Erstes Capitel.
Allgemeine Eigenschaften der festen Körper.

Die beiden wesentlichsten Eigenschaften der festen Körper sind
die Cohäsion und die Elasticität. Auf ihrer beträchtlichen Co-
häsion beruht jenes bei der vergleichenden Erörterung der Aggregat-
zustände (§. 15) hervorgehobene Hauptmerkmal der festen Körper,
dass sie zusammenhängende Ganze von bestimmter Form bilden, und
nur durch ziemlich bedeutende äussere Kräfte ihre Form verändern
oder gar ihren Zusammenhang verlieren. Auf der Elasticität beruht
die mit der vorigen in Verbindung stehende Eigenschaft, dass die Kör-
per einer äusseren Kraft einen derselben an Grösse gleichen Wider-
stand entgegensetzen, durch den sie, wenn die Kraft aufhört zu wir-
ken, wieder ihre ursprüngliche Form annehmen.

Da die Cohäsion die Eigenschaft eines Körpers zusammenzu-
halten bezeichnet, so wird allgemein die Grösse der Cohäsionskraft
durch die Grösse derjenigen äusseren Kraft gemessen, welche den
Zusammenhang der Theilchen eines Körpers aufzuheben vermag. Häu-
fig bezeichnet man die Cohäsion auch als die Festigkeit der Kör-
per, und man unterscheidet eben so viele Arten der Festigkeit, als es
Arten der Einwirkung äusserer Kräfte giebt, durch welche der Zu-
sammenhang der Körper getrennt werden kann. So giebt es eine
Zugfestigkeit, auch absolute Festigkeit, eine Bruchfestigkeit,
auch relative Festigkeit genannt, und eine rückwirkende Festig-
keit, worunter man diejenige Kraft versteht, die ein Körper dem
Zerdrücken entgegensetzt. Diese drei Arten von Festigkeit verhalten
sich durchaus verschieden. So hat z. B. das Glas eine viel grössere
Zugfestigkeit als Kautschuk, aber seine relative und rückwirkende
Festigkeit sind weit geringer. Als gewöhnliches Maass der Cohäsions-
kraft gilt die Zugfestigkeit. Da die Kraft, welche ein Körper dem
Zerreissen entgegensetzt, proportional der Grösse seines Querschnitts
zunimmt, so drückt man gewöhnlich die Cohäsion durch dasjenige
Gewicht aus, welches einen Körper von 1 Quadratmillimeter Quer-
schnitt zu zerreissen im Stande ist. Die nach diesem Maass bestimmte
Cohäsionskraft zeigt sehr grosse Unterschiede bei verschiedenen Na-
turkörpern. Während sie z. B. beim gezogenen Gussstahl 80 Kilogr.
beträgt, ist sie beim Blei nicht grösser als 2 Kilogr. Unter den
Geweben des menschlichen Körpers zeigen die Knochen und Sehnen
die grösste Zugfestigkeit (7,7 und 6,9), während dieselbe bei den
Muskeln bis auf 0,054 Kilogr. sinkt.

Da man unter der Elasticität diejenige Kraft versteht, durch46
Elasticität.
welche ein Körper äusseren Kräften gegenüber seine Form beizubehal-
ten strebt, so ist die Elasticität eines Körpers um so grösser, je
grösser die äussere Kraft sein muss, welche eine bestimmte Form-
änderung bewirken soll; und sie ist um so vollkommener, je voll-
kommener der Körper wieder seine ursprüngliche Form annimmt.
Grösse und Vollkommenheit der Elasticität stehen in keinem Zusam-
menhang zu einander. Manche Körper haben eine grosse, aber un-
vollkommene Elasticität, wie das Blei und Silber, andere haben eine
kleine, aber vollkommene Elasticität, wie das Kautschuk, die thieri-
schen Muskeln und Gefässmembranen; noch andere haben eine grosse
und vollkommene Elasticität, wie der Stahl und das Glas. Im ge-
wöhnlichen Leben werden unter sehr elastischen Körpern meistens
solche verstanden, die ähnlich dem Kautschuk, eine vollkommene, da-
bei aber kleine Elasticität besitzen.

Es lassen sich so viele Arten der Elasticität unterscheiden, als
es Arten der Formänderung giebt, die ein Körper erfahren kann, im-
mer aber misst man die Grösse der Elasticität durch die Grösse der
Formänderung, welche eine bestimmte äussere Kraft erzeugt, und die
Vollkommenheit der Elasticität durch die Grösse der bleibenden Form-
änderung, die eine Kraft von bestimmter Grösse nach dem Aufhören
ihrer Wirkung zurücklässt. Die Arten der Formänderung, die sich
unterscheiden lassen, sind: Zug oder Dehnung, Zusammendrückung,
Torsion und Biegung. Davon sind die Formänderungen durch Deh-
nung und Torsion die wichtigsten; die Zusammendrückung verhält
sich, wie es scheint, der Dehnung durchaus analog.

Das Grundgesetz der Zugelasticität besteht darin, dass ein
Körper durch dehnende Gewichte Verlängerungen erfährt, die den Ge-
wichten proportional sind. Doch ist dieses Gesetz nur bis zu einer
gewissen Grenze der Belastung gültig, über sie hinaus wachsen die
Verlängerungen langsamer als die Gewichte; diese Abweichung von
dem Gesetz macht sich bei den leicht dehnbaren Körpern, z. B. dem
Kautschuk, den thierischen Muskeln und Gefässhäuten, schon bei ziem-
lich niedrigen Belastungen geltend. Die Muskeln zeigen überdies eine
mit dem Contractionszustand veränderliche Elasticität: ihre Dehnbar-
keit nimmt zu, ihre Elasticität also ab bei der Contraction.

Torsion bewirkt man an einem elastischen Körper, wenn man
ihn an einem Ende seiner Länge befestigt und am andern Ende einen
Hebelarm anbringt, an welchem eine Kraft wirkt, so dass der Körper
um seine Längsaxe gedreht wird. Die Torsionswinkel nehmen hier-
bei proportional der drehenden Kraft zu. Das Gesetz der Torsions-
elasticität enspricht also vollkommen demjenigen der Zugelasticität.

Sowohl zur Bestimmung der Grösse wie der Vollkommenheit der
Elasticität bedient man sich am einfachsten der Zugelasticität. Die
[64]Von der Schwere.
Grösse der Elasticität verschiedener Körper kann dann verglichen
werden, indem man diejenigen Gewichte ermittelt, welche, wenn die
Körper gleiche Länge und gleichen Querschnitt besitzen, die gleiche
Dehnung hervorbringen. Man ist übereingekommen, dasjenige Ge-
wicht, durch das ein Körper, dessen Querschnitt und dessen Länge
= 1 ist, die Verlängerung 1 erfahren würde, oder mit andern Wor-
ten dasjenige Gewicht, welches die Länge eines Körpers von der Ein-
heit des Querschnitts verdoppeln würde, als den Elasticitäts-
coëfficienten zu bezeichnen und mit diesem Coëfficienten die Grösse
der Elasticität der Körper auszudrücken. Für die Bestimmung dessel-
ben ist es gleichgültig, welche Einheit der Länge man wählt. Ob ein
Körper nur 1 Millim. oder 1 Meter lang ist, um seine Länge zu ver-
doppeln, ist, vorausgesetzt dass der Querschnitt derselbe bleibt, immer
das nämliche Gewicht nöthig; der Stab, der 1 Meter lang ist, besteht
ja aus 1000 Theilen von je 1 Millim. Länge, an deren jedem das Ge-
wicht zieht, und soll der ganze Stab um 1 Meter gedehnt werden, so
muss eben jeder tausendste Theil um 1 Millim. gedehnt werden. Da-
gegen ist es natürlich nicht gleichgültig, welche Einheit des Quer-
schnitts gewählt wurde. Sollen zwei gleich lange Stäbe, von denen
der eine 1 Quadratmillimeter, der andere 1 Quadratcentimeter im
Querschnitt hat, sich um gleich viel verlängern, so muss man an den
letzteren ein zehnmal so grosses Gewicht hängen, denn man könnte
ihm ja zehn Stäbe von je 1 Quadratmillim. Querschnitt substituiren.
Um also den Elasticitätscoëfficienten in dem oben angegebenen Sinne
festzustellen, muss gesagt werden, auf welche Einheit des Quer-
schnitts und auf welche Einheit des Gewichts man ihn bezieht. Zur
ersteren wählt man in der Regel das Quadratmillimeter, zur letzteren
das Kilogramm. Wenn demnach z. B. der Elasticitätscoëfficient für
Stahl 18600, für Silber 7300 beträgt, so bedeutet dies, dass Drähte
dieser Metalle von 1 □ Millim. Querschnitt durch 18600 und 7300
Kilogr. auf das Doppelte ihrer Länge ausgedehnt werden. Es ist
übrigens selbstverständlich, dass man so bedeutende Dehnungen nicht
ausführen kann. Die meisten Körper würden bei weit geringeren Be-
lastungen schon zerreissen. Aber da nach dem Elasticitätsgesetz die
Dehnungen proportional den angehängten Gewichten sind, so kann
man leicht aus der Dehnung, die ein Körper von bestimmtem Quer-
schnitt durch ein beliebiges Gewicht erfährt, dasjenige Gewicht, wel-
ches seine Länge verdoppeln würde, d. h. den Elasticitätscoëfficienten,
berechnen.

Zur Bestimmung der Elasticität fester Körper kann man sich noch anderer Me-
thoden bedienen, welche sich auf die in §. 27 u. f. erörterten Gesetze der Schwingungen
gründen. Wenn man einen Körper rasch ausdehnt und dann mit der dehnenden Kraft
nachlässt, so kehrt er nicht plötzlich wieder in seine frühere Länge zurück, sondern
er vollführt einige Zeit Schwingungen um die frühere Gleichgewichtslage. Wie der
[65]Allgemeine Eigenschaften der festen Körper.
Körper in diesem Fall, und ebenso wenn man ihn rasch zusammengedrückt hat, Longi-
tudinalschwingungen vollführt, so führt er nach einer Biegung Transversalschwingungen
und nach einer Torsion drehende Schwingungen aus. Aus dem Schwingungsgesetz
(§. 29) ergibt sich aber, dass die Schwingungsdauer der Quadratwurzel der elastischen
Kraft umgekehrt proportional ist. Statt also aus der Drehung, Biegung oder Ver-
längerung kann man auch aus der Geschwindigkeit, mit welcher ein Körper um seine
Gleichgewichtslage schwingt, wenn die dehnende, biegende oder drehende Kraft rasch
nachlässt, auf die Grösse seiner Elasticität schliessen.

Um ein Maass für die Vollkommenheit der Elasticität zu gewin-
nen, ermittelt man dasjenige Gewicht, welches an einem Körper von
der Einheit des Querschnitts eine eben merkbare bleibende Formver-
änderung hervorbringt. Man bezeichnet dieses Gewicht als die Ela-
sticitätsgrenze. Die Bestimmungen der Elasticitätsgrenze sind
übrigens ziemlich schwankend, da man bei feineren Messungsmethoden
leicht bleibende Formänderungen noch bemerken kann, die sonst der
Beobachtung entgehen.

Jeder Körper vermindert, wenn er gedehnt wird, seine Dichtig-
keit, indem sein Volum zunimmt. Die Verkleinerung des Querschnitts
bei der Dehnung ist nämlich nicht so gross als der Längenänderung
entspricht. Das genauere Verhältniss der Quercontraction zur Längen-
ausdehnung ist aber noch nicht sicher ermittelt, nach Einigen ist die
erstere ¼, nach Andern ⅓ der letzteren; es scheint sogar, dass nicht
für alle Substanzen das nämliche Verhältniss besteht. Beim Zusam-
mendrücken der Körper nimmt umgekehrt das Volum ab und in Folge
dessen die Dichtigkeit zu. Die Physiologie kennt einen Fall, in wel-
chem ein Körper sich selbst zusammendrückt: die Contraction der
Muskeln; in der That hat man auch hier eine geringe Volumverän-
derung beobachtet.

Bei den sehr dehnbaren elastischen Körpern, wie dem Kautschuk
und den meisten thierischen Geweben, bei welchen schon innerhalb
geringer Belastungsgrenzen die Verlängerungen den Dehnungen nicht
mehr proportional sind, hat man gefunden, dass das weitere Gesetz
der Dehnungen durch eine Hyperbel sich darstellen lasse. Diese Kör-
per zeigen zugleich die in schwächerem Grade wahrscheinlich bei
allen Körpern vorkommende Erscheinung, dass sie, wenn man das
dehnende Gewicht längere Zeit einwirken lässt, noch eine geringe
nachträgliche Dehnung erfahren, die sehr lange andauert. Diese nach-
trägliche Dehnung wird als elastische Nachwirkung bezeichnet.

Zweites Capitel.
Gewicht und Schwerpunkt der festen Körper.

Alle Körper üben als ganze Massen in die Ferne wirkende Kräfte47
Gewicht. Rich-
tung der
Schwere.
auf einander aus. Die festen Körper verändern durch diese Kräfte
Wundt, medicin. Physik. 5
[66]Von der Schwere.
ihre gegenseitige Lage im Raum. Dagegen wird vermöge der grossen
Cohäsion dieser Körper die relative Lage ihrer Atome zu einander in
der Regel in Folge jener Fernwirkungen nicht bleibend verändert.
Die Gesetze der Schwere treten daher hier in ihrer einfachsten
Form auf.

Jeder Körper hat vermöge der Schwere das Streben zu Boden
zu fallen und fällt in der That, wenn er nicht unterstützt wird. Die-
ses Streben zu fallen nennen wir sein Gewicht. Das Gewicht ist
demnach die Resultante aller der Anziehungen, welche die Erde auf
jeden einzelnen Punkt eines Körpers ausübt. Aus je mehr einzelnen
Massenpunkten ein Körper besteht, um so grösser muss sein Gewicht
sein. Das Gewicht ist daher ein unmittelbares Maass für die Masse
eines Körpers. Dagegen bleibt die Beschleunigung, welche die Kör-
per beim wirklichen Fallen durch die Schwere erfahren, die nämliche,
ob sie eine grösssere oder kleinere Masse haben; und ein einziger
Punkt, wenn wir denselben isolirt beobachten könnten, müsste aus
einer bestimmten Höhe genau in der nämlichen Zeit zur Erde fallen,
in welcher ein schweres Gewicht aus derselben Höhe herabfällt. Denn
ob die Erde gleichzeitig auf wenige oder auf viele Massenpunkte ein-
wirkt, sie wird jedem einzelnen Punkt die gleiche Beschleunigung er-
theilen, und daher werden alle Punkte zusammen die nämliche Be-
schleunigung annehmen, die auch jeder einzelne isolirt angenommen
hätte. Die Beobachtung des Falls von Körpern sehr verschiedenen
Gewichts im luftleeren Raume, in welchem der Widerstand, den die
Luft dem Fall entgegensetzt, möglichst beseitigt ist, hat dies bestätigt;
im luftleeren Raume haben alle Körper die nämliche Fallzeit.

Die Richtung der Schwere muss, da wir die Erde als eine
Kugel von gleichförmiger Dichtigkeit betrachten können, gegen den
Mittelpunkt der Erde gerichtet sein. Denn die Anziehung, welche
irgend ein Punkt über der Erdoberfläche erfährt, ist die Resultirende
aller der Anziehungen, die von sämmtlichen Punkten der Erde auf
ihn ausgeübt werden. Nun hat jeder seitlich von dem angezogenen

Punkt a (Fig. 27) gelegene Punkt m der Erde
einen Punkt n von correspondirender Lage, so
dass die beiden Anziehungen nach den Rich-
tungen m a und n a gegenseitig sich aufheben
und nur die in der Richtung der Geraden c a
gelegenen Anziehungen, die a mit dem Mittel-
punkt c der Erde verbinden, übrig bleiben.
Man nennt die Linie a c das Loth. Dasselbe
lässt sich leicht bestimmen, wenn man ein Ge-
wicht an einem Faden aufhängt, die Richtung
des Fadens gibt dann die Richtung des Lo-
thes an.

Jeder Körper fällt, wenn er nicht unterstützt ist, in der Richtung48
Schwerpunkt.
des Lothes zur Erde nieder, und, wenn er unterstützt ist, übt er in
der nämlichen Richtung einen Druck auf seine Unterlage aus. Da
nun aber jeder Körper aus einer Unzahl von Massenpunkten zusammen-
gesetzt ist und jeder dieser Punkte durch die Schwere nach dem
Erdmittelpunkt gezogen wird, so kann man von einem Körper streng
genommen unendlich viele Lothe ziehen, die sämmtlich sich im Erd-
mittelpunkte schneiden. Bei der ungeheuren Grösse des Erdhalbmes-
sers im Verhältniss zu den Entfernungen, in welchen sich irdische
Punkte von der Erdoberfläche befinden, kann man jedoch alle diese
Lothe als parallele Linien ansehen. Ein Körper wird also von ebenso
vielen Parallelkräften zur Erde herabgezogen, als er Massenpunkte be-
sitzt. Nun haben wir in der Statik gesehen, dass für eine Summe
von Parallelkräften eine Resultirende sich substituiren lässt, in
deren Richtung sich der Körper bewegt, wenn er kein Hinderniss fin-
det, und in deren Richtung eine ihr gleiche Gegenkraft wirken muss,
wenn der Körper sich nicht bewegen soll. Dabei wäre es, wenn wir
bloss die fortschreitende Bewegung des Körpers aufheben wollten,
gleichgültig, welchen Angriffspunkt wir der Gegenkraft geben, während
wir derselben einen bestimmten Angriffspunkt geben müssen, wenn
auch die drehende Bewegung des Körpers verhindert werden soll.
Diese Resultirende der sämmtlichen Schweranziehungen eines Körpers
nennt man eine Schwerlinie.

Dreht man den Körper um irgend einen Winkel, so drehen sich
um ebensoviel die Parallelkräfte der Schweranziehungen mit ihrer
Resultirenden. Es ist aber leicht einzusehen, dass hierbei die letztere,
die Schwerlinie, sich fortwährend um einen einzigen Punkt drehen
muss, d. h. die Schwerlinien aller möglichen Lagen eines Körpers
müssen sich in einem einzigen Punkte durchschneiden. Dieser Punkt,
welcher demnach als der feste Angriffspunkt sämmtlicher Schweran-
ziehungen betrachtet werden kann, heisst der Schwerpunkt.

Wenden wir z. B. eine der Flächen
a b c d oder e f g h des Würfels (Fig. 28)
nach unten, so ist i k die Richtung der
Schwerlinie. Wenden wir a e h d oder
b f g c nach unten, so ist n o, für d h g c
und a e f b endlich ist l m die Richtung
der Schwerlinie. Diese drei Schwerlinien
und ebenso alle andern, die man bei son-
stigen Lagen des Würfels erhalten kann,
durchschneiden sich aber in dem Punkte x,
dieser ist also der Schwerpunkt. Es ist
ersichtlich, dass zur Bestimmung des Schwerpunktes eines Körpers
immer die Ermittelung von zwei Schwerlinien genügt; der Durch-
5 *
[68]Von der Schwere.
schnittspunkt derselben ist der Schwerpunkt. Man verfährt daher bei
der empirischen Bestimmung des Schwerpunktes so, dass man für
zwei bestimmte Lagen des Körpers diejenigen Stellen desselben auf-
sucht, die unterstützt werden müssen, damit Gleichgewicht vorhanden
sei. Offenbar wendet man hierbei das Princip des Hebels an, denn
der Unterstützungspunkt, um welchen keine Drehung erfolgen kann,
ist derjenige Punkt, in Bezug auf welchen die statischen Momente
der auf entgegengesetzten Seiten wirkenden Kräfte sich das Gleich-
gewicht halten. Ein nach den drei Dimensionen ausgedehnter Körper
bildet, wenn er in dieser Weise unterstützt ist, eigentlich unendlich
viele fest mit einander verbundene Hebel von der Form des früher in
Fig. 4 dargestellten, mit einem allen gemeinsamen Unterstützungs-
punkt, und auf jeden Punkt eines solchen Hebels wirken die lothrechten
Kräfte ein. Für homogene Körper von einfacher geometrischer Form
ergibt sich daher die Lage des Schwerpunktes unmittelbar aus dem
Hebelgesetz. Bei geometrischen Körpern, die um ihren Mittelpunkt
nach je zwei entgegengesetzten Richtungen gleich viel Masse haben,
wie Kreisfläche, Kugel, Würfel, Cylinder u. s. w. ist selbstverständlich
der Mittelpunkt zugleich der Schwerpunkt. Der Schwerpunkt eines
Dreiecks ist der Durchschnittspunkt zweier Linien, die man von zwei
Ecken aus zieht, und deren jede die gegenüberliegende Seite halbirt.
Eine gerade Stange von regelmässigem Querschnitt hat ihren Schwer-
punkt im Mittelpunkt ihres mittleren Querschnitts.

Bei Körpern, die nicht homogen sind oder eine unregelmässige
Gestalt besitzen, muss der Schwerpunkt stets empirisch bestimmt
werden. So hat man gefunden, dass sich der Schwerpunkt des
menschlichen Körpers im Rückenmarkskanal nahe dem obern Rand
des zweiten Kreuzbeinwirbels befindet. Die Schwerpunkte der einzel-
nen Glieder liegen allgemein etwas näher dem oberen als dem unte-
ren Ende derselben.

Empirisch bestimmt man den Schwerpunkt eines Körpers am zweckmässigsten,
indem man den letzteren nach einander an zwei verschiedenen Punkten an einem Fa-
den aufhängt. Die Richtung des Fadens in ihrer Verlängerung durch den Körper
gibt jedesmal eine Schwerlinie, und der Durchschnittspunkt der beiden Schwerlinien
ist der Schwerpunkt. Den Schwerpunkt des menschlichen Körpers hat man dadurch
ermittelt, dass man einen Menschen auf ein Brett legte, welches auf einer scharfen
Kante in’s Gleichgewicht gebracht wurde. Die Höhe des Schwerpunktes ergibt sich
leicht, wenn die Kante senkrecht zur Länge des auf dem Rücken liegenden Körpers
gerichtet wird; zur weiteren Ortsbestimmung sind streng genommen noch zwei Aequi-
librirungen nöthig, bei welchen die Richtung der Kante der Länge des Körpers pa-
rallel ist, und bei deren einer der Körper auf den Rücken, bei deren anderer er auf
die Seite gelegt wird. Doch ist, da die Vertheilung der Massen rechts und links
symmetrisch angenommen werden darf, nur die letztere Bestimmung, welche die Tie-
fenlage des Schwerpunktes gibt, nöthig; übrigens erlaubt dieselbe bloss eine annähernde
[69]Gewicht und Schwerpunkt der festen Körper.
Genauigkeit. Nach der nämlichen Methode kann der Schwerpunkt einzelner Theile
des menschlichen Körpers ermittelt werden.

Ein Körper ist, wie wir gesehen haben, stets dann im Gleich-49
Unterstützung
des Schwer-
punkts. Die
Waage.
gewicht, wenn die durch seinen Schwerpunkt gezogene Schwerlinie
auf den Unterstützungspunkt trifft. Hierbei sind aber drei Fälle mög-
lich: der Unterstützungspunkt kann entweder unterhalb oder ober-
halb des Schwerpunktes oder im Schwerpunkt liegen. So ist die

horizontale, auf beiden Seiten gleich be-
lastete Stange m m (Fig. 29) im Gleichge-
wicht, mag sich ihre Drehungsaxe in o
oder in u oder in s (dem Schwerpunkt)
befinden. Ist die Drehungsaxe im Schwer-
punkte s selber, so ist sie in jeder Lage,
die man ihr geben mag, im Gleichgewicht, denn die Bedingung, dass
die Schwerlinie durch den Unterstützungspunkt gehe, ist dann jeder-
zeit erfüllt; man nennt dies den Zustand des indifferenten Gleich-
gewichts. Ist dagegen die Drehungsaxe in o über dem Schwerpunkt,
so kehrt die Stange, wenn man sie dreht und dann sich selbst über-
lässt, wieder in ihre vorige Lage zurück, weil die in dem Schwer-
punkt vereinigt wirkende Masse fallen muss, bis die Schwerlinie den
Unterstützungspunkt trifft: man nennt dies den Zustand des stabilen
Gleichgewichts. Befindet sich endlich die Drehungsaxe in u, unter
dem Schwerpunkt, so fällt die Stange wenn sie aus ihrer Lage ge-
dreht wird, bis der Schwerpunkt unter die Drehungsaxe zu liegen
kommt und damit stabiles Gleichgewicht eingetreten ist: man nennt
daher diesen Zustand das labile Gleichgewicht.

Die Unterscheidung der drei angeführten Gleichgewichtszustände
ist vor Allem von Bedeutung für die Beurtheilung der Waage. Die
Waage ist ein zweiarmiger Hebel, an dessen einem Arm eine Last
zieht, die durch Gewichte, welche man auf ihren andern Arm wirken
lässt, compensirt wird. Es ist klar, dass für die Waage nur der sta-
bile Gleichgewichtszustand brauchbar ist, dass also der Schwerpunkt
des Waagbalkens sich unter der Drehungsaxe befinden muss. Denn
befände sich der Schwerpunkt über der Drehungsaxe, so würde sich
bei der geringsten Mehrbelastung auf der einen Seite der Waagbalken
um 90° drehen, während es für die Waage wesentlich ist, dass man
aus der Grösse des Ausschlags schon einigermassen auf die Grösse
der Mehrbelastung schliessen kann; würde aber die Drehungsaxe
durch den Schwerpunkt selber gehen, so würde sich der Waagbalken
auch bei gleicher Belastung auf beiden Seiten in jeder Lage im Gleich-
gewicht befinden, das Wägen wäre also dann völlig unmöglich ge-
macht. Auch bei der Waage kommt der Gegensatz des Geschwindig-
keits- und Krafthebels in Rücksicht. Eine empfindliche Waage muss
gleich- und langarmig sein, denn je länger der Hebelarm, um so be-
[70]Von der Schwere.
deutender wird bei jeder Gleichgewichtsstörung die Winkelbewegung;
eine feine Waage muss ferner, so weit dies geht, dem mathematischen
Hebel sich nähern, d. h. das Gewicht der Waagbalken muss möglichst
klein sein; und endlich muss der Schwerpunkt möglichst nahe unter
der Drehungsaxe gelegen sein, denn offenbar wird die Waage dann
am empfindlichsten werden, wenn sie sich gerade eben im stabilen
Gleichgewicht befindet, da in diesem Fall ihr Streben in den Gleich-
gewichtszustand zurückzukehren am kleinsten und daher auch am
leichtesten eine Störung des Gleichgewichts möglich ist. Will man
dagegen grosse Lasten abwägen, so bedarf man des Krafthebels, weil
durch die an zu langem Hebelarm wirkende Last die Waage beschä-
digt würde, und weil es bequem ist mit kleinen Gewichten grosse
Lasten zu wägen. Die gewöhnlichste ungleicharmige Waage ist die
Decimalwaage mit Laufgewicht, bei welcher der Hebelarm des Ge-
wichtes das 10fache des Hebelarms der Last beträgt, so dass ein am
Ende des ersteren befindliches Gewicht einer Last von der 10fachen
Grösse das Gleichgewicht hält, während dasselbe Gewicht, näher an
den Drehpunkt herangeschoben, einen immer kleineren Werth an-
nimmt.

Wie die Waage ein Hebel mit stabilem, so ist die Rolle ein
Hebel mit indifferentem Gleichgewicht. Wenn an der Rolle c (Fig. 30)

bei a und bei b gleiche Kräfte einwirken, so können
wir uns vorstellen, dass die eine Kraft am Hebelarm
a c, die andere am Hebelarm b c wirke, und es be-
steht in der That ebenso Gleichgewicht, als wenn ein
geradliniger Hebel a b vorhanden wäre, dessen Dreh-
punkt mit seinem Schwerpunkt zusammenfällt. Dies
ändert sich aber, sobald die Rolle bewegt wird. Den-
ken wir uns, an den beiden Enden einer geradlinigen
gleicharmigen Hebelstange hiengen Gewichte, und die Hebelstange
drehte sich um ihren Unterstützungspunkt, so wirken, wenn eine Dre-
hung erfolgt ist, die Gewichte nicht mehr senkrecht zur Hebelstange,
und man kann sich jetzt die Wirkung eines jeden Gewichts nach dem
Kräfteparallelogramm in zwei Componenten zerlegt denken, in eine,
die zur Hebelstange senkrecht ist, und in eine andere, deren Richtung
mit der Richtung der Hebelstange zusammenfällt, und durch die der
Hebel von seinem Unterstützungspunkte herabgleitet, falls er nicht
auf demselben festgehalten wird. Mag sich dagegen die Rolle noch
so sehr drehen, so behalten, wenn bei a und b an einer um sie ge-
spannten Schnur Kräfte wirken, diese Kräfte immer die nämliche
Richtung zur Rolle bei. Sobald sich also die Rolle dreht, kann man
ihr nicht mehr einen einzigen geradlinigen Hebel a b substituirt den-
ken, sondern sie besteht jetzt aus so viel geradlinigen Hebeln, als sie
[71]Gewicht und Schwerpunkt der festen Körper.
Durchmesser hat, die Kräfte bei a und b wirken in jedem Moment an
einem andern Hebel, und in jedem Moment stehen sie senkrecht auf
der Richtung des Hebels, an welchem sie wirken. Dieser Umstand,
dass sie streng genommen aus unendlich vielen Hebeln besteht, ver-
leiht der Rolle ihre technische Bedeutung. Wir gebrauchen sie überall,
wo es sich darum handelt eine Bewegungsrichtung in die ihr entgegen-
gesetzte umzuwandeln, wir ziehen z. B. an einem um die in der Höhe
befestigte Rolle geschlungenen Seil nach abwärts und fördern dadurch
eine Last nach aufwärts. Eine Verbindung mehrerer fester und be-
weglicher Rollen, der sogenannte Flaschenzug, dient dagegen als
zusammengesetzter Krafthebel. Wenn am Mittelpunkt einer ersten

beweglichen Rolle c (Fig. 31) eine Last P an-
gehängt ist, und wir lassen an der Peripherie
einer zweiten festen Rolle eine Kraft K wirken,
so ist a c der Hebelarm von P, der Hebelarm
von K dagegen ist gleich dem Durchmesser
der beiden Rollen zusammengenommen. Es
lassen sich noch mehr solche Formen beweg-
licher und fester Rollen zu einer gemeinsamen
Hebelverbindung aneinanderreihen: mit zwei
Rollen hält man der 4fachen, mit 4 Rollen der
8fachen Last das Gleichgewicht u. s. w. Wie
die Rolle ist auch das Rad häufig ein Krafthebel. Aber öfter noch
dient es zur Gewinnung und Abänderung von Geschwindigkeiten. So
wird in unsern Uhrwerken theils grössere in kleinere theils kleinere
in grössere Geschwindigkeit übertragen, indem bald ein Zahnrad von
kleinerem Durchmesser in ein solches von grösserem Durchmesser,
bald ein Zahnrad von grösserem in ein solches von kleinerem Durch-
messer eingreift: die Abänderungen der Geschwindigkeiten verhalten
sich hierbei wie die Unterschiede in den Durchmessern der in einander
greifenden Räder; wo das grosse am kleinen Rad wirkt, ist das Sy-
stem Krafthebel, wo umgekehrt das kleine am grossen wirkt, ist es
Geschwindigkeitshebel.

Bei allen bisher betrachteten Gegenständen der Natur und der51
Schwerpunkt
des menschli-
chen Körpers.
Technik hatten wir es mit einer festen Lage des Schwerpunktes zu
thun. Auch beim menschlichen Körper haben wir eine solche voraus-
gesetzt, indem wir den Schwerpunkt bei derjenigen Lage seiner Theile
aufsuchten, die denselben in der Ruhe zukommt. Nun bietet aber
gerade der menschliche Körper in besonders hohem Maasse das Bei-
spiel eines Körpers mit beweglichem Schwerpunkt; wir wollen
daher die Bedingungen und die Bedeutung dieser Bewegungen des
Schwerpunktes hier noch kurz in’s Auge fassen.

Durch jede Gestaltänderung eines Körpers wird auch im Allge-
[72]Von der Schwere.
meinen die Lage des Schwerpunktes in dem Körper verändert. Denn
da der Schwerpunkt derjenige Punkt ist, von dem aus immer nach
je zwei entgegengesetzten Richtungen sich gleich viel Masse befindet,
so muss auch jede Veränderung in der Vertheilung der Masse verän-
dernd auf die Lage des Schwerpunktes wirken. Nun besitzt der
Mensch die Fähigkeit des Gestaltwechsels in hohem Grade, und
sein Schwerpunkt hat dem entsprechend eine ziemlich grosse Beweg-
lichkeit. Beim gewöhnlichen aufrechten Stehen fällt die vom Schwer-
punkt zum Boden gezogene Schwerlinie in den Zwischenraum zwi-
schen den beiden Füssen. Unsere Stellung ist um so fester, je weiter
wir die Füsse auseinandersetzen, weil dann um so weniger durch die
bei Neigungen des Rumpfes und Bewegungen der Arme erzeugten
Bewegungen des Schwerpunktes die Schwerlinie ausserhalb des von
den Füssen umspannten Zwischenraums fällt. Wollen wir, statt beide
Beine gleichzeitig als Stützen des Körpers zu gebrauchen, uns auf
ein einziges Bein stützen, so neigen wir den ganzen Rumpf und mit-
hin den Schwerpunkt auf die Seite des stützenden Beins, so dass die
Schwerlinie nun nicht mehr in den Zwischenraum der Füsse, sondern
auf den Fuss der stützenden Seite fällt. Allzu ausgiebige Neigungen
des Rumpfes bringen uns aber in die Gefahr das Gleichgewicht zu
verlieren, indem dann die Schwerlinie erst jenseits der Unterstützungs-
fläche des Fusses den Boden trifft. Der stehende oder gehende Mensch
befindet sich im labilen Gleichgewicht, er fällt daher, sobald sein
Schwerpunkt nicht mehr unterstützt ist. Ein Gehängter ist im stabilen
Gleichgewicht. Um das Fallen zu vermeiden, corrigiren wir bei jeder
beträchtlichen Neigung des Rumpfes die Lage unseres Schwerpunktes
durch balancirende Bewegungen der Arme oder Beine. Die letzteren
können, wenn sie ausgestreckt werden, vermöge der langen Hebel-
arme, an denen dann ihre Masse wirkt, der viel grösseren Masse des
Rumpfes das Gleichgewicht halten oder wenigstens die Bewegung
des Schwerpunktes beschränken. Bei den Bewegungen des Gehens
und Laufens dagegen verrücken wir absichtlich die Lage des
Schwerpunkts. Bei jedem Schritt neigen wir den Rumpf etwas nach
vorn und zugleich nach der Seite des vorwärtsgesetzten Beines, so
dass der Schwerpunkt über das letztere zu liegen kommt. Wenn wir
sehr schnell laufen ist diese Vorwärtsneigung des Rumpfes meistens
zu stark, so dass sie compensirende Bewegungen des Armes der ent-
gegengesetzten Seite fordert. Wenn ein Mensch eine Last trägt, so
haben beide, der Mensch und die Last, einen gemeinsamen Schwer-
punkt, und der Mensch muss nun so stehen und gehen, dass dieser
gemeinsame Schwerpunkt fortwährend unterstützt bleibt. Aus diesem
Grund neigt Jeder, der eine Last auf dem Rücken trägt, den Rumpf
nach vorn, und Jeder, der eine Last vor sich her trägt, neigt den
Rumpf nach hinten. Die letztere Haltung beobachtet man daher auch
[73]Von den durch die Schwerkraft erzeugten Bewegungen der festen Körper.
allgemein bei wohlbeleibten Leuten. Wenn der Rumpf unter grossen
Rückenlasten sich weiter nach vorn beugt, als zur Unterstützung des
Schwerpunkts durch die Beine erforderlich ist, so wird der Stock als
dritte Stütze nothwendig; ebenso erfordert ihn die gebeugte Haltung
der Greise. Wer auf der Seite eine Last trägt, neigt den Rumpf nach
der entgegengesetzten. In allen diesen Fällen, wo der Schwerpunkt
durch die Last nach vorn oder hinten oder seitlich verrückt wird,
fordert die zur Erhaltung des Gleichgewichts erzeugte Verschiebung
des Schwerpunktes eine besondere Anstrengung, die zu der Arbeit des
Lasttragens hinzukommt. Die grössten Lasten können daher auf dem
Kopf getragen werden, da hier die Haltung des Körpers unverändert
bleibt, indem der Schwerpunkt nur vertical in die Höhe rückt.

Drittes Capitel.
Von den durch die Schwerkraft erzeugten Bewegungen der festen
Körper.

Die Untersuchung der Bewegungen, welche die Körper unter dem52
Masse eines
Körpers.
Einfluss der Schwere erfahren, wird durch die Kenntniss des Schwer-
punkts ausserordentlich vereinfacht, da man sich das ganze Gewicht
eines Körpers in seinem Schwerpunkte vereinigt denken kann. Die
Schwere selbst wirkt als eine den Schwerpunkt in der Richtung des
Lothes herabziehende Kraft, und die Abänderung, welche die gleich-
zeitige Einwirkung anderer Kräfte an der durch die Schwere erzeug-
ten Bewegung hervorbringt, ist ermittelt, sobald man weiss, mit wel-
cher Intensität und in welcher Richtung diese Kräfte den Schwerpunkt
zu bewegen streben. Man kann also in den meisten Fällen den Kör-
pern einfach ihre Schwerpunkte substituiren, indem man nicht bloss
in Bezug auf die Schwerkraft sondern auch in Bezug auf alle andern
etwa einwirkenden Kräfte die Masse eines Körpers in seinem Schwer-
punkt concentrirt denkt. Auch ist klar, dass der Schwerpunkt für
jede andere aus der Ferne auf einen Körper einwirkende Kraft die-
selbe Bedeutung hat wie für die Schwerkraft. Denn der Schwerpunkt
ist, wie wir bemerkt haben, derjenige Punkt, von dem aus nach ent-
gegengesetzten Richtungen gleich viel Masse sich befindet, und es ist
gewissermassen zufällig, dass gerade die Schwerkraft benützt wird,
um diesen Punkt zu ermitteln; jede andere Kraft, die aus der Ent-
fernung auf alle Punkte eines Körpers einwirkt, könnte ebenso gut
zur Auffindung des Schwerpunktes dienen. Der Begriff der Masse
hat also durchaus nicht bloss in Bezug auf die Schwerkraft sondern
für alle Kräfte Gültigkeit. Er ist aus der Beobachtung entnommen,
dass verschiedene Körper durch eine und dieselbe Kraft verschiedene
Geschwindigkeiten empfangen. Wir nennen daher zwei Massen gleich,
die durch die gleiche Kraft in der gleichen Zeit die gleiche Beschleunigung
[74]Von der Schwere.
erfahren. Wie wir aber die Schwere zur Bestimmung des Massen-
mittelpunktes anwenden, so benützen wir auch am häufigsten die auf
einen Körper ausgeübten Schweranziehungen zur Bestimmung der
Masse: das Gewicht der Körper ist das gebräuchlichste Maass ihrer
Masse, weil die Schwere die verbreitetste Naturkraft ist, und die ein-
zige, die wir leicht ohne die gleichzeitige Einwirkung anderer Natur-
kräfte untersuchen können.

Wir haben früher als Einheit der Kraft diejenige Kraft bezeich-
net, die in der Zeiteinheit der Masse 1 die Beschleunigung 1 ertheilt
(§. 25). Keine der in der Erfahrung gegebenen Naturkräfte entspricht
dieser Krafteinheit der Mechanik, auch die Schwere nicht. Wenn ein
Körper frei zur Erde fällt, so wirkt die Schwere auf jede Massenein-
heit desselben. Die durch die Schwere in der Secunde erzeugte Be-
schleunigung des Falls ist aber nicht = 1, sondern = 9,809 Meter.
Die Schwerkraft verhält sich also zur mechanischen Krafteinheit wie
9,809 : 1. Die Zahl 9,809 wird gewöhnlich mit dem Buchstaben g be-
zeichnet. Die beim freien Fall nach t Secunden erlangte Geschwin-
digkeit ist demnach
v = gt,
und der in dieser Zeit durchlaufene Raum
s = ½ gt2.

Die Geschwindigkeit frei fallender Körper ist zu gross, als dass
sie mit Genauigkeit gemessen werden könnte; man hat daher, wie
wir später sehen werden, zur Messung der Beschleunigung durch die
Schwere das Pendel benützt. Die Gesetze des freien Falls lassen
sich dagegen mittelst der Atwood’schen Fallmaschine bestä-
tigen, bei welcher der Fall dadurch verlangsamt wird, dass man die
beschleunigende Kraft vermindert. Im wesentlichen besteht die Fall-
maschine aus einer auf eine hohe Säule gesetzten sehr leicht beweg-
lichen Rolle (ähnlich der in Fig. 30 gezeichneten), um die ein langer
Seidenfaden geschlungen ist, der jederseits genau gleiche Gewichte
trägt, so dass Gleichgewicht besteht. Bringt man nun auf der einen
Seite ein kleines Uebergewicht an, so wird das Gleichgewicht gestört,
und man kann den Fall an einer Scale, vor der sich die Gewichte
herabbewegen, beobachten. Der Fall ist in diesem Fall sehr verlang-
samt, weil die beschleunigende Kraft bloss aus dem Uebergewicht,
die bewegte Masse aber aus den sämmtlichen am Apparat vorhande-
nen Gewichten besteht. Nimmt man plötzlich das Uebergewicht weg,
so bewegt sich nun nach dem Princip der Trägheit das Gewicht mit
gleichförmiger Geschwindigkeit weiter. So lassen sich leicht die zwei
Gesetze, dass 1) die erlangte Geschwindigkeit proportional ist der
Fallzeit, und 2) der Fallraum proportional dem Quadrat der Fallzeit,
experimentell nachweisen.

Die Gesetze des Falls erfahren bestimmte Modificationen, wenn54
Fall auf der
schiefen Ebene.
die Körper nicht frei herabfallen können, sondern wenn ihnen entwe-
der, weil sie sich auf einer geneigten Unterlage befinden, oder weil
sie an einer Drehungsaxe befestigt sind, ein bestimmter Weg vorge-
zeichnet ist. Die Bewegung auf der schiefen Ebene und die Bewe-
gung des Pendels erfordert daher eine besondere Betrachtung.

Ein auf einer schiefen Ebene A B
(Fig. 32) befindlicher Körper wird von derselben
um so schneller herabrollen, je grösser der Nei-
gungswinkel α der Ebene ist. Wenn die schiefe
Ebene nicht vorhanden wäre und der Körper
frei herabfallen könnte, so würde er in der ersten
Secunde den Weg a b = zurücklegen, da die Mittelgeschwin-
digkeit in der ersten Secunde ist (§. 24 u. 53). Wegen der schiefen
Ebene kann aber der Körper nur in der Richtung A B herabrollen.
Um also die Geschwindigkeit des Herabrollens zu erhalten, müssen
wir die Kraft a b nach dem Kräfteparallelogramm zerlegen: wir er-
halten so a d als diejenige Kraft, mit welcher der Körper auf die
schiefe Ebene drückt und a c = b d als die Kraft, durch die er
herabrollt. Nun verhält sich A B : A D wie a b : b d, d. h. der Weg
A B, welchen der Körper auf der schiefen Ebene zurücklegt, verhält
sich zu dem Wege A D, welchen derselbe zurücklegen würde, wenn
er frei herabfallen könnte, umgekehrt wie die in beiden Fällen vor-
handene beschleunigende Kraft. Daraus ist zu folgern, dass der herab-
gerollte Körper, wenn er den Weg von A bis B zurückgelegt hat, die
nämliche Geschwindigkeit besitzt, die er besässe, wenn er frei von A
bis D herabgefallen wäre. Denn um so viel kleiner die beschleuni-
gende Kraft ist, die auf der schiefen Ebene wirkt, um so grösser ist
der Weg, auf welchem sie einwirkt. Verallgemeinend können wir
dies Resultat so aussprechen: wenn ein Körper durch die Schwere
eine bestimmte verticale Höhe herabkommt, so erhält er dadurch
immer dieselbe Geschwindigkeit, welches auch die Bahn sei, die er
dabei zurückgelegt hat.

Der Winkel d a b ist = α, die auf der schiefen Ebene in t Secunden erlangte
Geschwindigkeit ist daher v = g. sin. α. t, und der Fallraum s = . sin. α. t2.

Die Bewegungen des Pendels sind nach den nämlichen Prin-55
Bewegungen
des Pendels.
cipien zu beurtheilen. Man versteht unter einem Pendel ein an einem
Faden oder einer Stange aufgehängtes Gewicht, welches um den Auf-
hängepunkt als Drehungsaxe schwingen kann. Setzt man voraus, dass
der Faden vollkommen gewichtslos sei, dass an der Drehungsaxe
keine Reibung stattfinde, und dass das Gewicht einen einzigen
[76]Von der Schwere.
schweren Punkt darstelle, so nennt man dies ein mathematisches
Pendel. Wenn die Linie o f (Fig. 33) dieses Pendel in seiner Ruhe-

lage bezeichnet, so wird,
wenn dasselbe in die Lage
o a gebracht und dann los-
gelassen wird, eine hin-
und herschwingende Bewe-
gung entstehen, indem der
Punkt a durch seine Schwere
mit beschleunigter Geschwin-
digkeit nach f gelangt, durch
die erlangte Geschwindig-
keit aber über die Ruhe-
lage hinaus bis nach a'
weitergeht, dann wieder zu-
rück nach f und a schwingt,
u. s. w. Man sieht unmit-
telbar, dass man es hier mit einem Fall der in §. 27 erörterten Schwin-
gungsbewegung zu thun hat. Die Schwere ist die constante Kraft,
welche den Punkt in f zu halten strebt, die einmalige Gleichgewichts-
störung veranlasst daher fortdauerde Schwingungen um diese Gleich-
gewichtslage. Wäre wirklich ein Pendel möglich, bei dem am Auf-
hängepunkt o keine Reibung bestände, so müssten die Schwingungen
ins unendlich fortdauern. Den Weg a a' oder den diesem Bogen
entsprechenden Winkel bezeichnet man auch hier als die Amplitude
und die Zeit, welche zu einer einmaligen Hin- und Herschwingung er-
forderlich ist, als die Schwingungsdauer.

Die Bewegung des Pendels gleicht der Bewegung auf der schie-
fen Ebene insofern, als auch hier der schwere Körper zu fallen strebt,
aber am freien Fall gehindert ist und desshalb in einer bestimmten
Bahn sich bewegen muss. Betrachten wir irgend ein sehr kleines
Stück der Kreisbahn, welche der Körper beschreiben muss, z. B.
a e oder m q, so können wir die Sache so ansehen, als be-
wege sich der Punkt in jedem Augenblick auf einer kleinen
schiefen Ebene, und wir können daher ebenso wie für diese die be-
schleunigende Kraft bestimmen. Weil aber die Bahn des Pendels aus
unendlich vielen solcher sehr kleiner schiefer Ebenen sich zusammen-
setzt, so muss auch jene beschleunigende Kraft von Punkt zu Punkt
sich verändern. Bezeichnen wir für den Punkt a der Bahn das nach
abwärts ziehende Gewicht des Punktes durch a b, so ist die in der
Richtung der tangirenden Linie wirkende beschleunigende Componente
gleich a e, während die andere Componente a d als ein Zug an dem
Befestigungspunkt o wirkt. Am Punkte m ist die beschleunigende
[77]Von den durch die Schwerkraft erzeugten Bewegungen der festen Körper.
Componente der nämlichen Kraft gleich m q. Man ersieht hieraus
unmittelbar, dass die beschleunigende Kraft abnimmt proportional der
Annäherung an die Gleichgewichtslage o f, und dass sie in dieser
selbst null wird, was wir auch bei der allgemeinen Erörterung der
Schwingungsbewegungen schon bewiesen haben. Doch ist dieses Ge-
setz bei dem Pendel schon desshalb nur für kleine Schwingungsampli-
tuden gültig, weil hier die Schwingung in einem Bogen geschieht, so
dass, wie man sich durch die Anschauung überzeugt, die Annäherung
des Punktes a an den Punkt f nicht völlig proportional der schon durch-
laufenen Bahn zunimmt, sondern für das gleiche Bogenstück a f von
a nach m grösser ist als von m nach f. Es gilt daher hier dieses
Gesetz nur wenn die Bogen so klein sind, dass sie nahezu mit ihren
Sehnen zusammenfallen, was bei den meisten Beobachtungen, in de-
nen man das Pendel anwendet, in der That der Fall ist. Unter die-
ser Voraussetzung lässt sich aus der proportional der Annäherung an
die Gleichgewichtslage eintretenden Abnahme der beschleunigenden
Kraft unmittelbar die wichtige Folgerung ziehen, dass die Schwingungs-
dauer unabhängig von der Schwingungsamplitude ist, oder dass die
Schwingungen des Pendels isochron sind.

Bei der Untersuchung des Falls auf der schiefen Ebene haben
wir gefunden, dass die von dem schweren Körper erlangte Endge-
schwindigkeit gleich derjenigen Geschwindigkeit ist, welche der Kör-
per erlangt haben würde, wenn er die nämliche Höhe frei in vertica-
ler Richtung herabgefallen wäre. Uebertragen wir dies auf die Be-
wegung des Pendels, so muss der schwere Punkt, nachdem er die
Bahn a f zurückgelegt hat, in f die nämliche Geschwindigkeit besitzen,
als wenn er den Weg i f im freien Fall zurückgelegt hätte. Der
Fallraum i f ist nun, wie wir früher fanden, gleich ½ g t2, wenn mit
g die Beschleunigung durch die Schwere und mit t die zur Zurück-
legung des Weges i f gebrauchte Zeit bezeichnet wird. Vergleichen
wir aber mehrere Pendel von verschiedener Länge bei gleich bleiben-
der Schwingungsamplitude, so werden auch die Höhen i f verschieden,
und zwar verhalten sie sich augenscheinlich wie die Längen der ver-
glichenen Pendel. Da die Fallräume wachsen wie die Quadrate der
Fallzeiten und den letztern offenbar die Schwingungszeiten der Pen-
del proportional sind, so folgt hieraus, dass sich auch die Pendel-
längen verhalten müssen wie die Quadrate der Schwingungszeiten,
oder dass die Schwingungszeiten der Pendel sich verhal-
ten wie die Quadratwurzeln der Pendellängen.

Die Gesetze vom Isochronismus kleiner Schwingungen und von
der Zunahme der Schwingungsdauer mit der Quadratwurzel der Pen-
dellänge lassen sich leicht in der Erfahrung bestätigen. Lässt man
mehrere Pendel neben einander schwingen, deren Längen sich wie
1, 4, 9 verhalten, so stehen die Schwingungszeiten derselben im Ver-
[78]Von der Schwere.
hältniss 1, 2, 3, und man beobachtet zugleich, dass, wenn die Schwin-
gungen hinreichend klein sind, bei jedem einzelnen Pendel die Schwin-
gungsdauer ungeändert bleibt, ob man die Amplitude grösser oder
kleiner nimmt. In dem mathematischen Ausdruck des Pendelgesetzes
liegen diese besonderen Gesetze sämmtlich eingeschlossen. Bezeichnet
man nämlich mit t die Zeit einer einzigen Hin- und Herbewegung,
also einer ganzen Schwingung, mit π die Zahl 3,1416, das Verhältniss
des Kreisumfangs zum Durchmesser, mit 1 die Pendellänge und mit
g die Beschleunigung durch die Schwere, so findet man:

Wie die Pendelbewegungen nur ein einzelner Fall der Schwin-
gungsbewegungen sind, so ist auch diese Gleichung nur eine Anwen-
dung des früher für die Schwingungen einer Masse um ihre Gleich-
gewichtslage allgemein abgeleiteten Gesetzes (§. 29).

Das mathematische Pendel, bestehend aus einem gewichtslosen Faden mit einem
schweren Punkt an dessen Ende, ist eine Fiction, der sich die Wirklichkeit immer
nur mehr oder weniger annähert. Jeder einzelne Punkt eines physischen Pendels
bildet mit seiner Entfernung von der Drehungsaxe gewissermassen ein mathematisches
Pendel, dessen Schwingungsdauer der Quadratwurzel jener Entfernung proportional
ist. Das ganze physische Pendel kann man daher als zusammengesetzt aus unendlich
vielen mathematischen Pendeln betrachten, und es ist demnach klar, dass die Schwin-
gungsdauer desselben nicht etwa derjenigen des mathematischen Pendels von derselben
Länge gleich sein kann, sondern von der Vertheilung der das Pendel zusammensetzen-
den Massen in Bezug auf die Drehungsaxe abhängig ist.

Die Kraft, welche die Bewegung des physischen Pendels unterhält, ist die auf
alle Massenpunkte desselben wirkende Schwerkraft, also das Gewicht des Pendels, das
man sich vereinigt in dem Schwerpunkte vorstellen kann. Dieses Gewicht wirkt als
bewegende Kraft auf sämmtliche Massenpunkte und ertheilt jedem derselben eine Ge-
schwindigkeit, die proportional seiner Entfernung vom Drehungspunkt ist. Bezeich-
nen wir mit s die Distanz des Schwerpunktes vom Drehungspunkte und nennen wir
p die in jedem Augenblick veränderliche, in der Richtung der Tangente der Pendel-
bahn wirkende Componente des Gewichtes, so wird durch p. s das statische Moment
der auf den Schwerpunkt wirkenden Kraft ausgedrückt. Dieses ertheilt jedem Punkt
des Pendels eine lebendige Kraft, die dem Product der Masse des Punktes in das
Quadrat seiner Geschwindigkeit proportional ist. Da aber die Geschwindigkeit der
Entfernung des Punktes von der Drehungsaxe proportional sein muss, so ist klar,
dass die jedem Punkt mitgetheilte lebendige Kraft proportional dem Product der Masse
desselben in das Quadrat seiner Entfernung von der Drehungsaxe sein wird. Be-
zeichnen wir also die Massen zweier beliebiger Punkte mit m und m', ihre Entfer-
nungen von der Drehungsaxe mit r und r', so verhalten sich die in beiden Punkten
durch dasselbe statische Moment p. s erzeugten lebendigen Kräfte wie m r2 : m' r'2.
Wenn wir die Masse eines jeden Punktes von solcher Grösse wählen, dass die leben-
digen Kräfte einander gleich werden, dass also m r2 = m' r'2 ist, so besteht zwi-
schen den Massen die Proportion m : m' = r'2 : r2, d. h. Massen, welche in ver-
schiedenen Abständen von der Drehungsaxe dieselbe lebendige Kraft erlangen sollen,
[79]Von den durch die Schwerkraft erzeugten Bewegungen der festen Körper.
müssen sich verhalten umgekehrt wie die Quadrate ihrer Abstände von der Drehungs-
axe. Nennt man m diejenige Masse, die im Abstand 1 von der Drehungsaxe befind-
lich ist, und m1 eine andere Masse in dem Abstand r1, so muss m1 r12 = m sein.
Wenn wir demnach das ganze Pendel so in Massenpunkte zerlegen, dass die sämmt-
lichen Producte m1 r12, m2 r22 u. s. w. einander gleich sind, so ist jedes dieser Pro-
ducte gleich derjenigen Masse, welche im Abstand 1 von der Drehungsaxe die näm-
liche Wirkung erzeugen würde. Wir können auf diese Weise die ganze Masse des
Pendels uns in der Einheit des Abstands von der Drehungsaxe durch eine Masse
m1 r12 + m2 r22 + m3 r32 .... ersetzt denken, wobei die Bildung dieser Producte
sich auf sämmtliche Massenpunkte erstrecken muss.

Das Product einer Masse in das Quadrat ihres Abstandes von der Drehungsaxe
nennt man das Trägheitsmoment dieser Masse. Man hat diese Bezeichnung dess-
halb gewählt, weil nach den in §. 25 entwickelten Gesetzen die Beschleunigung, welche
eine gegebene Kraft P erzeugt, durch den Bruch gemessen wird, demnach um so
kleiner ist, je grösser die Masse, auf welche die Kraft wirkt. Nun geht aber aus der
obigen Erörterung hervor, dass die Ermittelung der Trägheitsmomente aller einzelnen
Punkte eines Körpers nichts anderes bedeutet, als dass man sich die ganze Masse des
Körpers in einem einzigen Punkt vereinigt denkt; und je grösser die Summe der
Trägheitsmomente, um so grösser wird jene vereinigte Masse, um so kleiner also die
Beschleunigung sein, welche die gegebene Kraft erzeugt. Die Reihe m1 r12 + m2 r22
+ m3 r32 .... pflegt man durch Σ m r2 zu bezeichnen, wobei das Zeichen Σ andeuten
soll, dass man unter ihm eine grosse Summe einzelner Glieder zusammenfasst. Das
Trägheitsmoment Σ m r2 ist also die Masse des Pendels reducirt auf den Abstand 1
von der Drehungsaxe. Nun wirkt aber die Kraft p nicht in der Entfernung 1, son-
dern im Schwerpunkt, in der Entfernung s von der Drehungsaxe. Wir müssen also,
um die Beschleunigung zu ermitteln, die Masse aus der Entfernung 1 in die Entfer-
nung s verlegt denken. In dieser ist nun offenbar eine Masse M dann der der vori-
gen gleichwerthig, wenn M s2 = Σ m r2 ist. Daraus bestimmt sich die Masse M =
. Auf diese Masse wirkt die Kraft p ein und ertheilt ihr eine Beschleunigung
. Wenn wir das physische Pendel an der Stelle des mathemati-
schen anwenden, so haben wir daher in der Gleichung diesen Werth
an die Stelle der Beschleunigung g, und den Abstand s des Schwerpunktes von der
Drehungsaxe an die Stelle der Pendellänge 1 zu setzen. Es ergiebt sich so
Da das Gewicht p gleich dem Product der Masse des ganzen Körpers in die Be-
schleunigung durch die Schwere ist, so kann man hierin noch p = g. Σ m setzen.
Es ist also
Daraus folgt, dass die Länge eines mathematischen Pendels, dessen Schwingungsdauer
derjenigen des physischen gleichkommt, ist. Man nennt daher am
[80]Von der Schwere.
physischen Pendel den Punkt, welcher in einer dieser Grösse gleichen Entfernung vom
Drehungspunkt sich befindet, den Schwingungspunkt und die so bestimmte Linie
1 auch die Länge des physischen Pendels.

Man kann nach den angegebenen Principien die Trägheitsmomente geometrisch
einfacher Körper durch Rechnung finden. So ist z. B. das Trägheitsmoment einer
Kugel vom Radius r und der Masse , das Trägheitsmoment eines Cylin-
ders von demselben Radius und derselben Masse . Die Kenntniss der
Trägheitsmomente ist erforderlich, wenn man die Pendelschwingungen zur Ermittelung
der Grösse g, der Beschleunigung durch die Schwere verwenden will. Nach dem Pen-
delgesetz ist . Hierin hat man t durch Beobachtungen zu bestimmen und
dann für 1 die Entfernung des Schwingungspunktes von der Drehungsaxe zu setzen.
Die einfachste Methode zur Bestimmung von g besteht darin, dass man an einen mög-
lichst dünnen Metalldraht eine schwere Metallkugel von bestimmtem Gewicht aufhängt
und die Schwingungsdauer des so hergestellten Pendels beobachtet. Man kann ein
solches Pendel annähernd als ein mathematisches ansehen, dessen Länge der Entfer-
nung des Schwerpunktes der Metallkugel vom Aufhängepunkt gleichkommt. Noch ge-
nauere Resultate liefert das Bohnenberger’sche Reversionspendel, welches
darauf beruht, dass, wenn das Pendel umgekehrt und der Schwingungspunkt zur
Drehungsaxe gemacht wird, nun die frühere Drehungsaxe Schwingungspunkt geworden
ist. Man kann leicht durch Versuche diejenigen zwei Punkte eines Pendels, die in
diesem wechselseitigen Verhältnisse stehen, auffinden, da in beiden Aufhängepunkten
die Schwingungsdauer die nämliche sein muss. Die Distanz der beiden Punkte gibt
dann die Pendellänge.

Durch in dieser Weise angestellte Pendelversuche ist direct erwiesen worden,
dass die Zahl g für alle Körper genau die nämliche ist, dass sie dagegen in den ver-
schiedenen Breitegraden der Erde bestimmte Verschiedenheiten zeigt, indem vom
Aequator gegen die Pole hin die Länge des Secundenpendels und entsprechend die
Beschleunigung g zunimmt. So wurde unter dem Aequator g = 9,780, unter dem
45. Breitegrad g = 9,805, nahe dem Pol g = 9,830 gefunden. Diese Zunahme der
Beschleunigung durch die Schwere gegen die Pole hin hat ihren Grund erstens in der
abgeplatteten Gestalt der Erde, wodurch ein Punkt am Pol dem Erdmittelpunkt, in
welchem man sich die Erdmasse vereinigt denken muss, um 1/299 näher ist, als am
Aequator, und zweitens in der am Aequator grösseren Centrifugalkraft, von welcher
letzteren wir in §. 59 noch reden werden.

Viertes Capitel.
Zusammenwirken der Schwere mit andern bewegenden Kräften.

Nachdem wir die Bewegung auf der schiefen Ebene und die
Pendelbewegung als Modificationen der Fallbewegung erörtert haben,
ist noch eine übersichtliche Betrachtung jener Bewegungen erforder-
lich, die entstehen, wenn die Wirkung der Schwere mit der
Wirkung anderer bewegender Kräfte sich combinirt. Die
Zergliederung dieser Bewegungen bietet keine erhebliche Schwierigkeit
[81]Zusammenwirken der Schwere mit andern bewegenden Kräften.
wenn man, was in den meisten Fällen zulässig ist, nicht nur für die
Schwere, sondern auch für die andern einwirkenden Kräfte den Schwer-
punkt als den Angriffspunkt betrachtet, wo dann für jeden Moment
der Bewegung die Grösse und Richtung der Resultirenden nach dem
Satz des Kräfteparallelogramms gefunden werden kann. Aber da die
Schwere eine continuirlich und gleichförmig wirkende Kraft ist, wäh-
rend die andern Kräfte meist nur momentan oder inconstant einwirken,
so findet bei den hier in Frage stehenden Bewegungen sehr häufig
von jedem Augenblick zum andern eine Richtungsänderung statt: der
allgemeine Charakter dieser combinirten Bewegungen besteht daher
darin, dass sie krummlinige Bewegungen sind. (Vgl. §. 26).

Ein erstes Beispiel bietet die Wurfbewegung. Bei ihr combi-
nirt sich die einem Körper durch die Wurfkraft mitgetheilte geradlinige
Bewegung mit der durch die Schwere erzeugten Fallbewegung. Die
Wurfkraft ist eine momentane Kraft, durch deren alleinige Wirkung
der geworfene Körper sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit und
ohne Aufhören in gerader Linie fortbewegen würde. Zu ihr tritt aber
die continuirlich wirkende Schwerkraft hinzu, welche in jedem Moment
die Bahn des Körpers abändert. Nehmen wir an, ein Körper werde
von a (Fig. 34) in einer Richtung a h fortgeschleudert, die mit dem

Horizont den Winkel α bildet. Wenn
keine andere Kraft auf den Körper
einwirkte, so würde er etwa am Ende
der 1. Secunde in b, am Ende der
2. in d sein, u. s. w. Nun wirkt aber
gleichzeitig die Schwere auf ihn ein,
die ihrerseits, wenn sie die allein vor-
handene Kraft wäre, den Körper in der
ersten Secunde um die Höhe b c =
, in der 2. um d e = 4 , in der 3. um f g = 9 und so fort
im Verhältniss des Quadrats der Zeiten in verticaler Richtung gegen
die Erde bewegen würde. Nach dem Princip der Zusammensetzung
der Kräfte muss der Körper unter der gleichzeitigen Einwirkung des
Wurfs und der Schwere in jedem Moment an demjenigen Ort sein,
den er erreichen würde, wenn wir uns zuerst den Wurf und dann die
Schwere wirkend denken. Also am Ende der 1. Secunde befände er
sich in Folge des Wurfs in b, gleichzeitig ist er aber durch die
Schwere um die Strecke b c vertical herabgefallen. Am Ende der
2. Secunde befände er sich in d, gleichzeitig ist er durch die Schwere
um die Strecke d e herabgefallen u. s. f. Verbindet man die Weg-
punkte, in denen sich der Körper durch die gleichzeitige Wirkung
der Schwere und der Wurfkraft successiv befinden muss, so erhält
Wundt, medicinische Physik. 6
[82]Von der Schwere.
man eine regelmässig gekrümmte Linie, welche die Gestalt einer Pa-
rabel besitzt.

Die Geschwindigkeit a b, mit welcher der Körper fortgeschleudert wurde, sei
= c; zerlegt man ç in eine horizontale und in eine verticale Componente, a m =
x und b m = y, so ist x = c. cos. α und y = c. sin. α. Der Weg w, welchen der
Körper nach der Zeit t in horizontaler Richtung zurückgelegt hat, ist = x. t, der
Weg v in verticaler Richtung würde = y. t sein, wenn nicht die constante Einwir-
kung der Schwere ihn um verkleinert hätte. Man hat daher w = c. cos. α. t
und v = c. sin. . Aus der ersten Gleichung folgt .
Setzt man diesen Werth in die zweite Gleichung ein, so erhält man ,
welches die Gleichung einer Parabel ist. v wird in zwei Fällen =
o, d. h. die Bahn schneidet in zwei Punkten die Horizontale, wenn w = o, also im
Anfang des Wurfs, und wenn ist, was offenbar am
Ende des Wurfs stattfinden muss. Der in der letzten Gleichung enthaltene Werth für
w, den wir mit w' bezeichnen wollen, drückt daher die Wurfweite a i aus. Man
findet . Die Wurfhöhe n e wird erhal-
ten, wenn man in der obigen Gleichung zwischen v und w die Hälfte des für w' er-
haltenen Werthes einführt. Bezeichnet man diesen Werth für v mit v' so ist .

Ein anderes Beispiel combinirter Bewegungen, die durch das
Zusammenwirken der Schwere mit einer zweiten Kraft erzeugt werden,
bieten die Bewegungen der Himmelskörper. Die Sonne übt
auf sämmtliche Planeten, und diese üben gegenseitig auf einander
Anziehungskräfte aus, die in derselben Ursache wie die irdische
Schwere, in der allgemeinen Anziehung der Massen, ihre Quelle ha-
ben. Zu der constant wirkenden Gravitationskraft tritt in diesem Fall
eine in der Tangente der Bahn wirkende Kraft hinzu, die man sich
als einen einzigen, im Anfang der Bewegung empfangenen Stoss vor-
stellen kann, durch den die Himmelskörper, wenn keine andere Kraft
wirkte, mit gleichförmiger Geschwindigkeit und in gerader Richtung
sich in’s unendliche fortbewegen würden. Die wahren Bewegungen
der Himmelskörper sind höchst verwickelter Natur, weil streng ge-
nommen alle Himmelskörper gegenseitige Anziehungen auf einander
ausüben, die dem allgemeinen Gesetz der Fernewirkung gemäss (s.
§. 9) im directen Verhältniss des Products ihrer Massen und im um-
gekehrten Verhältniss des Quadrats ihrer Entfernungen stehen. Man
kann jedoch mit einer für viele Zwecke ausreichenden Genauigkeit
die von den grössten Himmelskörpern, welche der unmittelbaren Beob-
[83]Zusammenwirken der Schwere mit andern bewegenden Kräften.
achtung schon als Centra der Bewegungen erscheinen, ausgehenden
Wirkungen allein berücksichtigen, also z. B. in unserem Sonnensystem
die gegen die Sonne gerichtete Gravitation der Planeten als die ein-
zige ansehen. Unter dieser Voraussetzung sind die Planetenbahnen
Ellipsen, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet, die
von dem Radiusvector eines jeden Planeten beschriebenen Flächen-
räume verhalten sich wie die Zeiten, in denen sie beschrieben sind,
und die Quadrate der Umlaufszeiten verhalten sich wie die dritten
Potenzen der mittleren Abstände der Planeten von der Sonne. Die
drei hier aufgeführten Gesetze der Planetenbewegung werden nach
ihrem Entdecker als die Keppler’schen Gesetze bezeichnet.

Ein näheres Eingehen auf diesen Gegenstand würde unsern59
Centralbewe-
gungen. Cen-
trifugal- und
Centripetal-
kraft.
Zwecken zu ferne liegen. Wir begnügen uns daher eine andere Be-

wegung in geschlossener Bahn zu
zergliedern, die wegen der ähn-
lichen aber einfacheren Bedingungen,
welche bei ihr stattfinden, als ein
erläuterndes Beispiel der Central-
bewegungen überhaupt, von denen
die Planetenbewegungen nur ein
besonderer Fall sind, dienen möge.
Ein Körper, der bei a (Fig. 35) an
einem Faden a c befestigt ist und
rasch um den Punkt c gedreht wird,
beschreibt einen Kreis, dessen Mit-
telpunkt c, und dessen Radius gleich
a c ist. Die schwingende Kraft,
die den Körper in der Richtung a e
bewegt, kann man sich aus zwei Kräften bestehend denken, die sich
zu a e wie die Seiten eines Paralellogramms zu seiner Diagonale ver-
halten. Die eine dieser Kräfte a b würde den Körper in der Rich-
tung der Tangente a f fortschleudern, die andere a d strebt ihn gegen
den Mittelpunkt c hin zu ziehen. Die erstere ist, vorausgesetzt dass
die Kreisbewegung mit gleichförmiger Geschwindigkeit geschieht, ein
einziger Stoss, der im Anfang der Bewegung auf den Körper in der
Richtung der Tangente des Kreises einwirkte. Die letztere muss da-
gegen eine constant wirkende Kraft sein, da, sobald dieselbe aufhört,
der Körper die Kreisbahn verlassen müsste. Diese Zerlegung ist aber
nicht bloss eine denkbare, sondern die Kraft a e ist wirklich aus den
Kräften a b und a d zusammengesetzt, wie daraus hervorgeht, dass
der Körper erstens, sobald man ihn in c loslässt, in der Rich-
tung der Tangente sich weiterbewegt, und dass er zweitens, wäh-
rend er in c festgehalten wird, auf c einen Zug in der Richtung a g
6 *
[84]Von der Schwere.
ausübt, der nur dadurch zu Stande kommen kann, dass der Körper
selbst in der Richtung a d einen Zug erfährt, welchem nach dem Prin-
eip der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung jener Zug in der
Richtung a g gleichkommt. In der Richtung der Kraft a b kann
selbstverständlich von einer Gegenwirkung desshalb keine Rede sein,
weil jene nur als einmaliger Stoss beim Anfang der Bewegung wirkt,
wesshalb auch hier die Gegenwirkung nur beim Anfangsstoss vorhan-
den war. Man bezeichnet diejenige Kraft, die den Körper nach a f
zu schleudern strebt, als Tangentialkraft, diejenige Kraft, die ihn
nach c zieht, als Centripetalkraft und die ihr gleiche von ent-
gegengesetzter Richtung als Centrifugalkraft. Ebenso wie die
Centripetalkraft den Körper nach c hinzieht, strebt die Centrifugalkraft
den festen Punkt c nach a zu ziehen. Wenn man mit der Hand einen
an einer Schleuder befestigten schweren Körper im Kreise schwingt,
so überzeugt man sich von der Existenz der Centrifugalkraft an dem
Zug, welchen die Hand erfährt, während die Centripetalkraft in der-
jenigen Kraft besteht, welche die Hand zum Festhalten der Schleuder
aufwenden muss. Es liegt uns hier im wesentlichen der nämliche Fall
von Wirkung und Gegenwirkung vor, als wenn wir gegen einen Kör-
per einen Druck ausüben, wobei wir immer selbst einen Druck em-
pfinden, der gleich ist dem von uns ausgeübten. Zerlegt man dem-
gemäss das keine Stück a e der Kreisbahn in die tangentiale Bewe-
gung a b und in die centrale Bewegung a d, so ist, wenn wir die
der letzteren correspondirende Kraft bestimmt haben und ausserdem
die Geschwindigkeit der in der Kreisbahn geschehenden Bewegung
kennen, Alles ermittelt was gesucht werden kann. Nennen wir v die
Geschwindigkeit des Körpers und t die Zeit, welche er braucht, um
den Bogen a e zurückzulegen, so ist a e = v. t. Die den Körper
nach der Richtung a d ziehende Kraft ist eine constante Kraft, bezeich-
nen wir dieselbe mit k und die Masse des Körpers mit m, so ist a d =
. (S. Gleichung 2, §. 25). Nun verhält sich ferner a l : a e = a e : a d,
woraus, da a e = 2 r, wenn wir mit r den Radius des Kreises bezeichnen,
a e2 = 2 r. ad. Substituirt man in diese Gleichung die oben gefundenen
Werthe für a e und a d, so folgt . Hieraus findet
man als Ausdruck für die Centripetalkraft
Wenn also ein Körper mit gleichförmiger Geschwindigkeit eine Kreis-
bahn beschreibt, so ist die constante Kraft, welche den Körper nach
dem Mittelpunkt des Kreises zieht, gleich dem Product der Masse des
Körpers in das Quadrat seiner Geschwindigkeit, dividirt durch den
Radius des Kreises.

Die Centrifugalkraft ist von grosser Wichtigkeit bei der Drehung
der Erde um ihre Axe. Jeder Punkt an der Erdoberfläche verhält
sich in Folge derselben wie in dem obigen Beispiel der an dem Fa-
den befestigte Stein. Die Centrifugalkraft erklärt zum grossen Theil
die gegen den Aequator hin stattfindende Abnahme der Beschleuni-
gung durch die Schwere. Diese Abnahme beträgt etwa 1/289 der
Schwerkraft; wäre die Drehungsgeschwindigkeit der Erde 17 mal
grösser, so würde, wie aus der Gleichung für die Centrifugalkraft her-
vorgeht, letztere 172 mal oder 289 mal grösser sein, die Körper wür-
den in diesem Fall unter dem Aequator kein Gewicht mehr besitzen.
Die an den Polen abgeplattete Gestalt der Erde lässt sich eben-
falls aus der Centrifugalkraft erklären. Als sich die Erde noch im
feuerflüssigen Zustande befand, mussten die an dem Aequator, als der
Peripherie der grössten Geschwindigkeit, befindlichen Massen sich ver-
möge der Centrifugalkraft am weitesten vom Mittelpunkte entfernen.
Wird die Rotationsgeschwindigkeit einer flüssigen Masse so bedeu-
tend, dass sie die Schweranziehung überwiegt, so können einzelne
Massen sich losreissen. Kant und Laplace haben auf diese That-
sache eine Hypothese über die Entstehung des Planetensystems ge-
gründet, die sehr viel Wahrscheinlichkeit für sich hat. Nach dieser
Hypothese bildete einst unser Sonnensystem eine einzige feuerflüssige
Masse, von deren Peripherie sich in Folge der bei der allmäligen
Condensation rascher werdenden Rotationsbewegung durch die Centri-
fugalkraft die Planetenmassen sich loslösten.

Die ganze Betrachtung, die wir oben hinsichtlich eines um einen
festen Mittelpunkt im Kreise gedrehten Körpers angestellt haben, kön-
nen wir unmittelbar auf die Planetenbewegung übertragen. Auch bei
dieser wirken zwei Kräfte zusammen, ein ursprünglicher Stoss
in der Richtung der Tangente der Bahn und eine constante
Kraft, welche die Planeten gegen die Sonne zieht. Kennt man die Ge-
schwindigkeit, die Masse des Planeten und seine Entfernung von der
Sonne, so ist hieraus in ähnlicher Weise wie oben die Centrifugalkraft
zu finden, und diese muss gleich der Centripetalkraft, d. h. gleich der
Anziehungskraft der Sonne sein. Auf dieselbe Weise lässt sich die
Anziehungskraft der Erde gegen den Mond bestimmen, und diese Be-
stimmung hat das Ergebniss geliefert, dass die Kraft, mit welcher die
Erde den Mond anzieht, sich verhält wie 1 : 602. Nun beträgt die
Entfernung des Mondes von der Erde das 60fache des Erdhalbmessers,
und da alle in die Ferne wirkenden Kräfte im umgekehrten Verhält-
niss des Quadrats der Entfernungen abnehmen, so folgt hieraus, dass
die Kraft, welche den Mond gegen die Erde zieht, identisch ist mit
der irdischen Schwere.

Eine besondere Form zusammengesetzter Bewegungen, die gleich-60
Bewegungen
des menschli-
chen Körpers.
[86]Von der Schwere.
falls auf ein combinirtes Wirken der Schwere mit andern Naturkräften
zurückzuführen sind, bilden die Bewegungen des menschlichen
Körpers. Bald verändert der Körper als Ganzes seinen Ort, bald
ändern einzelne, durch Gelenke verbundene Theile desselben ihre ge-
genseitige Lage. Die Ortsbewegungen, die der Körper beim Gehen
und Laufen ausführt, sind zwar höchst zusammengesetzt, lassen sich
aber in ihren wesentlichen Zügen in sehr einfacher Weise aus seither
erörterten mechanischen Principien erklären. Da das Gewicht des
menschlichen Körpers vereinigt in seinem Schwerpunkt zu denken ist,
so können wir auch die andern Kräfte, die bei der Ortsbewegung
thätig sind, so betrachten, als wenn der Schwerpunkt ihr Angriffspunkt
wäre, um dann die Bewegung des letztern aus der Zusammensetzung
der Kräfte abzuleiten; wir substituiren so der Bewegung des ganzen
Körpers die Bewegung seines Schwerpunktes, ähnlich wie wir seine

Masse im Schwerpunkt vereinigt vorstellen. Es sei a
der Schwerpunkt und p = a b das vertical nach ab-
wärts ziehende Gewicht des Körpers. Die Kraft s,
durch welche sich beim Gehen und Laufen der Kör-
per vorwärts bewegt, wird durch das sich hinter dem
Schwerpunkt in der Richtung d e gegen den Boden
stemmende Bein ausgeübt. Der Punkt e, gegen wel-
chen der Fuss des stemmenden Beins drückt, muss
hinter dem Fusspunkt f des vom Schwerpunkt gezo-
genen Lothes a f liegen. Man kann sich die Kraft s
auf einem beliebigen Stück der Linie e d wirksam
denken. Nehmen wir also b d = s, so können wir
b d nach dem Kräfteparallelogramm in eine verticale und in eine ho-
rizontale Seitenkraft, a b und a d, zerlegen. Die erstere wirkt der
Kraft p entgegen, und sie muss, wenn der Körper nur horizontal vor-
wärts bewegt werden soll, = p sein; die Seitenkraft a d = w bewegt
den Schwerpunkt nach vorwärts. Man beobachtet, dass beim gewöhn-
lichen Gehen der Schwerpunkt des Körpers keine erheblichen Schwan-
kungen in verticaler Richtung macht, woraus zu schliessen ist, dass
die verticale Seitenkraft a b immer dem Gewichte p gleichkommt. In
dieser Bedingung ist die Grösse der vorwärts bewegenden Kraft bei
einem bestimmten Winkel α des stemmenden Beins mit der Verticalen
unmittelbar gegeben. Man sieht, dass mit dem Winkel α die Grösse
der Stemmkraft zunehmen muss, wenn die Seitenkraft a b fortan dem
Gewicht p gleich bleiben soll, dass dann aber die vorwärts bewegende
Seitenkraft a d nothwendig ebenfalls zunimmt. Die Kraft s wirkt in
regelmässigen Pausen, die Seitenkraft a d = w würde daher, wenn
der Körper beim Gehen keinen Widerstand zu überwinden hätte, den-
selben mit beschleunigter Geschwindigkeit vorwärts bewegen. Hier
verhält sich nun der menschliche Körper beim Gehen ähnlich wie ein
[87]Zusammenwirken der Schwere mit andern bewegenden Kräften.
durch irgend eine Kraft geförderter Wagen. Der Boden setzt der Be-
wegung des Wagens einen Widerstand entgegen, welcher wächst mit
der Geschwindigkeit der Bewegung. Wie gross also auch die Kraft
sein möge, mit welcher der Wagen gefördert wird, es muss ein Punkt
kommen, wo der Widerstand des Bodens mit derselben ins Gleich-
gewicht tritt, von wo an also die Bewegung nicht mit beschleunigter
sondern mit gleichförmiger Geschwindigkeit erfolgen muss, indem nun
die in jedem Moment angewandte Kraft im Gleichgewicht steht mit
ihrem Widerstand. Bei den Ortsbewegungen des menschlichen Kör-
pers wird diese Grenze sehr schnell erreicht. Denn indem das eine
Bein durch seine Stemmkraft den Körper vorwärts bewegt, fällt das
andere Bein vor und wird auf den Boden aufgesetzt, wodurch es an
diesem sogleich einen Widerstand findet, der die ganze vom stemmen-
den Bein erzeugte Horizontalkraft aufhebt, und der die Ortsbewegung
völlig hemmen würde, wenn nicht alsbald dieses Bein selbst eine
Stemmkraft erzeugte, die dann wieder der vom ersten Bein gefundene
Widerstand aufhebt, u. s. f. Durch diese abwechselnde Wirkung der
beiden Beine ist das Gehen eine periodische Bewegung. Den-
noch nähert es sich der gleichförmigen Bewegung eines rollenden Wa-
gens oder anderer Bewegungsmechanismen, bei denen eine constant
wirkende Kraft einen ebenso constanten Widerstand zu überwinden
hat, weil die Stemmkräfte beider Beine sehr schnell sich ablösen, so
dass nur eine fast verschwindende Zwischenzeit bleibt, in welcher
keine vorwärtstreibende Kraft auf den Schwerpunkt einwirkt. Aehn-
lich wie das Rad eines Wagens vom Boden sich löst, so wird zuerst
durch eine Streckung im Kniegelenk der Oberschenkel des stemmen-
den Beins auf dem eine feste Stütze bildenden Unterschenkel und dann
durch die Streckung im Fussgelenk der Fuss allmälig vom Boden ab-
gewickelt, und indem, ebenso wie am rollenden Rad, die Loslösung
von hinten nach vorn fortschreitet, übt jeder einzelne Theil der Fuss-
sohle im Moment, in welchem er gehoben wird und den Boden zu-
rückstösst, die stemmende Kraft aus. Diese wirkt also nicht als ein
in bestimmten Perioden sich wiederholender momentaner Stoss, son-
dern als eine während der Abwickelungszeit annähernd constant blei-
bende Kraft. Wird das Bein, ähnlich wie eine Stelze, mit einem mo-
mentanen Stoss vom Boden gelöst, so wird die fortbewegende Kraft
und die Länge jedes einzelnen Schritts dadurch bedeutend verringert;
diese Bewegungsweise ist daher langsamer und erfordert eine ungleich
grössere Muskelanstrengung.

Als periodische Bewegung betrachtet, zeichnet sich die mensch-61
Anwendung
des Pendelge-
setzes auf die
Gehbewegun-
gen.
liche Ortsbewegung durch grosse Regelmässigkeit in der Aufeinander-
folge der Perioden aus. Diese Regelmässigkeit kommt hauptsächlich
dadurch zu Stande, dass die Gesetze des Pendels auf die Bewegungen
[88]Von der Schwere.
der Beine ihre Anwendung finden. Während das eine Bein sich ab-
wickelt, schwingt das andere, im Kniegelenk etwas gebeugt, nach
vorn. Nun ist jeder um eine Drehungsaxe schwingende Körper als
ein physisches Pendel anzusehen, dessen Schwingungsdauer von
seiner Länge und Massenvertheilung abhängig ist. Wir beobachten
daher beim gewöhnlichen Gehen einen Isochronismus der Schritte, der
in dem Isochronismus der Pendelschwingungen seinen Grund hat und
das gleichmässig sich wiederholende Abwickeln des stemmenden
Fusses vom Boden bedingt. Die Schwingungsdauer des einen Beins
ist beim normalen Gehen gleich der Abwickelungsdauer des andern
Beins. Im Moment, in welchem die letztere beendet ist, fällt das
erstere auf den Boden und beginnt sogleich seinerseits sich abzu-
wickeln, während gleichzeitig das andere seine Schwingung beginnt.
Die Abwickelung kann mit ziemlich verschiedener Geschwindigkeit
vor sich gehen; sie geschieht um so rascher, je schneller wir gehen
wollen. Da hingegen die Schwingungsdauer bei gegebener Länge
der pendelnden Beine sich nicht verändern kann, so kann das schwin-
gende Bein nicht immer einen vollständigen Schwingungsbogen wäh-
rend der Abwickelung zurücklegen; es wird also dann, weil Ab-
wickelung und Schwingung gleich lang dauern, der Schwingungsbogen
unterbrochen. Beim langsamen Gehen dauert die Abwickelung ent-
weder genau so lange, dass ein voller Schwingungsbogen zurückge-
legt werden kann, oder sogar noch etwas länger, so dass beide Beine
eine merkliche Zeit gleichzeitig auf dem Boden aufruhen, und in die-
sem Fall halbirt dann das von der Drehungsaxe der Schenkelköpfe
auf den Boden gefällte Loth den Winkel, den die beiden Beine,
während sie auf dem Boden aufstehen, mit einander bilden. Bei
schnellerem Gehen wird der Schwingungsbogen in seiner zweiten
Hälfte unterbrochen, es ist also nun der nach vorn vom Loth liegende
Winkel kleiner als der hintere. Beim schnellsten Gehen endlich wird
der Schwingungsbogen ziemlich genau in seiner Hälfte unterbrochen,
das Loth trifft dann mit dem Fusspunkt des vordern Beins zusammen.
Mehr als um den halben Schwingungsbogen kann das Pendeln der
Beine nicht verkürzt werden, weil beim Aufsetzen des Fusses die
Drehungsaxe unterstützt sein muss. Beim Laufen, wo die Abwickelungs-
zeit noch kürzer als die Dauer eines halben Schwingungsbogens ist,
sind daher während einer kurzen Zeit beide Beine gleichzeitig vom
Boden entfernt.

Ein weiteres Hülfsmittel, welches stets beim schnellen Gehen und
Laufen zur Anwendung kommt, besteht in der Senkung des Rumpfes.
Je niedriger die Drehungsaxe der Schenkelköpfe über dem Boden
getragen wird, um so kürzer werden die pendelnden Beine, und um
so schneller gemäss dem Pendelgesetz ihre Schwingungen. Dieses
Hülfsmittel wirkt der sonst durch die Verkürzung der Abwickelungs-
[89]Zusammenwirken der Schwere mit andern bewegenden Kräften.
zeit erzeugten Abkürzung des Schwingungsbogens entgegen; denn
wenn die Schwingung schneller erfolgt, so kann das pendelnde Bein
nun trotz der kurzen Dauer der Abwickelung doch einen grösseren
Theil seines Schwingungsbogens zurücklegen. Man beobachtet daher,
dass beim schnellen Gehen nicht nur die durch Schwingungsdauer und
Abwickelungszeit bestimmte Schrittdauer verkürzt, sondern auch
die durch die Schwingungsamplitude bestimmte Schrittlänge ver-
grössert ist, so dass die möglichst günstigen Bedingungen der raschen
Ortsbewegung immer zusammen vorkommen.

Endlich ist noch die Lage des Schwerpunktes und demnach die62
Anwendung
der Lehre vom
Schwerpunkt
auf die Gehbe-
wegungen.
dieselbe bestimmende Haltung des Rumpfes nach der Geschwindigkeit
des Gehens etwas verschieden. Der Schwerpunkt des Körpers be-
findet sich über der Drehungsaxe der Schenkelköpfe in labilem
Gleichgewicht. Der durch das stemmende Bein ihm ertheilte Stoss
würde bewirken, dass er ähnlich wie ein horizontal fortgeworfener
Körper in einem Bogen zu Boden fiele, wenn nicht das pendelnde
Bein ihn zu rechter Zeit unterstützte. Dies könnte aber um so leich-
ter eintreten, je rascher die Schwingungsdauer und die Abwickelungs-
zeit ist. Bei schnellem Gehen ist daher die grösste Sicherheit, dass
der Schwerpunkt von dem aufgesetzten Bein unterstützt werde, dann
vorhanden, wenn der Schwerpunkt, also der ganze Rumpf, möglichst
weit nach vorn geneigt wird. Der Rumpf mit seinem labilen Gleich-
gewicht verhält sich dabei ähnlich wie ein Stock, den wir vertical auf
einem Finger balanciren, während wir zugleich uns vorwärts bewegen.
Wir müssen den Stock stets nach vorn, nach der Richtung, in der er
bewegt wird, neigen, und um so mehr, je schneller er bewegt wird,
wenn er nicht rückwärts fallen soll. Die ganze Vorwärtsbewegung
des Körpers beim Gehen und Laufen kann man sich vorstellen als
eine in sehr schneller Aufeinanderfolge geschehende horizontale Wurf-
bewegung, bei der die Componente des Falls immer wieder durch die
abwechselnd den Schwerpunkt unterstützenden Beine vernichtet wird.
Da nun ferner bei dieser Bewegung, während der Rumpf nach vorwärts
geworfen wird, stets zugleich das eine Bein ebenfalls nach vorwärts
pendelt, so könnte die Bewegung nicht in vollkommen gerader Rich-
tung erfolgen, sondern, während der Rumpf um die Axe der Schen-
kelköpfe sich dreht, müsste er zugleich durch das pendelnde Bein
etwas um seine Längsaxe gedreht werden, es würden also abwech-
selnde Drehungen nach rechts und links erfolgen, wenn nicht in den
gleichzeitigen Bewegungen der Arme eine Compensationsvorrichtung
gegeben wäre. Während nämlich das Bein von hinten nach vorn
schwingt, schwingt gleichzeitig der Arm der nämlichen Seite von vorn
nach hinten und der Arm der entgegengesetzten Seite von hinten nach
vorn. Dadurch erzeugen die beiden Arme ein Drehungsmoment, wel-
[90]Von der Schwere.
ches dem Drehungsmoment des schwingenden Beins entgegenwirkt,
so dass die horizontale Vorwärtsbewegung ausschliesslich übrig bleibt.

Die Hauptgesetze für die menschliche Ortsbewegung lassen sich aus einer ein-
fachen geometrischen Betrachtung ableiten. Die Stellung der beiden Beine b f = r
und b e = l (Fig. 36) sei eine solche, dass r vollkommen vertical auf dem Boden
aufsteht, dagegen l, welches durch sein Anstemmen gegen den Boden die Fortbewe-
gung des Schwerpunktes hervorbringt, mit r einen Winkel α bildet. Die Kraft, welche
l bei einer gegebenen Grösse des Winkels α auszuüben hat, ist dadurch bestimmt,
dass nur eine horizontale Fortbewegung des Schwerpunktes stattfinden soll, dass also
die verticale Componente der von l ausgeübten Streckkraft = p (dem Körpergewicht)
sein muss. Zwischen r und l besteht, weil der Voraussetzung nach das Dreieck b f e
rechtwinklig ist, die Beziehung l2 = r2 + m2, wo m die Schrittlänge f e bezeich-
net, und wegen der Aehnlichkeit der Dreiecke b a d und b f e ist ,
woraus sich ergiebt . Diese Formel besagt zunächst, dass die Wider-
standskraft oder die ihr gleiche Kraft der horizontalen Fortbewegung zunehmen muss
mit dem Gewicht des Körpers, dass sie aber ausserdem um so grösser wird, je grösser
die Schrittlänge und je kleiner die Länge der Beine ist.

Um nun weiterhin die Beziehung der Geschwindigkeit zu den angegebenen Ele-
menten der Ortsbewegung zu finden, wollen wir annehmen, die horizontale Componente
w der Streckkraft wirke während der ganzen Abwickelungszeit des Fusses, während
deren das andere Bein in der Luft pendeln soll, gleichförmig beschleunigend, und erst im
Moment des Aufsetzens werde die erzeugte lebendige Kraft durch den Widerstand des Bo-
dens vernichtet. Der Antrieb der vorwärtsbewegenden Kraft ist dann, wenn wir wieder
mit m die Schrittlänge bezeichnen, w. m = . (Gl. 3, §. 25). Daraus folgt w m =
, und hieraus erhält man endlich , d. h. die Endge-
schwindigkeit bei jedem Schritt ist proportional der Schrittlänge und umgekehrt proportio-
nal der Quadratwurzel der Beinlänge. Die Bedingungen, die wir hier vorausgesetzt haben,
werden nun nach unsern früheren Erörterungen nahehin beim schnellsten Gehen rea-
lisirt sein, wo als Grenzfall gerade die Mitte des Schwingungsbogens durch das plötz-
liche Aufsetzen des pendelnden Beins unterbrochen wird (§. 61). Hier wächst wirk-
lich, wie man sich auch durch die Beobachtung überzeugen kann, die Geschwindigkeit
von null bis zu einem Maximum, um dann plötzlich durch das Auffallen des schwin-
genden Beines wieder auf null zu sinken. Aber auch wo die obigen Voraussetzungen
erhebliche Veränderungen erfahren, wie beim langsamen Gehen und beim Laufen, wird
offenbar die Abhängigkeit von Schritt- und Beinlänge die nämliche sein. Denn man
wird sich in einem solchen Fall die Dauer eines jeden Schritts in einzelne Perioden
zerlegt denken können, für deren jede, wenn wir mit w' die während einer sehr kur-
zen Zeit wirksame vorwärtstreibende Componente und mit m' den entsprechenden sehr
kleinen Theil der Schrittlänge bezeichnen, w'. m' = ist, wo v' die in der
betrachteten sehr kurzen Zeit erreichte Geschwindigkeit bedeutet. Um nun etwa die
mittlere Geschwindigkeit während der ganzen Schrittdauer zu finden, muss man die
einzelnen für die wechselnden Werthe von w' und m' erhaltenen Geschwindigkeiten v'
summiren und die Summe durch die Schrittdauer t dividiren. Dabei bilden die Sum-
[91]Zusammenwirken der Schwere mit andern bewegenden Kräften.
men von m' die ganze Schrittlänge m, und ebenso ist in dem für p eingesetzten Werthe
die Grösse r constant, also wird auch unter der Voraussetzung, dass w
nicht constant ist, die Abhängigkeit von r und m dieselbe bleiben. Um un-
ter dieser richtigeren Voraussetzung und für die einzelnen Fälle des langsamen
Gehens, schnellen Gehens, Laufens u. s. w. die Gesetze der Gehbewegungen abzulei-
ten, muss man den einzelnen Schritt auf ähnliche Weise in unendlich kleine Perioden
zerlegen, wie wir in §. 29 eine Schwingung zerlegt haben, und schliesslich die wäh-
rend aller dieser Perioden stattfindenden Wirkungen summiren. Das Problem der
Gehbewegungen ist daher ein complicirtes Schwingungsproblem. Die mathe-
matische Lösung der hier sich darbietenden Aufgaben liegt jedoch ausserhalb der
Grenzen unserer Darstellung, und wir verweisen in dieser Beziehung auf W. und Ed.
Weber, Mechanik der menschlichen Gehwerkzeuge, Göttingen 1836.

Die Ortsbewegungen der vierfüssigen Thiere sind im Vergleich64
Ortsbewegun-
gen der vier-
füssigen Thiere.
Flug- und
Schwimmbewe-
gungen.
zu denjenigen des Menschen erstens durch die Verdoppelung der
Stemmkräfte und zweitens durch die Lage des Schwerpunktes erleich-
tert. Dieser befindet sich nicht über einer einzigen Drehungsaxe im
labilen Gleichgewicht, sondern stabil zwischen der Drehungsaxe der
vordern und derjenigen der hintern Extremitäten. Nur beim Vogel
ist die Lage des Schwerpunktes für die Gehbewegungen noch un-
günstiger, indem derselbe wegen des relativ gewichtigeren Thorax viel
weiter oben liegt. Um so mehr kommt diese Lage des Schwerpunk-
tes bei den Flugbewegungen zu statten. Indem der Vogel fliegt,
stösst er mit beiden Flügeln die Luft zurück, und diese muss ihn da-
her nach dem Princip der Gegenwirkung mit gleicher Kraft vorwärts
stossen. Am günstigsten ist diese Wirkung in dem Moment, in wel-
chem die Flügel horizontal ausgespannt sind: der Körper des Vogels
wird dann durch die auf beide Flügel ausgeübten Parallelkräfte, deren
Resultirende gleich ihrer Summe ist und mit der Längsaxe des Vo-
gels zusammenfällt, fortgetrieben. Sind die Flügel nicht horizontal,
so bilden die auf jeden wirkenden Kräfte zwei Seiten eines Kräfte-
parallelogramms, dessen Diagonale die nach der Längsaxe des Vogels
gerichtete Resultirende ist. Auf demselben Princip beruhen die Be-
wegungen beim Schwimmen. Der Schwimmer übt gleichzeitig mit den
Armen und Füssen Stösse gegen das Wasser aus: die Gesammtkraft
in der Richtung der Längsaxe des Körpers wird hier durch die Re-
sultirenden zweier Kräfteparallelogramme gebildet, deren eines vor
dem Schwerpunkte liegt und durch den Stoss der Arme entsteht, wäh-
rend das andere, das sich hinter dem Schwerpunkt befindet, durch
den Stoss der Füsse erzeugt wird.

Aehnlich wie die Ortsbewegungen des ganzen Thierkörpers aus65
Bewegungen
der einzelnen
Scelettheile.
einem Zusammenwirken der Schwere mit andern Kräften hervorgehen,
so auch die Bewegungen der einzelnen Scelettheile gegen einander.
Das ganze Scelet besteht aus einer Anzahl einarmiger Hebel, die in
[92]Von der Schwere.
der complicirtesten Weise zusammenwirken. Der Schwerpunkt jedes
einzelnen beweglichen Scelettheils, oder, wenn noch ein äusseres Ge-
wicht an dem betreffenden Theil wirkt, der ihm und dem Gewicht ge-
meinsame Schwerpunkt, ist der Angriffspunkt der Last. Jede Inser-
tionsstelle eines Muskels ist dagegen Angriffspunkt einer Kraft. Dabei
kann übrigens den Angriffspunkten einer im gleichen Sinne wirkenden
Muskelgruppe meistens ein einziger Angriffspunkt substituirt werden.
Durchweg befindet sich der Angriffspunkt der Kraft viel näher an dem
Gelenkende, in welchem die Bewegung stattfindet, als der Angriffs-
punkt der Last. Die Theile des Scelets sind also nicht Krafthebel,
sondern Geschwindigkeitshebel. Zugleich ist die Zugrichtung der
Kräfte eine äusserst ungünstige, da die Muskeln unter sehr spitzen
Winkeln an den Knochen sich ansetzen.

Die speciellere Erörterung der Gelenkbewegungen muss, da sie sich von der
Betrachtung der einzelnen Gelenke nicht trennen lässt, der Physiologie überlassen
bleiben. S. Lehrb. der Physiologie, §. 231. Um sich die complicirten Gelenkbewe-
gungen der Scelettheile nur an einem einzigen Beispiele anschaulich zu machen, beo-
bachte man die Bewegungen der Hand beim Schreiben oder bei der Führung eines
Präparirmessers. Beim Schreiben wird die Feder zwischen den ersten Phalangen des
Daumens und Zeigefingers festgehalten und ruht auf dem Mittelfinger. Die Feder selbst
ist ein Hebel, der je nach dem geforderten Umfang der Bewegungen bald um den
weiter nach vorn liegenden Unterstützungspunkt des Zeigefingers, bald um den mehr
zurückliegenden Unterstützungspunkt des Daumens sich dreht. Die Phalangen der Fin-
ger wechseln dem entsprechend in ihren zusammengesetzten Hebelbewegungen.

Fünftes Capitel.
Vom flüssigen Aggregatzustand.

Wir haben den flüssigen Aggregatzustand als denjenigen
bezeichnet, in welchem die einzelnen Theilchen eines Körpers so ge-
ringe Anziehungskräfte auf einander ausüben, dass sie nicht fest mit
einander verbunden bleiben, sondern leicht ihre Lage wechseln. Dess-
halb ist jede Kraft, insbesondere aber auch die Schwere auf die Flüs-
sigkeiten von weit bedeutenderem Einfluss als auf die festen Körper.
Die Schwerkraft wirkt auf jedes Theilchen einer Flüssigkeit ebenso
wie auf jedes Theilchen eines festen Körpers. Aber da die Molecüle
des letzteren durch ihre gegenseitigen Anziehungskräfte festgehalten
sind, so wird durch die Anziehung der Schwerkraft die Form der fe-
sten Körper nicht merklich beeinflusst. Dagegen überwiegt die Ein-
wirkung der Schwere auf die Theilchen einer Flüssigkeit über die
gegenseitige Anziehung dieser Theilchen. Die Form einer ruhenden
[93]Vom flüssigen Aggregatzustand.
Flüssigkeit ist daher durch die Schwere bestimmt und eben desshalb
abhängig von der Form des Raumes, in welchem sich die Flüssigkeit
befindet. Indess so die Flüssigkeiten durch die Verschiebung ihrer
Theilchen gegen einander sehr leicht ihre Form verändern, besitzen
sie dagegen, wenn die Temperatur dieselbe bleibt, ein viel constante-
res Volum als die festen Körper. Während man durch Zusammen-
drückung oder Ausdehnung die Dichtigkeit eines festen Körpers nicht
unerheblich vergrössern oder vermindern kann, ist bei den Flüssig-
keiten nur eine Verminderung des Volumens, und auch diese nur in
äusserst geringem Maasse und durch Anwendung sehr bedeutender
äusserer Druckkräfte möglich. Aus diesem Grunde ist die Compressi-
bilität der Flüssigkeiten auch schwierig zu beobachten. Denn das
Gefäss, in welchem man eine Flüssigkeit zusammendrückt, giebt dem
Drucke weit mehr nach als die Flüssigkeit selber. Indem jedoch
Regnault die Compressionsversuche so anstellte, dass das Gefäss,
in welchem sich die Flüssigkeit befand, einem ebenso grossen Druck
auf ihre Aussenwand ausgesetzt wurde, als der Druck auf die in ihm
befindliche Flüssigkeit betrug, beobachtete er eine Volumverminderung,
die proportional dem Drucke zunahm. Diese Volumverminderung ist
so klein, dass für practische Zwecke die Flüssigkeiten immerhin als
incompressibel angesehen werden können. Auf das einzige sehr wirk-
same Mittel, das wir besitzen, um die Dichtigkeit der Flüssigkeiten zu
vermindern oder zu vergrössern, die Wärmezufuhr oder Wärmeentzie-
hung, werden wir in dem Abschnitte von der Wärme zurückkommen.

Die geringe Zusammendrückbarkeit der Flüssigkeiten erklärt
sich aus den geringen Anziehungskräften, welche deren Molecüle auf
einander ausüben. Bei gewöhnlichem Atmosphärendruck ist nahezu
Gleichgewicht zwischen der Anziehung und Abstossung ihrer Theilchen
vorhanden. Steigert man nun den Druck, so müssen sogleich bedeu-
tende abstossende Kräfte zwischen den Molecülen entstehen, die eine
grössere Annäherung derselben sehr schwierig machen. Vermindert
man anderseits den Druck dadurch, dass man über der Flüssigkeit
einen luftleeren Raum herstellt, so werden die Molecüle an der Ober-
fläche der Flüssigkeit von ihren Nachbartheilchen losgerissen, so dass
sie aus deren Anziehungssphäre hinausgerathen: die Flüssigkeit ver-
dampft, sie geht in den gasförmigen Aggregatzustand über.

Da jedes Theilchen einer Flüssigkeit unter dem Einfluss der auf
dasselbe ausgeübten Schweranziehung sich unabhängig bewegen kann,
bis es entweder an andern Flüssigkeitstheilchen oder an einer festen
Wand einen Widerstand findet, so ist klar, dass eine Flüssigkeit
nicht nur die Form des Gefässes annimmt, in welchem sie sich be-
findet, sondern dass auch die Oberfläche derselben horizontal, senk-
recht gegen die Richtung der Schwere ist. Jeder Punkt der freien
Oberfläche muss gleich weit von dem Erdmittelpunkt entfernt sein.
[94]Von der Schwere.
Der Spiegel des Meeres entspricht daher der Oberfläche des Erd-
ellipsoids.

Sechstes Capitel.
Druck und Gleichgewicht der Flüssigkeiten.

Isolirt muss jedes Flüssigkeitstheilchen gerade so wie ein fester
Körper gegen den Erdmittelpunkt fallen und, wenn es durch eine Un-
terlage daran gehindert ist, auf diese Unterlage einen der Grösse
seiner Masse entsprechenden Druck ausüben. Wenn sich nun eine

aus sehr vielen solcher Theilchen bestehende
Flüssigkeit in einem Gefässe A B befindet
(Fig. 37), so bildet für die oberste Flüssig-
keitsschichte a b die zweite Flüssigkeits-
schichte c d die Unterlage, die dritte Schichte
e f bildet für die beiden Schichten a b und
c d die Unterlage u. s. f., bis endlich auf
der untersten Schichte m n die ganze Masse
von a b bis m n ruht, und diese Masse ein-
schliesslich der Schichte m n selbst ruht zuletzt auf dem Boden o p
des Gefässes. Dieser erfährt also einen Druck, der dem Gewicht
der ganzen Flüssigkeit a b m n gleich ist. Ebenso erfährt aber irgend
eine Schichte i k der Flüssigkeit selber einen Druck, welcher dem
Gewicht der über ihr stehenden Flüssigkeitsmasse a b i k gleich ist.
Jrgend ein kleines Stück x y des Bodens wird dagegen nur durch
die Flüssigkeitssäule h l x y, und ein Stück r s der Schichte i k
durch die Flüssigkeitssäule h l r s belastet. Die Pressung, die ein
beliebiges Theilchen innerhalb einer Flüssigkeit erfährt, ist einfach
gleich dem Gewicht aller der Flüssigkeitstheilchen, die auf ihr liegen.
Nun haben wir aber gesehen, dass jedes Theilchen innerhalb einer
Flüssigkeit durch die geringsten äusseren Kräfte nach jeder Richtung
verschiebbar ist. Das Theilchen r würde z. B. in Folge des Drucks,
den die Flüssigkeitssäule r h auf dasselbe ausübt, ebenso gut in der
Richtung r x als in der Richtung r k oder r i ausweichen, wenn es
nicht durch die ringsum gelagerten andern Theilchen daran gehindert
würde. Da es nun nicht ausweichen kann, so übt es auf die sämmt-
lichen unten und zur Seite gelagerten Theilchen einen Druck aus, der
dem Gewicht der Säule h r entspricht. Auch irgend ein Punkt α der
Seitenwand des Gefässes erfährt also einen Druck, welcher der Höhe
a α entspricht, und eine grössere Fläche α β dieser Wand erfährt ei-
nen Druck, der dem Druck der sämmtlichen an α β stossenden Theil-
chen entspricht, der also durch das Gewicht einer Flüssigkeitssäule
gemessen wird, welche das Flächenstück α β zu ihrer Basis und die
von der Mitte γ dieses Flächenstücks an bis zur Oberfläche der Flüs-
[95]Druck und Gleichgewicht der Flüssigkeiten.
sigkeit gemessene Entfernung a γ zu ihrer Höhe hat. Ganz ebenso
verhält sich natürlich irgend ein Theil der Flüssigkeit, den man sich
auf einer verticalen Durchschnittsfläche liegend denkt. Nehmen wir
nun an, das Gefäss A B sei vollständig mit Flüssigkeit angefüllt und
zugleich überall hermetisch verschlossen, ausgenommen an der Stelle

h l (Fig. 38): hier soll sich eine Oeff-
nung und in dieser ein Kolben K be-
finden. Wenn auf den Kolben ein
Druck ausgeübt wird, so muss die
Wirkung desselben die nämliche sein,
als wenn sich über h l noch einmal
eine Flüssigkeitssäule befände, deren
Gewicht der Grösse des Drucks gleich
ist. Ist die Grösse des Drucks gleich
P, so hat jede unterhalb h l befind-
liche und demselben gleiche Fläche,
z. B. r s oder x y, ausser dem Gewicht der darüber stehenden
Flüssigkeit noch einen Druck gleich P auszuhalten. Da aber der Druck
in der Flüssigkeit nach allen Richtungen sich gleichmässig fortpflanzt,
so wird jeder Theil der Flüssigkeit oder der Gefässwand, welche Lage
er auch haben mag, sobald er ebenso gross wie h l ist, ebenfalls un-
ter dem Druck P stehen. So werden also z. B. die zwei neben ein-
ander befindlichen Flächenstücke x y und y z jedes den Druck P, beide
zusammen also den Druck 2 P erfahren. Aehnlich wird ein beliebiger
anderer Theil der Flüssigkeit oder der Gefässwand einen Druck er-
fahren, der sich zur Kraft P verhält wie die Grösse des betrachteten
Flächenstücks zur Grösse der Fläche h l, auf welche die Kraft P ein-
wirkt. Hierdurch ist offenbar die Möglichkeit dargeboten, mit verhält-
mässig kleinen Kräften grosse Wirkungen auszuüben. Bringen wir
z. B. bei α β einen zweiten Kolben K' an, der sich hier in einer dop-
pelt so weiten Röhre bewegt, so werden wir, sobald wir auf den Kol-
ben K die Kraft P wirken lassen, mittelst des Kolbens K' eine Kraft
2 P ausüben können; mit dem Kolben K' kann man also ausserhalb
des Gefässes eine doppelt so grosse Arbeit leisten, als man zur Be-
wegung des Kolbens K brauchte; man kann z. B. ein Gewicht 2 P
weiterfördern, einen Druck 2 P auf einen Körper ausüben u. s. w.
Auf diesem Princip beruht die hydraulische Presse. Die in Fig. 38
gezeichnete Vorrichtung selbst ist eine einfache hydraulische Presse.
Wenn wir dem Kolben α β einen hundertmal grösseren Durchmesser
geben als dem Kolben h l, so vermögen wir die hundertfache Kraft zu
erzeugen, und es erhellt somit, wie durch Vorrichtungen dieser Art
mittelst sehr mässiger Kräfte sehr bedeutende Wirkungen erzielt wer-
den können. Es handelt sich aber in diesen Fällen, wie man leicht
sieht, keineswegs um ein wirkliches Erzeugen von Kraft, was unmög-
[96]Von der Schwere.
lich ist, sondern, ähnlich wie beim Krafthebel, um eine Umwandlung
von Geschwindigkeiten in Druckkräfte. Wenn der Kolben α β einen
doppelt so grossen Durchmesser hat als der Kolben h l, so bewegt
er sich auch doppelt so langsam als jener, da die doppelte Flüssig-
keitsmenge in ihm Platz hat. Wie am Hebel, so kann man also
auch hier nur Kraft durch Geschwindigkeit oder Geschwindigkeit durch
Kraft ersetzen.

Aus der Thatsache, dass der Druck in einer Flüssigkeit sich
gleichmässig nach allen Richtungen fortpflanzt, ergeben sich alle Er-
scheinungen, welche ruhende Flüssigkeiten in Bezug auf ihre Druck-
und Gleichgewichtsverhältnisse darbieten. So ist es nach dem Obigen
selbstverständlich, dass der Druck, den eine Flüssigkeit durch ihre
Schwere auf den Boden des Gefässes, in welchem sie sich befindet,
ausübt, nur von der Grösse der Bodenfläche und von der Höhe der
Flüssigkeit abhängt, dass er aber ganz unabhängig ist von der sonsti-
gen Gestalt des Gefässes. In den Gefässen A und B (Fig. 39) ist

z. B. der Druck auf den Boden
c d gleich gross. Denn ist auch
in A der Spiegel der Flüssigkeit
nur halb so gross als in B, so
muss doch das Gewicht a b.
a h der Flüssigkeitssäule den dop-
pelten Druck ausüben, wenn es auf
einer Fläche c d, die doppelt so
gross als a b ist, lastet. Aus dem-
selben Grund muss eine Flüssigkeit, die sich in zwei mit ein-
ander communicirenden Gefässen befindet, in beiden Gefässen
gleich hoch stehen, welches auch der Durchmesser oder die son-
stige Gestalt der Gefässe sein möge. Denn da in jedem belie-
bigen Querschnitt der Flüssigkeit die Grösse des Drucks nur ab-
hängig ist von der Höhe der darüber stehenden Flüssigkeitssäule,
so muss offenbar eine in dem Communicationsrohr zwischen beiden
Gefässen A und B (Fig. 40) befindliche Flüssigkeitsschicht a dann im

Gleichgewieht sein, wenn auf beiden
Seiten die Flüssigkeiten gleich hoch
stehen. Giesst man Flüssigkeiten von
verschiedener Dichtigkeit in beide Ge-
fässe, z. B. in das eine Wasser, in das
andere Quecksilber, so verhalten sich
die Höhen umgekehrt wie die Dich-
tigkeiten. Man kann daher communi-
cirende Gefässe zur Vergleichung der
Dichtigkeit verschiedener Flüssigkeiten anwenden, vorausgesetzt dass
[97]Druck und Gleichgewicht der Flüssigkeiten.
dieselben nicht mischbar sind. Was von zwei communicirenden Ge-
fässen gilt, das gilt auch von einem System, welches aus einer grös-
seren Zahl solcher Gefässe besteht, und das behält endlich seine Gül-
tigkeit, wenn es sich nicht bloss um den Druck der eigenen Schwere
der Flüssigkeit handelt, sondern wenn dieselbe überdies in dem einen
oder dem andern Gefäss noch unter einem äussern Drucke steht. Ein
derartiges System zahlreicher communicirender Gefässe ist z. B. das
thierische Gefässsystem. Fortwährend werden in demselben durch die
Action des Herzens Druckunterschiede erzeugt, eine Druckzunahme in
den Arterien durch deren Anfüllung, eine Druckabnahme in den Venen
durch deren Entleerung. Wie in jedem System communicirender Ge-
fässe, so muss auch hier der Druck fortwährend sich ausgleichen. Die
Kraft, welche die Blutbewegung zu Stande bringt, besteht in einer
Störung des hydrostatischen Gleichgewichts, die Blutbewegung selbst
ist eine fortwährende Wiederherstellung dieses Gleichgewichts.

Wie die Theilchen einer Flüssigkeit gegen einander oder gegen69
Gewichtsverlust
fester Körper
in Flüssigkei-
ten. Archime-
disches Princip.
die Wände des Gefässes, in welchem sie sich befinden, einen dem
Druck, unter dem sie selbst stehen, gleichen Druck ausüben, so ver-
halten sie sich auch gegen einen festen Körper, der in die Flüssigkeit
getaucht wird. Den Druck, welcher jeder Punkt des Körpers durch
die Schwere der Flüssigkeit erfährt, ist bloss abhängig von der Höhe
der Flüssigkeitssäule, die über ihm steht. So erfährt also die obere
Fläche des Körpers a b c d (Fig. 41) einen Druck, welcher gleich ist

der Flüssigkeitssäule a e f b, die untere Flä-
che c d erfährt einen Druck, der einer Flüs-
sigkeitssäule c e f d gleichkommt. Ebenso
steht irgend ein Punkt der seitlichen Ober-
fläche, g oder h, unter einem Druck, welcher
der Höhe g e oder h f entspricht. Dabei ist
aber der Druck g e von g nach h und der
Druck h f von h nach g gerichtet. Die sämmt-
lichen seitlichen Druckkräfte heben sich da-
her auf, und es bleibt nur der Druck auf die obere Fläche a b und
auf die untere Fläche c d übrig. Der Körper wird also nach aufwärts
getrieben mit einer Kraft, die dem Unterschied der auf seiner untern
und oberen Fläche lastenden Druckkräfte gleich ist. Diese Kraft wirkt
der eigenen Schwere des Körpers entgegen, sie vermindert das Ge-
wicht desselben genau um das Gewicht einer dem Körper a b c d selbst
gleichen Flüssigkeitsmasse. Es ergiebt sich hieraus das allgemeine
Gesetz, dass jeder in eine Flüssigkeit getauchte Körper
ebenso viel an Gewicht verliert, als das Gewicht der Flüs-
sigkeit beträgt, das er verdrängt. Man bezeichnet dieses Ge-
setz nach seinem Entdecker als das Princip des Archimedes.

Das Archimedische Princip dient zur Bestimmung der relati-
ven Masse der festen Körper. Die Masse eines Körpers wird,
wie wir in §. 52 gesehen haben, durch die Grösse der Anzie-
hung, welche er durch die Schwere erfährt, also durch sein Gewicht,
gemessen. Die relativen Massen zweier Körper sind nun dieje-
nigen Schweranziehungen, die gleiche Volumina derselben erfahren,
und wir haben demnach die relativen Massen aller Körper ermittelt,
wenn wir die Gewichte gleicher Volumina derselben kennen. Zu die-
sem Zweck muss man aber die Masse eines bestimmten Körpers zur
Einheit wählen, und man hat hierfür das Wasser im Zustand seiner
grössten Dichte, die es bei 4°C. besitzt, angenommen. Das Verhältniss
des Gewichts eines Körpers zum Gewicht einer ihm an Volum gleichen
Wassermenge von 4°C. nennt man das specifische Gewicht
des Körpers. Die specifischen Gewichte aller Körper sind demnach
zu finden, wenn man zuerst das absolute Gewicht P eines jeden Kör-
pers und hierauf das Gewicht V einer ihm an Volum gleichen Wasser-
masse ermittelt. Das specifische Gewicht S ist dann offenbar gleich
dem Quotienten . Ausserdem erfährt man auf diesem Wege zu-
gleich das Volum des betreffenden Körpers. Denn da, nach dem in
der Wissenschaft gebräuchlichen franz. Maasssystem die Volumeinheit
Wasser gleich der Gewichtseinheit, 1 Cubikcentimeter = 1 Gramm
ist, so ist die Grösse V oder P. S gleich dem Volum des Körpers.

Es ist nun leicht ersichtlich, wie das Archimedische Princip un-
mittelbar zur Bestimmung des Quotienten führt. Man wägt den
Körper zuerst in der Luft und wägt ihn dann zum zweiten Mal,
während er sich unter Wasser befindet. Die erste Wägung giebt
sein eigenes Gewicht P, die zweite Wägung giebt das Gewicht
V der von ihm verdrängten, ihm also an Volum gleichen Wassermasse.
Man benützt zu diesen Bestimmungen gewöhnlich die sogenannte hy-
drostatische Waage, die sich von einer andern Waage nur dadurch
unterscheidet, dass die eine Waagschale etwas höher hängt und an
ihrer untern Fläche ein Häkchen besitzt, an welches der zu untersu-
chende feste Körper mittelst eines feinen Drahts befestigt werden
kann, um ihn, während er in ein Wassergefäss taucht, abzuwägen.
Statt dessen kann man auch eine gewöhnliche Waage benützen und
so verfahren, dass der Körper in ein mit Wasser gefülltes Gläschen
gebracht und mit diesem gewogen wird; bei dieser Methode, welche
das Archimedische Princip nicht zur Anwendung bringt, sind aber dann
drei Wägungen erforderlich: erstens die Wägung des Körpers für
sich, zweitens diejenige des Gläschens, während es ganz mit Wasser
gefüllt ist, und drittens diejenige des Gläschens, während durch den
hineingebrachten Körper ein ihm gleiches Volum Wasser ersetzt ist.

Die Bestimmung des specifischen Gewichts der Flüssigkeiten
mittelst der sogenannten Aräometer stützt sich gleichfalls auf das
Archimedische Princip. Das gewöhnliche Aräometer ist eine auf beiden
Seiten geschlossene Glasröhre, die an ihrem untern Ende zu einer kleinen
mit etwas Quecksilber gefüllten Kugel erweitert ist. Diese Glasröhre
sinkt in einer Flüssigkeit so weit unter, dass der eingetauchte Theil
derselben dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit gleich ist. In
Flüssigkeiten von grösserer Dichte sinkt daher das Aräometer weni-
ger tief ein als in solchen von geringerer Dichte. Gewöhnlich werden
die Aräometer empirisch graduirt, und sie bieten dann ein sehr be-
quemes und schnelles Hülfsmittel zur Bestimmung der specifischen
Gewichte der Flüssigkeiten. Uebrigens können die letzteren auch so
ermittelt werden, dass man ein Gläschen zuerst gefüllt mit Wasser
und dann gefüllt mit der zu untersuchenden Flüssigkeit abwägt; die
letztere Methode ist namentlich wo es auf grössere Genauigkeit an-
kommt vorzuziehen.

Die Bestimmung der specifischen Gewichte der Flüssigkeiten hat in der Medicin
hauptsächlich zu dem Zweck den ungefähren Wassergehalt thierischer Flüssigkeiten, z. B.
der Milch, des Urins, kennen zu lernen Anwendung gefunden. Es genügt in diesen
Fällen meistens die Anwendung des Aräometers. Je höher der dem destillirten Was-
ser entsprechende Nullpunkt des Aräometers über dem Spiegel der Flüssigkeit steht,
um so geringer ist der Wassergehalt derselben. Für die wichtigeren thierischen Flüs-
sigkeiten hat man den Wassergehalt, der den einzelnen specifischen Gewichten ent-
spricht, ein für allemal empirisch zu bestimmen gesucht. Solche Bestimmungen müs-
sen selbstverständlich höchst trügliche sein, da das specifische Gewicht nicht bloss
vom Wassergehalt sondern auch von dem gerade beim Harn und der Milch sehr wech-
selnden Mengenverhältniss der festen Bestandtheile abhängt, und also beim selben
spec. Gewicht der Wassergehalt immer noch ein ziemlich verschiedener sein kann. Ein
Blick auf die von mehreren Chemikern entworfenen Tabellen über die Beziehung
zwischen spec. Gewicht und Wassergehalt einzelner thierischer Flüssigkeiten zeigt
denn auch so beträchtliche Abweichungen, dass man sicherlich besser thut sich des
Aräometers lediglich als eines ungefähren Maasses für den Wassergehalt zu bedienen
und auf den Versuch, nach solchen Tabellen das spec. Gewicht in irgend eine Zahl
für den procentischen Wassergehalt zu übersetzen, lieber verzichtet.

Wo es sich um exactere specifische Gewichtsbestimmungen handelt, ist gleich-
zeitig die Temperatur in Rücksicht zu ziehen, und muss mittelst der bekannten Aus-
dehnung, die das Wasser, der feste Körper und das Glas, in welchem man die
Wägungen vornimmt, erfahren, das Resultat so berechnet werden, dass es für die
Temperatur von 4°C., bei welcher das Wasser seine grösste Dichtigkeit hat, gültig
ist (vergl. Abschn. V, Cap. 1). Endlich kann sogar der Einfluss des Barometerstandes
berücksichtigt werden, indem man den Gewichtsverlust, welchen der betreffende Kör-
per bei seiner Abwägung in der Luft erfährt, in ähnlicher Weise wie den Gewichts-
verlust in Wasser bestimmt. Siehe hierüber §. 94.

Da eine Flüssigkeit auf einen festen Körper, der in sie einge-71
Schwimmende
Körper.
taucht ist, einen der Schwere entgegengesetzten Druck ausübt, wel-
7 *
[100]Von der Schwere.
cher dem Gewicht des verdrängten Wassers gleichkommt, so ist
klar, dass, wenn ein Körper innerhalb einer Flüssigkeit fällt, die
Geschwindigkeit seines Falls eine gleichförmige Verlangsamung er-
fahren muss. Hat der Körper dieselbe Dichtigkeit wie die Flüs-
sigkeit, so wird derselbe in Ruhe kommen, sobald die Beschleu-
nigung, die er zuvor beim Fall in der Luft erfahren hat, voll-
ständig aufgehoben ist. Tauchen wir denselben sogleich in die
Flüssigkeit ein, so wird er innerhalb derselben an jeder Stelle im
Gleichgewicht bleiben: er wird sich nicht anders verhalten, als sich
dasjenige Volum der Flüssigkeit verhalten würde, welches er verdrängt
hat. Ist dagegen der Körper von grösserer Dichtigkeit als die Flüs-
sigkeit, so wird seine Schwere immer über den nach aufwärts gerich-
teten Flüssigkeitsdruck überwiegen, er wird also in der Flüssigkeit
zu Boden sinken. Nun ist aber ausserdem noch der dritte Fall mög-
lich, dass der Körper eine geringere Dichtigkeit besitzt als die
Flüssigkeit. In diesem Fall wird der nach aufwärts gerichtete Flüs-
sigkeitsdruck über die Schwere des eingetauchten Körpers um ebenso
viel überwiegen, als das Gewicht des verdrängten Wassers das Ge-
wicht des Körpers übertrifft. Dieser wird also über den Spiegel der
Flüssigkeit emporgetrieben werden. In dem Maasse aber als dies ge-
schieht nimmt auch der von unten auf ihn wirkende Flüssigkeitsdruck
ab, und es wird daher ein Punkt kommen, wo der Druck der Schwere
des Körpers gleich geworden ist, und in dieser Gleichgewichtslage
muss der Körper in der Flüssigkeit schwimmen. Der schwimmende
Körper verdrängt also eine Flüssigkeitsmenge, deren Gewicht seinem
eigenen Gewicht gleich ist, und hierdurch wird die Tiefe bestimmt,
bis zu welcher der schwimmende Körper in die Flüssigkeit einsinkt.

Ein Körper, der in einer Flüssigkeit schwimmt, verhält sich ähn-
lich wie ein solcher, der durch eine Unterlage am Fallen gehindert
ist. Der von unten nach oben wirkende Flüssigkeitsdruck, der
hier gleichsam die Unterlage bildet, kann als zusammengesetzt aus
einer Summe paralleler Kräfte, die auf die untere Fläche des Körpers
einwirken, betrachtet werden. Die Resultirende dieser Parallelkräfte
hat ihren Angriffspunkt in dem Schwerpunkt der verdrängten Flüssig-
keitsmasse, denn dies ist der Punkt, um welchen das Drehungsbe-
streben der von allen Seiten einwirkenden Druckkräfte der Flüssigkeit
im Gleichgewicht steht. Wir können desshalb die Sache so ansehen,
als wenn der schwimmende Körper in diesem einzigen Punkt unter-
stützt wäre. Ein schwimmender Körper kann nun, wie jeder unter-
stützte Körper, nur dann im Gleichgewicht sich befinden, wenn sein
Schwerpunkt und der Unterstützungspunkt, der in diesem Fall also
der Schwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit ist, sich in einer und
derselben Verticallinie befinden. Wie ferner jeder unterstützte Körper
je nach der Lage seines Schwerpunkts zum Unterstützungspunkt ent-
[101]Molecularwirkungen flüssiger Körper.
weder im indifferenten oder im labilen oder im stabilen Gleichgewicht
sein kann, so auch der schwimmende Körper. Am wichtigsten sind
hier insbesondere diejenigen Fälle, wo der Schwerpunkt über oder
unter dem Unterstützungspunkt sich befindet, wo also labiles oder
stabiles Gleichgewicht vorhanden ist. Das labile Gleichgewicht geht,
wenn es gestört wird, in das stabile Gleichgewicht über, indem der
Körper um 180 Grade gedreht wird. In das stabile Gleichgewicht
kehrt dagegen der Körper nach jeder Störung wieder zurück. Ein
Körper schwimmt daher allein dann gegen bleibende Aenderungen
seiner Lage gesichert, wenn er sich im stabilen Gleichgewicht befin-
det, d. h. wenn sein eigener Schwerpunkt unter dem Schwerpunkt
der von ihm verdrängten Flüssigkeit liegt. Die Schiffe, bei denen
die Sicherheit gegen augenblickliche Gleichgewichtsstörungen das we-
sentlichste Erforderniss bildet, müssen daher stets nach diesem Prin-
cip gebaut sein, und die Bewegung derselben ist um so sicherer, je tiefer
sich ihr Schwerpunkt unter dem Schwerpunkt der verdrängten Flüssig-
keit befindet. Dagegen zeigen die schwimmenden thierischen Wesen,
deren Bewegung im Wasser auf dieselben Principien wie die Bewe-
gung der Schiffe sich stützt, in statischer Beziehung die bemerkens-
werthe Abweichung, dass ihr Schwerpunkt sich über dem Unter-
stützungspunkt befindet, dass sie also nur ein labiles Gleichgewicht
besitzen. Der Nachtheil, den dies haben könnte, wird zwar durch die
Anstrengung der Muskeln, die jeden Augenblick das Gleichgewicht
herstellt, ausgeglichen. Dennoch ist es fühlbar, dass bei der Rücken-
lage der Schwimmende sicherer vom Wasser getragen wird.

Ein Körper, dessen specifisches Gewicht demjenigen des Wassers
ziemlich nahe kommt, zugleich aber dadurch etwas veränderlich ist,
dass der Körper bei gleich bleibendem absolutem Gewicht sein Volum
vermindern oder vergrössern kann, besitzt die Eigenschaft abwech-
selnd im Wasser unterzusinken oder emporzutauchen. Solche Körper
sind die Fische. Will der Fisch gegen die Oberfläche auftauchen,
so lässt er die Muskeln der Schwimmblase erschlaffen, diese dehnt
sich daher aus und vergrössert das Körpervolum. Will der Fisch in
die Tiefe sinken, so comprimirt er die Schwimmblase. Da zugleich
mit der Tiefe der auf der Blase ruhende Wasserdruck zunimmt, so
unterstützen die Veränderungen des Drucks dieses Auf- und Absteigen.
Doch ist hierdurch zugleich der Abwärtsbewegung eine gewisse Grenze
gesetzt, über die hinaus der Druck eine Wiedererschlaffung der Blase
und daher auch eine Rückkehr zur Oberfläche unmöglich macht.

Siebentes Capitel.
Molecularwirkungen flüssiger Körper.

Bei den bisher betrachteten Wirkungen der Schwere auf Flüssig-72
Oberflächen-
spannung der
Flüssigkeiten.
[102]Von der Schwere.
keiten kam die gegenseitige Wirkung der Flüssigkeitstheilchen auf
einander gar nicht in Rücksicht. Im Innern einer Flüssigkeit wirken
auf jedes Theilchen von allen Seiten Anziehungskräfte der Nachbar-
theilchen. Da aber diese Anziehungskräfte sämmtlich von gleicher
Grösse sind, so verhalten sich die im Innern einer Flüssigkeit befind-
lichen Theilchen gerade so, als wenn sie gar keine Wirkungen auf
einander ausübten. Dies ist anders mit denjenigen Theilchen, die sich
auf der Oberfläche der Flüssigkeit befinden. Diese sind mit ihrer
Oberflächenseite keinerlei gegenseitigen Anziehungen ausgesetzt, wäh-
rend auf die dem Innern der Flüssigkeit zugekehrte Seite die An-
ziehungen der darunter befindlichen Flüssigkeitsschichte wirken.
Die ganze freie Oberfläche einer Flüssigkeit erfährt also einen
gegen das Innere gerichteten Zug, den man als Oberflächen-
spannung bezeichnet. Ein bekanntes Phänomen, das auf die-
ser Oberflächenspannung beruht, ist die Ansammlung von Luftblasen
unmittelbar unter der Oberflächenschichte von Flüssigkeiten. Die Luft,
die zu entweichen strebt, wird hier durch den in entgegengesetzter
Richtung wirkenden Druck der Oberflächenspannung zurückgehalten.

Eine fernere Modification erfährt die Wirkung der Schwere auf
Flüssigkeiten in Folge der Erscheinungen, welche bei der Berührung
von Flüssigkeiten mit festen Körpern oder verschiedener Flüssigkeiten
mit einander eintreten.

Alle festen Körper ohne Ausnahme üben auf Flüssigkeiten eine
Anziehung aus, deren Grösse gleichzeitig von der Natur der Flüssig-
keit und des mit ihr in Wechselwirkung tretenden festen Körpers be-
dingt ist. Es zeigen sich in dieser Beziehung namentlich zwei Haupt-
unterschiede. Die Anziehungskraft des festen Körpers auf die Flüssig-
keit ist nämlich entweder grösser oder kleiner als die Anziehungs-
kraft der Flüssigkeitstheilchen unter einander; im ersten Fall wird
der feste Körper benetzt, im zweiten Fall wird er nicht benetzt
von der Flüssigkeit. So ist z. B. die Anziehung, welche Holz oder
Glas auf Wasser ausübt, grösser als die gegenseitige Anziehung der
Wassertheilchen. Wenn man einen Glasstab in Wasser taucht und
dann daraus emporhebt, so bleiben Wassertropfen an demselben haf-
ten: die anziehende Wirkung des Glases überwiegt also in diesem
Fall nicht bloss die gegenseitige Anziehung der Wassertheilchen, son-
dern auch die Wirkung der Schwere auf die adhärirenden Tropfen.
Quecksilber bleibt an Holz oder Glas nicht haften, adhärirt dagegen
an einem Kupfer- oder Goldstab.

Das verschiedene Verhältniss der Cohäsion der Flüssigkeitstheil-
chen zu der Adhäsion derselben an festen Körpern bedingt bemerkens-
werthe Abweichungen von dem Gesetz des horizontalen Niveaus der
Flüssigkeiten. Eine in einem Gefäss befindliche Flüssigkeit wird an
[103]Molecularwirkungen flüssiger Körper.
den Stellen, wo sie die Gefässwandung berührt, nur in den seltenen
Fällen vollkommen horizontal sein können, in welchen die Adhäsion
an der Wandung der Cohäsion der Flüssigkeit vollkommen gleich ist.
Wenn dagegen die Adhäsion grösser ist als die Cohäsion, so wird
die Flüssigkeit an der Wandung in die Höhe gezogen und bildet so-
mit da wo sie die Wandung berührt nicht einen horizontalen sondern
einen concaven Spiegel (Fig. 42 A). Wenn umgekehrt die Cohäsion

grösser als die Adhäsion ist, so wird die Flüs-
sigkeit von der Wandung abgezogen und bildet
daher an den Berührungsstellen mit der letzteren
einen convexen Spiegel (B). Ein Beispiel für
den ersten Fall ist das Wasser, ein Beispiel für
den zweiten Fall das Quecksilber, wenn beide
Flüssigkeiten in einem Glas- oder Holzgefässe
sich befinden.

Diese Abweichungen des Niveaus von der horizontalen Oberfläche
an den Berührungsstellen mit der Wandung verursachen im Verein
mit der im vorigen §. erörterten Oberflächenspannung, sobald die ge-
genüberstehenden Wandungen sich sehr nahe kommen, eine augenfällige
Abweichung von dem Gesetz der Gleichheit der Flüssigkeitshöhe in
communicirenden Gefässen. Es ist nämlich klar, dass die Oberflächen-
spannung in einem engen Gefäss verschieden sein muss, je nachdem
der Spiegel der Flüssigkeit horizontal, concav oder convex ist. Eine
concave Oberfläche, wie in A (Fig. 43), muss eine kleinere Oberflä-

chenspannung als eine horizontale Oberfläche besitzen. Die an der
Wand der Capillarröhre a emporgezogenen Theilchen üben in diesem
Fall auf die unter ihnen befindlichen Flüssigkeitstheilchen eine der
anziehenden Kraft der unter dem Spiegel der Flüssigkeit gelegenen
Theilchen entgegen gerichtete Wirkung aus. Jene abwärts ziehende
Kraft, auf welcher die Oberflächenspannung beruht, ist also in diesem
Fall nicht so gross, als wenn die Oberfläche horizontal wäre. Eine
convexe Oberfläche, wie in B, besitzt dagegen eine grössere Spannung.
Denn hier unterstützen die seitlich auf der convexen Oberfläche in c
befindlichen Theilchen die nach abwärts gerichtete Kraftwirkung. In
den weiten Gefässen b und d fällt diese Abweichung nicht in Rück-
[104]Von der Schwere.
sicht, weil hier bei weitem der grösste Theil der Oberfläche horizon-
tal ist. In den Capillarröhren a und c dagegen muss, da in diesen
die Wandschichte der Flüssigkeit einen grossen Theil der gan-
zen Oberfläche bildet, auch die Spannung der ganzen Oberfläche hier-
durch beträchtlich verändert werden. Es muss also die Oberflächen-
spannung in a kleiner als in b, in c muss sie grösser als in d sein.
Diese Unterschiede der Oberflächenspannung wirken der Gleichheit
des Drucks, welche vermöge der Schwere zwischen dem engen und
dem weiten Gefäss vorhanden wäre, entgegen. In der Capillarröhre
a, in welcher der Druck durch die geringere Oberflächenspannung
vermindert ist, steht also die Flüssigkeit höher als in c, in der Ca-
pillarröhre b, in welcher der Druck durch die grössere Oberflächen-
spannung vergrössert ist, steht die Flüssigkeit tiefer als in d. So
zeigt z. B. Wasser in einer Capillarröhre aus Glas das in A darge-
stellte, Quecksilber das in B dargestellte Verhalten. Die ähnliche Er-
scheinung beobachtet man, wenn man in eine Flüssigkeit zwei Platten
bringt, die sich in sehr geringer Entfernung von einander befinden.
Benetzt die Flüssigkeit die Substanz der Platten, so steigt sie
zwischen denselben in die Höhe, ist dagegen die Cohäsion der Flüs-
sigkeit grösser als die Adhäsion an den Platten, so steht sie zwi-
schen denselben unter der Höhe des Niveaus der äusseren Flüssigkeit.
Für die nämliche Flüssigkeit und die nämliche feste Substanz ist der
Höhenunterschied zwischen der einer Capillarwirkung unterworfenen
und der bloss unter dem Einfluss der Schwere stehenden Flüssigkeit
umgekehrt proportional dem Abstand der Platten oder bei der Anwen-
dung cylindrischer Capillarröhren umgekehrt proportional dem Halb-
messer der letzteren.

Wir haben die Erscheinungen der Capillarwirkung zurückgeführt
auf das Verhältniss der Adhäsion zwischen festen Körpern und
Flüssigkeiten zu der Cohäsion der Flüssigkeitstheilchen. Es kann
nun aber ferner vorkommen, dass die Anziehungskräfte, welche eine
Flüssigkeit auf einen festen Körper ausübt, über die Cohäsion des
festen Körpers selbst überwiegen. Dieser Fall ist es, welcher
die Auflösung fester Körper in Flüssigkeiten bedingt. In einer Lö-
sung sind die Molecüle des gelösten Körpers umgeben von den Mole-
cülen der lösenden Flüssigkeit, und das Ganze ist daher in den flüs-
sigen Aggregatzustand übergegangen. Nachdem eine Flüssigkeit eine
bestimmte Menge von Molecülen eines festen Körpers aufgenommen
hat, tritt Gleichgewicht zwischen den festen und flüssigen Molecülen
ein, und es können nun weitere Mengen des festen Körpers nicht mehr
gelöst werden. Man bezeichnet diese Grenze als die Sättigungs-
capacität. Jede Flüssigkeit bedarf im Allgemeinen verschiedener
Mengen von den in ihr löslichen festen Körpern zu ihrer Sättigung. Zu-
[105]Molecularwirkungen flüssiger Körper.
gleich ist die Sättigungscapacität in einer übrigens nicht constanten
Weise abhängig von der Temperatur. In der Regel nimmt sie mit
steigender Temperatur zu, bei einigen Stoffen aber von einer gewissen
Temperaturgrenze an wieder ab. Wir werden hierauf in der Lehre
von der Wärme zurückkommen (vgl. Abschn. V, Cap. 2).

Die Auflösung grenzt am nächsten an die chemische Verbindung
der Körper. Sie unterscheidet sich von dieser dadurch, dass sie nicht
nach festen regelmässigen Zahlenverhältnissen geschieht. Sie hat da-
gegen dies mit der chemischen Verbindung gemein, dass das Volumen
der Lösung nicht gleich ist dem Volumen der Flüssigkeit und des
festen Körpers, woraus sie hervorgieng, sondern dass sie fast regel-
mässig kleiner ist, und dass daher das specifische Gewicht eine
verhältnissmässige Vergrösserung erfährt. Die festen und flüssigen
Molecüle müssen also unter dem Einfluss der zwischen ihnen statt-
findenden Anziehungskräfte jedenfalls in eine innigere Berührung tre-
ten, als sie zwischen den Theilchen der ursprünglichen Flüssigkeit
besteht. Hieraus darf man schliessen, dass die Anziehungskraft zwi-
schen der Flüssigkeit und dem festen Körper nicht bloss über die
Cohäsion des letzteren sondern auch über die Cohasion der Flüssigkeit
selbst überwiegt.

Bei gewissen festen Körpern, die namentlich der organischen
Natur angehören, ist die Anziehungskraft gegen bestimmte Flüssigkei-
ten nicht so gross, dass dadurch vollständig die Cohäsion des festen
Körpers aufgehoben würde und dieser in den flüssigen Aggregatzu-
stand übergienge, sondern entweder nimmt der feste Körper von der
ihn berührenden Flüssigkeit in die Zwischenräume seiner Molecüle
auf, es tritt Quellung ein, oder es trennt sich der feste Körper in
einzelne gröbere Theilchen, die sich in der Flüssigkeit verbreiten;
letzteres wird als unvollkommene Lösung bezeichnet. Die un-
vollkommene Lösung kann hiernach als ein Gemenge kleiner, in Was-
ser gequollener fester Körper mit reinem Wasser betrachtet werden.
Alle organischen Gewebe, mit Ausnahme des Fettgewebes, sind im
Wasser quellungsfähig. Einige Producte des Pflanzen- und Thierreichs
dagegen, wie Stärke, Gummi, Eiweiss, bilden mit demselben unvoll-
kommene Lösungen.

Wie feste Körper und Flüssigkeiten Anziehungskräfte auf einan-75
Diffusion von
Flüssigkeiten.
der ausüben, so können solche auch zwischen verschiedenen Flüssig-
keiten stattfinden. Flüssigkeiten, die sich anziehen, nennt man misch-
bar. So ist z. B. Wasser mischbar mit Kochsalzlösung oder mit
Alkohol, dagegen nicht mischbar mit Oel oder mit Aether. Die Grösse
der Anziehung, welche Flüssigkeiten auf einander ausüben, lässt sich
messen, indem man sie mit einander in Berührung bringt und die
Zeitdauer bestimmt, welche bis zur Vollendung einer gleichmässigen
[106]Von der Schwere.
Mischung erforderlich ist. Die Geschwindigkeit, mit der in diesem
Fall sich die verschiedenen Flüssigkeiten in einander verbreiten, nennt
man ihre Diffusionsgeschwindigkeit. Man hat bisher nament-
lich die Diffusionsgeschwindigkeit zwischen Wasser und den Lösungen
verschiedener Salze zu ermitteln gesucht und gefunden, dass dieselbe
je nach der Natur der Salze beträchtliche Verschiedenheiten zeigt, dass
sie aber für eine und dieselbe Salzlösung mit dem Procentgehalt wächst,
indem bei gleichen Temperaturen die Menge des in gleichen Zeiten
aus einer Lösung zum Wasser übertretenden Salzes der Menge des
gelösten Salzes proportional ist.

Das Phänomen der Diffusion mischbarer Flüssigkeiten wird häufig
noch dadurch complicirt, dass die Flüssigkeiten durch benetzbare oder
quellungsfähige feste Körper von einander getrennt sind. Diese Dif-
fusion durch poröse Scheidewände, die man auch als Endos-
mose bezeichnet, ist nicht nur abhängig von der Anziehungskraft,
welche die beiden Flüssigkeiten auf einander ausüben, sondern auch
von der Anziehungskraft, welche zwischen der porösen Scheidewand
und jeder der Flüssigkeiten besteht. Flüssigkeiten, deren gegen-
seitige Anziehungskraft null ist, die also nicht mischbar sind, kön-
nen durch eine poröse Scheidewand ebenso wenig wie bei unmittel-
barer Berührung in einander diffundiren. Dagegen wird die Diffusion
mischbarer Flüssigkeiten durch den Zwischentritt der Scheidewand
wesentlich verändert. Während bei der freien Diffusion immer ebenso
viel von der ersten zur zweiten wie von der zweiten zur ersten Flüs-
sigkeit übertritt, so dass das Volum beider Flüssigkeiten stets con-
stant bleibt, ist dies bei der Endosmose allgemein nicht der Fall,
sondern hier diffundirt diejenige Flüssigkeit in grösserer Menge, auf
welche die poröse Scheidewand eine stärkere Anziehung ausübt, und
in entsprechendem Maasse ändert sich auf beiden Seiten der Scheide-
wand das Volumen. Wenn man z. B. Alkohol und Wasser in einem
ersten Versuch durch eine Kautschukmembran, in einem zweiten Ver-
such durch thierische Blase von einander trennt, so geht im ersten
Versuch mehr Alkohol zum Wasser, im zweiten Versuch mehr Wasser
zum Alkohol über, denn Kautschuk ist durch Alkohol, nicht aber durch
Wasser benetzbar, während das umgekehrte von der thierischen Blase
gilt. Da nun die thierischen Gewebe fast sämmtlich quellungsfähig
in Wasser sind, so zeigen sie allgemein die Erscheinung, dass sie bei
der Diffusion zwischen Wasser und einer mit Wasser mischbaren Lö-
sung den Diffusionsstrom des Wassers begünstigen.

Wegen ihrer Bedeutung für den thierischen Stoffwechsel werden die Erschei-
nungen der Endosmose ausführlicher in der Physiologie abgehandelt. Lehrb. der Phy-
siologie §. 29—40.

Achtes Capitel.
Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.

Jedes flüssige Theilchen fällt in Folge der Einwirkung der77
Ausströmen aus
Gefässen.
Toricelli’sches
Theorem.
Schwere auf dieselbe Weise wie ein fester Körper zur Erde. Wenn
aber eine ganze Flüssigkeitsmasse in Fallbewegung geräth, so werden
die einzelnen Molecüle derselben wegen ihrer geringen Cohäsion leicht
von einander getrennt. Jede Flüssigkeit hat daher beim freien Fall
die Neigung sich in einzelne Tropfen aufzulösen. Man kann diese
Trennung verhindern, indem man entweder die Fallbewegung beträcht-
lich verlangsamt, dadurch z. B. dass man die Flüssigkeit auf einer
schiefen Ebene von mässiger Neigung herabfliessen lässt, oder indem
man die Flüssigkeit sich innerhalb eines Gefässes bewegen lässt, wo,
wenn die einzelnen Theilchen derselben sich von einander trennen
sollten, ein luftleerer Raum entstehen müsste, und wo daher der Luft-
druck die Cohäsion der Flüssigkeitstheilchen unterstützt. Diese Fälle,
in welchen sich die Flüssigkeit in einem zusammenhängenden Strome
bewegt, unterscheiden sich nun aber dadurch von der Bewegung fester
Körper, dass jedes Theilchen der Flüssigkeit nicht bloss durch seine
eigene Schwere, sondern auch, wie dies aus dem Princip der Fort-
pflanzung des Drucks hervorgeht, durch die Schwere aller der Theil-
chen bewegt wird, die sich über ihm befinden.

Diese verschiedenen Fälle der Bewegung einer Flüssigkeit kann
man an einem Cylinder, wie in Fig. 44, zur Anschauung bringen, der

in seinem Boden eine Oeffnung o s besitzt und
bis zum Niveau m n mit Flüssigkeit gefüllt ist.
Der Flüssigkeitsstrahl, der aus der Oeffnung o s
herausstürzt, befindet sich von hier an im freien
Fall. Die Flüssigkeit innerhalb des Gefässes be-
findet sich dagegen in einer continuirlichen Be-
wegung nach der Oeffnung hin, an der, weil der
Druck nach allen Richtungen gleichmässig sich
fortpflanzt, die ganze im Gefäss befindliche Flüs-
sigkeit Theil nimmt. Denken wir uns, statt des
mittleren der Oeffnung entsprechenden Flüssig-
keitscylinders o s l r befände sich ein fester
Körper in dem Gefäss, so würde dieser in dem Moment, in welchem
o s geöffnet wird, in Fallbewegung kommen, seine Geschwindigkeit
würde von null anfangend gemäss dem Fallgesetz beschleunigt wer-
den. Da nun aber o s l r eine Flüssigkeitssäule ist, so wirkt, schon
bevor das Gefäss geöffnet wird, auf die Flüssigkeitsschichte o s der
Druck des ganzen Flüssigkeitscylinders o s l r. Wird nun o s geöff-
net, so bewegt sich daher die unterste Flüssigkeitsschichte nicht bloss
[108]Von der Schwere.
unter dem Einfluss ihrer eigenen Schwere, sondern gleichzeitig unter
dem Einfluss des Drucks, welchen jene Flüssigkeitssäule o s l r auf
sie ausübt. Da nun der Druck, welchen jede über o s befindliche
Schichte ausübt, von der Schwere der Schichte herrührt, so ist offen-
bar dieser Druck gerade so gross wie die Einwirkung, welche die
Schwere auf o s selbst successiv ausgeübt hätte, wenn diese Flüssig-
keitsschichte die Höhe h herabgefallen wäre. Die Flüssigkeitssäule
o s l r stellt also eine Kraft dar, durch welche die Schichte o s mit
einer Geschwindigkeit hervorfliessen muss, die gleich jener Geschwin-
digkeit ist, welche diese Schichte durch den Fall von der Höhe h er-
halten hätte. Lassen wir das Niveau m n constant, indem wir fort-
während neue Flüssigkeit nachfüllen, so bleibt auch die Kraft bei o s
constant, und der ganze Flüssigkeitsstrom verlässt sonach mit einer
constanten, der Druckhöhe h entsprechenden Geschwindigkeit das Ge-
fäss. Man bezeichnet diesen Lehrsatz über die Geschwindigkeit aus
Gefässen ausströmender Flüssigkeiten nach seinem Entdecker als das
Toricelli’sche Theorem.

Dieses Theorem ist jedoch unter einer Vorraussetzung abgeleitet,
die in der Wirklichkeit nicht strenge realisirt ist. Es ist nämlich da-
bei angenommen, dass die seitlich von der Flüssigkeitssäule o s l r
gelegenen Theilchen in den Strahl o s l r eintreten, ohne sich in
ihrer Bewegung zu hemmen. Dies ist aber unrichtig: wenn die Theil-
chen x und v (Fig. 44) die Wege x y und v y zurückgelegt haben,
so müssen dieselben, indem sie bei y zusammentreffen, in ihrer Bewe-
gung um so mehr sich hemmen, je mehr ihre Wege von der vertica-
len Richtung abweichen. Denn man kann sich die Bewegung eines
jeden Theilchens in eine verticale und in eine horizontale Componente,
x u und u y, zerlegt denken, wobei je zwei entgegengesetzt gerichtete
horizontale Componenten sich aufheben. Da nun die Wege dieser
seitlich gelegenen Theilchen offenbar um so mehr von der verticalen
Richtung abweichen, je grösser die Oeffnung des Gefässes ist, so wird
eine mit der Grösse der Oeffnung zunehmende Verlangsamung des
Ausflusses stattfinden. Diese Verlangsamung macht sich als eine sehr
rasch geschehende Verjüngung des Strahls unterhalb der Ausfluss-
öffnung geltend. Die Verjüngung erreicht ihr Maximum an jener Stelle,
wo die von beiden Seiten kommenden Flüssigkeitsfäden sich treffen,
und sie beträgt so viel, dass der Querschnitt des Stromes an dieser
Stelle nur ungefähr ⅔ des Querschnitts der Ausflussöffnung ein-
nimmt. Von der Stelle der Verjüngung des Strahls an verhält sich
dann derselbe gerade so, wie dies nach dem Toricelli’schen Theorem
erwartet werden müsste, wenn die Verjüngungsstelle selbst die Aus-
flussöffnung wäre.

Die Menge von Flüssigkeit, die in einer gegebenen Zeit t aus einem Ge-
fäss strömt, in welchem die Höhe der Flüssigkeit h ist und die Ausflussöffnung den
[109]Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.
Querschnitt q besitzt, würde nach dem Toricelli’schen Theorem offenbar, wenn die
Geschwindigkeit des Ausströmens v ist, gleich v. q. t oder, weil ,
gleich q. t. sein; in Wahrheit ist sie demnach wegen der Störung der Be-
wegung an der Ausflussöffnung gleich ⅔ dieser Grösse. Vermittelst dieser Relation
kann man ebenso aus der Geschwindigkeit die Ausflussmenge, wie umgekehrt aus der
Ausflussmenge die Geschwindigkeit und dann aus dieser die ihr entsprechende Druck-
höhe bestimmen.

Von jener Stelle der stärksten Verjüngung an ist die Flüssigkeit
dem freien Fall überlassen. Denken wir uns wieder den Flüssigkeits-
strahl durch einen festen Körper ersetzt, so würde derselbe als ein
homogener Cylinder von überall gleichem Querschnitt zu Boden fallen.
Die Flüssigkeit dagegen muss sich wegen ihrer geringen Cohäsion
nahezu wie ein Aggregat kleiner fester Theilchen verhalten, die nach
einander aus der Oeffnung herausfallen. Wenn man nun von einer
Höhe herab in einem kurzen Zeitzwischenraum zwei Körper zu Boden
fallen lässt, so vergrössert sich während der Fallzeit fortwährend die
Distanz der beiden Körper, weil jeder mit beschleunigter Geschwin-
digkeit fällt. Ebenso muss offenbar die Distanz der aus einem Ge-
fäss ausfliessenden Theilchen während ihrer Fallzeit sich vergrös-
sern. Fände gar keine Cohäsion zwischen den Flüssigkeitsmolecülen
statt, so würden alle Flüssigkeitsschichten von einander getrennt und
in immer grösseren gegenseitigen Abstand gerathen. Nun macht sich
aber hier die Cohäsion der Flüssigkeiten in ähnlicher Weise geltend
wie bei der Contraction des Strahls unter der Ausflussöffnung. Der
Strahl trennt sich nicht in seine einzelnen Schichten, sondern er ver-
jüngt sich; nur geschieht diese durch die Beschleunigung der Schwere
bedingte Verjüngung weit allmäliger als jene erste Contraction. Hat
jedoch die Flüssigkeit eine bedeutende Fallhöhe, so wird die
Distanzveränderung der Flüssigkeitstheilchen allmälig so gross, dass
der Strahl in der That seine Continuität einbüsst. Es cohäriren
dann noch einzelne Gruppen von Flüssigkeitstheilchen und tren-
nen sich von den andern, der Strahl löst so zuerst in gröbere und
dann bei zunehmender Fallhöhe in immer feiner werdende Tropfen
sich auf.

Wenn die Flüssigkeit nicht aus der Bodenöffnung sondern aus
der Oeffnung einer Seitenwand des Gefässes hervorströmt, so wird
hierdurch kein wesentlicher Unterschied bedingt; wegen der allseitigen
Fortpflanzung des Drucks hängt auch hier die Geschwindigkeit ab von
der Höhe, in welcher sich das Niveau über der Ausflussöffnung befin-
det, und auch hier wird durch die gegenseitige Bewegungsstörung
der in den ausfliessenden Strahl gezogenen Theilchen dieselbe Abwei-
chung von dem Toricelli’schen Theorem veranlasst. Ist die Flüssig-
keit aus der Seitenöffnung ausgetreten, so bewegt sie sich ähnlich
wie ein horizontal fortgeworfener Körper weiter; der Druck wirkt hier
[110]Von der Schwere.
als horizontale Wurfkraft, und der austretende Strahl beschreibt daher
den Bogen einer Parabel. (S. §. 26 u. 57.)

Wesentlich modificirt werden die Erscheinungen des Ausströmens
der Flüssigkeiten, wenn die Ausflussöffnung des Gefässes zunächst in
eine Röhre übergeht, aus der dann erst der wirkliche Ausfluss statt-
findet; dies gilt namentlich für den gewöhnlichen und uns hier auch
allein interessirenden Fall, wo die Flüssigkeit die Wandung der
Röhre benetzt. Aus einem Wassergefäss (Fig. 45), in dessen Seiten-

wand sich eine kreisförmige Oeff-
nung m n befindet, würde, wenn
diese Oeffnung unmittelbar nach
aussen mündete, ein ausserhalb
der Oeffnung sehr rasch auf ⅔ ih-
res Lumens sich verjüngender Flüs-
sigkeitsstrahl austreten. Wird nun
aber an die Oeffnung m n eine cy-
lindrische Röhre m r angesetzt, an
deren Wandung das Wasser adhä-
rirt, so wird, indem die Flüssig-
keitstheilchen von der Röhrenwandung angezogen werden, die Bahn
derselben sogleich in eine zur Axe der Röhre parallele übergehen,
ihre gegenseitige Bewegungsstörung muss sich daher durch die Ad-
häsion an der Wandung bedeutend verringern, und es wird jetzt,
falls nicht durch das Ansetzen der Röhre andere Bewegungswider-
stände von erheblicher Grösse eintreten, die Verlangsamung der Be-
wegung eine viel kleinere sein, als wenn sich keine Röhre an dem
Gefäss befände. In der That beobachtet man, dass, wenn eine kurze
cylindrische Ausflussröhre an das Gefäss angesetzt wird, die Ausfluss-
geschwindigkeit nur etwa um 1/10 geringer ist, als sie das von jeder
Bewegungsstörung abschende Toricellische Theorem erfordern würde.

Geht dagegen die Oeffnung des Gefässes in eine längere Röhre
über, so bedingt nun die Adhäsion an der Wandung selbst einen
merklichen Widerstand für die Bewegung der Flüssigkeit. Unmittel-
bar an der Wandung der Röhre bleibt nämlich eine ruhende Schichte
von Flüssigkeitstheilchen haften, an welcher die bewegte Flüssigkeit
sich reibt und dadurch eine Verzögerung ihrer Geschwindigkeit er-
fährt. Dieser Widerstand muss offenbar unter sonst gleichen Bedin-
gungen wachsen mit der Länge der Röhre. Nun muss aber zugleich
die Geschwindigkeit der Flüssigkeit in der ganzen Länge der Röhre
gleichförmig sein, da die Flüssigkeit aus dem Gefäss nur im selben
Maass in die Röhre nachströmen kann, als sie aus dieser ausströmt.
Es wird also die Geschwindigkeit des Stroms durch den Widerstand
in der ganzen Röhre um gleich viel verzögert. An der Einflussöffnung
[111]Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.
m n befindet sich jedoch ein Druck, der unter allen Umständen, ab-
gesehen von den an der Uebergangsstelle stattfindenden Bewegungs-
störungen, der Höhe der Flüssigkeit in dem Gefäss entsprechen muss.
Wenn die Röhre nur ein sehr kurzes Ansatzstück bildete, so müsste
die Geschwindigkeit in ihr, wieder abgesehen von der durch die Ab-
weichung vom Toricelli’schen Theorem bedingten Correction, ebenfalls
unmittelbar jenem Druck entsprechen. Der nicht als Bewegung der
Flüssigkeit zum Vorschein kommende Druck wird daher als Druck
fortbestehen, und es ist sonach an der Einmündungsöffnung des Ge-
fässes in die Röhre ein Druck vorhanden, dessen Grösse genau der
Verzögerung der Geschwindigkeit, d. h. der Grösse des ganzen im
Verlauf der Röhre zu überwindenden Widerstandes correspondirt. Da
nun zur Ueberwindung dieses Widerstandes offenbar eine ihm an
Grösse gleiche Kraft erforderlich ist, diese Kraft aber nicht durch einen
Verlust an Geschwindigkeit, die ja in der ganzen Röhre constant bleibt,
gewonnen werden kann, so wird nothwendig jene nicht in Geschwin-
digkeit übergehende Druckkraft es sein, die den Widerstand überwin-
det. Sie muss demnach auch im Verlauf der Röhre in demselben
Maasse abnehmen, als bereits Widerstand überwunden ist. An der
Einflussöffnung m n ist sie gleich dem Widerstand in der ganzen
Röhrenlänge, an irgend einer andern Stelle wird sie gleich dem bis
zum Ende der Röhre noch bleibenden Widerstand sein. Da der Wi-
derstand unter sonst gleichen Bedingungen proportional der Länge der
Röhre ist, so wird der Druck innerhalb der Röhre proportional der
Entfernung von der Einflussöffnung m n sinken und an der Ausfluss-
öffnung r s gleich null werden.

Wir können uns diese Verhältnisse leicht in folgender Weise
graphisch versinnlichen. Von dem ganzen Druck m x, der an der
Stelle der Einflussöffnung in die Röhre besteht, kommt sogleich durch
die vorhandenen Bewegungsstörungen ein Theil p x in Abzug. Der
übrig bleibende Druck m p zerfällt in einen Theil m o, der dem inner-
halb der Röhre zu überwindenden Widerstand entspricht, und in einen
Theil o p, der sich als Geschwindigkeit der Flüssigkeit äussert. Der
Druck m o fällt ab proportional der Annäherung an die Ausflussöff-
nung und wird an dieser selbst gleich null. Fügt man daher
an beliebigen Stellen i, l der Röhre m r zur Messung des Drucks
der Flüssigkeit andere vertical stehende Röhren ein, so ist die Linie,
welche die Höhen verbindet, bis zu denen die Flüssigkeit in diesen
Röhren ansteigt, eine Gerade. Die Geschwindigkeit dagegen bleibt
in der ganzen Länge der Röhre constant: sie kann daher durch eine
der Geraden o r parallele Gerade p q dargestellt werden. Es ist
dann offenbar in einem Querschnitt i der Ausflussröhre die ganze
Summe der hier vorhandenen Kräfte durch die Ordinate i g dargestellt,
das Stück i f derselben ist derjenige Theil der Kraft, welchcr als
[112]Von der Schwere.
Druckkraft wirksam ist, das Stück f g der Ordinate dagegen derjenige
Theil der Kraft, der als lebendige Kraft der Flüssigkeitsbewegung
sich äussert. Man pflegt dem entsprechend von der im Gefäss vor-
handenen Flüssigkeitshöhe m x den Abschnitt m o als Druckhöhe
oder Widerstandshöhe, o p als Geschwindigkeitshöhe und
p x als Höhe des Uebergangswiderstands zu bezeichnen.

Nach der beim Princip der Erhaltung der Kraft (§. 11) gebrauchten Bezeichnungs-
weise entspricht in jedem Querschnitt der Röhre die Druckhöhe der Spannkraft, die
Geschwindigkeitshöhe der lebendigen Kraft. Bei der Flüssigkeitsbewegung in Röhren
bleibt demnach die lebendige Kraft der Flüssigkeit constant, während die Spannkraft
derselben continuirlich abnimmt und zuletzt auf null sinkt. Dies widerspricht scheinbar
dem Princip der Erhaltung der Kraft, da nach dem letzteren Spannkraft und lebendige
Kraft zusammengenommen immer constant bleiben müssen. In der That ist aber
dieser Widerspruch nur ein scheinbarer. Indem nämlich durch die Reibung der strö-
menden an der der Wand adhärirenden Flüssigkeit Druckkraft verschwindet, wird die-
selbe bloss in eine ihr äquivalente Menge von Wärme umgesetzt. Es geht also die
am Anfang der Röhre vorhandene Druckkraft allmälig in lebendige Kraft über, aber
nicht in lebendige Kraft der Vorwärtsbewegung, sondern in lebendige Kraft der Wärme,
bis endlich an der Ausflussöffnung alle Spannkraft in lebendige Kraft verwandelt ist.
Der wesentliche Unterschied der Bewegung von Flüssigkeiten in Röhren und der Be-
wegung fester Körper auf einer Unterlage besteht somit darin, dass hier zur Ueber-
windung der Reibung die lebendige Kraft der Bewegung selbst verwendet wird, daher
die Geschwindigkeit eine continuirlich verzögerte ist, während dort vom Beginn der
Bewegung an so viel Spannkraft vorhanden bleibt, als die Ueberwindung des Wider-
stands erfordert, daher die Geschwindigkeit constant, aber von Anfang an um so
geringer ist, ein je grösserer Widerstand dem ganzen Ablauf der Bewegung sich ent-
gegensetzt. Wir können offenbar annehmen, dass die bewegte Flüssigkeit in dem
Maasse, als sie durch die Reibung an der Wandschichte an lebendiger Kraft verliert,
solche alsbald wieder zugeführt erhält durch Umwandlung aus der als Druck vorhan-
denen Spannkraft. Man wird daher immerhin auch hier sich vorstellen müssen, dass
die Wärme zunächst aus der lebendigen Kraft der Vorwärtsbewegung entsteht; man
kann jedoch dieses Zwischenglied in der Betrachtung desshalb hinweglassen, weil die
durch die Reibung erzeugte Wärme der am Anfang des Rohres vorhandenen Druck-
höhe äquivalent sein muss, sobald dieselbe bewegende Kraft der Flüssigkeitsströmung
erhalten bleibt. (Vergl. hierzu Abschn. V. Cap. 5.)

Wir haben bisher nachgewiesen, dass durch den Ansatz einer
Röhre an ein Druckgefäss die Geschwindigkeit des Ausflusses eine
Verzögerung erfährt, die unter sonst gleich bleibenden Bedingungen
mit der Länge der Röhre zunimmt. Diese Verzögerung aber, die als
Widerstandshöhe sich geltend macht, ist offenbar selbst abhängig von
der Geschwindigkeit der Flüssigkeit, da ja die letztere nur wenn sie
bewegt ist an der benetzenden Wandschichte sich reibt. Dass diese
Reibung mit der Geschwindigkeit zunehmen muss, ist von vornherein
klar, denn je mehr Flüssigkeitstheilchen sich an der adhärirenden
Schichte vorbeibewegen, um so grösser wird die Kraft sein, die zu
ihrer Losreissung von dieser Wandschichte erforderlich ist. Im All-
[113]Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.
gemeinen muss also mit der Geschwindigkeitshöhe auch die Druck-
höhe zunehmen. In der That bestätigt die Beobachtung, dass der
Druck der Gescnwindigkeit proportional ist. Da ferner der Druck,
wenn eine gegebene Geschwindigkeit erzeugt werden soll, um so
grösser sein muss, je länger die Röhre, und je enger ihr Querschnitt
ist, so wird die Beziehung zwischen dem Druck p und der Geschwindig-
keit v ausgedrückt durch die Gleichung p = , worin l und q
Länge und Querschnitt der Röhre und C eine von der Natur der
Flüssigkeit abhängige Constante bezeichnet.

Für die Geschwindigkeit v ergiebt sich demnach die Gleichung v = . Die
Constante C ist von der Reibung der strömenden an der adhärirenden Flüssigkeit ab-
hängig. Sie wird um so grösser, je zäher die Beschaffenheit der Flüssigkeit ist.
Man kann sie als den Coëfficienten der inneren Flüssigkeitsreibung bezeichnen.
Sobald die Flüssigkeit die Wandung benetzt, hängt der Widerstand nur von dieser
inneren Reibung, nicht von der Adhäsion ab. Mit steigender Temperatur nimmt der
Coëfficient C ab, also die Geschwindigkeit zu.

Der Satz, dass die Geschwindigkeit in der ganzen Länge einer80
Stromlauf in
Röhren von
wechselndem
Durchmesser.
an ein Druckgefäss angesetzten Röhre constant sei, gilt selbstverständ-
lich nur so lange, als der Durchmesser der Röhre genau gleich gross
bleibt. Erweitert sich oder verengert sich dagegen der Querschnitt
der Ansatzröhre, so muss die Geschwindigkeit aus derselben Ursache
sich verändern, aus welcher sie in einer Röhre von gleichem Durch-
messer constant bleibt, nämlich wegen der Continuität der Flüssigkeit.
Die letztere erfordert offenbar, dass in gleichen Zeiten durch jeden
Querschnitt der Röhre gleiche Flüssigkeitsmengen hindurchtreten. Im
selben Verhältnisse als der Querschnitt der Röhre sich vergrössert,
finden aber in ihm mehr Flüssigkeitstheilchen Platz. Die Geschwin-
digkeit der Flüssigkeit muss daher im gleichen Maasse zuneh-
men, als der Querschnitt der Röhre abnimmt. Besteht also die ganze
Ausflussröhre, wie in Fig. 46, aus aneinandergesetzten engeren und
weiteren Röhren, so findet immer da, wo ein engeres in ein weiteres
Rohr übergeht, eine plötzliche Abnahme und da, wo ein weiteres in
ein engeres Rohr übergeht, eine plötzliche Zunahme der Geschwindig-
keit statt. Dagegen muss der Druck an der Uebergangsstelle eines
engeren in ein weiteres Rohr plötzlich zunehmen. Denn da die Flüs-
sigkeit die Geschwindigkeit, die sie besitzt, beizubehalten strebt, so
entsteht bei der Verminderung der Geschwindigkeit eine Zunahme des
Drucks der Flüssigkeitstheilchen gegen einander und gegen die Wan-
dung. Umgekehrt muss beim Uebergang aus dem weiteren in ein
engeres Röhrenstück mit der Zunahme der Geschwindigkeit eine plötz-
liche Abnahme des Drucks erfolgen. Auch die Schnelligkeit der
Wundt, medicin. Physik. 8
[114]Von der Schwere.
Druckabnahme wird sich in den einzelnen Röhrenstücken verschieden
verhalten. Da die Druckveränderung immer dem Widerstande ent-
spricht, welchen die Flüssigkeit auf ihrem Wege findet, und der Wi-
derstand mit der Enge der Röhre zunimmt, so wird die Druckabnahme
schneller in einem engeren als in einem weiteren Röhrenabschnitt er-
folgen. Alle diese Verhältnisse sind durch die über dem Röhrensystem
a b c d (Fig. 46) gezeichneten Linien dargestellt. Wenn a e die Druck-

höhe, e k die Geschwindigkeitshöhe an der Einflussöffnung bezeich-
nen, so wird der Druck in dem ganzen Röhrenstück a b durch die
Linie e f, und die Geschwindigkeit durch die ihr parallele Linie k l
dargestellt. Bei b nimmt nun plötzlich die Geschwindigkeit um l m
ab und der Druck um f g zu; in dem Röhrenstück b c wird dann die
Veränderung des Drucks durch die Linie g h und die constante Ge-
schwindigkeit durch die Linie m n bezeichnet. Endlich bei c nimmt
die Geschwindigkeit wieder um n o zu und der Druck entsprechend
um h i ab; in dem letzten Röhrenstück bezeichnet dann i d die
Veränderung des Drucks und die ihr parallele o p die constante Ge-
schwindigkeit. Die Zunahme des Drucks an der Uebergangsstelle des
engeren in den weiteren Röhrenabschnitt bezeichnet man als posi-
tive Stauung, die Abnahme des Drucks im umgekehrten Fall da-
gegen als negative Stauung.

Die Gesammtgrösse des Widerstandes in einer mit Erweiterungen
versehenen Röhre ist kleiner als in einer sonst gleich beschaffenen
Röhre ohne Erweiterungen, da in jedem erweiterten Abschnitt die
Flüssigkeit langsamer fliesst, und da die Berührungsfläche, an der die
Flüssigkeit adhärirt, eine kleinere ist. Somit ist die Widerstandshöhe
an der Einflussöffnung geringer und entsprechend die Flüssigkeits-
menge grösser, die durch jeden Querschnitt der Röhre in einer gege-
benen Zeit hindurchfliesst.

Man sieht leicht ein, dass auch die Gesetze der Flüssigkeitsbewegung in Röhren
von ungleichem Durchmesser unmittelbar unter das allgemeine Princip der Erhaltung
[115]Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.
der Kraft sich subsumiren lassen. Im Sinne des letzteren kann man einfach sagen:
beim Ueberströmen aus einer engeren in eine weitere Röhre wird lebendige Kraft in
Spannkraft, umgekehrt beim Ueberströmen aus einer weiteren in eine engere Röhre
Spannkraft in lebendige Kraft umgewandelt. Uebrigens ist auch hier wegen der an
den Uebergangsstellen durch das Aufeinanderstossen der Flüssigkeitstheilchen bewirk-
ten Widerstände weder im ersten Fall die gewonnene Spannkraft genau gleich der
verschwundenen lebendigen Kraft, noch im zweiten Fall die gewonnene lebendige Kraft
der Flüssigkeitsbewegung genau gleich der verschwundenen Spannkraft: sondern stets
geht, ähnlich wie an der Einflussöffnung, ein gewisser Bruchtheil der Kraft in Folge
der Bewegungsstörung verloren oder vielmehr in eine andere Form von lebendiger
Kraft, in Wärme über.

Wir haben in §. 78 gezeigt, dass der Seitendruck in einer ge-81
Biegungen des
Rohres.
raden Röhre von constantem Durchmesser von der Einflussöffnung an
gleichmässig sinkt, bis er an der Ausflussöffnung null wird. Dieses
Gesetz verliert aber seine Gültigkeit, sobald die Röhre nicht gerade,
sondern gebogen ist. Wenn die Röhre A B C (Fig. 47) bei B eine

Biegung besitzt, so muss die in der Rich-
tung A B bewegte Flüssigkeit bei B einen
Stoss gegen die Wandung ausüben, der die
Flüssigkeit in eine rückläufige Bewegung
zu versetzen strebt und daher als Wider-
stand auf dieselbe einwirkt. Ist die Bie-
gung stark, so erzeugt der Stoss an der
Knickungsstelle eine Stauung, welche einen
Theil der Flüssigkeit völlig in der Vorwärts-
bewegung hemmen kann. Nichts desto we-
niger muss wegen der Continuität der Flüssigkeit durch jeden Quer-
schnitt des Rohrs in gleichen Zeiten gleich viel hindurchtreten: die
Stauung wirkt daher wie eine Verengerung des Strombetts, und der
bewegte Theil der Flüssigkeit muss sich der Verengerung entsprechend,
so weit die Stauung reicht, schneller bewegen. Wie ferner bei jeder
Verengerung des Rohrs eine plötzliche Veränderung des Drucks statt-
findet, so muss sich dies auch an der Knickungsstelle ereignen. Be-
zeichnen wir daher auf der Linie A D den Seitendruck durch verticale
Ordinaten, indem wir den Theil B D dieser Linie dem geknickten
Theil B C des Rohres correspondirend denken, so wird die Verände-
rung des Seitendrucks durch die geknickte Linie a b c D dargestellt.
Der Widerstand ist am Anfang des Rohres um die Grösse a a', den
Widerstand der Stauung, grösser als bei einem Rohr von gleicher
Länge ohne Knickung, an der Stelle der Stauung, von b bis c, sinkt
er dann rascher und unterhalb der Stauung wieder mit gleicher Ge-
schwindigkeit wie vorher. Wäre das Rohr nicht gebogen, so würde
die Gerade a' D das Fallen der Widerstandshöhe ausdrücken. Hieraus
ergibt sich, wie auch von vornherein schon einleuchtet, dass in Folge
8 *
[116]Von der Schwere.
der Biegung des Rohres die Widerstandshöhe von der Einflussöffnung
an bis an die Stelle der Biegung vergrössert ist, dass sie aber unter
dieser Stelle gerade so sich verhält, als wenn gar keine Biegung vor-
handen wäre. Die Geschwindigkeitshöhe in der ganzen Länge des
Rohres wird hingegen durch die geknickte Linie α β γ δ dargestellt.
Von b an nimmt bis ungefähr zur Mitte der Stauung bei β entspre-
chend der Querschnittsveränderung des fliessenden Stromtheils die
Geschwindigkeit zu und dann von β bis γ wieder ab, um hier die vo-
rige Geschwindigkeit a α zu erreichen.

Bei den Strömungserscheinungen in verzweigten Röhren wir-
ken fast alle Bedingungen, die wir bisher betrachtet haben, zusammen.
An jeder Verzweigungsstelle findet sich eine mehr oder weniger starke
winkelige Biegung. Der Gesammtdurchmesser der Röhren, die aus
der Verzweigung hervorgehen, ist sehr häufig verschieden von dem
Durchmesser des einfachen Rohrs, aus dem sie entspringen. Endlich
wird unter allen Umständen die Berührungsfläche der Flüssigkeit und
der Röhrenwandung vergrössert. Aus diesen Bedingungen, deren
Effecte uns im einzelnen schon bekannt sind, lassen unmittelbar die
Strömungserscheinungen in verzweigten Röhren sich ableiten. Hier
interessirt uns vorzugsweise derjenige Fall, der im Gefässsystem der
Thiere verwirklicht ist, wo ein Gefässrohr in mehrere Zweige von
grösserem Gesammtdurchmesser sich scheidet, und wo, nachdem diese
Verzweigung sich mehrfach wiederholt hat, die Zweige wieder in ein ein-
ziges Rohr sich sammeln, dessen Durchmesser demjenigen des ersten
Rohres annähernd gleich ist. Das einfachste Schema dieser Art ist in
Fig 48, das nächst einfache in Fig. 49 dargestellt. Die Veränderungen

des Drucks in dem in Fig. 48 versinnlichten Schema werden durch
die gebrochene Linie a b c d e ausgedrückt. Bei B würde, wenn
bloss die Zunahme des Gesammtquerschnitts in Rücksicht fiele, ein
plötzliches Ansteigen des Drucks stattfinden; umgekehrt würde, wenn
bloss die winkelige Biegung ihren Einfluss geltend machte, der Druck
plötzlich sinken. Beide Momente wirken also einander entgegen und
können sich aufheben, so dass die Linie bei b nur eine Knickung er-
fährt; eine solche muss eintreten, weil von B bis C das Strombett er-
weitert ist und daher zwischen diesen zwei Punkten des Röhrensy-
stems der Druck langsamer sinkt. Anders verhält es sich an der
[117]Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.
Stelle C, wo die Zweige wieder zusammenmünden. Hier muss
der Druck sinken, weil das Strombett sich verengert, und weil
gleichzeitig eine winkelige Biegung des Rohres stattfindet: jetzt wirken
also beide Momente im selben Sinne, die Drucklinie zeigt daher bei
C ein plötzliches Sinken, das stärker ist als bei der blossen Verenge-
rung des Strombetts. Als eine unmittelbare Folgerung, die auch ex-
perimentell bestätigt worden ist, ergiebt sich hieraus, dass in einem
symmetrischen Röhrensystem der Druck nicht symmetrisch ansteigt
und abfällt, sondern dass er an einer der Mitte des Röhrensystems
entsprechenden Stelle m grösser ist als das Mittel des Drucks an zwei
symmetrisch vor und hinter dieser Stelle gelegenen Punkten B und C.
Hinsichtlich der absoluten Grösse des Drucks an der Einflussöffnung A,
der Widerstandshöhe, wäre im Allgemeinen zu erwarten, dass die-
selbe theils wegen der Winkelbiegung, theils wegen der Vergrösserung
der Berührungsfläche zwischen Flüssigkeit und Röhrenwandung bei
einem verzweigten Röhrensystem eine grössere sei als bei einer
geraden Röhre. Auch diesem Einfluss wirkt aber die Erweiterung des
Strombetts entgegen. Es kann daher eintreten, dass beide Momente
entweder sich compensiren, d. h. dass für ein stärker verzweigtes Röh-
rensystem die Widerstandshöhe nicht grösser ist als für ein einfache-
res, oder dass sogar die Widerstandshöhe des verzweigten Systems
kleiner wird, weil die Vergrösserung des Durchmessers den Wider-
stand um mehr vermindert, als ihn die Verzweigung vergrössert. Wenn
nun die Widerstandshöhe die nämliche ist, so ist offenbar auch die
Geschwindigkeitshöhe in beiden Fällen gleich: es fliesst also, voraus-
gesetzt, dass man dasselbe Druckgefäss anwendet, aus dem zusam-
mengesetzteren System (Fig. 49) in einer bestimmten Zeit ebensoviel
oder, wenn die Widerstandshöhe kleiner ist, sogar mehr Flüssigkeit
aus wie aus dem einfacheren (Fig. 48). Der Winkel, unter welchem
sich die Strombahn verzweigt, scheint von keinem merklichen Einfluss
auf Widerstand und Geschwindigkeit.

Dass bei jeder Erweiterung der Strombahn die Widerstandshöhe abnimmt, ergibt
sich unmittelbar aus der zwischen Druck und Geschwindigkeit festgestellten Beziehung
. Diese Abnahme des Drucks hat ihren Grund in der relativen Ver-
minderung der Berührungsfläche zwischen Flüssigkeit und Röhrenwandung, da die
Menge der an der Wand adhärirenden Flüssigkeit nur im einfachen Verhältniss des
Durchmessers, die Menge der nicht adhärirenden Flüssigkeit dagegen im quadratischen
Verhältniss des Durchmessers zunimmt. Findet nun bei einer Theilung des Rohres
zugleich eine Erweiterung des Strombetts statt, so kann leicht trotzdem die Grösse
der adhärirenden Fläche im Verhältniss zur Menge der strömenden Flüssigkeit ver-
mindert werden oder sich gleich bleiben. Letzteres ist z. B. bei der Theilung in meh-
rere Röhren von gleichem Durchmesser der Fall. Nach den Versuchen Volkmanns
scheint in der That das Gleichgewicht zwischen Vermehrung und Verminderung des
[118]Von der Schwere.
Widerstandes annähernd bei Systemen von gleichem Durchmesser der Röhren, wie
Fig. 48 und 49, verwirklicht zu sein. Nach den neueren Angaben von Jacobson
aber bewirkt die Verzweigung in der Regel eine Vergrösserung der Ausflussgeschwin-
digkeit, und nach den sorgfältigen Versuchen dieses Beobachters ist zu vermuthen,
dass ausser den oben erwähnten noch andere, bis jetzt nicht näher zu übersehende
Momente die Ausflussgeschwindigkeit bei der Verzweigung vergrössern.

Die oben geltend gemachten Beziehungen zwischen Widerstand,
Geschwindigkeit der Flüssigkeit und Durchmesser der Ausflussröhren
gelten sämmtlich nur so lange, als der Durchmesser nicht unter eine
gewisse Grösse sinkt. Die Strömungserscheinungen in Capillarröh-
ren stimmen mit der Flüssigkeitsbewegung in weiteren Röhren darin
überein, dass auch bei ihnen der Widerstand proportional der
Röhrenlänge zu- und demgemäss ebenso die Geschwindigkeit abnimmt.
Sie unterscheiden sich aber dadurch, dass die Ausflussgeschwindigkeit
nicht dem Querschnitt, sondern der vierten Potenz des Durchmessers
der Röhre proportional ist. Dies hat offenbar darin seinen Grund,
dass hier ausser der Reibung der Flüssigkeitstheilchen an einander
auch die Adhäsion an der Röhrenwandung in Rücksicht kommt. Nach
den Beobachtungen von Poiseuille und Hagen über den Ausfluss
aus Capillarröhren ist ferner die Temperatur, die Beschaffenheit der
Flüssigkeit und der Röhrenwandung von wesentlichem Einflusse, wie
dies nach den allgemeinen Phänomenen der Capillarität (§. 73) schon
vorausgesehen werden kann.

Die erörterten Gesetze der Flüssigkeitsbewegung in Röhrensy-
stemen enthalten die wesentlichsten Principien, nach denen die Blut-
bewegung in dem Röhrensystem der Kreislaufsorgane zu beurtheilen
ist. Das Herz wirkt ähnlich einem Druckgefäss. Der ganze Druck,
den es ausübt, ist theils Geschwindigkeits- theils Widerstandshöhe.
Der ersteren entspricht die Ausflussgeschwindigkeit des Blutes aus
dem Herzen, der letzteren der an der Einflussstelle in die Körper-
und in die Lungenschlagader vorhandene Seitendruck. Durch diesen
Seitendruck wird der ganze im System des grossen und des kleinen
Kreislaufs vorhandene Widerstand gemessen. In dem Maasse als zur
Ueberwindung des Widerstandes Kraft verbraucht wird, fällt in den
vom Herzen entfernter liegenden Gefässen der Seitendruck. Der Ge-
sammtquerschnitt des Gefässsystems nimmt zuerst beträchtlich zu und
dann wieder ab: ihre grösste Erweiterung hat die Blutbahn im Capil-
larsystem, ihre engsten Stellen bilden die grossen Gefässe, die am
Herzen ein- und austreten. Die Blutgeschwindigkeit sinkt daher gegen
das Capillarsystem und ist in diesem am kleinsten, während sie in
den Venen wieder wächst, doch erreicht sie nicht völlig die Geschwin-
digkeit in den grossen Arterien, weil der Gesammtquerschnitt der in
[119]Das Ausströmen aus Gefässen und der Stromlauf in starren Röhren.
das Herz einmündenden Gefässe grösser als derjenige der aus-
führenden ist. Die Blutgeschwindigkeit in jedem einzelnen Theil
der Gefässbahn liesse sich voraus bestimmen, wenn der zu diesem
Theil gehörige Gesammtquerschnitt bekannt, und wenn die in irgend
einem andern Querschnitt der Blutbahn vorhandene Geschwindigkeit
ermittelt wäre. Denn nach dem Princip der Continuität der Flüssig-
keiten muss in einer gegebenen Zeit durch jeden Querschnitt des Ge-
fässsystems ein gleiches Quantum hindurchtreten. Es muss daher auch
in einer gegebenen Zeit ebenso viel Blut durch die Venen zum rech-
ten Herzen zurückkehren, als durch die Arterien ausströmt. Das-
selbe Gleichgewicht muss speciell zwischen der Bahn des grossen und
des kleinen Kreislaufs stattfinden: durch einen Querschnitt des Kör-
pergefässsystems tritt in derselben Zeit ebenso viel Blut wie durch
einen Querschnitt des Lungengefässsystems, und die Blutquanta, welche
die vier Herzabtheilungen aufnehmen oder austreiben, sind sämmtlich
einander gleich. Nun findet zwischen den Systemen des kleinen und
des grossen Kreislaufs ein ähnliches Verhältniss statt, wie wir es in
Fig. 48 und 49 schematisch dargestellt haben. Im grossen Kreislauf
sind Erweiterung des Strombetts und Verzweigung viel bedeutender
als im kleinen. Wir haben nun gesehen, dass nach experimentellen
Ermittelungen die Ausflussmenge aus zwei derartigen Systemen nahe-
hin die gleiche ist, wenn die einzelnen Röhren, aus denen dieselben
zusammengesetzt sind, gleiche Länge und gleichen Durchmesser be-
sitzen. Dass ein derartiges Verhältniss zwischen dem grossen und
dem kleinen Kreislaufsystem wirklich stattfinde, hat jedoch weder in
den anatomischen Verhältnissen noch in den physiologischen That-
sachen eine Stütze. Denn wenn die letzteren auch lehren, dass die
Ausflussmengen aus beiden Systemen einander gleich sein müssen, so
ergibt sich aus ihnen anderseits, dass die Widerstände im kleinen
Kreislauf viel unbedeutender sind als im grossen, indem die Messun-
gen des Seitendrucks in der Lungenarterie viel kleinere Werthe er-
geben als die ähnlichen Messungen in der Aorta. Die Compensation
der Ausflussmengen muss daher hauptsächlich durch verschiedene
Grösse der austreibenden Kräfte bewirkt werden. Dies findet darin
seine Bestätigung, dass die Muskelwandungen der rechten Herzkam-
mer schwächer als diejenigen der linken Herzkammer sind. Ueber-
dies lehrt der grössere Voluminhalt der ersteren, dass die Con-
traction derselben unvollständiger sein muss. Es lässt sich leicht
denken, dass die beiden Herzhälften schon während ihrer Entwickelung
dem Gesetz der Gleichheit der Ausflussmengen sich accomodiren, und
dass also die geringere Muskelausbildung des rechten Herzens eine
Folge jenes Gesetzes ist. Naheliegend sind endlich die Anwendungen,
die sich aus den Strömungsgesetzen in verzweigten Röhren auf die
Blutbewegung in Collateralgefässen ergeben. Wir haben bereits her-
[120]Von der Schwere.
vorgehoben, dass die Einflüsse, welche eine Verzweigung in eine
grössere Anzahl von Collateralgefässen auf den Seitendruck im An-
fang des Systems ausübt, immer zum Theil sich compensiren, indem
Vergrösserung des Gesammtquerschnitts und Vergrösserung der be-
rührenden Fläche einander entgegenwirken. Wird nun ein Collateral-
gefäss plötzlich unwegsam gemacht (z. B. durch Unterbindung), so
wird hierdurch ein bedeutender Widerstand eingeführt, und der Sei-
tendruck muss daher steigen. Wenn sich ein Gefäss in mehrere Col-
lateraläste von verschiedener Weite und Länge verzweigt, so gelten
hierfür die in §. 82 entwickelten Gesetze, nach welchen im Allge-
meinen die Verzweigung begünstigend wirkt für die Blutgeschwin-
digkeit.

Neuntes Capitel.
Von der Wellenbewegung der Flüssigkeiten.

Wir haben uns bisher ausschliesslich mit der geradlinigen
Fortbewegung der Flüssigkeiten beschäftigt, und nur jene an die-
selbe unmittelbar sich anschliessenden Fälle einer krummlinigen Be-
wegung mit in Rücksicht gezogen, die durch Einwirkung der Schwere
auf eine durch einen horizontal gerichteten Stoss in Bewegung ge-
setzte Flüssigkeit entstehen und vollständig den Wurfbewegungen
fester Körper entsprechen (S. den Schluss von §. 77). Nun bieten
aber die Flüssigkeiten vermöge der Beschaffenheit ihres Aggregatzu-
standes das besondere Verhalten dar, dass sehr häufig die geradlinige
Fortbewegung einer Flüssigkeitsmasse mit einer Wellenbewegung
sich combinirt. So bildet eine in einer Rinne abfliessende Flüssigkeit,
sobald ihr Zufluss nicht völlig gleichförmig geschieht, Wellen auf ihrer
Oberfläche. Ein Fluss bildet Wellen, wenn in seinem Strombett be-
trächtliche Unebenheiten vorhanden sind, oder wenn die Oberfläche
des Wassers durch Winde in Bewegung gesetzt wird. Stets liegt die
Ursache einer solchen Wellenbewegung darin, dass die Theilchen einer
Flüssigkeit in jeder Richtung gegen einander verschiebbar sind. So-
bald daher, neben der Ursache, welche die geradlinige Fortbewegung
der Flüssigkeitsmasse erzeugt, noch andere Ursachen einwirken, die
das Gleichgewicht der einzelnen Flüssigkeitstheilchen stören, so folgt
ein jedes Theilchen beiderlei Impulsen. Zugleich schwingen hierbei
die Flüssigkeitstheilchen vermöge der Geschwindigkeit, die sie durch
die Gleichgewichtsstörung erfahren haben, noch einige Zeit nach dem
Aufhören derselben im gleichen Sinne fort, bevor sie wieder in eine
vollkommen geradlinige Fortbewegung übergehen oder zur Ruhe kom-
men. Um das complicirte Phänomen der Bewegung solcher in Wellen-
schwingungen befindlicher Flüssigkeiten zu verstehen, müssen wir zu-
[121]Von der Wellenbewegung der Flüssigkeiten.
nächst die Wellenbewegung der Flüssigheiten für sich in’s Auge fas-
sen und dann die Erfolge betrachten, die eintreten, wenn die Wellen-
bewegung mit der geradlinigen Fortbewegung zusammenwirkt.

In einer vollkommen ruhenden Flüssigkeit mit freier Oberfläche
entsteht jedesmal eine Wellenbewegung, wenn das Gleichgewicht
an irgend einer Stelle dieser Oberfläche momentan gestört wird, sei
es dadurch, dass man plötzlich einen Körper in die Flüssigkeit taucht
oder neue Flüssigkeit zufliessen lässt, sei es dadurch, dass man einen
Theil der Flüssigkeit entfernt. Wenn man z. B. einen Stein in’s Was-
ser wirft oder auf einen ruhenden Wasserspiegel einen Tropfen fallen
lässt, so geht von der Stelle, deren Gleichgewicht auf diese Weise
gestört wurde, eine kreisförmig fortschreitende Welle aus, die immer
schwächer wird und endlich erlischt. Zuerst erhebt sich die um die
gestörte Stelle zunächst liegende Flüssigkeit zu einem Wellenberg;
während dieser in ein Wellenthal übergeht, erhebt sich die ihn un-
mittelbar umgebende Flüssigkeit zu einem Berg, u. s. f. Ist dagegen
die Gleichgewichtsstörung dadurch zu Stande gekommen, dass man
(z. B. mittelst einer Röhre, an der man saugt) eine kleine Quantität
Flüssigkeit entfernt hat, so sinkt zunächst die um die gestörte Stelle
liegende Flüssigkeit unter ihr bisheriges Niveau, sie bildet also ein
Wellenthal, während sie dann höher als zuvor sich erhebt, in einen
Wellenberg übergeht, sinkt die sie umgebende Flüssigkeit unter das
Niveau und bildet ein Wellenthal, u. s. f. In beiden Fällen geschieht
demnach die Fortpflanzung in entgegengesetzter Weise: im ersten
Fall breitet ein Wellenberg sich aus, dem das Wellenthal erst nach-
folgt, im zweiten Fall breitet ein Wellenthal sich aus, dem der Wel-
lenberg nachfolgt. Man nennt, der früher (in §. 30 und 35) eingeführ-
ten Bezeichnung entsprechend, jene Fortpflanzung des Wellenbergs
eine positive Welle, diese Fortpflanzung des Wellenthals dagegen
eine negative Welle. Mit der ersten kreisförmigen Ausbreitung
der Welle ist die ganze Wellenbewegung gewöhnlich noch nicht zu
Ende. Ist eine positive Welle erregt worden, so kehrt der um die
gestörte Stelle liegende Theil der Flüssigkeit nicht unmittelbar, nach-
dem er eine Welle gebildet hat, wieder zur Ruhe zurück, sondern er
erhebt sich vermöge der erlangten Geschwindigkeit noch einmal zu
einem Wellenberg, dem ein zweites Wellenthal folgt, u. s. f. Diese
folgenden Wellen breiten ähnlich wie die erste sich aus, aber sie
werden immer schwächer, bis endlich die Wellenbewegung gänzlich
erlischt. Aehnliche Nachschwingungen folgen auch auf eine negative
Welle, hier folgt nach Ablauf der ersten Welle zunächst ein zweites
Wellenthal, u. s. f.

Die Ursache dieser Wellenbewegungen ergibt sich aus den früher
erörterten Gesetzen des Aggregatzustandes der Flüssigkeiten. Wenn
[122]Von der Schwere.
wir einen Körper in eine Flüssigkeit werfen, so bildet derselbe durch
die lebendige Kraft seines Falls eine Vertiefung, und die von ihm
verdrängte Flüssigkeit muss sich wie ein Wall um diese Vertiefung
erheben. Da aber die Flüssigkeit nur bei vollkommen horizontalem
Niveau im Gleichgewicht ist, so muss jener emporgetriebene Wall
vermöge seiner Schwere wieder herabfallen. Dabei erlangt er nun
eine gewisse lebendige Kraft, so dass er unter das Niveau sinkt. In
Folge dessen wirkt er auf die ihn umgebende Flüssigkeit gerade so
wie der hineingeworfene Körper auf ihn selbst wirkte, und so muss,
allmälig schwächer werdend, die Welle kreisförmig sich fortpflanzen.
Völlig ähnlich verhält es sich mit der negativen Welle, nur ist bei ihr
die Aufeinanderfolge der Gleichgewichtsstörungen die umgekehrte.

Die Bahn, welche die einzelnen Flüssigkeitstheilchen bei der
Wellenbewegung beschreiben, ergibt sich aus einer sehr einfachen Be-
trachtung. Offenbar wird nämlich ein Flüssigkeitstheilchen in jedem
Augenblick in demjenigen Sinn bewegt, in welchem sich die Welle
bewegt, an der es Theil nimmt. Wenn also ein Wellenberg entsteht,
so wird ein an der Stelle desselben befindliches Theilchen vorwärts
und aufwärts gedrängt, sinkt der Berg wieder, so muss sich das
Theilchen vorwärts und abwärts bewegen. Die während der Dauer
des Wellenbergs beschriebene Bahn eines Theilchens wird also durch
A (Fig. 50) dargestellt, wobei die Pfeilspitze die Richtung der Bewe-

gung anzeigt. Geht dann der Wellenberg in das Wellenthal über, so
wird jedes Theilchen zuerst nach rückwärts und abwärts und dann
nach rückwärts und aufwärts bewegt, während der Dauer des Wellen-
thals wird also die Bahn durch B dargestellt. Combiniren wir beide
Bewegungen, so erhalten wir C, die Bahn eines Theilchens während
der Dauer einer ganzen Welle. Dabei ist vorausgesetzt, dass der
Wellenberg ebenso hoch ist als das Wellenthal tief ist. Man sieht,
dass in diesem Fall ein einzelnes Flüssigkeitstheilchen nach Beendigung
der Wellenbewegung sich wieder am selben Ort befindet, den es im
Anfang einnahm. Die Welle ist nur eine fortschreitende Form,
sie besteht nicht in einer Vorwärtsbewegung der Flüssigkeit. Leicht
lässt das Fortschreiten der ganzen Wellenform aus der Bewegung
jedes einzelnen Theilchens sich ableiten. Wir wollen vorerst der Ein-
fachheit wegen die Bahn der Flüssigkeitstheilchen als kreisförmig
voraussetzen. Betrachten wir nun alle Flüssigkeitstheilchen, welche
die Oberfläche der Welle A (in Fig. 51) bilden, so wird jedes der-
[123]Von der Wellenbewegung der Flüssigkeiten.

selben auf seiner kreisförmigen Bahn in gleichen Zeitmomenten gleiche
Wegstrecken zurücklegen. Indem das Theilchen 1 in a nach 2 ge-
langte, sind auch 1 b, 1 c, 1 d u. s. w. nach 2 vorgeschritten. Ver-
binden wir also sämmtliche Orte 2 durch eine Linie, so erhalten wir
die durch die punktirte Linie B bezeichnete Lage der Welle A im
nächsten Zeitmomente. Die Welle B hat aber vollkommen dieselbe
Gestalt wie die Welle A, sie ist nur um eine kleine Strecke nach
vorwärts bewegt. Ebenso befindet sich die Welle in ein einem dritten
Moment in C, wir haben sie in dieser Lage wieder durch eine ausge-
zogene Linie dargestellt. Hat sich das Theilchen 1 bis nach 4 be-
wegt, hat es also eine halbe Schwingung zurückgelegt, so wird da
wo sich im Moment 1 der Wellenberg A befindet ein Wellenthal
sein. Dagegen befindet sich wieder ein Wellenberg bei A, wenn
das Theilchen nach 1 zurückgekehrt ist, also eine ganze Schwingung
vollendet hat. Solche durch eine Gleichgewichtsstörung erzeugte Flüs-
sigkeitswellen, bei denen jedes einzelne Theilchen fortwährend in sich
zurückkehrende Bahnen beschreibt, entsprechen offenbar vollständig
den in §. 40 betrachteten stehenden Schwingungen; sie sind nur
die besondere Form, in welcher die stehenden Schwingungen der
Flüssigkeitswellen auftreten.

Die Bahnen, welche die einzelnen Flüssigkeitstheilchen bei der
Wellenbewegung beschreiben, sind im Allgemeinen nicht, wie hier an-
genommen wurde, von kreisförmiger, sondern von elliptischer Form,
wobei die grössere Axe der Ellipse parallel ist der Oberfläche der
ruhenden Flüssigkeit. Unmittelbar an der Oberfläche nähern sich die
Ellipsen am meisten der Kreisform, tiefer unten wird die verticale Axe
der Ellipsen immer kleiner, und zuletzt gehen die Theilchen nur noch
in horizontaler Richtung hin und her. Diese Bewegungen lassen sich
unmittelbar wahrnehmen, wenn man kleine feste Körper, die ein glei-
ches specifisches Gewicht mit dem Wasser besitzen, in diesem ver-
theilt hat und dann Wellen erregt. Die festen Körperchen beschreiben
in diesem Fall die nämlichen Bahnen wie die Wassertheilchen.

Wir haben bisher vorausgesetzt, der Wellenberg sei an Länge87
Verschiedenheit
von Wellen-
berg und Wel-
lenthal. Vor-
und rückwärts
schreitende
Wellen.
ebenso gross als das Wellenthal. Ist dies nicht der Fall, so entsteht
eine wesentliche Veränderung in der Bewegung der Flüssigkeitstheil-
chen. Nehmen wir znnächst an, der Wellenberg sei länger als das
[124]Von der Schwere.
Wellenthal, so wird ein Theilchen, das wie vorhin während des An-
und Absteigens der Bergwelle die Bahn a b beschrieben hat, nun
während des Verlaufs der Thalwelle die kleinere Bahn b c (Fig. 52 A)
zurücklegen. In diesem Fall gelangt also das Theilchen nach Been-

digung der Welle nicht vollständig in seine Anfangslage zurück, son-
dern es ist um die Strecke a c vorwärts geschritten. Wenn nun eine
neue Welle entsteht, so beschreibt das Theilchen während des Ablaufs
derselben noch einmal die ähnliche Bahn, und so legt z. B. während
vier auf einander folgender Wellen ein Theilchen den Weg von a bis
f (Fig. 52 B) zurück. Setzen wir hingegen voraus, das Wellenthal
entstünde zuerst und sei grösser als der darauf folgende Wellenberg,
so wird das Theilchen während der Zeit des Wellenbergs den Bogen
b c beschreiben (Fig. 53 A). Hier wird sich also das Theilchen um

die Strecke a c rückwärts bewegt haben, und während vier auf einan-
der folgender Wellen wird es den Weg a f (Fig. 53 B) zurücklegen.
Hieraus ergiebt sich die Regel, dass sobald Wellenberg und Wellen-
thal nicht einander gleich sind eine Fortbewegung der Flüssig-
keitstheilchen stattfindet, und dass diese Bewegung vorwärts gerich-
tet ist, d. h. mit der Fortpflanzungsrichtung der Welle zusammenfällt,
wenn die Länge des Wellenbergs überwiegt, und dass umgekehrt die
Bewegung rückwärts d. h. der Fortpflanzung der Welle entgegen-
gesetzt gerichtet ist, wenn die Länge des Wellenthals grösser ist. In
diesen Fällen ist also stets mit der Wellenbewegung eine Strömung
der Flüssigkeit verbunden.

So hat uns die Betrachtung der Bahn der Flüssigkeitstheilchen
von selbst auf die Combination der Strömungsbewegung mit
der Wellenbewegung geführt. Wenn in einer strömenden Flüssig-
keit positive Wellen erregt werden, z. B. dadurch, dass die Flüssig-
keit mit zu- und abnehmender Geschwindigkeit einströmt, so müssen
die Flüssigkeitstheilchen einen Weg wie in Fig. 52 beschreiben. Je
schneller nach einander die positiven Wellen erregt werden, um so
grösser werden die Wellenberge im Verhältniss zu den Wellenthälern.
[125]Stromlauf in elastischen Röhren.
Kommt in dem Moment wo der Berg in das Thal übergehen sollte
schon eine neue Welle an, so verschwinden die Wellenthäler gänzlich,
und die Bahnen, welche die einzelnen Flüssigkeitstheilchen beschrei-

ben, werden dann durch die Fig. 54 A
dargestellt. Mit Strömung verbundene
negative Wellen, wie in Fig. 53, las-
sen sich erzeugen, wenn man z. B.
eine in einem Reservoir befindliche
Flüssigkeit auspumpt. Bei jedem Pum-
penstoss entsteht eine negative Welle,
die sich ausbreitet, während zugleich die Flüssigkeitstheilchen gegen
die Pumpe hin, also der Fortpflanzung der Welle entgegengesetzt,
bewegt werden. Hier werden natürlich die Wellenthäler relativer
immer grösser, je schneller die Pumpenstösse sich folgen, bis endlich
eine der Fig. 54 B entsprechende Form entsteht.

Zehntes Capitel.
Stromlauf in elastischen Röhren.

Die Gesetze der Wellenbewegung von Flüssigkeiten finden eine88
Einfluss der
Elasticät des
Rohrs auf den
Stromlauf.
physiologisch wichtige Anwendung auf die Bewegung der Flüssigkei-
ten in ausdehnsamen elastischen Röhren. Wir haben uns
früher auf die Untersuchung der Flüssigkeitsbewegung in einem Röh-
rensystem mit starren unausdehnsamen Wänden beschränkt, in wel-
chem im Allgemeinen immer die Bewegung als eine geradlinige Strö-
mungsbewegung angesehen werden muss. Die Ausdehnbarkeit der
Wandungen gestattet nun den Flüssigkeitstheilchen eine Abweichung
von der geradlinigen Bahn. Innerhalb einer elastischen Röhre kann
daher eine Flüssigkeit nicht nur in Strömungsbewegung sondern auch
in Wellenbewegung befindlich sein. Es ist übrigens leicht einzusehen,
dass auch in der elastischen Röhre nur dann eine Wellenbewegung
der Flüssigkeit möglich ist, wenn die Kraft, welche die Bewegung er-
zeugt, stossweise einwirkt. Bei einem continuirlichen Druck von
constanter Grösse würde das dehnbare Rohr sehr bald in seiner gan-
zen Länge die dem Druck entsprechende Ausdehnung annehmen,
worauf sich die Flüssigkeit in ihm gerade so wie in einer starren
Röhre bewegen müsste.

Wir beziehen unsere Betrachtung sogleich auf ein mit Flüssig-
keit gefülltes Röhrensystem, in welchem die einzelnen Stösse in regel-
mässigen Perioden auf einander folgen, und in welchem die Flüssigkeits-
menge dadurch constant bleibt, dass bei jedem Stoss ein dem einge-
drungenen gleiches Quantum von Flüssigkeit das System verlässt.
Dies sind die Bedingungen, die beim Kreislauf des Blutes in der That
[126]Von der Schwere.
verwirklicht, aber dadurch noch complicirt sind, dass derselbe aus
zwei mit einander zusammenhängenden Systemen dieser Art besteht.

Jeder elastische Körper übt auf eine ihn ausdehnende Kraft eine
dieser Kraft gleiche Gegenwirkung aus, durch die er in seine frühere
Form zurückzukehren strebt und wirklich zurückkehrt, sobald die Kraft
entfernt wird. Treiben wir daher in ein bereits gleichmässig mit
Flüssigkeit erfülltes elastisches Rohr ein neues Quantum von Flüssig-
keit, so wird das Rohr an der Stelle, wo die Flüssigkeit eindringt,
ausgedehnt. Nach Maassgabe dieser Ausdehnung übt es einen Druck
auf seinen Inhalt aus. Dieser wird in Folge dessen in die nächste,
noch nicht ausgedehnte Strecke des Rohrs gedrängt, es entsteht nun
an dieser zweiten Stelle eine Ausdehnung, während sie an der ersten
verschwindet. So wird die Ausdehnung successiv über die ganze
Röhre bis an das entgegengesetzte Ende derselben fortschreiten.
Wenn dieses letztere verschlossen wäre, so würde das an dasselbe
grenzende Röhrenstück bei seiner Rückkehr zum früheren Volum die
Flüssigkeit wieder rückwärts treiben: es würde dann die Welle mit
abnehmender Stärke mehrmals hin- und herschreiten, bis die Röhre in
dem neuen ausgedehnten Zustand im Gleichgewicht wäre. Unter der
hier an die Spitze gestellten Voraussetzung aber, dass aus dem Röh-
rensystem dasselbe Quantum Flüssigkeit ausströmt, als in dasselbe
einströmt, wird, nachdem die Welle an das Ende der Röhre gelangt
ist, dieses so weit sich entleeren, dass es wieder auf sein früheres
Lumen zurückkehrt, und es wird damit die ganze Wellenbewegung
des elastischen Rohrs ein Ende haben. Wir haben es also in diesem
Fall nur mit fortschreitenden Wellen zu thun, wobei nach jeder
Welle die Flüssigkeit in Ruhe kommt, bis durch einen neuen Stoss
eine neue Welle erzeugt wird.

Es ist von vornherein klar, dass die Geschwindigkeit der Flüs-
sigkeitsströmung durch die Ausdehnbarkeit der Röhre, in der die
Flüssigkeit eingeschlossen ist, bedeutend verlangsamt werden muss.
Aus einem vollkommen starren Rohr müsste im selben Moment, in
welchem am einen Ende Flüssigkeit eingelassen wird, am andern
Ende ein gleiches Quantum ausfliessen. Aus dem dehnbaren Rohr
wird aber dieses Quantum erst dann ausgeflossen sein, wenn die Welle
ihren Weg über die ganze Länge des Rohres zurückgelegt hat. Zu-
gleich muss aber dieses Quantum auch langsamer ausfliessen, als
es in die Röhre eingetrieben wurde. Denn wie es keinen vollkommen
starren Körper giebt, und daher jene Voraussetzung der Strömung in
einem starren Rohr nie in aller Strenge verwirklicht ist, ebenso wenig gibt
es einen so ausdehnsamen Körper, dass derselbe nicht einen gewissen
Widerstand der dehnenden Kraft entgegensetzt. Wenn also Flüssig-
keit in ein Rohr eingetrieben wird, so wird, während dasselbe an
[127]Stromlauf in elastischen Röhren.
dieser Stelle sich ausdehnt, doch auch zugleich der Stoss in der
Richtung der Längsaxe der Röhre auf die Flüssigkeit sich fort-
pflanzen. Die ganze in der Röhre enthaltene Flüssigkeit geräth da-
durch in eine geradlinige Strömungsbewegung. Im Moment, in wel-
chem das Eintreiben der Flüssigkeit aufhört, hat der erste Abschnitt
der Röhre das Maximum seiner Ausdehnung erreicht und beginnt nun
wieder auf sein früheres Lumen zurückzukehren. Dies wirkt aber
offenbar auf alle folgenden Abschnitte der Röhre gerade so, als wenn
das Eintreiben der Flüssigkeit noch fortdauerte, und es wird demnach
in ihnen auch die geradlinige Strömung der Flüssigkeit andauern. Im
zweiten Abschnitt der Röhre kommt, wie vorhin beim ersten, hierzu
noch die Erweiterung des Lumens durch die in Folge der Einsinkung
des ersten Abschnitts eingetriebene Flüssigkeit. Diese pflanzt sich
auf den dritten, vierten Abschnitt u. s. w. fort. Auf diese Weise wird
in jedem Röhrenstück, so lange irgend ein vorausliegender Abschnitt
desselben nach vorausgegangener Ausdehnung in Verengerung be-
griffen ist, eine vorwärtsgehende Strömung der Flüssigkeit vorhanden
sein. In demjenigen Abschnitt aber, welcher selbst unter dem Einfluss
der eingetriebenen Flüssigkeit sich ausdehnt und dann verengt, wird
die Schwingung der elastischen Wandung auf die Bewegung der in
ihr enthaltenen Flüssigkeit sich übertragen, es wird also jedes Flüssig-
keitstheilchen eine ähnliche Bewegung ausführen, wie wir sie bei der
Wellenbewegung der Flüssigkeit kennen gelernt haben, denn es folgen
an dem elastischen Rohr und demzufolge auch an seinem Inhalt Berg-
und Thalwelle in ähnlicher Weise auf einander wie an der Oberfläche
einer Flüssigkeit, die in Wellenbewegung begriffen ist. Wäre das
Ende des Rohrs verschlossen, so würde jedes Theilchen eine ellipti-
sche, in sich zurücklaufende Bahn beschreiben, wie in Fig. 50 C. Da
dies nach unserer Voraussetzung nicht der Fall ist und daher der
ganze Inhalt des Rohrs, so lange ein Ausfliessen stattfindet, in einer
vorwärtsgehenden Strömung begriffen ist, so muss die fortschreitende
Bewegung mit der Wellenbewegung sich combiniren. Die Bewegung
eines Flüssigkeitstheilchens in irgend einem von der Einflussöffnung
entfernt gelegenen Abschnitt der Röhre wird also ungefähr die Form
wie in Fig. 52 darbieten. Je weiter entfernt der betreffende Röhren-
abschnitt von der Einflussöffnung des Rohres liegt, um so flacher wird
die Welle, um so mehr tritt der in sich zurücklaufende gegen den
fortschreitenden Theil der Bahn zurück, bis endlich die Wellenform
ganz verschwindet und die Flüsigkeitstheilchen nur noch geradlinig
sich fortbewegen.

Es ist nun klar, dass da wo die Wellenbewegung ein Ende hat
und nur noch die Strömungsbewegung vorhanden ist, die Geschwin-
digkeit der letzteren auch eine gleichförmige geworden sein muss.
Denn ungleichförmig wird die Strömung ja nur in Folge der Wellen-
[128]Von der Schwere.
bewegung, und wo in einem elastischen Rohr Ungleichförmigkeiten
der Strömung vorhanden sind, da muss nothwendig die Wandung des-
selben in Wellenbewegungen gerathen, die sich der Flüssigkeit mit-
theilen. Angenommen, in einem Röhrenabschnitt nehme die Geschwin-
digkeit der Flüssigkeit zu, so muss die unter diesem Abschnitt gele-
gene Stelle der Röhre in Folge des vermehrten Einströmens sich aus-
dehnen; nimmt dann die Geschwindigkeit des Einströmens ab, so
muss sich umgekehrt das Lumen der Röhre zusammenziehen.

Je dehnbarer die Wandung des elastischen Rohrs ist, um so
höher wird die in ihm verlaufende Flüssigkeitswelle, und um so
kürzer deren Länge. Denn giebt die Wandung verhältnissmässig
leicht dem Druck der Flüssigkeit nach, so wird der an der Einmün-
dungsstelle gelegene Abschnitt der Röhre schnell so weit ausgedehnt,
dass er die hineingetriebene Flüssigkeitsmenge vollständig zu fassen
vermag. Sind dagegen die Wandungen unnachgiebiger, so ist der
entstehende Wellenberg lang, aber weniger hoch. Entsprechend muss
die Geschwindigkeit, mit welcher die Wellenbewegung sich fortpflanzt,
zunehmen, je starrer die Röhre wird. Eine vollkommen starre Röhre
bildet gleichsam die Grenze, indem in ihr die Bewegung mit unend-
licher Geschwindigkeit sich fortpflanzt und die Länge der Welle un-
endlich gross, ihre Höhe aber unendlich klein, d. h. die Wellenbewe-
gung zu einer geradlinigen Fortbewegung der Flüssigkeit wird.

Die Ausdehnung, welche die Wandung einer elastischen Röhre
erfährt, ist ausser von der Ausdehnbarkeit derselben auch von der
Grösse des Drucks abhängig, welchen die eingetriebene Flüssigkeit
ausübt. Nun entspricht aber der Druck an der Einflussöffnung der
Summe der Widerstände, welche die Flüssigkeit bei ihrer Bewegung
zu überwinden hat, und er nimmt demzufolge in dem Maasse ab, als
bereits Widerstände überwunden sind. So sinkt z. B., wie wir ge-
sehen haben, in einem verzweigten Röhrensystem der Druck beträcht-
lich unterhalb den Verzweigungsstellen. Entsprechend muss demnach
auch die Wellenbewegung unter den Verzweigungsstellen abnehmen.

Vergleichen wir die Bewegung einer in einem elastischen Röh-
rensystem eingeschlossenen Flüssigkeit mit der Bewegung, wie sie
unter sonst gleichen Bedingungen in einem System mit starren Wan-
dungen stattfindet, so besteht sichtlich die Hauptdifferenz darin, dass
in dem ganzen Verlauf des starren Röhrensystems die Bewegung der
Flüssigkeit vollständig dem stossweisen Eindringen derselben an der
Einflussöffnung entspricht, dass daher in einem gegebenen Zeitpunkt
durch alle Querschnitte des Systems immer gleich viel Flüssigkeits-
theilchen hindurchdringen, somit auch die Veränderungen der Ge-
schwindigkeit während der einzelnen Stösse im ganzen System einan-
der vollständig correspondiren, nämlich zuerst auf ein Maximum an-
[129]Stromlauf in elastischen Röhren.
wachsen und dann wieder sinken, so dass in dem Moment wo der
Druck an der Einflussöffnung ein Ende hat auch die Flüssigkeit im
ganzen Röhrensystem wieder zur Ruhe zurückkehrt. In dem elasti-
schen Röhrensystem dagegen nehmen nur die unmittelbar an der Ein-
flussöffnung gelegenen Theilchen die der jeweiligen Periode des Stos-
ses correspondirende Geschwindigkeit an, so dass an der Stelle der
Einflussöffnung die Bewegung von null an auf ein Maximum steigt
und dann wieder auf null zurücksinkt; selbstverständlich sind es hier-
bei nicht die nämlichen Theilchen, welche successiv diese Phasen der
Geschwindigkeit zeigen, sondern jedes Theilchen hat nur während
seines Durchtretens durch jene Oeffnung die der gerade vorhandenen
Periode des Stosses entsprechende Bewegung. In allen entfernter ge-
legenen Abschnitten des Röhrensystems dagegen ist in dem Moment,
in welchem der Stoss aufhört, noch eine durch die fortschreitende
Welle bedingte Bewegung der Flüssigkeit vorhanden. Der Zeitpunkt,
während dessen die Flüssigkeit in Ruhe ist, wird daher schon am
allernächsten Röhrenabschnitt kleiner, und entfernt man sich so weit
von der Einflussöffnung, dass ein neuer Stoss schon beginnt, ehe die
Welle bereits über die betreffende Stelle hinausgegangen ist, so wird
gar keine Unterbrechung der Bewegung, sondern nur eine abwech-
selnde Zunahme und Abnahme der Geschwindigkeit stattfinden. Auch die
Unterschiede dieser Zu- und Abnahme werden immer geringer, bis sie
endlich an dem Punkt, wo die Welle erlischt, verschwinden und einer
völlig gleichförmigen Bewegung Platz machen. Das wesentliche Merk-
mal der Flüssigkeitsbewegung in einem elastischen Röhrensystem be-
steht in dieser allmäligen Transformation der stossweisen in eine
gleichförmige Bewegung, welche Umwandlung um so rascher ge-
schieht, je schneller die Welle des elastischen Rohrs in Folge der in
dem System vorhandenen Widerstände erlischt.

Die Anwendung der erörterten Gesetze der Flüssigkeitsbewegung91
Anwendung
auf die Blut-
bewegung in
den Gefässen.
in elastischen Röhren auf die Verhältnisse des Blutkreislaufs ist eine
naheliegende. Die Blutgefässe bilden zwei zusammenhängende Sy-
steme elastischer Röhren, das grosse und das kleine Kreislaufsystem,
in deren jedem vom einen Ende aus bei der Zusammenziehung der
Herzkammern eine positive Welle, vom andern Ende aus bei der Er-
weiterung der Vorhöfe eine negative Welle sich fortpflanzt. Da die
positive Welle eine Fortbewegung der Flüssigkeit in der Richtung
ihres Verlaufs, die negative Welle dagegen eine Fortbewegung in der
ihrem Verlauf entgegengesetzten Richtung zur Folge hat, so wirken
beide Wellenbewegungen auf die Strömung der Flüssigkeit im gleichen
Sinne. Die positive Welle ist die stärkere, weil in den grossen Ar-
terien schon zuvor das Blut unter einem höheren Druck als in den
grossen Venen steht, die erstere pflanzt daher auch weiter sich fort,
Wundt, medicinische Physik. 9
[130]Von der Schwere.
sie erlischt erst am Eingang in das Capillarsystem, während die
negative Venenwelle nur im Anfang des Venensystems zur Beobach-
tung kommt. Bis in die kleinsten Arterien verliert die positive Welle
wenig an ihrer Kraft, erst hier wachsen durch zahlreiche Verzweigun-
gen die Widerstände so bedeutend, dass die Welle fast plötzlich ihr
Ende erreicht. Die Bewegung des Blutstroms ist theils von diesen
Verhältnissen der Fortpflanzung der Welle, theils von dem Rhythmus
der Herzbewegungen abhängig. Während der Herzpause muss die
Geschwindigkeit des Stroms am Eingang in das Arteriensystem null
sein; der Blutstrom ist desshalb hier ein intermittirender. Aber
die Herzbewegungen folgen schnell genug auf einander, dass schon
in den aus der Verzweigung der Körperschagader hervorgehenden
Stämmen die Bewegung des Blutes nie vollkommen still steht, sie ist
daher in diesen eine remittirende und bleibt dies bis in das Capil-
larsystem, wo sie in eine gleichförmige Strömung sich umwandelt;
also solche erhält sie sich bis in die grösseren Venen, wo durch die
negative Welle von neuem Remissionen auftreten. Doch wird sogar
an der Einmündungsstelle des Venensystems die Bewegung nicht wie-
der intermittirend, da hier, auch wenn die negative Welle nicht vor-
handen wäre, doch immer noch ein continuirliches Ausströmen in Folge
der positiven Welle im Arteriensystem übrig bliebe.

Die positive Welle der Arterien gibt sich uns als Arterienpuls
zu erkennen. Die physikalische Beschaffenheit des Arterienpulses ist
eines der wichtigsten Merkmale für die Beurtheilung der Zustände und
Functionen der Kreislaufsorgane. Wir haben daher zum Schlusse die-
ses Capitels noch die wichtigsten bei der Untersuchung des Pulses
massgebenden physikalischen Gesichtspunkte hervorzuheben. Das ein-
fachste und in gewissem Sinn unentbehrliche Hülfsmittel dieser Unter-
suchung ist die tastende Hand. Diese unterscheidet zunächst die
Geschwindigkeit in der Aufeinanderfolge der einzelnen Pulswellen,
welche stets genau derjenigen Geschwindigkeit entsprechen muss, mit
welcher an der Ursprungsstelle des Arteriensystems durch die Contrac-
tionen der Herzkammern die einzelnen Wellen erzeugt werden. Alle
Unregelmässigkeiten im Rhythmus des Pulses, mögen sie nun darin
bestehen, dass der Puls Pausen von verschiedener Dauer macht, oder
darin, dass er abwechselnd stärker und schwächer wird, müssen daher
auf entsprechende Unregelmässigkeiten der Zusammenziehungen des
Herzens bezogen werden. Dagegen können die in der Beschaffenheit
der einzelnen Blutwelle zu beobachtenden Unterschiede bald von
der ursprünglichen Erzeugungsart der Welle bald von der Eigenthüm-
lichkeit der Gefässwandung, an welcher die Welle verläuft, abhängig
sein.

In letzterer Beziehung können wir die grössere oder geringere
[131]Stromlauf in elastischen Röhren.
Erfüllung der Gefässe mit Blut und die grössere oder geringere
Spannung der Gefässwände unterscheiden. Je mehr eine Arterie an-
gefüllt ist, um so stärker ist auch die Spannung ihrer Wandung. Aber
ausserdem ist die Spannung auch abhängig von dem Zustand der Mus-
keln, namentlich der Kreismuskelfasern, welche in die Zusammensetzung
der Wandungen eingehen. Wenn diese sich zu contrahiren und dem-
nach das Lumen der Gefässe zu verengern streben, so wird dadurch
die Spannung vergrössert, während die Spannung abnimmt, wenn die Ge-
fässmuskeln erschlafft sind. Aus diesem Grunde unterscheidet man einen
vollen oder leeren und einen harten oder weichen Puls. Voll ist
der Puls, wenn die Arterie stark mit Blut angefüllt ist; hart nennt man ihn,
wenn die Spannung der Arterie beträchtlich ist. Für die Beurtheilung des
Zustandes der Arterienwandung ist auch der Umstand, ob man den Puls
mehr oder weniger deutlich zu fühlen vermag, nicht unwesentlich. Ein
schwacher Puls kann entweder von Schwäche der Herzaction oder
von einer Bedeckung der Arterie durch andere Weichtheile oder von
einer starken Verengerung ihres Lumens oder aber endlich von einer
Rigidität der Arterienwandungen herrühren. Wenn diese, wie es im
höheren Alter häufig geschieht, die Beschaffenheit starrer Röhren an-
nehmen, so kann der Puls fast gänzlich verschwinden. Am wichtigsten

ist endlich die Art und Weise,
wie die Pulswelle in der Zeit ver-
läuft. Mittelst der blossen Beta-
stung kann dieser Verlauf nur un-
vollkommen beurtheilt werden. Zu
einer genaueren Feststellung des-
selben bedient man sich daher der
graphischen Aufzeichnung des
Verlaufes der Pulswelle durch ei-
nen auf die Arterie gesetzten He-
bel. Wir werden die zweckmässig-
ste Methode der graphischen Auf-
zeichnung, die neuerdings auch
vielfach Eingang in die Praxis ge-
funden hat, nachher erörtern. Zu-
vor aber wollen wir die wichtigsten
Unterschiede im Verlauf der Puls-
welle, die man auf diese Weise
nachzuweisen vermag, in’s Auge
fassen.

Diese Unterschiede betreffen:
1) die Raschheit des Anstei-
gens der Pulswelle. Ein rasch an-
steigender Puls wird gewöhnlich
9 *
[132]Von der Schwere.
als schneller Puls bezeichnet und ihm der langsame Puls entge-
gengesetzt. Fig. 55 A und B zeigen Beispiele dieser Pulsformen, die
von der Häufigkeit oder Seltenheit des Pulses streng zu unterscheiden
sind; ein häufiger Puls kann langsam (wie in B Fig. 55) und ein seltener
Puls schnell (wie in A) sein oder umgekehrt. 2) Die Raschheit des
Sinkens der Pulswelle. Zuweilen sinkt der Puls sehr schnell, nach-
dem er angestiegen ist (C); manchmal bleibt er einige Zeit auf an-
nähernd gleicher Höhe und sinkt dann langsam (D); 3) die Einfach-
heit oder Doppelschlägigkeit des Pulses. Als einfach bezeich-
nen wir den Puls, wenn jede einzelne Pulswelle aus einem einzigen
An- und Absteigen besteht. Doppelschlägig dagegen nennt man ihn,
wenn dieses An- und Absteigen sich noch einmal, wenn gleich schwä-
cher, vor dem Eintritt einer neuen Pulswelle wiederholt. Dabei kann
die Wiederholung der Oscillation entweder während der Periode des
Ansteigens stattfinden (E), was jedoch seltener geschieht, oder sie
kann während der Periode des Absteigens vorkommen (F), im letztern
Fall fällt die Form des Pulses verschieden aus, je nachdem die Welle
mehr oder weniger abgelaufen ist.

Für die Ursachen dieser manchfachen Verschiedenheiten der
Pulsformen lassen folgende physikalische Ursachen sich angeben. Die
Pulswelle wird um so rascher ansteigen, je schneller der an der
Einmündungsstelle des Arteriensystems die ganze Wellenbewegung ver-
ursachende Flüssigkeitsstoss ist. Im allgemeinen deutet also diese
Pulsform auf eine rasche Ventrikelcontraction. Sie kann aber auch
andeuten, dass die Widerstände, die das Blut an der Einmündungs-
stelle in das Arteriensystem vorfindet, geringer sind als gewöhnlich;
man findet daher den schnellen Puls in besonders auffallendem Grade
bei fehlendem Schluss der Aortenklappen. Die Raschheit des Sinkens
der Pulswelle ist dagegen ganz und gar von der Beschaffenheit der
Arterienwände abhängig. Diese werden schneller nach jeder Aus-
dehnung wieder zusammensinken, wenn sie dehnbar und von vollkom-
mener Elasticität sind, weil dann die Pulswelle höher und kürzer ist,
als wenn die Wandungen eine starre Beschaffenheit besitzen: im letz-
teren Fall (z. B. an den verknöcherten Arterien der Greise) beobach-
tet man daher einen sehr langsam sinkenden Puls. Eine Wiederholung
der Schwingung vor Eintritt einer neuen Pulswelle (doppelschlägigen
Puls) findet man namentlich dann, wenn die Welle schnell sinkt
und zugleich die Gefässwandung von kleiner aber vollkommener Elas-
ticität ist; an rigiden Arterien fehlt daher der doppelschlägige Puls;
er ist dagegen sehr stark, wenn die Spannung der Arterienwandungen
ungewöhnlich vermindert ist, was in fieberhaften Krankheiten (beson-
ders im Typhus) vorzukommen pflegt. Unterstützt wird sein Auftreten
durch Widerstände, welche sich dem Strom nach abwärts von der
beobachteten Stelle entgegensetzen. Dies lässt sich experimentell
[133]Stromlauf in elastischen Röhren.
nachweisen an den Nachschwingungen eines mit Flüssigkeit gefüllten
elastischen Schlauchs, die ebenfalls beträchtlich zunehmen, wenn man
den Widerstand an der Ausflussöffnung (z. B. durch Verengerung des
Rohres) vergrössert. Hiermit stimmt überein, dass die Doppelheit
des Pulses um so deutlicher sich zeigt, je näher die betreffende
Arterie dem Capillarsystem gelegen ist.

Von den zuletzt angeführten Eigenthümlichkeiten des Verlaufs der
Pulswellen vermag die zufühlende Hand höchstens die Raschheit des
Ansteigens und höhere Grade der Doppelschlägigkeit zu unterscheiden.
Eine genauere Analyse des Pulsverlaufs ist nur mittelst des Sphyg-
mographen (Pulszeichners) möglich. Die Fig. 56 zeigt diesen Apparat
schematisch vereinfacht nach der ihm von Marey gegebenen Form
entworfen. An dem Gestell C desselben ist bei a eine Feder be-
festigt; diese Feder trägt an ihrem freien Ende eine kleine Platte p,
welche auf die Arterie aufgelegt wird. Die Platte p besitzt oben einen
Stift c, der die Bewegungen, in welche die Feder durch den Arterien-
puls versetzt wird, dem Hebel h mittheilt. Letzterer besteht, um mög-
lichst wenig Masse zu haben, aus Aluminium, einem bekanntlich durch
sein geringes specifisches Gewicht ausgezeichneten Metall. Um die
Axe o ist der Hebel drehbar, und er zeichnet seine Bewegungen
mittelst eines an seinem vorderen Ende befestigten Pinsels auf eine
durch das Uhrwerk B an ihm vorbeibewegte Aluminiumplatte A auf.

So erhält man Curven, wie sie in Fig. 55 mitgetheilt sind. In allen
diesen Curven ist wegen der Länge des Hebels die Höhe der Puls-
welle stark vergrössert und dagegen wegen der verhältnissmässig ge-
ringen Geschwindigkeit, mit der die Aluminiumplatte bewegt wird,
deren Länge verkleinert.

Die genauere Beschreibung des Apparates vergl. bei Marey, physiologie médi-
cale de la circulation du sang, Paris 1863, p. 179 f. Beispiele von Pulscurven, deren
Hauptformen sich übrigens sämmtlich auf die oben mitgetheilten reduciren lassen,
findet man theils in diesem Werk, theils bei Wolff, Charakteristik des Arterienpul-
ses, Leipzig 1865.

Elftes Capitel.
Vom gasförmigen Aggregatzustand.