§ 1.
Allgemeines über das ebene Fachwerk.

1) Ein Fachwerk ist eine Verbindung von Stäben, welche in den
Knotenpunkten, d. h. in den Punkten, in denen mehrere Stabachsen
zusammentreffen, durch reibungslose Gelenke miteinander befestigt sind.
Greifen alle äusseren Kräfte in den Knotenpunkten an (was streng-
genommen nur bei gewichtslosen Stäben möglich ist), so tritt in jedem
Stabe eine mit der Achse desselben zusammenfallende Spannkraft auf,
welche positiv oder negativ angenommen werden soll, je nachdem sie
Zugspannungen oder Druckspannungen hervorbringt. Liegen alle Stab-
achsen und äusseren Kräfte in derselben Ebene, so heisst das Fachwerk
ein ebenes.

Wir betrachten das ebene Fachwerk unter der Voraussetzung, dass
die äusseren Kräfte sowohl für sich allein als auch mit den inneren
Kräften im Gleichgewichte sind, und dass es zulässig ist, die durch die
Elasticität des Materiales der Fachwerkstäbe und der das Fachwerk
stützenden frem-
den Körper be-
dingten Form-
änderungen als
verschwindend
klein aufzufassen.
Es dürfen in
diesem Falle in die
Gleichgewichts-
bedingungen alle

Hebelarme und die Neigungswinkel der Stäbe mit denjenigen Werthen
eingeführt werden, welche dem spannungslosen Anfangszustande des Fach-
werks entsprechen.

Die äusseren Kräfte sind theils gegeben und sollen dann Lasten
heissen und mit P bezeichnet werden, theils bestehen sie aus den zu
suchenden Widerständen C der das Fachwerk stützenden Körper. Die Stütz-
punkte, auch Auflager genannt, können bewegliche oder feste sein.
Ein bewegliches Auflager entsteht, sobald ein Knotenpunkt gezwungen
wird, auf einer gegebenen Linie zu bleiben, an der Bewegung längs
dieser Linie aber durch den Zusammenhang mit dem Fachwerke ge-
hindert wird; der Stützenwiderstand wirkt, wenn keine Reibung auf-
tritt, senkrecht zu dieser Bahn, seine Richtung ist gegeben, seine Grösse
wird gesucht.^*)

Von dem Widerstande eines festen Auflagers ist sowohl die Grösse
als auch die Richtung unbekannt, es sind — wie wir bei der Her-
leitung der allgemeinen Gesetze voraussetzen wollen — zwei Seitenkräfte
desselben anzugeben.

• Bedeutet also n' die Anzahl der beweglichen Auflager,
• n'' „ „ „ festen „
• r „ „ „ Fachwerkstäbe,

so sind n' + 2 n'' Auflagerkräfte und r Spannkräfte zu berechnen, und
hierzu stehen, bei k Knotenpunkten, 2 k Gleichgewichtsbedingungen zur
Verfügung.

Bezieht man nämlich das Fachwerk auf ein rechtwinkliges Koor-
dinatensystem (x, y) und bezeichnet mit Qxm und Qym die parallel den
Koordinatenachsen gebildeten Seitenkräfte der im Knotenpunkte m an-
greifenden äusseren Kraft Qm (welche gegebene Last oder unbekannte
Auflagerkraft sein kann), ferner mit S1, S2 ..... Sp die Spannkräfte
in den von m ausgehenden Stäben und mit α1, α2 .... αp die Neigungs-
winkel dieser Stäbe gegen die x-Achse, so ergeben sich die beiden
Gleichgewichtsbedingungen:
und zwei solcher Gleichungen ersten Grades lassen sich für jeden Knoten-
punkt aufstellen.

Ist nun n' + 2 n'' + r \> 2 k, so ist es nicht möglich, die Un-
[3] bekannten lediglich mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen zu berech-
nen, und das Fachwerk heisst ein statisch unbestimmtes.

Ist dagegen n' + 2 n'' + r \< 2 k, so kann im Allgemeinen kein
Gleichgewicht zwischen den äusseren und inneren Kräften bestehen; das
Fachwerk heisst ein verschiebliches (labiles).

Soll das Fachwerk statisch bestimmt und unverschieblich
(stabil) sein, d. h. sollen sich die Auflagerkräfte und Spannkräfte mittelst
der Gleichgewichtsbedingungen eindeutig durch die äusseren Kräfte
ausdrücken lassen, so muss r + n' + 2 n'' = 2 k sein, und ausserdem
darf die aus den Koefficienten der Bedingungsgleichungen (1) gebildete
Determinante nicht gleich Null sein.^*) Die Untersuchung dieser Deter-
minante ist sehr umständlich, aber auch entbehrlich, da sich die Frage
nach der statischen Bestimmtheit und Unverschieblichkeit eines ebenen
Fachwerks stets schnell und sicher durch den Versuch entscheiden lässt,
die Auflagerkräfte und Spannkräfte eindeutig zu berechnen, etwa mit
Hilfe der Ritterschen Methode oder mit Hilfe eines Kräfteplanes. Beide
Verfahren werden hier als bekannt vorausgesetzt.

Jedes statisch unbestimmte Fachwerk lässt sich durch Beseitigung
gewisser Stäbe und Auflagerkräfte — welche in der Folge überzählig
genannt werden sollen — in ein statisch bestimmtes Fachwerk (das
Hauptnetz) verwandeln. Die Stäbe und Auflagerkräfte des Haupt-
netzes heissen die nothwendigen Glieder des Fachwerks.

2) Werden die überzähligen Stäbe eines statisch unbestimmten
Fachwerks entfernt und, damit an dem Spannungszustande des Fach-
werkes nichts geändert werde, die Spannkräfte in den weggenommenen
Stäben als äussere Kräfte wieder hinzugefügt, so ist es möglich, die
Spannkräfte in den nothwendigen Stäben und die nothwendigen Auf-
lagerkräfte durch die gegebenen Lasten und die unbekannten über-
zähligen Stabkräfte und Auflagerkräfte auszudrücken. Hierbei können
sich nur Beziehungen ersten Grades ergeben, weil in den Gleichgewichts-
1*
[4] bedingungen alle Kräfte ausschliesslich in der ersten Potenz vorkommen.
Da es nun weiter freisteht, die überzähligen Stabkräfte und Auflager-
kräfte als geradlinige Funktionen anderer, ebenfalls in der ersten Potenz
vorkommender Unbekannten darzustellen, beispielsweise als Funktionen
ihrer Momente, bezogen auf gegebene Drehpunkte, so darf man behaupten:
Sämmtliche Spannkräfte S und Auflagerkräfte C eines statisch
unbestimmten Fachwerks lassen sich stets auf die Form bringen:
wobei X', X'', X''' ...... gewisse, statisch nicht bestimmbare Grössen
bedeuten, während S0, S', S'' ...., C0, C', C'' .... Werthe
vorstellen, welche von den Unbekannten X unabhängig sind. Ins-
besondere bedeuten S0und C0die Spannkräfte und Auflagerkräfte
des statisch bestimmten Hauptnetzes, in welches das Fachwerk
übergeht, sobald sämmtliche Grössen X verschwinden; sie sind
geradlinige Funktionen der Lasten P, während die S', S'' ....
C', C'' .... von den P unabhängig sein sollen.^*)

Beispiel. Der in Fig. 2 dargestellte, bei A, B und C fest gelagerte
Dachbinder wird statisch bestimmt, sobald der Stab E C, dessen Spannkraft =
X sein möge, beseitigt wird. In den Knotenpunkten E und C sind die Kräfte
X wieder anzubringen.

Um nun die Spannkraft in irgend einem Stabe, z. B. in L N zu berechnen,

werde die Ritter’sche Methode
angewendet. Es wird das Fach-
werk durch einen Schnitt, wel-
cher ausser L N nur noch zwei
Stäbe trifft, in zwei Theile zer-
legt. An den Schnittstellen
werden die inneren Kräfte S1, S2,
S3 der geschnittenen Stäbe als
äussere Kräfte angebracht, und
nun wird für die auf den einen
der beiden Fachwerkstheile, z. B.
den linken, wirkenden äusseren
Kräfte die Gleichung der
statischen Momente aufgestellt,
wobei, wenn es sich um die
Berechnung von S1 handelt,
der Schnittpunkt von S2 und S3
zum Drehpunkte gewählt wird. Mit den Bezeichnungen in Fig. 2 ergiebt sich
und hieraus
[5] und in gleicher Weise lassen sich die Kräfte S in sämmtlichen übrigen noth-
wendigen Stäben als geradlinige Funktionen der Lasten P und der Grösse X
darstellen.

An Stelle von X hätte man auch das auf den Knotenpunkt B bezogene
Moment: M = X d dieser Kraft zu derjenigen statisch nicht bestimmbaren
Grösse wählen können, durch welche die S ausgedrückt werden sollen und
würde erhalten haben:

3) Für die Folge ist es nicht unwichtig, besonders hervorzuheben,
dass die mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen hergestellten Be-
ziehungen (2) zwischen den S, C, P und X für beliebige Werthe der
Lasten P und der statisch nicht bestimmbaren Grössen X giltig sind,
und dass mithin die theilweise Differentiation von S und C beispiels-
weise nach X' liefert:
Ferner ist zu beachten, dass S' und C' diejenigen Werthe bedeuten,
welche die Spannkräfte und Auflagerkräfte annehmen, sobald X' = 1
wird, während sämmtliche Lasten P und die übrigen statisch nicht be-
stimmbaren Grössen: X'', X''' ..... verschwinden, ein Belastungszustand,
der in der Folge kurz der „Zustand X' = 1“ genannt werden möge.

Man kann sagen:
Die durch die Ursache X' = 1 hervorgerufenen Auflagerkräfte
C' und Spannkräfte S' sind miteinander im Gleichgewichte.

Ebenso sind die C'' im Gleichgewichte mit den S'', die C''' mit
den S''' u. s. w.

§ 2.
Allgemeines über das räumliche Fachwerk.

Bedeuten für ein Fachwerk mit beliebig im Raume vertheilten
Knotenpunkten Qxm, Qym, Qzm die den Achsen eines rechtwinkligen Ko-
ordinatensystems parallelen Seitenkräfte der in irgend einem Knoten-
punkte m angreifenden äusseren Kraft Qm, ferner S1, S2 … Sp die
Spannkräfte in den von m ausgehenden Stäben und α1, α2 .... αp,
β1, β2 .... βp, γ1, γ2 .... γp die Neigungswinkel der Stabachsen gegen
die Koordinatenachsen x, y und z, so lauten die Bedingungen für das
Gleichgewicht der in m wirksamen äusseren und inneren Kräfte:
[6] und es ist, bei k Knotenpunkten, die Anzahl dieser Bedingungen = 3 k.
Zu berechnen sind
r + 3 n''' + 2 n'' + n' Unbekannte,
wobei r = Anzahl der Stäbe,
n''' = „ „ festen Stützpunkte,
n'' = „ „ auf einer Linie als Auflagerbahn beweglichen
Stützpunkte,
n' = „ „ auf einer Fläche als Auflagerbahn beweglichen
Stützpunkte.
Es erfordert nämlich die Bestimmung des Widerstandes eines festen
Stützpunktes die Angabe von 3 Seitenkräften, während bei Führung
des beweglichen Stützpunktes durch eine Linie oder eine Fläche be-
ziehungsweise zwei Seitenkräfte oder eine Seitenkraft zur Feststellung
des Auflagerdruckes ausreichen.

Im Falle r + 3 n''' + 2 n'' + n' \> 3 k ist das Fachwerk statisch
unbestimmt und im Falle r + 3 n''' + 2 n'' + n' \< 3 k ist es ver-
schieblich.

Ist r + 3 n''' + 2 n'' + n' = 3 k, und ist die aus den Koeffi-
cienten der Gleichungen (3) gebildete Determinante nicht gleich Null
(vergl. die Anmerkung auf Seite 3), so ist das Fachwerk statisch be-
stimmt und unverschieblich; sämmtliche Unbekannten lassen sich mit
Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen eindeutig berechnen. Die umständ-
liche Untersuchung der Determinante kann man sparen, indem man
sofort versucht, die Spannkräfte und Auflagerkräfte zu ermitteln. Jedes
statisch unbestimmte, räumliche Fachwerk lässt sich durch Beseitigung
der überzähligen Stäbe und Auflagerkräfte in ein statisch bestimmtes
verwandeln.

Die in § 1 unter 2) und 3) angestellten Betrachtungen gelten nicht
nur für das ebene, sondern auch für das räumliche Fachwerk; auch
bei dem letzteren ist es stets möglich, die Spannkräfte S und Auflager-
kräfte C als geradlinige Funktionen der Lasten P und gewisser statisch
nicht bestimmbarer Grössen X', X'' .... darzustellen.

§ 3.
Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grössen
X', X'' .... für beliebige, ebene oder
räumliche Fachwerke.

1. Allgemeine Form der Bedingungen für die Grössen X.
Die Längen s der Stäbe eines ebenen oder räumlichen Fachwerks mögen
um Strecken Δs zunehmen, und im Zusammenhange hiermit mögen die
[7] Knotenpunkte ihre auf ein beliebiges, festes Koordinatensystem bezogenen
Lagen ändern, wobei:

• Δ c = Verschiebung eines Stützpunktes im Sinne der in demselben
  angreifenden Auflagerkraft C,
• δ = Verschiebung des Angriffspunktes irgend einer Last P im
  Sinne von P.

Bezüglich aller dieser Verschiebungen wird nur vorausgesetzt, dass
sie möglich sind und klein genug, um als verschwindende
Grössen aufgefasst werden zu dürfen. Es gilt dann der Satz
von den virtuellen Verschiebungen (Princip der virtuellen Ge-
schwindigkeiten), welcher aussagt, dass im Falle des Gleichgewichtes
der inneren und äusseren Kräfte die Arbeit der ersteren gleich der-
jenigen der letzteren ist, und es folgt die Gleichung:
(4)
welche wir in der Folge die Arbeitsgleichung des Fachwerks nennen
wollen, und welche mit den durch die Gleichungen 2 für C und S
gegebenen Werthen übergeht in
(5)
sie gilt für beliebige Werthe der Lasten P und statisch nicht
bestimmbaren GrössenX', X'' ....

Wir nehmen nun den besonderen Fall an, dass X' = 1 wird,
während sämmtliche Lasten P und die übrigen statisch nicht bestimm-
baren Grössen verschwinden und erhalten die Beziehung
(6)
Es können diese Gleichungen — mit Hinweis auf die Ausdrucksweise
am Schlusse des § 1 — beziehungsweise als die Arbeitsgleichungen für
die Zustände X' = 1, X'' = 1, X''' = 1 u. s. w. bezeichnet werden;
ihre Anzahl stimmt mit derjenigen der Unbekannten X überein, und
sie ermöglichen deshalb die Berechnung der Werthe X; man braucht
sie nur auf die wirklichen elastischen Formänderungen des Fachwerks,
welche nach einem durch die Erfahrung gegebenen Gesetze von den
inneren und äusseren Kräften abhängen, anzuwenden.

Bevor dies geschehe, werde noch bemerkt, dass sich die Bedingungen
6 mit Beachtung der Gleichungen
auch in der Form anschreiben lassen:
[8](7)
in welcher sie sich unmittelbar ergeben, sobald die Gleichung 4 nach
allen unabhängigen Veränderlichen X', X'' ..... theilweise differentiirt
wird und hierbei die Verschiebungen δ, Δ c, Δ s, sowie die Lasten P
als Konstanten betrachtet werden, was bei der Willkürlichkeit dieser
Grössen gestattet ist.

2. Die Verschiebungen Δ s und Δ c. Es wird vorausgesetzt,
dass das Fachwerk bei einem bestimmten Temperaturzustande vor Ein-
wirkung der Belastung spannungslos sei (Anfangszustand), und
dass sich die Anfangstemperatur eines Stabes in allen Theilen desselben
um den gleichen Betrag t ändere. Bedeutet dann:

• E den Elasticitätsmodul des Stabmateriales,
• F „ Inhalt des Stabquerschnittes,
• ε „ Ausdehnungskoefficienten für t = 1,

so ist erfahrungsgemäss
(8)
wobei, bezogen auf die Tonne und das Meter als Einheiten, und wenn
t in Celsiusgraden ausgedrückt wird, durchschnittlich gesetzt werden
darf:

• für Schmiedeeisen: E = 20000000, ε = 0,000012, ε E = 240,
• „ Gusseisen: E = 10000000, ε = 0,000011, ε E = 110,
• „ Holz: E = 1100000, ε = 0,000004, ε E = 4,4.

Die Verschiebungen Δ c der Stützpunkte hängen von der Form,

der Elasticität, der
Belastung und der
Temperaturände-
rung der das Fach-
werk stützenden
Körper ab; sie lassen
sich fast nie mit
Sicherheit angeben
und werden
meistens gleich Null
gesetzt oder ge-
schätzt. Besitzen
unbeabsichtigte Störungen der Stützlage einen grösseren Einfluss auf
den Spannungszustand eines Fachwerkes, so darf dieses nur bei sicherer
[9] Stützung ausgeführt werden. Beispielsweise sind kontinuirliche Balken
und Bogenträger ohne Gelenke bei unsicherem Baugrunde zu verwerfen.

Im Falle starrer und reibungsloser Widerlager lauten die Be-
dingungsgleichungen, denen die statisch nicht bestimmbaren Grössen X
zu genügen haben:
(9)

3. Beispiel zur Erläuterung der allgemeinen Theorie. Der
in Fig. 3 dargestellte Dachbinder sei bei A und B fest gelagert und
werde bei E und F durch Säulen gestützt, welche am Kopfe und am
Fusse reibungslose Gelenke besitzen.

Alle Verschiebungen mögen auf das feste Koordinatensystem (x, y)
bezogen werden. Nachgeben der Widerlager verursache eine Vergrösserung
der Stützweite l um
Δ l und Senkungen
der Stützpunkte E
und F um δ' bezieh.
δ''. Die Lasten P
seien beliebig ge-
richtet; die senkrech-
ten Seitenkräfte der
Stützendrücke an den
Enden seien = A und
= B, die wage-
rechten = C und
= D; die Säulen
üben die Gegen-
drücke X' und X''
aus.

Beseitigung der
beiden Mittelstützen
führt zu dem statisch
bestimmten Haupt-
netze, Fig. 4 (Bogen
mit 3 Gelenken),
dessen Auflagerkräfte
A0, B0, C0, D0 und
Stabkräfte S0 sich

leicht berechnen lassen. (Zeichnen eines Kräfteplanes oder Anwendung
der Ritter’schen Methode).

Werden alle Kräfte P und auch X'' = 0 gesetzt, während X' = 1
angenommen wird, so entsteht der in Fig. 5 dargestellte Belastungs-
zustand mit den Auflagerkräften
[10]^*) und den leicht zu berechnenden Spannkräften S'; wir nennen ihn kurz:
Zustand X' = 1. Verschwinden die Kräfte P und X', während X'' = 1
wird, so entsteht der Belastungszustand Fig. 6 (Zustand X'' = 1)
mit den Auflagerkräften
und den Spannkräften S''.

Für das statisch unbestimmte Fachwerk in Fig. 3 ergiebt sich nun
(I)

Die Gleichungen zur Berechnung von X' und X'' werden durch
Anschreiben der Arbeitsgleichungen für die Zustände X' = 1 und X'' = 1
erhalten. Im ersteren Belastungsfalle (Fig. 5) leistet die Auflagerkraft
D' die virtuelle Arbeit D' · Δ l = und die in E angreifende
Kraft 1 leistet, da sich Punkt E um δ' senkt, die Arbeit (— 1 · δ');
es ergiebt sich daher:
während für den Belastungsfall in Fig. 6 in derselben Weise die Gleichung
gewonnen wird. Drückt man Δ s nach Gleich. 8 aus, so folgt:
und
Wir wollen E, ε und t für sämmtliche Stäbe konstant annehmen und
die vorstehenden Gleichungen mit einer beliebigen Querschnittsfläche Fc
[11] multipliciren. Drücken wir dann noch S nach der letzten der Gleich. I
aus und setzen zur Abkürzung
so erhalten wir:
(II)

Die Multiplikation mit Fc ist zu empfehlen, sobald, was meistens
der Fall sein wird, mehrere Stäbe des Fachwerks denselben Querschnitt
erhalten; setzt man dann Fc gleich der am häufigsten vorkommenden
Querschnittsfläche, so erhält man möglichst viele Verhältnisse = 1.
Stimmen für eine grössere Anzahl von Stäben sowohl Länge als Quer-
schnitt überein, so kann man Fc so annehmen, dass s' = durch
eine runde Zahl ausgedrückt wird.

Sollen nun die Gleichungen II für einen bestimmten Fall der An-
wendung aufgelöst werden, so müssen gewisse Voraussetzungen über
die Grösse der Verschiebungen δ', δ'' und Δ l gemacht werden. Lehnt
sich der Dachstuhl bei A und bei B gegen gemauerte Widerlager, so
wird in der Regel Δ l = 0 angenommen. Weiter wird meistens die
Zusammendrückung des Baugrundes und der Säulen-Fundamente (weil
schwer anzugeben) vernachlässigt, so dass δ' und δ'' gleich sind den
Verkürzungen der Säulen in Folge der Drücke X' und X'', vermindert
um die Verlängerungen derselben in Folge einer Erhöhung der Tempe-
ratur. Ist also

• E0 = Elasticitätsmodul des Säulenmateriales,
• ε0 = Ausdehnungskoefficient für t = 1 0,
• F0 = Inhalt des Säulenquerschnittes,
• s0 = Länge einer Säule,

so ergiebt sich
und es gehen die Gleichungen II über in
[12] sie enthalten jetzt nur noch die Unbekannten X' und X''.

Die Durchführung der Rechnung in Zahlen erfordert natürlich, dass
alle Querschnittsinhalte (deren Bestimmung in der Regel das Ziel einer
statischen Berechnung ist) bekannt sind; es müssen also diese Inhalte,
sobald es sich um ein neu zu entwerfendes Fachwerk handelt, zunächst
abgeschätzt oder mit Hilfe von angenäherten Rechnungsmethoden er-
mittelt werden.

4. Zahlenbeispiel. Es ist der Horizontalschub X des in Fig. 7
dargestellten, bei A und B fest gelagerten Bogenträgers zu berechnen.
Stützweite 20m, Feldweite 2m. Die unteren Knotenpunkte liegen auf
einer Parabel, deren Pfeil = 2,5m ist; die obere Gurtung ist gerad-
linig; Höhe der Endvertikale = 3m. Die Knotenpunktslasten sind = 1t
bezieh. 0,5t. Die in Fig. 7 an die Stäbe gesetzten Zahlen geben, links
von der Mitte, die Stablängen in cm und, rechts von der Mitte, die In-
halte der Querschnitte in qcm an.

Im Falle X = 0 entsteht ein statisch bestimmter Fachwerkbalken,
dessen Spannkräfte S0 mit Hilfe eines Kräfteplanes ermittelt und in
der nachstehenden Tabelle zusammengestellt wurden. Sodann sind in
Fig. 8 diejenigen Stabkräfte S' eingetragen worden, welche thätig sind,

sobald in A und
B zwei auswärts
gerichtete, wage-
rechte Kräfte 1
auf das im übrigen
unbelastet und
gewichtslos ge-
dachte Fachwerk
wirken. Aus den
Werthen S0 und
S' ergeben sich
die Spannkräfte:
(I) S = S0 — S' X.
Um X zu berech-
nen, schreiben wir die Arbeitsgleichung für den Belastungszustand in
Fig. 8 an; sie lautet, wenn sich l um Δ l vergrössert:
und geht mit
[13] über in
(III)
Werden E und ε für alle Stäbe gleich gross angenommen, und wird
die vorstehende Gleichung mit der beliebigen Querschnittsfläche Fc mul-
tiplicirt, so geht sie, mit der Abkürzung
über in
und liefert
(IV)
Die Belastung erzeugt für sich allein
(V)

In der folgenden Tabelle sind die den einzelnen Stäben entsprechen-
den Werthe S' S0s' und , bei deren Berechnung Fc = 100qcm an-
genommen wurde, zusammengestellt worden. Es ergiebt sich für die
eine Hälfte des in Bezug auf die Mitte symmetrischen Trägers
mithin ist
und
also beispielsweise für die erste Diagonale
Werden die Knotenpunktslasten 1t und 0,5t beziehungsweise durch P
und 0,5 P ersetzt, so entsteht X = 8,8 P und dieser Werth bleibt giltig,
wenn man sämmtliche Querschnittsflächen mit ein und derselben Zahl
multiplicirt, so dass es bei der Berechnung des durch die Belastung er-
zeugten Horizontalschubes H eines zu entwerfenden Fachwerkbogens nur
darauf ankommt, das gegenseitige Verhältniss der Querschnittsflächen
abzuschätzen.

Der durch eine Erhöhung der Temperatur hervorgerufene Horizon-
talschub möge unter der Voraussetzung eines konstanten t berechnet
werden; er ergiebt sich nach Gleichung IV:
und, wenn für Schmiedeeisen ε E = 240 (bezogen auf die Tonne und das
[14] Meter) gesetzt und t = 400 Cels. angenommen wird, mit Fc = 100qcm
= 0,01qm,

Um den Werth Σ S' s, welcher sich über den ganzen Träger erstreckt,
schnell zu berechnen, beachte man, dass in der Arbeitsgleichung II unter
Δ l und Δ s beliebige, aber mögliche und genügend kleine Verschiebungen
verstanden werden dürfen. Solche mögliche Verschiebungen entstehen
unter Anderem, wenn das Fachwerk eine der früheren ähnliche Form
annimmt, wenn sich also s um ω s und l um ω l ändert, unter ω eine
Konstante verstanden. Gleichung II geht dann über in
sie liefert
[15] und es folgt somit:
X = 0,214 · 20 = 4,3t.

Eine durch Nachgeben der Widerlager entstandene Vergrösserung
der Stützweite um Δ l bedingt nach Gleich. IV den Horizontalschub
und beispielsweise für Δ l = 1cm = 0,01m:
X = — 4,5t.

§ 4.
Verschiebungen der Knotenpunkte eines Fachwerks.
Allgemeine Untersuchungen.

Werden die Knotenpunkte des Fachwerks mit 1, 2, 3 … m .... n
bezeichnet und die in denselben angreifenden Lasten mit P1, P2,
P3 … Pm .... Pn, so lautet die in § 3 aufgestellte Arbeitsgleichung (4):
(10) ;
sie gilt für beliebige mögliche Verschiebungen δ, Δ c und Δ s und für
beliebige Werthe der Lasten P und liefert unmittelbar die durch be-
stimmte Δ c und Δ s hervorgerufene Verschiebung δm des Knotenpunktes
m im Sinne von Pm, sobald P1 bis Pm — 1 und Pm + 1 bis Pn gleich Null
gesetzt werden, während Pm = 1 angenommen wird. Da nun aber die
Gleichung 10 auch für beliebige Werthe der statisch nicht bestimm-
baren Grössen X giltig ist, so wird es sich empfehlen, sämmtliche X
gleich Null zu setzen, d. h.
man wird, um die durch irgend einen, kurz mit L bezeichneten,
Belastungszustand erzeugte Verschiebung δm zu berechnen, die
Arbeitsgleichung für das durch Pm = 1 belastete, statisch be-
stimmte Hauptnetz anschreiben und in diese Gleichung die dem
Belastungszustande L entsprechenden Verschiebungen Δ c und Δ s
einsetzen.

Hierbei ist es ganz gleichgiltig, in welcher Weise das statisch be-
stimmte Hauptnetz gebildet wird. Dass dies auf verschiedenartige Weise
geschehen kann, geht daraus hervor, dass bei der Auswahl der als
statisch nicht bestimmbar aufzufassenden Grössen — innerhalb gewisser
Grenzen — nach Willkür verfahren werden darf.

Auch ist hervorzuheben, dass bei der Berechnung der Knotenpunkts-
verschiebungen δ andere Hauptnetze gebildet werden dürfen, wie bei
der Berechnung der Spannkräfte.

Zahlenbeispiel. Es wird die Senkung δ3 des Knotenpunktes 3 des

in Fig. 9 dargestellten, statisch
bestimmten Fachwerkträgers ge-
sucht. Die Knotenpunktslasten
sind 8t und 4t. Stützweite = 12m,
Trägerhöhe = 4m, Feldweite
= 3m, Länge einer Diagonale
= 5m. In Fig. 9 sind die Spann-
kräfte S zusammengestellt worden;
die ihnen entsprechenden Aen-
derungen der Stablängen sind,
wenn die Anfangstemperatur er-
halten bleibt,
.
Figur 10 giebt diejenigen Spann-
kräfte 𝔖, welche entstehen, so-
bald im Knotenpunkte 3 nach der Richtung der gesuchten Verschiebung
(d. i. also im vorliegenden Falle senkrecht) eine Last 1 angreift. Die
Arbeitsgleichung lautet für diesen Belastungszustand
,
sie gilt für beliebige zusammengehörige Werthe δ3 und Δ s, und liefert
insbesondere die dem Belastungsfalle in Fig. 9 entsprechende Senkung
δ3, sobald die für diesen Belastungsfall berechneten Δ s eingesetzt werden.
Bei konstantem E folgt:
.
Die den einzelnen Stäben entsprechenden Produkte sind in der
Tabelle auf Seite 17 zusammengestellt worden. Man findet
und, wenn, für Schmiedeeisen, E = 2000t für das qcm gesetzt wird,
.

Beispiel 2. Es soll die Senkung δ des Scheitels G des in Fig. 3
auf Seite 8 dargestellten Dachbinders ermittelt werden.

Nachdem die statisch nicht bestimmbaren Grössen X' und X'' nach
der im § 3 gegebenen Anleitung berechnet und die Spannkräfte S = S0
+ S' X' + S'' X'' ermittelt worden sind, werden die wirklichen Längen-

(Tabelle zum Zahlenbeispiele auf Seite 16.)

änderungen Δ s = für sämmtliche Stäbe, sowie etwaige Ver-
schiebungen der Stützpunkte festgestellt.

Hierauf wird das statisch bestimmte Hauptnetz (Fig. 11) mit der

in G angreifenden Kraft 1 belastet. Es entstehen die Auflagerkräfte
A = B = ½ und ,
Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 2
[18] sowie gewisse, leicht bestimmbare Spannkräfte 𝔖, und es lautet die
Arbeitsgleichung
,
sie gilt für beliebige zusammengehörige δ und Δ s. Setzt man also die
wirklichen (dem Belastungszustande in Fig. 3 entsprechenden) Form-
änderungen Δ l und Δ s ein, so erhält man auch die wirkliche Senkung δ.

Wird die wagerechte Verschiebung δ' des Punktes G gesucht und
hierbei δ' positiv angenommen, sobald sich G nach rechts verschiebt,
so ist das statisch bestimmte Hauptnetz mit einer nach rechts gerich-
teten Kraft 1 zu belasten (Fig. 12). Diese erzeugt die Auflagerkräfte
A' = , abwärts gerichtet^*),
B' = , aufwärts gerichtet,
C' = D' = ½,
sowie Spannkräfte 𝔖', und es ergiebt sich die Arbeitsgleichung
, aus welcher
erhalten wird.

Beispiel 3. Gesucht sei die Senkung δm des Knotenpunktes n
der Mittel-Oeffnung eines kontinuirlichen Fachwerkträgers mit 4 Stütz-
punkten (Fig. 13 a).

Nachdem für den vorgeschriebenen Belastungsfall die Spannkräfte
S ermittelt worden sind, wird der Theil des Fachwerks, welchem der
Knotenpunkt m angehört, statisch bestimmt gemacht. Dies geschielt
am zweckmässigsten durch Beseitigung der beiden Stäbe L N und R T.
Der Trägertheil C1C2 ist jetzt als ein einfacher Balken aufzufassen
(Fig. 13 b); er wird im Punkte m mit der senkrechten Kraft 1 belastet,
und hierauf werden die Auflagerkräfte und und die Spannkräfte
𝔖 berechnet. Schliesslich wird die Arbeitsgleichung
angeschrieben; sie liefert, wenn für Δ s die wirklichen Aenderungen
[19] der Stablängen gesetzt werden, die wirkliche senkrechte Verschiebung
des Punktes m gegen die fest gedachte Gerade C1C2. Senken sich die

Stützpunkte C1 und C2 beziehungsweise um δ' und δ'', so ist zu δm noch
der durch die Figur 13 c nachgewiesene Betrag
hinzuzufügen.

§ 5.
Die Biegungspolygone für ebene Fachwerkträger.

1) Trägt man die (nach unten positiv gezählten) senkrechten Ver-
schiebungen .... δm ‒ 1, δm, δm + 1 ...... der Knotenpunkte .... m — 1,
m, m + 1 ..... einer Gurtung A B eines in einer lothrechten Ebene
gedachten Fachwerks von einer Wagerechten A' B' aus als Ordinaten
auf und verbindet die Endpunkte derselben durch gerade Linien, so erhält
man das der gegebenen Belastung entsprechende Biegungspolygon
der Gurtung A B (Fig. 14 a). Dasselbe lässt sich bestimmen, sobald
die Längenänderungen der Gurtstäbe und die Aenderungen der von je
zwei aufeinander folgenden Gurtstäben gebildeten Winkel, welche wir
kurz die Randwinkel nennen und = ϑ setzen wollen, bekannt sind.

Die Fläche zwischen dem Biegungspolygone und der zugehörigen
Abscissenachse möge die Biegungsfläche der Gurtung heissen.

Wir betrachten zuerst das
Biegungspolygon einer unteren Gurtung, bezeichnen

• mit sm und sm + 1 die Längen der einem Knotenpunkte m benachbarten
  Gurtstäbe,
• „ γm und γm + 1 die von der Wagerechten durch das linke Stab-
  ende aus nach unten positiv gezählten Neigungswinkel dieser Stäbe,

• mit cm und cm + 1 die senk-
  rechten Projektionen
  von sm und sm + 1,
• „ λm und λm + 1 die wage-
  rechten Projektionen
  von sm und sm + 1,
• „ Δ s, Δ γ, Δ c, Δ λ die
  Aenderungen von s, γ,
  c und λ, und erhalten
  δm — δm ‒ 1 = Δ cm,
• δm + 1 — δm = Δ cm + 1.
  Wird die Gleichung
  cm = sm sin γm

differentiirt und hierbei das
Differentialzeichen d durch
das Zeichen Δ ersetzt, so
folgt:
Δ cm = Δ sm sin γm
+ sm cos γm Δ γ m
und nach Division durch
λm = sm cos γm:
,
und ebenso ergiebt sich
,
so dass
wird.

Nun ist aber
ϑm + γm — γ m + 1 = 180°, mithin Δ ϑm + Δ γm — Δ γm + 1 = 0,
und es entsteht, wenn die Δ c durch die δ ausgedrückt werden:
.

Bezeichnet man mit
und
die Spannungen in den Gurtstäben sm und sm + 1 und setzt zur Ab-
kürzung
(11) ,
[21] so folgt die Gleichung
(12) ,
welche eine einfache Deutung zulässt.

Wird ein Balken A' B' (Fig. 14 b) durch senkrechte Lasten
..... Pm ‒ 1, Pm, Pm + 1 ....., welche in Abständen .... λm, λm + 1 ....
wirken, beansprucht, so besteht zwischen den Vertikalkräften Vm und
Vm + 1, welche beziehungsweise innerhalb der Strecken λm und λm + 1
konstant sind, die Beziehung
Vm — Vm + 1 = Pm.
Bedeuten nun .... Mm ‒ 1, Mm, Mm + 1 .... die Biegungsmomente für
die durch die Angriffspunkte der Lasten ..... Pm ‒ 1, Pm, Pm + 1 ....
gelegten Balkenquerschnitte, so ist
und ,
und es folgt:
.^*)

Vergleicht man diese Beziehung mit der Gleichung (12), so ist
ersichtlich, dass man das Biegungspolygon einer Fachwerks-
gurtung auffassen darf als das Momentenpolygon eines
Balkens A' B', welcher durch Lasten … wm ‒ 1, wm, wm + 1 .....
beansprucht wird (Fig. 14 a).

Sind insbesondere die Verschiebungen des ersten und des letzten
Knotenpunktes (o und n) der Gurtung gleich Null, wie dies in der
Fig. 14 a vorausgesetzt worden

ist, so ist der Balken A' B' ein
einfacher, d. h. an den Enden frei
aufliegender.

Handelt es sich um das
Biegungspolygon einer Gurtung
A B, deren Endknotenpunkte sich
um Strecken δ' und δ'' senken
(beispielsweise der Gurtung des
Mittelfeldes eines kontinuirlichen
Trägers mit verschieblichen Stütz-
punkten, Fig. 15), so setze man zuerst δ' und δ'' gleich Null, berechne
[22] also das den Lasten w entsprechende Momentenpolygon A' L B' eines
einfachen Balkens A' B' und füge schliesslich zu den Ordinaten dieses
Polygons die Ordinaten der Geraden A'' B'', welche durch A' A'' = δ' und
B' B'' = δ'' gegeben ist. Die in der Fig. 15 schraffirte Fläche ist die
gesuchte Biegungsfläche. Für das
Biegungspolygon einer oberen Gurtung ergiebt sich, wenn

• βk und βk + 1 die von der Wagerechten durch das linke Stabende
  aus nach oben positiv gezählten Neigungswinkel der Gurtstäbe
  sk und sk + 1

bedeuten (Fig. 14), in gleicher Weise
,
wobei
(13)
ist. Der durch die Lasten wk beanspruchte Balken A' B', dessen Mo-
mentenpolygon mit dem gesuchten Biegungspolygone übereinstimmt, ist,
wie vorhin, als ein an den Enden frei aufliegender anzusehen, sobald
der erste und der letzte Knotenpunkt der betrachteten Gurtung keine
senkrechten Verschiebungen erfahren. Handelt es sich nun beispielsweise
um die obere Gurtung eines Fachwerkträgers mit Endvertikalen (Fig. 14 c),
so hat man, nach Aufzeichnung des Momentenpolygons A' C B' für den
an den Enden freiliegenden Balken A' B', zu den Ordinaten dieses Po-
lygons noch die der Geraden A'' B'' zu addiren, wobei die Strecken
A'̅ A''̅ und B'̅ B''̅ gleich den Verkürzungen δo bezieh. δn der Endver-
tikalen zu machen sind.

Will man die Senkungen der Knotenpunkte C, D, E, F der oberen

Gurtung einer Mittelöffnung eines kontinuirlichen
Balkens bestimmen (Fig. 15), so betrachte man
das Polygon A C D E F B als obere Gurtung und
die Stützpunkte A und B, deren Verschiebungen
stets gegeben sind, beziehungsweise als Anfangs-
und Endknotenpunkt.

Bei einem Fachwerke mit Vertikalen (Fig. 16)
findet man nach Bestimmung des Biegungspoly-
gones der unteren Gurtung dasjenige der oberen
(oder umgekehrt) mit Hilfe der Beziehung
δm — δk = Δ h,

• wobei δm = Senkung des unteren Knotenpunktes m,
• δk = Senkung des oberen Knotenpunktes k,
• Δh = Verlängerung der die beiden Punkte m und k verbindenden
  Vertikale.

Berechnung der Δ ϑm. Wir beschränken uns in diesem Buche
auf die Behandlung des Falles, in welchem das

Fachwerk durch Aneinanderfügung von Dreiecken
entstanden gedacht werden kann. Es setzt sich
dann jeder Winkel ϑ aus einzelnen Dreieckswinkeln
zusammen, und es genügt, die Berechnung der
Aenderung eines solchen zu zeigen.

Sind a1, a2, a3 die Seiten eines Dreiecks und
α1, α2, α3 die ihnen gegenüberliegenden Winkel,
und bedeutet h das Loth von A auf a1, so folgt:
a1 = a2 cos α3 + a3 cos α2
und hieraus durch Differentiiren:
Δ a1 = Δ a2 cos α3 — a2 sin α3 Δ α3 + Δ a3 cos α2 — a3 sin α2 Δ α2
.

Nun ist aber α1 + α2 + α3 = 180° also Δ α1 + Δ α2 + Δ α3 = 0
und Δ α2 + Δ α3 = — Δ α1, ferner ist a2 cos α3 = h cotg α3 und
a3 cos α2 = h cotg α2, weshalb sich ergiebt:
.
Bezeichnet man mit σ1, σ2, σ3 die Spannungen in den Stä ben a1, a2
a3 und setzt die Temperaturänderung

t = 0 voraus, so ist
.
Beachtet man noch
,
so findet man, wenn E konstant ist, zur Berechnung der durch die
Spannungen σ hervorgebrachten Winkeländerung die Gleichung
(14) E Δ α1 = (σ1 — σ2) cotg α3 + (σ1 — σ3) cotg α2.
Für die Aenderung des Winkels ϑ in Fig. 18 ergiebt sich z. B. mit
den an die einzelnen Stäbe geschriebenen Spannungen σ die Gleichung:
(15) E Δ ϑ = (σ2 — σ1) cotg α1 + (σ2 — σ3) cotg α2 + (σ4 — σ3) cotg α3
+ (σ4 — σ5) cotg α4 + (σ6 — σ5) cotg α5 + (σ6 — σ7) cotg α6.

Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt werden, so ergiebt
sich die Aenderung Δ s einer Stablänge s aus
;
[24] es treten alsdann in den Gleichungen (11) bis (15) an die Stelle der
Spannungen σ die Werthe σ + ε Et.

Zahlenbeispiel. Es soll das Biegungspolygon für die untere
Gurtung des in Fig. 19 dargestellten Schwedler-Trägers berechnet

werden. Material: Schmiedeeisen. Jeder untere Knotenpunkt ist mit
11,39t, jeder obere mit 1,33t belastet. In Figur 17 geben links von
der Mitte die nicht eingeklammerten Zahlen die Stablängen in cm an
und die eingeklammerten Zahlen die Querschnittsinhalte F in qcm; die
Zahlen rechts von der Mitte sind gleich den Spannkräften in Tonnen.

In Figur 20 bedeuten die an die Stäbe geschriebenen Zahlen die

in Tonnen für das qcm ausgedrückten Spannungen und die in die
Winkel gesetzten Zahlen sind gleich den Cotangenten der Winkel.

Es ergeben sich folgende Werthe für die den unteren Randwinkeln
entsprechenden Produkte E Δ ϑm:
E Δ ϑ1 = (— 0,68 — 0,71) 1,33 + (— 0,68 + 0,28) 0,75 + (0,48
+ 0,28) 0,75 + (0,48 — 0,71) 1,33 = — 1,88
[25]E Δ ϑ2 = (— 0,28 — 0,48) 0,75 + (— 0,69 — 0,48) 0,66 + (— 0,69
— 0) 0,39 + (0,51 — 0) 1,11 + (0,51 — 0,65) 0,90 = — 1,17
E Δ ϑ3 = (0 — 0,51) 1,11 + (— 0,72 — 0,51) · 0,68 + (— 0,72
+ 0,04) 0,14 + (0,53 + 0,04) 1,25 + (0,53 — 0,71) 0,8
= — 0,93
E Δ ϑ4 = (— 0,04 — 0,53) 1,25 + (— 0,68 — 0,53) 0,8 + (0,27
+ 0,06) 1,25 + (0,27 — 0,73) 0,8 = — 1,64
E Δ ϑ5 = {(— 0,06 — 0,27) 1,25 + (— 0,71 — 0,27) 0,8} 2
= — 2,39.

Da die untere Gurtung wagerecht ist, so folgt aus der Gleichung 11:
wm = — Δ ϑm.

Berechnet man also das Momentenpolygon für einen einfachen, an
den Enden frei aufliegenden Balken A' B' (Fig. 19), welcher durch die
Einzellasten
— E · Δ ϑ1 = 1,88, — E Δ ϑ2 = 1,17 u. s. w.
beansprucht wird, so sind die Ordinaten M dieses Polygons gleich den
mit E multiplicirten Durchbiegungen δ. Ist die Feldweite λ konstant,
so darf man bei der Berechnung der Momente M für den Balken A' B'
die Annahme λ = 1 machen und erhält dann .

Es ergiebt sich:
M1 = 6,815, M2 = 11,750, M3 = 15,515, M4 = 18,350
und M5 = 19,545^*),
und es folgen nun, wegen λ = 400cm und E = 2000t für das qcm,
die Durchbiegungen:
;
also ,
δ3 = 3,1cm, δ4 = 3,7cm, δ5 = 3,9cm.

§ 6.
Das Biegungspolygon eines Netzwerkes.
(Zweites Verfahren.)

Haben sämmtliche Stäbe eine gegen die Senkrechte geneigte Lage,
so nennt man das Stabsystem ein Netzwerk. Für ein solches möge
dasjenige Polygon bestimmt werden, dessen Ordinaten gleichzeitig die
senkrechten Verschiebungen δ der Knotenpunkte der oberen und der
unteren Gurtung liefern.

Mit Bezugnahme auf die aus der Fig. 21 zu ersehende Bezeich-

nung der Knotenpunkte sollen
bedeuten:

• om die Länge des einem Knoten-
  punkte m der unteren
  Gurtung gegenüberliegen-
  den Obergurt-Stabes,
• uk die Länge des einem Knoten-
  punkte k der oberen Gurtung
  gegenüberliegenden Unter-
  gurt-Stabes,
• dm die Länge der mten Diago-
  nale,
• βm den Neigungswinkel von om
  gegen die Wagerechte,
• γk den Neigungswinkel von uk
  gegen die Wagerechte,
• φm den Neigungswinkel von dm
  gegen die Wagerechte,
• em die senkrechte Projektion
  von dm.

Um eine einfache Beziehung
zwischen den Verlängerungen
Δ om, Δ dm, Δ dm + 1 der Seiten
des Dreiecks (m — 1) — m — (m + 1), und den Verkürzungen
Δ em = δm ‒ 1 — δm und Δ em + 1 = δm + 1 — δm
der Strecken em und em + 1 zu erhalten, denken wir dieses Dreieck heraus-
gelöst und in den Punkten m — 1 und m + 1 mit den senkrechten
Kräften und belastet, Fig. 22, während wir den Punkt m
festlegen. In den drei Stäben om, dm, dm + 1 entstehen gewisse Spann-
kräfte μ1, μ2, μ3, und es lautet, da μ2, und μ3 Drücke sind, die Arbeits-
gleichung:
[27] Mit Hilfe des Kräfteplanes in Fig. 22 ergiebt sich nun, wenn hm die
bei m gemessene senkrechte Höhe des Fachwerks bedeutet,
= λm sec βm : hm und hieraus ,
= dm : hm = λm sec φm : hm „ „ ,
= dm + 1 : hm = λm + 1 sec φm + 1 : hm und hieraus
,
und es wird
.
Werden die Δ e durch die δ ausgedrückt, so folgt
,
und ebenso ergiebt sich, wenn k ein Knotenpunkt der oberen Gurtung
ist, zwischen den Verschiebungen δk ‒ 1, δk, δk + 1 die Beziehung
.

Vergleicht man diese Beziehungen mit den auf Seite 20 abgeleiteten
Gleichungen 11 und 12, so erkennt man,
dass das gesuchte Biegungspolygon mit dem Mo-
mentenpolygone eines Balkens A' B' übereinstimmt,
welcher durch senkrechte Kräfte
(16) , und
(17)
belastet wird.

In Figur 21 ist vorausgesetzt worden, dass die senkrechten Ver-
schiebungen der Endpunkte a und B gleich Null sind, dass also A' B'
ein an den Enden frei aufliegender Balken ist.

Zahlenbeispiel. Es sollen die senkrechten Verschiebungen sämmt-
licher Knotenpunkte des in Fig. 23 dargestellten schmiedeeisernen Netz-
werkes unter der Voraussetzung berechnet werden, dass in jedem
Knotenpunkte der oberen Gurtung eine Last = 12t angreift.

In Fig. 23 sind die Spannkräfte in Tonnen (nicht eingeklammerte
Zahlen) und die Stablängen in dm (eingeklammerte Zahlen) angegeben
[28] und in Fig. 24 die unter der Annahme E = 100 (statt des wirklichen

Werthes E = 200000t für
das qdm) berechneten Ver-
längerungen der Stäbe in dm
und die Querschnittsflächen
in qdm zusammengestellt wor-
den. Für den ersten Stab der
oberen Gurtung beträgt z. B.
die Querschnittsfläche 0,45 qdm
und die Verlängerung Δ o
.
Schliesslich wurden in Fig. 25
die senkrechten Trägerhöhen
und die mit der Sekante des
Stab-Neigungswinkels (gegen
die Wagerechte) multiplicirten
Verlängerungen eingetragen,
z. Beisp. für eine Diagonale
des Mittelfeldes Δ d · sec φ
.

Es ergeben sich jetzt mittelst
der Gleichung 16 für die un-
teren Knotenpunkte 1, 3 und 5 die Werthe
,
,
und mittelst der Gleichung 17 für die oberen Knotenpunkte die Werthe
,
.

Um die Biegungsmomente für den mit den Werthen w belasteten
Balken A' B' schnell zu erhalten, berechnen wir zuerst die Vertikalkräfte
V5 = ½ w5 = 0,30, V4 = 0,30 + w4 = 2,76, V3 = 2,76 + w3 = 3,37,
V2 = 3,37 + w2 = 5,21, V1 = 5,21 + w1 = 7,34
und hierauf, unter der vorläufigen Annahme: λ = 1, die Biegungs-
momente
[29] M1 = V1 = 7,34, M2 = M1 + V2 = 12,55, M3 = M2 + V3 = 15,92,
M4 = M3 + V4 = 18,68 und M5 = M4 + V5 = 18,98.
Um die Durchbiegungen zu erhalten, müssen wir die Momente M mit
λ = 20dm multipliciren und (da wir vorhin E = 100 statt E = 200000
setzten) durch 2000 dividiren. Es ergiebt sich
und ebenso δ4 = 18,7mm, δ3 = 15,9mm, δ2 = 12,6mm, δ1 = 7,3mm.

§ 7.
Aenderung der Länge einer Gurtsehne. (Fig. 26.)

Es soll die Verlängerung ξ der irgend zwei Knotenpunkte 0 und
n einer Gurtung verbindenden Sehne bestimmt werden. Die Lothe von
den Knotenpunkten

1, 2, … m .... auf
diese Sehne seien =
y1, y2, .... ym ....,
und die Projektionen
der Längen s1, s2,
..... sm ..... der
von der Sehne 0 — n
unterspannten Gurt-
stäbe auf 0 — n seien
= e1, e2, .... em .....

Die Vergrösserung
irgend eines Rand-
winkels ϑm um Δ ϑm bedingt die durch die Figur 27 nachgewiesene
Aenderung ξ = ym Δ ϑm, und die Verlängerung Δ Sm der Länge sm eines
Gurtstabes erzeugt ξ = Δ sm cos ψm, wobei
ψm = Neigungswinkel des Stabes sm gegen die fragliche Sehne.

Im Ganzen entsteht also
und, wenn für den Fall t = 0
gesetzt wird,
(18) .

Beispiele für die Anwendung dieser Gleichung finden sich im § 8
und § 10.

§ 8.
Aufgaben, betreffend die Ermittelung von
Biegungspolygonen.

Aufgabe 1. Gesucht die senkrechten Verschiebungen der Knoten-

punkte der unteren Gurtung des
in Fig. 28 dargestellten Fach-
werkträgers mit 2 nicht an den
Enden stehenden Stützen a und B.

Man nehme zunächst C und
D in senkrechter Richtung un-
verschieblich an und zeichne das
Momentenpolygon C' A' N B' D' für
einen bei C' und D' frei auf-
liegenden Balken, auf welchen
die nach Gleich. 11 berechneten
Lasten w (welche theils positiv,
theils negativ sind ^*) wirken.
Bringt man hierauf die Senkrech-
ten durch die festen Stützpunkte a und B in A' und B' mit dem Mo-
mentenpolygone zum Schnitte und zieht die Gerade A' B', so erhält man

in der schraffirten Fläche die gesuchte Biegungsfläche. Beispielsweise
ist die Senkung der Knotenpunkte o und 5 gleich δo bezieh. δ5.

Aufgabe 2. Gesucht die Biegungsfläche für die obere Gurtung
C D A B E F des Gerber’schen Trägers in Fig. 29.

Nachdem die den Knotenpunkten 1 bis 3, 4 bis 12 und 13 bis 15
entsprechenden (theils positiv, theils negativ ausfallenden) Werthe w be-
rechnet worden sind, werden die Momentenpolygone gezeichnet:
C' N D' für den einfachen Balken C' D' mit den Lasten w1 bis w3,
D' L E' „ „ „ „ D' E' „ „ „ w4 „ w12,
E' R F' „ „ „ „ E' F' „ „ „ w13 „ w15.

Hierauf werden die Senkrechten durch die Punkte a und B mit
dem Momentenpolygone D' L E' in A' und B' zum Schnitte gebracht,
die Strecken
A'̅ A''̅ = δ' = Senkung des Punktes a,
B'̅ B''̅ = δ" = „ „ „ B
abgetragen und der durch A'' und B'' gehende Linienzug C' D'' E'' F', dessen
Ecken senkrecht unter D und E liegen, eingezeichnet. Die Fläche
zwischen diesem Linienzuge und dem Momentenpolygone ist die ge-
suchte Biegungsfläche.

Bei starren Stützen a0 und B0 ist
δ' = Verkürzung der Vertikale a0a,
δ" = „ „ „ B0B.

Aufgabe 3. Gesucht das Biegungspolygon für die obere Gurtung
des in Fig. 30 dar-

gestellten Drei-
gelenk-Bogens.

Es handelt sich
hier nur um die
Berechnung des
Momentenpoly-
gons für den ein-
fachen Balken
A' B', auf welchen
die Lasten w1, w2,
...... w7 wirken.
Die Werthe w1 bis
w3 und w5 bis w7
lassen sich ohne weiteres mit Hilfe der im § 6 gegebenen Gleich. 13
berechnen, da sich die Randwinkel ϑ1 bis ϑ3 und ϑ5 bis ϑ7 aus Drei-
eckswinkeln zusammensetzen. Um w4 mittelst der Gleich. 13 bestimmen
zu können, muss Δ ϑ4 bekannt sein. Nun ist die durch die Aenderungen
der Randwinkel und die Spannungen in den Gurtstäben bedingte Aen-
derung ξ der Stützweite A B nach § 7, zunächst für den Fall t = 0:
[32] und man erhält somit, bei gegebener Verschiebung ξ = Δ l, den Werth
.
Bei starren Stützen ist Δ l = 0. Sind die Kämpfer a und B durch
eine Zugstange mit dem Querschnitte Fo verbunden, so ist Δ l = Ver-
längerung dieser den Horizontalschub H des Bogens aufnehmenden Stange;
es folgt dann . Sollen Temperaturänderungen berücksichtigt
werden, so ist σ durch σ + ε Et zu ersetzen, während für Δ l der Werth
einzuführen ist. Hierbei bedeutet t die Temperaturänderung
für einen Stab der oberen Gurtung und to die Temperaturänderung für
die Stange A B.

§ 9.
Ebene Fachwerkträger mit veränderlicher Belastung.
Einflusslinien (Influenzlinien) für die statisch
nicht bestimmbaren Grössen X.

1) Stellt man bei Fachwerken mit veränderlicher Belastung die
Spannkraft S eines jeden Stabes in einer solchen Form als Funktion
der Lasten P dar, dass der Einfluss jeder einzelnen Last auf S ersicht-
lich ist, so vermag man anzugeben, welche Lasten in dem Stabe einen
Zug und welche Lasten einen Druck hervorbringen, und wie gross die
Grenzwerthe Smax (= grösster Zug) und Smin (= grösster Druck) sind.
In gleicher Weise können die Werthe Cmax und Cmin für jede Auflager-
kraft berechnet werden.

Handelt es sich um ein ebenes Fachwerk mit senkrechter Belastung,
so verfolge man den Einfluss einer über den Träger fortschreitenden Last
„Eins“, trage den Werth S beziehungsweise C unter dem jedesmaligen
Angriffspunkte der Last als Ordinate auf und verbinde die Endpunkte
dieser Ordinaten durch eine Linie, welche die Einflusslinie fürS
bezieh. C heisst; die zwischen ihr und der Abscissenachse gelegene
Fläche wird die Einflussfläche fürSbezieh. C genannt.

Die Einflusslinien für die Werthe S und C lassen sich mit Hilfe
der Gleichungen
S = S0 + S' X' + S'' X'' + S''' X''' + ....
C = C0 + C' X' + C'' X'' + C''' X''' + ....
leicht finden, sobald die Einflusslinien für die Grössen X', X'', X''' ....
gegeben sind. Die Ermittelung dieser „X-Linien“ ist das Ziel der nach-
stehenden Untersuchungen, und zwar soll sie unter der Voraussetzung
[33] erfolgen, dass jede zwischen zwei Knotenpunkten wirkende Last durch
einfache Zwischenträger auf die benachbarten

Knotenpunkte übertragen wird. Es ist dann
jede Einflusslinie ein aus geraden Linien be-
stehendes Polygon, dessen Ecken den Knoten-
punkten des Fachwerkes entsprechen. Be-
sitzt z. B. (Fig. 31) die X'-Linie unter den
Knotenpunkten (m — 1) und m die Ordinaten
X'm ‒ 1 und X'm, und wird der durch eine
zwischen m — 1 und m gelegene Last P
verursachte Werth X' gesucht, so bestimmt
man die durch den Zwischenträger auf die
Knotenpunkte (m — 1) und m übertragenen Lastantheile
und erhält:
P X' = Pm ‒ 1X'm ‒ 1 + Pm X'm.
Hieraus folgt aber
,
und dieser Ausdruck ist in Bezug auf die Veränderliche x vom ersten Grade.

2) Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X', X'' ..... müssen,
wenn im Allgemeinen nachgiebige Stützen vorausgesetzt werden, den
im § 3 abgeleiteten Gleichungen genügen:
Σ C' Δ c = Σ S' Δ s, Σ C'' Δ c = Σ S'' Δ s, Σ C''' Δ c = Σ S''' Δ s, .....
und diese gehen mit
und nach Einsetzen der Werthe S über in
(19),
wobei, zur Abkürzung,
(20)
gesetzt wurde.

Wird das Fachwerk zunächst unbelastet gedacht, so verschwinden
die von So abhängigen Glieder, und es ergeben sich, durch Auflösung
Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 3
[34] der Gleichungen 19, die durch die Verschiebungen der Stützpunkte und
durch eine Aenderung des anfänglichen Temperaturzustandes hervor-
gerufenen Grössen X in der Form
(21) ,
wobei α', β', γ', ...... α", β", γ", ..... Werthe sind, welche nur von
den Koefficienten der Grössen X in den Gleichungen 19 abhängen und
nur einmal berechnet zu werden brauchen, da sie lediglich durch die
Form des Fachwerks bestimmt sind.

Nach Erledigung dieser in der Regel wenig zeitraubenden Rech-
nungen ergeben sich die von der Belastung abhängigen Werthe:
(22) ,
und mit Hilfe dieser letzteren Gleichungen lassen sich die Einflusslinien
für die Grössen X', X'' .... schnell finden, sobald die Einflusslinien
für die von der jedesmaligen Belastung abhängigen Summen
Σ S0S' ρ, Σ S0S'' ρ, .....
bekannt sind.

Wir zeigen jetzt die Ermittelung dieser Summen für den Fall, dass
auf das Fachwerk nur eine senkrechte Lasteinheit P wirkt, welche in
irgend einem Knotenpunkte des statisch bestimmten Hauptnetzes, das
meistens ein einfacher Balken oder ein Drei-Gelenkbogen oder ein

Gerber’scher Balken sein wird, angreift.

Da die Last P in den Stäben des
Hauptnetzes die Spannkräfte S0 erzeugt
(Fig. 32), so ist die durch irgend welche
Aenderungen Δ s der Stablängen hervor-
gebrachte Senkung δ ihres Angriffspunktes
(nach § 4) durch die Arbeitsgleichung
P δ = Σ S0 Δ s^*)
gegeben, und es besteht insbesondere
zwischen den durch die Ursache X' = 1 (welche die Spannkräfte S'
erzeugt) bedingten Verschiebungen δ' und Δ' s die Beziehung:
[35],
aus welcher sich
(23 a) Σ S0S' ρ = P δ'
ergiebt.

Da nun δ' die Ordinate des den Spannungen entsprechenden
Biegungspolygones derjenigen Gurtung ist, welcher der Angriffspunkt
von P angehört, so ergiebt sich der wichtige Satz:

Bewegt sich über den Träger eine Last „Eins“, welche der Reihe
nach in den verschiedenen Knotenpunkten der Gurtung
des Hauptnetzes angreift, so stimmt die Einflusslinie für den Aus-
druck Σ SoS' ρ mit dem für den Belastungszustand X' = 1 berech-
neten Biegungspolygone der Gurtung des Hauptnetzes
überein.

In gleicher Weise lassen sich die Einflusslinien für die übrigen in
den Gleichungen 22 vorkommenden Summen darstellen. Man erhält
(23 b) Σ S0S'' ρ = Pδ", Σ S0S''' ρ = P δ''' u. s. f.,
unter δ", δ''', .... die unter dem jedesmaligen Angriffspunkte von P
gemessenen Ordinaten der Biegungspolygone verstanden, welche be-
ziehungsweise für die Spannungszustände X'' = 1, X''' = 1, ..... und
für die Gurtung berechnet worden sind, in deren Knotenpunkten die
Last P nacheinander angreift.

Die Gleichungen 22 gehen jetzt über in
X' = — (α' δ' + β' δ" + γ' δ"' + .....) P
X'' = — (α" δ' + β" δ" + γ" δ''' + .....) P
.........................
und ermöglichen eine schnelle Berechnung der Einflusslinien für sämmt-
liche Grössen X.

Meistens greift die veränderliche Belastung nur in den Knoten-
punkten der einen Gurtung an, und ist es dann in der Regel zulässig,
das Eigengewicht ausschliesslich auf die Knotenpunkte dieser Gurtung
zu vertheilen. Sind die Knotenpunkte beider Gurtungen Angriffspunkte
veränderlicher Lasten, so hat man für jeden Werth X zwei Einflusslinien
zu zeichnen, da die Wirkungen der oben und unten angreifenden Lasten
gesondert untersucht werden müssen.

Beispiel 1.Der vereinigte Balken- und Bogenträger in
Fig. 33 mit einem festen Lager bei B und einem wagerechten Gleit-
lager bei a ist einfach statisch unbestimmt. Es lassen sich deshalb
die Spannkräfte in der Form
S = S0 + S' X
3*
[36] darstellen, und es ergiebt sich, da die Verschiebungen der Stützen im
vorliegenden Falle ohne Einfluss auf die Beanspruchung des Fachwerks
sind, zur Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Grösse X, aus
der ersten der Gleichungen 19 die Bedingung:
aus welcher erhalten wird
der Einfluss einer Temperaturänderung:
und „ „ der Belastung: .

Als statisch nicht bestimmbare Grösse X wählen wir die konstante

Seitenkraft der in den
Stäben 1, 2, 3, 3′, 2′,
1′ des Bogens wirk-
samen Spannkräfte.
Ist X = 0, so sind
diese Stäbe span-
nungslos, und ebenso
verschwinden die nur
von X abhängigen
Spannkräfte in den
senkrechten Stäben
4, 5, 6, 5′, 4′. Als
statisch bestimmtes
Hauptnetz verbleibt
der einfache Balken
A B C D. ^*)

Soll nun die Einflusslinie für X unter der Voraussetzung ermittelt
werden, dass eine Lasteinheit P der Reihe nach in sämmtlichen Knoten-
punkten der unteren Gurtung A B angreift, so müssen die durch die
Ursache X = 1 hervorgerufenen Spannkräfte S', sowie das Biegungs-
polygon der Gurtung A B für diesen Spannungszustand bestimmt werden.

Die Kräfte S' werden zweckmässig mit Hilfe des in Fig. 33 b dar-
gestellten Kräfteplanes gefunden. In diesem Plane schneiden die von
dem Punkte O aus zu den Stäben 1, 2, 3, 3′, 2′, 1′ gezogenen Parallelen
auf der im Abstande „Eins“ von O gezeichneten Senkrechten die in den
[37] Stäben 4, 5, 6, 5′, 4′ wirksamen Spannkräfte S' ab, und die Längen
der Strahlen 1, 2, ..... 1′ stellen die Spannkräfte S' in den Bogen-
gliedern vor.

Aus der Spann-
kraft 1 findet
man die Kräfte
9 und 10, hier-
auf 11 und 12
u. s. w. Für
die Stäbe 7, 8,
8′ und 7′ ist
S' = 0.^*)

Nach Zeich-
nen dieses
Kräfteplanes werden die Spannungen und die von den σ' ab-
hängigen Aenderungen Δ' ϑ der den unteren Knotenpunkten (1), (2),
(3) … (6) entsprechenden Randwinkel ϑ berechnet, letztere nach der
im § 5 gegebenen Anleitung, und hierauf kann das zugehörige Biegungs-
polygon A' C B' der Gurtung A B ermittelt werden; dasselbe stimmt,
nach § 5, Gleich. 11, mit dem Momentenpolygone eines einfachen Balkens
A' B' überein, welcher durch die senkrechten Lasten
w1 = — Δ' ϑ1, w2 = — Δ' ϑ2 ......
beansprucht wird.

Bedeutet nun δ' die unter P gemessene Ordinate des Polygons
A' C B', so ist nach dem vorhin bewiesenen Satze:
Σ S0S' ρ = Pδ',
mithin
.

Dividirt man also die Ordinaten δ'1, δ'2 .... des Biegungs-
polygones A' C B' durch den konstanten Werth , so erhält
man die Ordinaten X1, X2 .... der gesuchten Einflusslinie.

Wird beispielsweise durch den Träger ein Eisenbahngleis gestützt,
und bedeutet L die Belastung einer Lokomotivachse, T die Belastung
einer Tenderachse, und entsprechen den Lasten L und T beziehungs-
weise die Polygon-Ordinaten η1, η2 …, so ist der durch die Belastung
in Fig. 33 c erzeugte Werth X' bestimmt durch die Gleichung
= — L (η1 + η2 + η3) — T (η4 + η5 + η6).

Das Zeichen (—) deutet an, dass der Bogen auf Druck beansprucht
wird.

Es sei noch darauf aufmerksam gemacht, dass der durch eine
Temperaturänderung erzeugte Werth Xt gleich Null wird, sobald ε und
t konstant sind; denn setzt man in die dem Spannungszustande X = 1
entsprechende Arbeitsgleichung
Σ S' Δ s = 0,
welche für beliebige, mögliche Formänderungen Δ s gilt, den Werth
Δ s = ω s, wobei ω eine Konstante, d. h. nimmt man an, dass das Fach-
werk eine der früheren Form ähnliche Form annimmt, so findet man
Σ S' s = 0.
In der Regel setzt man innerhalb einzelner Gruppen von Stäben konstante
Temperaturänderungen voraus, und kann dann die vorstehende Gleichung
zur Abkürzung der Rechnung benutzen. Macht man z. B. die Annahme,
dass sich die dem spannungslosen Anfangszustande des Fachwerks ent-
sprechende Temperatur in allen Punkten des Bogens um den Betrag t1
ändere und in allen übrigen Punkten des Trägers um t2, so folgt
,
wobei sich der Ausdruck auf die Bogenglieder 1, 2, 3, 3′, 2′, 1
und der Ausdruck auf alle übrigen Stäbe bezieht. Bezeichnet man
mit s1, s2, s3, s'3, s'2, s'1 die Längen der Stäbe 1, 2, 3, 3′, 2′, 1′ und
mit α1, α2, α3, α'3, α'2, α'1 deren Neigungswinkel gegen die Wagerechte,
so sind die Spannkräfte S' in diesen Stäben beziehungsweise gleich
1 · sec α1, 1 · sec α2, 1 · sec α3, ....... 1 sec α'1
und es folgt
= s1 sec α1 + s2 sec α2 + ...... + s'1 sec α'1.

Da nun ist, so ergiebt sich schliesslich
.

Beispiel 2. Es soll der Horizontalzug X der in Fig. 34 a dar-
gestellten, durch einen Balken versteiften Kette ermittelt werden.
Der Balken ist mit der Kette durch senkrechte Stäbe verbunden und
besitzt bei B ein festes und bei a ein auf einer Wagerechten geführtes
Lager. Bei ausschliesslich senkrechten Lasten P wirken auf den Balken
nur senkrechte Kräfte. Die Kette ruht auf Pendelpfeilern (10 und 10′),
welche aus demselben Materiale hergestellt sein sollen, wie alle übrigen
Stäbe des Fachwerks und als Bestandtheile des Fachwerks aufgefasst
werden. Die Stabverbindung ist eine einfach statisch unbestimmte,
und es mögen die Spannkräfte auf die Form
[39]S = S0 — S' X
gebracht werden. Die Spannkräfte S' entsprechen dann dem Zustande
X = — 1, welchen man erhält, wenn man sich in irgend einem Stabe

der Kette einen Druck erzeugt denkt, dessen wagerechte Seitenkraft
= „Eins“ ist, und es lautet die Gleichung zur Berechnung von X,
sobald die Stützen starr angenommen werden,
;
sie liefert den durch eine Aenderung der Temperatur entstehenden
Horizontalzug
und den durch eine Belastung hervorgerufenen
.

Den Kräfteplan für den Zustand X = — 1 zeigt Fig. 34 b; er wird
in ähnlicher Weise konstruirt wie in dem vorigen Beispiele. Die Spann-
kräfte in den Kettengliedern 1, 2, 3, 4, 4', 3', 2', 1' bilden einen Strahlen-
[40] büschel, dessen wagerechte Projektion der Horizontalschub „Eins“ ist
und welcher auf der Senkrechten L N die in den Hängestangen wirk-
samen Spannkräfte 5, 6, 7, 8, 7', 6', 5' abschneidet. Die Kräfte 9
und 10, desgleichen 9' und 10' ergeben sich aus den Kräften 1 und 1'.
Die Kräfte 5, 6, 7, 8, 7', 6', 5' wirken als Drücke auf den Balken
und rufen die senkrechten Auflagerwiderstände A' und B' hervor. Ist
das Fachwerk symmetrisch (wie in Fig. 34 angenommen wurde), so ist
A' = B'; im Gegenfalle verlängere man in Fig. 34 a die Auflagersenk-
rechten A und B bis zu ihren Schnittpunkten mit der Kette, verbinde
diese durch die Schlusslinie (s) und ziehe von O aus (Fig. 34 b) eine
Parallele zu (s); letztere zerlegt nach einem bekannten Satze der gra-
phischen Statik den Kräftezug 5 + 6 + 7 + 8 + 7' + 6' + 5' in A'
und B'. Nunmehr lassen sich die Spannkräfte S' auch für den Balken
ermitteln.^*)

Nach Zeichnen dieses Kräfteplanes werden die Spannungen
und die von den σ' abhängigen Aenderungen Δ'ϧ der oberen Rand-
winkel ϧ bestimmt, und hierauf wird das Biegungspolygon AoCBo der
Gurtung A B, in dessen Knotenpunkten die über den Balken wandernde
Last P der Reihe nach angreifen möge, berechnet; dasselbe stimmt
(nach § 5, Gleich. 13) mit dem Momentenpolygone eines einfachen Balkens
AoBo überein, welcher durch senkrechte Lasten
w1 = Δ'ϧ1, w2 = Δ'ϧ2, w3 = Δ'ϧ3, ......
beansprucht wird.

Bedeutet nun δ' die unter P gemessene Ordinate des Biegungs-
polygones, so ist
,
und es erzeugt mithin die Last P in der Kette den Horizontalzug
.^**)

§ 10.
Der Maxwell’sche Lehrsatz und Anwendungen desselben.

Wir betrachten ein Fachwerk, dessen Stützpunkte unverrückbar
sind oder über reibungslose Lager gleiten, dessen Auflagerkräfte mithin
[41] bei der eintretenden Formänderung keine
Arbeit leisten.

Die durch irgend welche Aenderungen Δs

der Stablängen s verursachten Verschiebungen
δ1 und δ2 der Knotenpunkte A1 und A2 nach
den Richtungen A1B1 bezieh. A2B2 ergeben
sich nach § 4 aus den Arbeitsgleichungen
1 · δ1 = ΣS1Δs und
1 · δ2 = ΣS2Δs,
wobei für irgend einen Stab

• S1 diejenige Spannkraft ist, welche eine in A1 angreifende, nach
  der Richtung A1B1 wirkende Kraft „Eins“ hervorbringt und
• S2 diejenige Spannkraft, welche entsteht, sobald in A2 nach der
  Richtung A2B2 die Kraft „Eins“ wirksam ist.

Herrscht in allen Stäben die dem spannungslosen Anfangszustande
entsprechende Temperatur, so ist für irgend einen Belastungsfall
mithin
und .

Ist insbesondere S = S2, so ergiebt sich
,
während im Falle S = S1
ist, und es folgt aus der Uebereinstimmung dieser beiden Werthe der
zuerst von Maxwell bewiesene, hinsichtlich seiner Giltigkeit an die
oben gemachten Annahmen gebundene Satz:
Eine in dem Knotenpunkte A1 und im Sinne A1B1 angreifende
Kraft „Eins“ verschiebt einen Knotenpunkt A2 im Sinne A2B2
um eine Strecke, welche ebenso gross ist wie die Verschiebung,
welche der Knotenpunkt A1 im Sinne A1B1 erfährt, sobald im
Punkte A2 und im Sinne A2B2 eine Kraft „Eins“ angreift.

Wie vortheilhaft dieser Satz in der Fachwerkstheorie verwerthet
werden kann, wird die Lösung der folgenden Aufgaben zeigen.

Aufgabe 1. Gesucht die Einflusslinie für die Senkung δm eines
Knotenpunktes m eines Fachwerkträgers (Fig. 36).

Wir nehmen das gewichtslose Fachwerk nur mit einer in m an-
greifenden senkrechten Kraft „Eins“ belastet an, berechnen die hierbei
entstehenden Spannkräfte S und Spannungen σ und bestimmen (nach
§ 5 bis § 8) das diesen Spannungen entsprechende Biegungspolygon der-
[42] jenigen Gurtung (beispielsweise von A C B), in deren Knotenpunkten die

Verkehrsbelastungen
angreifen sollen. Ist
nun die unter k ge-
messene Ordinate
dieses Biegungspoly-
gones = ηk, so ver-
schiebt die in m an-
greifende Last „Eins“
den Knotenpunkt k im
senkrechten Sinne um
ηk, und es wird mit-
hin (nach dem eben
bewiesenen Satze) eine in k angreifende Last „Eins“ den Knotenpunkt m
ebenfalls um ηk verschieben. Hieraus folgt, dass das gezeichnete Biegungs-
polygon die Einflusslinie für δm ist.

Die Lasten P1, P2, P3 in Fig. 36, denen die Ordinaten η1, η2,
η3 entsprechen, verursachen beispielsweise bei m die Senkung
δm = P1η1 + P2η2 + P3η3.

Aufgabe 2.Einflusslinie für den Widerstand X der
Mittelstütze des in Fig. 37 dargestellten kontinuirlichen Fach-

werkträgers mit 3 Stütz-
punkten. Die Lasten greifen
in den Knotenpunkten der
unteren Gurtung an.

Beseitigt man die Mittel-
stütze, so entsteht der statisch
bestimmte Balken A B. Für
diesen werden, unter der
Voraussetzung dass bei C
eine senkrechte, abwärts ge-
richtete Last „Eins“ angreift, die Spannkräfte S', Spannungen σ' und
Aenderungen Δ'ϧ der unteren Randwinkel berechnet, und hierauf wird
das Biegungspolygon der wagerechten Gurtung A B als Momentenkurve
eines durch die Aenderungen (— Δ'ϧ1), (— Δ'ϧ2), ..... belasteten,
einfachen Balkens A' B' gezeichnet (vergl. § 5, Gleich. 11). Dieses Polygon
ist die Einflusslinie für die Senkung δ des Punktes C. Wirken nun auf
das Fachwerk die beiden Kräfte P und X, und misst man unter P die
Polygonordinate η und unter C die Ordinate c, so folgt
δ = Pη — X c.

Aus der Bedingung δ = 0 ergiebt sich
[43].
Es ist also das Biegungspolygon A' D B' die Einflusslinie für X, und
ist der Multiplikator für diese Linie.

Der Elasticitätsmodul E darf bei gleichem Materiale sämmtlicher
Stäbe beliebig gross angenommen werden, da es nur auf das gegen-
seitige Verhältniss von η und c ankommt, und ebenso leuchtet ein, dass
A' D B' ein mit beliebigem Polabstande zu den Lasten (— Δ'ϧ) gezeich-
netes Seilpolygon sein darf.

Aufgabe 3.Einflusslinien für die Widerstände X' und
X'' der Mittelstützen des in Fig. 38a dargestellten, in den
Knotenpunkten der unteren Gurtung belasteten kontinuir-
lichen Fachwerkträgers mit 4 Stützpunkten.

Man beseitige die Mittelstützen, verwandle also den Träger in einen
einfachen Balken A B, berechne diejenigen Spannkräfte S' und Spannungen
, welche eine im Punkte C' wirksame, senkrechte, abwärts
gerichtete Last „Eins“ hervorbringt und zeichne das den Spannungen
σ' entsprechende Biegungspolygon A' L' B' der Gurtung A B; dasselbe
stimmt mit dem Momenten-
polygone eines mit den
Randwinkeländerungen
(— Δ'ϧ1), (— Δ'ϧ2) ....
belasteten einfachen Balkens
A' B' überein.

In gleicher Weise wird
dasjenige Biegungspolygon
A'' L'' B'' der Gurtung A B
ermittelt, welches eine im
Punkte C'' angreifende Last
„Eins“ verursacht.

Es sind nun A' L' B' und
A'' L'' B'' die Einflusslinien
für die Senkungen δ' und

δ'' der Punkte C' und C'' des einfachen Balkens A B, und es erzeugen
somit die drei Kräfte P, X' und X'' zusammen die Durchbiegungen
δ' = Pη' — X' c' — X'' c'' und
δ'' = Pη'' — X' d' — X'' d'',
wobei c' und c'' die unter den Stützpunkten C' und C'' gemessenen Or-
dinaten des Polygons A' L' B' und d' und d'' die entsprechenden Ordinaten
des Polygons A'' L'' B'' sind.

Aus den Bedingungen δ' = 0 und δ'' = 0 ergeben sich zur Be-
rechnung von X' und X'' die Gleichungen
X' c' + X'' c'' = Pη'
X' d' + X'' d'' = Pη''
und aus diesen folgt:
.

Sind die Ordinaten des in Fig. 38 b gestrichelten Polygons A' R B'
gleich den mit multiplicirten Ordinaten η'' des Polygons A'' L'' B'',
und ist der Unterschied der Ordinaten der Polygone A' L' B' und A' R B',
unter P gemessen, = η und, unter der Stütze C' gemessen, = c,
so folgt
und
, und es ergiebt sich
.

Da es nun, um X' zu bestimmen, nur auf das Verhältniss ankommt,
so leuchtet sofort folgende einfache Konstruktion der Einflusslinie für X' ein.

Man zeichne Fig. 38 d zu den als senkrechte Lasten aufzufassenden
Randwinkeländerungen (— Δ'ϧ1) (— Δ'ϧ2) ..... mit beliebigem Pol-
abstande ein Seilpolygon Ao L Bo, welches die Senkrechte durch den
Stützpunkt C'' in J und die Senkrechten durch die Endstützen in Ao
und Bo schneiden möge. Hierauf zeichne man zu den Aenderungen
(— Δ''ϧ1), (— Δ''ϧ2) ...... ein durch die 3 Punkte Ao, J und Bo
gehendes Seilpolygon. Misst man jetzt unter P den senkrechten Ab-
stand η der beiden Seilpolygone und unter der Stütze C' den Abstand
c, so folgt
.

Es ist also die in Fig. 38 d schraffirte Fläche die Einflussfläche für
X'; dieselbe ist links von der Stütze C'' positiv, rechts von dieser Stütze
negativ. Der Werth ist der Multiplikator der Einflussfläche.

In gleicher Weise wird die Einflussfläche für X'' gefunden.

Sind sämmtliche Stäbe aus gleichem Materiale, so darf bei Be-
rechnung der Winkeländerungen der Elasticitätsmodul beliebig gross
angenommen werden.

Aufgabe 4.Gesucht der Horizontalschub X des bei A
und B festgelagerten Bogenträgers in Fig. 39. Es handelt
sich um den Einfluss einer der Reihe nach in sämmtlichen Knotenpunkten
der oberen, wagerechten Gurtung angreifenden Last P, und gleichzeitig
soll der Einfluss einer Aenderung der Anfangstemperatur und eines
Nachgebens der Widerlager bestimmt werden.

Zuerst wird angenommen, dass auf das Fachwerk nur zwei in A
und B angreifende, nach aussen gerichtete wagerechte Kräfte „Eins“
wirken. Es entstehen Spannkräfte S', Spannungen σ' und Aenderungen

Δ'ϧ der oberen Randwinkel, und man erhält die entsprechende Biegungs-
fläche der oberen Gurtung, wenn man die den Lasten Δ'ϧ1, Δ'ϧ2, ....
entsprechende Momentenfläche A' L B' eines an den Enden A' und B' frei
aufliegenden Balkens bestimmt und zu dieser das Trapez A' A'' B'' B' hinzu-
fügt, dessen Endhöhen gleich den (ebenfalls für den Belastungszustand
in Fig. 39 b berechneten) Verkürzungen δ0 und δn der Endvertikalen sind.

Hierauf wird die dem Belastungszustande in Fig. 39 b entsprechende
Verlängerung ξ der Sehne A B berechnet; sie ist nach § 7, Gleich. 18:
,
wobei sich die erste Summe über sämmtliche Randwinkeländerungen der
oberen Gurtung erstreckt und die zweite die Spannungen σ' in sämmt-
lichen Stäben dieser Gurtung umfasst.

Nunmehr lassen sich folgende Schlüsse ziehen:

• 1) Die in A und B wirksamen wagerechten Kräfte 1 verschieben
  den Knotenpunkt m um δm senkrecht nach abwärts, mithin wird
  eine in m angreifende Last Eins eine Vergrösserung der Stütz-
  weite um δm hervorbringen, und eine in m angreifende Last P
  wird Δl = P · δm erzeugen.
• 2) Der Horizontalschub X verursacht für sich allein
  Δl = — Xξ.
• 3) Eine gleichmässige Aenderung der Anfangstemperatur sämmtlicher
  Stäbe um t bedingt
  Δl = εtl.
• 4) Soll sich bei gleichzeitigem Wirken von P und X sowie der
  Temperaturänderung die Stützweite l um einen vorgeschriebenen
  Werth Δl ändern, so besteht die Bedingung
  Δl = Pδm — Xξ + εtl,
  und aus dieser ergiebt sich
  .

Insbesondere lautet also die Gleichung der gesuchten Einflusslinie
für X:
.

Bei gleichem Materiale sämmtlicher Stäbe darf die Berechnung der
Δ'ϧ und der Strecke ξ unter der Annahme E = 1 erfolgen. Es muss
dann in der Gleich. II gesetzt werden:
ε E an Stelle von ε und
Δl E „ „ „ Δl.

Zahlenbeispiel zu Aufgabe 4. Es möge der bereits im § 3,
Seite 12, für den Fall einer vollen Belastung untersuchte, in Fig. 7
dargestellte Bogenträger vorliegen. Die über den Träger wandernde
Last P = 1 greife der Reihe nach in sämmtlichen Knotenpunkten der
oberen Gurtung an. In Fig. 7 geben die links von der Mitte an die
Stäbe gesetzten Zahlen die Stablängen s in cm. an und die Zahlen rechts
von der Mitte die Stabquerschnitte F in qcm., während in Fig. 8 die
in Tonnen ausgedrückten, durch die in A und B angreifenden Kräfte 1
erzeugten Spannkräfte S' eingetragen sind.

In der (der Deutlichkeit der Zahlen wegen verzerrt gezeichneten)
Trägerskizze in Fig. 40 bedeuten die an die Stäbe geschriebenen Zahlen
die Spannungen in Tonnen für das qdm und die in die Winkel
gesetzten Zahlen die Kotangenten dieser Winkel. Aus diesen Zahlen er-
[47] geben sich — mit E = 1 — die folgenden Aenderungen der Randwinkel
der oberen Gurtung (vergl. § 5, Gleich. 15, Seite 23):

• Δ'ϧ0 = (0,92 + 0,90) 0,450 + (0,92 — 1,24) 0,352 + (— 1,00
  — 1,24) 1,050 = — 1,42
• Δ'ϧ1 = (1,24 + 1,07) 0,952 + (1,24 + 1,00) 1,050 + (1,42
  + 1,00) 0,350 + (1,42 — 1,74) 0,719 + (— 1,08 — 1,74) 0,700
  = + 3,19
• Δ'ϧ2 = (1,74 + 1,90) 1,429 + (1,74 + 1,08) 0,700 + (2,21
  + 1,08) 0,250 + (2,21 — 2,60) 1,268 + (— 1,00 — 2,60) 0,450
  = + 7,34
• Δ'ϧ3 = (2,60 + 2,91) · 2,222 + (2,60 + 1,00) 0,450 + (3,37
  + 1,00) 0,150 + (3,37 — 3,48) 2,122 + (— 0,50 — 3,48) 0,300
  = + 11,63
• Δ'ϧ4 = (3,48 + 4,00) 3,333 + (3,48 + 0,50) 0,300 + (5,00
  + 0,50) 0,050 + (5,00 — 2,06) 3,292 + (0 — 2,06) 0,250
  = 35,56
• Δ'ϧ5 = [(2,06 + 5,00) 4,000 + (2,06 — 0) 0,250] 2 = 55,25

und es folgt nach Gleich. I (wegen h = 30dm und λ = 20dm)

• ξ = 30 ΣΔ'ϧ + 20 Σσ'
  = 30 [(— 1,42 + 3,19 + 7,34 + 11,63 + 35,56) 2 + 55,25]
  + 20 [— 1,07 — 1,90 — 2,91 — 4,00 — 5,00] 2 = 4440,3.

Die Ordinaten des Momentenpolygones eines mit den Winkel-
änderungen Δ'ϧ1, Δ'ϧ2..... belasteten, einfachen Balkens A' B' sind:
[48]M1 = 1706,9; M2 = 3350,0; M3 = 4846,3;
M4 = 6110,0; M5 = 6662,5;
fügt man zu ihnen die Verkürzung der Endvertikale, welche (für E = 1)
gleich (— σ'h) = 0,90 · 30 = 27 ist, so erhält man die dem Elasticitäts-
modul E = 1 entsprechenden Ordinaten des Biegungspolygons der oberen
Gurtung:
δ0 = 27; δ1 = 1733,9; δ2 = 3377,0; δ3 = 4873,3;
δ4 = 6137,0; δ5 = 6689,5,
und es ergeben sich jetzt die Ordinaten der gesuchten Einflusslinie für X:
u. s. w.
X2 = 0,76; X3 = 1,10; X4 = 1,38; X5 = 1,50.

Liegt nun beispielsweise der in Fig. 7 dargestellte Belastungsfall
vor (Knotenpunktslasten 0,5t und 1t), so folgt
X = [0,5 · 0,01 + 1,0 (0,39 + 0,76 + 1,10 + 1,38)] 2
+ 1,0 · 1,50 = 8,8t,
ein Ergebniss, welches mit dem auf Seite 13 erhaltenen übereinstimmt.

Der Einfluss einer Aenderung der Temperatur und einer Ver-
schiebung der Widerlager ist
,
worein für Schmiedeeisen E = 200000t für das qdm und ε = 0,000012
zu setzen ist. Eine Erhöhung der Temperatur um t = 40° erzeugt
(wegen l = 200dm)
und eine Verschiebung Δl = 0,1dm bedingt
. (Vergl. Seite 15.)

§ 11.
Bemerkungen über die angenäherte Berechnung der statisch
nicht bestimmbaren Grössen X ebener Fachwerkträger.

Die genaue Berechnung von neu zu entwerfenden, statisch un-
bestimmten Fachwerken wird durch den Umstand sehr erschwert, dass
die Grössen X', X'', ..... von den Querschnitten sämmtlicher Stäbe
oder — wenn es sich nur um den Einfluss der Belastung handelt — von
dem gegenseitigen Verhältnisse dieser Querschnitte abhängen. Es müssen
deshalb die Querschnittsflächen zunächst abgeschätzt und hierauf an der
[49] Hand der Ergebnisse der schärferen Untersuchung geändert werden.
Bei wesentlichen Abweichungen zwischen den so erhaltenen und zuerst
angenommenen Querschnitten muss die ganze Rechnung wiederholt werden.

In sehr vielen, für die Praxis besonders wichtigen Fällen lässt sich
nun eine wesentliche Abkürzung (ohne dass die Ergebnisse der Rechnung
an Zuverlässigkeit einbüssen) dadurch erzielen, dass bei der Be-
rechnung der Grössen X', X'' ..... die Formänderungen der
Wandglieder des
Hauptnetzes ver-
nachlässigt und
hinsichtlich der
Querschnitte der
Gurtungen ver-
einfachende An-
nahmen (z. B. Ein-
führung eines
gleichen Quer-
schnittes für die
Stäbe einer Gur-
tung) gemacht wer-
den.

Ein Beispiel möge
den Vorgang er-
läutern.

Es handele sich
um die Berechnung
der Einflusslinie für

den Horizontalschub X des in Figur 41 dargestellten Bogenträgers, dessen
Spannkräfte, wie im § 3, auf die Form
S = S0 — S' X
gebracht werden sollen. Die Spannkräfte S' entstehen, sobald P = 0
und X = — 1 wird, und zur Berechnung von X dient die Gleichung:
(vergl. § 3, Seite 13),
wofür geschrieben werden darf (nach § 10):
,
wenn δ' die unter der Last P gemessene Ordinate des Biegungspolygons
der oberen Gurtung für den Belastungsfall (P = 0 und X = — 1) be-
Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 4
[50] deutet. Dieses Polygon stimmt, wenn nur die Formänderungen der Gurt-
stäbe berücksichtigt werden sollen, mit dem Momentenpolygone A' L B'
eines einfachen Balkens A' B' überein, auf welchen senkrechte Lasten
(nach Gleich. 16 im § 6)
und
(nach Gleich. 17 im § 6)
wirken, welche beziehungsweise durch die Knotenpunkte der unteren
und der oberen Gurtung gehen. Hierbei ist
rm = Loth vom Knotenpunkte m auf Stab om,
rk = „ „ „ k „ „ uk.

In den Gurtstäben om und uk entstehen im Belastungsfalle (P = 0
und X = — 1) die mit Hilfe der Ritter’schen Methode leicht nachzu-
weisenden Spannkräfte:
und ,
unter ym und yk die auf die Wagerechte A B bezogenen Ordinaten der
Punkte m und k verstanden, und es folgt, wenn Fm und Fk die Quer-
schnitte der Stäbe om und uk bedeuten,
und mithin
und .

Diese Werthe w darf man — ein konstantes E vorausgesetzt —
ersetzen durch
und ,
wobei Fc eine beliebige Querschnittsfläche ist (vergl. § 3 Seite 11); nur
muss man dann schreiben:
.

Für einen Stab om der oberen Gurtung ist
,
und für einen Stab uk der unteren Gurtung
,
und es folgt, wenn zur Abkürzung gesetzt wird:
zm = ymwm und zk = ykwk
.

Die Summe im Nenner des Werthes X erstreckt sich über alle
Werthe zm und zk.

Es ist statthaft, für sämmtliche Stäbe der oberen Gurtung den-
selben Querschnitt Fo anzunehmen und für sämmtliche Stäbe der unteren
Gurtung denselben Querschnitt Fu. Setzt man dann die willkürliche
Querschnittsfläche Fc = Fo, so ist für alle Stäbe om:
, mithin
und für alle Stäbe uk:
, mithin ,
und es wird sich empfehlen:

• 1) ein Momentenpolygon A'' R B'' zu zeichnen, entsprechend den
  durch die Knotenpunkte m der unteren Gurtung gehenden Lasten
  ,
• 2) desgleichen ein Momentenpolygon A''' T B''', entsprechend den
  durch die Knotenpunkte k der oberen Gurtung gehenden Lasten
  ,
• 3) die beiden Summen zu berechnen:
  ,
  aus denen sich dann
  ergiebt.

Sind nun δ'' und δ''' die unter der Last P gemessenen Ordinaten
der Momentenpolygone A'' R B'' und A''' T B''', so ist offenbar
,^*)
und man ist jetzt im Stande, für verschiedene Verhältnisse eine Reihe
von Einflusslinien für X zu zeichnen und durch vergleichende Rechnungen
4*
[52] festzustellen, welchen Einfluss die Wahl des Verhältnisses auf die
Spannkräfte S besitzt.

Betont werde noch, dass in dem Falle einer von der Wagerechten
wenig abweichenden oder mit dieser zusammenfallenden Gurtung unter

das mittlere Verhältniss der Querschnitte
der oberen und unteren Gurtstäbe in der
Nähe des Scheitels zu verstehen ist, weil
die Längenänderungen der hier gelegenen
Gurtstäbe einen besonderen Einfluss auf X
ausüben, und dass es sich bei der geringen
Höhe, welche derartige Bogenträger in der
Regel im Scheitel erhalten, empfiehlt (wenigstens
für die erste Berechnung) = 1 zu wählen.

In gleicher Weise kann auch der Fachwerkbogen mit senkrechten
Wandgliedern berechnet werden; hier fallen je zwei Lasten w in die-
selbe Senkrechte, Fig. 42.^*)

§ 12.
Die Lehrsätze über die Formänderungsarbeit.

1. Der Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit. Wir
betrachten ein statisch unbestimmtes Fachwerk mit spannungslosem An-
fangszustande, nehmen an, dass der anfängliche Temperaturzustand be-
stehen bleibt, dass also die Aenderungen der Stablängen durch die
Gleichung gegeben sind und setzen festliegende oder über
reibungslose Lager gleitende Stützpunkte voraus. Es sind dann sämmt-
liche Verschiebungen Δc = 0, und die statisch nicht bestimmbaren Grössen
X', X'', X''' ..... haben (nach Seite 8) den Gleichungen zu genügen:
,
[53] welche man durch die Forderung ersetzen darf:
Es müssen die Grössen X', X'', ...... den Ausdruck
zu einem Minimum machen.

In der That stimmen die aus der Bedingung A = minimum ge-
folgerten Gleichungen
mit den Gleichungen 24 überein.^*)

Der Werth A lässt sich in einfacher Weise deuten. Verlängert
sich ein Fachwerkstab unter dem Einflusse einer von 0 bis S wachsenden
Spannkraft allmählich um die Strecke , so wird er in dem
Augenblicke, in welchem die Verlängerung den zwischen 0 und Δs
liegenden Werth x erreicht hat, durch die Kraft gespannt.
Schreitet die Verlängerung um d x fort, so leistet Sx die Arbeit
,
und es ist somit die gesammte Formänderungsarbeit des Stabes:
,
und diejenige des Fachwerks
.

Es folgt mithin der hinsichtlich seiner Giltigkeit an die im Ein-
gange dieses Paragraphen gemachten Annahmen Δc = 0 und t = 0
und an die Voraussetzung eines spannungslosen Anfangszustandes ge-
bundene Satz:
Werden die Spannkräfte S eines statisch unbestimmten Fach-
werks als Funktionen der unabhängigen Veränderlichen X', X'', ....
aufgefasst, so müssen den Grössen X diejenigen Werthe beigelegt
[54] werden, welche die Formänderungsarbeit A zu einem Minimum
machen.

2. Der Satz von der Abgeleiteten der Formänderungsarbeit.
Die Arbeitsgleichung eines Fachwerks lautet bei festliegenden oder über
reibungslose Lager gleitenden Stützpunkten (vergl. § 4, Gleich. 10)
P1δ1 + P2δ2 + .... + Pmδm + .... + Pnδn = ΣSΔs;
sie gilt für beliebige, genügend kleine, zusammengehörige Verschiebungen
δ und Δs und für beliebige Werthe der Lasten P, und es dürfen somit
bei der theilweisen Differentiation dieser Gleichung nach Pm sämmtliche
δ und Δs sowie alle Lasten P1 bis Pm ‒ 1 und Pm + 1 bis Pn als Kon-
stanten aufgefasst werden. Es ergiebt sich
und, wenn ist, wenn also die dem spannungslosen Anfangs-
zustande entsprechenden Temperaturen ungeändert bleiben,
d. i.
.

Für den Fall: (Δc = 0 und t = 0) und unter der Voraussetzung
eines spannungslosen Anfangszustandes gilt somit der Satz:
Die Verschiebung δm des Angriffspunktes m einer Last Pm im
Sinne von Pm ist gleich der nach Pm gebildeten theilweisen Ab-
geleiteten der Formänderungsarbeit A des Fachwerks.

Bei der Anwendung dieses Satzes ist zu beachten, dass man die
Spannkräfte in den überzähligen Stäben und die überzähligen Stützen-
widerstände stets als Lasten auffassen darf, welche auf das Hauptnetz
wirken. Es ist aus diesem Grunde zulässig, unter A nur die Form-
änderungsarbeit für die dem statisch bestimmten Hauptnetze angehörigen
Stäbe zu verstehen und zu setzen, d. h. bei der Berech-
nung der Abgeleiteten die Grössen X als Konstanten zu betrachten.

Die Ausdehnung von A über das ganze Fachwerk, entsprechend
dem Wortlaute des oben gegebenen Satzes, und die Behandlung der X
als Funktionen der Lasten P führt natürlich zu demselben Ergebnisse.
Man muss dann setzen:
[55] und, da für die X stets Ausdrücke von der Form
X' = z1'P1 + z2'P2 + .... + zm'Pm + ......
X'' = z1''P1 + z2''P2 + .... + zm''Pm + ......
..........................
gefunden werden, wobei sämmtliche z von den P unabhängige Werthe
sind,
und

Nun ist aber ΣS'Δs = 0, ΣS''Δs = 0, ...... (vergl. Seite 9),
d. h.
und es ergiebt sich, genau wie bei der obigen Auffassung,
.

3. Berücksichtigung einer Aenderung des Temperaturzu-
standes. Aendert sich die Anfangstemperatur in allen Punkten eines
Fachwerkstabes um den gleichen, gegebenen Betrag t, so ist
,
und es gehen die Gleichungen 24, denen die Grössen X bei festliegenden
oder über reibungslose Lager gleitenden Stützpunkten genügen müssen,
über in
sie führen zu dem für den Fall Δc = 0 und bei Bestehen eines spannungs-
losen Anfangszustandes giltigen Satze:
Die statisch nicht bestimmbaren Grössen X müssen den Ausdruck
zu einem Minimum machen.^*)

Den Werth Ai, welcher gleich der Summe der für den Zustand
t = 0 sich ergebenden Formänderungsarbeit und der von t abhängigen
[56] virtuellen Arbeit Σεt S s ist, nennen wir die ideelle Formänderungs-
arbeit.

Die für die Verschiebung δm des Angriffspunktes m der Last Pm
im Sinne von Pm abgeleitete Gleichung
geht über in
und führt zu dem hinsichtlich seiner Giltigkeit an dieselben Voraus-
setzungen wie der Satz Ai = Minimum gebundenen Satze:
,
bei dessen Benutzung wieder zu beachten ist, dass die Grössen X als
Konstanten aufgefasst werden dürfen, sobald Ai theilweise nach Pm
differentiirt wird, und dass sich mithin der Ausdruck Ai nur über die
dem Hauptnetze angehörigen Stäbe zu erstrecken braucht.

4. Berücksichtigung von Verschiebungen der Stützpunkte bei An-
wendung der unter 1 bis 3 aufgestellten Sätze. Es verdient noch besonders
hervorgehoben zu werden, dass die für den Fall Δ c = 0 abgeleiteten
Sätze Ai = minimum und die Berechnung der Grössen X und der
Verschiebungen δ auch dann ermöglichen, wenn sich die Angriffspunkte der
Auflagerkräfte C bei der Formveränderung des Fachwerks verschieben. Die
Kräfte C dürfen nämlich stets als die Spannkräfte in Stäben aufgefasst werden,
welche gleiche Richtung wie die Kräfte C haben und die Stützpunkte mit
ausserhalb des Fachwerks gelegenen festen Punkten (zuweilen auch mit festen
Punkten des Fachwerks selbst) verbinden. Werden diesen Auflagerstäben
solche Eigenschaften beigelegt, dass ihre Längenänderungen mit den vor-
geschriebenen Verschiebungen Δ c der Stützpunkte übereinstimmen, so sind
sie als den Stützen vollkommen gleichwerthig aufzufassen, und man hat, wenn
die Verschiebungen Δ c bei der Berechnung der X und δ berücksichtigt werden
sollen, nur nöthig, die ideelle Formänderungsarbeit Ai des Fachwerks um die-
jenige der Auflagerstäbe zu vermehren, wobei für jeden Auflagerstab ein be-
liebiger Elasticitätsmodul und ein beliebiger Querschnitt angenommen werden darf.

Bedeutet nun für einen Auflagerstab:

• c die Länge, Ec den Elasticitätsmodul,
• Fc den Querschnittsinhalt, tc die Temperaturänderung,
• εc den Ausdehnungskoefficienten für tc = 1,

so ist . Mit EcFc = ∞ wird Δ c = εctcc, d. i. unabhängig
von C, und die ideelle Formänderungsarbeit der Fachwerkstäbe und Auflager-
stäbe beträgt zusammen:
,
wobei Δ c als eine Konstante zu betrachten ist.

Beispiel. Handelt es sich um den Horizontalschub X des in Fig. 7,
Seite 12 dargestellten Bogenträgers, dessen Stützweite l sich um Δl ändern
möge, so denke man die Kämpfergelenke A und B durch einen Stab ver-
bunden, in welchem die Spannkraft X wirksam ist und mache
zu einem Minimum. Es ergiebt sich die Gleichung
.

Ist (wie in § 3, Seite 12) S = S0 — X S', so folgt und
,
und hieraus ergiebt sich, wie auf Seite 13,
.

§ 13.
Allgemeine Gesetze für Stäbe, deren Querschnittsab-
messungen im Verhältniss zu den Krümmungs-
halbmessern klein sind.

1) Arbeitsgleichung. Wird ein Stab, dessen Schwerpunktsachse
A B eine Linie einfacher Krümmung ist, durch äussere Kräfte angegriffen,
welche in der die Linie A B
enthaltenden Ebene (Kräfte-
ebene, Stabebene) liegen,
so besitzen, bei im Vergleiche
zur Länge des Stabes geringen
Querschnittsabmessungen,
ausser den Temperaturände-
rungen nur die senkrecht zu
den Querschnittselementen
wirkenden Spannungen (Nor-
malspannungen) σ einen
wesentlichen Einfluss auf die
Formänderung. Der Stab lässt

sich, bei Vernachlässigung aller übrigen Spannungen, in unendlich kleine,
[58] annähernd prismatische Theilchen zerlegen, welche durch der Stabachse
parallele Spannkräfte S auf Zug oder auf Druck beansprucht werden (Fig. 43).

Bedeutet

• F die im Allgemeinen veränderliche Querschnittsfläche des Stabes,
• d s die Länge des zwischen den unendlich nahen Querschnitten I und
  II gelegenen Elementes der Stabachse,
• d sv die dem Bogenelemente d s parallele Länge irgend eines der
  zwischen I und II gedachten, unendlich kleinen Prismen,
• σ die Normalspannung für den Endquerschnitt d F dieses Prismas,
• Δ d sv die Strecke, um welche sich d sv in Folge irgend einer geringen
  Verbiegung des Stabes ändert,

so ist S = σ d F,
und es ergiebt sich, mit Vernachlässigung der Aenderungen der
Querschnittsabmessungen, die virtuelle Formänderungs-Arbeit
, wobei
d V = d sv d F
den Inhalt des Stabtheilchens bedeutet. Bezeichnet nun, wie im Ab-
schnitte I auf Seite 7:

• P eine Last,
• C eine Auflagerkraft,
• δ die durch jene Δ d sv bedingte Verschiebung des Angriffspunktes
  von P im Sinne von P,
• Δ c die durch jene Δ d sv bedingte Verschiebung des Angriffspunktes
  von C im Sinne von C,

und wird angenommen, dass die äusseren und inneren Kräfte mit-
einander im Gleichgewichte sind, so folgt, wenn die Gewichte der Stab-
theilchen zu den Lasten gerechnet werden, aus dem Satze von den vir-
tuellen Verschiebungen die Arbeitsgleichung:
,
welche für beliebige mögliche Verschiebungen δ, Δ c und Δ d sv gilt,
sobald diese nur klein genug sind, um als verschwindende Grössen auf-
gefasst werden zu dürfen.

In den meisten Fällen der Anwendung handelt es sich um Stäbe,
deren Querschnittsabmessungen, verglichen mit den Krümmungshalb-
messern r, so gering sind, dass es zulässig ist, d sv = d s zu setzen und
die Spannungen σ genau so zu berechnen, als sei an der betrachteten
Stelle r = ∞, d. h. der Stab gerade. Wir wollen auch (ausgenommen
sind die genaueren Entwickelungen im § 22) mit dieser vereinfachenden
Annahme rechnen, trotzdem aber die Bezeichnung d sv beibehalten, um
[59] die Verschiedenheit der Lagen, nicht der Längen, der Stabtheilchen
zu kennzeichnen.

2) Bedingungsgleichungen zur Berechnung statisch nicht
bestimmbarer Grössen. Unter gewissen vereinfachenden Annahmen
gelingt es mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen, die Spannungen σ
ebenso wie die Auflagerkräfte C als geradlinige Funktionen der ge-
gebenen Lasten P und gewisser statisch nicht bestimmbarer Grössen
X', X'', X''' ..... darzustellen; sie erscheinen dann in den für beliebige
Werthe der P und X giltigen Formen:
(29) ,
wobei σ', σ'', σ''' ....., C', C'', C''' gegebene, von den Lasten P und
den Grössen X unabhängige Koefficienten sind, während σ0 und C0 die
als geradlinige Funktionen der Kräfte P darstellbaren Spannungen und
Auflagerkräfte für denjenigen statisch bestimmten Belastungszustand be-
deuten, welcher entsteht, sobald alle statisch nicht bestimmbaren Grössen
X verschwinden.

Wird X' = 1 angenommen, und werden gleichzeitig alle Lasten
P, sowie die übrigen statisch nicht bestimmbaren Grössen X'', X''', .....
gleich Null gesetzt, so entsteht ein Belastungsfall, welcher „Zustand
X' = 1“ heissen soll, und welchem die Spannungen σ' und Auflager-
kräfte C' entsprechen, und in gleicher Weise soll in der Folge von
ZuständenX'' = 1 oderX''' = 1 u. s. w. gesprochen werden.

Die Arbeitsgleichung für den Zustand X' = 1 bildet einen be-
sonderen Fall der Arbeitsgleichung (28); sie ergiebt sich aus jener,
sobald P = 0, C = C' und σ = σ' gesetzt wird und lautet:
(30) .

Die Gleichungen (30), deren Anzahl mit derjenigen der Unbekann-
ten X übereinstimmt, ermöglichen die Berechnung dieser Grössen; man
hat nur nöthig, sie auf die wirklichen elastischen Verschiebungen Δ c
und Δ d sv anzuwenden. Die Δ c werden meistens geschätzt (vergl. § 3,
Seite 8) und die Δ d sv unter der Voraussetzung eines spannungslosen
Anfangszustandes als Funktionen der Spannungen σ und Temperatur-
änderungen t dargestellt. Es ist dann nach Gleich. (8):
[60](31) ,
und es folgen somit die Bedingungsgleichungen:
(32) ,
in denen L' = Σ C' Δ c, L'' = Σ C''Δ c ..... die virtuellen Arbeiten der
beziehungsweise den Zuständen X' = 1, X'' = 1 u. s. w. entsprechenden
Auflagerkräfte bedeuten.

Bringt man die dem wirklichen Belastungszustande entsprechende
virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte auf die Form
𝔄 = 𝔄0 + 𝔄' X' + 𝔄'' X'' + 𝔄''' X''' + .....,
wobei 𝔄0, 𝔄', 𝔄'', 𝔄''' .... Grössen vorstellen, welche von den Werthen
X und (mit Ausnahme von 𝔄0) von den Lasten P unabhängig sind,
so ist:
L' = 𝔄', L'' = 𝔄'', .......

Beachtet man nun, dass
, .....
ist, so sieht man ein, dass die Gleichung:
(33) ,
welche auch unmittelbar durch theilweise Differentiation der Gleich. (28)
erhalten werden kann, als allgemeine Form der Bedingungsgleichungen
(32) aufgefasst werden darf; man braucht nur X der Reihe nach durch
X', X'' .... zu ersetzen, um die Gleichungen (32) zu erhalten. Lbe-
deutet die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zu-
standX = 1.

Führt man die Bezeichnung ein:
(34) ,
so kann man Gleich. (33) noch kürzer schreiben:
(35) .

Für den besonderen Fall festliegender oder über reibungslose Lager
gleitender Stützen verschwindet die Arbeit L, und es ergiebt sich die Be-
dingung
(I) = 0, also Ai = minimum.

Ist ausser L = 0 auch t = 0, so folgt
[61](II) = minimum,
wobei die Formänderungsarbeit für den Fall t = 0 vorstellt. Die vor-
stehenden Sätze (I) und (II) entsprechen den für das Fachwerk im § 12 unter
3 bezieh. 1 abgeleiteten; sie ergeben sich sofort aus jenen, sobald die Spann-
kraft S des Fachwerkstabes ersetzt wird durch σ d F, der Stab-Inhalt s F
durch d V und das Zeichen Σ durch das Zeichen ∫.

3) Bestimmung der Verschiebung δ irgend eines in der
Kräfteebene gelegenen Punktes des Stabes nach irgend einer
in die Kräfteebene fallenden Richtung. Werden die auf den Stab
wirkenden Lasten mit P1, P2 .... Pm .... Pn bezeichnet, die Angriffs-
punkte derselben mit 1, 2, … m … n und die Verschiebungen dieser
Punkte im Sinne der entsprechenden P mit δ1, δ2 … δm .... δn, so
lautet die Arbeitsgleichung:
;
sie gilt für beliebige zusammengehörige Verschiebungen δ, Δ c und Δ d sv
und für beliebige Werthe der Lasten P und statisch nicht bestimmbaren
Grössen X und liefert unmittelbar einen einfachen Ausdruck für die
Verschiebung δm, sobald sämmtliche Grössen X sowie die Lasten P1
bis Pm — 1 und Pm + 1 bis Pn gleich Null gesetzt werden, während Pm = 1
angenommen wird. Es entsteht dann ein statisch bestimmter Stab,
welcher in der Folge der Hauptträger genannt werden möge, und
an welchem ausser Pm = 1 noch die durch diese Last hervorgerufenen
Auflagerkräfte C̅ angreifen, während im Innern gewisse Spannungen σ̅
erzeugt werden. Die obige Arbeitsgleichung geht über in
(36)
und gestattet, die durch einen beliebigen Belastungs- und Temperatur-
zustand verursachte Verschiebung δm aus den diesem Zustande ent-
sprechenden Verschiebungen Δ c und Δ d sv zu berechnen. Insbesondere
ergiebt sich mit
der Werth
(37) ,
wobei L̅ die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den
durch Pm = 1 belasteten Hauptträger bezeichnet.

Denselben Ausdruck für δm erhält man — in anderer Form —
durch theilweise Differentiation der allgemeinen Arbeitsgleichung nach
der Last Pm, wobei die δ, Δ c und Δ d sv als Konstanten aufgefasst werden
[62] dürfen, da jene Arbeitsgleichung für beliebige zusammengehörige Werthe
dieser Verschiebungen giltig ist. Man gelangt zu
und findet schliesslich das übersichtliche Gesetz:
(38) ,
wobei Ai durch die Gleich. 34 erklärt ist.

Bei festliegenden oder über reibungslose Lagerflächen gleitenden Stütz-
punkten verschwinden sämmtliche Δ c, und es ergiebt sich
und im Falle Δ c = 0 und t = 0 folgt
,
wobei die Formänderungsarbeit bedeutet.

Mit Hilfe der entwickelten Gesetze ist man auch im Stande, die
Verschiebungen von solchen Punkten eines Stabes zu bestimmen, welche
nicht Angriffspunkte von Lasten sind; man hat nur nöthig, in dem
fraglichen Punkte nach der Richtung der gewünschten Verschiebung eine
beliebig grosse Last P hinzuzufügen und nachträglich P = 0 zu setzen.
Bedingung ist nur, dass die Verschiebungsrichtung in die Kräfteebene fällt.

Bedient man sich bei der Berechnung von δ der Gleichung (38),
so ist zu beachten, dass nicht nur die Lasten P, sondern auch die
Grössen X als unabhängige Veränderliche aufgefasst werden dürfen, dass
es also zulässig ist, die X als Konstanten anzusehen, sobald nach einer
Last P differentiirt wird. Vergl. Seite 54.

4) Auflager. Ausser den im § 1 (Fig. 1) angeführten festen und

beweglichen Lagern,
deren Widerstände be-
ziehungsweise durch die
Angabe von zwei Seiten-
kräften oder einer Seiten-
kraft bestimmt sind,
müssen bei den auf
Biegungsfestigkeit be-
anspruchten Stäben noch
Auflager unterschieden
werden, welche der im
Stützpunkte an die Stab-
achse gelegten Tangente eine bestimmte Lage, beziehungsweise Bewegung,
vorschreiben. Es kommen zwei Anordnungen in Betracht.

a) Feste Einspannung (Fig. 44 a). Bei vollkommener Starrheit
des stützenden Körpers liegt der Stützpunkt A fest, desgleichen die in
A an die Stabachse gelegte Tangente (Auflagertangente). Der Stützen-
widerstand lässt sich zerlegen in zwei Seitenkräfte C1 und C2 und in
ein Kräftepaar, dessen Moment M das Einspannungs-Moment heisst.
Verschiebt sich, in Folge der Elasticität des stützenden Körpers, der
Punkt A im Sinne von C1 um Δ c1 und im Sinne von C2 um Δ c2, während
sich die Auflagertangente im Sinne des Momentes M um τ dreht, so
leisten die Auflagerkräfte die virtuelle Arbeit
C1Δ c1 + C2Δ c2 + Mτ.^*)

b) Lose Einspannung (Fig. 44 b). Der Stützpunkt A gleitet
auf vorgeschriebener Bahn A B. Die Auflagertangente liegt bei starrem
Stützkörper fest. Der Stützenwiderstand zerfällt in das Einspannungs-
moment M und in einen Gegendruck C, welcher bei glatter Bahn senk-
recht zu A B wirkt. Verschiebt sich A im Sinne von A um Δ c, während
sich die Auflagertangente im Sinne von M um τ dreht, so leisten die
Auflagerkräfte die virtuelle Arbeit
C Δ c + M τ.

c) Beispiel für die Berechnung der ArbeitenL. Um die Er-
mittelung der in den
Gleichungen 32 vor-
kommenden Arbeiten L',
L'', .... der Auflager-
kräfte für die Zustände
X' = 1, X'' = 1, ....
durch ein Beispiel zu
erläutern, betrachten wir
einen bei A und B fest
eingespannten Bogen-
träger ohne Gelenke
(Fig. 46). Die senkrech-
ten und wagerechten
Seitenkräfte der Stützen-

drücke seien A, B, H1, H2, und die Einspannungsmomente seien M1 und M2.
In Folge der Nachgiebigkeit der Widerlager gehe über
c in c + Δ c, l in l + Δ l, φ0 in φ0 + Δ φ0, φ1 in φ1 + Δ φ1;
[64] es leisten dann die Auflagerkräfte (wenn Punkt B und die Wagerechte durch
B festliegen) die virtuelle Arbeit
(I) 𝔄 = — AΔ c — H1Δ l — M1Δ φ0 + M2Δ φ1.

Bedeutet R die Mittelkraft aus sämmtlichen Lasten, α den Neigungs-
winkel von R gegen die Wagerechte, r das Loth von B auf R, so bestehen
die Gleichgewichtsbedingungen:
(II) H1 + R cos α — H2 = 0
(III) A — R sin α + B = 0
(IV) Al — H1c — Rr + M1 — M2 = 0.

Da sich weitere statische Beziehungen zwischen den 6 Unbekannten A,
B, H1, H2, M1 und M2 nicht aufstellen lassen, so ist der Träger ein dreifach
statisch unbestimmter. Werden A, H1 und M1 als statisch nicht bestimmbare
Grössen aufgefasst, so muss der aus (IV) sich ergebende Werth: M2 = Al — H1c
— Rr + M1 in (I) eingeführt werden, worauf die Arbeit 𝔄 als Funktion der
statisch nicht bestimmbaren Grössen in der Form
𝔄 = A (lΔ φ1 — Δ c) — H1 (cΔ φ1 + Δ l) + M1 (Δ φ1 — Δ φ0) — RrΔ φ1
erhalten wird, und es folgt schliesslich

• für den Zustand X' = A = 1 der Werth L' = lΔ φ1 — Δ c
• „ „ „ X'' = H1 = 1 „ „ L'' = — (cΔ φ1 + Δ l)
• „ „ „ X''' = M1 = 1 „ „ L''' = Δ φ1 — Δ φ0.

5) Belastung durch Kräftepaare. Drehung von Tangenten
an die Stabachse. Die in irgend einem Punkte m an die Stabachse
gelegte Tangente T T (Fig. 47) können wir als materielle Linie auffassen,
welche mit dem Stabe fest verbunden ist. Wirkt auf diese Linie ein

Kräftepaar, dessen Moment
= 𝔐m ist, so werden an den
Auflagern gewisse Gegen-
drücke und im Stabe gewisse
Spannungen hervorgerufen.
Es möge m der Angriffs-
punkt des Kräftepaares
heissen.

Denken wir uns nun in
gleicher Weise (ausser den
bislang vorausgesetzten
Lasten P) in beliebigen
Punkten 1, 2, .... n der Stabachse Kräftepaare mit den Momenten 𝔐1,
𝔐2, .... 𝔐n angreifend und bezeichnen mit τ1, τ2, ... τn die Winkel,
um welche sich die in den Punkten 1, 2, .... n an die Stabachse ge-
legten Tangenten in Folge der Umgestaltung des elastischen Stabes drehen,
so leisten die Kräftepaare die virtuelle Arbeit 𝔐1τ1 + 𝔐2τ2 + ....
+ 𝔐nτn, und es ergiebt sich die Arbeitsgleichung:
.

Sie gilt im Falle des Gleichgewichtes und bei verschwindend kleinen,
möglichen Verschiebungen für beliebige Werthe der Lasten P und Momente
𝔐m und liefert, theilweise nach 𝔐m differentiirt, die Beziehung:
,
aus welcher sich die (der Gleich. 38 gegenüberzustellende) Gleichung
(38 a)
ableiten lässt; dieselbe ermöglicht die Berechnung des Drehungswinkels
τ jeder Tangente an die Stabachse. Tritt das Kräftepaar mit dem
Momente 𝔐m in Wirklichkeit nicht auf, so hat man nach Ausführung
der Differentiation 𝔐m = 0 zu setzen.

Weiter leuchtet sofort die Richtigkeit der (der Gleich. 37 gegen-
überzustellenden) Gleichung ein:
(37a) ,
in welcher σ̅ diejenige Spannung bedeutet, die in irgend einem Quer-
schnittselemente des statisch bestimmten Hauptträgers entsteht, sobald
im Punkte m ein Kräftepaar mit dem Momente 𝔐m = 1 angreift, während
L̅ die virtuelle Arbeit der durch diese Belastung hervorgerufenen Auf-
lagerkräfte vorstellt.

§ 14.
Die Spannungen σ im geraden Stabe. Navier’sche
Biegungsformel.

1) Durch einen Querschnitt im Abstande x von irgend einem in
der Stabachse angenommenen Anfangspunkte A denken wir den Stab
in zwei Theile zerlegt
und vereinigen alle
an dem einen der
beiden Theile, z. B.
an dem linken, an-
greifenden äusseren
Kräfte zu ihrer Mittel-
kraft R (Fig. 48).

R heisst die äus-
sere Kraft für den
geführten Quer-

schnitt und zerfällt in die LängskraftN, senkrecht zum Querschnitte,
und die QuerkraftQ in der Ebene des Querschnittes. Die Kraft N
Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 5
[66] möge positiv angenommen werden, sobald sie das Bestreben hat, den
linken Stabtheil von dem festgehalten gedachten rechten Theile zu ent-
fernen.

Die durch den Schwerpunkt O des Querschnittes und den Schnitt-
punkt B der Kraft R mit dem Querschnitte gelegte Gerade heisse die
Kräftelinie, sie ist die Schnittlinie der Kräfteebene und der Quer-
schnittsebene und möge mit der u-Achse eines in der Querschnittsebene
angenommenen rechtwinkligen Koordinatensystems (u, v), dessen Ursprung
der Punkt O ist, den Winkel α einschliessen. Bedeuten dann:
f den Abstand des Punktes B vom Ursprunge,
fu und fv die Koordinaten von B,
so zerfällt das dem betrachteten Querschnitte entsprechende Biegungs-
moment
M = N f
in das um die u-Achse drehende Moment
Mu = N fv = M sin α
und in das um die v-Achse drehende Moment
Mv = N fu = M cos α,
und es bestehen zwischen den in dem Querschnitte wirksamen Spannungen
σ und den äusseren Kräften die Gleichgewichtsbedingungen:
N = ∫ σ d F
Mu = ∫ v · σ d F
Mv = ∫ u · σ d F.

Die Berechnung der σ soll unter folgenden Voraussetzungen durch-
geführt werden:

1. Die Strecke Δ d xv, um welche sich im Punkte u, v die Ent-
fernung d x des betrachteten Querschnittes von dem unendlich nahe
gelegenen Querschnitte ändert, sei eine geradlinige Funktion der Ko-
ordinaten u und v, d. h. es sei
,
unter a', a'', a''' Werthe verstanden, welche für den betrachteten Quer-
schnitt Konstanten sind. ^*)

2. Die Temperaturänderung t im Punkte u, v sei ebenfalls eine
geradlinige Funktion von u und v, es bestehe also die Gleichung
t = t' + t'' v + t''' u,
deren Koefficienten gegeben sind, sobald die Temperaturänderungen für
drei nicht in einer Geraden gelegene Punkte des Querschnittes bekannt
sind.

Dann folgt aus der Gleichung
für die Spannung σ der Ausdruck
σ = E (a' — εt') + E (a'' — εt'') v + E (a''' — ε t''') u
und hierfür soll kürzer geschrieben werden
σ = a + b v + c u,
wobei a, b, c Konstanten sind, welche sich mit Hilfe der drei Gleich-
gewichtsbedingungen berechnen lassen. Jene Bedingungen gehen über in
N = a ∫ d F + b ∫ v d F + c ∫ u d F
M sin α = a ∫ v d F + b ∫ v2d F + c ∫ u v d F
M cos α = a ∫ u d F + b ∫ u v d F + c ∫ u2d F;
sie nehmen eine besonders einfache Gestalt an, sobald zu den Koor-
dinatenachsen Hauptachsen gewählt werden. In diesem Falle ist das
Centrifugalmoment ∫ u v d F = 0, und weiter folgt, da der Ursprung O
mit dem Schwerpunkte des Querschnittes zusammenfällt, ∫ u d F = 0 und
∫ v d F = 0. Es ergeben sich die Werthe:
,
in denen Ju und Jv die Trägheitsmomente des Querschnittes in Bezug
auf die Hauptachsen bedeuten, und es entsteht die Navier’sche Formel
(39) .
Besonders hervorzuheben ist, dass eine ungleichmässige Erwärmung des
Stabes nach dem Gesetze t = t' + t'' v + t''' u nur dann Spannungen σ
hervorbringt, wenn die Werthe N und M von den Temperaturänderungen
abhängig sind, was nur bei statisch unbestimmten Stäben der Fall sein
kann. Verschwinden alle äusseren Kräfte, so verschwinden auch die
Spannungen σ.

2) Meistens fällt die Kräfte-
linie mit einer Hauptachse zu-
sammen. Wählen wir in diesem
Falle die Gerade B O zur v-Achse
(Fig. 49), so ist α = 90° und
(40) ,
wobei J das auf die u-Achse be-
zogene Trägheitsmoment des Quer-
schnittes bedeutet. Für die von
der u-Achse am entferntesten
gelegenen Querschnittspunkte er-
geben sich, wenn v = + e1 und
v = — e2 die Ordinaten dieser
Punkte sind, die Spannungen
(41) .

Wird angenommen, dass die Temperaturänderung t nur von v ab-
hängt, so darf
(42)
gesetzt werden; hierbei bedeutet (Fig. 49):

• h die Höhe des Querschnittes,
• t0 die Temperaturänderung für v = 0 (also z. B. für den Quer-
  schnittsschwerpunkt),
• Δ t = t1 — t2 den Unterschied der den äussersten Querschnitts-
  punkten entsprechenden Temperaturänderungen,
• t1 den Werth von t für v = + e1 und
• t2 „ „ „ t „ v = — e2.

Zwischen t0, t1 und t2 besteht die Beziehung
(43) .

3) Die Werthe Δ d x1, Δ d x2 und Δ d x, welche Δ d xv beziehungs-
weise für v = + e1, v = — e2 und v = 0 annimmt, sind für den
Fall, dass die Kräftelinie mit der v-Achse zusammenfällt,
[69](44)
und es wird deshalb der Winkel d τ, um welchen sich der betrachtete
Stabquerschnitt gegen den Nachbarquerschnitt dreht,
, d. i.
(45) .

§ 15.
Bedingungsgleichungen für statisch unbestimmte
gerade Stäbe.

1) Integrationen. Es sollen die im § 13 abgeleiteten Bedingungs-
gleichungen für den Fall umgeformt werden, dass die Kräftelinie mit
der v-Achse zusammenfällt, dass also
ist, während die Temperaturänderung dem durch die Gleich. 42 und
43 gegebenen Gesetze folgt. Zu diesem Zwecke mögen zunächst die
Integrale
und ∫ σ ε t d V
berechnet werden, wobei
und
die Spannungen für irgend zwei durch die Zeichen a und b unter-
schiedene Belastungsfälle bedeuten.

Mit d V = d x d F folgt
und, wenn zuerst über den Querschnitt integrirt wird,
.

Nun ist ∫ d F = F, ∫ v2d F = J und ∫ v d F = 0, mithin folgt:
[70](46) .

Das zweite der gesuchten Integrale ist
;
es [l]ässt sich in gleicher Weise umformen in
(47) .

Man kann auch Gleich. (46) in der Weise ableiten, dass man nur
σa durch Na und Ma ausdrückt und die Gleichgewichtsbedingungen
∫ σbd F = Nb und ∫ σb v d F = Mb berücksichtigt. Es ergiebt sich dann:
.

Ebenso findet man
.

2) Umformung der Gleichungen (32). Die Auflagerkräfte C,
Biegungsmomente M und Längskräfte N eines mehrfach statisch un-
bestimmten Stabes lassen sich in der Form darstellen
(48) ,
wobei X', X'', X''', ..... statisch nicht bestimmbare Grössen bedeuten.

C0, M0, N0 sind die Auflagerkräfte, Biegungsmomente und Längs-
kräfte für den statisch bestimmten Hauptträger, in welchen der Stab
übergeht, sobald sämmtliche Unbekannten X verschwinden; sie sind gerad-
linige Funktionen der gegebenen Lasten.

C', M', N' sind die Werthe der Auflagerkräfte, Momente und Längs-
kräfte für den auf Seite 59 erklärten Zustand X' = 1, desgl. C'', M'',
N'' die Werthe für den Zustand X'' = 1 u. s. w.

Die Spannungen für den Zustand X' = 1 sind:
,
für den Zustand X'' = 1:
, u. s. w.
und die Gleichungen (32) gehen, mit Beachtung der Gleich. (46) und
(47), über in
(49) ,
wobei L', L'', ..... die virtuellen Arbeiten der Auflagerkräfte bei Ein-
treten der Zustände X' = 1, X'' = 1, ..... bedeuten.

Ist die Temperaturerhöhung für alle Punkte eines Stabquerschnittes
konstant und = t, so ist Δ t = 0 und t0 = t zu setzen.

3) Umformung der Gleichungen (33) und (34). Für die
durch die Gleich. 34 gegebene ideelle Formänderungsarbeit Ai findet
man mit Hilfe der Gleichungen (46) und (47) den Werth
(50) ,
und es geht somit die Bedingungsgleichung (33) über in
(51) ,
wobei X irgend eine der zu berechnenden statisch nicht bestimmbaren
Grössen und L die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand
X = 1 bedeutet.

Dass Gleich. (51) die allgemeine Form der Bedingungsgleichungen
(49) darstellt, leuchtet ein, sobald der Grösse X der Reihe nach die
Werthe X', X'', ...... beigelegt werden und
......
....
gesetzt wird.

4) Der auf Biegungsfestigkeit beanspruchte gerade Stab in
Verbindung mit einem Fachwerke. Sehr häufig hat man es mit
[72] der Berechnung eines Körpers zu thun, der aus einem Fachwerke und
aus einem oder mehreren auf Biegungsfestigkeit beanspruchten, geraden
Stäben besteht. Die allgemeine Form der Bedingungsgleichungen, denen
die statisch nicht bestimmbaren Grössen X zu genügen haben, lautet
dann (vergleiche die für das Fachwerk abgeleiteten Gleichungen 26):
(52) ,
wobei angenommen wird, dass die Temperaturänderung t für alle Punkte
eines und desselben Fachwerkstabes gleich gross ist.

Meistens macht man die Annahme, dass auch für alle Punkte eines
und desselben Querschnittes der durch die M und N beanspruchten Stäbe
die Temperaturänderung t gleich gross ist und erhält dann die Bedingung
(53) .

L bedeutet die virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte für den Zustand
X = 1.

5) Anwendungen.

Aufgabe 1. Wagerechter, bei B eingespannter und bei A frei auf-

liegender Balken. Gesucht ist der
durch eine gleichmässige Belastung
(= p für die Längeneinheit) her-
vorgerufene Auflagerwiderstand X
(Fig. 50). Temperaturänderungen
sollen unberücksichtigt bleiben, des-
gleichen Verschiebungen der Angriffs-
punkte der Auflagerkräfte; es ist
also L = 0 und t = 0.

Da nur Beanspruchung auf
Biegung vorliegt (N = 0), so muss X der Bedingung (vergl. Gleich. 51)
genügen, und bei konstantem E J der Bedingung
.
[73] Nun ist und , weshalb
,
woraus
.

Es ist mithin das Biegungsmoment an der Stelle x
.
Für folgt max und für x = 1 ergiebt sich das Ein-
spannungsmoment . Die grössten Beanspruchungen sind
und (nach Gl. 41).

Aufgabe 2. Wagerechter, bei A und B eingespannter Balken mit
Dreiecksbelastung (Fig. 51).
Es sei wie in Aufgabe 1 sowohl
L als auch t = 0.

Bedeutet X die senkrechte
Auflagerkraft und M1 das
Biegungsmoment am linken
Auflager, so ist das Biegungs-
moment an der Stelle x:
.

Die beiden statisch nicht bestimmbaren Grössen X und M1 müssen, bei
konstantem E J, den Bedingungen genügen:
und
und diese gehen, wegen und , nach Ausführung der
Integrationen über in
und
;
sie liefern:
.

Nun folgt an der Stelle x:
.

• Für folgt max M = + 0,02144 p l2
• Für x = l folgt .
• Das grösste aller Momente ist M2.

Aufgabe 3. Das in Fig. 52 dargestellte Krahngerüst ist bei D

und C fest, aber gelenkartig ge-
lagert. Bei A und B sind starre
Eckverbindungen gedacht. Be-
deutet R die Mittelkraft aus den
auf den Balken A B wirkenden,
senkrecht angenommenen Lasten,
so sind die senkrechten Auflager-
kräfte bei D und C bezieh. =
und = . Die wagerechten
Auflagerkräfte sind gleich gross
und statisch nicht bestimmbar, sie
seien = X gesetzt.

Bleiben Verschiebungen der
Angriffspunkte der Auflagerkräfte
und Temperaturänderungen un-
berücksichtigt, so muss X der
Bedingung genügen:
.

• Bedeuten J1 und E1 das Trägheitsmoment und den Elasticitäts-
  modul für alle Querschnitte der Stäbe A D und C B,
• J und E die entsprechenden Werthe für den Stab A B,
• F den konstanten Querschnitt des Stabes A B,

so folgt für den Stab A D:
,
(I) .

Dieselben Werthe der gesuchten Integrale ergeben sich für C B.

Dem Stabe A B entspricht
,
(II) .

Das Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt G des Stabes
A B ist M = M0 — X h,
unter M0 das Biegungsmoment für einen einfachen, bei A und B frei
aufliegenden Balken verstanden (Fig. 53), und es folgt somit
= — h und
(III) .

Setzt man die Summe der mit I, II, III bezeichneten Integrale
(von denen das erste 2 mal zu nehmen ist) gleich Null, so erhält man
die Gleichung:
und aus dieser folgt:
(IV) .

Hierin bedeutet den Inhalt der dem einfachen Balken A B
(Fig. 53) entsprechenden Momentenfläche A L B. Wirkt z. B. auf A B
nur die Einzelkraft P, Fig. 54, so ist die Momentenfläche A L B ein
Dreieck mit der Höhe und mit dem Inhalte
(V) .

Einer gleichmässigen Belastung der Längeneinheit von A B mit g
entspricht eine Parabelfläche A L B mit der Höhe , Fig. 55, und
dem Inhalte
.
[76] Bei gleichzeitigem Auftreten einer gleichmässigen Last und einer Schaar
von Einzellasten entsteht:
(VI) .

Nachdem X gefunden ist, lassen sich die Spannungen σ in allen
Theilen des Gerüstes leicht berechnen.

Aufgabe 4. Ein bei A und C frei aufliegender, durch 2 Zug-

stangen und eine
Strebe verstärkter
Träger, Fig. 56,
sei durch senk-
rechte Lasten be-
ansprucht. Die
Spannkräfte S1, S2
in den gelenkartig
befestigten Fach-
werkstäben sind,
wenn X die wage-
rechte Seitenkraft
von S1 bedeutet:
S1 = X sec α und
S2 = — 2 X tg α,
und für den Balken-
querschnitt G bei x
ergiebt sich die
Längskraft
N = — S1 cos α
= — X
und das Biegungs-
moment
M = M0 — S1y cos α
= M0 — X y,
vobei M0 das Biegungsmoment für einen bei A und C frei aufliegenden,
nicht verstärkten Balken A C bedeutet (Fig. 57). Die Momentenfläche
A L C für diesen einfachen Balken A C möge die einfache Momenten-
fläche heissen.

Die Grösse X ist statisch nicht bestimmbar, sie muss, wenn Tem-
peraturänderungen unberücksichtigt bleiben sollen, der Bedingung ge-
nügen:
(I) .

Bedeuten nun

• E, J und F den Elasticitätsmodul, das Trägheitsmoment und den
  Inhalt für sämmtliche Querschnitte des Balkens A C,
• E1 und F1 die entsprechenden Werthe für die Stäbe A D und D C,
• E2 und F2 „ „ „ „ den Stab B D,

so folgt für die Fachwerkstäbe, wegen = sec α und
= — 2 tg α:
und für den Balken A B C, wegen und ,
und es geht, mit die Gleich. I über in
;
sie liefert den Werth:
,
wo
eine von den Querschnittsabmessungen abhängige Zahl ist.

Die einfache Momentenfläche A L C in Fig. 57 wird durch die
Mittel-Senkrechte in zwei Theile zerlegt, deren Inhalte gleich F' und
F'' und deren Schwerpunktsabstände von den benachbarten Auflager-
Senkrechten gleich e' und e'' sein mögen, und es folgt nun für das
Balkenstück A B:
und für den ganzen Balken A C:
[78],
mithin ergiebt sich
.
Zwei in Bezug auf die Mittel-Senkrechte gleich gelegenen Einzellasten
P entspricht z. B. als einfache Momentenfläche ein Trapez von der Höhe
Pa (Fig. 58), und für dieses ist
,
weshalb die beiden Lasten P hervorrufen:
.

Da beide Lasten zu X denselben Beitrag liefern, so entsteht bei
Aufbringen nur einer Last:
.

Eine gleichförmige Belastung g für die Längeneinheit (Fig. 59)

darf als aus unendlich kleinen
Einzellasten g d a bestehend auf-
gefasst werden; sie erzeugt,
wenn sie auf der ganzen Länge
des Trägers wirkt,
.
Wird also der Träger gleich-
zeitig durch eine gleichmässige
Last und eine Schaar von Einzel-
lasten beansprucht, Fig. 56,
so entsteht
.

Nach Berechnung von X lassen sich die Beanspruchungen σ in
allen Theilen des Trägers leicht angeben.

Aufgabe 5. Der in Fig. 60 dargestellte, oben durch ein Halsband
und unten durch einen Zapfen gestützte Giessereikrahn ist einfach statisch
unbestimmt; seine Beanspruchung lässt sich feststellen, sobald eine der
[79] beiden Streben-Spannkräfte D1 oder D2 bekannt sind. ^*) Wird D1 als
statisch nicht bestimmbare Grösse angesehen, so muss der Bedingung
genügt werden. Mit der erlaubten Vernachlässigung der Wirkung der
Längskräfte, welche im Vergleiche zu dem Einflusse der Momente gering
ist, entsteht:
(I) .

Zunächst sei eine Beziehung zwischen D1 und D2 aufgestellt. Auf
den wagerechten Krahnbalken wirken die Querkräfte P, D1 sin α1 und
D2 sin α2, und es muss sein:
P (l1 + l2 + l3) + D1 sin α1 (l2 + l3) + D2 sin α2l3 = 0,
mithin
(II) ,
und ebenso ergiebt sich für die an der Krahnsäule angreifenden Quer-
kräfte:
Hh + D2 cos α2 (l5 + l6) + D1 cos α1l6 = 0
und hieraus
(III) ,
wo
.

Wir bezeichnen mit J und J0 beziehungsweise die Trägheitsmomente
der Querschnitte von Balken und Säule, mit E und E0 die zugehörigen
Elasticitätsmoduln und erhalten für die Theile l1, l2, l3, l4, l5 und l6
folgende Momente und Werthe :
Theill1: M = Px1, ;
Theill2: M = P (l1 + x2) + D1 sin α1x2; sin α1
;
Theill3: M = P (l1 + l2 + x3) + D1 sin α1 (l2 + x3) + D2 sin α2 · α3,
oder, wenn D2 mittels Gl. II ausgedrückt wird,
[80]M = [P (l1 + l2) + D1l2 sin α1] ; sin α1;
;
Theill4: M = Hx4, ;
Theill5: M = H (l4 + x5) + D2 cos α2x5
und, wenn D2 mittels Gl. III ausgedrückt wird,
;
;
;
Theill6: M = H (l4 + l5 + x6) + D2 cos α2 (l5 + x6) + D1 cos α1x6
und, mit Beachtung von Gl. III,
;
.

Setzt man nun, nach Gl. I, die Summe aller vorberechneten Inte-
grale: gleich Null und multiplicirt mit 3 E J, so erhält
man die Gleichung:
und hieraus folgt, mit sin ,
.

Nun kann man nach Gl. II oder III die Strebenkraft D2 finden
und sämmtliche Biegungsmomente berechnen.

Aufgabe 6 (Fig. 61). Ein frei auf drei Stützpunkten ruhender,
ursprünglich wagerechter, kontinuirlicher Balken ohne Gelenke und mit
konstantem E und J sei durch beliebige senkrechte Lasten beansprucht;
ausserdem mögen auf die Endquerschnitte (1) und (3) beliebig grosse,

von ausserhalb des Balkens wirkenden Kräften herrührende Biegungs-
momente M1 und M3 wirken. Es soll das Biegungsmoment M2 für
den über der Mittelstütze gelegenen Querschnitt unter der Voraussetzung
berechnet werden, dass, bei festliegenden Stützpunkten (1) und (3), sich
der Stützpunkt (2) um δ senkt und der Balken ungleichmässig erwärmt
wird. Die Temperaturerhöhung sei für den untersten Punkt eines Quer-
schnittes = t1, für den obersten = t2; beide Werthe seien konstant
und es sei t1 — t2 = Δt. Querschnittshöhe = h (vergl. Fig. 49).

Wir benutzen (da N = 0 ist) die Bedingungsgleichung (vergl.
Seite 71, Gleich. 49):
,
in welcher M das wirkliche Biegungsmoment für irgend einen Querschnitt
bedeutet, während M' das demselben Querschnitte entsprechende Biegungs-
moment für den Fall ist, dass die Lasten verschwinden und die statisch
nicht bestimmbare Grösse (hier also M2) den Werth 1 annimmt (Zustand
X = M2 = 1). Die Momentenfläche für diesen Zustand ist das Dreieck
in Fig. 62 mit der Höhe 1, und die zugehörigen Auflagerkräfte sind
, , beide aufwärts wirkend, und
Müller-Breslau, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre. 6
[82], abwärts gerichtet.

Senkt sich die Mittelstütze um δ, so ist die virtuelle Arbeit der
den Zustande X = M2 = 1 entsprechenden Auflagerkräfte:
,
und es folgt somit die Bedingung
(I) .

Für einen Querschnitt im Abstande x1 \> l1 von A folgt: ,
mithin für den Theil und
.

Das Integral: bedeutet das statische Moment der wirk-
lichen Momentenfläche, bezogen auf die Senkrechte durch den Stützpunkt
1. Diese Momentenfläche besteht aus einem Trapeze, das bei (1) und
(2) die Höhen M1 und M2 hat und aus der Momentenfläche AS1B,
welche dem bei (1) und (2) frei aufliegenden Einzelbalken l1 entsprechen
würde, Fig. 63. Wir nennen AS1B die einfache Momentenfläche für
den Theil l1, bezeichnen ihr statisches Moment in Bezug auf die links
von ihr gelegene Auflagersenkrechte mit 𝔏1 und erhalten, indem wir
das Trapez über A B in zwei Dreiecke zerlegt denken,
,
so dass sich für den Theil l1 ergiebt:
;
ebenso ergiebt sich für den Theil l2:
und ,
wobei 𝕽2 das statische Moment der zu dem Theile l2 gehörigen ein-
fachen Momentenfläche B S2C, bezogen auf die rechts von ihr gelegene
Aufagersenkrechte, bedeutet.

Die Gleichung I geht jetzt, nach Multiplikation mit 6 über in
[83](II) ;
sie ermöglicht die Berechnung von M2.

Die am häufigsten vorkommenden Belastungen sind:
Beanspruchung durch
Einzellasten und durch eine
gleichmässige Belastung.

Liegt auf einem ein-
fachen Balken eine Einzel-
last P in den Abständen a
und b von den Stützpunkten
(Fig. 64), so ist die Mo-
mentenfläche A S B ein Drei-
eck, dessen Höhe = ,

und dessen statisches Moment, bezogen auf die links gelegene Auflager-
senkrechte,
(III)
ist. In Bezug auf die rechtsseitige Auflagersenkrechte ergiebt sich das
statische Moment
(IV) .

Liegt zwischen den Grenzen ξ = s1 und ξ = s2 eine gleichmässige
Last p für die Längeneinheit (Fig. 65), so entspricht dem Lasttheilchen
p · d ξ nach Gleich. III der Werth
und es folgt
(V) .

Ist der ganze Balken A B mit
g für die Längeneinheit belastet,
so ergiebt sich aus (V) (mit p = g,
s2 = l und s1 = 0)
(VI) .

Wenn also, wie in Fig. 61
angenommen wurde, auf den kon-

tinuirlichen Balken gleichzeitig Einzellasten P und gleichmässige Lasten
6*
[84]g1, g2, p1, p2 wirken, so geht mit den aus der Fig. 61 ersichtlichen
Bezeichnungen die Gleich. II über in
(VII) ,
in welcher sich die Summen und beziehungsweise über die auf
den Theilen l1 oder l2 ruhenden Lasten P erstrecken.

Die Gleichungen II und VII ermöglichen die Berechnung der Stützen-
momente von kontinuirlichen Trägern, welche frei auf beliebig
vielen, sich um vorgeschriebene Strecken senkenden Stützen
liegen (Fig. 66). Bedeuten für einen solchen Träger M1, M2, M3

irgend drei auf einander folgende Stützenmomente und δ die Strecke,
um welche sich der Stützpunkt 2 unter die Verbindungsgerade der beiden
benachbarten Stützpunkte 1 und 3 verschiebt, so besteht zwischen den
Momenten M1, M2, M3 die durch die Gl. II oder Gl. VII dargestellte
Beziehung. Bei n Stützen lassen sich n — 2 solcher Beziehungen an-
geben, und diese genügen zur Berechnung aller Momente M, da die
Momente MA und MB über den Endstützen bekannt sind. Setzen wir
im Allgemeinen überragende Trägerenden voraus und bezeichnen mit Q'
und Q'' die Mittelkräfte aus den auf die überragenden Trägerstücke
wirkenden Lasten, so erhalten wir
MA = — Q' e' und MB = — Q'' e''.

Werden die Verschiebungen der Stützpunkte (1, 2, 3) aus einer
gegebenen Anfangslage A0B0 des Balkens mit c1, c2, c3 bezeichnet, so ist
und es ergiebt sich
(VIII) .

Aufgabe 7. Es sollen die bei Lösung der Aufgabe 6 abgeleiteten all-
gemeinen Gleichungen
zur Berechnung der
Stützenmomente des
in Fig. 67 dargestell-
ten gleichmässig be-
lasteten, kontinuir-
lichen Trägers, dessen
Mittelstützen sich um
c2 und c3 gesenkt
haben, benutzt werden.

Zwischen den
Stützenmomenten M1,

M2 und M3 besteht (nach Gl. VII mit Beachtung von Gl. VIII) die Beziehung:
,
und ebenso folgt
,
und in diese Gleichungen ist zu setzen:
M1 = 0, M4 = 0, c1 = 0, c4 = 0.

Die Auflösung der beiden Gleichungen nach M2 und M3 ergiebt z. B. für
den Fall l1 = l2 = l3 = l:

1) den Einfluss der Lasten g1, g2, g3:

2) den Einfluss der Stützenverschiebungen c1, c2:

3) den Einfluss der Temperaturänderung:
.

Die im Querschnitte über der Stütze 2 durch die unter 2 und 3 angeführ-
ten Einflüsse erzeugten Spannungen σ1 und σ2 sind nach Gl. 41 (vergl. auch
Fig. 49):
und
.

Aufgabe 8. Es soll das Einspannungsmoment M1 für einen ur-
sprünglich wagerechten Balken berechnet werden, auf welchen Einzel-
lasten P wirken und der, bei gleich hoch gelegenen Stützpunkten 1 und
[86]

2, am linken Ende unter
einem gegebenen Winkel τ
eingespannt wird, während
er am rechten Ende frei
aufliegt. Es soll, wie in den
Aufgaben 6 und 7, eine un-
gleichmässige Erwärmung
berücksichtigt werden.
Fig. 68.

Wir betrachten den Balken
als frei auf 3 Stützen 0,
1, 2 ruhend. Die Endstütze
0 liegt unendlich nahe der
Stütze 1 und ist um l0 τ
angehoben. Gleich. VII in Aufgabe 6 liefert dann die Beziehung:
,
in welcher δ die Verschiebung des Punktes 1 gegen die Gerade 0 2̅ be-
deutet. Es ist
und es ergiebt sich, da l0 = 0, M0 = 0 und M2 = 0 ist, der Werth
und die Gleichung:
;
mithin ist das gesuchte Einspannungsmoment
.

Die Lösung dieser Aufgabe lehrt auch, in welcher Weise die
Gleichungen II und VII in Aufgabe 6 auf die Berechnung der Stützen-
nomente eines kontinuirlichen Balkens angewendet werden können, dessen
Enden unter bestimmten Winkeln eingespannt sind.

§ 16.
Berechnung der Verschiebungen von Punkten gerader Stäbe
und der Drehungswinkel von Tangenten an die Stabachse.

1) Umformung der Gleichungen (37) und (38) im § 13. Um
de Verschiebung δm eines in der Kräfteebene gelegenen Stabpunktes m
[87] nach einer in die Kräfteebene fallenden Richtung m m' zu berechnen,
bringe man im Punkte m eine durch m' gehende Last „Eins“ an und
bestimme die hierdurch hervorgerufenen Auflagerkräfte C̅, Biegungs-
momente M̅ und Längskräfte N̅. Sodann erhält man für den Fall, dass
die Gleich. (40) bis (43) giltig sind:
(54) ,
wobei

• L̅ = virtuelle Arbeit der Auflagerkräfte C̅,
• • N = Längskraft
  • M = Biegungsmoment
  hervorgerufen durch die wirkliche
   Belastung,

während t0 und Δt die auf Seite 68 erklärte Bedeutung haben.

Die Gleich. (54) ergiebt sich aus der Gleich. (37) mit Beachtung
der Gleich. (46) und (47).

Ist der Stab (oder die Stabverbindung) statisch unbestimmt, so
dürfen bei der Berechnung der C̅, M̅ und N̅ alle statisch nicht bestimm-
baren Grössen gleich Null gesetzt werden, wobei es freisteht, in welcher
Weise der Stab in einen statisch bestimmten Hauptträger verwandelt wird.

Man darf auch schreiben (nach Gleich. 38):
(55) ,
wobei Pm eine in m angreifende, durch m' gehende Last bedeutet, welcher
nöthigenfalls nach Ausführung der Differentiation der Werth Null bei-
zulegen ist. Vergl. Seite 62.

2) Drehung einer Tangente. Der Winkel τm, um welchen sch
die im Punkte m an die Stabachse gelegte Tangente bei der Form-
änderung des Stabes dreht, ist gegeben durch die Gleichung
(54 a) ,
wobei

• • N = Längskraft
  • M = Biegungsmoment
  in Folge der wirklichen Belastung,
• • N̅ = Längskraft
  • M̅ = Biegungsmoment
  für irgend einen Querschnitt des
  Hauptträgers,

falls auf letzteren ein, im Punkte m angreifendes Kräftepaar wirkt,
dessen Moment 𝕸m = 1 ist (vergl. Seite 64).

L̅ bedeutet die virtuelle Arbeit der gleichzeitig mit N̅ und M̅ ent-
stehenden Auflagerkräfte.

Man darf auch schreiben, entsprechend Gleich. 38 a und mit [Hin]-
weis auf Gleich. 55,
[88](55 a) ,
wobei das Moment 𝕸m nach Ausführung der Differentiation gleich Null
zu setzen ist, wenn das im Punkte m angenommene Kräftepaar in Wirk-
lichkeit nicht vorhanden ist.

3) Handelt es sich um einen Körper, der aus einem Fachwerke und
aus einem oder mehreren auf Biegungsfestigkeit beanspruchten, geraden
Stäben besteht, so tritt auf der rechten Seite der Gleich. (54) und (54 a)
noch der Werth hinzu:
,
auf der rechten Seite der Gleich. (55) der Werth
und auf der rechten Seite der Gleich. (55 a) der Werth
.

S̅ bedeutet die gleichzeitig mit N̅ und M̅ entstehende Spannkraft
eines Fachwerkstabes.

Bei Anwendung der Gleichungen (55) und (55 a) dürfen die statisch
nicht bestimmbaren Grössen X als Konstanten aufgefasst werden; es
genügt, die Integrale und Summen über den statisch bestimmten Haupt-
triger auszudehnen.

Aufgabe 1. Der in Fig. 69 dargestellte, ursprünglich wagerechte

Stab mit einem eingespannten und einem
freien Ende sei gleichmässig und ausserdem
im Punkte A mit P belastet. Gesucht die
senkrechte Verschiebung δ des Punktes A.
E und J seien konstant; Verschiebungen
der Stützpunkte seien ausgeschlossen, hin-
gegen soll eine ungleichmässige Erwärmung
(nach Fig. 49) berücksichtigt werden.

Es ergiebt sich
,^*)
[89],
,
.

Mit Hilfe dieser Gleichung findet man für einen ungleichmässig er-
wärmten und gleichmässig belasteten, bei
A frei aufliegenden, bei B wagerecht ein-
gespannten Balken (Fig. 70), dessen linke,
ursprünglich in der Wagerechten durch B
gelegene Stütze sich um δ gesenkt hat, die
Beziehung:

und hieraus die Auflagerkraft
.

Aufgabe 2. Es soll die Senkung δ des Punktes A des in Fig. 71
dargestellten, mit P be-
lasteten, festen Krahnes
berechnet werden.

Verschiebungen der Stütz-
punkte und Temperatur-
änderungen seien aus-
geschlossen. Es seien

• F und J = Inhalt und
  Trägheitsmoment des
  Querschnittes von Stab
  A C,
• F1 und J1 = Inhalt und
  Trägheitsmoment des
  Querschnittes von Stab
  C E,
• F2 = Inhalt des Quer-
  schnittes, s = Länge
  von Stab B D,

• E, E1, E2 bedeuten die entsprechenden Elasticitätsmoduln.

Wir wenden Gl. 54 an und setzen L̅ = 0, t0 = 0, Δt = 0.
M̅ und N̅ entsprechen der Last P = 1, und es folgt N = PN̅,

M = PM̅ mithin:
[90](I) .

In Fig. 71 sind die der Last P = 1 entsprechenden Momentenflächen
für die Stäbe A C und C E dargestellt; sie sind bestimmt durch
M̅B = 1 · l1 = Moment für Querschnitt B und
M̅D = 1 · l = „ „ die Querschnitte zwischen D und E.

Die Spannkraft S̅ im Stabe B D ist
(folgt aus der Bedingung Sr + Pl = 0),
wobei r = Loth von C auf B D.

Es folgt nun, wenn ∠ C B D = α ist,
für Theil;
für Theil,
;
für Theil,
;
für Theil,
;
für Theil,
.

Addirt man die berechneten Integrale, so erhält man nach Gl. I:
.

Aufgabe 3. Um welche Strecke δ senkt sich der Mittelpunkt S
des Balkens A B des in Aufgabe 3 (§ 15) behandelten Krahngerüstes?

Bezüglich aller Bezeichnungen wird auf § 15 verwiesen; die dort
gezeigte Berechnung der statisch nicht bestimmbaren Auflagerkraft X muss
des Ermittelung von δ vorausgehen. Hierauf wird die Stabverbindung
[91] statisch bestimmt gemacht, beispielsweise durch das bei D (Fig. 72) an-
geordnete wagerechte Gleitlager, und der so erhaltene Hauptträger in
Punkte S mit der senkrechten Kraft „Eins“ belastet. Es entstehen
bei D und C senkrechte Gegen-
drücke (= ½), welche im Vereine
mit der Last „Eins“ Momente M̅
und Längskräfte N̅ erzeugen, und
es ergiebt sich aus diesen — wenn
Verschiebungen der Stützpunkte
und Temperaturänderungen un-
berücksichtigt bleiben sollen —
(I) ,
wobei M = Biegungsmoment und
N = Längskraft für die wirkliche,
in Fig. 52 dargestellte Belastung.

Für die linke Hälfte des Stabes
A B ist N̅ = 0, M̅ = ½x, M = M0
— Xh und
.

M0 bedeutet die Ordinate der früher erklärten einfachen Momenten-
fläche A L B (Fig. 53 und Fig. 73), welche durch die Mittel-Senkrechte
in 2 Theile zerlegt wird, deren Inhalte = F' und = F'', und deren
Schwerpunkts-Abstände von den benachbarten Auflagersenkrechten = e'
und = e'' sind. Da nun ist, so ergiebt sich für die
linke Hälfte des Stabes A B:
und für den ganzen Stab:
.

Für den Stab A D ist: (vergl.
Seite 74 und Fig. 52) und
[92] und dem Stabe B C entspricht: ,
.

Für beide Stäbe erhält man zusammen:
,
wobei R = Summe aller auf den Balken A B wirkenden Lasten.

Nach Gleich. I ist nun
.

Die einfache Momentenfläche für zwei in Bezug auf die Mittel-
Senkrechte gleich gelegene Lasten P ist ein Trapez mit der Höhe Pa
(Fig. 74), und für dieses ist
.

Da nun diesen beiden Lasten die Werthe entsprechen:
R = 2 P und
(nach Gl. IV und V auf Seite 75),
so folgt die durch beide Lasten erzeugte Verschiebung δ:
,
wobei
.
ist

Zu dieser Senkung liefern beide Lasten den gleichen Beitrag, so
dass eine Last P nur eine halb so grosse Senkung hervorbringt, nämlich:
(II) .

Die einfache Momentenfläche für eine gleichmässige Last
(= g für die Längeneinheit) ist eine Parabelfläche (Fig. 75) mit dem
Pfeile ; für diese ist
,
[93] und weiter erzeugt diese gleichmässige Last:
R = gl, (nach Gl. VI, Seite 76),
und die Durchbiegung
(III) .

Nunmehr lässt sich die Senkung δ für den in Fig. 52 dargestellten
Belastungszustand (gleichzeitige Wirkung einer gleichmässigen Last und
einer Schaar von Einzelkräften P) mit Hilfe einer Summirung feststellen.

Aufgabe 4 (Fig. 76). Ein ursprünglich wagerechter, bei B fest
eingespannter, bei A freier Stab ist gleich-
mässig mit p für die Längeneinheit belastet
und wird ausserdem im Punkte A durch
eine Einzellast P und ein Kräftepaar, dessen
Moment = M1 ist, beansprucht. Gesucht
ist der Neigungswinkel τ der in A an die
elastische Linie gelegten Tangente. Tempera-
turänderungen und Nachgeben des Wider-
lagers seien ausgeschlossen. Da N = 0 ist,

so folgt aus Gleich. 55 a:
,
worein zu setzen:
.

Es ergiebt sich, bei konstantem E J,
.

§ 17.
Aufgaben über krumme Stäbe mit im Vergleiche zu der
Querschnittshöhe grossen Krümmungshalbmessern.

Ist ein einfach gekrümmter Stab symmetrisch in Bezug auf die die
Stabachse enthaltende Kräfteebene, so dürfen, bei im Vergleiche zur
[94] Querschnittshöhe grossen Krümmungshalbmessern, die senkrecht zur
Querschnittsebene wirkenden Spannungen mit Hilfe der für den geraden
Stab entwickelten Gleichung
berechnet werden, und ebenso ist es zulässig, bei Bestimmung von
statisch nicht bestimmbaren Grössen und von Verschiebungen δ und
Drehungen τ die Gleichungen 49 bis 53 und 54 bis 55 a anzuwenden. Für
alle im Brückenbau und im Hochbau vorkommenden Bogenträger ist diese
Vereinfachung der im § 22 abgeleiteten genaueren Theorie statthaft.

Wird das Element der Schwerpunkts-Achse des gekrümmten Stabes

mit d s bezeichnet, so ist in den genannten
Gleichungen d x durch d s zu ersetzen.

In den nachstehenden Aufgaben werden
die zu untersuchenden Bögen auf recht-
winklige Koordinaten (x, y) mit wage-
rechter x-Achse bezogen. Der Neigungs-
winkel der in irgend einem Punkte D
der Bogenachse an diese gelegten Tangente
gegen die Wagerechte wird mit φ bezeich-
net. Bedeutet dann für das Bogenstück
A D links von D (Fig. 77):

V die Mittelkraft aus sämmtlichen senkrechten äusseren Kräften,
H „ „ „ „ wagerechten „ „

und wird V nach oben und H nach
rechts positiv gezählt, so muss die
den Querschnitt bei D beanspruchende
Längskraft N der Gleichung genügen
N + V sin φ + H cos φ = 0,
die man erhält, indem man die
Summe sämmtlicher auf das Stück
A D parallel zu N wirkenden Kräfte
gleich Null setzt, und aus der sich
(56) N = — V sin φ — H cos φ
ergiebt.

Aufgabe 1. Ein kreisförmiger
Bogenträger mit Kämpfergelenken,
aber ohne Scheitelgelenk, ist in Bezug
auf die Mittelsenkrechte symmetrisch
und trägt auf der linken und rechten
Hälfte gleichmässig über die Sehne
A B vertheilte Lasten z1 und z2 für die Längeneinheit. Die Kämpfer
[95] sind durch eine Stange verbunden. Bei B ist ein festes, bei A ein wage-
rechtes (reibungsloses) Gleitlager angeordnet, Fig. 78. Gesucht ist de
Spannkraft X in der Stange A B.

Wir nehmen zunächst an, es sei z1 = z2 = z und finden mit den
aus der Fig. 79 ersichtlichen Bezeichnungen für einen Querschnitt D, in
Abstande x vom Scheitel, das Biegungsmoment
d. i.
(I) .

Die Mittelkraft der auf das Stabstück A D wirkenden senkrechten
äusseren Kräfte ist
V = za — z (a — x) = zx = zr sin φ,
und es ergiebt sich daher die Längskraft N für den Querschnitt D
mittelst Gleich. 56:
(II) N = — zr sin 2φ — X cos φ.

Fassen wir jetzt X als Auflagerkraft auf und bezeichnen mit Δa
die Verlängerung der Sehnen-Hälfte a, so ist die virtuelle Arbeit der
auf die linke Stabhälfte wirkenden Auflagerkräfte, bei festliegend an-
genommenen Linien R R und A B:
L' = — XΔa,
und es ergeben sich für den Zustand X = 1 die Werthe
M' = — r (cos φ — cos φ0), N' = — cos φ, L' = — Δa.

Die für den Fall einer gleichmässigen Erwärmung des Bogens
um t Grad giltige Gleichung
,
welcher die Unbekannte X zu genügen hat, geht, wenn E, F und J
für alle Bogenquerschnitte gleich gross angenommen werden, über in
(III) ;
die in derselben vorkommenden Integrale erstrecken sich nur über die
linke Hälfte des Trägers. Die Verlängerung Δa der Hälfte der Stange
[96]A B, deren Querschnitt = F0 und deren Elasticitätsmodul = E sein
möge, ist
,
wobei angenommen wird, dass sich nur der Bogen um t erwärmt,
während die Anfangs-Temperatur der Stange ungeändert bleibt. ^*) Es
geht Gl. III über in
.

Nun ist:
,
und es ergiebt sich somit, wegen a = r sin φ0:
,
wobei
μ' = ⅔ sin3 φ0 + ½ φ0 cos φ0 cos 2 φ0 — ½ cos2 φ0 sin und
.^**)

Der Einfluss einer Temperaturänderung ist für sich allein
und der Einfluss der Belastung:
.

Zu letzterem Werthe liefern die auf beiden Bogenhälften ruhenden
Lasten za den gleichen Beitrag: ; wirkt auf die eine Hälfte
(wie in Fig. 78) die Last z1a und auf die andere die Last z2a, so ent-
steht demnach
.

Handelt es sich um die Berechnung eines Dachbinders, dessen Eigen-
gewicht = g, und dessen gesammte Belastung = q für die Längeneinheit
der Sehne A B ist, so genügt es, die Werthe X, M und N sowie die
Spannungen

• vergl. Gleich. 41 und Fig. 49

für zwei Belastungsfälle zu berechnen.

Man setze einmal
z1 = g und z2 = q
und hierauf
z1 = z2 = q.

(Bei beträchtlicher Pfeilhöhe ist noch der Einfluss schräger Wind-
drücke mit Hilfe einer besonderen Untersuchung, die ähnlich durchzu-
führen ist, wie die vorstehende, festzustellen.)

Aufgabe 2. Ein in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte
symmetrischer Parabelbogen ist an den Enden fest eingespannt und im
Scheitel mit einem Gelenke versehen; es sollen die durch eine senkrechte
Einzellast P und durch Temperaturänderung hervorgerufenen Stützen-
drücke K1 und K2 ermittelt werden, Fig. 80.