und erſtlich im
Rußiſchen Reiche.

Die Nahmen der Muͤntzen nebſt ihrer Be-
deutung und Verhaͤltniß unter ſich ſind folgende.

• 1. Rubl haͤlt 100 Copeken
• 1. Poltin ‒ ‒ 50 Cop.
• 1. Polupoltinnick ‒ 25 Cop.
• 1. Griwen ‒ ‒ 10 Cop.
• 1. Altin ‒ ‒ 3 Cop.
• 1. Groſch ‒ ‒ 2 Cop.
• 1. Copeken ‒ ‒ 2 Denuſchken
• 1. Denuſchka ‒ ‒ 2 Poluſchken.

Jn Narva, Reval und Doͤrpt.

Auſſer der Rubl. und anderer Rußiſcher
Muͤntzen bedienet man ſich an dieſen Orten auch
der Reichs-Thaler und Weiſſen, welche mit den
Copeken folgende Verhaͤltniß haben.

• 1. Reichs-Thaler haͤlt 80 Copeken
  
  • oder 64 Weiſſen
• 4. Weiſſen ‒ 5 Copeken
• 1. Reichs Thaler Courrent 65 Cop.
  
  • oder 52 Weiſſen
• 1. Carolin Schwediſch 25 Copeken
  
  • oder 20 Weiſſen.

Jn Riga.

Da rechnet man nach Reichs-Thalern,
Gulden, Marken und Groſchen, welche unter
ſich nachfolgende Verhaͤltniß haben.

• 1. Reichs-Thaler haͤlt 3 Gulden
  
  • oder 15 Mark
  • oder 90 Groſchen
• 1. Gulden ‒ ‒ 5 Mark
  
  • oder 30 Groſchen
• 1. Mark ‒ ‒ 6 Groſchen
  
  • oder 4 Ferding
• 1. Ferding ‒ ‒ 1½ Groſchen.

Jn Amſterdam und gantz Holland.

Da bedienet man ſich entweder des Corrent
oder Banco Gelds, bey beyden iſt die Eintheilung
einerley, das Banco Geld aber wird gemeinig-
lich um 5 Pro Cento beſſer gehalten als das Cor-
rent oder Caſſa Geld. Alſo

• 1. Gulden haͤlt 20 Stuͤber
• 1. Stuͤber ‒ ‒ 16 Pfenning Holl.
• 1. Gulden haͤlt auch 40 Pfenning Vlaͤmiſch
  
  • oder Groot
• 1. Stuͤber ‒ ‒ 2 Pfenning Vlaͤmiſch
• 1. Pfenning Vlaͤmiſch 8 Pfenning Holl.
• 1. Schilling Vlaͤmiſch 6 Stuͤber
  
  • oder 12 Pfenning Vlaͤmiſch

• 1. Reichs-Thaler haͤlt 50 Stuͤber
  
  • oder 100 Pfennig Vlaͤmiſch
• 1. Pfund Vlaͤmiſch 6 Gulden
  
  • oder 20 Schilling Vlaͤm.
  • oder 120 Stuͤber
• 1. Stuͤber ‒ ‒ 8 Duiten
• 1. Duite ‒ ‒ 2 Pfenning Holl.

Jn London und gantz Engelland.

Alda wird gerechnet in Pfund, Schilling
und Pfenning Sterling.

• 1. Pfund Sterling haͤlt 20 Schilling Sterling
• 1. Schilling Sterling 12 Pfenning Sterling
• 1. Crone ‒ ‒ 5 Schilling Sterling
• 1. Guinéc ‒ ‒ 21½ Schilling Sterling
• 1. Grat ‒ ‒ 4 Pfenning Sterling
• 1. Pfenning Sterling 4 Farding.

Jn Hamburg.

Hier wird auch nach zweyerley Geld gerech-
net, nehmlich nach Corrent und Banco Geld. Es
iſt aber das Banco Geld beſtaͤndig um 16 Pro
Cento beſſer oder hoͤher als das Corrent Geld.
Die Geld Sorten nebſt derſelben Eintheilung
ſind folgende.

• 1. Mark haͤlt 16 Schilling Luͤbiſch
• 1. Schilling Luͤbiſch 12 Pfenning Luͤbiſch
• 1. Schilling Vlaͤmiſch 6 Schilling Luͤbiſch
• 1. Thaler ‒ ‒ 3 Mark
• 1. Wechſel Thaler 2 Mark
• 1. Pfund Vlaͤmiſch 20 Schilling Vlaͤm.
  
  • oder 120 Schilling Luͤbiſch

Jn Luͤbeck.

Da iſt die Eintheilung der Muͤntz-Sorten
wie in Hamburg.

Jn Leipzig und gantz Sachſen und
Brandenburg.

Wird Buch gehalten in Thalern, guten
Groſchen und Pfenningen.

• 1. Thaler haͤlt 24 gute Groſchen
• 1. guter Groſchen ‒ 12 Pfenning
• 1. Zwey Drittel Stuͤck 16 gute Groſchen
• 1. Dreyer ‒ ‒ 3 Pfenning.

Jn Braunſchweig und Luͤneburg.

Wird Buch gehalten in Thalern, Ma-
rien-Groſchen und Pfenningen.

• 1. Thaler haͤlt 36 Marien Groſchen
• 1. Marien Groſchen 8 Pfenning
  
  • auch haͤlt
• 1. Thaler ‒ 24 gute Groſchen
• 1. guter Groſchen 1½ Marien Groſchen
  
  • oder 12 Pfenning.

Jn Bremen

Wird Buch gehalten in Thalern, Grooten
und Pfenningen.

• 1. Thaler haͤlt 72 Groot
• 1. Groot ‒ ‒ ‒ 4 Pfenning.

Jn Franckfurt am Main.

Wird Buch gehalten in Thalern, Kreu-
tzern und Pfenningen.

• 1. Thaler haͤlt 90 Kreutzer
• 1. Kreutzer ‒ ‒ 4 Pfenning
• 1. Thaler iſt auch ‒ 1½ Gulden
• 1. Gulden ‒ ‒ 60 Kreutzer
  
  • oder 15 Batzen
• 1. Batzen ‒ ‒ 4 Kreutzer
  
  • oder 2 Albus
• 1. Albus ‒ ‒ 2 Kreutzer
• 1. Koͤpf-Stuͤck ‒ 20 Kreutzer
• 1. Kayſer-Groſchen ‒ 3 Kreutzer.

Dieſes iſt das Corrent Geld, auſſer dem
bedienet man ſich des Wechſel-Gelds, welches
fingirt iſt und machen
100 Kreutzer Corrent ‒ 82 Wechſel Kreutzer.

Jn Breslau und Schleſien.

Wird Buch gehalten in Thalern, Silber-
oder Kayſer-Groſchen, ſo auch Schilling genennt
werden und Kreutzern.

• 1. Thaler haͤlt 30 Kayſer Groſchen
  oder Schilling
• 1. Kayſer Groſchen ‒ 3 Kreutzer
• 1. Kreutzer ‒ ‒ 4 Pfenning
• 1. Kayſer Groſchen ‒ 4 Groͤſchel
• 1. Groͤſchel ‒ ‒ 3 Pfenning.

Jn Wien, Nuͤrnberg, Augſpurg, Oeſter-
reich, Francken und Schwaben.

Wird Buch gehalten in Gulden, Kreutzer
und Pfenning.

• 1. Gulden halt 60 Kreutzer
• 1. Kreutzer ‒ ‒ 4 Pfenning
• 1. Thaler ‒ ‒ 90 Kreutzer
• 1. Gulden haͤlt auch 15 Batzen
• 1. Batzen ‒ ‒ 4 Kreutzer
• 1. Kayſer Groſchen ‒ 3 Kreutzer

Jn Dantzig, Koͤnigsberg und Preuſſen.

Da bedient man ſich folgender Muͤntz-Sor-
ten, welche Pollniſch genennt werden.

• 1. Gulden haͤlt 30 Groſchen
• 1. Thaler ‒ 3 Gulden
  
  • ‒ oder 90 Groſchen
• 1. Groſchen ‒ 3 Schilling
• 1. Schilling ‒ 6 Pfenning
• 1. Timpf ‒ 18 Groſchen.

Jn Franckreich.

Wird nach Livres, Sols, und Deniers,
Tournois gerechnet.

• 1. Livre haͤlt 20 Sols
• 1. Sols ‒ 12 Deniers
• 1. Ecu ‒ 3 Liures
  
  • oder 60 Sols.

Jn Jtalien.

Rechnet man nach Scudi, Soldi und Denari.

• 1. Scudo haͤlt 20 Soldi
• 1. Soldi ‒ 12 Denarii

Jn Daͤnnemarck.

Da gebraucht man nachfolgende Geld
Sorten.

• 1. Thaler haͤlt 6 Marck
• 1. Marck ‒ ‒ 16 Schilling
• 1. Schilling ‒ 12 Pfenning
• 1. Daͤniſche Crone ‒ 2 Marck Luͤbiſch
• 1. Marck Luͤbiſch ‒ 2 Marck Daͤniſch.

Jn Schweden.

Wird theils Silber-Muͤntz, theils Kupfer-
Muͤntz gebraucht.

• 1. Thaler Silber Geld haͤlt 4 Marck Silber Geld
• 1. Marck Silber Geld ‒ 8 Oer Silber Geld
• 1. Kupfer Thaͤler ‒ 4 Marck Kupfer Geld
• 1. Kupfer Marck ‒ 8 Oer Kupfer
• 1. Silber Thaler ‒ 3 Kupfer Thaler

Kuͤrtze halben pflegt man die obgedachten
Nahmen der Muͤntz-Sorten durch folgende
Zeichen anzudeuten.

• Rubl ‒ ‒ R°
• Griven ‒ ‒ Gr.
• Copeken ‒ ‒ Cop.
• Thaler ‒ ‒ Thl.
• Reichs Thaler ‒ Rthl.
• Gulden ‒ ‒ fl.
• Stuͤber ‒ ‒ St.
• Pfund ‒ ‒ L.
• Schilling ‒ ‒ ß.

• Pfenning
• Denier
• Denari

• Marck ‒ ‒ ℳ
• Groſchen ‒ ‒ gl.
• Gute Groſchen ‒ Ggl.
• Kayſer Groſchen ‒ Kgl.
• Marien Groſchen ‒ Mgl.
• Kreutzer ‒ ‒ Xr.
• Ducaten ‒ ‒ #
• Ecu ‒ ‒

Item die Benennungen dieſer Muͤntz-Sorten
wie folgt.

• Corrent ‒ ‒ Cor.
• Banco ‒ ‒ B°.
• Vlaͤmiſch ‒ ‒ Vls.
• Luͤbiſch ‒ ‒ Luͤb.
• Sterling ‒ ‒ Sterl.

Hieraus erſieht man nun, nach was fuͤr
Muͤntz-Sorten in den meiſten Laͤndern Europae
das Geld berechnet wird: und hierinn beſtehet
die erſte Erkaͤnntniß der Muͤntzen, nehmlich die Ein-
theilung derſelben verſchiedenen Sorten. Zu einer
vollkommenen Erkaͤnntniß aber wird auſſer die-
ſem noch erfordert, daß man den wahren Werth
aller angefuͤhrten Muͤntz-Sorten anzuzeigen wiſſe;
welches nicht fuͤglicher geſchehen kan, als wann
man den Werth einer jeglichen Sorte nach einer
uns ſchon bekannten und bey uns uͤblichen Muͤntze
beſtimmt. Wann wir nehmlich voraus ſetzen,
daß man einen hinlaͤnglichen Begriff von dem
Werth eines Copeken hat, ſo wird man einen
eben ſo deutlichen Begriff von einer jeglichen an-
derwerts uͤblichen Muͤntz-Sorte erhalten, wann
man erkennt, wieviel dieſelben an Copeken aus-
tragen. Weilen aber bey dem Werth der Muͤn-
tzen allenthalben ſehr viel auf dem Gutduͤncken
der Menſchen beruhet, ſo kan eine ſolche Ver-
gleichung nicht ſo genau angeſtellet werden; uͤber
das
[16] das macht auch die Handelſchaft hierinn oͤfters
groſſe Veraͤnderungen, als worinn die Veraͤn-
derlichkeit des Wechſel-Courſes beſtehet. Allhier
wird nehmlich bald ein Rubl mit mehr als 50
Stuͤber Hollaͤndiſch Corrent Geld, bald mit we-
niger gleich geſchaͤtzet; ſo daß in dieſer Verglei-
chung nichts feſtes geſetzt werden kan. Um aber
doch einiger maſſen einen Begriff von der Ver-
haͤltniß der Muͤntzen unter ſich zu erhalten, ſo
erwehlet man hiezu einen mitleren Preiß, welches
das Pary genennet wird: und nach ſolchem kan
man die verlangte Vergleichung anſtellen. Nur
muß man ſich die daher flieſſenden Verhaͤltniſſe
nicht als etwas feſtes und beſtaͤndiges vorſtellen,
ſondern immer dieſen Umſtand dabey bemercken,
daß der wahre Werth der Muͤntzen bald hoͤher
bald nidriger zu ſtehen kommt als das Pary an-
zeigt. Auf ſolchen Fuß haben wir alſo die nach-
folgende Vergleichung der obangefuͤhrten Muͤntzen
mit dem hieſigen Geld angeſtellt.

Jn Narva, Reval, Doͤrpt.

Der an dieſen Orten uͤblichen Muͤntzen iſt
ſchon oben die Vergleichung mit Copeken ange-
fuͤhret worden, nehmlich es haͤlt

• 1. Rthl. ‒ 80 Copeken
• 1. Rthl. Corrent 65
• 1. Carolin Schwediſch 25
• 1. Weiſſe ‒ 1¼.

Rigiſche Muͤntz.

• 1. Rthl. Albert 105 Cop.
• 1. Gulden ‒ 35
• 1. Marck ‒ 7
• 1. Groſchen ‒ 1⅙
• 1. Ferding ‒ 1¾.

Hollaͤndiſches Corrent Geld.

• 1. Ducaten ‒ 210 Cop.
• 1. Rthl. ‒ 100
• 1. Gulden ‒ 40
• 1. Stuͤber ‒ 2
• 1. Pfenning Holl. ⅛
• 1. Pfund Vls. 240
• 1. Schilling Vls. 12
• 1. Pfenning Vls. 1

Das BancoGeld iſt am Preiß
5 Pro Centohoͤher alsCorrent
und alſo haͤlt.

• 1. Rthl. B° 105 Copeken
• 1. Pfund Vls. P° 252
• 1. Schilling Vls. B° 12⅗.

Engliſches Geld.

• 1. Pfund Sterl. 440 Cop.
• 1. Schilling Sterl. 22
• 1. Pfenning Sterl. 1⅚

• 1. Guinéc ‒ 473 Cop.
• 1. Crone ‒ 110
• 1. Grat ‒ 7⅓.

Hamburger CorrentGeld.

• 1. Thl. ‒ ‒ 90 Cop.
• 1. Mark ‒ ‒ 30
• 1. Schilling Luͤb. ‒ 1⅞
• 1. Schilling Vls. ‒ 11¼
• 1. Wechſel Thlr. ‒ 60
• 1. Pfund Vls. ‒ 225.

Hamburger BancoGeld.

• 1. Thl. B° 104½ Cop.
• 1. Mark B° 34⅚.

Saͤchſiſch und Brandenburgiſch Geld.

• 1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
• 1. Zwey Drittel Stuͤck 52
• 1. Ggl. ‒ ‒ 3¼.

Braunſchweigiſch Geld.

• 1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
• 1. Mgl. ‒ ‒ 2⅙.

Bremiſch Geld.

• 1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
• 1. Groot ‒ ‒ 3\frac{1}{12}.

Jn Franckfurt am Main, und gantz
Ober-Teutſchland, auch der Schweitz.

• 1. Thaler ‒ 75 Cop.
• 1. Gulden ‒ 50
• 1. Batzen ‒ 3⅓
• 1. Kayſer Groſchen 2½.

Jn Dantzig, Koͤnigsberg und Preuſſen.

• 1. Thl. ‒ ‒ 78 Cop.
• 1. Gulden Polln. ‒ 26
• 1. Groſchen ‒ ‒ \frac{13}{15}
• 1. Timpf ‒ ‒ 15⅗.

Frantzoͤſiſches Geld.

• 1. Ecû ‒ ‒ 60 Cop.
• 1. Livre ‒ ‒ 20
• 1. Sol ‒ ‒ 1
• 1. Alter Louis d’ or ‒ 375
• 1. Neuer Louis d’ or ‒ 448
• 1. Louis blanc ‒ 102

Jtaliaͤniſch Geld.

• 1. Venetianiſcher Duc. di Banco 90 Cop.

• 1. Pezza d’ otto de 6 Lire
• oder 1 Scudo

• 1. Lire Corrent ‒ 15⅔.

Daͤniſch Geld.

• 1. Thlr. ‒ ‒ 90 Cop.
• 1. Mark ‒ ‒ 15
• 1. Schilling ‒ ‒ \frac{15}{16}
• 1. Daͤniſche Crone ‒ 30

Schwediſch Geld.

• 1. Kupfer Geld ‒ 12 Cop.
• 1. Kupfer Mark ‒ 3
• 1. Silber Thaler ‒ 36
• 1. Silber Mark ‒ 9
• 1. Oer Silber Geld 1⅙
• 1. Oer Kupfer Geld ⅜.

Spaniſch Geld.

• 1. Marevedis ‒ \frac{7}{25} Cop
  
  • oder
• 25. Marevedis ‒ 7
• 1. Real ‒ 9\frac{13}{25}
• 1. Peſo d’ otto ‒ 95⅕
• 1. Piſtole ‒ 380⅘.

Portugieſiſch Geld.

• 1. Cruſado von 400 Rees 48 Cop.
• 1. Marquirter Cruſado 60
• 1. Piſtole ‒ 360
• 1. Patacon ‒ 72
• 1. Peſo d’ otto d’ Espagne 90
• 1. Teſton ‒ 12
• 1. Real ‒ 4⅘
• 1. Rees ‒ \frac{3}{25}.

Von den Gewichten im Rußiſchen
Reiche.

Allhier bedienet man ſich auſſer den Apothe-
ken folgender Gewichs-Sorten.

• 1. Berkowitz haͤlt 10 Pud
• 1. Pud ‒ 40 Pfund
• 1. Pfund ‒ 32 Loth

oder

• 1. Pfund ‒ 96 Solotnick
• 1. Loth ‒ 3 Solotnick.

Kleinere Gewichte als 1 Solotnick werden
durch Bruͤche eines Solotnicks angedeutet als
½ Solotn. ¼ Solotn. ⅛ Solotn. und ſo fort.

Von den Gewichten in Eſt- und Liefland.

• 1. Laſt haͤlt 12 Schiff Pfund
• 1. Schiff Pfund 20 Ließ Pfund
  
  • oder 4 Loof
• 1. Loof ‒ 5 Ließ Pfund
• 1. Ließ Pfund 20 Pfund
• 1. Pfund ‒ 16 Unzen
  
  • oder 32 Loth
• 1. Unze ‒ 2 Loth
• 1. Loth ‒ 4 Quintlein
• 1. Centner haͤlt 120 Pfund
• 1. Tonne ‒ 240 Pfund.

Von dem Hollaͤndiſchen Gewichte.

• 1. Schiff Pfund haͤlt 20 Ließ Pfund
• 1. Ließ Pfund ‒ 15 Pfund
• 1. Stein ‒ 8 Pfund
• 1. Pfund ‒ 2 Mark
  
  • oder 16 Unzen
  • oder 32 Loth
• 1. Mark ‒ 8 Unzen
  
  • oder 16 Loth

• 1. Unze ‒ 2 Loth
  
  • oder 20 Engels
• 1. Loth ‒ 10 Engels
• 1. Engel ‒ 32 Aß.

Groſſe Laſten pflegen an den meiſten Orten
nach Centnern oder Quintalen abgewogen zu wer-
den, welche nicht allenthalben eine gleiche An-
zahl Pfund halten. Dem Nahmen nach ſollten
zwar 100 Pfund einen Centner ausmachen, al-
lein an verſchiedenen Orten werden bald 105 ℔,
bald 110 ℔, bald 112 ℔, bald 120 ℔ auf
einen Centner gerechnet; welche Ungleichheit
theils von alter Gewohnheit theils von den un-
gleichen Pfunden herruͤhret; weswegen faſt an
einem jeglichen Orte ein beſonderer Centner ge-
funden wird. Wir wollen uns demnach nur zu
den kleineren Gewichten allein wenden, unter
welchen das Pfund das groͤſte Maaß zu ſeyn
pflegt, und die fuͤrnehmſten Eintheilungen, ſo
im Gebrauche ſind, beſchreiben.

Eintheilung des Nuͤrnberger Pfunds, welches
in den weiſten Theilen Teutſchlands bey
Abwaͤgung grober Waaren uͤblich iſt.

• 1. Pfund haͤlt 2 Mark
  
  • oder 16 Unzen
  • oder 32 Loth
• 1. Loth ‒ 4 Quintl.
• 1. Quintl. ‒ 4 Pfenning
• 1. Pfenning ‒ 4 Heller.

Eintheilung des Coͤllniſchen Pfunds, welches
zu feinen Waaren abzuwaͤgen gebraucht
wird; und inſonderheit bey dem
Silber uͤblich iſt.

• 1. Pfund haͤlt 2 Mark
  
  • oder 16 Unzen
• 1. Mark ‒ 8 Unzen
• 1. Unze ‒ 2 Loth
  
  • oder 8 Quintl.
• 1. Loth ‒ 4 Quintl.
• 1. Quintl. ‒ 4 Pfenning
• 1. Pfenning ‒ 15 Gran.

An einigen Orten pflegt auch die Coͤllniſche
Unze in Engels abgetheilt zu werden, dergleichen
im Hollaͤndiſchen Gewichte vorkommen, weilen
aber die Coͤllniſche Unze um den 20ſten Theil
kleiner iſt als die Hollaͤndiſche Unze, ſo haͤlt

• 1. Coͤllniſche Unze ‒ 19 Engel
• 1. Engel ‒ ‒ 32 Aß.

Die Eintheilung des Troſiſchen Pfunds,
welches in Engelland gebraucht wird.

• 1. Pfund haͤlt 12 Unzen
• 1. Unze ‒ 20 Penny Gewicht
• 1. Penny ‒ 24 Gran.

Jn Franckreich aber wird dieſes Pfund
ſolcher geſtalt eingetheilet.

• 1. Pfund haͤlt 2 Mark
  
  • oder 16 Unzen
• 1. Mark ‒ 8 Unzen
• 1. Unze ‒ 8 Groſſ
• 1. Groſſ ‒ 3 Denier
• 1. Denier ‒ 24 Grain
• 1. Grain ‒ 24 Garob oder primes
• 1. Garob oder Prime 24 Seconds
• 1. Second ‒ 24 Terties oder
  
  • Malloques.

Jn Engelland wird zu groben Waaren das
Avoir du Poids Gewicht gebraucht, davon
dieſe Eintheilung uͤblich iſt.

• 1. Tonne haͤlt 20 Centner
• 1. Centner ‒ 112 Pfund
• 1. Pfund ‒ 16 Unzen
• 1. Unze ‒ 8 Drams
• 1. Dram ‒ 3 Scrupel.

Jn Sachſen bedienet man ſich auch dieſer
Eintheilung.

• 1. Pfund ‒ 2 Mark
• 1. Mark ‒ 8 Unzen
  
  • oder 16 Loth
  • oder 24 Karat

• 1. Unze ‒ 3 Karat
• 1. Karat ‒ 4 Gran
• 1. Gran ‒ 3 grän
• 1. Loth ‒ 18 grän.

Eintheilung des Apotheker Pfunds, wie ſolche
an den meiſten Orten Europæ gebrauchlich iſt.

• 1. Pfund haͤlt 12 Unzen
• 1. Unze ‒ 8 Drachmas
• 1. Drachma ‒ 3 Scrupel
• 1. Scrupel ‒ 20 Gran.

Und dieſe Nahmen pflegen durch folgende
Zeichen angezeigt zu werden.

• Pfund ‒ ℔
• Mark ‒ℳ
• Unze ‒ ℥
• Drachma ‒ ℨ
• Scrupel ‒ ℈
• Gran ‒ gr.

Bey der Silber-Probe bedienet man ſich folgen-
der Eintheilung in Teutſchland.

• 1 Mark in 16 Loth
• 1 Loth in 18 grän.

Jn Franckreich aber.

• 1 Mark in 12 Denier
• 1 Denier in 24 Gran.

Bey Probirung des Golds aber pflegt man
einzutheilen.

• Die Mark in 24 Karat oder Krat
• 1 Karat in 12 Gran.

Von der Gewichts-Vergleichung.

Es findet ſich in den Gewichten ein ſolcher
Unterſcheid, daß man faſt in einen jeden Statt
ein ſonderbares Pfund antrifft: wodurch in dem
Commercio eine groſſe Verwirrung entſtehen kan,
wann man die an verſchiedenen Orten uͤblichen
Pfunde nicht unter ſich vergleichen kan. Um aber
die wahre Groͤſſe eines Pfunds, wie ſolches an
einem jeglichen Orte im Gebrauche iſt zu beſtim-
men, ſo muß man ein Gewicht fuͤr bekant anneh-
men und nach demſelben alle uͤbrige abmeſſen und
beſchreiben. Wir wollen allhier das Coͤllniſche
Gewicht zum Grunde legen, als welches in gantz
Teutſchland bey Abwaͤgung des Silbers und
Golds im Gebrauche iſt, und anzeigen wie ſich
die Pfunde von den fuͤrnehmſten Orten in Europa
zu demſelben verhalten. Zu dieſem Ende theilen
wir alſo, wie vorher gemeldet, das Coͤllniſche Pf[.]
in 32 Loth, das Loth in 4 Quintl. ein Quintl. fer-
ner in 4 ₰ oder Pfenninge Gewicht, und 1 ₰
noch weiter in 15 Gran. Nach dieſem Gewichte
iſt nun nachfolgende Tabelle eingerichtet, aus wel-
cher zu ſehen, wieviel ein jegliches darinn ſpeci-
ficirtes Pfund nach dieſem Gewichte wiegt.

1.

JN derReſolutionundReductionwer-
den ſolcheQuantitaͤten betrachtet,
welche durch verſchiedene Sorten
pflegen ausgemeſſen zu werden,
und lehret dieReſolutioninsgemein
groͤſſere Sorten in kleinere, dieReductionaber
kleinere Sorten in groͤſſere verwandeln.

Da wir in dem erſten Theil dieſer Arithme-
tic die Zahlen uͤberhaupt ohne gewiſſe Benennun-
gen derſelben betrachtet, und die Operationen ſo
wohl in gantzen als Bruͤchen ausgefuͤhrt haben,
ſo folget anjetzo, daß wir den Gebrauch dieſer
Operationen auf alle in dem gemeinen Weſen
gebraͤuchliche Arten zu zehlen anzeigen. Vor al-
len Dingen iſt nun zu mercken, daß alle Sachen,
welche man durch Zahlen ausdruͤckt, entweder
nach eintzelen Stuͤcken gezehlet, oder dazu ver-
Aſchiedene
[2] ſchiedene Sorten von Maſſen gebraucht werden.
Wann nach eintzelen Stuͤcken gezehlet wird, ſo
ſind die obbeſchriebenen Operationen hinlaͤnglich,
und iſt keine beſondere Anleitung dazu noͤthig.
Alſo wann alles Geld nach einerley Muͤntz-Sor-
ten als Copeken gezehlet werden ſollte, ſo wuͤrde
es keine Schwierigkeiten haben, verſchiedene
Anzahlen von Copeken entweder zu addiren oder
von einander zu ſubtrahiren, ingleichem auch
eine gegebene Zahl von Copeken zu multipliciren
oder zu diuidiren. Eine gleiche Bewandnuͤß
wuͤrde es auch mit den Gewichten haben, wann
man ſich in Ausdruͤckung derſelben nur einerley
Sorten als Pfunde bedienen ſollte: und dieſes iſt
von allen Gattungen Maaſſen zu verſtehen, wann
beſtaͤndig durch die Unitaͤt 1 einerley Maaß an-
gedeutet wird. Es iſt aber bey allen Rechnun-
gen ſehr gebraͤuchlich, daß einerley Quantitaͤten
durch verſchiedene Sorten ausgedruͤckt werden:
alſo wird das Geld allhier nach Rubeln, Gri-
ven, Copeken und Poluſchken; das Gewicht
nach Puden, Pfunden, Lothen und Solomiken;
die Zeit nach Jahren, Monathen, Wochen,
Tagen, Stunden, Minuten und Secunden be-
ſchrieben. Wann man alſo ſagt, daß ein Ge-
wicht halte 15 Pud, 27 Pfund, 16 Loth
und 2 Solotnick, ſo hat die Unitaͤt in ſolcher
Beſchreibung nicht einerley Bedeutung; ſondern
in der Zahl 15 bedeutet 1 ein Pud, in der
Zahl 27 iſt 1 ein Pfund, in der Zahl 16 ein
Loth
[3] Loth und in 2 ein Solotnick. Wann nun ſolche
Quantitaͤten vorkommen, welche nach verſchiede-
nen Maaß-Sorten ausgemeſſen und beſchrieben
werden, ſo werden beſondere Regeln erfordert
die Arithmetiſchen Operationen mit denſelben an-
zuſtellen. Es iſt aber vor allen Dingen noͤthig,
daß man die Verhaͤltniß der verſchiedenen Sor-
ten, nach welchen eine Sach gezehlet wird,
wiſſe und unter ſich vergleichen koͤnne; als um
einen deutlichen Begriff von dem angefuͤhrten
Gewicht von 15 Pud, 27 Pfund, 16 Loth
und 2 Solotnick zu haben, muß man wiſſen,
wieviel Pfund erſtlich ein Pud, zweytens wie-
viel Loth ein Pfund, und drittens wieviel So-
lotnick ein Loth in ſich begreiffe. Und dieſe Ver-
haͤltniß muß alſo bey allen dergleichen vorfallen-
den Rechnungen entweder bekant ſeyn, oder an-
gezeiget werden. Da nun unſer Vorhaben iſt,
die Arithmetiſchen Operationen mit ſolchen Quan-
titaͤten, welche nach verſchiedenen Sorten von
Maaſſen beſchrieben werden, anzuſtellen; ſo iſt
noͤthig, daß wir vorher von ſolchen verſchiedenen
Sorten uͤberhaupt handeln, und anzeigen, wie
dergleichen Ausdruͤckungen auf vielerley Art ver-
wandelt werden koͤnnen. Solche vorlaͤuffige
Operationen ſind demnach die Reſolution und Re-
duction, deren jene lehret, wie man eine nach
vielerley Sorten beſchriebene Quantitaͤt unter
eine Sorte bringen, und ausdruͤcken ſoll. Jn der
Reduction aber wird gewieſen, wie man eine
A 2durch
[4] durch einerley Sorte ausgedruͤckte Quantitaͤt wie-
derum nach verſchiedenen Sorten auf gewoͤhnli-
che Art beſchreiben ſoll. Jnſonderheit aber gehet
die Reſolution dahin, wie groͤſſere und verſchie-
dene Sorten in kleinere und einerley Sorten ver-
wandelt werden ſollen. Der Endzweck dieſer Ope-
ration aber iſt zweyfach; dann erſtlich erhaͤlt man
dadurch, daß die verſchiedenen Benennungen ge-
hoben und auf einerley Nahmen oder Sorten ge-
bracht, und ſolchergeſtalt als ſimple Zahlen
tractirt werden koͤnnen. Hernach bedient man
ſich auch der Reſolution um Bruͤche ſo viel als
moͤglich in der Rechnung zu vermeiden, und des-
wegen pflegt man die kleinſte Sorte zu erwehlen,
und darein die groͤſſeren Sorten zu verwandeln.
Dann wann uns zum Exempel ein Gewicht vor-
gelegt worden, welches 12 Pud, 10 Pfund, 22
Loth und 1 Solotnick gewogen; ſo koͤnnen dieſe
verſchiedenen Sorten auf mehr als eine Weiſe
unter einerley Nahmen gebracht werden; dann
erſtlich kan ich das gantze Gewicht nur allein nach
Puden durch Huͤlfe der Bruͤche ausdrucken, und
ſagen, daß dieſes Gewicht halte 12\frac{1027}{3840} Pud;
wobey der Nahme Pud allein vorkommt. Her-
nach kan eben dieſes Gewicht nach Pfunden be-
ſchrieben werden, und wird ſeyn 490\frac{67}{96} Pfund.
Drittens kan auch dieſe Schwehre dieſes Ge-
wichts nach Lothen angezeigt werden, da daſſelbe
dann halten wird 15702⅓ Loth. Wann man
endlich wiſſen will, wieviel Solotnick dieſes Ge-
wicht
[5] wicht enthalte, ſo findt man 47107 Solotnick.
Wann man alſo nur verlangt dieſes vorgegebene
Gewicht in einerley Sorte ausgedruckt zu haben,
ſo kan ſolches entweder nach Puden, oder Pfun-
den oder Lothen oder Solotnicken geſchehen; wann
man aber zugleich eine gantze Zahl ohne Bruͤche
verlangt, ſo muß ſolches in der kleinſten Sorte,
welche vorkommt, nehmlich in Solotnicken geſche-
hen. Dieſen Endzweck alſo zu erhalten, wollen
wir erſtlich anzeigen, wie groͤſſere Sorten in klei-
nere verwandelt werden koͤnnen. Hernach wollen
wir doch auch die Regeln vorbringen, vermittelſt
welcher eine beſchriebene Quantitaͤt auf einerley
Sorte, ſo nicht die kleinſte iſt, gebracht werden
kan: als worauf die Wechſel Rechnung beruhet,
darinn Muͤntz-Sorten von verſchiedenen Landen
unter ſich verglichen, und nach einer beliebigen
Art ausgedruͤckt werden. Wann aber eine ſolche
Quantitaͤt, welche man nach verſchiedenen Sor-
ten auszuſprechen pflegt, in einerley etwa groͤſſe-
ren oder kleineren Sorten ausgedruͤckt wird, mit
oder ohne Bruͤche, ſo lehret die Reduction, wie
man daraus hinwiedexum dieſelbe Quantitaͤt nach
verſchiedenen Sorten auf gewoͤhnliche Art anzei-
gen ſoll.

2.)

Wann man eine groͤſſere Sorte in
eine kleinere verwandeln will, ſo ſehe man
wieviel Stuͤcke von der kleineren Sorte in
einem Stuͤcke der groͤſſeren enthalten ſind:
und mit dieſer Zahlmultiplicire man die An-
A 3zahl
[6]zahl der Stuͤcke von der groͤſſeren Sorte, ſo
wird dasProductdie verlangte Zahl der Stuͤ-
cke nach der kleineren Sorte anzeigen.

Um dieſe Regel zu erklaͤren, ſo laßt uns ſe-
tzen, es ſollen 15 Pfund in Loth verwandelt,
oder angezeigt werden, wieviel Loth an Gewicht
eben ſo viel betragen als 15 Pfund. Wir haben
alſo 15 Pfund, welche in Loth verwandelt werden
ſollen, und deswegen ſehen wir erſtlich wieviel
Loth ein Pfund in ſich begreifft. Nun wiſſen
wir aus dem Gebrauch, daß 32 Loth auf ein
Pfund gehen, und multipliciren alſo nach An-
weiſung der gegebenen Regel die vorgegebene An-
zahl Pfund nehmlich 15 mit 32. Das Product
nehmlich 480 zeigt uns alsdann die verlangte An-
zahl von Lothen; und ſagen alſo, daß 480 Loth
eben ſo viel iſt als 15 Pfund. Der Grund dieſer
Regel iſt leicht aus dieſem Exempel einzuſehen:
dann da ein Pfund 32 Loth in ſich enthaͤlt, ſo
ſo ſind 2 Pfund ſo viel als 2 mal 32 Loth, und
3 Pfund ſo viel als 3 mal 32 Loth, und 4 Pfund
ſo viel als 4 mal 32 Loth und ſo weiter. Hier-
aus werden alſo 15 Pfund ſo viel ſeyn als 15 mal
32 Loth; woraus folgt, daß man, um zu finden
wieviel Loth in 15 Pfunden enthalten ſind, die
Anzahl der Pfunden nehmlich 15 mit 32 als der
Anzahl der Lothe, welche auf ein Pfund gehen,
multipliciren muͤſſe. Dieſe Regel erſtrecket ſich
nun gleichergeſtalt auf alle andere Gattungen von
groͤſſeren und kleineren Sorten, und koͤnnen ver-
mittelſt
[7] mittelſt derſelben nachfolgende Aufgaben leicht
ausgerechnet werden.

3.)

Wann verſchiedene Sorten vorkom-
men, durch welche eineQuantitaͤt beſchrieben
wird, ſo kan dieſelbe folgender geſtalt in
der kleinſten Sorte ausgedruͤcket werden.
Manreducirt erſtlich die groͤſte Sorte auf
die naͤchſtfolgende kleinere Sorte, und thut
dazu die Stuͤcke von dieſer Sorte, welche vor-
kommen. Dieſe Summ verwandelt man
gleichergeſtalt in die folgende kleinere Sorte
und thut wiederum hinzu, was von derſel-
ben Sorte vorhanden iſt. Und dieſeOpera-
tionwiederholet man ſo oft, bis man auf
die kleinſte verlangte Sorte kommt.

Der Grund dieſer Operation iſt von ſich
ſelbſt ſo klar, daß kein Beweiß vonnoͤthen iſt.
Wir
[12] Wir wollen derohalben um den Gebrauch und
Nutzen derſelben deutlich vor die Augen zu legen,
einige hieher gehoͤrige Exempel anfuͤhren.

4.)

Wann kleinere Sorten in groͤſſere
verwandelt werden ſollen, ſo muß man erſt-
lich ſehen, wieviel Stuͤcke von der kleineren
Sorte ein Stuͤck der groͤſſeren Sorte aus-
machen, und mit dieſer Zahl alsdamt die ge-
g bene Anzahl der kleineren Sortedividiren:
ſo wird dieQuotientdie geſuchte Anzahl der
groͤſſeren Sorte anzeigen.

Weilen die groͤſſeren Sorten in kleinere ver-
wandelt werden vermittelſt der Multiplication,
in dem man die groͤſſere Sorte multiplicirt mit
derjenigen Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤcke
der kleineren Sorte auf ein Stuͤck der groͤſſeren
gehen: ſo iſt klar, daß wann man hinwiederum
die kleineren Sorten in groͤſſere verwandeln will,
man ſich dazu der Diviſion bedienen muͤſſe, und
folglich die gegebene Anzahl Stuͤck der kleineren
Sorte dividiren durch diejenige Zahl, welche
anzeigt wieviel Stuͤcke von der kleineren Sorte
ein Stuͤck der groͤſſeren in ſich enthaͤlt. Der
Grund hievon kan am deutlichſten durch ein
Exempel erklaͤret werden. Es ſeyen alſo 1500
Copeken gegeben, und wird verlanget zu wiſſen,
wieviel dieſelben Rubl ausmachen. Da nun 100
Copeken einen Rubel machen, ſo betragen 1500
Copeken ſo viel Rubel, ſo viel mal 100 Copeken
in 1500 Copeken enthalten ſind: dieſe Zahl wird
alſo gefunden, wann man 1500 durch 100 di-
vidirt; und der Quotient, nehmlich 15 gibt die
verlangte Anzahl Rubl. Die Probe von dieſer
Operation beruhet auf dem zweyten Satz; dann
wann wir ſuchen, wieviel Copeken 15 Rubl.
ausmachen, ſo finden wir 1500 Copeken, ſo
daß alſo 1500 Copeken ſo viel ſind als 15 Rubl.
Wann man alſo wiſſen will, wieviel Rubl die
vorgegebenen 1500 Copeken ausmachen, ſo wird
eine Zahl geſucht, welche wann ſie mit 100 mul-
tiplicirt wird im Product 1500 herauskommen;
dieſe
[23] dieſe Zahl wird demnach gefunden durch die Di-
viſion gefunden, wann man 1500 fuͤr den Divi-
dendum und 100 fuͤr den Diviſorem annimmt.
Eine gleiche Beſchaffenheit hat es auch mit allen
anderen Arten von verſchiedenen Sorten; wes-
wegen zu weiterer Ausfuͤhrung dieſer Regel nur
noͤthig iſt einige Exempel beyzufuͤgen.

5.)

Wann eineQuantitaͤt in vielerley
Sorten beſchrieben iſt, ſo koͤnnen immer die
kleineren Sorten auf groͤſſere vermittelſt der
Diviſiongebracht, und nach Belieben die
gantzeQuantitaͤt unter den Nahmen der groͤ-
ſten Sorte gebracht werden. Und wann
man die obige in 3ten Satz gegebene Regel
mit
[28]mit zu Huͤlfe nimmt, ſo kan man eine in
vielerley Sorten ausgedruͤckteQuantitaͤt auf
den Nahmen einer jeglichen beliebigen mitt-
leren Sorten bringen, in dem man die groͤſ-
ſeren durch dieMultiplication,die kleinern
aber durch dieDiviſiondarein verwechſelt.

Jm vorigen Satze iſt gelehret worden, wie
eine jegliche kleinere Sorte in eine groͤſſere ver-
wandelt werden ſoll; wann derohalben vielerley
Sorten vorhanden ſind, welche alle unter den
Nahmen der groͤſten Sorte gebracht werden ſol-
len, ſo faͤngt man die Operation von der klein-
ſten Sorte an, und bringt dieſelbe nach der vori-
gen Regel durch die Diviſion auf die naͤchſtfol-
gende groͤſſere Sorte. Hiezu thut man ferner
die Stuͤcke, welche von dieſer groͤſſeren Sorte
wuͤrcklich vorhanden ſind: und reducirt dieſe
Summ auf gleiche Art in die naͤchſtfolgende groͤſ-
ſere Sorte, und thut hinzu wiederum, was von
dieſer Sorte vorhanden iſt. Solcher geſtalt
faͤhrt man alſo fort bis man auf diejenige groͤſte
Sorte kommt, auf welche die gantze vorgelegte
Quantitaͤt gebracht werden ſoll. Hiebey iſt nun
leicht zu erachten, da alle dieſe Operationen durch
die Diviſion geſchehen muͤſſen, daß man immer
auf groͤſſere Bruͤche kommt; dann wann einmal
Bruͤche vorkommen, ſo werden dieſelben durch
die folgenden Diviſionen immer vermehret, oder
mehr zuſammengeſetzt, wie aus folgenden Exem-
peln zu erſehen.

6.)

EineQuantitaͤt wird auf gewoͤhnliche
Art in verſchiedenen Sorten ausgedruͤckt,
wann erſtlich von keiner kleineren Sorte ſo
viel oder mehr Stuͤcke vorkommen, als ein
Stuͤck von der naͤchſtfolgenden groͤſſeren
Sorte ausmachen. Zweytens wird auch
erfordert, daß die Anzahl von einer jegli-
chen Sorte eine gantze Zahl ſey, nur die
kleinſte Sorte ausgenommen, bey welcher
Brüche vorkommen koͤnnen.

Die vielerley Sorten von Muͤntzen, Gewicht,
und Maaß ſind nicht nur aus bloſſer Gewohnheit
angenommen und in Gebrauch gebracht worden,
ſondern die Bequemlichkeit im Zehlen und Rech-
nen ſcheinet inſonderheit den Alten hiezu Gelegen-
heit gegeben zu haben. Allem Anſehen nach iſt
der Endzweck, welchen man bey Einfuͤhrung ſo
vielerley Sorten gehabt haben mag, zweyfach
geweſen: erſtlich und fuͤrnehmlich im Zehlen und
Rechnen ſo viel als moͤglich die Bruͤche zu ver-
meiden; und zweytens um allzugroſſer Zahlen
uͤberhoben zu ſeyn: welches beydes bey dem ge-
meinen Mann, ſo im Rechnen nicht geuͤbt iſt,
kein geringer Vortheil iſt. Zu Vermeidung der
C 3Bruͤche
[38] Bruͤche ſind alſo die kleineren Sorten erdacht
und in Gebrauch gebracht worden: dann wann
man ſich nnr bey einer jeglichen Ausmeſſung der
groͤſſeren Sorten bedienen wollte, ſo wuͤrde man
ſo oft auf Bruͤche gerathen, als weniger als ein
gantzes Stuͤck von derſelben Sorte vorkommt.
Als wann man allhier zu Berechnung des Gelds
keine andere Sorte oder keinen andern Nahmen
als Rubl haͤtte, ſo wuͤrden wenig Rechnungen
ohne Bruͤche vollfuͤhret werden koͤnnen. Die
Bruͤche nun zu vermeiden, ſind die kleineren
Sorten als Griwen, Altin, Copeken, De-
nuſchken und Poluſchken ſehr dienlich, in dem
man dadurch, ſo oft kein gantzer Rubl vorkommt,
den Werth davon in dieſen kleineren Sorten ge-
meiniglich ohne Bruͤche anzeigen kan. Kan aber
ſolches nicht gaͤntzlich ohne Bruͤche geſchehen, ſo
gewinnt man dadurch doch ſo viel, daß der Bruch
nur zur kleinſten Sorte kommt, und folglich aus
weit kleineren Zahlen beſteht. Uber das wird
auch auf einen ſolchen Bruch, welcher nur
Theile von Poluſchken als der kleinſten Sorte
enthaͤlt, im Rechnen oͤffters gar nicht geſehen,
in Auszahlung des Gelds aber gantz und gar nicht
in Acht genommen. Als wann jemand \frac{5}{24} Rubl
zu fordern haͤtte, ſo koͤnnte dieſer Bruch einem der
im Rechnen ungeuͤbt iſt Schwierigkeiten verur-
ſachen; wan aber derſelbe in kleineren Sorten
ausgedruͤckt wird, ſo kommen 2 Griwen, 1 De-
nuſke, 1⅓ Poluſchken, welchen Werth einjeder
leicht
[39] leicht einſehen kan. Dann obgleich noch ein
Drittel Poluſchken vorkommt, ſo wird ſolcher
niemand groſſe Schwie igkeiten verurſachen. Da
nun die kleineren Sorten zu Vermeidung der
Bruͤche eingefuͤhret ſind, ſo koͤnnte man auf die
Gedancken gerathen, als wann es bequemer
ſeyn wuͤrde, wann man ſich nur allein der klein-
ſten Sorten bey einer jeglichen Rechnung bedie-
nen ſollte, in dem man ſolcher geſtalt ſelten in
Bruͤche verfallen wuͤrde, und wann auch dieſes
geſchaͤhe, dieſelben ohne groſſe Gefahr verwerfen
koͤnnte. Allein hiebey iſt zu bedencken, daß man
in Ausdruͤckung groſſer Summen auf ſehr groſſe
Zahlen kommen wuͤrde, welche zu uͤberſehen dem
gemeinen Mann nicht weniger ſchwehr fallen
wuͤrde. Als wann die Rede waͤre von 573648
Poluſchken, ſo doͤrfte dieſe Summ zu begreiffen
manchem nicht wenig Schwierigkeiten erwecken,
wann man aber anſtatt derſelben ſagt 1434
Rubl und 12 Copeken, ſo wird ſich davon ein-
jeder leicht einen deutlichen Begriff zu machen
wiſſen.

Da nun bey den meiſten Rechnungen von
Muͤntz, Gewicht und Maaß die verſchiedenen
Sorten zu Vermeidung ſo wohl der Bruͤche als
allzugroſſer Zahlen eingefuͤhret worden, ſo iſt
leicht zu erachten, wie man ſich dieſem Endzweck
gemaͤß der verſchiedenen Sorten bedienen muͤſſen.
Fuͤr das erſte muß man ſich nehmlich huͤten, daß
von keiner groͤſſeren Sorte Bruͤche in die Rech-
C 4nung
[40] nung gebracht werden: ſondern wann ſolches ge-
ſchieht, muß man die Bruͤche auf die folgenden
kleineren Sorten reduciren, bis endlich die Bruͤ-
che entweder gantz und gar verſchwinden, oder
nur bey der kleinſten Sorte uͤbrig bleiben. De-
rohalben wann eine Quantitaͤt dieſem Endzweck
gemaͤß, oder wie die Gewohnheit erfordert, aus-
gedruͤckt werden ſoll, ſo muͤſſen von allen Sorten
gantze Zahlen vorkommen, nur die kleinſte Sorte
ausgenommen, in welche die Bruͤche, wann
ſolche nicht gaͤntzlich vermeidet werden koͤnnen,
gebracht werden muͤſſen. Hernach, damit man
die allzugroſſen Zahlen gleichfals vermeide, ſo
muͤſſen von keiner kleineren Sorte ſo viel oder
mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck von
der groͤſſeren Sorte austragen: wann derohal-
ben ſolches geſchieht, ſo iſt dienlich, daß man
von der kleineren Sorte ſo viel Stuͤcke wegnehme,
als ein Stuͤck von der groͤſſeren Sorte ausma-
chen, und anſtatt derſelben ein Stuͤck zur groͤſſe-
ren Sorte hinzuſetze. Als anſtatt 11 Pfund 1[0]
Loth und 4 Solotnick, weilen 3 Solotnick ein
Loth ausmachen, iſt deutlicher wann man ſagt
11 Pfund 16 Loth und 1 Solotnick. Dieſes iſt
nun von aller Gattung Maaſſen, welche in
vielerley Sorten abgetheilt zu werden pflegen, zu
verſtehen, und muß man immer trachten die
Rechnungen auf ſolche Art einzurichten: als wel-
che Art theils deutlicher in die Augen faͤllt,
theils der Gewohnheit gemaͤß iſt. Wann man
dero-
[41] derohalben in der Rechnung auf eine Ausdruͤckung
gekommen, welche nicht nach dieſen Regeln be-
ſchaffen iſt, ſo muß man ſich die Muͤhe geben
ſolche in die gewoͤhnliche Form zu verwandeln.
Zu dieſer Verwandlung gibt uns die Reduction
die noͤthigen Regeln an die Hand, als welche
lehret, alle auf nicht gebraͤuchliche Art ausge-
druͤckte Quantitaͤten ſolcher geſtalt nach den ver-
ſchiedenen Sorten ausdruͤcken, daß von keiner
Sorte ſo viel oder mehr Stuͤcke vorkommen, als
ein Stuͤck der naͤchſt groͤſſeren Sorte austragen,
und auch nirgend, ausgenommen bey der kleinſten
Sorte, Bruͤche entſpringen. Ob aber eine vor-
gegebene Quantitaͤt ſolcher Reduction beduͤrfe oder
nicht, kan man leicht erkennen, wann man ſieht
ob die Ausdruͤckung mit den beyden gegebenen
Regeln uͤbereinkommt. Und nach dieſen zweyen
Regeln, welche beobachtet werden muͤſſen, be-
kommt die Reduction auch zwey Theil; davon
der erſtere lehret, wann von einer kleineren Sorte
mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck von der
naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte austragen, wie
eine ſolche Ausdruͤckung in die gehoͤrige Regel-
maͤßige Form gebracht werden ſolle. Jn dem
anderen Theil aber muß gewieſen werden, wann
bey groͤſſeren Sorten Bruͤche vorkommen, wie
dieſelben gehoben und auf die kleineren Sorten
gebracht werden ſollen, damit die vorgegebene
Quantitaͤt auf die gebraͤuchliche Art beſchrieben
werde.

7.)

Wann von einer kleineren Sorte
mehr Stuͤcke vorkommen, als ein Stuͤck
der naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte austra-
gen, ſodividire man diejenige Zahl der von
der kleinern Sorte vorhandenen Stuͤcken
durch die Zahl welche anzeigt, wieviel
Stuͤcke dieſer Sorte in einem Stuͤcke der
groͤſſeren Sorte enthalten ſind: ſo wird als-
dann derQuotusin gantzen Zahlen die An-
zahl der Stuͤcke der groͤſſeren Sorte anzei-
gen, der Reſt aber ſo in derDiviſionuͤber-
bleibt, bedeutet noch Stuͤcke von der klei-
nern Sorte.

Sind von der kleineren Sorte mehr Stuͤcke
vorhanden, als in einem Stuͤcke der groͤſſeren
Sorte enthalten ſind, ſo werden in derſelben klei-
nern Sorte ein oder mehr Stuͤcke von der groͤſ-
ſeren Sorte wuͤrcklich vorhanden ſeyn, welche
um die Ausdruͤckung den gegebenen Regeln ge-
maͤß einzurichten, daraus gezogen werden muͤſſen.
Dieſes kan nun fuͤr das erſte am natuͤrlichſten
durch die Subtraction geſchehen, in dem man von
der vorhandenen Anzahl Stuͤcke der kleinern
Sorte ſo viel Stuͤcke abnimmt als ein Stuͤck der
groͤſſeren Sorte ausmachen, und dafuͤr ein
Stuͤck zu der groͤſſern Sorte ſetzt. Bleiben,
nach dem dieſes geſchehen, noch mehr Stuͤcke
von der kleinern Sorte uͤber, als ein Stuͤck der
groͤſſern ausmachen, ſo ſubtrahirt man nochmahls
eben ſo viel Stuͤck als in der groͤſſern Sorte ent-
halten,
[43] halten, und ſchreibt dafuͤr wiederum ein Stuͤck
zur groͤſſeren Sorte. Solche Subtraction conti-
nuirt man ſo lang, bis endlich weniger Stuͤcke
von der kleinern Sorte uͤbrig bleiben, als ein
Stuͤck der groͤſſern Sorte austragen; und fuͤr
eine jegliche Subtraction ſetzt man je ein Stuͤck zu
der groͤſſern Sorte. Als wann dieſes Gewicht
vorkommen ſollte 5 Loth 16 Solotnick, wo mehr
Solotnick vorhanden ſind als ein Loth austragen;
ſo ſubtrahirt man je drey Solotnick, ſo viel
nehmlich ein Loth ausmachen, und ſo oft man 3
Solotnick ſubtrahirt, ſo oft ſchreibt man 1 Loth
zu den Lothen, bis endlich weniger als drey So-
lotnick zuruͤck bleiben: wie aus beyſtehender Ope-
ration zu erſehen.

Woraus erhellet, daß das vorgegebene Gewicht
von 5 Loth, 16 Solotnick nach der gewoͤhnlichen
Art zu ſchreiben, 10 Loth 1 Solotnick austrage.

Was aber auf ſolche Art durch die viel mahl
wiederholte Subtraction geſchieht, daſſelbe kan
kuͤrtzer und auf ein mahl durch die Diviſion be-
werckſtelliget werden, in dem die Diviſion nichts
anders iſt als eine etliche mahl wiederholte Sub-
traction; und derohalben kan dieſe Reduction fuͤg-
licher vermittelſt der Diviſion angeſtellet werden,
nach Anweiſung der gegebenen Regel; wovon
alſo der Grund hieraus zugleich erhellet. Nehm-
lich in dem gegebenen Exempel, wann ich die 16
Solotnick durch 3 dividire, ſo weißt mir der
Quotus 5, wieviel mahl 3 in 16 enthalten ſeyen
oder wieviel mahl man 3 von 16 abziehen koͤnne,
der Reſt aber 1 zeiget an, wieviel noch zuruͤck
bleibt wann man 3 fuͤnf mahl abgezogen. Da man
nun zu den Lothen ſo viel Loth addiren muß als oft
man 3 ſubtrahirt hat, ſo weißt der Quotus 5 ſogleich,
wieviel Loth in den Solotnicken enthalten und fol-
glich zu den Lothen geſchlagen werden muͤſſen, der
Reſt aber 1, weiſet daß noch 1 Solotnick zuruͤck
bleibt, und unter dieſem Nahmen bleiben muͤſſe.
Nach dieſer Regel wird alſo das vorgegebene Ge-
wicht 5 Loth, 16 Solotnick wie folget reducirt werden
wie nach der vorigen Operation.

Wann demnach von der kleinern Sorte mehr
Stuͤcke vorhanden ſind, als 1 Stuͤck der groͤſſeren
ausmachen, ſo muß man die vorgelegte Anzahl
Stuͤck der kleinern Sorte dividiren durch diejenige
Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤck von der klei-
nern Sorte ein Stuͤck der groͤſſern ausmachen;
wann dieſe Diviſion geſchehen, ſo muß man ſo viel
Stuͤck als der Quotient anzeigt zur groͤſſeren
Sorten addiren, von der kleinern Sorte aber
bleiben ſo viel Stuͤck zuruͤck, als der Reſt aus-
weiſet. Nach dieſer Regel ſind nun nachfolgende
Exempel ausgerechnet worden.

8.)

Wann von einer groͤſſeren Sorte
eine Bruch vorkommt, ſo kan der Werth
deſſelben folgender geſtalt in den kleineren
Sorten ausgedruͤckt werden. Manmulti-
plicirt nehmlich den Zehler deſſelben Bruchs
mit derjenigen Zahl, welche anzeigt, wie-
viel Stuͤcke von der naͤchſtfolgenden kleine-
ren Sorte in einem der groͤſſeren Sorte ent-
halten ſind, unddividirt dieſesProductdurch
den Nenner des Bruchs; ſo weiſet der voͤl-
ligeQuotusden Werth des Bruchs in der
kleinern Sorte, welcher folglich zu den
Stuͤcken der kleinern Sorte, wann derglei-
chen vorhanden,addirt werden muß.
Solte bey dieſer kleineren Sorte noch ein
Bruch vorkommen, ſo wird ſolcher in die
naͤchſtfolgende kleinere Sorte auf gleiche
Art gebracht, bis endlich alle Sorten die
kleinſte ausgenommen von Bruͤchen voͤllig
befreyet werden.

Eine gegebene Anzahl Stuͤcke von einer
groͤſſeren Sorte wird in eine kleinere Sorte ver-
D 4wandelt,
[56] wandelt, wann man dieſelbe Anzahl multiplicirt
mit derjenigen Zahl, welche anzeigt, wieviel
Stuͤck von der kleineren Sorte ein Stuͤck der
groͤſſeren in ſich enthaͤlt, wie wir oben gewieſen
haben. Da nun dieſe Regel allgemein iſt, ſo
wird auch eine gebrochene Anzahl Stuͤck von der
groͤſſeren Sorte in die kleinere verwandelt, wann
man denſelben Bruch durch den beſchriebenen
Multiplicatorem multiplicirt. Ein Bruch wird
aber durch eine jegliche Zahl multipiicirt, wann
man den Zehler deſſelben damit multiplicirt; und
deswegen muß man den Zehler des Bruchs mit
dem gemeldten Multiplicatore multipliciren; den
Nenner aber unveraͤndert laſſen. Jſt dieſes nun
geſchehen, ſo weiſet der herausgekommene Bruch
den Werth des vorgegebenen Bruchs in der klei-
neren Sorte. Jſt aber ferner der Zehler dieſes
gefundenen Bruchs groͤſſer als der Nenner, ſo
muß man den gefundenen Zehler durch den Nen-
ner dividiren, da dann der voͤllige Quotient den
Werth des Bruchs in der verlangten kleinern
Sorte anzeigt: und dieſes iſt eben diejenige
Operation, welche im Satze iſt vorgeſchrieben
worden. Auf dieſe Art wird nun ein Bruch aus
der groͤſſeren Sorte gehoben, und deſſelben
Werth in die folgende kleinere Sorte gebracht;
die gantzen Stuͤcke aber, welche bey der groͤſſe-
ren Sorte auſſer dem Bruche vorhanden gewe-
ſen, bleiben bey derſelben unveraͤndert. Und
deswegen wann der Bruch, welcher bey der
groͤſſern
[57] groͤſſern Sorte vorkommt, groͤſſer iſt als ein gan-
tzes, ſo muͤſſen vorhero daraus die gantzen gezo-
gen, und nur der uͤbrige Bruch, welcher kleiner
iſt als ein gantzes, in die folgende kleinere Sorte
verwandelt werden. Dieſe Behuthſamkeit er-
fordert die erſte Regel, krafft welcher bey einer
jeglichen Ausdruͤckung je in den groͤſſeren Sorten
ſo viel als durch gantze Zahlen geſchehen kan,
beſchrieben werden muß. Derowegen wann man
auch gantze Stuͤcke aus einer groͤſſeren Sorte
nehmen und in die kleineren verwandeln wollte,
ſo wuͤrde man ſich nur die Arbeit verdoppeln,
und nachgehends ſolche nach dem vorigen Satz
wiederum auf die groͤſſeren Sorten reduciren
muͤſſen.

Wann auf ſolche Weiſe der Werth des
Bruchs bey der groͤſſern Sorte auf die folgende
kleinere Sorte gebracht worden, ſo muß derſelbe
zu demjenigen was von dieſer Sorte ſchon allbe-
reit vorhanden iſt addirt werden: findt ſich als-
dann bey dieſer kleinern Sorte noch ein Bruch,
ſo muß derſelbe auf eben dieſe Art noch weiter
auf kleinere Sorten gebracht werden, bis man
endlich auf die allerkleinſte Sorte kommt, in
welcher Bruͤche geduldet werden. Hieraus er-
hellet nun, wann bey mehr als einer Sorte Bruͤ-
che vorkommen, wie dieſelben alle gehoben wer-
den muͤſſen vermittelſt der gegebenen Regel:
welcher man ſich dergeſtalt bedienen muß, daß
man immer bey der groͤſten Sorte den Anfang
D 5mache:
[58] mache: da im Gegentheil bey der vorigen Regel
der Anfang immer bey der kleinſten Sorte ge-
macht werden mußte. Durch dieſe Operation
wird alſo eine vorgegebene aus vielerley Sorten
beſtehende Quantitaͤt von den Bruͤchen entweder
gaͤntzlich befreyet, oder doch wo ein Bruch noch
uͤberbleibt, auf die kleinſte Sorte gebracht.
Wann dieſes geſchehen, ſo muß man allererſt
zuſehen, ob die gefundene Ausdruͤckung auch der
vorigen. Regel gemaͤß ſey oder nicht. Dann
wann ſich noch von einer kleinern Sorte ſo viel
oder mehr Stuͤck befinden, als ein Stuͤck der
groͤſſern Sorte ausmachen, ſo muß man zu voͤl-
liger Reduction noch die vorige Regel zu Huͤlfe
nehmen.

Dieſes alles deutlicher zu erklaͤren, ſind
nachfolgende Exempel beygefuͤget worden.

1.

VErſchiedeneQuantitaͤten, welche in
vielerley Sorten beſtehen, werden
dergeſtalt zuſammenaddirt, daß man immer
einerley Sorten zuſammen nimmt und alle
Stuͤcke ſo davon vorhandenaddirt. Wann
nun dieſeOperationbey allen vorkommenden
Sorten angeſtellet worden, ſo erhaͤlt man
die geſuchte Summ von allen vorgegebenen
Quantitaͤten.

Jn der Addition muͤſſen immer ſolche Zah-
len zuſammen addirt werden, welche ſich auf ei-
nerley Unitaͤten beziehen: und dieſes iſt eben die-
jenige Regel, welche bey der Addition der unbe-
nannten Zahlen im erſten Theil iſt gegeben wor-
den: krafft welcher erſtlich die Unitaͤten und
dann die Decades, hernach die Centenarii, Mil-
lenarii und ſo fort addirt werden muͤſſen. Dieſe
Regel erſtreckt ſich nun gleichfals auf alle ver-
ſchiedene Sorten und Benennungen, welche zu
addiren vorkommen koͤnnen, und muͤſſen nach
derſelben immer einerley Sorten zuſammen addirt
werden.
[62] werden. Als wann verſchiedene Summen Gel-
des, welche gewoͤhnlicher maſſen in Rublen
Griwen und Copeken ausgedruͤckt ſind, vorgege-
ben werden, ſo addirt man insbeſondere die Co-
peken, dann die Griwen und endlich die Rublen,
und erhaͤlt ſolcher geſtalt die wahre Summ.
Eine jegliche dieſer Additionen geſchieht nun gaͤntz-
lich wie oben bey der Addition von unbenannten
Zahlen gelehret worden: und werden die Zahlen
der Stuͤcke, ſo von einerley Sorten vorkommen
nicht anderſt als unbenannte Zahlen addirt.
Dann gleichwie in unbenannten Zahlen 12 und
5 addirt 17 ausmachen, alſo machen auch 12
Copeken und 5 Copeken zuſammen 17 Copeken:
ingleichem 12 Loth und 5 Loth zuſammen 17
Loth, und ſo fort, was auch immer fuͤr Sorten
und Benennungen vorkommen, ſo machen alle-
zeit 12 Stuͤck und 5 Stuͤck von einerley Sorte
zuſammen 17 Stuͤck von eben derſelben Sorte.
Verſchiedene Sorten koͤnnen aber nicht anderſt
addirt werden, als daß man dieſelben nach ein
ander ſchreibt: als wann gefragt wird, wieviel
6 Pud und 15 Pfund und 20 Loth zuſammen
machen, ſo kan nicht beſſer geantwortet werden, als
daß die Summ ſey 6 Pud, 15 Pfund, 20 Loth.

Es koͤnnte zwar gleichwohl in ſolchen Faͤllen
eine ordentliche Addition Statt finden, wann
man nach der Reſolution die Pud und Pfund in
Loth verwandeln und ſolche wuͤrcklich zu den 20
Lothen addiren wollte. Allein, da man immer
trachtet
[63] trachtet ſolche aus vielerley Sorten beſtehende
Ausdruͤckungen dergeſtalt einzurichten, daß von
einer jeden kleineren Sorten weniger Stuͤcke vor-
kommen, als ein Stuͤck der naͤchſtfolgenden groͤſſe-
ren Sorte ausmachen, ſo wuͤrde man durch eine
ſolche Reſolution die gefundene Summ wiederum
reduciren und in die vorige Form bringen muͤſſen.

Zu dieſem Ende iſt alſo die angezeigte Ma-
nier die verſchiedenen Sorten insbeſondere zu ad-
diren am bequemſten, als wodurch die Summ
wiederum in eben denſelben Sorten heraus-
kommt, in welchen dieſelbe nach der angenom-
menen Regel ausgedruͤckt werden ſoll. Man
ſchreibt deswegen die gegebenen Quantitaͤten, wel-
che addirt werden ſollen, ſolcher geſtalt unter ein-
ander, daß immer die gleichen Sorten oder Be-
nennungen unter einander zu ſtehen kommen,
und addirt von einer jeglichen Sorte alle Zahlen,
welche davon vorkommen und ſchreibt die Summ
unter denſelbigen Nahmen. Als wann nachfol-
gende Gewichte 5 ℔, 7 Loth, 1 Quintl.
item 9 ℔, 15 Loth, und 6 Loth, 2 Quintl.
zuſammen addirt werden ſollen, ſo werden dieſelben
wie folgt unter einander geſchrieben und addirt

Nehmlich es werden erſtlich die Pfund un-
ter einander. Dann gleichfals die Loth und
Quintl. unter einander geſchrieben: und weilen
bey dem zweyten Gewicht keine Quintl. vorkom-
men, pflegt die ledige Stelle mit einem ſolchen
Quer-Strichlein — angefuͤllt zu werden. Hernach
wird unter die ſolcher geſtalt geſchriebenen Quan-
titaͤten, welche addirt werden ſollen, eine Linie ge-
zogen, und alle verſchiedenen Sorten insbeſon-
dere addirt und die gefundenen Summen unter
eben dieſelben Sorten geſchrieben. Nehmlich
1 Quintl. und 2 Quintl. machen 3 Quintl.
dann 7 Loth und 15 Loth und 6 Loth machen
addirt 28 Loth und endlich 5 ℔ und 9 ℔
machen 14 ℔: ſo daß die gefundene Summ
ſeyn wird 14 ℔, 28 Loth, 3 Quintl. Daß
dieſes aber die wahre Summ ſey, daran iſt im
geringſten nicht zu zweifeln, weilen auf dieſe
Art von jeglicher Sorte die Summ richtig ge-
nommen worden. Gleicher geſtalt ſind auch fol-
gende Exempel addirt worden

Dieſe Exempel ſind ſo beſchaffen, daß die
gefundene Summ ſchon den vorgeſchriebenen Re-
geln gemaͤß iſt, und keiner weitern Reduction
bedarf, in dem von keiner kleinern Sorte ſo viel
oder mehr Stuͤcke herauskommen, als ein Stuͤck
der naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte ausmachen.
Wann aber dieſes nicht geſchieht, ſondern von
den kleineren Sorten ſo viel oder mehr Stuͤcke
in der Addition gefunden werden, als ein Stuͤck
der naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte ausmachen,
ſo kan die auf ſolche Art gefundene Summ her-
nach nach den Regeln der Reduction in die ge-
hoͤrige Form gebracht werden. Wie aus dieſem
Exempel zu erſehen.

Dieſes iſt zwar ſchon die wahre Summ der
vorgegebenen 4 Gewichte: weilen aber in der-
ſelben von allen kleinern Sorten mehr Stuͤcke
vorkommen als ein Stuͤck der naͤchſtfolgenden
groͤſſeren Sorte ausmachen, ſo muß noch die
vorher beſchriebene Reduction angeſtellt werden:
wodurch die Summ in gehoͤriger Form alſo aus-
gedruͤckt werden wird: Summa 153 ℔, 7 ℥,
3 ℨ, 1 ℈, 7 gr.

Dieſe Reduction kan aber ſogleich der Ad-
dition ſelbſt ſo einverleibet werden, daß man
gleich die Summ in gehoͤriger Form ausgedruͤckt
findet, wie im folgenden Satz gelehrt werden
wird.

2.)

Wann nun dieAdditionnach der
vorher beſchriebenen Regel angeſtellet wird,
ſo muß man den Anfang zuaddiren von der
kleinſten Sorte machen, und von derſelben
zu den groͤſſeren Sorten fortſchreiten. Kom-
men nun durch dieAdditionvon einer kleine-
ren Sorte weniger Stuͤcke heraus, als ein
Stuͤck der naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte
ausmachen, ſo ſchreibt man ſogleich die ge-
fundene Summ unter die Linie auf ihre ge-
hoͤrige Stelle. Kommen aber ſo viel oder
mehr Stuͤcke heraus als ein Stuͤck von der
naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte ausmachen,
ſo muß mana partausrechnen nach Anlei-
tung des vorigenCapitels,wieviel Stuͤck
der
[67]der naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte in der
herausgebrachten Summ enthalten ſind,
und ſolche zur folgendenAdditionder groͤſſe-
ren Sorte aufbehalten: die uͤbrige Stuͤcke
von der kleineren Sorte werden nur allein
in die Summ unter denTituldieſer Sorte
geſchrieben. Und auf dieſe Art erhaͤlt man
ſogleich die geſuchte Summ nach den obge-
dachten Regeln ausgedruͤckt.

Nach der vorher gegebenen Regel wird zwar
die verlangte Summ immer richtig gefunden,
allein dieſelbe kommt nicht immer in derjenigen
Form heraus, in welcher man ſolche zu verlan-
gen pflegt. Es geſchieht nehmlich gemeiniglich
daß von den kleineren Sorten mehr Stuͤcke her-
auskommen als ein Stuͤck von der groͤſſeren fol-
genden Sorte ausmachen; welches derjenigen
Regel, nach welcher alle aus vielerley Sorten
beſtehende Quantitaͤten ausgedruͤckt werden ſollen,
zu wieder iſt. Derohalben um dieſer Regel ein
Genuͤgen zu leiſten, muß man entweder die auf
vorher gehende Art gefundene Summ durch die
Reduction in die verlangte Form bringen, oder
die Reduction ſelbſt ſo gleich mit der Additions-
Arbeit verknuͤpfen; davon das letztere mit weit
geringererer Muͤhe geſchehen kan. Zu dieſem
Ende bedienet man ſich alſo der allhier beſchrie-
benen Regel, nach welcher ſogleich bey Addirung
einer jeglichen kleineren Sorte die noͤthige Redu-
ction zugleich angeſtellet wird. Da nun mit der
E 2Redu-
[68]Reduction immer von den kleinſten Sorten der
Anfang gemacht werden muß, ſo muß auch in
der Addition von den kleinſten Sorten der An-
fang gemacht werden, damit man immer, ſo
oft die Reduction noͤthig gefunden wird dieſelbe
ſo fort anbringen koͤnnen. Dieſe gedoppelte Ope-
ration geſchiehet nun folgender geſtalt: Man ad-
dirt zuſammen alle Stuͤcke ſo von der kleinſten
Sorte vorhanden ſind, und wann dieſe Summ
davon kleiner iſt, als ein Stuͤck von der naͤchſt-
folgenden groͤſſeren Sorte, ſo ſchreibet man die-
ſelbe, weilen keine Reduction von noͤthen in die
Summ. Hat man aber ſo viel oder mehr Stuͤ-
cke bekommen, als ein Stuͤck von der naͤchſt-
folgenden groͤſſeren Sorte ausmachen, ſo ſtellt
man ſogleich die Reduction an, und ſuchet, wie-
viel gantze Stuͤcke von der folgenden groͤſſeren
Sorte darinn enthalten ſind, welche zu folgender
Addition der groͤſſeren Sorte aufbehalten werden
muͤſſen; die uͤbrigen Stuͤcke aber von der kleine-
ren Sorte werden nur unter dieſem Nahmen in
die Summ geſchrieben. Wir haben aber ſchon
oben gewieſen, wie dieſe Reduction angeſtellet
werden muͤſſe: man dividirt nehmlich die heraus-
gebrachte Summ der kleineren Sorte durch die-
jenige Zahl, welche anzeigt, wieviel Stuͤck von
der kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤſſeren aus-
machen, und ſchreibt nur den in dieſer Diviſion
zuruͤck gebliebenen Reſt in die geſuchte Summ
unter den Nahmen der kleinſten Sorte; den
gefun-
[69] gefundenen Quotienten aber, welcher ſo viel Stuͤcke
der groͤſſeren Sorte anzeigt, addirt man mit
zu den vorgegebenen Stuͤcken von der groͤſſeren
Sorte. Wann nun nach verrichteter Addition
der folgenden groͤſſeren Sorte wiederum eine Re-
duction noͤthig befunden wird, ſo verrichtet man
dieſelbe wiederum auf obbeſchriebene Art, bis
man endlich alle Sorten zuſammen addirt hat,
da man dann die voͤllige verlangte Summ erhaͤlt,
und das noch ſogleich in ſolcher Form, daß man
keiner ferneren Reduction bedarf. Beydes iſt
aber ſchon fuͤr ſich ſo klar, daß kein ferners Be-
weißtum dazu erfordert wird: wie wollen dem-
nach nur zu beſſerer Erlaͤuterung dieſer Regel
einige Exempel anfuͤhren.

6.)

Wann eine aus vielerley Sorten
ausgedruͤckteQuantitaͤt von einer anderen
groͤſſerenQuantitaͤt gleicher Artſubtrahirt wer-
den ſoll, ſoſubtrahirt man eine jegliche Sorte
der
[76]der kleinerenQuantitaͤt von einer jeglichen
gleichen Sorte der groͤſſeren und ſchreibt alle
dieſe Reſte mit ihren gehoͤrigen Nahmen un-
ter die Linie, welche zuſammen den geſuch-
ten Reſt anzeigen werden. Dieſe Regel aber
findet nur ſtatt, wann von einer jeglichen
Sorte in der groͤſſerenQuantitaͤt mehr Stuͤ-
cke vorhanden ſind, als in der kleineren;
dann wo dieſes nicht geſchieht, ſo muß man
ſich in der folgenden Regel Raths erhohlen.

Die Subtraction lehret, wie man eine klei-
nere Quantitaͤt von einer groͤſſeren abziehen, und
dasjenige anzeigen ſoll, welches uͤberbleibt, wann
man die kleinere Quantitaͤt von der groͤſſeren weg
genommen hat. Von dieſer Operation haben wir
ſchon im erſteren Theile die noͤthigen Regeln ge-
geben, wann die zwey vorgelegten Quantitaͤten
ſo wohl gantze als gebrochene und vermiſchte oder
aus gantzen und Bruͤchen zuſammen geſetzte Zah-
len ſind. Da wir aber anjetzo ſolche Quantitaͤten
vorhaben, welche aus verſchiedenen Sorten be-
ſtehen, ſo bleibt zwar das Fundament der Sub-
traction einerley, allein die Application muß auf
dieſen Fall insbeſondere eingerichtet werden.
Wann aber wie wir allhier geſetzt haben, von
allen Sorten in der groͤſſeren Quantitaͤt mehr
Stuͤcke vorhanden ſeyn als in der kleineren, ſo
hat man zur Subtraction keine beſondere Anleitung
noͤthig; ſondern ſubtrahirt nur eine jegliche Sorte
der kleineren Zahl von einer jeden gleichen Sorte
der
[77] der groͤſſeren Zahl, und ſetzt alle dieſe gefundene
Reſte zuſammen, welche den voͤlligen geſuchten
Reſt austragen werden. Dann wann man zum
Exempel 5 Rubl, 36 Copeken abziehen oder weg
nehmen ſoll von 9 Rubl, 84 Copeken; ſo kan
man erſtlich die 36 Copeken von den 84 Copeken
weg nehmen, da dann 48 Copeken uͤberbleiben;
hernach 5 Rubl, von 9 Rubl weg genommen
laſſen 4 Rubl zuruͤck, ſo daß alſo in allem 4
Rubl, 48 Copeken zuruͤck bleiben muͤſſen, wann
man 5 Rubl, 36 Copeken von 9 Rubl, 84
Copeken abzieht. Dieſes iſt nun fuͤr ſich ſo klar,
daß es keines weiteren Beweißtums bedarf; dann
wann die vorgelegten Zahlen aus verſchiedenen
Theilen beſtehen, ſo muͤſſen immer die Theile
von gleichen Nahmen gegen einander gehalten, und
von einander abgezogen werden; eben wie in der
Addition immer Zahlen von einerley Benennung
zuſammen addirt werden. Zur noͤthigen Ubung
haben wir alſo nur nachfolgende Exempel beyge-
fuͤget, welche alle auf unſeren gegenwaͤrtigen
Fall gerichtet ſind; der geſtalt daß in der kleine-
ren Quantitaͤt, welche abgezogen werden ſoll,
von einer jeden Sorte immer weniger Stuͤcke
vorhanden ſind, als von eben der Sorte in der
groͤſſeren Quantitaͤt, von welcher jene abgezogen
werden ſoll.

4.)

Wann in der groͤſſerenQuantitaͤt, von
welcher die kleinere abgezogen werden ſoll,
von einer Sorte weniger Stuͤcke vorhanden
ſind, als von eben der Sorte in der kleine-
renQuantitaͤt, und alſo dieSubtractionnach
der vorigen Regel nicht verrichtet werden
kan; ſo muß man von der naͤchſtfolgenden
groͤſſeren Sorte aus der groͤſſerenQuantitaͤt
ein Stuͤck entlehnen und daſſelbe nach ſeinem
Werth zur kleineren Sorte ſchlagen, da
dann dieSubtractionwird geſchehen koͤnnen.
Hierauf aber muß man, wann zurSubtraction
der groͤſſeren Sorte fortgeſchritten wird,
die Anzahl der Stuͤcke in der groͤſſerenQuan-
titaͤt um eineUnitaͤt kleiner, oder welches
gleich viel iſt die Anzahl in der kleineren
Quantitaͤt um eineUnitaͤt groͤſſer betrachten;
und ſolcher geſtalt dieSubtractionvon der
kleinſten Sorte bis zur groͤſten vollziehen.

Diejenige Quantitaͤt, welche abgezogen
werden ſoll, muß immer kleiner ſeyn, als dieje-
nige von welcher dieſelbe ſubtrahirt werden muß.
Dem ungeachtet aber kan es geſchehen, daß in
der groͤſſeren Quantitaͤt von den kleineren Sorten
weniger Stuͤcke vorhanden ſind, als von eben
denſelben Sorten in der kleineren. Dann die
Groͤſſe einer Quantitaͤt, welche aus vielerley
Sorten beſtehet, beruhet hauptſaͤchlich auf der
Anzahl der Stuͤcke, welche von der groͤſten
Sorte vorhanden ſind, und muß daraus beur-
theilet werden, in dem alle kleinere Sorten ins-
geſammt nicht mehr als ein Stuͤck von der groͤſten
Sorte austragen koͤnnen: wann nehmlich, wie wir
ſetzen dieſe Quantitaͤten nach den obgegebenen Regeln
eingerichtet ſind. Wann derohalben geſchieht,
daß von einer kleineren Sorte eine groͤſſere Zahl
von einer kleineren abgezogen werden ſoll, ſo kan
dieſes nicht unmittelbar geſchehen, ſondern
man muß dazu die folgende groͤſſere Sorte zu
Huͤlfe nehmen, nach der im Satze beſchriebenen
Regel. Dieſe Regel aber beruhet auf eben dem-
jenigen Grund, als die in der gemeinen Subtra-
ction mit gantzen Zahlen vorgeſchriebene Regel,
wann eine groͤſſere Anzahl von Unitaͤten, oder
Decaden, oder Centurien und dergleichen von ei-
ner kleineren abgezogen werden ſoll. Gleichwie
nun in dieſem Falle ein Stuͤck von der naͤchſt
groͤſſeren Sorte genommen und ſeinem Werthe
noch zur kleineren Sorte geſchlagen werden muß,
gleicher
[83] gleichergeſtalt muß man auch in unſerem gegen-
waͤrtigen Falle verfahren; dann die verſchiedenen
Arten als Unitaͤten, Decades, Centuriae, und
ſo fort, ſind ebenfals nichts anders als verſchiedene
Sorten der Quantitaͤten. Derohalben wird ſo
wohl die gegebene Regel mehr erlaͤutert als der
Grund davon deutlich dargethan werden, wann
wir davon ein Exempel anfuͤhren. Wir wollen
demnach ſetzen, man ſoll nach Hollaͤndiſchen
Gelde 125 fl. 15 Stuͤber 13 ₰ von 231 fl.
9 St. 8 ₰ ſubtrahiren, dieſe zwey Summen
werden erſtlich unter einander geſchrieben wie folgt.

Wir fangen demnach die Subtraction von
der kleinſten Sorte, nehmlich den Pfenningen
an; da 13 ₰ abgezogen werden ſollen, oben
aber nur 8 ₰ vorhanden ſind. Weilen nun
dieſes nicht geſchehen kan, ſo nehmen wir von den
9 St. einen Stuͤber weg, und verwechſeln den-
ſelben in Pfenning, welcher folglich 16 ₰
austraͤgt, dieſe 16 ₰ ſchlagen wir zu den 8 ₰,
und bekommen 24 ₰, von welchen wir die
13 ₰ abziehen, da dann 11 ₰ uͤberbleiben
F 2Nun
[84] Nun ſchreiten wir zu den Stuͤbern fort, und
muͤſſen 15 Stuͤber nicht von 9 Stuͤbern, ſon-
dern nur von 8 St. weilen wir ſchon 1 Stuͤber
zu dem ₰ geſchlagen, abziehen, welches wie-
derum nicht geſchehen kan. Derowegen nehmen
wir von den vorhandenen 231 fl. 1 Gulden weg,
welcher 20 Stuͤber betraͤgt, und dieſe thun wir
zu den 8 Stuͤbern, da wir dann 28 Stuͤber be-
kommen, wovon die 15 St. abgezogen 13 St.
zuruͤck laſſen. Wann dies geſchehen, ſo ſubtra-
hiren wir endlich die 125 fl. von 230 fl. wei-
len ſchon 1 fl. in Stuͤber verwechſelt worden,
da dann 105 fl. uͤberbleiben, ſo daß der voͤllige
Reſt ſeyn wird 105 fl. 13 St. 11 ₰. Daß
nun dieſes der wahre Reſt ſey, kan durch die
Addition leicht erwieſen werden, weilen immer
wann man den in der Subtraction gefundenen
Reſt zur kleineren Zahl addirt, die groͤſſere Zahl
heraus kommen muß. Wir wollen demnach dieſe
Probe zu mehrerem Beweißtum hieher ſetzen.

Nach dieſer Operation, welche unmittelbar
in der Natur der Sach gegruͤndet iſt, haben
wir die naͤchſtfolgende Sorte der oberen und
groͤſſeren Quantitaͤt um ein Stuͤck kleiner be-
trachtet, weilen ſchon 1 Stuͤck davon in die kleine-
ren Sorten verwechſelt worden. Weilen aber
in der Subtraction einerley herauskommt ob man
die obere Zahl uͤm eins kleiner oder die untere
um eins groͤſſer macht, wie wir in der Subtra-
ction mit unbenannten Zahlen gewieſen haben,
ſo kan man ſich auch allhier dieſes Vortheils be-
dienen, und die Subtraction folgender geſtalt
anſtellen.

Man ſage alſo: 13 ₰ von 8 ₰ kan
ich nicht abziehen, deswegen nehme ich 1 Stuͤber,
ſo 16 ₰ austraͤgt, dieſe 16 ₰ zu den vor-
handenen 8 ₰ gethan machen 24 ₰, davon
13 ₰ abgezogen bleiben 11 ₰. Weilen nun
1 Stuͤber iſt gel[e]hnet worden, ſo mache ich die
Anzahl der Stuͤber in der unteren Zahl um 1
groͤſſer, welches durch ein Punct angedeutet wer-
den kan, und ſage 16 St. von 9 St. kan ich
nicht abziehen, nehme deswegen dazu 1 fl. und
ſetze ſogleich 1 fl. zu den folgenden 125 fl. in der
F 3un-
[86] unteren Zahl. Dieſer fl. betraͤgt 20 St. welche
mit den 9 St. zuſammen machen 29 St. davon
16 Stuͤber abgezogen, bleiben 13 St. uͤber.
Endlich ſubtrahire ich 126 fl. von 231 fl. ſo blei-
ben 105 fl; und wird alſo der Reſt gefunden
wie vorher.

Wann in ſolchen Faͤllen ein Stuͤck von der
naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte abgenommen,
und in die kleinere Sorte verwechſelt werden
muß, ſo pflegt dieſes zwar im Sinn verrichtet
zu werden, man kan ſich dabey aber einiger
Vortheile bedienen, wodurch oͤfters dieſe Opera-
tion weit leichter gemachet wird. Nehmlich an-
ſtatt, daß man, wie allhier geſchehen iſt, das
Stuͤck von der groͤſſeren Sorte in die kleinere
verwechſelt, und den Betrag davon zu den vor-
handenen Stuͤcken von der kleineren Sorte in
der oberen Quantitaͤt addirt, und alsdann die
Anzahl der Stuͤcke von eben dieſer Sorte in der
unteren Quantitaͤt ſubtrahirt: ſo kan man entwe-
der ſogleich die untere Zahl von dem Betrag des
genommenen Stuͤcks der groͤſſeren Sorte ſubtra-
hiren und den Reſt zur oberen Zahl addiren: oder
man kan auch die obere Zahl von der unteren
Zahl ſubtrahiren, und den Reft nochmalen von
dem Werth des abgenommenen Stuͤckes der
groͤſſeren Sorte ſubtrahiren. Dann durch dieſe
beyden Wege wird einerley gefunden, oͤfters aber
iſt bald dieſer bald jener bequemer um dieſe Sub-
traction bloß allein im Sinne zu verrichten. Jn
welchen
[87] welchen Faͤllen aber der eine oder der andere Weg
einen groͤſſeren Vortheil bringe, wird ein jeder
durch eine geringe Ubung bald ſelbſt einſehen.
Jnzwiſchen koͤnnen wir ſo viel melden, daß wann
die untere Zahl um viel groͤſſer iſt als die obere,
alsdann der erſtere der zweyen gewieſenen Vor-
theile die Operation leichter mache; hingegen aber
der andere Vortheil beſſere Dienſte leiſte, wann
die obere Zahl nur um ſehr wenig kleiner iſt als
die untere. Wir wollen dieſe beyden Wege aber
im folgenden Exempel deutlicher beſchreiben und
den Gebrauch davon anzeigen.

Dieſes Exempel wollen wir aber erſtlich
nach der im Satze beſchriebenen Art berechnen,
damit man die Ubereinſtimmung des natuͤrlichen
Wegs mit den angezeigten Vortheilen deſto deut-
licher einſehe. Jch ſage alſo 18 gr. von 5 gr.
kan ich nicht, lehne alſo einen Serupel, welchen
durch ein Punckt bey den ℈ in der unteren Quan-
titaͤt andeute. Dieſer ℈ betraͤgt 20 gr. welche
mit der 5 gr. zuſammen 25 dr. ausmachen, da-
von 18 gr. abgezogen bleiben 7 gr. zuruͤck, ſo in
den geſuchten Reſt geſchrieben werden. Ferner
F 4ſage
[88] ſage ich 2 ℈ und der durchs Punct angedeutete
℈ machen 3 ℈, welche von den oberen 2 ℈
nicht abgezogen werden koͤnnen, lehne demnach
ein ℨ, welches 3 ℈ ausmacht, und bemercke
dieſe Entlehnung durch ein Punct. Dieſe
Drachma mit den 2 oben vorhandenen Scrupeln
macht 5 ℈ davon die unteren 3 ℈ abgezogen,
bleiben 2 ℈ uͤber. Weiter ſage ich 6 und we-
gen des Puncts 1 ℨ ſind 7 ℨ von 1 ℨ kan
ich nicht, lehne alſo 1 ℥, und ſetze darfuͤr ein
Punct. Dieſe Unze, welche 8 ℨ ausmacht,
mit der 1 ℨ gibt 9 ℨ davon die 7 ℨ abgezogen
bleiben 2 ℨ uͤber. Hernach ſage ich 9 und we-
gen des Puncts 1 ſind 10 ℥ von 8 ℥ kan ich
nicht, lehne alſo 1 ℔ welches durch 1 Punct
bemercke. Dieſes ℔ gibt 12 ℥, welche zu den
8 ℥ gethan 20 ℥ ausmachen, davon die 10 ℥
abgezogen, bleiben 10 ℥ uͤber. Endlich ziehe
ich 97 und 1 das iſt 98 ℔ von 142 ℔ ab, ſo
bleiben 44 ℔ uͤber: und iſt alſo der voͤllige Reſt
gefunden. Nun wollen wir eben dieſes Exempel
durch die angewieſenen Vortheile berechnen.

Nehmlich weilen ich 18 gr. nicht abziehen
kan, ſo lehne ich 1 ℈ der 20 gr. betraͤgt: und
ſage 18 von 20 bleiben 2 dazu 5 gethan kom-
men 7 fuͤr den Reſt nach dem erſteren Vortheil,
oder ich ſage nach dem zweyten Vortheil 5 von
18 bleiben 13, dieſe von 20 abgezogen laſſen
7 gr. fuͤr den Reſt. Zweytens ſage ich 2 und
1 ℈ machen 3 ℈, welchen von den obſtehen-
den 2 ℈ nicht abgezogen werden koͤnnen, lehne
allſo 1 ℨ welche 3 ℈ betraͤgt, und ſage nach
dem erſteren Vortheil 3 ℈ von 1 ℨ oder 3 ℈
bleibt nichts uͤber, dieſes zu den 2 ℈ gethan gibt
2 ℈ fuͤr den Reſt: oder nach dem zweyten Vor-
theil ſage ich die oberen 2 ℈ von den unteren
3 ℈ abgezogen bleibt 1 ℈ uͤber, dieſer von 1 ℨ
oder 3 ℈ abgezogen laͤßt 2 ℈ fuͤr den Reſt.
Drittens ſollen wir 7 ℨ von 1 ℨ abziehen, wel-
ches weilen es nicht geſchehen kan, ſo lehnen wir
1 ℥, die betraͤgt 8 ℨ; und ſagen nach dem
erſteren Weg 7 ℨ von 1 ℥ oder 8 ℨ bleiben
F 51 ℨ
[90] 1 ℨ und 1 ℨ machen 2 ℨ fuͤr den Reſt; oder
nach der anderen Art 1 ℨ von 7 ℨ bleiben 6 ℨ,
dieſe von 1 ℥ oder 8 ℨ abgezogen, bleiben 2 ℨ
fuͤr den Reſt. Viertens ſollen 10 ℥ von 8 ℥
abgezogen werden; da nun dieſes nicht geſchehen
kan, ſo lehnen wir 1 ℔ das gibt 12 ℥, und
ſagen nach dem erſteren Vortheil 10 ℥ von 12 ℥
bleiben 2 ℥ dazu 8 ℥ gethan geben 10 ℥ fuͤr
den Reſt; oder nach dem anderen Vortheil
8 ℥ von 10 ℥ bleiben 2 ℥, dieſe von
1 ℔ oder 12 ℥ abgezogen bleiben 10 ℥
fuͤr den Reſt. Endlich zieht man nach der
gewoͤhnlichen Art 98 ℔ von 142 ℔ ab.
Aus dieſem Exempel kan man nun ſo wohl den
Gebrauch als die Richtigkeit der gewieſenen bey-
den Vortheile zur Gnuͤge erſehen. Es iſt alſo
nichts mehr uͤbrig als dieſe Regeln der Subtra-
ction durch einige Exempel auszuuͤben.

1.

EJne aus vielerley Sorten beſtehende
Quantitaͤt wird durch eine vorgegebene
gantze Zahl folgender geſtaltmultiplicirt:
manmultiplicirt erſtlich die kleinſte Sorte
durch den vorgeſchriebenenMultiplicatorem,
und ſucht wieviel Stuͤcke von der folgenden
groͤſſeren Sorte in demProducteenthalten,
und auch wieviel Stuͤcke von der kleineren
Sorte noch uͤberſchieſſen, welche allein in
dasProductgeſchrieben werden: die Stuͤcke
von der groͤſſeren Sorte aber behaͤlt man
zur folgendenMultiplication.Nehmlich wann
man die folgende groͤſſere Sorte durch den
Multiplicatorem multiplicirt hat, ſoaddirt man
zumProductdie aus der vorigenMultiplication
entſprungenen Stuͤcke von dieſer Sorte,
und ſucht wiederum wieviel gantze Stuͤcke
von der folgenden groͤſſeren Sorte in dieſer
Summ enthalten ſind, welche wiederum
zur
[96]zur folgendenMultiplicationaufbehalten wer-
den, in dasProductaber werden ſo viel Stuͤ-
cke geſchrieben, als nach geſchehenerRedu-
ctionvon dieſer Sorte uͤberſchieſſen: und ſol-
cher geſtalt verfaͤhrt man, bis man zur groͤ-
ſten Sorte komt, welche manmultiplicirt
und dasProductohne weitereReductionhin-
ſchreibt.

Vor allen Dingen iſt zu mercken, daß keine
Mult plication anderſt als durch unbenannte Zah-
len geſchehen kan, und folglich der Multiplicator
allhier eine unbenannte Zahl ſeyn muͤſſe, der
Multiplicandus aber oder die Quantitaͤt, welche
multiplicirt werden ſoll, kan einen Nahmen ha-
ben wie man immer will. Dann da die Multi-
plication aus der Addition entſpringet, und nur
auf eine kuͤrtzere und vortheilhafftere Art die
Summ finden lehret, wann die Quantitaͤten,
welche zuſammen addirt werden ſollen einander
gleich ſind; ſo iſt der Multiplicator allzeit eine
ſolche Zahl, welche anzeigt, wieviel mahl eine
vorgegebene Quantitaͤt hingeſchrieben und addirt
werden ſoll; das iſt der Multiplicator muß eine
unbenannte Zahl ſeyn. Dergleichen Exempel
gehoͤren nehmlich nur in die Multiplication, wann
gefragt wird, wieviel heraus kommt, wann eine
vorgegebene Quantitaͤt, als zum Exempel eine
Summe Geld von 100 Rubl zwey mahl oder
drey mahl oder vier mahl oder ſo viel mahl
als man verlangt genommen wird; das iſt
wann
[97] wann 100 Rubl durch 2 oder durch 3 oder 4
oder durch eine jegliche Zahl multiplicirt werden
ſoll. Woraus erhellet, daß der Multiplicator
keinen beſonderen Nahmen haben koͤnne, ſondern
bloß eine Simple und unbenannte Zahl ſeyn muͤſſe,
welche anzeigt, wieviel mahl die vorgeſchriebene
Quantitaͤt genommen werden ſoll. Alſo kan man
nicht fragen, wieviel heraus komme, wann man
100 Rubl mit 10 Rubl multiplicirt; dann
wann man antworten ſollte, daß 1000 Rubl
herauskaͤmen, ſo wuͤrde dieſes die gehoͤrige
Antwort ſeyn, wann gefragt worden waͤre, wie-
viel 100 Rubl 10 mahl, aber nicht 10 Rubl
mahl genommen ausmachten. Dieſes iſt nun
an ſich ſo klar, daß dieſe Erinnerung nicht wuͤrde
noͤthig geweſen ſeyn, wann ſich nicht ſolche Leute
faͤnden, welche aus einem verkehrten Begriff be-
haupten wollen, daß man wohl benannte Quan-
titaͤten durch benannte multipliciren koͤnne: zu
welcher Meinung denſelben einige Faͤlle in der
Regel de tri moͤgen Anlaß gegeben haben, in
welchem es dem erſten Anſehen nach ſcheinet als
wann wuͤrcklich ſolche Muitiplicationen geſchaͤhen:
allein wann wir zu dieſer Regel kommen, ſo
werden wir gantz deutlich darthun, daß ſolches
nimmer geſchehen koͤnne, ſondern allzeit der Mul-
tiplicator eine unbenannte Zahl bleibe. Was
aber der Multiplicandus auch immer fuͤr einen
Nahmen fuͤhret, ſo wird derſelbe durch den
Multiplicatorem nicht anderſt multiplicirt, als
Gwann
[98] wann derſelbe eine unbenannte Zahl waͤre; dem
Product aber wird wiederum der Nahme des Mul-
tiplicandi beygeleget. Als da 8 mit 3 multipli-
cirt 24 ausmachen, ſo geben auch 8 Rubl mit 3
multiplicirt 24 Rubl, und 8 Pfund mit 3 mul-
tiplicirt 24 Pfund und ſo fort: weswegen zur
Multiplication der benannten Zahlen keine andere
Regeln erfordert werden, als zur Multiplication
der unbenannten Zahlen gegeben worden ſind.
Jnzwiſchen aber, wann der Multiplicandus aus
vielerley Sorten beſtehet, und man verlangt das
Product in ſeiner gehoͤrigen Form, ſo dienet dazu
die im Satze gegebene Regel, welche nicht ſo
wohl fuͤr die Multiplication etwas beſonders in
ſich enthaͤlt, als nur zugleich mit der ordent-
lichen Multiplications Operation die noͤthige Re-
duction verknuͤpfet, damit das Product nach der
gewoͤhnlichen Art eingerichtet herauskomme.
Dieſe unſere Regel dienet aber nur, wann der
Multiplicator eine gantze Zahl iſt: dann wann
derſelbe ein Bruch waͤre, ſo muß man zu einer
ſolchen Multiplication noch die Diviſion zu Huͤlfe
nehmen, weswegen wir allhier nur die Multipli-
cation mit gantzen Zahlen fuͤr uns nehmen, und
die mit Bruͤchen ins folgende Capitel verſparen.
Um alſo eine aus vielevley Sorten beſtehende
Quantitaͤt durch einen vorgeſchriebenen Multipli-
cator zu multipliciren, ſo darf man nur eine jegli-
che Sorte durch den Multiplicatorem insbeſondere
multipliciren; da dann alle dieſe Producte zuſam-
men
[99] men das voͤllige verlangte Product geben werden.
Als wann man dieſes Gewicht 9 Pud, 24 ℔,
15 Loth 8 mahl nehmen oder durch 8 multiplici-
ren ſoll, ſo wird man das verlangte Product fol-
gender geſtalt durch Multiplicirung einer jeden
Sorte mit 8 finden.

Allein da man dergleichen Ausdruͤckungen
in ſolcher Form verlangt, daß vom keiner kleine-
ren Sorte ſo viel oder mehr Stuͤcke vorkommen
als ein Stuͤck von der naͤchſtfolgenden groͤſſeren
Sorte ausmachen; ſo muß bey einem auf dieſe
Art gefundenen Product nach die gehoͤrige Redu-
ction angeſtellet werden. Damit man aber nicht
noͤthig habe zwey mahl zu operiren, und das
Product in der gehoͤrigen Form ſogleich finde, ſo
haben wir in der im Satze beſchriebenen Regel
die Multiplications und Reductions Operationen
mit einander verknuͤpfet. Weilen demnach mit
der Reduction der Anfang immer von der klein-
ſten Sorte gemacht werden muß, ſo iſt auch
noͤthig zu dieſem Ende die Multiplication von der
kleinſten Sorte anzufangen. Wann nun die
kleinſte Sorte multiplicirt worden, ſo muß man
ſehen, ob das gefundene Product mehr Stuͤcke
G 2anzeige
[100] anzeige, als ein Stuͤck der naͤchſtfolgenden groͤſſe-
ren Sorte ausmachen oder nicht: befindet ſich
das letztere, ſo darf man nur ſogleich das Product
hinſchreiben; ſind aber im Product ein oder mehr
Stuͤcke von der naͤchſtfolgenden groͤſſeren Sorte
enthalten, ſo muͤſſen ſolche durch die Reduction
daraus gezogen und nachgehends zum Product,
welches aus der folgenden Sorte entſpringen
wird, gethan werden; unter dem Nahmen aber
einer jeglichen Sorte werden nur ſo viel Stuͤcke
ins Product geſchrieben als in der Reduction uͤber-
geſchoſſen. Da nun eine gleiche Reduction auch
mit der Addition verknuͤpfet worden iſt, und
beyde auf einem Grunde beruhen, ſo haben
wir um ſo viel weniger noͤthig die Richtigkeit die-
ſer beſchriebenen Operation weitlaͤuffiger darzu-
thun; da dieſelbe fuͤr ſich klar genug iſt, und
einjeder die Vereinigung der Multiplication mit
der Reduction leicht einſehen kan. Derowegen
wollen wir nur zur Ausrechnung einiger Exempel
fortſchreiten, damit man ſich die beſchriebene Re-
gel recht bekannt mache, und in der Operation
die gehoͤrige [...]ertigkeit erlange. Zu dieſem Ende
wollen wir auch hernach einige Vortheile anzei-
gen, welcher man ſich in vielen Faͤllen mit nicht
geringem Nutzen bedienen kan.

2.)

Wann derMultiplicatorgleich iſt der-
jenigen Anzahl Stuͤcke, welche von der
kleineren Sorte ein Stuͤck der groͤſſeren Sor-
te ausmachen, ſo kommen fuͤr dasProduct
der kleineren Sorte eben ſo viel Stuͤcke von
der groͤſſeren Sorte, als von der kleinern
Sorten vorhanden ſind. Jngleichem wann
derMultiplicatorzweymal ſo groß iſt als die
benannte Anzahl Stuͤcke, welche von der
kleineren Sorte ein Stuͤcke der groͤſſeren aus-
mach[e]n, ſo darf man nur die kleinere Sor-
te mit zweymultipliciren, und demProduct
den Nahmen der groͤſſeren Sorte beylegen.
Eben dieſes Vortheils kan man ſich bedie-
nen wann derMultiplicatordrey, vier oder
mehrmalen groͤſſer iſt als die gedachte Zahl,
welche anzeint wie viel Stuͤcke der kleineren
Sorte ein Stuͤck der groͤſſeren ausmachen.

Jn welchen Faͤllen dieſer gemeldte Vortheil
ſtatt finde, iſt aus der gegebenen Beſchreibung
leicht abzunehmen, der Vortheil aber beſtehet an
und fuͤr ſich ſelbſt darinn, daß man die ſonſt nach
der
[110] der Multiplication noͤthige Reduction zur folgen-
den groͤſſeren Sorte zugleich mit anſtellet. Als
wann man zum Exempel 6 ℨ mit 8 multipliciren
ſollte, ſo wuͤrden nach dem gewoͤhnlichen Wege
48 ℨ heraus kommen, welche weilen 8 ℨ eine
Unze ausmachen, durch 8 dividirt 6 ℥ geben.
Da man nun erſtlich durch 8 multipliciren, und
als dann das Product wiederum durch 8 dividi-
ren muß, ſo iſt klar, daß wiederum das erſte
heraus kommen muͤſſe. Derowegen kan man
ſo wohl der Multiplication als Diviſion entbehren,
wann man ſogleich ſagt, daß 6 ℨ mit 8 multi-
plicirt 6 ℥ geben. Gleichergeſtalt, da 3 Solot-
nick ein Loth machen, ſo gibt 1 Solotnick 3 mal
genommen 1 Loth und 2 Solotnick mit 3 multi-
plicirt 2 Loth. Und weilen 96 Solotnick ein
Pfund machen, ſo iſt ſehr leicht eine jegliche ge-
gebene Anzahl Solotnick mit 96 zu multipliciren,
in dem des Product eben ſo viel Pfund anzeigen
muß, als der Multiplicandus Solotnick gehalten
hat. Alſo werden 15 Solotnick mit 96 multipli-
cirt 15 Pfund geben und ſo ſort. Hieraus erhel-
let ferner, daß 8 Copeken mit 10 multiplicirt 8
Griven, und 3 Griven mit 10 multiplicirt 3
Rubl. geben muͤſſen, weilen 10 Copeken 1 Gri-
ven und 10 Griven 1 Rubl. ausmachen. Wei-
len ein Hollaͤndiſcher Stuͤber 16 ₰ halt, ſo muͤſ-
ſen auch zum Exempel 9 ₰ mit 16 multiplicirt
9 St.
[111] 9 St. und 14 ₰ mit 16 multiplicirt 14 St. her-
vor bringen, welches alles fuͤr ſich ſo deutlich iſt,
daß wir keiner weiteren Ausfuͤhrung vonnoͤthen
haben.

Hierauf beruhet ferner der Grund der an-
dern gemeldten Vortheile, wann nehmlich der
Multiplicator zwey oder drey oder mehr mal groͤſ-
ſer iſt, als ſolcher im vorigen Falle iſt angenom-
men worden. Dann da ein zweymal ſo groſſer
Multiplicator ein zweymal ſo groſſes Product her-
vorbringt, wann nehmlich der Multiplicandus ei-
nerley iſt, ſo muß auch leicht ſeyn durch einen
Multiplicatorem zu multipliciren, welcher 2, 3, oder
mehrmal groͤſſer iſt als derjenige vom obigen
falle. Alſo wann man 4 ℨ mit 16 multipliciren
ſoll, ſo muß das Product zweymal ſo groß ſeyn
als dasjenige welches herauskommen wuͤrde, wann
man 4 ℨ mit 8 multiplicirte. Da nun 4 ℨ mit 8
multiplicirt 4 ℥ geben, ſo werden 4 ℨ mit 16 oder
mit 2 mal 8 multiplicirt 8 ℥ das iſt 2 mal 4 ℥
geben. Jngleichem da 24 Stunden auf einen
Tag gerechnet werden, ſo muͤſſen zum Exempel
15 Stunden mit 24 multiplicirt 15 Tage geben.
Dahero wann 15 Stunden mit 2 mal 24 das iſt
mit 48 multiplicirt werden, ſo muͤſſen 2 mal 15
das iſt 30 Tage herauskommen: ſollte aber der
Multiplicator 3 mal 24 oder 72 ſeyn, ſo wuͤrden
3 mal 15 das iſt 45 Tage ins Product kommen.
Um
[112] Um den Nutzen dieſes Vortheils mehr zu erlaͤu-
tern, ſo laſſt uns ſetzen, daß 17 Hollaͤndiſche Stuͤ-
ber durch 100 multiplicirt werden ſollen. Da
nun 20 St. einen fl. ausmachen, und folglich
17 St. mit 20 multiplicirt 17 fl. betragen, ſo
muͤſſen dieſelben mit 100 multiplicirt 5 mal 17
fl. geben, weilen 100 fuͤnf mal groͤſſer iſt als 20;
derohalben darf man nur die 17 St. mit 5 mul-
tipliciren und im Product anſtatt der St. den
Nahmen fl. ſetzen; wodurch das Product 85 fl.
ſeyn wird. Hiemit ſind nun diejenigen Vorthei-
le, deren wir im Satze Meldung gethan haben
deutlich genug ausgefuͤhret, daß ſich derſelben
einjeder bey vorkommenden Faͤllen leicht bedienen
kan; ehe wir aber dieſe Ausfuͤhrung endigen, ſo
wollen wir noch einiger anderen Vortheile erweh-
nen, welche aus eben dieſem Grunde flieſſen. Da
wir nehmlich gewieſen haben, daß ein zweyfacher
Multiplicator ein zweyfaches Product, ein dreyfacher
ein dreyfaches und ſofort hervorbringe; ſo kan man
daraus, wann der Multiplicator eine groſſe Zahl iſt
die Multiplication in zwey oder mehr Operationen zer-
theilen; wodurch oͤfters die Multiplication leichter
und geſchwinder verrichtet werden kan, als auf
die gewoͤhnliche Art. Als wann eine vorgegebe-
ne ſo wohl unbenante als benante Zahl durch 12
multiplicirt werden ſoll, ſo iſt zu mercken, daß 12
ſo viel iſt als 3 mal 4, und folglich der Multipli-
cator 12 ein drey mal groͤſſeres Product geben muͤſ-
ſe, als der Multiplicator 4. Derowegen kan
man
[113] man erſtlich die vorgegebene Quantitaͤt durch 4
multipliciren, und als dann das gefundene Pro-
duct noch mal mit 3 multipliciren; da dann eben
ſo viel heraus kommen wird, als wann man ſo
gleich mit 12 multiplicirt haͤtte. Als es ſollen
nach Hollaͤndiſchem Gewichte 18 ℔, 9 ℥, 13
Engl. mit 12 multiplicirt werden, ſo kan ſolches
durch eine zweyfache Multiplication durch 3 und
4 folgender geſtalt geſchehen.

Dieſes Product iſt nun gleich demjenigen,
welches wuͤrde gefunden worden ſeyn, wann
man ſogleich mit 12 multiplicirt haͤtte, und das
deswegen, weilen 12 ſo viel iſt als 3 mahl 4.
Eben dieſes Product wird auch herauskommen,
wann man erſtlich mit 3 und hernach mit 4 mul-
tiplicirt. Ferner da auch 12 ſo viel iſt als 2
mahl 6, ſo koͤnte man das erſte mahl mit 2 und
das andere mahl mit 6 multipliciren, oder um-
gekehrt das erſte mahl mit 6 und das andere
mahl mit 2, wie folgt.

Solche Zertheilungen des Multiplicatoris in
zwey Factores oder Multiplicatores ſind nun zwar
an und fuͤr ſich ſelbſt vortheilhaft, weilen mit
kleineren Zahlen leichter zu multipliciren iſt als
mit groſſen: inzwiſchen aber wird hinwiederum
die Arbeit groͤſſer, weilen man zwey Multiplica-
tionen anſtellen muß. Dem ungeacht aber be-
haͤlt dennoch dieſe Zertheilung einen mercklichen
Nutzen, wann man ſich im Rechnen ſchon eine
ſolche Fertigkeit erworben hat, daß man mit
kleinen Zahlen gleichſam im Sinn die Multipli-
cation verrichten kan. Jn dieſem Falle erhaͤlt
man auch oͤfters einen Vortheil, wann man den
Multiplicatorem in drey oder mehr Factores zer-
theilet. Als wann man durch 210 multipliciren
ſollte, ſo koͤnte man erſtlich durch 7 und dann
durch 30 multipliciren, weilen 210 ſo viel iſt als
7 mahl 30. Wann aber durch 30 zu multipli-
ciren noch ſchwehr faͤllt, ſo kan man den Multi-
plicatorem 30 noch in 5 und 6 vertheilen, weilen
30 ſo viel iſt als 5 mahl 6. Und alſo kan die
Mul-
[115]Multiplication durch 210 dergeſtalt in drey Mul-
tiplicationen vertheilet werden, daß man erſtlich
durch 7, hernach durch 6 und drittens durch 5
multiplicire, weilen 210 ſo viel iſt als 7 mahl 6
mahl 5. Wir wollen davon ein Exempel geben:
es ſollen 21 L. Sterl. 14 ß. 5 ₰ mit 210
multiplicirt werden; wovon die Operation alſo
wird zu ſtehen kommen.

Dieſer Vortheil findet nun Statt, wann
ſich der Multiplicator in zwey oder mehr kleine
Factores zertheilen laͤſt, mit welchen man leicht
und bequem multipliciren kan. Da ſich nun die-
ſes nicht bey allen vorkommenden Multiplicationen
bewerckſtelligen laͤſt, ſo kan man ſich auch dieſes
Vortheils nicht allzeit bedienen. Man kan aber
in ſolchen Faͤllen einen anderen Vortheil zu
Huͤlfe nehmen, welcher aus nachfolgendem Grunde
flieſſet. Wann man den Multiplicatorem in zwey
H 2Theile
[116] Theile vertheilet, welche zuſammen addirt den-
ſelben wiederum hervor bringen, ſo kan man
den Multiplicandum durch jeden Theil insbeſon-
dere multipliciren, und die beyden Product zu-
ſammen addiren; da dann dieſe Summ dem ge-
ſuchten Product gleich ſeyn wird. Als wann man
mit 7 multipliciren ſollte, ſo koͤnte man 7 in dieſe
zwey Theile 4 und 3 zertheilen, und mit einem
jeden insbeſondere den Multiplicandum multiplici-
ren, und die Producte addiren; alſo wann der
Multiplicandus 53 waͤre, ſo koͤnte das Product
folgender geſtalt gefunden werden.

Vor allen Dingen iſt aber hiebey zu errin-
nern, daß man dieſe Zertheilung des Multiplica-
toris in Theile mit jener ſo in Factores geſchieht
nicht confundire, ſondern dieſelben von einander
wohl unterſcheide. Als dieſer Multiplicator 15
kan in dieſe Factores 3 und 5 zertheilet werden;
wann man aber denſelben in Theile zertheilen
will, ſo kan man dieſelben entweder 7 und 8
oder
[117] oder 6 und 9 oder 5 und 10, und dergleichen
mehr annehmen. Dieſer Unterſcheid muß auch
im Gebrauch ſelbſt wohl beobachtet werden.
Dann hat man den Multiplicatorem in Factores
zertheilet, ſo muß man immer durch einen jegli-
chen Factorem das ſchon vorher gefundene Product
multipliciren, da dann das letzte Product dasje-
nige ſeyn wird, welches man verlanget. Zer-
theilet man aber den Multiplicatorem in Theile;
ſo muß man immer den Multiplicandum durch
einen jeden Theil insbeſondere multipliciren und
die herausgebrachten Producte zuſammen addiren.
Die Zertheilung des Multiplicatoris in Theile
aber allein hat fuͤr ſich keinen Nutzen, in dem es
gemeiniglich leichter iſt durch den Multiplicatorem
ſogleich ſelbſt zu multipliciren, als durch die
Theile: man wuͤrde nehmlich wenig gewinnen,
wann man anſtatt mit 17 zu multipliciren, den
Multiplicandum erſtlich mit 8 und dann mit 9
multipliciren und beyde Producte zuſammen addi-
ren wollte. Wann man aber dieſe beyden Arten
der Zertheilung in Theile und Factores zu vereini-
gen und ſich beyder zugleich zu bedienen weiß, ſo
kan man dadurch oͤfters einigen Vortheil erhal-
ten. Dann wann der Multiplicator eine ſolche
Zahl iſt, welche ſich nicht laͤßt in Factores zer-
theilen, ſo kan man hiedurch denſelben in zwey
ſolche Theile zertheilen, davon entweder beyde
ſich in bequeme Factores zertheilen laſſen, oder
bey dem einen Theile, weil ſolcher fuͤr ſich klein
H 3genug
[118] genug, keine fernere Zertheilung noͤthig iſt. Als
wann man durch 37 multipliciren ſollte, ſo koͤnte
man darfuͤr dieſe Theile annehmen 36 und 1,
und jenen in dieſe ſeine beyde Factores 6 und 6
reſolviren. Jn dieſem Falle muͤßte man alſo den
Multiplicandum erſtlich mit 6 und das Product
nochmalen durch 6 multipliciren, und zum letzten
Product den Multiplicandum durch 1 multiplicirt
das iſt den Multiplicandum ſelbſt addiren. Laſt
uns alſo nach dieſer Art, uachfolgendes Apothe-
ker Gewicht durch 37 multipliciren.

Eben dieſes Product wuͤrde man gefunden
haben, wann man das vorgegebene Gewicht
nach der gewoͤhnlichen Art multiplicirt haͤtte
durch 37.

Wir wollen noch ein Exempel geben in wel-
chem mit 157 multiplicirt werden ſoll; dieſe Zahl
laͤſt ſich nun nicht in Factores zertheilen, deswe-
gen muß man ſuchen dieſelbe in zwey ſolche Thei-
le zu zerſchneiden, deren einer fuͤr ſich klein genug,
der andere aber ſich in bequeme Factores zerthei-
len laſſe. Damit man aber ſehe wie dieſe Ver-
theilung amfuͤglichſten anzuſtellen ſey, ſo wollen
wir fuͤr den einen Theil erſtlich 1, hernach 2
dann 3 und ſo fort annehmen, und als dann aus
allen dieſen Zertheilungen die vortheilhafteſte
ausleſen. Es iſt alſo 157 ſo viel als.

Aus dieſen ſind nun die Theile 7 und 150
am bequemſten, weilen 150 dieſe kleinen drey Fa-
ctores 5, 5 und 6 hat. Sollte man aber auch
mit 11 leicht im Kopfe multipliciren koͤnnen, ſo
wuͤrde die Eintheilung in 3 und 154 mehr Vor-
theil bringen. Wir wollen im folgenden Exem-
pel uns der erſteren Vertheilung bedienen.

Man ſoll 1034 L. Sterl. 9 ß. 7 ₰
1 Farding mit 157 multipliciren.

Vertheilung des Multiplicatoris 157 in 7
und 5 mal 5 mal 6.

Nach der gemeinen Art wuͤrde aber dieſes
Exempel alſo zu ſtehen kommen.

Wir wollen aber dieſen Vortheil mit groſ-
ſen Zahlen nicht allzuſehr recommendiren, weilen
nicht nur ſo vielerley Multiplicationen auch eine
geraume Zeit erfordern, ſondern auch die Ver-
theilung in bequeme Theile und Factores oͤfters
mehr Zeit und Muͤhe koſten wuͤrde, als die gan-
tze Operation nach der gewoͤhnlichen Art.

Jn Anſehung des Multiplicandi finden auch
oͤffters einige Vortheile Statt, unter welchen der
fuͤrnehmſte iſt, wann immer die groͤſſeren Sor-
H 5ten
[122] ten 10 mal groͤſſer ſind als die kleinern: gleich-
wie in der hieſigen Eintheilung des Rubels in 10
Griwen und des Griwens in 10 Copeken; dann
in dieſem Falle kan die Multiplication gleich als
mit unbenanten Zahlen verrichtet werden. Die
Urſach davon iſt dieſe, weilen man ohne einige
Operation anzuſtellen die gantze Summ ſogleich in
Copeken reſolviren und hinſchreiben kan wann
dieſes geſchehen, ſo multiplicirt man die hinge-
ſchriebene Anzahl Copeken mit dem vorge-
ſchriebenen Multiplicatore, und reducirt hinwie-
drum das gefundene Product zu Griven und Rubl.
ohne einige Muͤhe. Dann von der rechten an
zu rechnen, gibt die erſte Figur Copeken, die
zweyte Griven, und die uͤbrigen Rubl.

Man ſoll zum Exempel dieſe Summ, 297
Rubl. 7 Griwen 5 Copeken mit 23 multipli-
ciren: weilen nun die vorgelegte Summ ſo viel
iſt als 29775 Copeken, ſo multiplicirt man dieſe
Anzahl Copeken mit 23

Hieraus iſt klar daß man auch ohne die
Nahmen der Rubl. und Griwen auszulaſſen eben
ſo leicht multipliciren koͤnne, wann man ſich im
Sinn nur alle Zahlen ſo vorſtellt, als wann die-
ſelben an einander gehaͤnget waͤren: alſo

Wann man auch nur nach Rubl. und Co-
peken allein rechnet, ohne ſich der Griwen Sor-
ten zu bedienen, ſo kan auch die Multiplication eben
ſo leicht geſchehen. Dann da 1 Rubl 100 Cope-
ken haͤlt, ſo wird die Summ ſogleich in Copeken
reſolvirt, wann man an die Anzahl der Rubl zur rech-
ten die Zahl der Copeken haͤngt; wobey nur die-
ſes zu erinneren, daß wann die Anzahl der Co-
peken nur aus einer Figur beſteht, vor dieſelbe
zur linken eine 0 muͤſſe geſchrieben werden. Alſo
iſt 57 Rubl. 42 Copeken ſo viel als 5742 Cope-
ken; und 84 Rubl. 7 Copeken, ſo viel als
8407 Copeken. Hat man demnach ſolchergeſtalt
die vorgegebene Summ in Copeken reſolvirt, wel-
che Reſolution man ſich nur im Sinn vorſtellen
kan, ſo multiplicirt man dieſe Anzahl Copeken
mit dem Multiplicatore, und des Products zwey
letzte Figuren nach der rechten geben die Copeken,
die
[124] die uͤbrigen aber Rubl. Als wann 236 Rubl.
8 Copeken mit 47 multiplicirt werden ſollen ſo
wird die Operation alſo zu ſtehen kommen.

Gleichergeſtalt werden ſolche Sorten, dar
von immer 1 Stuͤck der groͤſſeren 10 oder 100
Stuͤck der kleineren enthaͤlt, eben ſo leicht addirt,
ſubtrahirt und dividirt, als unbenante Zahlen,
und erforderen keine beſondere Regeln. Und um
dieſer Urſache willen haben wir auch in gegenwaͤr-
tiger Beſchreibung der Arithmetiſchen Operatio-
nen mit benanten Zahlen ſolche Sorten nicht in
den Exempeln angefuͤhret. Dann in allen die-
ſen Operationen mit benanten Zahlen iſt der na-
tuͤrlichſte Weg, daß man die verſchiedenen Sor-
ten auf die kleinſte Sorte und dadurch auf einen
einigen Naͤhmen reducire, da dann alle Opera-
tionen eben wie mit unbenanten Zahlen angeſtel-
let werden koͤnnen. Die beſonderen Regeln aber
welche wir gegeben, gehen nur dahin, daß man
ſo wohl der Reſolution vor der Operation als auch
nach der Operation der Reduction uͤberhoben ſeyn
moͤchte. Jn welchen Faͤllen nun ſo wohl die Re-
ſolu-
[125]ſolution als Reduction ohne einige Muͤhe geſche-
hen kan, wie in der Rechnung mit Rubl. Gri-
wen und Copeken, in denſelben iſt unnoͤthig daß
man die gegebenen beſonderen Regeln fuͤr vieler-
ley Sorten gebrauche.

3.)

Wann eine aus vielerley Sorten zu-
ſammen geſetzteQuantitaͤt durch eine gantze
Zahldividirt werden ſoll: ſodividirt man
erſtlich die groͤſte Sorte durch denDiviſorem,
und ſchreibt den in gantzen Zahlen gefunde-
nenQuotumunter dem Nahmen der groͤſten
Sorte inQuotient,den uͤbergebliebenen Reſt
aber reſolvirt man in die folgende kleinere
Sorte, undaddirt dazu was von dieſer
Sorte imDividendovorhanden iſt. Dieſe
Summdividirt man ferner durch denDivi-
ſorem,ſchreibt denQuotummit dem Nah-
men der Sorte in den geſuchtenQuotient,
und verwechſelt den Reſt in die kleinere fol-
gende Sorte, welche man zuſamt demjeni-
gen, was von dieſer Sorte imDividendoda
iſt, ferner durch denDiviſorem dividirt.
Solcher geſtalt verfaͤhrt man bis zur klein-
ſten Sorte, und was in der letztenDiviſion
uͤbrig bleibt, daſſelbe ſchreibt man in Form
eines Bruchs in denQuotienten.

Jn der Diviſion wird immer eine ſolche
Quantitaͤt geſucht, welche mit dem Diviſore mul-
tiplicirt den Dividendum wiederum hervorbringet.
Es iſt alſo der Dividendus nicht anderſt anzuſehen
als
[126] als ein Product, welches aus der Multiplication
des Quoti mit dem Diviſore entſpringt. Weilen
nun in der Multiplication der Multiplicator allzeit
eine unbenannte Zahl ſeyn muß. Das Product
aber dem Nahmen nach dem Multiplicando aͤhn-
lich gefunden wird: ſo muß auch in der Diviſion
entweder der Diviſor oder Quotus eine unbenannte
Zahl ſey. Dahero entſtehen zweyerley Arten
der Diviſion mit benannten Zahlen: in der erſte-
ren iſt der Diviſor eine unbenannte Zahl und fol-
glich der Quotus eine benannte Zahl; welche dem
Nahmen nach dem Dividendo aͤhnlich ſeyn muß.
Die andere Art der Diviſion entſtehet wann der
Diviſor eine benannte Zahl und dem Dividendus
dem Nahmen nach aͤhnlich iſt: und in ſolchen
Diviſionen wird der Quotus eine unbenannte
Zahl. Allhier haben wir aber uns nur die erſte Art
abzuhandeln vorgenommen, wann der Diviſor
eine unbenannte Zahl iſt, und zwar davon nur
diejenigen Faͤlle, in welcher der Diviſor eine gantze
unbenannte Zahl iſt, in dem wir die Diviſion
durch gebrochene Zahlen insfolgende Capitel ver-
ſpahren. Jſt demnach der Diviſor eine unbenannte
Zahl, ſo wird von dem Dividendo ein gewiſſer
Theil geſuchet, nehmlich der ſo vielte Theil als
der Diviſor anzeigt: das iſt, wann der Diviſor
2 iſt, ſo wird die Helfte der Dividendi geſuchet,
iſt der Diviſor 3, der Drittel, iſt der Diviſor
4, der Viertel und ſo fort; und demnach muß
der Quotus dem Nahmen nach dem Dividendo
aͤhn-
[127] aͤhnlich ſeyn. Die gantze Operation aber dieſer
Operation wird zugleich mit dem Grunde davon
deutlich aus nachfolgendem Exempel erhellen.

Ein Vater verlaͤßt nach ſeinem Tode 6
Kinder und denſelben ſein Vermoͤgen von
15725 fl. 14 St. 8 ₰ Hollaͤndiſch Geld,
welche Erbſchaft unter die 6 Kinder gleich verthei-
let werden ſoll. Wann nun gefragt wird, wie-
viel ein Kind von dieſer Verlaſſenſchaft bekomme,
ſo iſt klar, daß ſolches der 6te Theil der gantzen
hinterlaſſenen Summ ſeyn werde, oder die Por-
tion eines Kinds wird gefunden, wann man das
gantze Vermoͤgen des verſtorbenen Vaters durch
6 dividirt. Wir wollen demnach dieſes Vermoͤ-
gen ſo durch 6 dividiren, wie ſolches die 6 Kin-
der in der That verrichten wuͤrden. Wir neh-
men derohalben erſtlich die Gulden vor, und ſu-
chen wieviel gantze Gulden einem Kinde zukom-
men; welches gefunden wird, wann wir die
Anzahl der fl. durch 6 dividiren.

Hieraus erhellet, daß erſtlich ein jedes Kind
2620 fl. bekomme, und daß nachdem ein jedes
Kind ſo viel fl. empfangen, noch 5 fl. unzertheilt
in der Maſſa bleiben. Weilen nun dieſe 5 fl.
uͤber-
[128] uͤbergeblieben, ſo verwechſeln die Erben ſolche in
Stuͤber und bekommen darfuͤr 100 St. weilen
1 fl. 20 St. und folglich 5 fl. 5 mahl 20 das
iſt 100 St. betragen. Zu dieſen 100 St. thun
die Erben noch die in der Erbſchaft befindlichen
14 Stuͤber, und bekommen alſo 114 St. unter
ſich zu theilen.

Derowegen bekommt noch ein jedes Kind
19 Stuͤber, und weilen nach Vertheilung der
Stuͤber keine Stuͤber uͤberbleiben, ſo ſchreiten ſie
in der Vertheilung zu den noch vorhandenen
8 ₰ fort

wovon alſo ein Kind 1 ₰ bekommt und noch
2 ₰ zuruͤck bleiben, welche weilen ſie nicht fer-
ner in kleinere Sorten vertheilt werden koͤnnen,
ſo nimt ein Kind den Werth des ſechsten Theils
von 2 ₰ das iſt \frac{2}{6} ₰ oder ⅓. Und alſo
wird das voͤllige Erbtheil eines Kinds ſeyn
2620 fl. 19 St. 1⅓ ₰.

Wer nun dieſe Operation, welche wir in die-
ſem Diviſions-Exempel angeſtellet haben, wohl be-
trachtet, der wird finden, daß ſolche auf das genauſte
mit der im Satze gegebenen Regel uͤbereinkommt.
Wir haben nehmlich erſtlich die groͤſte Sorte
durch den Diviſorem dividirt und den Reſt in die
folgende kleinere Sorte reſolvirt, und dazu addirt
was im Dividendo von dieſer Sorte vorhanden
war: ferner haben wir dieſe Summ wiederum
durch den Diviſorem dividirt, und ſind ſolcher ge-
ſtalt bis zur kleinſten Sorte fortgeſchritten, bey
welcher wir den uͤbergebliebenen Reſt in Bruchs-
Form zum Quoto geſetzet haben. Dieſe gantze
Operation kan nun am fuͤglichſten folgender ge-
ſtalt vorgeſtellet werden.

Da nun hieraus ſo wohl die Operation ſelbſt
als der Grund davon erhellet, ſo wollen wir
nur zu einigen Exempeln fortſchreiten, und was in
verſchiedenen Faͤllen noch anzumercken iſt anzeigen.

1.

WAnn derDiviſorauch eine benannte
Zahl iſt gleich demDividendo,ſo
daß beyde Nahmen fuͤhren von einerley Art,
ſo wird derQuotuseine unbenannte Zahl,
und alſo gefunden. Man reſolvirt beyde
denDiviſoremundDividendumauf einerley
Benennung, und wann ſolches geſchehen, ſo
dividirt man die Zahl, welche fuͤr denDivi-
dendumgefunden worden, durch die Zahl, ſo
man fuͤr denDiviſoremheraus gebracht hat;
und bekommt ſolchergeſtalt den geſuchten
Quotum,welcher entweder eine unbenannte
gantze oder gebrochene Zahl ſeyn wird.

Diefes iſt die andere Art der Diviſion von
welcher vorher Meldung iſt gethan worden. Dann
da der Dividendus immer das Product iſt, welches
herauskommt, wann man den Diviſorem durch
den Quotum multiplicirt, in gegenwaͤrtigem Falle
aber der Dividendus eine benannte Zahl iſt, ſo
muß entweder der Diviſor oder der Quotus eine
benannte
[140] benannte Zahl, der andere aber eine unbenannte
Zahl ſeyn, wie aus der Natur der Multiplication
erhellet. Jn der vorhergehenden Art haben wir
nun geſetzet, daß der Diviſor eine unbenannte Zahl
ſey, da dann der Quotus eine benannte Zahl wor-
den iſt. Nunmehro nehmen wir aber fuͤr den
Diviſorem eine benannte Zahl an, und muß folg-
lich fuͤr den Quotum eine unbenannte Zahl ge-
funden werden. Jn dieſem Falle ſind demnach
der Diviſor und der Dividendus benannte Zahlen
von einerley Art, das iſt ſolche welche entweder
gleiche Nahmen fuͤhren, oder doch ſolche ver-
ſchiedene Nahmen, welche unter ſich verglichen
werden koͤnnen. Jn einer ſolchen Diviſion wird
demnach gefragt, wieviel malen der Diviſor im
Dividendo enthalten ſey, auf die Frage aber,
wieviel mal, kan nicht ander ſo als durch eine
unbenannte Zahl geantwortet werden. Dann
wann man zum Exempel 12 Rubl. durch 4 Rubl.
theilen ſoll, ſo iſt dieſes nichts anders, als man
ſoll anzeigen, wieviel mal 4 Rubl. in 12 Rubl.
enthalten ſeyen; oder wieviel malen 4 Rubl. ge-
nommen werden muͤſſen, daß 12 Rubl. heraus
kommen. Solches geſchieht nun in 3 malen
und dahero ſagt man, daß 4 Rubl. in 12 Rubl.
3 mal enthalten ſeyn und daß folglich wann 12
Rubl. durch 4 Rubl. dividirt werden, der Quo-
tus 3 ſeyn muͤſſe; und iſt alſo einerley ob man
12 Rubl. durch 4 Rubl. oder in unbenannten
Zahlen 12 durch 4 theilet, in dem in beyden
Faͤllen
[141] Faͤllen fuͤr den Quotum einerley unbenannte Zahl
nehmlich 3 gefunden wird.

Gleichwie nun Rubl. durch Rubl. eben ſo
dividirt werden wie unbenannte Zahlen, ſo ver-
ſtehet ſich von ſelbſten, daß ein gleiches Statt
finde, ſo offt beydes der Diviſor und der Divi-
dendus nur aus einerley Sorten beſtehen und ei-
nen gleichen Nahmen fuͤhren. Wann alſo zum
Exempel 1039 Pud durch 12 Pud dividirt wer-
den ſollen, ſo darf man nur um den Quotum zu
finden in unbenannten Zahlen den Dividendum
1039 durch den Diviſorem 12 dividiren.

Demnach ſind 12 Pud in 1039 Puden
86\frac{7}{12} mal enthalten, oder wann man 12 Pud
mit 86\frac{7}{12}multipliciret, ſo kommt der Dividen-
dus 1039 Pud heraus. Da nun ſolche Faͤlle,
wann ſo wohl der Diviſor als Dividendus nur
einen und zwar eben denſelbigen Nahmen fuͤhren,
keine weitere Schwierigkeit haben, ſo fluͤſſet da-
her auch die Diviſion, wann entweder der Diviſor
oder der Dividendus oder beyde zugleich aus ver-
ſchiedenen Sorten beſtehen und ungleiche Nah-
men
[142] men fuͤhren. Dann in ſolchen Faͤllen darf man
nur beydes den Diviſorem und Dividendum nach
den Regeln der Reſolution auf einerley und glei-
che Nahmen bringen; und wann ſolches geſche-
hen, die Diviſion gleich als mit unbenannten Zah-
len anſtellen. Wann alſo zum Exempel in Hol-
laͤndiſchem Gelde 215 fl. 9 St. 8 ₰ durch 24 fl.
12 St. 3 ₰ dividirt werden ſollen, ſo iſt der
Diviſor 24 fl. 12 St. 3 ₰ der Dividendus aber
125 fl. 9 St. 8 ₰. Weilen nun hier ſo wohl
der Diviſor als der Dividendus aus verſchiedenen
Sorten beſtehen, ſo muß man beyde vorher auf
eine und eben dieſelbe Sorte bringen. Wir wol-
len demnach beyde in ₰ verwandeln nach der
Reſolution.

Man dividirt alſo anjetzo den Betrag des
Dividendi in ₰ durch den Betrag des Diviſoris
in ₰ nach der gewoͤhnlichen Art.

Derohalben iſt der geſuchte Quotus dieſer
8\frac{1984}{2625}, durch welchen wann man den Diviſorem
multiplicirt, der Dividendus im Product erſcheinen
wird.

Bey dieſer Reſolution iſt es aber einerley
auf was fuͤr einen Nahmen der Diviſor und Di-
videndus gebracht werden, wann es nur beyden
einerley Nahme iſt, und alſo wuͤrde fuͤr das ge-
gebene Exempel einerley Quotus gefunden wer-
den, wann man den Diviſorem und Dividen-
dum entweder in Stuͤber oder Gulden reſolvirt
haͤtte. Weilen aber in dieſen Faͤllen Bruͤche
durch einander zu dividiren aufſtoſſen wuͤrden,
ſo iſt wohl der kuͤrzeſte und natuͤrlichſte Weg,
daß man den Dividendum und Diviſorem in die
geringſten Sorten, welche in beyden einerley
ſeyn muͤſſen, verwandle. Derowegen wann
gleich in einer von dieſen zweyen Quantitaͤten,
nehmlich dem Diviſore und Dividendo, keine ſo
kleine Sorte vorkommen ſollte, als in der andern,
ſo
[144] ſo muͤſſen doch beyde Quantitaͤten auf die klein-
ſte Sorte, welche in entwederer derſelben vor-
kommt reſolvirt werden. Dann bey dieſer Art
der Diviſion wird fuͤrnehmlich erfordert, daß ſo
wohl der Diviſor als Dividendus einerley Nah-
men bekommen, und dabey beyde in einerley Nah-
men verwandelt werden. Uber das muͤſſen die
Nahmen nicht nur gleich ſeyn, ſondern auch eine
gleiche Bedeutung haben; Dann obgleich zum
Exempel der Nahme Pfund einerley waͤre, ſo
gibt es doch ſo vielerley verſchiedene Pfund, daß
zu unſerer Diviſion nicht nur die Einigkeit des
Nahmens ſondern auch der Bedeutung unum-
gaͤnglich erfordert wird.

2.)

Wann derDiviſornur aus einer
Sorte beſtehet, ſo kan man denſelben un-
veraͤndert laſſen, hingegen aber den gantzen
Dividendumauf eben denſelbigen Nahmen
reſolviren, welchen derDiviſorfuͤhret, und
alsdann dieDiviſiongleich als mit unbenan-
ten Zahlen verrichten. Beſtehet aber der
Diviſorzwar aus etlichen Sorten, welche
aber nicht ſo klein ſind als imDividendovor-
kommen, ſo bringet man nur denDiviſorem
auf
[151]auf die kleinſte Sorte, welche darinn vor-
kommt; und in eben diejenige Sorte [...]r ſol-
virt man denDividendum,ob darinn gleich
noch kleinere Sorten vorhanden ſind.

Wann der Diviſor und Dividendus benante
Zahlen ſind, und verſchiedene Nahmen fuͤhren,
ſo beſtehet die erſte Arbeit darinn, daß man beyde
auf einerley und einen gleichen Nahmen bringe;
und alsdann die Diviſion gleich als mit unbenan-
ten Zahlen anſtelle. Es iſt demnach gleichviel
auf was fuͤr eine Benennung der Diviſor und
Dividendus gebracht werde, wann nur beyde
auf einerley Nahmen reſolvirt werden. Jm vo-
rigen Satze haben wir zwar zu dieſem Ende die
kleinſte Sorte erwehlet, welche in entwederem
von beyden vorkommt, welches hauptſaͤchlich um
Bruͤche zu vermeiden geſchehen iſt, in dem da-
rinn ein nicht geringer Vortheil ſtecket, wann
man gantze Zahlen ſtatt Bruͤche durch einander
zu dividiren hat. Allein da es auch ſehr leicht
iſt die Diviſion in Bruͤchen zu bewerckſtelligen
wann nur der Diviſor eine gantze Zahl iſt, ſo iſt
unnoͤthig den Diviſorem in kleinere Sorten zu
verwandeln als darinn wuͤrcklich vorkommen.
Jm Dividendo hat man alſo darauf nicht zu ſe-
hen, ob derſelbe mit Bruͤchen verknuͤpfet iſt oder
nicht, wann nur der Diviſor nur eine einige
Sorte enthaͤlt und dabey eine gantze Zahl iſt, ſo
darf man nur den gantzen Dividendum auf eben
diejenige Sorte reſolviren; und nicht darauf ſehen
K 4ob
[152] ob Bruͤche darinn vorkommen oder nicht. Wann
nun dieſes geſchehen, ſo dividirt man nach der
allgemeinen Regel, den Dividendum durch den
Diviſorem als unbenannte Zahlen. Beſtehet
aber der Diviſor aus etlichen Sorten, ſo bringt
man denſelben auf den Nahmen der kleinſten
Sorte welche darinnen vorkommt; auf eben den-
ſelbigen Nahmen aber bringt man auch den Di-
videndum, wann auch gleich darinn noch kleine-
re Sorten vorhanden ſeyn ſollten. Die Haupt-
Regel hiebey iſt, daß man die Zahl des Diviſoris
ohne Noth nicht vergroͤſſere, ſondern ſo klein be-
halte als immer moͤglich iſt, wann ſolche nur
eine gantze Zahl bleibet. Was nun dieſes auch
fuͤr eine Sorte iſt, in welche der Diviſor durch
die kleinſte gantze Zahl ausgedruͤckt werden kan,
in eben diejenige Sorte muß man auch den Divi-
dendum verwandeln. Derohalben wann gleich
im Diviſore nur eine Sorte vorhanden waͤre, in
derſelben aber ein Bruch vorkaͤme; ſo muͤßte man
den Diviſorem und der Dividendum, nach dem
ſolcher auf eben diejenige Sorte gebracht worden,
mit dem Nenner deſſelben Bruchs multipliciren,
damit der Diviſor eine gantze Zahl wuͤrde. Al-
les aber was hiebey zu bemercken iſt, wird am
fuͤglichſten durch Exempel erlaͤutert werden.

3.

Wann derDividendusetweder nur
aus einer Sorte beſtehet, oder nicht ſo klei-
ne Sorten enthaͤlt als derDiviſor,ſo kan
man
[159]man auch beyde nur auf die kleinſte Sor-
te desDividendireſolviren, da man dann
eine gantze Zahl durch einen Bruch oder
eine vermiſchte Zahl wird zudividiren ha-
ben, welches auch leicht geſchehen kan.
Oder man kan in ſolchem Falle dieOpera-
tionumkehren und denDiviſoremdurch den
Dividendumnach der vorigen Regeldividiren:
den gefundenenQuotumaber, nach dem ſol-
cher in einen einzel[e]n Bruch gebracht wor-
den, dergeſtalt umkehren, daß man den
Zehler an des Nenners, und den Nenner
an des Zehlers Stelle ſetze.

Die Abſicht dieſes Satzes gehet wieder da-
hin, daß man ſo viel als moͤglich groſſe Zahlen
und auch Bruͤche vermeide. Gleichwie wir nun
im vorigen Satze angezeigt haben, daß man den
Diviſorem auf die kleinſte gantze Zahl bringen,
und den Dividendum in eben diejenige Sorte re-
ſolviren ſoll, alſo kehren wir hier die Sache um
und reſolviren den Dividendum in einer ſolche Sor-
te, in welcher derſelbe durch die kleinſte gantze
Zahl ausgedruͤckt wird. Jn beyden Faͤllen iſt
aber der Vortheil bey nahe einerley, und iſt faſt
gleich leicht eine gebrochene oder vermiſchte Zahl
durch eine gantze, oder umgekehrt eine gantze
Zahl durch eine gebrochene oder vermiſchte zu di-
vidiren; wie aus den oben gegebenen Regeln
der Diviſion mit Bruͤchen genugſam erhellet.
Dieſes wird aber deutlicher dargethan durch die
im
[160] im Satze gemeldte Verſetzung des Diviſoris und
Dividendi unter ſich, welche, weilen ſie uns die
Natur der Diviſion gruͤndlicher vor die Augen
leget wohl verdienet mit groͤſſerer Aufmerckſam-
keit betrachtet zu werden. Wir haben nehmlich
geſagt, daß man um den Quotum zu finden, wel-
cher aus der Diviſion des Dividendi durch den
Diviſorem entſpringet, die Operation umkehren
und den Diviſorem durch den Dividendum divi-
diren koͤnne; als dann aber dieſen gefundenen
Quotum, nach dem ſolcher in die Form eines
einzelen Bruchs gebracht worden, wiederum
umkehren, und den Zehler an des Nenners, den
Nenner aber an des Zehlers Stelle ſetzen muͤſſe.
Daß aber auf dieſe Art der wahre Quotus ent-
ſpringe, kan aus demjenigen, was oben von der
Natur der Bruͤche erwieſen worden, leicht dar-
gethan werden. Dann da ein Bruch nichts an-
ders anzeiget, als den Quotum, welcher heraus-
kommt, wann man den Zehler durch den Nen-
ner dividirt, ſo kan hinwiederum der aus ei-
ner Diviſion entſtehende Quotus durch einen
Bruch ausgedruͤckt werden, deſſen Zehler der
Dividendus, der Nenner aber der Diviſor iſt.
Wann wir nun auf die verkehrte Art den Divi-
ſorem durch den Dividendum dividiren, und den
gefundenen Quotum in die Form eines einzelen
Bruchs bringen, ſo erhalten wir einen Bruch
deſſen Zehler der Diviſor der Nenner aber der
Dividendus ſeyn wird. Wann wir nun ferner
dieſen
[161] dieſen Bruch wiederum umkehren, den Zehler
und Nenner nehmlich unter ſich verwechſeln,
ſo erhalten wir einen Bruch deſſen Zehler der
Dividendus, der Nenner aber der Diviſor ſeyn
wird; und iſt folglich dieſer Bruch der wahre
Quotus, welcher herauskommt, wann man den
Dividendum durch den Diviſorem dividirt. Der
Vortheil, welcher aus dieſer Betrachtung ent-
ſpringt, beſtehet darinn, daß wann man mit ge-
ringerer Muͤhe den Diviſorem durch den Divi-
dendum dividiren kan, man dieſe Diviſion ver-
richte, und alsdann den gefundenen Quotum
nach der gegebenen Vorſchrifft umkehre. Als
wann man ſollte 3 durch 15 dividiren, ſo divi-
dire ich 15 durch 3 und kehre den Quotum 5
oder in Bruchs Form \frac{5}{1} um, und bekomme
alſo ⅕, welches der Quotus iſt, wann 3 durch
15 dividirt wird. Wann man ferner 6 durch
9 dividiren ſollte, ſo kan man 9 durch 6 divi-
diren, und den Quotum 1½ in Form eines ein-
zelen Bruchs \frac{3}{2} umkehren, da dann ⅔ den geſuch-
ten Quotum gibt. Weilen nun aus dem vori-
gen Satze zur Gnuͤge erhellet, wie der Diviſor
beſchaffen ſeyn muͤſſe, damit die Diviſion auf die
dort beſchriebene Art erleichteret werde, ſo wird
man auch daraus leicht erkennen, wann der Di-
videndus diejenige Eigenſchaft hat, welche wir
dorten an dem Diviſore erfordert haben. So
oft ſich nun ſolches findet, ſo darf man nur die
Diviſion umkehren, und nach denſelbigen Regeln
Lden
[162] den Diviſorem durch den Dividendum dividiren:
und wann dieſes geſchehen den gefundenen Quo-
tum, nachdem man denſelben in die Form eines
einzelen Bruchs gebracht hat, umkehren. Die-
ſes Vortheils kan man ſich alſo bedienen, wann
wie wir ſchon gemeldet haben, der Dividendus
entweder nur aus einer einzelen Sorte beſtehet,
oder nicht ſo kleine Sorten enthaͤlt als der Di-
viſor. Jn dieſen Faͤllen bringt man alſo den
Diviſorem und Dividendum beyde unter den klein-
ſten Nahmen, welcher im Dividendo vorkommt
und dividirt entweder nach der natuͤrlichen Art
den Dividendum durch den Diviſorem oder aber
nach der hier angezeigten verkehrten Art den
Diviſorem durch den Dividendum, und kehret
den Quotum um.

III.

Es ſind gegeben 85 Pud, welche ſollen divi-
dirt werden durch 52 Pud, 24 ℔, 8 Loth,
von dieſer Diviſion verlangt man den Quo-
tum zu wiſſen?

Weilen im Dividendo nur Pud enthalten
ſind, ſo bringe man den gantzen Diviſorem
unter eben dieſe Benennung von Puden.

alſo iſt der Diviſor 52\frac{97}{150} Pud, dadurch ſol-
len 85 Pud dividirt werden.

das iſt \frac{160}{8417} mit 85 multipliciren.

kommt alſo fuͤr den Quotum

1.

DUrch einen Bruch wird eine benannte
Zahl, aus ſo viel Sorten dieſelbe
auch immer beſteht,multiplicirt, wann man
dieſelbe erſtlich durch den Zehler des Bruchs
multiplicirt, und hernach das herausge-
brachteProductdurch den Nenner deſſelben
Bruchsdividirt: da dann dieſerQuotusdas
verlangteProductanzeigen wird.

Wir haben ſchon oben bey den Bruͤchen ge-
wieſen, welcher geſtalt man durch Bruͤche mul-
tipliciren muͤſſe. Wir haben zwar dort haupt-
ſaͤchlich Bruͤche mit Bruͤchen multipliciren geleh-
ret, und darfuͤr dieſe Regel gegeben, daß man
von den Bruͤchen, welche mit einander multi-
plicirt werden ſollen, erſtlich die Zehler und dann
die Nenner durch einander multipliciren, und
das erſtere Product fuͤr den Zehler, das letztere
aber fuͤr den Nenner des geſuchten Products an-
nehmen muͤſſe. Ob nun gleich hier nur von Bruͤ-
chen die Rede iſt, ſo erſtrecket ſich dennoch dieſe
Regel auch auf ſolche Faͤlle, in welchen entwe-
L 5dere
[170] dere Quantitaͤt von denen ſo durch einander mul-
tiplicirt werden ſollen eine gantze Zahl iſt; dann
eine gantze Zahl kan immer in Form eines Bruchs
vorgeſtellet werden, wann man dieſelbe als den Zeh-
ler und 1 als den Nenner betrachtet. Wann
demnach eine gantze Zahl mit einem Bruche mul-
tiplicirt werden ſoll, ſo multiplicirt man dieſelbe
mit dem Zehler des Bruches, und ſchreibt unter
das Product den Nenner deſſelben Bruchs in
Bruchs-Form: ſo daß fuͤr das verlangte Pro-
duct ein Bruch gefunden wird, deſſen Zehler das
Product iſt aus dem Zehler des Bruchs und der
gantzen Zahl, welche mit einander multipli-
cirt werden ſollen: der Nenner aber kommt mit
dem Nenner des Bruchs dadurch multiplicirt
werden ſoll uͤberein. Weilen nun der Werth eines
Bruchs gefunden wird, wann man den Zehler
durch den Nenner wuͤrcklich dividirt, ſo wird
auch eine jegliche Zahl durch einen Bruch multi-
plicirt, wann man dieſelbe erſtlich mit dem Zeh-
ler des Bruchs multiplicirt, und was heraus-
gekommen, durch den Nenner dividirt. Dieſe
Regel iſt auch allgemein und erſtrecket nicht nur
auf gantze Zahlen, welche mit Bruͤchen multipli-
cirt ſollen, ſondern auf aller Gattung Quantitaͤ-
ten, was [ſ][o][l][c]he auch immer fuͤr Nahmen fuͤhren.
Alles dieſes wird aber deutlicher werden, wann
wir erſtlich Statt des Multiplicatoris ſolche Bruͤ-
che annehmen, deren Zehler 1 iſt; und zeigen,
daß durch einen ſolchen Bruch multiplicirt wird,
wann
[171] wann man durch den Nenner deſſelben multipli-
cirt. Dann mit ½ multipliciren iſt nichts anders
als die Helfte von einer Sach nehmen, und
folglich ſo viel als durch 2 dividiren: gleicherge-
ſtalt wird eine Zahl durch ⅓ multiplicirt, wann
man dieſelbe durch 3 dividirt und alſo wird die
Multiplication durch einen Bruch deſſen Zehler 1
iſt allzeit in eine bloſſe Diviſion verwandelt.
Wann nun dieſes ſeine Richtigkeit hat, ſo folgt
daraus ſehr leicht wie man durch einen Bruch
deſſen Zehler nicht 1 iſt dividiren muͤſſe: wann
man dazu den bey der Multiplication oben ange-
fuͤhrten Vortheil in Erwegung ziehet; da wir
gewieſen haben, daß wann ſich der Multiplicator
in zwey Factores zertheilen laͤſt, man erſtlich die
Multiplication durch einen Factorem anſtellen,
und das gefundene Product noch mahl durch den
anderen Factorem multipliciren koͤnne. Weilen
ſich nun ein jeglicher Bruch deſſen Zehler nicht
1 iſt in zwey Factores zertheilen laͤſt, davon einer
eine gantze Zahl und dem Zehler des Bruchs
gleich iſt, der andere aber ein Bruch iſt, deſſen
Zehler 1 der Nenner aber dem Nenner deſſelben
Bruchs gleich iſt, ſo wird durch einen ſolchen
Bruch, deſſen Zehler nicht 1 iſt multiplicirt wer-
den, wann man erſtlich mit dem Zehler des
Bruchs multiplicirt, und was herausgekommen,
durch den Nenner dividirt. Wann man zum
Exempel mit \frac{7}{12}multipliciren ſolte, ſo iſt erſtlich
zu mercken, daß \frac{7}{12} ſo viel ſey als 7 mahl \frac{1}{12}.
Dero-
[172] Derohalben multipliciet man erſtlich mit 7, und
was herausgekommen noch mit \frac{1}{12}. Weilen nun
mit \frac{1}{12}multipliciren nichts anders iſt als durch 12
dividiren, ſo folgt daraus, daß eine Zahl durch
\frac{7}{12}multiplicirt werde, wann man dieſelbe erſtlich
mit 7 multiplicirt, und hernach das Product
durch 12 dividirt. Da man nun, um mit
Bruͤchen zu multipliciren, die Diviſion mit zu
Huͤlfe nehmen muß, ſo haben wir vorher die Di-
viſion durch gantze Zahlen erklaͤren muͤſſen, ehe
wir die Multiplication durch Bruͤche vornehmen
konnten. Wir wollen demnach dieſe Multiplica-
tion durch einige Exempel erlaͤutern.