende Reihenfolge: 1)
bis 31), 38), 37), 32), 33), 34), 35), 41), 36), 39), 40), 42) usw. durch-
führbar ist und hinsichtlich der Eleganz der dadurch ermöglichten
Beweisführungen nicht zu verachtende Vorteile bietet.

Hiermit gelangt eine erste Gruppe unserer Vervollkommnungs-
bestrebungen zum Abschluss.

In einem ganz kurzen „Abriss“ der algebraischen Logik, den ich
plane, gedenke ich den nach vorstehenden Andeutungen (vergl. auch
unten S. 423) verbesserten Lehrgang zu verwirklichen.

Eine zweite Gruppe von auf Vervollkommnung der Theorie im
ersten Bande abzielenden Bemerkungen bezieht sich auf die Theoreme 45)
und 46) des § 19, Bd. 1, S. 420 … 424, sowie Bd. 2, S. 33 f., welche
lehren, wie mit im Sinne Boole’s „entwickelten“ Funktionen identisch
zu rechnen sei.

Zunächst, — wie wir jedoch sehn werden, blos „formell“ — lassen
diese Sätze eine naheliegende Verallgemeinerung zu, indem an die Stelle
der „Konstituenten“ in den Boole’schen Entwicklungsschemata auch
treten darf irgend ein System von Argumenten (Gebieten, Klassen),
von denen weiter nichts bekannt zu sein braucht, als dass sie unter
sich disjunkt sind. Für solche Argumente mögen wir füglich den
Namen „Konstituenten“ beibehalten.

Dann aber handelt es sich von vornherein nicht sowol um
Funktionen, welche gemäss den Boole’schen Schemata nach jenen Ar-
gumenten „entwickelt“ zu denken wären, als vielmehr einfacher blos
um Ausdrücke, welche eben inbezug auf diese Argumente linear und
homogen sind.

Gedachte Verallgemeinerungen präsentiren sich in der That als
die Hülfssätze:

Funktionen oder Ausdrücke, welche homogen linear sind inbezug
auf ein System von disjunkten Argumenten (den „Konstituenten“), können —
gleichwie durch Addition, so auch — durch Multiplikation „überschiebend“
(„durch Superposition“) verknüpft werden; das heisst: man braucht immer
nur die Koeffizienten ihrer gleichnamigen Glieder durch die betreffende
Rechnungsart zu verknüpfen.

Letztere mag man vielleicht kurz ihre „gleichstelligen“ oder „korre-
spondirenden“, „homologen“ Koeffizienten nennen, — jenes, insofern man
sich die Glieder einer jeden von den Funktionen nach den Argumenten
„geordnet“ denkt. Als „gleichnamig“ sollten hier wiederum nur diejenigen
[407]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Glieder gelten, welche den nämlichen Konstituenten, also dasselbe Argument
zum Faktor haben.

Desgleichen: eine solche Funktion kann koeffizientenweise negirt werden.

In Zeichen: wenn
x y = x z = … = y z = … = 0
ist, hat man, — wie ohnehin
(a x + b y + c z + …) + (α x + β y + γ z + …) =
= (a + α) x + (b + β) y + (c + γ) z + …,
so auch analog
(a x + b y + c z + …) (α x + β y + γ z + …) = a α x + b β y + c γ z + …,
und ferner
(a x + b y + c z + …)1 = a1x + b1y + c1z + ….

Der Beweis ist völlig analog dem der früheren Sätze.

Das heisst: Für den Produktensatz ist er zu leisten durch mentales
Ausmultipliziren nach dem Distributionsgesetze, resp. der Multiplikations-
regel für Polynome, unter Rücksichtnahme auf die Voraussetzungen und
das Tautologiegesetz 14×). Bezüglich des Satzes über Negation zeigt man,
dass der Negand mit dem angeblichen Negate die Summe 1 und das
Produkt 0 richtig liefert kraft der vorhergehenden beiden Sätze.

In Anbetracht dass auch die Boole’schen Konstituenten als unter
sich disjunkt nachgewiesen wurden, kann man die früheren Theoreme 45),
46) als besondre Fälle unter die eben aufgestellten Hülfssätze subsumiren,
welche letzteren aber den Vorzug grösserer Einfachheit besitzen.

Es lassen sich jedoch auch umgekehrt diese Hülfssätze als eine
partikulare Anwendung jener früheren Theoreme hinstellen.

Denn sollte eine Funktion f (x, y, z, …) nach diesen ihren als disjunkt
vorausgesetzten Argumenten im Boole’schen Sinne entwickelt werden, so kann
die Entwickelung nur die bezüglich x, y, z, … selbst lineare homogene
Form haben:
f (x, y, z, …) = a x + b y + c z + …,
sintemal durch Entwickelung von x selbst nach den sämtlichen Argumenten
leicht zu zeigen ist, dass wegen der Voraussetzungen sein muss:
x = x y1z1 …, y = x1y z1 …, usw.,
nämlich jeder Boole’sche Konstituent, in welchem mehr als ein Argument
unnegirt vorkäme, jenen zufolge verschwinden und aus der Entwickelung
herausfallen muss.

Desgleichen würde sich auch nach andern Schlussweisen die Prämisse
x y = 0 umschreiben lassen in x ⯑ y1 oder x = x y1, ebenso die x z = 0 in
x = x z1, womit auch gefunden ist x = x y1z1, und so weiter. —

Hiermit ist auch die Berechtigung erwiesen, den Namen „Konstituent“
vom Boole’schen x y1z1 … auf unser x selbst zu übertragen.

[408]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Die Verallgemeinerung konnte deshalb blos als eine „formelle“
bezeichnet werden. Wesentlich haben wir nur eine Vereinfachung des
Ausdrucks jener Theoreme damit gewonnen.

Diesen reihen sich nun noch ein paar Sätze an, bei denen ich
ebenso wie bei den vorigen — namentlich im Interesse des dritten
Bandes — Gewicht darauf legen muss, sie statuirt zu haben. Zunächst:

Zwei Funktionen, welche nach einem System von solch disjunkten
Konstituenten „entwickelt“ sind, m. a. W: Zwei homogen lineare Funktionen
von den nämlichen disjunkten Argumenten können nicht anders einander
gleich sein, als indem die (inbezug auf diese Argumente) gleichnamigen
Glieder für sich jeweils einander gleich sind; kurz: einander gleiche
Funktionen derart müssen gliedweise übereinstimmen. In Zeichen: ist
a x + b y + c z + … = α x + β y + γ z + …,
und sind die x, y, z, … wie oben disjunkt, so muss sein:
a x = α x, b y = β y, c z = γ z, ….

Beweis. Multiplikation der ersten Prämisse beiderseits mit x gibt
wegen x y = x z = … = 0 sofort a x = α x; etc. q. e. d.

Umkehren lässt sich der Satz nur insofern, als die Gleichungen der
„Behauptung“ ihrerseits selbstverständlich (durch Überaddiren) die erste
Prämisse garantiren.

Formell mit Beschränkung auf im Boole’schen Sinne entwickelte
Funktionen wurde obigen Satzes schon einmal (Bd. 2, S. 309 f.) beiläufig
Erwähnung gethan.

Aus der Übereinstimmung der gleichnamigen Glieder kann nun
im allgemeinen nicht auf die Gleichheit ihrer Koeffizienten geschlossen
werden; aus a x = α x folgt bekanntlich nicht, dass a = α sein müsse.

Wol aber lässt sich diese Gleichheit beweisen, wenn von den
Koeffizienten a und α etwa noch bekannt sein sollte, dass sie (gleich-
wie Aussagen) lediglich der Werte 0 und 1 fähig seien, und wenn
man ausserdem weiss, dass x ≠ 0 ist. Hier würde nämlich die An-
nahme, dass a und α nicht entweder gleichzeitig = 1, oder alle beide
= 0 wären, die Annahme also, dass der eine Koeffizient 1, der andere
dagegen 0 wäre, zu dem Widerspruche x = 0 mit der letztern Voraus-
setzung führen.

Sonach können wir sagen:

Wenn zwei Funktionen der nämlichen unter sich disjunkten und
von 0 verschiedenen Argumente^*)einander gleich sein sollen, und wenn
die Koeffizienten ihrer Entwicklung nach diesen Argumenten auf den
[409]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Bereich der beiden Werte 0 und 1 angewiesen sind, so müssen die
Koeffizienten der gleichnamigen Glieder (resp. eines jeden Konstituenten)
in beiden Funktionen einzeln übereinstimmen.

Zwei mit den letzten analoge Sätze gelten schon über die Ein-
ordnung, Subsumtion, zwischen derartigen Funktionen, nämlich erstens:

Von zwei (homogenen linearen) Funktionen der nämlichen disjunkten
Argumente kann die eine der andern nicht anders eingeordnet sein, als
indem die gleichgesinnte (gleichstimmige) Einordnung zwischen je zwei
gleichnamigen Gliedern der entwickelten Funktionen besteht, — gleichwie
auch umgekehrt selbstverständlich — gemäss Th. 15), — wenn die
Einordnung zwischen den homologen Gliedern durchgängig besteht,
auch deren Summen, die Funktionen im Subsumtionsverhältnisse stehen
müssen. In Zeichen:

Wenn für x y = x z = … = y z = … = 0 ist:
a x + b y + c z + … ⯑α x + β y + γ z + …,
so muss sein a x ⯑ α x, b y ⯑ β y, c z ⯑ γ z, …, (sowie umgekehrt).

Beweis. Denn beiderseitiges Multipliziren mit x gibt wegen erst-
erwähnter Voraussetzung a x x ⯑ α x x oder a x ⯑ α x, wie zu zeigen war, usw.

Sind zweitens die Koeffizienten wieder auf das Gebiet der Werte 0
und 1 beschränkt, die Argumente aber von 0 verschieden, so folgt aus
der Einordnung zwischen den Funktionen auch die im selben Sinn ge-
nommene zwischen ihren homologen Koeffizienten, — sowie selbstverständ-
lich auch das Umgekehrte zutreffen wird.

Denn wäre bei a x ⯑ α x und x ≠ 0 etwa a ⯑ α, so müsste a = 1
und α = 0 sein, weil in den drei andern noch denkbaren Fällen eben a ⯑ α
sein würde. Alsdann aber führte die schon erwiesene Subsumtion a x ⯑ α x
zu dem Widerspruche x⯑ 0 mit der Voraussetzung x ≠ 0.

Eine dritte Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen steht im
Dienste des Satzes von der „Nichtbeweisbarkeit der zweiten Subsumtion
des Distributionsgesetzes“ — vergl. § 12 des Bd. 1, — für welche ich
im Anhang 4, 5 und 6 zwei Beweise erstmals gegeben habe, von denen
wenigstens der zweite, Bd. 1, S. 685 ff., sich ganz innerhalb des Rahmens
der logischen Disziplin selbst hielt und keines extralogischen Substrates
zu der Exemplifikation, auf die es ankommt, benötigte.

Die Wichtigkeit des gedachten Satzes beruht bekanntlich darauf,
dass durch ihn die selbständige Existenz jener Disziplin verbürgt ist,
die ich als einen „logischen Kalkul mit Gruppen“ oder kurz als
„Gruppenkalkul“ bezeichnete, um sie von „identischen Kalkul“ unter-
scheiden und diesem gegenüberstellen zu können.

[410]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Die beiden Kalkuln haben die Prinzipien und Sätze 1) bis 25)
unseres Lehrganges gemein, unterscheiden sich dann aber dadurch, dass
in jenem das Th. 26), mithin das volle Distributionsgesetz nicht zu
gelten braucht, dagegen in diesem gilt.

Insofern man die Geltung oder Nichtgeltung von Th. 26) in jenem
unentschieden lässt, kann man sagen, dass der identische Kalkul sich
als ein Unterfall in den Gruppenkalkul einordnet, und dass alle Sätze
dieses Gruppenkalkuls, als des allgemeineren von beiden, auch im
identischen Kalkul gelten müssen, aber nicht umgekehrt. Nimmt man
dagegen etwa das Nichterfülltsein des Th. 26+) a (b + c) ⯑a b + a c unter
die Prinzipien des Gruppenkalkuls auf, so steht derselbe dem identischen
Kalkul abgeschlossen und ihn ausschliessend gegenüber.

Für jenen Satz der Nichtbeweisbarkeit des Th. 26) aus den vorher-
gegangenen Prinzipien und Sätzen unserer Theorie sind nun alsbald von
Herrn Lüroth, sodann auch von den Herren Voigt und Korselt
noch drei (oder vier) andere Beweise geliefert oder angedeutet worden,
bei denen wol mit einem geringeren Aufwand von Vorbetrachtungen
das Ziel erreicht wird, und die ich darum, gleichwie im Interesse der
Vollständigkeit meines Werkes, glaube in Kürze hier aufnehmen zu
sollen. Ich will sie in der Reihenfolge ihrer zeitlichen Succession
numeriren, doch ausser der Reihe besprechen.

Der Beweis 4, von Voigt2, p. 303 f. mehr nur angedeutet, im
folgenden unter seiner Beihülfe näher ausgeführt, gibt uns zugleich
Veranlassung, zur Klärung der Frage einer „Inhaltslogik“ oder eines
etwaigen, Bd. 1, S. 100 nur von mir gestreiften, identischen Kalkuls
mit (idealen?) Begriffsinhalten weiteres Material beizubringen, welches
vielleicht auch zu den Erörterungen in der „Einleitung“ unseres Bd. 1
und der von andern Seiten an diese geknüpften Polemik eine nicht
unwichtige Ergänzung bildet. — Herr Voigt sagt l. c.:

„… Dieser“ (der ideale Begriffsinhalt) „besteht in der Gesamtheit
der Merkmale, welche die Objekte, die einen bestimmten Begriff erfüllen,
gemein haben. Die Logik dieser idealen Begriffsinhalte ist aus der elemen-
taren Logik ganz auszuscheiden, da sie ihren Gesetzen nicht durchaus folgt.
Ein Kalkul der idealen Inhalte wäre ein Gruppenkalkul im Schröderschen
Sinne, für den also das dritte Prinzip nicht gilt.“

„Addiren wir z. B. den idealen Inhalt des Begriffes: Rechtwinkliges
Dreieck, zu dem idealen Inhalt des Begriffes: Gleichschenkliges Dreieck,
d. h. bilden wir aus diesen beiden Begriffen einen neuen, dessen Inhalt
alle Merkmale derjenigen Objekte ausmacht, die beide Begriffe zugleich
erfüllen, so wird der ideale Inhalt dieses Begriffes keineswegs blos die
[411]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
Summe der Merkmale der beiden gegebenen Begriffe sein, sondern der
Begriff enthält auch Merkmale, die weder dem einen noch dem anderen
zukamen, z. B. den, dass die Hypotenuse doppelt so gross ist als die
zugehörige Höhe.“

„Es wäre in der That, wie Schröder bemerkt, ein Hysteronproteron,
wenn man mit einem solchen Inhaltskalkul beginnen wollte, und wenn
Husserl2 es dennoch thut oder zu thun glaubt, so hat das allein darin
seinen Grund, dass er sich so „kurz fasst“, anstatt ihn wirklich durch-
zuführen. Auffallend ist, dass Schröder nicht die Bemerkung gemacht
hat, dass eine Logik idealer Inhalte eine Gruppenlogik sein müsse. Er
hätte dann näher liegende Beispiele für die Nichtbeweisbarkeit der zweiten
Subsumtion des Distributionsgesetzes, als die im Anhang entwickelten,
haben können.“

Dass in der That aus inhaltslogischen Betrachtungen naheliegende
„Beispiele“ zu letzterm Zwecke sich schöpfen lassen, wollen wir zu-
nächst an der Hand eines andern ebenfalls von Voigt mir gelieferten
Beispiels ausser Zweifel stellen.

Es bedeute — etwa mit Beschränkung auf den Denkbereich der
Merkmale von ebenen Figuren — a die Merkmale des Rechtecks
b die Merkmale des Rhombus
c das Merkmal „vierfach“, d. h. in
Bezug auf vier verschiedene Axen „symmetrisch“, — wie es z. B. das
Quadrat ist in Bezug sowol auf seine beiden Diagonalen als auch auf
die beiden Winkelhalbirenden dieser; wogegen der Rhombus nur in Bezug
auf jene, das Rechteck nur in Bezug auf diese symmetrisch ist, beide
also blos „zweifach“ symmetrisch zu nennen wären, — ein Merkmal,
welches d heissen möge.

Da das Rechteck mit allen vierfach symmetrischen Figuren nur
die Eigenschaft gemein haben kann, in Bezug auf zwei Axen symme-
trisch zu sein, so bedeutet a c nichts als dieses Merkmal, welches wir d
genannt haben. Dasselbe d bedeutet auch b c, denn auch der Rhombus
hat mit einer durchweg beliebigen vierfach symmetrischen Figur nichts
als dieses Merkmal gemein. Also stellt auch a c + b c, als eine Tauto-
logie d + d, nur dieses Merkmal d vor.

a + b dagegen bedeutet den Merkmalkomplex, der allen denjenigen
Figuren zukommt, welche die Merkmale des Rechtecks und die Merk-
male des Rhombus in sich vereinigen^*), d. h. es bedeutet die Merkmale
des Quadrates. Da die vierfache Symmetrie c zu diesen Merkmalen
gehört, so bedeutet also (a + b) c nur eben dieses Merkmal c.

[412]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Nun ist offenbar das Merkmal c der vierfachen Symmetrie nicht
dem d der zweifachen Symmetrie eingeordnet, (sondern umgekehrt, und
diese umgekehrte Einordnung ist hier eine wirkliche Unterordnung).
Also gilt die Subsumtion (a + b) c ⯑ a c + b c hier nicht, q. e. d.

Um diese wol unanfechtbaren Überlegungen beweiskräftig zu finden,
scheint mir der Nachweis doch unerlässlich, dass diejenigen Prinzipien, in
denen der identische Kalkul mit dem Gruppenkalkul übereinstimmt, auch
wirklich Geltung haben für die vorstehend adoptirten Deutungen von Ein-
ordnung, Produkt und Summe zweier Merkmalkomplexe.

Ein Merkmalkomplex g war hier eingeordnet genannt einem Merkmal-
komplex h, wenn sich jedes Merkmal des ersteren unter den Merkmalen des
letzteren vorfindet. (Der Subsumtion g ⯑ h würde also entsprechen die
umgekehrte Subsumtion zwischen den Umfängen der Begriffe, die durch unsere
Merkmalkomplexe bestimmt sind.) Trifft auch das Umgekehrte zu, d. h. ist
sowol g ⯑ h als h ⯑ g, so besteht zweifellos Identität zwischen den beiden
Merkmalkomplexen, d. h. es besteht hier unsere Def. (1) der Gleichheit, g = h,
zu Rechte. Ebenso müssen offenbar Prinzip I g ⯑ g und II: Wenn f ⯑ g
und g ⯑ h, so ist auch f ⯑ h, allgemein gelten.

Ferner musste der Merkmalkomplex 0, welcher sich in jedem Merkmal-
komplex mit vorfinden soll, bei uneingeschränktem Denkbereich als völlig
leer vorgestellt werden, — dem Begriff „Etwas“ entsprechend, — bei Be-
schränkung des Denkbereiches, z. B. auf die Merkmale ebener Figuren dagegen
als dieses Merkmal selbst, eben zu sein, während 1 den Komplex aller er-
denklichen, — darunter auch kontradiktorisch entgegengesetzter — Merkmale —
irgendwelcher oder bezw. ebener — Figuren bedeutet, — dem Begriffe des
„Nichts“ entsprechend. Dann sind die Formeln (2) erfüllt.

g + h sollte sodann bedeuten den Merkmalkomplex, der allen denjenigen
Figuren gemeinschaftlich zukommt, die sowol die Merkmale g als auch die h
besitzen, nnd dieser wird gebildet nicht nur von den Merkmalen g und h
selber, sondern auch von allen denjenigen Merkmalen, die nach den Axiomen
der Geometrie aus der Verbindung dieser beiden Merkmalkomplexe g und h
hinzufolgen. (Der Umfang dieses Begriffes g + h wäre in unserer Umfangs-
logik als das identische Produkt der den Begriffen g und h einzeln zukommenden
Umfänge zu bezeichnen.) Evident ist nun hieraus, dass wenn g + h ⯑ f ist,
dann auch g ⯑ f und h ⯑ f sein muss.

Keineswegs ohne weiteres einleuchtend erscheint dagegen die umgekehrte
Behauptung, dass so oft g ⯑ f und h ⯑ f ist, auch g + h ⯑ f sein müsse.
Der Komplex f könnte in der That zwar die Merkmale g und h für sich
umfassen, aber irgend ein weiteres Merkmal ausschliessen, welches weder
aus g allein, noch aus h allein, wol aber aus der Verbindung beider aufgrund
geometrischer Axiome hergeleitet werden kann und somit zum Komplex g + h
gehört. Und zwar ist dies möglich, so lange man sich den Merkmalkomplex f
ganz ad libitum zusammengesetzt denkt. Wird nun aber der Denkbereich
auf die den geometrischen Axiomen unterworfenen Merkmale der ebenen
Figuren eingeschränkt, so wird auch f entweder einen solchen Merkmalkom-
plex vorstellen, der einer ebenen Figur wirklich zukommen kann, wonach
[413]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
sodann letztere Figur, falls sie die Merkmale g und h besitzt, auch alle die-
jenigen Merkmale mit umfassen wird, die aus der Verbindung beider folgen,
d. i. alle Merkmale des Komplexes g + h; — oder f bedeutet einen Komplex
von Merkmalen aus unserm Denkbereich, welche, als nach den geometrischen
Axiomen mit einander unverträglich, keiner ebenen Figur gleichzeitig zukommen
können, und ist dann hier mit 1 zu bezeichnen, da man aus dem in ihrer
Unverträglichkeit liegenden Widerspruch noch jedes andere erdenkliche Merk-
mal hinzugefolgert denken kann (vergl. Bd. 2, I, S. 18, Z. 13 v. o.), sodass f
alle Merkmale des Denkbereiches umfasst; und dann gilt nach (2) selbst-
verständlich g + h⯑ 1 neben g⯑ 1 und h⯑ 1.

Für die angegebene Deutung der Symbole treffen somit auch die Pro-
positionen (3) zu. Übrigens erscheint hier nur die von mir sogenannte
„extensive Schreibung“ mit der „intensiven“ vertauscht, — vergl. Bd. 1,
S. 623, — d. h. es haben ⯑ und ⯑, 0 und 1, Produkt und Summe, jede
Proposition und deren duales Gegenstück, ihre Rollen gewechselt, — wobei
indes Inhaltsprodukte bisher hier nicht zur Sprache gekommen.

Sollte das inhaltslogische Produkt g h in gleicher Weise das Gegenstück
sein zur umfangslogischen Summe, so wäre ersteres zu definiren als derjenige
Merkmalkomplex, welcher allen den Figuren gemeinsam ist, die den Merkmal-
komplex g oder den h besitzen. Anders im Voigt’schen Beweis. Hier be-
deutet g · h nur das wirkliche „identische Produkt“ der beiden Merkmalkom-
plexe, den Merkmalkomplex, den g und h gemein haben.^*) (Vergl. Bd. 1,
S. 627, Fussnote.) Selbstverständlich werden dann die formalen Forderungen
unserer Def. (3×) sich erfüllt erweisen: (f ⯑ g) (f ⯑ h) = (f ⯑ g h).

Ergebniss dieser Überlegungen ist also, dass in der That das
Voigt’sche Aperçu beweiskräftig ist für unsern Satz der Nichtbeweis-
barkeit des Distributionssatzes, und dass an der Hand der Betrachtung
idealer Begriffsinhalte naheliegende „Beispiele“ („crucial tests“) gefunden
werden können.

Wegen der Deutung, welche Voigt dem Produkt zweier Begriffe bei-
legt, ist der Voigt’sche Kalkul mit idealen Begriffsinhalten allerdings nur
ein Gruppenkalkul; derselbe deckt sich aber auch aus dem gleichen Grunde
keineswegs mit demjenigen inhaltslogischen Kalkul, auf welchen ich Bd. 1,
S. 100 anspielte, der sich durchaus als „identischer“ Kalkul darstellt, auch
mit der vollen Geltung des Distributionsgesetzes, lediglich unter durch-
gängiger Vertauschung der „intensiven“ mit der „extensiven“ Schreibung,
gemäss der bekannten Thatsache, dass mit einer Einordnung zwischen zwei
Begriffsumfängen stets die entgegengesetzte Einordnung zwischen den zu-
gehörigen Begriffsinhalten parallel geht. Darum ist es wol auch nicht so
„auffallend“, wie Voigt meint, dass ich die bewusste Bemerkung nicht ge-
macht habe, da diese Bemerkung nur für den Voigt’schen Inhaltskalkul
zutrifft, nicht aber für den meinigen. — Dem Voigt’schen Inhaltskalkul
jedoch würde eine wichtige, für die Wissenschaft wie für das gemeine Denken
gleich unentbehrliche Operation abgehen: die Operation, welche aus zwei ge-
[414]Vierundzwanzigste Vorlesung.
gebenen Begriffen a und b den Begriff „was a oder b ist“ ableitet. Dieser
Begriff, ohne Zuhülfenahme von Umfangsbetrachtungen, dürfte ohnehin jeder
Inhaltslogik Schwierigkeiten machen.^*)

Nun noch ein Wort über die Frage: mit welchen Begriffsinhalten denn
eine exakte Logik, ein Kalkul, aufzubauen wäre, wenn nicht mit den „idealen“?
Mit den letzteren lehnt sie neben Herrn Voigt l. c. auch Herr Husserl1
p. 255 sq. a limine ab, und so scheint das Hysteron-proteron, das mit ihnen
in die Logik Eingang fände, allseitig zugegeben.

Den Inhalt z. B. des Begriffes „Kreis“ (in der Euklid’schen Geometrie)
bilden die Merkmale des Kreises. Es frägt sich blos, ob alle, ob nur einige
von dessen Merkmalen, und dann welche?

Diejenigen Merkmale, welche dem oder jenem Denkenden als Vorstellungs-
gehalt seines Kreisbegriffes gerade eben vorschweben, habe ich den faktischen
Inhalt des Begriffes „Kreis“ (für diesen Denkenden in diesem Augenblick)
genannt (Bd. 1, S. 83). Ich denke, keinen Widerspruch gewärtigen zu
müssen, wenn ich es für ausgeschlossen erkläre, diesen wechselnden und
wol meist gar nicht einheitlichen Merkmalkomplex als Substrat für logische
Untersuchungen hinzustellen.

Nun wird von andern Seiten versucht, den fraglichen Begriffsinhalt ein-
zuschränken auf den Komplex derjenigen Merkmale, welche in einer be-
stimmten, zugrunde gelegt gedachten „Definition“ des Kreises „liegen“, wie
z. B. in der Definition Bd. 1, S. 87 sq., wo als wesentliches Merkmal unter
andern die Gleichheit der Radien gefordert ist.

Dann kann man doch unmöglich von dem Inhalt des Kreisbegriffes
z. B. das Merkmal ausschliessen, dass irgend zwei Radien nicht von einander
verschieden seien! Und ebensowenig, meine ich, irgend ein andres Merk-
mal, welches aus dem in der Definition gegebenen Komplex denknotwendig
oder logisch, ohne Berufung auf spezifisch geometrische Thatsachen, folgt,
auch wenn dieses Merkmal in der Definition nicht ausdrücklich erwähnt ist.
Dergleichen zu thun, hiesse ja geradezu: an dem Buchstaben der Definition
kleben und die Logik in Abhängigkeit setzen schon von der Grammatik!

Wird aber dies zugegeben, so ist, beiläufig bemerkt, schon für weite
Gebiete den Begriffen gerade dasjenige als ihr „Inhalt“ gesichert, was ich
ihren „idealen“ Inhalt nenne, nämlich für die Begriffe der rein deduktiven
Disziplinen, der Logik, Arithmetik und höhern Analysis.

In einer Disziplin hingegen, die wie die Geometrie noch obendrein eine
axiomatische Basis hat, könnte man allerdings bei den bisher besprochenen
Merkmalen halt machen und so von dem „Inhalt“ des Kreisbegriffes will-
kürlich jedes Merkmal ausschliessen, welches, obzwar allen Kreisen gemein-
sam, wie z. B. das von der Gleichheit der Peripheriewinkel, die auf demselben
Bogen stehen, lediglich mittelst geometrischer Axiome aus der Definition ge-
folgert werden kann. Allein es wäre doch allem Usus in Wissenschaft und
Leben zuwiderlaufend, zu sagen, diese Gleichheit der Peripheriewinkel sei
kein Merkmal des Kreises. Warum also sie, nebst unzähligen andern Eigen-
[415]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
schaften vom Inhalt des Kreisbegriffes ausschliessen? Jedenfalls müsste
ein solches Verfahren Weiterungen verursachen wie die, dass man „zum
Begriffe des Kreises gehörige“ Merkmale des Kreises von den „ausser-
begrifflichen“(!) Merkmalen desselben zu unterscheiden hätte; und dem
Hysteronproteron entgeht man mit diesen Weiterungen dennoch nicht. Oder
wollen mir vielleicht die Inhaltslogiker die Frage beantworten, ob unter
Zugrundelegung der obigen (Bd. 1, S. 87) gewöhnlichen Kreisdefinition —
das Merkmal: eine „überall gleichartige“ Linie zu sein, (deren jeder Teil
in ihr selbst verschoben werden kann ohne Änderung an Gestalt und Grösse),
ob dieses Merkmal dem in ihrem Sinne beschränkten „Inhalt“ des Kreis-
begriffes angehört oder nicht? Eine solche Frage zur Entscheidung zu
bringen, erfordert ja wol eben schon die ganze Kunst des Schliessens, deren
Theorie die Inhaltslogiker gleichwol auf die Betrachtung solch zweifelhafter
„Inhalte“ erst gründen wollen.

Der Beweis 5 von Korselt1 nimmt die Euklid’sche Raumgeometrie
zum Substrate:

Es mögen a, b, c … oder auch p1, p2, …, g1, g2, …, e1, e2, …
„Raumelemente“, d. h. Punkte, Geraden, Ebenen, 0 das Nichts, 1 den
ganzen Raum bedeuten.

Eine Subsumtion a ⯑ b heisse gleichwie im Gebietekalkul über-
haupt: Das Raumelement a liegt in dem Raumelement b.

Dagegen bedeute a · b das in a und b enthaltene Element höchster,
a + b das a und b enthaltende Element niedrigster Dimension.

Die Anschauung zeigt uns, dass die formalen Grundlagen I, II, (1),
(2) und (3) erfüllt sind.

Dies bedarf noch besonderer sorgfältiger Überlegung nur hinsichtlich
der zu (3) gehörigen Subsumtionen

was Herr Korselt nicht ausführt.

Als selbstverständlich erfüllt können auch diese beiden Formeln gelten
in dem Falle, dass eines oder mehrere der drei Raumelemente a, b, c den
Wert 0 oder 1 besitzen sollten. Desgleichen, wenn a = b ist, da a a und
a + a den vorausgeschickten Definitionen zufolge die Bedeutung a haben
werden. Endlich ist auch, wenn das eine Raumelement b im andern a
liegt (b ⯑ a),

und die Gültigkeit unserer Subsumtionen wiederum ohnehin ausser Frage,
(da dann die Thesis blos einen Teil der Hypothesis wiederholend statuirt).
Es bleiben noch die Fälle durchzugehen, wo a und b als Punkte, Gerade
oder Ebenen „auseinanderliegen“, einschliesslich der Fälle, wo sie — als
Geraden oder auch Ebenen — einander schneiden. Fälle der Parallellage
von Raumelementen a und b sind dabei den Fällen des Nichtschneidens bei-
zuzählen, insofern das „unendlich ferne“ Schnittgebilde im vorliegenden
[416]Vierundzwanzigste Vorlesung.
Denkbereich gar nicht existirt, und somit auch kein im Schnittgebilde „ent-
haltenes Element höchster Dimension“, kein Produkt a b; wogegen bezüglich
des durch a und b bestimmten und „beide enthaltenden Raumelements
niedrigster Dimension“, d. i. bezüglich a + b, dieselben Fälle des Parallelis-
mus mit denen des Schneidens zusammenrangiren werden.

Damit ist links vom Mittelstrich der Punkt, rechts die Ebene als zu-
lässige Bedeutung von a und b abgethan.

[417]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.

Dass unsere Aufzählung^*) der Möglichkeiten eine vollständige ist, wird
man leicht erkennen, und somit ist die Geltung der Sätze (3), mithin sämt-
licher Grundlagen der Theorie, nun für Herrn Korselt’s Denkbereich ver-
bürgt. Es gelten daher auch alle in Bd. 1 aus diesen abgeleiteten Sätze,
und insbesondere die erste Subsumtion des Distributionsgesetzes: a b + a c
⯑ a (b + c).

Nun seien p1, p2, p3 drei verschiedene Punkte einer Geraden g, also
p1p2 = p1p3 = 0, p1g = p1, p2 + p3 = g.
Dann ist
p1 (p2 + p3) = p1g = p1, p1p2 + p1p3 = 0 + 0 = 0,
also
p1 (p2 + p3) ≠ p1p2 + p1p3, q. e. d.

Der Beweis 3 von Lüroth1 nimmt das Gebiet der natürlichen
Zahlen zum Substrat und verwendet die arithmetischen Rechnungsarten.
Es sollen die Buchstabensymbole α, β, γ, …, p, q, r, … stets positive
ganze Zahlen, die Null zugelassen, vorstellen. Sodann sei eine „Klasse“ a
ebensolcher Zahlen definirt als die Gesamtheit aller Zahlen, (der
Elemente dieser Klasse a), die durch eine bestimmte Linearform
α p + β q + γ r + … + λ z
dargestellt sind, worin die Koeffizienten α, β, γ, …, λ bestimmt ge-
geben und für alle Elemente der Klasse a dieselben seien, dagegen die
Konstituenten p, q, r, …, z zunächst unbestimmte Zahlen oder Para-
meter vorstellen, denen einzeln und unabhängig von einander die
Werte 0, 1, 2, 3, … der Reihe nach beizulegen sind, wenn man sämt-
liche Elemente der Klasse a bilden will. Diese Elemente sind hiernach
nebst 0 die Zahlen α, β, γ, … λ, sodann deren Vielfache, endlich alle
Zahlen, die durch arithmetische Addition aus zwei oder mehreren unter
den genannten Elementen, oder überhaupt aus irgend welchen Elementen
der Klasse a entstehen. — Während somit die p, q, … innerhalb
einer Klasse von Element zu Element ihre Werte wechseln, sind die
für alle Elemente einer Klasse konstanten, erst von Klasse zu Klasse
sich ändernden α, β, … für eine Klasse a charakteristisch oder „be-
stimmend“; die Klasse kann auch durch (α, β, γ, … λ) bezeichnet werden.

Beispielsweise wird (3, 2, 0) die Zahlen von der Form 3 p + 2 q + 0 r,
also die: 0, 2, 3, 4, 5, …, alle Zahlen ausgenommen 1 enthalten, die
Klasse (0, 3, 0) oder (3) die Vielfachen 0, 3, 6, 9, … von 3, die
Klasse (4, 5) die Zahlen 0, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 14, … und von 15
ab alle Zahlen umfassen.

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 27
[418]Vierundzwanzigste Vorlesung.

a ⯑ b bedeute, dass die Zahlen der Klasse a auch alle zur Klasse b
gehören. Dann werden die Aussagen „a ⯑ b nebst b ⯑ a“ und „a = b“
einander gegenseitig bedingen. Ferner folgt aus a ⯑ b und b ⯑ c
auch a ⯑ c, und die Klasse (0, 0, 0, …) oder (0), welche blos
die Zahl 0 enthält, ist eingeordnet einer jeden Klasse a, und jede
Klasse a ist eingeordnet der das Zahlengebiet selbst repräsentirenden
Klasse (1, 1, 1, …) oder (1, 0, 0, …) oder (1), so dass die Klassen (0)
und (1) hier die Moduln 0 und 1 unserer theorie vertreten.

a b sei die Klasse der Zahlen, welche gleichzeitig die durch a und b
verlangte Form haben; a + b dagegen enthalte alle Zahlen, die durch
(arithmetische) Addition einer Zahl der Form a zu einer der Form b
entstehen.

„Dass die zu a + b gehörigen Zahlen eine Klasse in dem hier defi-
nirten Sinne bilden, ist leicht zu sehen.“ Die allgemeine Form dieser
Zahlen ist nämlich die arithmetische Summe der a und b repräsentirenden
beiden Linearformen, nachdem man die Konstituenten p, q, … in der
einen von beiden Linearformen, wenn nötig, durch neue in der andern
nicht vorkommende Parameterbuchstaben ersetzt hat.

„Der Beweis, dass auch die zu a b gehörigen Zahlen eine Klasse bilden,
der nicht so einfach ist, sei der Kürze wegen fortgelassen.“ Derselbe wird
nämlich leicht erbracht werden speziell für die Klassenprodukte des nach-
herigen ausschlaggebenden Beispiels, ist also im übrigen hier entbehrlich.^*)

Ist dann c ⯑ a und c ⯑ b, so ist auch c ⯑ a b, und umgekehrt.
Und ist a ⯑ c und b ⯑ c, so ist auch a + b ⯑ c, da c die Elemente
von a und diejenigen von b nicht gleichzeitig enthalten kann, ohne
auch die durch additive Vereinigung der beiderseitigen Elemente zu ge-
winnenden Zahlen mit zu umfassen. Endlich ist auch selbstverständlich
a ⯑ c und b ⯑ c, wenn a + b ⯑ c, und die formalen Grundgesetze der
Theorie sind hiermit erfüllt.

Sei nun a = (3) die Klasse der Zahlen von der Form 3 p, die
Klasse der Vielfachen von 3 : 0, 3, 6, 9, …, ferner b = (2) die der
Zahlen von der Form 2 q : 0, 2, 4, 6, …, der geraden Zahlen, endlich
c = (5) die der Form 5 r : 0, 5, 10, 15, …; dann ist a + b = (3) + (2) = (3, 2)
die Klasse der Zahlen von der Form 3 p + 2 q : 0, 2, 3, 4, …, aller
ganzen Zahlen von 0 an aufwärts, ausgenommen die Zahl 1, —
worunter auch die Zahlen der Klasse c = (5) sich befinden; es ist also
c ⯑ a + b, (5) ⯑ (3) + (2), oder auch (a + b) c = c, (3, 2) · (5) = (5),
d. h. die Klasse (a + b) c wird gebildet von denjenigen Zahlen, welche
zugleich von der Form 3 p + 2 q und von der Form 5 r sind, was bei
allen der letzten Form zutrifft. Andererseits sind die Zahlen a c = (3) · (5),
[419]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
welche zugleich Vielfache von 3 und von 5 sind, (3) · (5) = (15)
Vielfache von 15, gegeben durch die allgemeine Form 3 p · 5 r = 15 s,
die Zahlen b c = (2) · (5) = (10) durch 2 q · 5 r = 10 t, und die
a c + b c = (15, 10) durch 15 s + 10 t = 5 (3 s + 2 t):0, 10, 15, 20, …,
die man erhält als Fünffache der Zahlen (3, 2), — alle durch 5 teil-
baren Zahlen mit Ausnahme der Zahl 5 selbst. — Eben weil hier die
Zahl 5 in (15, 10) oder a c + b c fehlt bezw. nicht die Form 15 s + 10 t —
bei ganzen positiven Werten von s und t — besitzt, in (5), c oder
(a + b) c dagegen vertreten ist, gehören zwar alle Zahlen der Klasse (15, 10)
auch der Klasse (5) an, oder es ist a c + b c⯑ (a + b) c, — wogegen
aber das umgekehrte nicht der Fall ist: es gilt die erste, aber nicht
die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes.

Herr Lüroth schickte seinem Beweis die Bemerkung voraus:
„Nachdem ich erkannt hatte, dass die Ungültigkeit des Distributions-
gesetzes bei diesem“ (dem einen vom Verfasser gegebenen) „Beispiele
dadurch bedingt ist, dass a + b nicht nur die Individuen der beiden
Klassen a und b enthält, sondern auch noch andere, war es mir leicht,
noch einfachere Beispiele zu konstruiren.“ Mit dieser Bemerkung ist in
der That der Kernpunkt der Frage gekennzeichnet.

Herrn Voigt verdanke ich noch folgende auf diesen Kernpunkt
bezügliche Wahrnehmung, die geeignet erscheint, die Auffindung von
noch weiteren derartigen „Beispielen“, die sich als Substrate für den
Gruppen-, aber nicht den identischen Kalkul empfehlen, allenfalls zu
erleichtern.

Theorem. Mit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes
26×) (a + b) c ⯑ a c + b c
ist auch äquivalent der Satz:

„Aus c ⯑ a + b folgt (allgemein) c ⯑ a c + b c“, oder, aussagen-
rechnerisch dargestellt:
{(a + b) c ⯑ a c + b c} = {(c ⯑ a + b) ⯑ (c ⯑ a c + b c)}

Beweis. Ist nämlich c ⯑ a + b, somit c = (a + b) c, so ergibt sich
unmittelbar aus c ⯑ a c + b c — durch Einsetzen links — auch die Sub-
sumtion 26×).

Und gilt umgekehrt diese, so wird aus c ⯑ a + b oder (a + b) c = c
auch c ⯑ a c + b c folgen, — q. e. d.

Den ersten Teil des Beweises kann man auch nach Voigt so führen:

Folgt allgemein c ⯑ a c + b c aus c ⯑ a + b, so folgt auch aus der
nach Th. 6×) selbstverständlichen Subsumtion
(a + b) c ⯑ a + b,
27*
[420]Vierundzwanzigste Vorlesung.
worin (a + b) c die Stelle des c der Voraussetzung vertritt,
(a + b) c ⯑ a · (a + b) c + b · (a + b) c,
was sich aber nach dem Absorptionsgesetz 23×) vereinfacht zu 26×).

Hiernach braucht man also, um für ein gruppenlogisches Beispiel
die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion des Distributionsgesetzes darzuthun,
nur ein c nachzuweisen, das in einem a + b enthalten ist, ohne doch in
a c + b c enthalten zu sein.

Von verschiedenen Seiten sind mir auch noch andre Mannigfaltig-
keiten zur Beurteilung vorgelegt worden als Versuche, damit etwas
auf unser Thema bezügliches zu beweisen, und ich glaube, ohne eine
Indiskretion zu begehen, der Sache dienen zu dürfen, indem ich die-
selben namhaft mache.

Als Denkbereich 1 betrachtete Herr Voigt die Mannigfaltigkeit aller
Kreisflächen der Ebene, — den Punkt, in welchen ein Kreis degeneriren
kann, mit zugelassen, — so dass also ein „Gebiet“ wie a, b, c, … stets
die Innenfläche eines Kreises vorstellt. Als a b wird der grösste Kreis er-
klärt, der sowol in a als in b gelegen ist, und die 0, falls a und b keinen
Punkt gemeinsam haben, — als a + b der kleinste Kreis, der sowol den a
als den b umfasst. Die beiden Ausdrücke a b und a + b sind damit ein-
deutig bestimmt, und zwar, sofern sie nicht 0 oder mit einem der beiden
Kreise a und b selbst zusammenfallen, als Berührkreise von diesen beiden.
Die Geltung der beiden Assoziationsgesetze, sowie der ersten Subsumtion des
Distributionsgesetzes lässt sich dann an interessanten Figuren nachweisen,
desgleichen die Ungültigkeit der zweiten Subsumtion dieses Gesetzes. Allein
hier treffen, wie leicht zu sehen, auch schon die beiden Teilsätze unserer
Definition (3)

nicht allgemein zu, während die umgekehrten Subsumtionen (3×)'', (3+)''
allerdings selbstverständlich gelten. Die Betrachtung ist somit für unsern
Zweck nicht beweisend.

Nähme man für 1 den beschränkteren Denkbereich aller der Kreis-
flächen (der Ebene), die ihren Mittelpunkt auf einer bestimmten Geraden
(in ihr) haben, so würde zwar (3) volle Geltung erlangen, zugleich aber
auch das volle Distributionsgesetz mit seinen beiden Subsumtionen.

Erhebt man zum Denkbereiche die Mannigfaltigkeit aller Strecken
einer festen Geraden 1, diese „Strecken“ im landläufigen Sinne als ein-
fach zusammenhängende, kontinuirliche Punktgebiete oder „Innenstrecken“
auffassend, — und definirt man a b als die grösste sowol in a als in
b liegende Strecke (wo nicht 0), a + b als die kleinste sowol a als b
enthaltende Strecke, so stimmt a b mit unserm „identischen Produkte“
völlig überein, wogegen a + b die „identische Summe“ übertreffen wird,
sobald die Strecken a und b auseinanderliegen, und zwar um die sie
[421]§ 50. Vervollkommnung gewisser Partieen des ersten Bandes.
trennende Zwischenstrecke. Hier gelten zunächst alle formalen „Grund-
lagen“ des Gruppenkalkuls, dagegen nicht das volle Distributionsgesetz.
Denn versteht man unter a und b zwei auseinanderliegende (disjunkte)
Strecken und unter c eine innerhalb a + b gelegene, welche z. B. mit
a einen (echten) Teil a c (ihrer selbst), mit b aber nichts gemein hat,
so wird (a + b) c = c, dagegen a c + b c = a c + 0 = a c von c verschieden
ausfallen. — Ich will diese sehr bequeme Exemplifikation nach ihrem
Urheber als den
Beweis 6 von Korselt registriren.

Lässt man nun aber mit Herrn Korselt als „Gebiete“ auch „Aussen-
strecken“ zu, so wird obendrein zwar der Begriff der Negation anwendbar
und jedem Gebiet ein Negat in Gestalt von dessen Ergänzung zur ganzen
Geraden zugeordnet. Auch kann man bei den Definitionen von a b und
a + b den Begriff des „grössten“ oder „kleinsten“ Gebietes beibehalten in
dem Sinne, dass jedes unendliche Gebiet, also jede Aussenstrecke für „grösser“
erklärt wird, als jedes endliche Gebiet, d. i. jede Innenstrecke, dass ferner
von zwei Aussenstrecken diejenige als grösser gilt, die von der ganzen Ge-
raden das kleinere Innenstück übrig lässt. Wie leicht zu sehen, trifft dann
die zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes häufig nicht zu. Allein es
gelten auch schon die beiden oben erwähnten Teilsubsumtionen (3)' nicht
mehr allgemein, und überdies wird sowol a b als a + b in gewissen Fällen
zweideutig, — in solchen nämlich, wo a eine Innenstrecke, b eine Aussenstrecke
vorstellt und die Endpunkte der einen zu denen der andern bezw. deren
Mitte symmetrisch liegen.

Um die vorliegende Gruppe von Vervollkommnungsbestrebungen
zum Abschluss zu bringen, liegt es mir endlich noch ob, über eine
Bemerkung von Herrn Korselt zu berichten, die mir von ihm brieflich
zu diesem Zwecke vorgelegt wurde und die Frage betrifft, ob nicht bei
Aufstellung der Grundlagen des identischen Kalkuls die zeitweilige Preis-
gebung des Dualismus, wie sie in unserer sechsten Vorlesung, Bd. 1 § 12
sich aufgedrängt, vermieden werden könne. Es handelt sich darum,
unser „drittes“ Prinzip, das ich in dualistischer Hinsicht unsymmetrisch als
III×. (b c = 0) ⯑ {a (b + c) ⯑a b + a c}
formulirt habe, zu ersetzen durch ein symmetrisches, mit dessen Hülfe
sich dann ebenfalls das volle Distributionsgesetz beweisen liesse, —
und zwar ohne Argumentiren auf Individuen oder Punkte unserer
Punktgebiete.

Diese letztere Einschränkung, (welche Herr Korselt nicht durchweg
berücksichtigt, so dass ich nur von einem Teile seiner Mitteilungen Gebrauch
machen kann), ist unerlässlich, wenn die Beweisführungen überhaupt in den
Lehrgang unseres Bd. 1 passen sollen. (Vollends Beweisführungen, bei denen
[422]Vierundzwanzigste Vorlesung.
auf die Unterscheidung von endlichen und unendlichen Systemen resp. Klassen
einzugehen wäre, müssten wol als Hysteron-Proteron bezeichnet werden.)

Als ein Sonderfall des Prinzips III× war Bd. 1, Seite 294, Anm. 2
bereits hervorgehoben das Prinzip
III°×(b c = 0) (b + c = 1) ⯑ {a (b + c) ⯑a b + a c},
— worin a (b + c) auch kürzer durch a · 1, = a ersetzbar, und ich hatte
dabei bemerkt, dass es nicht gelinge, mit diesem einfacheren Prinzip III°×,
selbst in Verbindung mit seinem dualen Gegenstücke auszukommen.
Dies ist nunmehr dahin zu berichtigen, dass letzteres doch gelingt.

Erheben wir nämlich in Anlehnung an Herrn Korselt zum dritten
Prinzip den Satz III°× nebst dualem Gegenstück, nämlich dass
Wenn b c = 0 und b + c = 1 ist,

oder weil unter den gegenwärtigen Voraussetzungen
a (b + c) = a · 1 = a = a + 0 = a + b c,
III°. (b c = 0) (b + c = 1) ⯑ {(a + b) (a + c) ⯑͇ a⯑͇ a b + a c},
wo dann die Subsumtionen rechterhand, weil als rückwärtige ohnehin
gültig, die Kraft von Gleichungen haben, — so lassen sich die Beweise
der Sätze 29), 33×) und 34×) nebst Zusätzen aus III°+ genau dual ent-
sprechend denen der Theoreme 29), 33+) und 34+) in Bd. 1, S. 300 und
308 f. gestalten, wo das Prinzip III°×) ausreichte, und hier kann dann
der Beweis der De Morgan’schen Theoreme 36) unverändert wie in
Bd. 1, S. 352 angeschlossen werden. Setzt man jetzt der Einfachheit
halber
a (b + c) = p, a b + a c = q
so gilt nach 25×) ohnehin q ⯑ p, oder nach 15×), (6×) und (30×)
q p1⯑p p1⯑ 0, q p1 = 0. (Vergl. auch 38×)!)
Ferner ist zufolge 36)
p1 = a1 + b1c1
und, bei wiederholter Anwendung des Zusatzes zu 33+), sowie nach 30+),
und 22+)
q + p1 = a b + a c + a1 + b1c1 = a1 + b + c + b1c1 = a1 + b + c + c1 = 1.
Aus dem damit gewonnenen Ergebnisse
q p1 = 0, q + p1 = 1,
zusammengehalten mit
p p1 = 0, p + p1 = 1
ergibt dann aber das Th. 29)
q = p, q. e. d.

[423]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Diese Ableitung des Distributionsgesetzes hat den Vorteil, dass
die Dualität überall erhalten bleibt. Allerdings sind dazu unter III°
zwei Prinzipien aufgestellt, die auch wirklich beide unentbehrlich
scheinen.^*)

Statuirt man das Prinzip III° dicht vor dem Th. 29), so lassen sich
auch für dieses
29) (a b = a c = 0) (a + b = a + c = 1) ⯑ (b = c)
noch zwei einander dual entsprechende Beweise geben an Stelle des früheren
Bd. 1, S. 300:

Es ist nach den Voraussetzungen von 29) und dem Schema III°
(b + a) (b + c) = b = b a + b c

(c + a) (c + b) = c = c a + c b,
ergo b = c.

Auch dieser Verbesserung soll in dem oben Seite 406 erwähnten
„Abriss“ Rechnung getragen werden.

§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Unbeschadet der sonstigen Zwecke dieses Werks kann der Leser
gleichwie den § 24 des Bd. 1 auch diesen Paragraphen überschlagen und
braucht darauf allenfalls erst dann zurückzukommen, wenn im dritten Band
auf die einschlägigen Untersuchungen — nebenher, blos der Heuristik zu-
liebe — verwiesen wird. Wer sich jedoch etwa in selbstthätiger Forschung
an noch ungelöste „Auflösungsprobleme“ im Gebiet der Algebra der Relative
wagen sollte, dürfte dieses Kapitel gelegentlich mit Vorteil zurate ziehen, —
wie mir denn auch auf diesem Felde die hiernächst weiter zu führenden
Vorarbeiten thatsächlich gute Dienste geleistet haben zur Entdeckung zahl-
reicher Sätze und Problem-Lösungen, welche dann freilich im dritten Band
auch ohne Bezugnahme auf den heuristischen Gang verifiziert oder bewiesen
werden.

Zunächst ist behufs Vervollkommnung des in § 24 Gebotenen den
Lösungen zweier dortiger Aufgaben noch eine bessere Form zu geben.
Sodann sollen im folgenden noch weitere Aufgaben gelöst werden.

Bei Aufgabe 12 (desgleichen auch 14) und 15 l. c., wo es sich
um die symmetrisch allgemeine Bestimmung zweier Unbekannten x, y
handelt, die eine gegebne Forderung zu erfüllen haben, wurde zwar
jeweils das allgemeinste System von Wurzeln richtig aufgestellt, welches
in symmetrischer Weise der Aufgabe genügt, wobei die Unbekannten
[424]Vierundzwanzigste Vorlesung.
durch (mindestens ebenso viele) unbestimmte Parameter ausgedrückt
waren. Dabei erscheint aber noch als Missstand, dass man jene Werte
oder Ausdrücke, welche für die unbestimmten Parameter eingesetzt
werden müssen, wenn man ein bestimmt gegebenes Wurzelpaar x, y
aus ihnen erhalten will, entweder für die Anwendungen im Gedächtniss
behalten oder so, wie sie sich l. c. angegeben finden, nachschlagen
muss. Und schon aus diesem Grunde versteht sich die Anforderung:
die Ausdrücke für die symmetrisch allgemeinen Wurzeln x, y so ein-
zurichten, dass jeder Unbekannten ein eigener Parameter, dem x ein u,
dem y ein v, als sogenannter „wesentlicher“ Parameter entpricht, und
dass man, um irgend ein gewünschtes Wurzelpaar x, y zu erhalten, nur
u = x, v = y selbst zu setzen habe.

Diese Anforderung wird sich bei den in Bd. 3 behandelten Auf-
gaben auch noch anderweitig motiviren; sie wird dort von mir, weil
sie keineswegs im Begriff der Lösung selbst gelegen, als die „Adventiv-
forderung“ bezeichnet. Sie ist auch bereits bei den Lösungen der
übrigen Aufgaben des § 24 erfüllt, nur bei den vorhin genannten noch
zu erfüllen. Zuvor sei blos noch bemerkt, dass wenn im Ausdruck
der Wurzeln neben den „wesentlichen“ unbestimmten Parametern noch
andre vorkommen, diese letztern als „unwesentliche“ oder „Luxus-Para-
meter“ bezeichnet werden mögen. Solche bleiben unter allen Umständen
willkürlich und können unbeschadet der Allgemeinheit der Lösungen be-
liebig spezialisirt, z. B. auch ein jeder für sich gleich 0 oder gleich 1
angenommen werden, — wie dies sogleich an dem nachfolgenden sich
illustriren wird.

Aufgabe 12. Nach x, y die Gleichung
1) x y1 + x1y = c
symmetrisch allgemein zu lösen.

Ich will die Lösungen erst angeben, dann verifiziren, zuletzt ihre
Herleitung skizziren.

Die Auflösung ist:

• x = (c1 + r) u v + (c + s) u v1 + c1s u1v + c r u1v1
  y = (c1 + r1) u v + c1s u v1 + (c + s) u1v + c r1u1v1
  x1 = c r1u v + c1s1u v1 + (c + s1) u1v + (c1 + r1) u1v1
  y1 = c r u v + (c + s1) u v1 + c1s1u1v + (c1 + r) u1v1,

wo u, v die wesentlichen, r, s die Luxusparameter vorstellen.

Beweis durch Verifikation.

Erste Probe, auf die Richtigkeit der angeblichen Lösungen 2) bei be-
[425]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
liebigen u, v, r, s, — durch Einsetzen der Werte 2) in die Gleichung 1),
stimmt:
x y1 + x1y = (c r + c r1) u v + c u v1 + c u1v + (c r + c r1) u1v1 =
= c (u v + u v1 + u1v + u1v1) = c.
Die Ausdrücke 2) liefern mithin, wie immer auch die Gebiete oder
Klassen u, v, r, s bestimmt werden mögen, stets nur richtige Wurzeln
der Gleichung 1).

Eine zweite Probe soll aber noch die Vollständigkeit unserer Lösung
des Problems erweisen, also darthun, dass die Ausdrücke 2) uns auch
alle Wurzelsysteme der Gleichung 1) liefern. Zu dem Ende stellen
wir uns unter x, y jetzt irgend ein Wertepaar vor, welches die Glei-
chung 1) oder
1') c (x y + x1y1) + c1 (x y1 + x1y) = 0
erfüllt, und denken uns ferner r, s irgendwie fixirt. Es ist zu zeigen,
dass es dann jedesmal ein Wertepaar u, v überhaupt gibt (also min-
destens eines) derart, dass auch die Gleichungen 2) erfüllt sein werden;
d. h. dass uns für dieses Wertepaar u, v unsere Lösungen 2) das ge-
wünschte Wurzelpaar x, y liefern.

Prinzipiell, behufs Erweises der Vollständigkeit unserer Lösungen,
müsste zwar blos die Existenz solchen Wertepaars u, v dargethan
werden, wie verwickelt auch dieses durch die gegebenen x und y sich
ausdrücken mag. Der Adventivforderung gemäss wird nun aber
u = x, v = y
selbst ein solches Wertepaar sein müssen. M. a. W. durch Einsetzen
des letztern müssen sich die beiden ersten Gleichungen 2), aus welchen
die beiden andern durch Negiren folgen, kraft der Voraussetzung 1)
oder 1') als identisch erfüllt erweisen:
x = (c1 + r) x y + (c + s) x y1 + c1s x1y + c r x1y1
y = (c1 + r1) x y + c1s x y1 + (c + s) x1y + c r1x1y1.
Lässt man hierin die Glieder fort, die kraft 1') ohnehin verschwinden,
nachdem man die Summen c1 + r, c1 + r1, c + s in c1 + c r, c1 + c r1,
c + c1s umgeschrieben, so bleibt zu zeigen, dass
x = x (c1y + c y1), y = y (c1x + c x1)
zutrifft, was nun aber mittelst Addition von 0 rechterhand, d. h. durch
Hinzufügung geeigneter Glieder, die kraft 1') ebenfalls verschwinden,
sich äquivalent umsetzen lässt in
x = x (c y + c1y + c y1 + c1y1) = x · 1 = x,
y = y (c x + c1x + c x1 + c1x1) = y · 1 = y
und sich in der That augenscheinlich bewahrheitet, q. e. d.

[426]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Eine dritte Probe, nämlich die Prüfung unserer Lösungen 2) auf
die Symmetrie bezüglich der in der Problemstellung 1) zulässigen Ver-
tauschungen erledigt sich so. Die Gleichung 1) bleibt ungeändert (oder
geht nur in sich selbst über) durch die folgenden drei Systeme von
Vertauschungen
(x, y) (x1, y1), (x, y1) (x1, y), (x, x1) (y, y1).
Diese aber, mit
(u, v) (u1, v1), (u, v1) (u1, v), (u, u1) (v, v1)
und
(r, r1), (s, s1), (r, r1) (s, s1)
bezüglich verbunden, führen allemal das System 2) unserer Lösungen
nur in sich selbst über, wie man fast mühelos nachsieht.

Von den Bd. 1, S. 514 gefundenen Lôsungsformen
x = α c1 + β c, y = α c1 + β1c
aus konnte ich die Lösungsformen 2) systematisch entdecken, indem ich
zunächst — was etwas mühsam ist — aus den vorstehenden beiden Gleichungen
in Verbindung mit 1) das Symbol c eliminirte; aus der Resultante
0 = x1α β + x α1β1 + y1α β1 + y α1β + x1y1α + x y α1 + x1y β + x y1β1
hernach α oder β eliminirend gelangt man zu den Gleichungen
x1y1α + x y α1 = 0, x1y β + x y1β1 = 0,
deren Auflösung nach α, β
α = x y + s (x + y), β = x y1 + r (x + y1)
die allgemeinsten Werte zeigt, welche für die Parameter α, β zu setzen
sind, wenn man ein bestimmtes Paar von Wurzeln x, y erhalten will.
Wird in diesen nun u für x und v für y geschrieben, so ergibt sich durch
Einsetzen in die frühere Lösungsform notwendig eine solche, welche auch
die Adventivforderung erfüllt, nämlich (wenn noch vollends nach den u, v
entwickelt wird,) unsere Lösung 2).

Diese kann nun freilich noch vereinfacht werden. Nähme man z. B.
s = r, so käme
x = r u + (r + u) (c1v + c v1),
y = v (c r1 + c1r + c1u + c u1) + c1r u + c r1u1,
und ähnlich für s = r1
x = u (c r + c1r1 + c1v + c v1) + c1r1v + c r v1,
y = r1v + (r1 + v) (c1u + c u1);
noch einfacher hätte man für r, s gleich 0, 0, resp. 0, 1; 1, 0 oder 1, 1
die Systeme der Lösungen:

• x = u (c1v + c v1)	x = u v1 + c1v	x = u v + c v1	x = u + c1v + c v1
  y = u v + c u1	y = v + c1u + c u1	y = v (c1u + c u1)	y = u1v + c1u
  x1 = u1 + c v + c1v1	x1 = u1v1 + c v	x1 = u1v + c1v1	x1 = u1 (c v + c1v1)
  y1 = u v1 + c1u1	y1 = v1 (c u + c1u1)	y1 = v1 + c u + c1u1	y1 = u1v1 + c u

[427]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
und auf ebendiese wird man auch geführt, wenn man die Werte der
Luxusparameter r, s überhaupt irgendwie aus der Gruppe der Werte c, c1, 0, 1
auswählt.

Jedes von diesen Systemen ist eine Darstellung der allgemeinsten
Wurzeln der Gleichung 1) (nunmehr ohne überzählige Parameter), welche
inbezug auf die wesentlichen Parameter u, v der Adventivforderung genügt.
Allein es erscheint die Symmetrie in denselben nun dermassen verhüllt,
dass man, wo es auf die Wahrung solcher ankommt, besser thut, die
Lösungsform 2) und damit die Luxusparameter beizubehalten.

Aufgabe 15. Die allgemeinste Gleichung mit zwei Unbekannten x, y:
4) a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1 = 0
nach diesen symmetrisch allgemein aufzulösen unter der Voraussetzung,
dass die Resultante ihrer Elimination
5) a b c d = 0
erfüllt sei — Bd. 1, S. 515 . . . . 519.

Auflösung. Das allgemeinste, auch der Adventivforderung ge-
nügende System von Wurzeln ist gegeben durch

• x = {a1 + (b1r + c r1) d} u v + {b1 + (a1s + d s1) c} u v1 +
  + (b1 + a1s + d s1) c u1v + (a1 + b1r + c r1) d u1v1
  y = {a1 + (b r + c1r1) d} u v + (c1 + a1s + d s1) b u v1 +
  + {c1 + (a1s + d s1) b} u1v + (a1 + b r + c1r1) d u1v1
  x1 = (d1 + b r + c1r1) a u v + (c1 + a s + d1s1) b u v1 +
  + {c1 + (a s + d1s1) b} u1v + {d1 + (b r + c1r1) a} u1v1
  y1 = (d1 + b1r + c r1) a u v + {b1 + (a s + d1s1) c} u v1 +
  + (b1 + a s + d1s1) c u1v + {d1 + (b1r + c r1) a} u1v1,

wo u, v die wesentlichen, r, s Luxusparameter vorstellen.

Beweis. Hiemit wird, zunächst ohne Rücksicht auf 5)
a x y = 0 u v + a b c d s1u v1 + a b c d s1u1v + 0 u1v1
b x y1 = a b c d r1u v + 0 u v1 + 0 u1v + a b c d r1u1v1
c x1y = a b c d r u v + 0 u v1 + 0 u1v + a b c d r u1v1
d x1y1 = 0 u v + a b c d s u v1 + a b c d s u1v + 0 u1v1;
mit Rücksicht auf die Resultante verschwinden also alle vier Ausdrücke
identisch, d. h. es stimmt die „Probe 1“, oder unsere Formeln 6)
liefern uns stets richtige Wurzeln. „Probe 2“: Sei jetzt x, y irgend
ein Paar von Wurzeln, für welche die Gleichung 4) von vornherein
erfüllt ist. Falls es überhaupt ein solches gibt, so gilt dann auch die
Gleichung 5). Dann muss gezeigt werden, dass für u = x, v = y die
beiden ersten Gleichungen 6) sich bewahrheiten. Setzt man aber x
[428]Vierundzwanzigste Vorlesung.
für u, y für v in 6) ein, so kommt bei x das dritte und vierte, bei y
das zweite und vierte Glied wegen 4) in Wegfall, und bleibt
x = {a1 + a (b1r + c r1) d} x y + {b1 + b (a1s + d s1) c} x y1 = x (a1y + b1y1)
y = {a1 + a (b r + c1r1) d} x y + {c1 + c (a1s + d s1) b} x1y = y (a1x + c1x1),
was durch Hinzufügung kraft 4) verschwindender Glieder übergeht in
x = x (a1y + b1y1) + a x y + b x y1 = x y + x y1 = x · 1
y = y (a1x + c1x1) + a x y + c x1y = x y + x1y = 1 · y,
mithin sich als richtig erweist.

Was endlich die Prüfung unserer Lösungen auf die Symmetrie
betrifft, so führen die nachstehenden fünf Systeme von Vertauschungen
(— und nur diese —) zwischen den Unbekannten unter sich und den
Koeffizienten unter sich, nötigenfalls verbunden mit den dahinter
stehenden Vertauschungen zwischen den Parametern, gleichwie die
Gleichung 4) nebst 5), so auch das System der Lösungen 6) nur in
sich selbst zurück:

• 	(x, y) (x1, y1) (b, c)	(u, v) (u1, v1) (r, r1)
  	(x, y1) (x1, y) (a, d)	(u, v1) (u1, v) (s, s1)
  	(x, x1) (a, c) (b, d)	(u, u1) (r, s1) (r1, s)
  	(y, y1) (a, b) (c, d)	(v, v1) (r, s) (r1, s1)
  	(x, x1) (y, y1) (a, d) (b, c)	(u, u1) (v, v1) (r, r1) (s, s1)

Aus den in § 24 gefundenen Lösungsformen waren die obigen 6)
leicht zu gewinnen vermittelst der nach Bd. 1, S. 519 nahegelegten Sub-
stitutionen:
ϰ = u v + s (u + v), λ = u v1 + r (u + v1), ω = u v1 + u1v.
Statt dessen konnte man freilich auch den ganzen Herleitungsweg des § 24
von vorne gehen, indem man nur statt der dortigen Lösungsform der Auf-
gabe 12 die obige 2) benutzte. — Unsere Lösungsformen 6) verdienen
aber jenen früheren gegenüber den Vorzug schon wegen der grösseren
Einfachheit des Ausdrucks, und weil sie mit einem Parameter weniger, mit
deren vier statt fünf, auskommen.

Nehmen wir wie oben die überzähligen Parameter r, s auf jede
mögliche Weise gleich 0 oder 1 an, so tritt natürlich abermals erheb-
liche Vereinfachung ein, und ergeben sich die nachstehenden vier be-
merkenswerten Lösungsformen:

• x = (a1 + c d) u v + (b1 + c d) u v1 + (b1 + d) c u1v + (a1 + c) d u1v1
  y = (a1 + c1d) u v + b (c1 + d) u v1 + (b d + c1) u1v + (a1 + c1) d u1v1

• x = (a1 + c d) u v + (a1c + b1) u v1 + (a1 + b1) c u1v + (a1 + c) d u1v1
  y = (a1 + c1d) u v + (a1 + c1) b u v1 + (a1b + c1) u1v + (a1 + c1) d u1v1

[429]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

• x = (a1 + b1d) u v + (b1 + c d) u v1 + (b1 + d) c u1v + (a1 + b1) d u1v1
  y = (a1 + b d) u v + b (c1 + d) u v1 + (b d + c1) u1v + (a1 + b) d u1v1

• x = (a1 + b1d) u v + (a1c + b1) u v1 + (a1 + b1) c u1v + (a1 + b1) d u1v1
  y = (a1 + b d) u v + (a1 + c1) b u v1 + (a1b + c1) u1v + (a1 + b) d u1v1,

deren jede die gleiche Allgemeinheit wie die 6) beansprucht. In diesen
erscheinen freilich gewisse Koeffizientenpaare, nämlich c, d; resp. a, c;
b, d; a, b, bevorzugt.

Zudem verdient aber noch eine Reihe von Spezialisirungen unserer
Ergebnisse hervorgehoben und für den Gebrauch zurecht gelegt zu
werden.

Exempel 1. x y ⯑ a. Lösung: x = u (a + v1), y = v (a + u1).
(Man setze in 6) a1 für a und 0 für b, c, d).

Damit sind auch die symmetrisch allgemeinen Lösungen von
a x y = 0 gegeben als: x = u (a1 + v1), y = v (a1 + u1).

Exempel 2. x + y ⯑ a. Lösung: x = a u, y = a v.

Exempel 3, (zugleich Aufgabe 13 des § 24, Bd. 1, S. 515).
x y = a. Lösung: x = a + u v1, y = a + u1v.

Exempel 4. x + y = a. Lösung: x = a (u + v1), y = a (u1 + v).

Exempel 5. x y1 + x1y ⯑ a. Lösung:

• x = u v + (a + s) u v1 + a1s u1v = (a + s + v) u + a1s v u1
  y = u v + a1s u v1 + (a + s) u1v = (a + s + u) v + a1s u v1
  x1 = a1s1u v1 + (a + s1) u1v + u1v1 = a1s1v1u + (a + s1 + v1) u1
  y1 = (a + s1) u v1 + a1s1u1v + u1v1 = a1s1u1v + (a + s1 + u1) v1

Speziell für s = 0 oder 1 hat man die Lösungsformen:

Exempel 6. Zu x y1 + x1y = a, also x = a y1 + a1y, y = a x1 + a1x,
liefert uns 6) die obigen Lösungen 2) der Aufgabe 12 wieder.

Wird in den zwei letzten Exempeln nur y, v mit y1, v1 vertauscht,
so schreibt man aus dem angegebenen x und y1 auch leicht noch ab
die Lösungen der Aufgaben x y + x1y1⯑a resp. = a.

Exempel 7, (zugleich Aufgabe 14 in Bd. 1, S. 515.)
x y = a, x1y1 = b, wo a b = 0.
Aus der vereinigten Gleichung
(a1 + b) x y + (a + b) (x y1 + x1y) + (a + b1) x1y1 = 0
ersieht man, welche Einsetzungen in Schema 6) gemacht werden müssen.
Man findet als Lösungen, die, im Gegensatz zu den in § 24 aufgestellten,
[430]Vierundzwanzigste Vorlesung.
nun auch der Adventivforderung genügen werden, nach nicht un-
interessanten Zwischenrechnungen, unter Berücksichtigung auch der
Resultante a b1 = a oder a1b = b:

• x = a + b1 {u v1 + r (u + v1)}, x1 = b + a1 {u1v + r1 (u1 + v)}
  y = a + b1 {u1v + r1 (u1 + v)}, y1 = b + a1 {u v1 + r (u + v1)}.

Exempel 8. x y = 0, x + y = 1, oder x = y1, x1 = y,
x y + x1y1 = 0, gibt
x = u v1 + r (u + v1) = y1, y = u1v + r1 (u1 + v) = x1.

Exempel 9. a x = b + y, wo b ⯑ a oder a1b = 0, gibt die
vereinigte Gleichung:
a1x y + a b1x y1 + x1y + b x1y1 = 0,
und damit gemäss 6) nach geringer Rechnung die Lösung:
x = b + a u v + (a1 + s) (u v1 + u1v), y = a {u v + b1s (u v1 + u1v) + b u1v1},
als deren einfachste Form wir — für s = 0 — haben:
x = b + a u v + a1 (u v1 + u1v), y = a (u v + b u1v1).
Damit wird — wegen a b = b — in der That
a x = a (b + u v) = b + a u v = b + y.

Exempel 10. x y = a, b ⯑ x + y gibt
a1x y + a x y1 + a x1y + (a + b) x1y1 = 0
und zuerst:

• x = (a + b r) u v + u v1 + a u1v + (a + b r) u1v1
  y = (a + b r1) u v + a u v1 + u1v + (a + b r1) u1v1,

also einfacher:

• x = a + u v1 + b (u + v1) r, x1 = a1 {u1v + (b1 + r1) (u1 + v)}
  y = a + u1v + b (u1 + v) r1, y1 = a1 {u v1 + (b1 + r) (u + v1)}.

Die vorstehenden Problemlösungen thun oft gute Dienste. Nicht
minder die nachfolgenden, die ich neu hinzufüge, — mit der in Bd. 1,
§ 24 begonnenen Numerirung der Aufgaben fortfahrend. Die Aufgaben
sind durchweg Auflösungsprobleme mit einer beliebigen Menge von
Unbekannten und sind jeweils so eingerichtet, dass sie keine Resultante
liefern.

Sofern dabei Indizes für die in unbestimmter Anzahl, ja in end-
licher oder auch unbegrenzter Menge vorkommenden Unbekannten xλ
(wo z. B. λ = 1, 2, 3, …) gebraucht werden und man sich nicht ent-
schliessen will, dieselben als obere Indizes zu setzen, thut man gut,
statt des dann unbequem anzuhängenden vertikalen den horizontal
übergesetzten Negationsstrich zu verwenden.

[431]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Einer Unbekannten xλ soll immer ein unbestimmtes Gebiet uλ
als wesentlicher Parameter entsprechen. Und alle Lösungen sollen der
„Adventivforderung“ genügen derart, dass man aus ihnen ein gewünschtes
System xλ (λ = 1, 2, 3, …) von Wurzeln der Aufgabe durch die si-
multanen Annahmen uλ = xλ (für λ = 1, 2, 3, …) erhält.

Aufgabe 16 (Erweiterung von Aufg. 1 … 3 des § 24, Bd. 1,
S. 499).

Πλ xλ = 0. Lösung: xλ = uλ Σϰūϰ.

Probe 1. Πλ xλ = Πλ uλ Σϰ ūϰ = Πλ uλ · Σλ ūλ = 0.

Probe 2. Ist Πλ xλ = 0, so folgt Σλ x̄λ = 1 = Σϰ x̄ϰ, und folg-
lich xλ Σϰ x̄ϰ = xλ · 1 = xλ.

Die Symmetrie des Lösungssystems ist evident.

Aufgabe 17. Πλ xλ⯑ a. (Erweiterung der vorigen.)
Lösung: xλ = uλ (a + Σϰ ūϰ), x̄λ = ūλ + ā Πϰ uϰ.

Wie leicht zu sehen, stimmen beide Proben.

Dass auch Lösungen mit noch mehr Parametern aufgestellt werden
können, zeigt z. B. die Annahme a = Σλ b̄λ. Hier lässt sich die Aufgabe
ansetzen als:
Πλ bλ xλ = 0,
und man entdeckt unschwer unter Berufung auf Aufg. 16 die Lösung
x λ = b̄λ βλ + bλ αλ γ Σϰ (b̄ϰ + ᾱϰ), x̄λ = bλ (ᾱλ + γ̄) + b̄λ β̄λ + Πϰ bϰ αϰ
worin die αλ, βλ und γ willkürlich.

Unbedingt stimmt hier die Probe 1, und auch die Probe 2 bei der An-
nahme γ = 1, αλ = βλ = ϰλ.

Aufgabe 18. Σλ aλ xλ⯑ Σλ aλ bλ.

Lösung: xλ = uλ (āλ + Σϰ aϰ bϰ).

Probe 1. Es wird Σλ aλ xλ = Σλ aλ uλ · Σϰ aϰ bϰ⯑ Σϰ aϰ bϰ.

Probe 2. Ist die Aufgabensubsumtion erfüllt, so folgt:
xλ = xλ (āλ + Σϰ aϰ bϰ),
indem wegen
Σϰ aϰ bϰ = Σϰ aϰ xϰ + Σϰ aϰ bϰ
hierin der letzte Addend um den vorhergehenden vermehrt werden darf;
dann findet sich aber rechts xλ mit āλ + aλ oder 1 multiplizirt.

Die Herleitung ist hier sehr leicht zu bewerkstelligen; es ist nämlich
nach (3+) gestattet, in der Aufgabensubsumtion das Summenzeichen linker-
hand wegzulassen, so dass folgt:
aλ xλ⯑ Σϰ aϰ bϰ oder xλ⯑ āλ + Σϰ aϰ bϰ. Usw.

Aufgabe 19. Σλ aλ bλ⯑ Σλ aλ xλ.

[432]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Die Lösung ist:
xλ = uλ + Σϰ aϰ bϰ · Πν (āν + ūν),
wo beide Proben stimmen; die erste, indem sich leicht

• Σλ aλ xλ = Σλ aλ uλ + Πν (āν + ūν) · Σλ (aλ Σϰ aϰ bϰ) = Σλ aλ (uλ + Σϰ aϰ bϰ) =
  = Σλ aλ (uλ + bλ)

herausstellt, die zweite auf den ersten Blick, indem für uλ = xλ der
letzte Term unseres xλ verschwindet.

Um zu zeigen, wie auch solche Aufgaben aufgrund des früheren oft
schon systematisch gelöst werden können, kontraponiren wir die Aufgabe in
Πλ (āλ + x̄λ) ⯑Πλ (āλ + b̄λ),
woraus ersichtlich, dass nach dem Schema der Aufgabe 17 zunächst der
allgemeine Wert des Faktors āλ + x̄λ angebbar ist. Zu dem Ende muss
das dortige Prädikat a durch die rechte Seite hier ersetzt werden, ausser-
dem aber, um die Adventivforderung zu wahren, das dortige uλ hier durch
āλ + ūλ, — gleichwie die dortige Unbekannte xλ hier vertreten erscheint
durch āλ + x̄λ. Dies gewährt uns zugleich den Vorteil, dass in dem sich
ergebenden Ausdrucke für āλ + x̄λ keine Resultante der Elimination von
xλ mehr zu berücksichtigen sein wird. Man findet
āλ + x̄λ = (āλ + ūλ) {Πϰ (āϰ + b̄ϰ) + Σϰ aϰ uϰ}, = c,
wo c nur für den Augenblick zur Abkürzung dient, und hat nun als Lösung
nach x einer Gleichung ā + x̄ = c, deren Resultante ā c̄ = 0 schon erfüllt
ist, somit der Gleichung a c x + c̄ x̄ = 0:
x = c̄ ū + (ā + c̄) u = c̄ + ā u.
Es folgt somit
xλ = aλ uλ + Σϰ aϰ bϰ · Πν (āν + ūν) + āλ uλ
wie oben angegeben.

Aufgabe 20. Σλ aλ xλ = Σλ aλ bλ.

Lösung: xλ = Πϰ (āϰ + ūϰ) · Σν aν bν + Σν aν bν · uλ + uλ āλ.

Probe 1. Σλ aλ xλ = Πϰ (āϰ + ūλ) · Σν aν bν + Σν aν bν · Σλ aλ uλ = Σν aν bν,
weil Σλ aλ · Σν aν bν = Σν aν bν ist und sich hernach die Σλ aλ uλ mit dem
Πϰ zu 1 ergänzt.

Probe 2. Ist die Aufgabengleichung als Voraussetzung erfüllt, so
muss sein
xλ = Πϰ (āϰ + x̄ϰ) Σν aν bν + Σν aν bν · xλ + xλ āλ,
indem das erste Glied rechterhand verschwindet und alsdann bleibt:
xλ = xλ (Σϰ aϰ xϰ + āλ),
was durch Hervorhebung des dem Werte ϰ = λ entsprechenden Gliedes
der Σϰ leicht zu verifiziren ist.

[433]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.

Gefunden habe ich die Lösung, indem ich die Aufgabengleichung rechts
auf 0 brachte, aus ihrem Polynome blos die Glieder hervorhob, welche ein
bestimmtes xλ und dessen Negat x̄λ zum Faktor haben, — ohne im Ansatz
der Koeffizienten dieser beiden Symbole ihre tautologische Wiederholung zu
scheuen, — und endlich die so gewonnene Gleichung nach bekanntestem
Schema nach xλ auflöste, rechterhand alle xλ durch die entsprechenden uλ
ersetzend.

Jeder Versuch, zur Lösung dieses Problems die bereits ermittelten
Lösungen der beiden vorhergehenden Aufgaben zu benutzen, scheint dagegen
in einen Zirkel zu führen.

Der Ausdruck unserer Unbekannten xλ ist von der Form
α β + β γ + γ δ = (α + γ) (γ + β) (β + δ),
wonach auch deren Negat x̄λ in ähnlicher Form
ᾱ γ̄ + γ̄ β̄ + β̄ δ̄ = (ᾱ + β̄) (β̄ + γ̄) (γ̄ + δ̄)
leicht hingeschrieben werden kann.

Eine beachtenswerte Vereinfachung des Ausdrucks für xλ tritt ein
in dem Partikularfalle des Problems, wo alle bλ = 1 sind. Alsdann
nämlich zieht sich der Koeffizient āλ mit dem aus der vorhergehenden
Σν aν stammenden aλ zu 1 zusammen, und es ergibt sich
xλ = uλ + Πϰ (āϰ + ūϰ) · Σν aν
als die symmetrisch allgemeine Lösung der Gleichung
Σλ aλ xλ = Σλ aλ.

Aufgabe 21. Beliebig viel zu einander disjunkte Gebiete auf
die allgemeinste Weise zu bestimmen. (Erweiterung der Aufgabe 8
des § 24, Bd. 1, S. 509). Die Lösungen lauten:
x1 = u1ū2ū3ū4 … + ū1u2u3u4 …,
x2 = ū1u2ū3ū4 … + u1ū2u3u4 …,
x3 = ū1ū2u3ū4 … + u1u2ū3u4 …,
. . . . . . . . . . . .
Hier wird in der That xϰ xλ = 0, sobald ϰ ≠ λ. Und wenn x1x2,
x1x3, x1x4, … x2x3, … = 0 ist, so muss auch
x1 = x1x̄2x̄3x̄4 … + x̄1x2x3x4 … = x1x̄2x̄3x̄4 …
sein, indem das zweite Glied verschwindet, sodann wegen x1⯑x̄2 auch
x1x̄2 = x1, etc. sein wird, u. s. w.

Aufgabe 22. (Verallgemeinerung der Bd. 1, S. 508 für n = 3
gelösten Aufgabe 7 des § 24.)
x1x̄2x̄3 … x̄n + x̄1x2x̄3 … x̄n + … + x̄1x̄2x̄3 … x̄n — 1xn = 0.

Schröder, Algebra der Logik. 2. II. 28
[434]Vierundzwanzigste Vorlesung.

Auflösung. Wendet man auf x1 als Unbekannte das wolbekannte
Schema
(a x + b x̄ = 0) ⯑ (x = b x̄ + ā x)
an, so entsteht
x1 = x̄1 (x2x̄3 … x̄n + x̄2x3x̄4 … x̄n + … + x̄2 … x̄n — 1xn) + x1 (x2 + x3 + … xn),
und wenn man rechterhand die x durch arbiträre Parameter u ersetzt, so
hat man schon mit diesem ersten Schritt unserer Methode für die erste Un-
bekannte die gesuchte Lösung, — woraus sich die Werte der übrigen Un-
bekannten nach der Symmetrie abschreiben lassen. Das System der all-
gemeinen Wurzeln ist mithin:

• x1 = u1 (u2 + u3 + … + un) + ū1 (u2ū3 … ūn + ū2u3ū4 … ūn + … + ū2 … ūn — 1un)
• x2 = u2 (u1 + u3 + … + un) + ū2 (u1ū3 … ūn + ū1u3ū4 … ūn + … + ū1ū3 … ūn — 1un)
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• xn = un (u1 + u2 + … + un — 1) +
  + ūn (u1ū2 … ūn — 1 + ū1u2ū3 … ūn — 1 + … + ū1ū2 … ūn — 2un — 1)
• x̄1 = u1ū2ū3 … ūn + ū1 (u2u3 + u2u4 + u3u4 + … + un — 1un + ū2ū3 … ūn)
• x̄2 = u2ū1ū3 … ūn + ū2 (u1u3 + u1u4 + u3u4 + … + un — 1un + ū1ū3 … ūn)
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• x̄n = un ū1ū2 … ūn — 1 +
  + ūn (u1u2 + u1u3 + u2u3 + … + un — 2un — 1 + ū1ū2 … ūn — 1).

Der Bildung der Negationen liegt der leicht erweisliche Satz zum Grunde,
dass die Negation von
a1ā2ā3 … ān + ā1a2ā3 … ān + … + ā1ā2 … ān — 1an,
nämlich
(ā1 + a2 + a3 + … + an) (a1 + ā2 + a3 + … + an) … (a1 + a2 + … + an — 1 + an) =
= a1a2 + a1a3 + a2a3 + … + an — 1an + ā1ā2 … ān
ist, — wo man sich behufs Nachweises nur zu überzeugen braucht, dass
a1a2 als Glied in jedem Faktor enthalten ist und die übrigen Partialprodukte,
in denen a1 und a2 vorkommen, sonach absorbiren wird, sowie dass die
Partialprodukte mit nur einem unnegirten Faktor, wie ā1ā2 … ān — 1 (a1 +
+ a2 + … + an — 1) verschwinden.

Nach dem oben angezogenen Schema stimmt nun jedenfalls die Probe
2 und bleibt also blos noch die Probe 1 zu machen, d. h. nachzusehen, dass
in der That bei ganz beliebigen uλ z. B. x1x̄2x̄3 … x̄n = 0 wird. Zu dem
Ende wird man am besten x̄2, … x̄n auch nach u1 entwickeln und darnach
durchmultipliziren. Man hat
x̄2 = u1ū2 (u3 + u4 + … + un) + ū1 {ū2 (u3u4 + … + un — 1un) + ū3ū4 … ūn}
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x̄n = u1ūn (u2 + u3 + … + un — 1) + ū1 {ūn (u2u3 + … + un — 2un — 1) + ū2ū3 … ūn — 1}
[435]§ 51. Zum Kapitel der symmetrisch allgemeinen Lösungen.
und es verschwindet in unserm Produkt nicht nur der Term mit u1,
— weil in seinem Koeffizienten der Faktor u2 + u3 + … + un zusammen-
trifft mit dem in Überschiebung sich bildenden ū2ū3 … ūn, — sondern auch
der Term mit ū1; denn z. B. u2ū3ū4 … ūn, durch den Faktor in Klammern { }
aus x̄2 unverändert gelassen, trifft in den Klammern { } aus den übrigen
x̄ zusammen entweder mit einem zweiten Gliede, das den Faktor ū2 auf-
weist, oder mit einem ersten Gliede, und darin je mit einem Produkte zweier
unnegirten u, deren mindestens eines in ihm negirt vorkommt.

Das vorstehende Problem und seine Lösung konziser darzustellen, würde
erst mit dem Bezeichnungskapital des Bd. 3 ermöglicht.

Aufgabe 23. Der Forderung
Σλ (xλ = aλ) = 1
symmetrisch auf die allgemeinste Weise zu genügen. Es sollen also
die Unbekannten xλ so bestimmt werden, dass mindestens eine derselben
dem ihr zugeordnet gegebenen Werte aλ gleich ist.

Die Auflösung lässt sich wenigstens für den im Hinblick auf Bd. 3
besonders wichtigen Fall geben, wo die vorkommenden Symbole a, x, u
sämtlich (wie Aussagen) auf den Wertbereich 0, 1 beschränkt sein sollen.
Sie lautet alsdann:
xλ = uλ Σϰ (aϰ uϰ + āϰ ūϰ) + aλ Πϰ (āϰ uϰ + aϰ ūϰ),
womit, da rechts die Σϰ und das Πϰ Negate von einander sind,
x̄λ = ūλ Σϰ + āλ Πϰ
einfach wird.

Probe 1. Mit vorstehenden Werten der Unbekannten wird
Πλ (āλ xλ + aλ x̄λ) = Πλ (āλ uλ + aλ ūλ) · Σϰ (aϰ uϰ + āϰ ūϰ) = 0,
und jeder Faktor des Produkts zur Linken kann bei der statuirten Ein-
schränkung des Wertbereiches auch nur einen der Werte 0 und 1 haben.
Verschwinden kann daher das Produkt nur dadurch, dass mindestens
einer seiner Faktoren 0 wird. Daher ist mindestens für ein λ nun
āλ xλ + aλ x̄λ = 0, d. h. xλ = aλ, wie immer die Werte uλ auch als 1 oder
0 angenommen sein mochten.

Probe 2. Ist ein xλ = aλ, d. h. für wenigstens ein λ auch āλ xλ +
+ aλ x̄λ = 0, so verschwindet für u = x das Πϰ und wird die Σϰ gleich 1,
womit sich die Lösung als xλ = xλ · 1 + aλ · 0 bewahrheitet.

Wie man leicht sieht, ist die Lösung so beschaffen, dass wenn zu-
fällig ein uϰ = aϰ ist, dann auch xϰ = uϰ = aϰ wird, während die übrigen
xλ = uλ beliebig bleiben. Ist dagegen kein uϰ gleich dem zugehörigen
aϰ, so werden alle xλ bezüglich gleich den aλ.

Die hiemit abgeschlossene (wol noch vermehrungsfähige und er-
28*
[436]Vierundzwanzigste Vorlesung.
gänzungsbedürftige) Reihe von Problemen umfasst diejenigen, auf deren
vorgängige, propädeutische Erledigung mich die Versuche hingedrängt
haben, die schwierigen Auflösungsaufgaben des dritten Bandes zu be-
wältigen. Sie sind, wie gesagt, nur in heuristisch-methodologischer
Hinsicht von Belang, blos für den Forscher bei Entdeckungsfahrten
auf diesem Gebiete unentbehrlich.

Umgekehrt wird mit jedem Auflösungsproblem in der Algebra der
Relative implicite auch eines der Probleme „symmetrisch allgemeiner
Lösungen“ seine Erledigung finden wenigstens für den Fall, wo sämt-
liche Unbekannten und Bekannten auf den Bereich der beiden Werte
0 und 1 eingeschränkt sind.