§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul. Taxirung von Aussagen nach
ihrer Gültigkeitsdauer und Klasse der Anwendungsgelegenheiten.

Die bisherigen Betrachtungen des Gebiete- und Klassenkalkuls
haben wir jeweils durch ein flächenförmiges, ein zweidimensionales
Substrat illustrirt. Dass dieser Umstand nebensächlich ist, wurde in-
dess schon in § 3 hervorgehoben; wir durften ebensogut eine höhere
oder auch eine niedrere Mannigfaltigkeit wählen.

Ohnehin hat die Veranschaulichung kein wesentliches Moment bei dem
Aufbau unsrer Disziplin gebildet. Wir haben deren Prinzipien einfach
axiomatisch hingestellt, und gingen dann streng analytisch zuwerke; bei
den auf diese Prinzipien gegründeten Schlüssen und Beweisen liess es sich
durchweg vermeiden, dass jemals an die Anschauung appellirt werden
musste. Ob — wie F. A. Lange meint — solche Anschaulichkeit bei den
ersten Prinzipien wenigstens erforderlich war, um das Gefühl der Evidenz
hervorzurufen, überliessen wir der Psychologie, zu entscheiden.

Veranschaulichungsmittel wurden von uns nur nebenher, aus didak-
tischen Gründen herbeigezogen, und in dieser Weise werden wir auch
fortfahren uns zu verhalten.

Wenn es (demnach) auch nach wie vor theoretisch unwesentlich
bleibt, so wird es doch in erzieherischer Hinsicht von Wichtigkeit —
um zu einer richtigen Auffassung des Folgenden erleichternd vorzu-
bereiten — dass wir die Aufmerksamkeit nunmehr auf eine Mannig-
faltigkeit von einer Dimension, auf eine „lineare“ Mannigfaltigkeit kon-
zentriren, die Deutung der Sätze des Gebietekalkuls in einer solchen
einüben.

Verstehen wir namentlich unter der identischen 1 die Mannig-
faltigkeit der Punkte einer nach beiden Seiten unbegrenzten geraden Linie,
so gelten wiederum alle bisherigen Sätze.

Unter a, b, ‥ werden wir jetzt irgendwelche Punktgebiete dieser
Geraden zu verstehen haben.

Ein solches Gebiet wird im allgemeinen sein ein System von inner-
halb dieser Geraden liegenden von einander getrennten Strecken nebst
Schröder, Algebra der Logik. II. 1
[2]Fünfzehnte Vorlesung.
irgend welchen dazwischen oder ausserhalb dieser Strecken auf der Geraden
befindlichen isolirten Punkten. Unter Umständen kann auch ein nach der
einen Seite unbegrenzter Strahl, einer der beiden „Endstrahlen“ der Geraden
(von beliebigem Punkte an gerechnet) zu dem Gebiete gehören, oder auch
zwei solche Endstrahlen (die dann nicht übereinandergreifen sollen) aus
zwei verschiedenen Anfangspunkten nach rechts und links in’s Unendliche
gehend.

Auch für jeden einzelnen Anfangs- oder Endpunkt einer zu dem
Gebiet gehörigen Strecke resp. eines Endstrahles ist es als ausgemacht
vorauszusetzen, ob er zu dem Gebiet gerechnet werden solle oder nicht;
man kann z. B. sämtliche begrenzenden Punkte in das Gebiet einschliessen
oder aber, sie alle ausschliessen. [In Gestalt der reellen Zahlen verfügt
die Mathematik über die Mittel, wenn zwei Punkte der Geraden als bekannt
vorausgesetzt werden, die dann etwa mit der arithmetischen 0 und 1
benannt werden mögen, jeden dritten Punkt der Geraden vollkommen zu
bestimmen, seine Lage so unzweideutig zu beschreiben, dass er auch mit
ihm noch so nahe stehenden Punkten unmöglich verwechselt werden kann.]

Die isolirten Punkte können auch in der Nähe gewisser Stellen, ja
sogar längs gewisser Strecken, sich unendlich dicht häufen ohne doch da-
selbst ein stetig zusammenhängendes Gebiet auszufüllen; ebenso lassen sich
aus einer Strecke vereinzelte Punkte fortlassen, als nicht zu dem Gebiet
gehörig hinstellen, das im übrigen die Strecke enthalten soll, u. s. w. Es
muss der „Mannigfaltigkeitslehre“ überlassen bleiben, alle hier denkbaren
Möglichkeiten vollständig aufzuzählen und sie zu klassifiziren.

Die identische Eins bedeutet hier, wie schon gesagt, die ganze
unbegrenzte Gerade als das umfassendste der in ihr enthaltenen Punkt-
gebiete. Das Nullgebiet — hier schlechtweg als identische Null mit
0 zu bezeichnen — ist nicht etwa ein Punkt, sondern es enthält keinen
Punkt der Geraden, und da es ein Punktgebiet der Geraden sein soll,
so ist es ein leeres Gebiet, hat zur Bedeutung: „nichts“.

Es mag uns die Figur:

ein Gebiet der geschilderten Art veranschaulichen in der als Horizontale
verlaufenden Geraden. Die Pfeilspitze rechts soll andeuten, dass der letzte
Strich als „Endstrahl“ unbegrenzt nach rechts fortzusetzen sei; wo die
Striche stumpf endigen, soll der Endpunkt der durch sie markirten Strecke
dem Gebiete eingerechnet sein, wo sie spitz auslaufen, ihm abgerechnet
werden; das Gebiet enthält vierzehn isolirte Punkte (die Mittelpunkte der
sie hier markirenden Tupfen), auch soll in der zweiten Strecke (von links)
ein isolirter Punkt (nur die Mitte der Lücke) fehlen.

Gleichwie früher für die Flächen meistens Kreise genommen wurden,
so soll aber jetzt zur Veranschaulichung eines Gebietes der Einfachheit
wegen vorzugsweise eine einfach zusammenhängende Strecke gewählt werden
(wo nicht anders bemerkt, mit Einschluss von deren Endpunkten).

[3]§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.

Eine Subsumtion a⊆b wird dann zu veranschaulichen sein durch
die Alternative zwischen den beiden Figuren:

Und wenn zwei Strecken a, b einen Teil gemein haben, wie in Fig. 4,
so wird sich deren identisches Produkt a b als ebendieser gemeinsame
Teil darstellen, und ihre identische Summe a + b als die Strecke zu
welcher beide miteinander verwachsen, zusammenfliessen, so wie es
die genannte Figur versinnlicht.

Haben aber, wie in Fig. 5, die beiden Strecken keinen Teil (auch
nicht einen Endpunkt) gemein, so ist ihr Produkt a b = 0, mithin
einer wirklichen Veranschaulichung überhaupt nicht fähig, weshalb
wir dies Produkt auch nicht in die Figur eingetragen haben; ihre
identische Summe a + b ist dann ein Gebiet, ausschliesslich bestehend
aus den beiden getrennten Strecken als Teilen. (Hätten die Strecken
a, b nur einen Endpunkt gemein, so würde in diesen als einen iso-
lirten Punkt, das Gebiet a b sich zusammenziehen.)

Die Negation a1 einer Strecke a bedeutet endlich die ganze
„Aussenstrecke“, ohne die Endpunkte, von jener — bestehend aus den
beiden durch die Strecke a getrennten nach links und rechts von
ihren Begrenzungspunkten in’s Unendliche gehenden Endstrahlen unsrer
Geraden 1, was die Figur veranschaulicht:

Umgekehrt ist die „Innenstrecke“ a auch die Negation dieses a1.

Von der Betrachtung unsrer Geraden, als einer räumlichen ein-
dimensionalen Mannigfaltigkeit, können wir übergehen zu derjenigen
einer andern — gleich ihr unbegrenzten — Mannigfaltigkeit von
einer Dimension, welche nicht räumlich ist. Eine solche ist die Zeit.

Den Punkten der Geraden lassen sich geradezu die Elemente der
Zeit „ein-eindeutig“ zuordnen, d. h. gegenseitig eindeutig, m. a. W. so zu-
ordnen, dass einem jeden Punkt (oder Element) der Geraden ein be-
stimmtes Zeitelement, ein bestimmter Moment oder Augenblick aus-
1*
[4]Fünfzehnte Vorlesung.
schliesslich entspricht, und umgekehrt auch jedem Zeitmomente je ein
bestimmter Punkt der Geraden. Zu dem Ende braucht man sich nur
die Gerade etwa von einem sich „gleichförmig“ bewegenden Punkte
— z. B. von links nach rechts hin durchlaufen zu denken.

Den Punkt mit konstanter, mit in der Zeit sich gleich bleibender,
unveränderlicher Geschwindigkeit sich bewegen zu lassen, also dass er in
gleichen Zeitabschnitten auch immer unter sich gleiche Wegestrecken be-
schreibt, ist nicht wesentlich für unsre Betrachtung, es ist dies nur die
nächstliegende aber auch die einfachste und bequemste der zur Verfügung
stehenden Vorstellungsweisen. Genügen würde schon die Annahme, dass
unser Punkt in einer irgendwie bestimmten Weise nur überhaupt die ganze
Gerade durchlaufe, ohne aber jemals stille zu stehen oder gar um-
zukehren, rückläufig zu werden, also in einem bestimmten Sinne, in der
gleichen Richtung stetsfort sich bewegend — so etwa, dass er jeden rechts
von der Stelle, wo er sich soeben befindet in endlicher Entfernung liegenden
Punkt auch in endlicher Zeit erreichen wird, und ebenso auch jede angeb-
bare zur linken von jener befindliche Stelle vor endlicher Zeit passirt
haben muss.

Der Ort auf der Geraden, wo der Punkt sich eben befindet ent-
spricht alsdann dem gegenwärtigen Augenblick, jede links davon be-
findliche Stelle einem bestimmten Moment der Vergangenheit, und jede
zur Rechten einem solchen der Zukunft — und umgekehrt. Man kann
irgend einen Punkt auf der Geraden betrachten als den Träger, das
Bild desjenigen Augenblicks, in welchem der sich bewegende Punkt
durch ihn hindurchging, -geht oder -gehen wird, und mit irgend
einem Zeitmoment in der Vergangenheit, als Gegenwart, oder in der
Zukunft, ist auch zugleich ein Punkt der Geraden gegeben als der-
jenige Ort, an welchem der sich bewegende Punkt sich in ihm befindet.
Es ist bezeichnend für die Berechtigung und Landläufigkeit dieser Zu-
ordnungsweise, dass die Sprache geradezu von „Zeitpunkten“ redet.

Wenn es nicht von vornherein als selbstverständlich erschiene,
so müsste es auf diesem Wege einleuchten und wird es obendrein
dadurch anschaulich, wie der identische Kalkul mit allen seinen
Gesetzen auch auf Gebiete von Zeitpunkten anwendbar ist.

Zur Versinnlichung etwaiger auf solche bezüglichen Betrachtungen
mittelst Figuren werden wir natürlich nur zu dem erwähnten Bilde,
zu der Geraden, unsre Zuflucht nehmen.

Die Eins bedeutet uns aber jetzt die ganze Mannigfaltigkeit der
Zeitpunkte, „die ganze Zeit“, welche sich zusammensetzt aus der nach
rückwärts unbegrenzten Vergangenheit, der Gegenwart und der nach
vorwärts unbegrenzten Zukunft, und mit einem Worte auch Ewigkeit
genannt werden mag.

[5]§ 28. Übergang zum Aussagenkalkul.

Zu ihrer bessern Unterscheidung von der bisherigen, eine räum-
liche Mannigfaltigkeit darstellenden oder auch im Klassenkalkul ver-
wendeten (und auch noch fernerhin in dieser Weise zu verwendenden)
1, möge die Eins, als Symbol der Ewigkeit gedeutet, mit einem Tupfen
versehen, die Ewigkeit durch das Zeichen 1߭ hinfort dargestellt werden.

Von einer Aussage, welche für diese ganze Zeit wahr zu sein be-
ansprucht, wird zu sagen sein, sie gelte „immer“, „stets“, und kann also
die „Gültigkeitsdauer“ einer solchen Aussage durch 1߭ ausgedrücktwerden.

Der identischen Null aber wird jetzt eine Zeitbestimmung ent-
sprechen, welche die Sprache mit dem Adverbium „nie“, „niemals“
wiedergibt. Zur Unterscheidung von der 0 des Klassenkalkuls oder
auch des Kalkuls mit Gebieten überhaupt könnte man diese Null in
der Mannigfaltigkeit der Zeitpunkte ebenfalls mit einem Tupfen ver-
sehen, sie mit 0̇ darstellend; indessen erscheint es mir unbedenklich,
dies Unterscheidungsmerkmal wegzulassen: die gedachte Klasse, das
Gebiet ist hier wie dort ein leeres.

Einer Aussage die „Gültigkeitsdauer“ 0 zuschreiben heisst nun
also, dieselbe für eine jederzeit ungültige, für eine niemals — auch
nicht einen Augenblick — gültige erklären.

Ein ganz beliebiges Gebiet von Zeitpunkten bestehend vielleicht
aus mehreren getrennten Zeiträumen oder auch vereinzelten Augen-
blicken, so wie es z. B. die Fig. 1 veranschaulichen würde, könnten
wir jetzt kurz ein „Zeitgebiet“ nennen. Dafür werden wir aber
manchmal auch den Namen „(Zeit-)Dauer“ oder „Zeitraum“ selbst
gebrauchen, auch wenn das Gebiet (wie in dem angeführten Beispiele)
aus getrennten Zeitabschnitten, Perioden oder Epochen, eventuell nur
isolirten Zeitpunkten zusammengesetzt sein sollte. Namentlich werden
wir in diesem weiteren Sinne — da „Gültigkeitszeitgebiet“ unbehülf-
lich erscheint — „Gültigkeitsgebiet“ aber noch einen andern Sinn
liefert, Nebenbedeutungen hätte, von der „Gültigkeitsdauer“ einer Aus-
sage nunmehr zu sprechen haben [ohne jedoch im geringsten die Vor-
stellung von einer metrischen Beziehung mit diesem Wort zu verknüpfen].

Unstreitig haben schon alle bisherigen Betrachtungen ein „zeit-
liches Moment“ enthalten, wenn dieses auch psychologisch sehr in den
Hintergrund des subjektiven Bewusstseins trat; sie waren in gewisser
Weise doch mit dem Zeitbegriff verwoben.

So wurden namentlich oft Voraussetzungen als gleichzeitig anzu-
nehmende hingestellt. Z. B. „Wenn a⊆b und zugleich b⊆a ist,
werde a = b geschrieben“ — so lautete die Definition (1) der Gleich-
[6]Fünfzehnte Vorlesung.
heit; „Wenn (gleichzeitig) a⊆b und b⊆c ist, so ist a⊆c (und
muss es sein)“ — das Prinzip II.

Wenn c⊆a und c⊆b, so forderte c⊆a b zu schreiben die
Def. (3×), und auch hier liegt schon in der Konjunktion „und“ die
Forderung der gleichzeitigen Adoptirung der Prämissen. Etc.

Zudem ist zu bemerken, dass unsre Überlegungen sich häufig
bewegten in der Form von „hypothetischen“ Urteilen, die mit den Kon-
junktionen „Wenn …, so …“ zwei Aussagen verknüpfen. Die Par-
tikel „wenn“ ist aber etymologisch und historisch sehr nahe verwandt
mit der Zeitpartikel „wann“. Man kann sie in den angeführten Bei-
spielen (sowie überhaupt) geradezu durch letztere ersetzen, ohne dass
dabei die Tragweite der Urteile, ihr logischer Gehalt, irgend eine
Änderung erlitte. Wohl aber wird allerdings der lebendige psycho-
logische Gehalt der Sätze dabei eine Modifikation erleiden, indem eben
dadurch jenes versteckt gewesene zeitliche Moment mehr in den Vorder-
grund des Bewusstseins geschoben wird — vielleicht auch auf Kosten
des „apodiktischen“ Charakters jener Sätze: was vorher lebhaft als
eine Denknotwendigkeit empfunden wurde, wird, falls wir „wann“ statt
„wenn“ sagen, nur mehr „assertorisch“ als ein Erlebniss, eine That-
sache der Wahrnehmung registrirt (bei II z. B.).

Endlich beanspruchten ja alle unsre Theoreme, stets gültig zu
sein. Es ist immer a b⊆a nach Th. 6×). Und so weiter.

Im übrigen blieb das Bewusstsein ihrer Zeitlichkeit bei den Aus-
sagen wol latent, verschwommen; es schlummerte die Aufmerksam-
keit auf dieses Merkmal.

Wollen wir uns aber zu einer exakten Theorie der Urteile (wie
sie der Aussagenkalkul darstellen wird) nunmehr erheben, so erscheint
es geboten, auf jenes „zeitliche Moment“ sorgfältigst zu achten und
mit jeder Aussage die Vorstellung einer bestimmten Gültigkeitsdauer
derselben (oder eines nachher zu erwähnenden Surrogates, wonicht
Äquivalentes, für diesen Begriff) zu verknüpfen.

Irgend welche Aussagen — seien es kategorische, hypothetische,
disjunktive oder andere^*) — könnten auch durch Buchstaben des
grossen lateinischen Alphabets repräsentirt werden und ihre Gültig-
[7]§ 28. Zum Aussagenkalkul.
keitsdauern durch die entsprechenden Buchstaben des kleinen, wo eine
Verwechselung beider irgend zu besorgen stünde.

Eine dem Sinne nach vollkommen bestimmte Aussage ist entweder wahr
(richtig, gültig, berechtigt) oder nicht wahr (falsch, ungültig, unzulässig).

Ist die Aussage sinnlos, oder bestehen Zweifel über den Sinn, die
Auslegung derselben, so lässt sich dies keineswegs behaupten; im letztern
Falle kann sie z. B. wahr sein im einen und falsch in einem andern Sinne.

Viel Streit entspringt aus mangelhafter Verständigung über den Sinn
der strittigen Aussagen, und schon darum ist es wichtig, über die Schwächen
unsres Verständigungsmittels, der Wortsprache, zu klarem Bewusstsein zu
kommen, indem man an sie anlegt den unveränderlichen Maasstab eines abso-
lut konsequenten, bestimmten und exakten Ausdrucksmittels, zu welchem
wir die Formelsprache unsres Kalkuls auszubilden haben. Wer einmal
jene Schwächen erkannt hat, wird auch weniger leicht durch die Ungeduld
sich abhalten lassen, bevor er in Streit eintritt, jene erforderliche Ver-
ständigung anzustreben.

Eine Aussage kann z. B. wohl Subjekt einer andern sein, oder —
noch allgemeiner — überhaupt ein Objekt, auf welches die gedachte zweite
Aussage sich irgendwie bezieht; aber sie darf nicht sich selbst zum Gegen-
stande haben, sie darf insbesondre nicht als ihr eigenes Subjekt auftreten.

Von dieser Beschaffenheit wäre z. B. der isolirt hingestellte Satz:
„Gegenwärtige Aussage ist unrichtig“, die von jemand ohne allen Bezug
auf vorangegangene oder nachfolgende Aussagen für sich hingestellte Be-
hauptung: „Ich sage hiermit eine Unwahrheit“.^*) Solche Aussage kann
nicht wahr sein, weil es dann eben keine Unwahrheit, sondern eine Wahr-
heit wäre, die gesagt worden, und sie kann auch nicht unwahr sein, weil
es dann eben zur Wahrheit würde, dass sie unwahr ist.

Diese Aussage ist also in der That weder wahr noch falsch; dieselbe
ist aber sinnlos, indem sie sich auf einen Sinn beruft, solchen als bekannt
voraussetzt, den sie selbst erst geben, erklären sollte, aber, wie erkannt,
unmöglich haben kann. Die Aussage stempelt hier überdies mit Denk-
notwendigkeit sich zu einer solchen. — Ebenso sinnlos würde auch die andre
Aussage (isolirt hingestellt) sein: „Ich sage hiermit die Wahrheit“. Nur
würde die letztere in beregter Hinsicht sich sozusagen indifferent verhalten,
den Sinn blos ewig vermissen lassen.

Im Zusammenhang hiermit steht es, dass wenn etwa jemand wetten
wollte, dass er die eben damit eingegangene Wette verlieren (desgleichen,
falls man es vorzieht, dass er sie gewinnen) würde, solche Wette als eine
gegenstandslose niemals zum Austrag gebracht werden könnte.

Wir streifen hierbei auch den Fall des Sophisten Euathlos, der seinem
Rechtslehrer Protagoras das Unterrichtshonorar zu bezahlen versprach, nach-
dem er seinen ersten Prozess gewonnen haben würde, dann aber überhaupt
[8]Fünfzehnte Vorlesung.
keinen Prozess führte bis ihn sein Lehrer auf Zahlung des Honorars ver-
klagte. („In dem Prozesse musste in zwei verschiedenen Verhandlungen ein
verschiedener Spruch gefällt werden. Zunächst war die Bedingung des
Vertrages noch nicht eingetreten: Euathlus hatte bis dahin noch keinen
Prozess gewonnen, war also noch nicht zur Bezahlung verpflichtet. Er
musste also diesen Prozess gewinnen. Aber eben hierdurch veränderte sich
die Sachlage und es musste dem Protagoras das Recht gewährt werden,
auf Grund des veränderten Verhältnisses eine zweite Klage anhängig zu
machen, die nunmehr zu seinem Vorteil entschieden werden musste“. Ueberweg1
p. 360 sq.). Auf hier nur gestreifte Schwierigkeiten und die traditionellen
logischen Paradoxien geht Mr. Peirce in 10c mit grossem Scharfsinn ein.

Um den Sinn einer Aussage zu einem vollkommen bestimmten zu
machen, ist nicht erforderlich, dass dieselbe über alles Erdenkliche,
dass sie vollständige Auskunft gebe. Jede noch so ausführliche oder
detaillirte Aussage, mag sie auch von Weisheit strotzen, ist nur ein
verschwindend kleines Bruchstück aus der vollen Wahrheit, welche
die ganze Wirklichkeit beschreibend umfassen müsste; sie ist und
bleibt nur ein kurzer Auszug (an „abstract“), in welchem von einer
ungeheuren Mehrheit von Nebenumständen, für die Untersuchung un-
wesentlich erscheinenden Ereignissen, Verhältnissen und Beziehungen
abgesehen, abstrahirt wird; ja sogar auch wesentliche Beziehungen
verschwiegen, eventuell für fernere Aussagen aufgespart, der Fort-
setzung der Untersuchung oder Mitteilung vorbehalten werden.

Ich kann darum nicht umhin, die Formel des deutschen Zeugeneides
(wie ich sie wenigstens bei schöffengerichtlichen Verhandlungen kennen
gelernt habe) nach welcher Zeuge einfach schwören muss „nichts zu ver-
schweigen“ (statt etwa: „nichts, was nach des Zeugen bestem Ermessen für
die Untersuchung von Belang sein könnte“, oder vielleicht: „nichts, wonach
er gefragt wird“) schon in logischer Hinsicht zu beanstanden.

All’ unser Wissen, nicht nur, sondern auch unser Aussagen bleibt
Stückwerk. Bei den kategorischen Urteilen wenigstens — auf die
andern kommen wir noch eingehend zu sprechen — scheint für die
Bestimmtheit der Aussage es auszureichen, wenn Subjekt und Prädi-
kat derselben wohldefinirte Klassen sind, deren Determination — mag
sie näher auch in der Aussage selbst erst erfolgen — doch mittelst
anderweitig schon bekannter Klassen, mittelst gegebener Begriffe er-
folgt. [Bei dem Subjekt des oben angeführten Beispiels „Diese Aus-
sage ist unwahr“, war solches — in der suppositio realis, d. h. wenn
„diese Aussage“ nicht blos als grammatikalischer Satz, als Wortgefüge,
sondern dem Sinne nach genommen wird — wie erkannt, nicht der Fall.]

Soll eine verständliche Aussage mit solchem bestimmten Sinne
auch noch den Anspruch auf Wahrheit verbinden, so muss — ob zwar
[9]§. 28. Zum Aussagenkalkul.
sie unvollständig, nur ein Bruckstück der Wahrheit bleibt — doch
diejenige Auskunft wenigstens, welche die Aussage gibt, von ihr richtig
gegeben sein, d. h. es muss möglich bleiben, mit der Phantasie oder
auf Grund weiterer Forschungen, alles das, was die Aussage un-
erwähnt und darum offen gelassen, sowie auch, was sie allenfalls aus-
drücklich als unbestimmt hinstellte, wahrheitsgemäss noch nachzutragen,
und zwar ohne dass ein Widerspruch zu ihr selbst entsteht. Die Praxis
des Lebens kehrt sich nicht immer hieran, indem sie aus Rücksicht
auf die Schwierigkeiten der Mitteilung, auf die Unmöglichkeit, alles
Erforderliche auf einmal zu sagen, zuweilen gestattet, eine gemachte
Aussage durch nachträgliche Anführung von Einschränkungen oder
Ausnahmen teilweise wieder aufzuheben. In solchen Fällen ist jene
erste Aussage, mag sie auch grammatikalisch bereits abgeschlossen
sein, doch in logischer Hinsicht als eine unfertige anzusehen, welche
erst mit dem Hinzutreten der Einschränkungen ihre Vollendung erhält.

Ich glaube mich hier mit diesen wenigen Andeutungen begnügen zu
dürfen, wenn auch mit dem vollen Bewusstsein ihrer Unzulänglichkeit, indem
ich mir nicht verhehle, dass es wol zu den schwierigsten Aufgaben gehören
möchte, allgemein zu charakterisiren, wann eine Aussage sinnlos ist, wann da-
gegen sie einen vaguen, wann einen ganz bestimmten Sinn besitzt, gleichwie
im letzteren Falle, zu sagen, was es eigentlich heisst, dass sie wahr oder falsch sei.

Sinnlos ist z. B. die in unsrer fränkischen Provinz populäre Wetter-
regel: „Sobald ein Stück blauen Himmels zu erblicken ist, so gross, dass der
Schneider ein Paar Beinkleider daraus fertigen könnte, so gibt es an dem
Tag noch schönes Wetter.“ Hier nämlich (wie auch, wenn etwa jemand
sagte: „so gross wie eine Ellipse“) versagt die scheinbar gegebene Grössen-
bestimmung, und wollte mit solchem Ausspruch der Volkswitz wol nur die
Unsicherheit der Wetterprophezeiung überhaupt persifliren.

Ist die stets in einerlei Sinne verstandene, die Aussage konstanten
Sinnes einmal wahr, so bleibt sie dies auch in alle Ewigkeit und
musste es immer gewesen sein, sie gilt dann stets; ist sie falsch, so
kann ihr auch zu keiner Zeit Wahrheit zukommen, sie ist dann nie-
mals wahr. Die Gültigkeitsdauer einer derartigen Aussage ist demnach
entweder die Ewigkeit 1߭, oder aber 0.

Wir werden künftig ganze Aussagen nicht selten mittelst Buch-
staben darstellen. Bedeutet a die Aussage: „2 × 2 ist 4“, und b die
Aussage: „2 × 2 ist 5“, so exemplifizirt uns a die (stets) wahre, b die
(stets) falsche Aussage.

So oft wir eine Aussage in Rechnung setzen, und zwar einerlei, ob
sie dabei durch einen Buchstaben vertreten, oder ob sie vollinhaltlich,
detaillirt (in einer Klammer) angegeben wird, soll sie als ihre Gültig-
keitsdauer verstanden, ausgelegt werden.

[10]Fünfzehnte Vorlesung.

Für die obigen Beispiele dürfen wir demnach sagen, dass:
a = 1߭ und b = 0
ist. Anstatt — wie hienach berechtigt — zu schreiben:
(2 × 2 = 4) = 1߭,
wird man aber kürzer die Behauptung 2 × 2 = 4, oder a selbst, ein-
fach hinstellen. Wogegen die Falschheit der Behauptung, dass 2 × 2
gleich 5 sei, vorerst nicht einfacher darzustellen ist als mittelst des
Ansatzes:
(2 × 2 = 5) = 0.

Bedeutet c die Aussage: „Die Masse der Welt ist konstant“ und
d die Aussage: „Die Materie ist vergänglich“, so ist (nach den Grund-
lehren der Physik) ebenso c = 1߭ und d = 0, die erstere nämlich wahr,
die letztere falsch, und zwar nicht nur soeben, sondern überhaupt.

Man könnte gegen oben Gesagtes einwenden: der Ausspruch
„Caesar wurde ermordet“ sei vor oder während seiner Ermordung noch
nicht wahr gewesen, sei erst seitdem wahr. Wird das Tempus des
Verbums festgehalten, so ist dieser Einwand auch sicherlich berechtigt.
Allein dann haben wir, obzwar eine Aussage von grammatikalisch
konstanter Form, von sich gleich bleibendem Wortlaute, doch gerade
eben nicht eine solche konstanten Sinnes, indem das Tempus prae-
teritum, auf welches mit der Verbalform „wurde ermordet“ hin-
gewiesen wird, zu verschiedenen Zeiten eine verschiedene Bedeutung
beansprucht.

Aus diesem Beispiel wird ersichtlich, dass ein erzählendes (eventuell
auch ein beschreibendes) Urteil, soll es konstanten Sinn besitzen, mit
seinem Verbum nicht an die relative Gegenwart (Vergangenheit oder
Zukunft) d. i. die Gegenwart (etc.) der Aussage anknüpfen, darf, es darf
m. a. W. nicht auf den Zeitpunkt, in welchem die Aussage fällt, sich
beziehen, sondern es muss dasselbe vielmehr auf einen absolut be-
stimmten Zeitpunkt oder Zeitraum verweisen, wofern es solchen nicht
ganz unbestimmt lässt.

Letzteres wäre für unser Beispiel etwa der Fall, wenn wir sagten:
Die Ermordung Caesar’s ist ein Ereigniss in der Wirklichkeit, ist (eine)
historische Thatsache. Das andere, falls wir sagten: „Die Ermordung
Caesar’s fällt in das Jahr 44 v. Chr.“ In dieser Fassung ist der Satz
zu allen Zeiten wahr gewesen. Ebenso bei den Aussagen: „In die
Jahre 1870 und 71 fällt ein deutschfranzösischer Krieg“, „Am 28. Mai
1900 findet eine ringförmige Sonnenfinsterniss statt“. Letzteres ist
[11]§. 28. Schätzung von Aussagen nach den Zeiten ihrer Gültigkeit.
auch jetzt schon wahr, und brauchen wir hier nicht das Verbum
in das Futurum, dort es nicht in das Präteritum zu setzen. Der
Sprachgebrauch gestattet in solchen Fällen die Präsensform; doch ist
zu bemerken, dass bei völliger Unbestimmtheit sowol, als auch bei
absolut bestimmter Angabe eines Zeitraums oder Zeitpunktes, in welchen
ein Ereigniss fällt, in dem ein Zustand währt, jede Temporalflexion des
Verbums überflüssig ist, ja nachteilig wirken muss, präjudizirt, indem
das Präsens z. B. doch Vergangenheit und Zukunft auszuschliessen
scheint oder wenigstens sie unberücksichtigt lässt. (Vergl. Bd. 1, S. 153).

Nun kann aber in unsern Kultursprachen eine Aussage überhaupt
nicht gegeben werden, ohne dass in ihr das Verbum in einem ganz
bestimmten Tempus — sei es Präteritum, Präsens oder Futurum —
steht, und somit gibt sich hier wieder einmal eine Unvollkommenheit
der Wortsprache kund. Eine Armut, auch, derselben zeigt sich darin,
dass sie zum Ausdruck von wesentlich verschiedenen Beziehungen doch
der nämlichen Formen sich bedienen muss:

Es ist ein ganz anderes Präsens, in welchem die Kopula unsrer
Aussage steht, wenn wir sagen: „zwei mal zwei ist vier“, als wenn
wir sagen: „es ist vier Uhr (Nachmittags, hiesiger Zeit am hiesigen
Platze)“. Jenes ist das „aoristische“ Präsens: 2 × 2 ist nicht nur
soeben = 4, sondern war es auch stets und wird es immer sein; da-
gegen, wenn es soeben vier Uhr ist, so war es das vor einer halben
Stunde noch nicht, und wird es demnächst nicht mehr sein.

Es scheinen mir neben den zugehörigen unterscheidenden Formen sogar
auch die Namen zu fehlen für die verschiedenen Bedeutungen, die in Hin-
sicht der Auslegung des Verbums nach seinem Tempus logisch unter-
schieden werden müssen; ich wüsste wenigstens die zweite Art des Präsens
im Gegensatz zur ersten, die ich — schon etwas gewagt — die „aoristische“
nannte^*), nicht mit einem gebräuchlichen Namen zu benennen. Jedenfalls
hat in beregter Hinsicht die altgriechische Sprache etwas schärfer unter-
schieden, als unsere modernen Sprachen, indem sie für gewisse Tempora
der Vergangenheit und Zukunft neben den gewöhnlichen auch aoristische
Formen schuf.

Im wissenschaftlichen Interesse wäre wol zu wünschen, dass es
neben dem gewöhnlichen Präteritum (mit seinen Abstufungen als Imper-
fektum, Perfektum und Plusquamperfektum), dem Präsens und dem
Futurum (nebst Abstufungen) auch ein Tempus generale (oder aoristicum)
gäbe — behufs Vermeidung der Umständlichheit, dass man eigentlich:
„war stets, ist, und wird stets sein“ (etc.) sagen müsste.

[12]Fünfzehnte Vorlesung.

Und ferner — als praktisch vielleicht in noch höherem Maasse
Bedürfniss — sollte man verfügen können über ein Tempus indefinitum
oder indeterminatum, eine Temporalform, die offen, unausgedrückt lässt,
ob von Vergangenheit, Gegenwart oder Zukunft die Rede; dieselbe
wäre nicht nur da zu gebrauchen, wo, wie erwähnt, genauere in der
Aussage enthaltene Zeitangaben die übliche Temporalflexion ihres
Verbums als überflüssig, ja einseitig, unvollständig oder irreführend
erscheinen lassen, sondern überhaupt, wenn es sich darum handelt,
von Ereignissen in zusammenfassender Schilderung (erzählend, be-
schreibend und eventuell vorhersagend) zu reden, die teilweise der Ver-
gangenheit, vielleicht der Gegenwart und teilweise auch der Zukunft
angehören mögen, bei denen es aber unbekannt oder nebensächlich ist,
inwiefern oder in welchen Verhältnissen sie das eine thun, oder das andere.

Umstände, unter denen solches von Belang würde, können leicht schon
bei der brieflichen Korrespondenz eintreten, wo die Gegenwart des Ab-
senders eine andere ist, als die des Empfängers. Dass aber in den Wissen-
schaften sich die erwähnte Armut der Wortsprache nicht schlimmer fühlbar
gemacht hat, und deshalb fortbestehen konnte, erklärt sich unschwer aus
der scharfen Sonderung jener in historische und physikalisch-mathematische
Wissenschaften, bei deren ersteren es niemals gleichgültig erscheint, ob ein
Ereigniss schon stattgefunden hat, oder erst stattfinden wird, wogegen die
letzteren sich durchweg mit sozusagen „ewigen“ Wahrheiten beschäftigen
und zu deren Ausdruck eben des aoristischen Präsens sich gewohnheits-
mässig bedienen. Ihnen schliessen auch die naturhistorischen Disziplinen
sich teilweise an.

Sollten (aber) in der Logik auch beschreibende oder erzählende
Urteile, Aussagen über historische, gegenwärtige oder künftige That-
sachen, als Aussagen konstanten Sinnes angesehen werden, so müssten
wir sie uns allemal in der erwähnten unbestimmten Temporalform,
eventuell versehen mit einer absoluten Zeitbestimmung, ausgedrückt
denken.

Uns an das mit der Wortsprache Gegebene haltend gelangen wir
dagegen zur Anerkennung des Vorkommens von Aussagen variablen
Sinnes, deren Sinn nämlich sich mit dem Zeitpunkt, in welchem die
Aussage fällt, von selbst verschiebt, indem das Verbum mit seinem
Tempus an die „relative“ Gegenwart anknüpft, nämlich auf die Gegen-
wart der Aussage (eventuell von dieser aus zurück- oder vor-ver-
weisend) sich bezieht. [„Absolute“ Gegenwart würde ich dagegen den
durch Jahreszahl, Datum, Stunde und Minute etc., Berliner Zeit, fixirten
Moment, in welchem ich soeben schreibe, dermalen nennen.]

Von solcher Art ist wol die ungeheure Mehrzahl aller mensch-
[13]§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Gültigkeitsdauer.
lichen Aussagen. Denselben kommt zumeist eine von 0 und 1߭ ver-
schiedene „Gültigkeitsdauer“ zu (sofern von einer solchen überhaupt
sich reden lassen wird), eine Gültigkeitsdauer, die nur eben ein ge-
wisses Gebiet von Zeitpunkten ausmacht. Ein einfaches Beispiel mag
dies verdeutlichen.

Stellen wir uns eine Person, einen „idealen Meteorologen“ (!) vor,
der Tag und Nacht am selben Fleck unter freiem Himmel stehend
beständig ausruft und wiederholt: „Es regnet“ (sc. soeben hier am
Platze), Es regnet, es regnet. So wird die Aussage wahr sein, so-
bald und solange wirklich Regentropfen auf dieses Individuum fallen,
und unwahr, sobald dies nicht der Fall ist. Die (auf gedachten Ort
bezogene) Aussage hat daher eine bestimmte Gültigkeitsdauer, welche
sich zusammensetzt aus den verschiedenen getrennten Zeiträumen, in
welchen wirklich Regenschauer sich über den Ort ergiessen (ergossen
haben und ergiessen werden).

Die Begriffe, Benennungen und Bezeichnungen des Aussagenkal-
kuls — ein Stück weit, aber nicht durchaus: auch die Prinzipien des-
selben — werden sich auch anwendbar erweisen auf die im geschil-
derten Sinne variablen Aussagen (die Aussagen variablen Sinnes bei
blos konstanter Form). Da einer solchen Aussage irgend welche Gültig-
keitsdauer (die 1߭ oder 0 nicht ausgeschlossen) zukommen kann, so er-
ledigen wir vorweg das Allgemeinere, wenn wir die ferneren Betrachtungen
jetzt an derlei Aussagen anknüpfen.

Zudem aber ordnen diesen variabelsinnigen Aussagen auch die-
jenigen konstanten Sinnes sich wirklich unter, indem z. B. die obigen
Aussagen a und b auch ihre Gültigkeitsdauern 1߭ und 0 behalten müssten,
wenn man das Präsens ihrer Kopula, anstatt wie oben als aoristisches,
nunmehr als gewöhnliches oder historisches auslegte, a nämlich deutete
als das Urteil: „2 × 2 ist soeben = 4“ und b als: „2 × 2 ist soeben 5“.

Eine Subsumtion:
angesetzt zwischen irgend zwei Aussagen, wird hienach bedeuten: Die
Zeit, während welcher die Aussage a wahr ist, sei ganz enthalten in
der Zeit, während welcher die Aussage b wahr ist, d. h. immer, wann
(whenever, solange, sooft, sobald, falls) a gilt, gilt auch b. Kürzer
werden wir hiefür oft sagen: „Wenn a gilt, so gilt b“; „a bedingt b“,
zieht es nach sich; „aus a folgt b“. Ausdrücklich muss jedoch bemerkt
werden, dass der Zusammenhang zwischen den Gültigkeiten von a und
b damit durchaus nicht hingestellt werden soll als ein logischer oder
denknotwendiger, auch nicht als ein kausaler, oder dergleichen. Die
[14]Fünfzehnte Vorlesung.
Subsumtion und die Redensarten, durch welche wir sie wiedergeben,
sollen vielmehr diesen Zusammenhang lediglich als einen faktisch be-
stehenden, thatsächlichen darstellen, es offen lassend, ob er denknot-
wendig, eventuell als ein „kausaler“ bestehe, oder vielleicht blos ein
empirisch ermittelter, für den Stand unsrer Erkenntniss „zufälliger“ ist.

Zum Exempel, es bedeute b die Aussage: „Es ist Tag (hier)“ —
für den Augenblick unter „Tag“ die Zeit verstanden, während welcher
die Sonne über dem Horizont steht^*),
und a die Aussage: „die Sonne scheint (hier, unverhüllt von Wolken)“,
so gilt a⊆b, d. h. Wenn die Sonne scheint, so ist es Tag.

Die Beziehung zwischen den Gültigkeitsdauern der beiderseitigen
Aussagen möge die Figur veranschaulichen:

welche, durch Nächte getrennt, drei Tage b auf der Zeitlinie dar-
gestellt zeigt, an deren drittem die Sonne unausgesetzt schien, während
sie an den beiden vorhergehenden je zweimal längere Zeit von Wolken
verhüllt blieb, etc.

Allerdings ist in dem gewählten Beispiel das „Subjekt“ a (der Be-
dingungssatz) zugleich Erkenntnissgrund des „Prädikates“ b (des Folge-
satzes): aus dem Scheinen der Sonne kann gefolgert, geschlossen
werden, dass es Tag ist. Weil die Sonne scheint (sofern sie das thut),
darum muss es Tag sein.

Das kausale Verhältniss scheint hier eher umgekehrt zu liegen: weil
die Sonne über dem Horizont steht, darum kann sie überhaupt scheinen;
dass sie scheint ist eventuelle Folge, und Wirkung, ihrer Stellung über dem
Horizonte.

Jener Umstand ist aber, wie angedeutet, als ein Nebenumstand zu
betrachten, der in der Subsumtion a⊆b sowol, als in deren verbaler
Umschreibung mittelst der Konjunktionen „wenn ‥, so ‥“ nicht ge-
fordert ist. Man könnte ebensogut, die vorige Aussage a z. B. fest-
haltend, unter b die Aussage verstehen: „Paris liegt an der Seine“,
oder etwa auch: „Carnot ist Präsident der französischen Republik.“
Und wiederum würde dermalen die Subsumtion a⊆b gelten, die Be-
hauptung zulässig sein: Wenn (genauer: wann, während, solange, so-
[15]§. 28. Aussagen, nach Gültigkeitsdauer geschätzt.
bald, falls) hier die Sonne scheint, ist Carnot Präsident der französi-
schen Republik, (er ist es freilich auch, wenn sie nicht scheint) —
mit einer gewissen Gültigkeitsdauer (gleichwie der beiden Teilaussagen,
so auch) der ganzen Aussage.

Hier nun zu sagen: aus dem Scheinen der Sonne an hiesigem
Platze folge (zur Zeit), dass Carnot Präsident der französischen Repu-
blik sei, oder auch: der letztere Umstand sei von dem ersteren bedingt,
wäre allerdings nicht angemessen!

Wenn wir gleichwol — zwar nicht in solch konkreten Beispielen
wo ihre Unangemessenheit auf der Hand liegt, jedoch bei den Unter-
suchungen von allgemeinem Charakter — diese Redensarten gebrauchen, so
geschieht es, weil unsre Abmachungen auch die Fälle wirklichen Folgens
sämtlich mit umfassen, weil beabsichtigt ist, sie auf solche vorzugs-
weise anzuwenden (ohne dass es jedoch nötig fällt, die andern auszu-
schliessen), und vor allem, weil die Wortsprache uns Redewendungen
nicht zur Verfügung stellt, die für alle Fälle zutreffend genannt werden
könnten und demnach einer solchen Allgemeinheit gerecht zu werden
vermöchten, wie sie unsre Untersuchungen beanspruchen werden.

Man wird sich im Vorstehenden auch den Unterschied in der Bedeutung
der Konjunktionen „wenn“ (if) und „wann“ (englisch annähernd: when) zum
Bewusstsein gebracht haben. Während letztere als reine Zeitpartikel er-
scheint, pflegt erstere den versteckten Hinweis auf ein Prinzip zu enthalten,
das den Zusammenhang zwischen Bedingungssatz und Folgesatz des hypo-
thetischen Urteils beherrscht — bestehe dieses Prinzip nun als ein rein
logisches aus den Gesetzen des gewissen oder wahrscheinlichen Folgerns
unter Berufung auf die Evidenz, oder gründe es sich ausserdem auf irgend-
welche Satzungen, dogmatische Glaubenssätze oder auch Naturgesetze — in
welch’ letzterem Falle wir von einem kausalen Zusammenhange reden.

Jenes „wann“ kann unter Umständen auch durch „während“ (engl.
whilst) vertreten werden; es entspricht auch dem lateinischen „dum“, „so-
lange“. Z. B. „Dum spiro, spero“: solange ich atme (scilicet: und bei Be-
wusstsein bin), höre ich nicht auf zu hoffen. Dies gibt die Subsumtion
a⊆b, wo a die Aussage bedeutet: ich atme, und b die: ich hoffe.

Betrachten wir dagegen den Satz: „Dolor, si longus, levis, si gravis,
brevis“ (ergo omnino fortiter sustinendus — vergl. Jevons9 p. 174), so
weist die konditionale Partikel „si“ in der That auf einen verborgenen ur-
sächlichen Zusammenhang, einen Grund hin: weil eben ein sehr heftiger
Schmerz bald Bewusstlosigkeit oder Tod herbeiführt und damit aufhört in
die Empfindung zu treten, als solcher zu existiren, so kann ein lang an-
haltender Schmerz nur ein minder heftiger, ein sehr heftiger nur von kurzer
Dauer sein — zum Trost für die von ihm Befallenen.

Das Beispiel ist instruktiv, insofern es im Bedingungssatze des einen
Urteils sowie im Folgesatze des andern als Prädikat selbst schon eine Zeit-
bestimmung, als da ist „von langer, resp. kurzer, Dauer zu sein“ enthält.
[16]Fünfzehnte Vorlesung.
Das „si“, „wenn“, hier etwa durch „solange“ oder „während“ „dum“ zu er-
setzen ginge durchaus nicht an, und dennoch wird sich jedes seiner beiden
Teilurteile als eine Aussagensubsumtion darstellen lassen, sobald wir mit
unsern Betrachtungen ein wenig weiter vorgeschritten sein werden (nämlich:
die Klasse der Fälle, wo der Schmerz ein lange anhaltender ist, ist ent-
halten in der Klasse der Fälle, wo er ein leichter ist, etc.). Einstweilen
mag das Beispiel dazu dienen, die Unvollständigkeit der bisherigen Be-
trachtungen zu erhärten, welche ich ausdrücklich als nur vorbereitende auf-
gefasst wünsche.

Zwei Aussagen a und b werden nun nach der Def. (1) der Gleich-
heit (für den auf die Mannigfaltigkeit 1߭ der Zeitpunkte angewendeten
Gebietekalkul) einander äquivalent, oder gleich, zu nennen sein, wenn
sowol a⊆b als auch b⊆a ist, d. h. wenn sie einander gegenseitig
bedingen, wenn immer, sobald die eine gilt, auch die andre Geltung
hat, und umgekehrt. Ihre Gültigkeitsdauern sind alsdann nicht nur,
metrisch betrachtet, gleich gross, sondern identisch die nämlichen,
einerlei, sie fallen in ein einziges Gebiet von Zeitpunkten zusammen.

Im übrigen mögen unter sich äquivalente Aussagen ihrem Inhalt
oder Sinne nach gänzlich von einander unabhängig sein. Alle stets
wahren Aussagen z. B. sind im Aussagenkalkul einander gleich zu
nennen, ebenso alle stets falschen.

Bedeutet z. B. a die Aussage: „2 × 2 ist 4“ und b die Aussage: „Die
Energie des Weltalls ist konstant“, so hat a = b zu gelten, es sind a und
b dann äquivalente Aussagen. Beide haben nämlich die Ewigkeit oder
ganze Zeit zur Gültigkeitsdauer; wir haben a = 1߭ und auch b = 1߭.

Die Gleichheit a = b würde ebenso bestehen, falls a die Aussage be-
deutete: „2 × 2 ist 5“ und b die Aussage: „Es gibt Hexerei“. Hier wäre
a = 0 und b = 0, wiederum also das Gebiet der Zeitpunkte, in welchen
die eine oder die andre wahr ist, das nämliche, und zwar das leere oder
Nullgebiet; sie gelten (wenn man hier noch so sagen will, doch „gleich-
zeitig“) nämlich alle beide nie.

Wegen dieser Unabhängigkeit ihres Inhaltes musste für die
„Äquivalenz“ der Aussagen ein anderer Name gewählt werden als der
bekannte der „Äquipollenz“, welchen die traditionelle Logik zur Be-
zeichnung einer viel spezielleren Beziehung schon längst eingeführt hat.

Äquipollent nennt die Logik solche Urteile, die mit Denknotwendig-
keit gegenseitig aus einander folgen — wie beispielsweise das Urteil:
„Alle α sind β“ und das (durch Konversion daraus hervorgehende) „Was
nicht β ist, ist nicht α“.

Äquipollente Urteile sind auch immer einander äquivalent, oder im
Sinne des Aussagenkalkuls „gleich“, aber nicht umgekehrt. Über jene
greift diese Begriffsbestimmung dem Umfange nach weit hinaus (während
[17]§. 28. Aussagen in Reflexion auf ihre Gültigkeitsdauer.
sie hinsichtlich des Inhaltes hinter ihr zurückbleibt). Für die Wahl
des Ausdrucks „Äquivalenz“ war der englische Vorgang („equivalent
statements“) mitbestimmend. Wegen der grösseren Allgemeinheit un-
serer von der Äquivalenz der Aussagen handelnden Betrachtungen
gegenüber denen, die auf ihre Äquipollenz sich beziehen würden, geben
wir der ersteren Bezeichnung den Vorzug auch in Fällen, wo wir die
letztere gebrauchen dürften.

Zieht man Aussagen nach ihrer Äquivalenz in Betracht, frägt man
darnach, ob solche vorliege, oder nicht, so ist von dem charakteristischen
Inhalte jener Aussagen zu abstrahiren und auf ihre Gültigkeitsdauern
zu reflektiren.

Jedenfalls hindert nichts, eine Aussage, abgesehen von ihrem In-
halte A (d. h. demjenigen, worüber sie uns Auskunft gibt), blos nach
ihrer Gültigkeitsdauer a in’s Auge zu fassen, und wer die Besorgniss
hegt, diese beiden Hinsichten in welchen Aussagen sich betrachten
lassen, zu vermengen, kann sie dadurch auseinanderhalten, dass er die
entsprechenden Buchstaben zweier verschiedenen Alphabete für die eine
und für die andre Deutungsweise verwendet. Der Übergang von der
einen zur andern Interpretation ist jedoch ein so leicht zu vollziehender
an welchen man sich bald gewöhnt und worin man rasch Übung er-
wirbt, dass uns solch’ ängstliches Auseinanderhalten hier unnötig er-
scheint.

Um nun also vom bisherigen Gebiete- und Klassenkalkul un-
mittelbar zum Aussagenkalkul fortzuschreiten und letztern auch mit
einem Schlage errichtet sowie begründet zu haben, braucht man blos
unter den Buchstabensymbolen a, b, c, … irgendwelche Aussagen (Be-
hauptungen, Urteile) zu verstehen und auszumachen, dass sobald mit diesen
Symbolen gerechnet wird (sobald mittelst Negation, Multiplikation oder
Addition an denselben operirt, oder auch nur Subsumtionen oder
Gleichungen etc. zwischen denselben angesetzt werden), sie als ihre
Gültigkeitsdauern gedeutet werden sollen, dass also unter irgend einer
Aussage a verstanden werden solle die Zeit (genauer: das Gebiet, die
Gesamtheit der Zeitpunkte), während welcher ebendiese Aussage wahr
ist, unter Ausschluss jedes Zeitpunktes, in dem sie nicht wahr ist.

Was hiernach eine Subsumtion a⊆b, und eine Gleichung a = b
uns bedeuten werden, haben wir bereits auseinandergesetzt.

In Bezug auf erstere ist jedoch noch der „Grenzfälle“ Erwähnung
zu thun, wo das Subjekt oder Prädikat der Subsumtion a⊆b durch
die Aussagensymbole 0 oder 1߭ vertreten erscheint.

Die Bedeutung auch dieser beiden Zahlensymbole im Aussagen-
Schröder, Algebra der Logik. II 2
[18]Fünfzehnte Vorlesung.
kalkul wurde bereits angegeben: Aussage 1߭ ist jede stets wahre Aus-
sage, und sie kann durch irgend eine von diesen, wie z. B. durch den
(arithmetischen) Satz dass 2 × 2 = 4 ist, oder auch durch den logi-
schen Satz: 0 ⊆ 0, mit gleichem Rechte vertreten, repräsentirt werden.
Wir haben auch:
(0 = 0) = 1߭.
Nullaussage dagegen ist jede stets (oder unbedingt) falsche Aussage,
wie z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 5 sei, oder die, dass es Hexerei
gebe, oder die Subsumtion 1 ⊆ 0. Desgleichen haben wir:
(1 = 0) = 0.

Gleichwie die identische Null ihrer Definition (2) gemäss Subjekt
war zu jedem Prädikate und die 1 Prädikat zu jedem Subjekte, so ist
nun auch die Nullaussage ein zulässiger Bedingungssatz zu jedem Folge-
satze, und eine Aussage 1߭ zulässiger Folgesatz zu jedem Bedingungssatze.

Wir müssen demnach konsequenterweise z. B. folgende Urteile als kor-
rekt und gültig anerkennen — in Bezug auf welche nur zu bemerken ist,
dass, während die Konsequenz in der Aufrechterhaltung der formalen Sche-
mata für die Wissenschaft vom höchsten Wert erscheint, die verbale For-
mulirung derselben minderwertig ist.

• Wenn 2 × 2 = 5 ist, so gibt es Hexerei (vergl. 0 ⊆ 0).
• „ „ „ so scheint hier die Sonne (vergl. 0 ⊆a).
• „ „ „ so ist 2 × 2 = 4 (vergl. 0 ⊆ 1߭).

Da die im Bedingungssatze ausgesprochene Voraussetzung eben niemals zu-
trifft, so sind alle drei Urteile vollkommen nichtssagende, beziehen sich auf
„nichts“, nämlich auf ein leeres Zeitgebiet. Sie aber als richtige an-
zuerkennen verpflichten uns die über letzteres der Allgemeinheit zuliebe ge-
troffenen Festsetzungen.

Im zweiten Falle (0 ⊆a) darf, obwol die Gültigkeitsdauer des Vorder-
satzes 0 war, und die 0 der Zeitbestimmung „niemals“ entspricht, das
Urteil doch nicht etwa mit: „Nie scheint hier die Sonne“ in Worte über-
tragen werden. Dies würde eine falsche Übersetzung sein, und wären be-
hufs näherer Erläuterung dessen, mutatis mutandis, die Bemerkungen zu
wiederholen, die wir in § 9 unter v) bezüglich verbaler Wiedergabe einer
Subsumtion 0 ⊆a im Klassenkalkul ausgeführt haben [die letztere durfte
auch nicht in Gestalt von „Nichts ist a“ dort wiedergegeben werden].
Wenn a die Aussage bedeutet: „Hier scheint die Sonne“, so wäre vielmehr
der vorige Satz („Nie scheint etc.“) mit a = 0 in der Formelsprache des
Aussagenkalkuls darzustellen.

Legt z. B. Emanuel Geibel dem in Sklaverei befindlichen Neger-
weibe in dem Schlummerliede, das sie ihrem Knaben singt, auf die Frage
an den grossen Geist: wann wird der Jammer deiner schwarzen Kinder enden?
die Antwort in den Mund:

„Ach das mag geschehen, wenn der Mississippi rückwärts fliesset, …
Wenn die weissen freien Pflanzer, wenn die Christen Menschen werden“,
[19]§ 28. Aussagen, als Gültigkeitszeiten gedeutet.
so lässt er sie (bei der Unterstellung, dass dies niemals eintreten werde)
eine die Hoffnungslosigkeit ausdrückende, logisch betrachtet eine leere Ver-
heissung geben.

Analog sind Urteile hier anzuerkennen, wie diese:

• Wenn es Hexerei gibt, so ist 2 × 2 = 4 (vergl. wieder 0 ⊆ 1߭).
• Wenn die Sonne scheint, so ist 2 × 2 = 4; (a⊆ 1߭).
• Wenn die Masse der Welt konstant ist, so ist 2 × 2 = 4; (1߭ ⊆ 1߭).

Der Nachsatz gilt hier nämlich an sich und ganz unabhängig von dem
Vorder- oder Bedingungssatze. Psychologisch mag das anders sein, aber
logisch sagt das hypothetische Urteil doch für den Fall, wo seine Hypo-
these nicht zutrifft, überhaupt nichts aus. Behaupte ich etwas für den
Fall (die Zeit), wo die Sonne scheint, so ist damit in keiner Weise präju-
dizirt für die Fälle, wo sie nicht scheint; es bleibt, wenn für den ersteren
behauptet ist, dass 2 × 2 = 4 sei, unbenommen zu denken, dass es auch
für die letzteren sich also verhalte, nur wird dies im Urteile eben frei-
gestellt, unentschieden oder offen gelassen.

Freilich ist, beim zweiten der obigen drei Beispiele (z. B.) zuzugeben,
dass dasselbe — ähnlich wie etwa das Urteil: „Einige Möpse sind Hunde“ —
bei aller logischen Korrektheit ein irreführendes, psychologisches Moment
enthält, weshalb denn auf das für ähnliche Fälle schon in § 1 Gesagte
zurückverwiesen sei. Wie dort, so sind auch hier die Urteile dem Vor-
wurf ausgesetzt, dass sie mit Umständlichkeit nur einen Teil der Wahrheit
ausdrücken, während „die ganze“ sich viel einfacher sagen liesse — in Ge-
stalt der Behauptung, dass 2 × 2 = 4. In logischer Hinsicht aber sind
solche Urteile nicht zu beanstanden.

Steht, entgegen den bisherigen Beispielen, die Null als Prädikat
oder die Eins als Subjekt, so haben den Theoremen 5) gemäss die
Urteile einen wirklichen Gehalt. Der letztere lässt sich dann aller-
dings auch einfacher darstellen, wird jedoch zu rhetorischen Zwecken,
zur Bekräftigung, nicht selten absichtlich in die umständlichere Form
gesetzt — oder auch aus Taktgefühl, um etwa direkte grobe An-
schuldigung zu vermeiden. Z. B. Das hypothetische Urteil: „Wenn das
mit rechten Dingen zugegangen ist, so ist 2 × 2 fünf!“ (a⊆ 0) um-
schreibt blos die Behauptung: „Das ist nicht mit rechten Dingen zu-
gegangen“, welche zusammenfällt mit der Verneinung des Urteils a
(= „Das ist mit rechten dingen zugegangen“), sonach mit der Be-
hauptung a = 0, dass letzteres Urteil ungültig. Vergl. hiezu die Be-
trachtung 1 des § 46 über das Wesen des apagogischen Beweises.

Das Urteil: „Wenn 2 × 2 (noch) vier ist, so bin ich unschuldig“
(1߭ ⊆a) kommt der Beteuerung gleich: (a) „Ich bin unschuldig.“ Psy-
chologisch weist es vielleicht darüber hinaus auf eine Notwendigkeit
hin, dieses auch anzuerkennen.

Tritt beides zugleich ein, steht nämlich die 1߭ als Subjekt und die 0
als Prädikat einer Aussagensubsumtion, so haben wir in Gestalt derselben:
2*
[20]Fünfzehnte Vorlesung.
1߭ ⊆ 0, eine absurde Aussage vor uns, deren Gültigkeitsdauer (wie schon
einmal erwähnt) eben selbst 0 ist.

Das identische Produkt und die identische Summe zweier Aussagen
a und b können nunmehr selbst wieder als Aussagen gedeutet werden
in folgender Weise:

Es bedeutet a · b oder a b das Urteil, welches aussagt, dass die Aus-
sagen a und b beide (gleichzeitig, zugleich) gelten. Diese Aussage
hat in der That das den Gültigkeitsdauern von a und von b gemein-
same Gebiet von Zeitpunkten zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer.

Ein Produkt von Aussagen stellt demnach das System derselben,
wenn sie als simultan geltende, koexistirende angesehen werden sollen,
vor; und umgekehrt lässt ein solches System stets als eine einzige
Aussage, nämlich als das identische Produkt seiner Gliederaussagen,
sich hinstellen und in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls über-
setzen.

In Worten pflegt man die Faktoraussagen einfach selbständig hin-
zustellen — durch den Punkt als Interpunktionszeichen, oder auch
durch Kommata getrennt, zuweilen auch durch Konjunktionen, wie
„und“, „sowol ‥ als auch“ etc. verbunden. Z. B.: Nicht nur (a =) „der
Stoff, die Materie ist unvergänglich“, sondern auch (b =) „die lebendige
Kraft, Energie, lässt sich weder erzeugen, noch vernichten“ — ist solch’
ein Aussagenprodukt: a b.

Ferner bedeutet a + b das Urteil, welches aussagt, dass die Aus-
sage a oder die b gelte — und zwar das „oder“ im inklusiven Sinne
verstanden als „oder auch“ [vergl. § 8, ϑ)] sonach entweder die eine,
oder die andre von ihnen, oder aber beide zugleich. Diese Aussage
wird in der That zur ausschliesslichen Gültigkeitsdauer haben das-
jenige Gebiet von Zeitpunkten, zu welchem die Gültigkeitsdauern von
a und von b einander ergänzen, zusammenfliessen.

Eine Summe von Aussagen stellt demnach das System derselben
vor, wenn sie als alternativ geltende angesehen werden sollen, und um-
gekehrt wird sich jede „Alternative“ zwischen Aussagen — sofern sie,
wie wir es hier immer auffassen werden, als eine inklusive verstanden
wird, die den gegenseitigen Ausschluss ihrer Glieder nicht ausdrück-
lich fordert — stets darstellen lassen als eine einzige Aussage in Ge-
stalt der identischen Summe ihrer Gliederaussagen.

Die Wortsprache verbindet die Glieder der Alternative durch die
Konjunktion „oder“ resp. durch „entweder ‥, oder ‥“, wofern sie nicht
vorzieht, dieselben ganz getrennt hinzustellen, und blos zu bemerken,
dass von ihnen irgend eines, zum mindesten, zu gelten habe.

[21]§ 28. Taxirung von Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten.

Für die eventuelle Zusammenziehung von mehreren Aussagen,
mögen sie ein simultanes oder aber ein alternatives System bilden, in
ein einziges Urteil, einen grammatikalischen Satz mit nur einer Ko-
pula — für den Fall nämlich, wo die Gliederaussagen sämtlich das-
selbe Subjekt oder aber das nämliche Prädikat besitzen — werden die
Definitionen (3) maassgebend sein.

Den Klassenkalkul vermochten wir seinerzeit ein nicht unbeträcht-
liches Stück weit zu entwickeln, ohne jemals den Begriff der Negation
wesentlich vorauszusetzen oder hinzuzuziehen, und dem gemäss wollen
wir auch vom Negiren der Aussagen und der Darstellung der Aus-
sagennegation in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls erst später
(§ 31) handeln.

Wir könnten hiernach bereits zu Anwendungen des Aussagen-
kalkuls schreiten, wenn es nicht für viele, ja für die meisten Aussagen
noch Schwierigkeiten bereitete zu einer klaren Vorstellung von ihrer
„Gültigkeitsdauer“ zu gelangen. In den bisherigen Beispielen sind wir
solchen Schwierigkeiten noch aus dem Wege gegangen.

Was aber — fragen wir uns — soll nun etwa verstanden werden
unter der „Gültigkeitsdauer“ bei Aussagen wie diese:

• „Es friert“ (ohne nähere Angabe eines Ortes, wo es frieren sollte);
• „Das Dreieck A B C ist rechtwinklig“
• „Die Funktion f (x, y) ist symmetrisch“
• „Das Salz ist chemisch rein“, etc.

wo — in den letzten Fällen — nicht gesagt ist, von welchem Dreieck,
von welcher Funktion, von welchem Salz die Rede?

Man könnte solche Aussagen oder „unbestimmte singuläre“ Urteile,
in welchen das Subjekt (allgemeiner noch irgend ein Objekt) zwar nicht
als Klasse (im engeren Sinne) zu nehmen ist, vielmehr ein Individuum
vorstellt, welches aber nach Ort und Zeit nicht bestimmt (auch nicht
durch anderweitige Qualitäten etwa völlig determinirt) erscheint, am
besten wol „Gelegenheitsurteile“ nennen.

Die Wahrheit oder Falschheit einer solchen Aussage hängt ganz
und gar von der Gelegenheit ab, bei welcher sie ausgesprochen, ge-
macht wird. Sooft wir unter A B C zum Beispiel ein kraft seiner De-
finition, Erzeugung oder Konstruktion, kurz ein wirklich rechtwinkliges
Dreieck verstehen, wird die zweite Aussage wahr, andernfalles wird sie
falsch sein. Die dritte Aussage, auf irgend eine unsymmetrische Funktion
f (x, y) angewendet, ist falsch, auf eine symmetrische bezogen, richtig, etc.

Wollte man auch hier zur Vorstellung von einer „Gültigkeitsdauer“
gelangen, so müsste man sich die verschiedenen Momente vergegenwärtigen,
[22]Fünfzehnte Vorlesung.
in welchen eine bestimmte Person — sagen wir im zweiten Falle etwa ein
gewisser Mathematiker, Geometer — sich diese Aussage aneignet; die
Gültigkeitsdauer würde dann aus den Zeitmomenten sich zusammensetzen,
in welchen solches zutreffend geschieht, bei Ausschluss derjenigen, wo es
irrtümlich, zu Unrecht geschieht, und bezogen auf eine Mannigfaltigkeit,
bestehend aus den Zeitpunkten, wo es überhaupt geschieht. Oder, falls
wir den ganzen Zeitbereich erschöpfen wollten, so müssten wir einen idealen
Mathematiker fingiren, welcher alle erdenklichen Dreiecke A B C in einer
bestimmten Reihenfolge durchgehend, die (zweite) Aussage beständig im
Munde führt. Unzweifelhaft würde so ein bestimmtes Gebiet von Zeit-
punkten sich ergeben, für welches die Aussage richtig, und als dessen Er-
gänzung zur ganzen Zeit, ein anderes, für welches sie falsch ist, und jenes
wäre die fragliche Gültigkeitsdauer.

Wegen der Unbestimmtheit, Willkürlichkeit aber jener Reihenfolge des
Durchgehens, oder der Person, welche für eine solche sich zu entscheiden
hätte, entbehrt der ganze Begriff indess der erforderlichen Bestimmtheit,
ganz abgesehen davon, dass auch die Art, wie man zu seiner Konstruktion
gelangen sollte, etwas Gezwungenes an sich hat.

Bei den fraglichen „Gelegenheitsurteilen“ wird man darum gut
thun, den bisherigen Begriff der „Gültigkeitsdauer“ zu ersetzen durch
einen weiteren, und zwar an die Stelle ihrer Vorstellung treten zu
lassen diejenige von der Klasse der Anwendungsgelegenheiten der Aus-
sage, genauer: die Klasse derjenigen Gelegenheiten (occasions) bei
welchen die Aussage als eine wahre mit Fug und Recht gemacht werden
kann, bei welchen sie zutrifft.

Darnach wird, wenn a und b Gelegenheitsaussagen vorstellen, die
Subsumtion
zum Ausdruck bringen, dass die Klasse der Gelegenheiten, bei welchen
die Aussage a zutrifft, ganz enthalten, eingeordnet ist der Klasse der
Gelegenheiten, bei welchen die Aussage b zutrifft, d. h. wieder: „Wenn
a gilt, so gilt auch b“. Und bei äquivalenten Aussagen fallen beide
Klassen in eine zusammen, es bedingen jene einander gegenseitig, sind
immer zugleich wahr, oder falsch.

Beispielsweise möge a die Aussage bedeuten: „Das Viereck A B C D
ist eine Raute“, und b die Aussage: „Im Viereck A B C D stehen die
beiden Diagonalen auf einander senkrecht“, so gilt a⊆b, d. h. Wenn
ein Viereck (A B C D) eine Raute ist, so sind seine Diagonalen zu ein-
ander normal. Das Subsumtionszeichen stellt hier wirkliche Unter-
ordnung vor, sintemal der Satz nicht umkehrbar ist, nämlich z. B.
auch im Deltoid^*) die Diagonalen normal sind, ohne dass dasselbe eine
Raute (ein Rhombus, gleichseitiges Viereck) sein müsste.

[23]§ 28. Aussagen nach der Klasse ihrer Anwendungsgelegenheiten betrachtet.

Bedeutete ferner a die Aussage: „Die Ecken des Vierecks A B C D
liegen auf einem Kreise“, b die Aussage: „die Gegenwinkel des Vier-
ecks A B C D sind Supplemente“, so wäre a = b, denn eines bedingt
immer das andere nach bekannten geometrischen Sätzen. Die beiden
äquivalenten Aussagen a, b dürften hier gleichwol nicht „äquipollente“
genannt werden, weil sie erst auf Grund der AxiomeEuklid’scher
Geometrie denknotwendig auseinander folgen — diese Axiome aber an-
zunehmen erwiesenermassen keine Denknotwendigkeit gebietet.

Mit der Subsumtion nun, mit ihrer Deutungs- und Anwendungs-
fähigkeit, haben wir wiederum die Grundlage des ganzen identischen
Kalkuls gewonnen. Es stellt sich der Aussagenkalkul dergestalt als
eine spezielle Anwendungsweise des Klassenkalkuls dar.

Auch die früher aufgestellte „Gültigkeitsdauer“ bei denjenigen
Aussagen, bei welchen ungezwungen von einer solchen sich sprechen
lässt, kann jetzt ohne weiteres aufgefasst (oder umgedeutet) werden
als die Klasse derjenigen Gelegenheiten, bei welchen die betreffende
Aussage als eine zutreffende anwendbar ist, indem hier eben nur diese
Gelegenheiten an bestimmte Zeiten sich gebunden erwiesen. Ist die
Aussage z. B. „Es regnet soeben am hiesigen Platze“ im gegen-
wärtigen Zeitpunkt richtig, weil es wirklich draussen regnet, so ist
jetzt auch eine Gelegenheit, die Aussage als eine gültige zu machen,
und vice versā.

Es wird demnach das Gebäude unsres Aussagenkalkuls auf einer
völlig einheitlichen Grundlage ruhen.

Die Nullaussage entspricht wiederum einer leeren Klasse, die
keine einzige Gelegenheit berechtigter Anwendung der Aussage in sich
schliesst. Und die 1߭, der wir auch jetzt noch den Punkt belassen
wollen, mag man auffassen als die Gesamtklasse aller Gelegenheiten,
bei welchen überhaupt Aussagen zu machen sind — bei allen diesen
wird z. B. die Behauptung, dass 2 × 2 = 4, auch berechtigt erscheinen.

Es versteht sich, dass man die formalen Abmachungen des gegen-
wärtigen Paragraphen auch rein konventionell hätte hinstellen können. Ohne
jede Bezugnahme auf einen vorangehenden Klassenkalkul und ohne eigent-
liche Motivirung hätte einfach „ausgemacht“ werden können, was wir re-
kapitulirend zusammenstellen:

• a = 1߭, oder a, solle heissen: die Aussage a gilt,
• a = 0: sie gilt nicht; a⊆b: wenn a gilt, so gilt b; a = b: wenn a gilt
  so gilt b, und umgekehrt; a b: es gilt zugleich a und b; a + b: es
  gilt a oder b; (a1 solle bedeuten die Verneinung der Aussage a, so-
  nach dasselbe, wie der Ansatz: a = 0).

Man könnte darnach die ersten Sätze des Aussagenkalkuls in Formeln
hinstellen, indem man einfach an den gesunden Verstand, das Gefühl der
[24]Fünfzehnte Vorlesung.
Evidenz appellirte, die komplizirteren Sätze hernach aus den einfacheren
beweisend. Auf diese Weise verfährt Herr McColl; nach ihm im wesent-
lichen auch Herr Peirce5, jedoch mit bedeutend tiefer eingehender und
verdienstlicherer Begründung, die sich, wie wir gesehen haben, fast ganz
auf den Klassenkalkul übertragen und für diesen verwerten liess (um welchen
übrigens Peirce sich zuvor 1a auch schon Verdienste erworben hatte).

Indem ich vorstehend den Zusammenhang zwischen Gebiete- oder
Klassenkalkul einerseits und Aussagenkalkul andrerseits näher darzulegen
versuchte, führte ich eine von Boole schon gegebene Anregung weiter
aus, die mir befolgenswert erscheint aus Gründen, auf welche ich schon
Bd. 1, S. 290 hingewiesen habe und am Schlusse des § 45 noch weiter ein-
gehen werde.

Vor einer naheliegenden Verwechselung muss übrigens noch ge-
warnt, es muss auf einen Umstand aufmerksam gemacht werden, der
sonst leicht eine Quelle der Verwirrung werden könnte:

Nachdem wir die „hypothetischen“ Urteile: „Wenn a gilt, so gilt b“
— das sind sprachlich Konditionalsätze, die an eine Bedingung (Hypo-
thesis) eine Behauptung (Thesis) knüpfen — darstellen gelernt haben
durch eine Subsumtion des Aussagenkalkuls:
,
so ist für letztere neben der nach dem Bisherigen berechtigt erscheinen-
den Redensart: „a ist in b enthalten“ in einem gewissen — allerdings
ganz andern — Sinne auch die umgekehrte Redensart anwendbar und
sogar vorwiegend üblich: „a enthält b, oder begreift es unter sich (m.
a. W.: b ist in a mitenthalten)“ — vergleiche Bd. 1, S. 623 sq. Be-
deuten a und b Aussagen, so sagt der Engländer geradezu: „a im-
plies b“, und würde im Deutschen dem entsprechen: „a schliesst b in
sich“, „a involvirt b“. In Anbetracht, dass die Geltung von a allemal
auch die von b nach sich zieht, d. h. — mögen wir sagen — in „ex-
tensiver“ Hinsicht, im Hinblick allerdings auf den Inhalt der Aussagen,
ist solches auch berechtigt, während in „intensiver^*) Hinsicht, im Hin-
blick auf die Klassen der Anwendungsgelegenheiten wie gesagt die um-
gekehrte Beziehung stattfindet, wie sie die Fig. 1 (mit 2) des Bd. 1 versinn-
lichen würde; da würde denn auch auf Englisch zu sagen sein: „b implies
a“. Dadurch, dass wir uns im Aussagenkalkul des Verbums „Enthalten-
sein“ lieber gänzlich enthalten, statt dessen uns einer der unverfäng-
licheren synonymen Ausdrucksformen bedienend, werden wir im
Deutschen Missverständnissen am besten aus dem Wege gehn.

§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze in der Zeichen-
sprache des Aussagenkalkuls. Das Summenzeichen Σ
und das Produktzeichen Π.

Wir wiederholen nun die Definitionen, Prinzipien und Sätze des
Gebietekalkuls, indem wir uns der abkürzenden Schreibung des Aussagen-
kalkuls bedienen — wie sie im vorigen Paragraphen erläutert worden.

Die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabets sollen jetzt
wieder Gebiete unsrer bevorzugten Mannigfaltigkeit (der Fläche 1 der
Schultafel) vorstellen, oder auch — wenn man will — Klassen von
Individuen aus irgend einer „gewöhnlichen“ Mannigfaltigkeit von Ob-
jekten des Denkens.

Die Aussagen, welche ursprünglich in Betracht kommen, werden
sich auf eben diese Gebiete oder Klassen beziehen und sollen dann
„primäre“ genannt werden.

Wol alle Theoreme des Gebietekalkuls behaupten etwas von diesen
primären Aussagen: sei es deren unbedingte und allgemeine Gültigkeit,
sei es die einseitige Abhängigkeit der einen als Behauptung von den
andern als Voraussetzung des Theorems hingestellten, sei es auch die
gegenseitige Abhängigkeit oder Äquivalenz gewisser einzelner oder
auch Gruppen von solchen primären Aussagen.

Wir mögen deshalb diese Theoreme oder Aussagen über (primäre)
Aussagen (nun) „sekundäre“ Aussagen nennen.

Anstatt wie früher mittelst verbalen Textes sollen nun diese
sekundären Aussagen durch Formeln in der Sprache des Aussagen-
kalkuls dargestellt werden, was auf eine blosse Übersetzung der Wort-
sprache in die Formelsprache hinauslaufen wird. Original und Über-
setzung sollen dabei jeweils durch die übereinstimmende Chiffrirung
aufeinander bezogen werden.

Das Übersetzen aber hat für uns einen doppelten Zweck.

Es mag einerseits des Objektes, Themas, der Theoreme halber ge-
schehen, für welche es eine Art Repetition bildet, bei der sie aber
meist in noch erheblich schärferer Fassung, übersichtlicher und kon-
ziser wiederum in Erinnerung gerufen werden; zugleich wird ein Über-
blick über die ganze Reihe der (etwa Hundert) wichtigeren Sätze
geschaffen, der sich zum Nachschlagen bei etwaigen Citaten für Jeden
der die Formelsprache zu lesen versteht, sonach auch für die Zukunft,
vorzugsweise empfiehlt.

Andrerseits aber soll jenes Übersetzen auch um seiner selbst
[26]Fünfzehnte Vorlesung.
willen geschehen. Es soll in das Verständniss jener Formelsprache,
die vor der Wortsprache eben gewisse Vorzüge besitzt, den Studiren-
den praktisch einführen, soll eine gewisse Übung und Geläufigkeit im
Gebrauche dieser Zeichensprache anbahnen, die für die Formulirung
und Bewältigung späterer schwierigerer Probleme wertvoll oder uner-
lässlich ist.

Wir werden uns hiernächst enthalten, Aussagen etwa auch durch
Buchstaben darzustellen. Wo immer eine Aussage mit ihrer Gültig-
keitsdauer in Rechnung zu setzen ist, soll dieselbe mit Subjekt, Kopula
und Prädikat vollinhaltlich angegeben, „spezifizirt“ in eine Klammer
geschrieben werden. Dergleichen in die sekundären Formeln ein-
gehende primäre Aussagen, welche somit als linke oder rechte Seite
einer Subsumtion oder Gleichung, oder ebendarin als Faktor, Summand,
vielleicht als Negand auch, auftreten, müssen demnach in diesen For-
meln jeweils ausgelegt, interpretirt werden als ihre „Gültigkeitsdauern“
oder „Klassen der Gelegenheiten ihrer berechtigten Anwendung“.

Die Ewigkeit 1߭, oder Gesamtklasse aller Gelegenheiten zu Aus-
sagen, werden wir von der Tafelfläche 1, wie ausgemacht, durch den
Tupfen unterscheiden.

Letztere 1 indess würde auch durch die erstere 1߭ sich durchweg er-
setzen lassen und durch sie wirklich zu ersetzen sein, falls man etwa die
Gebietsymbole a, b, c, x … ebenfalls als Aussagen deuten, den reinen
Aussagenkalkul also (als eine spezielle Anwendung des Gebietekalkuls) in
sich selbst ausdrücken wollte.

Unsre primären Aussagen würden dann schon als sekundäre, unsre
sekundären als tertiäre zu bezeichnen sein.

Solches zu thun ist jederzeit erlaubt. Es hiesse das aber von einer sehr
viel allgemeineren Theorie nur einen ganz speziellen Unterfall hervorhebend
darstellen — wie wir in den nächsten Paragraphen genauer darlegen werden.

Zur exakten Wiedergabe einiger Theoreme werden wir noch eines
Paares von neuen Zeichen bedürfen, die wir der Mathematik (zum,
wie sich im nächsten Paragraphen zeigt, vollkommen analogen Ge-
brauche) entlehnen, nämlich des „Summenzeichens“ Σ (Sigma) und des
„Produktenzeichens“ Π (Pi).

Um nämlich auszudrücken, dass eine auf ein Gebiet x bezügliche
Aussage für jedes Gebiet x (aus unsrer Mannigfaltigkeit 1) gelte oder
gelten solle, werden wir das Zeichen (gesprochen: Pi nach x von …)
vor dieselbe setzen, und den entstehenden Ausdruck auch das Produkt,
genommen nach x, von der dahinterstehenden Aussage nennen.

Wenn mehreres, ein längerer oder komplizirter Ausdruck hinter dem
Zeichen steht, so frägt es sich, bis wohin die fragliche Aussage gehe, wo
[27]§ 29. Das Summenzeichen Σ und das Produktzeichen Π.
sie aufhört. Laut einer allgemeinen Übereinkunft erstreckt sich dabei die
letztere immer bis zu dem nächsten „freien“ Plus- oder Subsumtions- oder
Gleichheitszeichen, wenn wir „frei“ ein solches Zeichen nennen, welches
nicht von einer Klammer umschlossen ist, es sei denn von einer solchen,
welche auch das Π mit umschliesst; folgt aber überhaupt kein solcher
Klammerabschluss, kein solches Zeichen nach, so erstreckt sich die Aus-
sage natürlich bis an das Ende des Ausdrucks. Steht also insbesondre
ein Produkt hinter dem Π, so erstreckt sich die Wirkung dieses Zeichens
nicht etwa blos auf den ersten, den dem Π zunächst stehenden Faktor
desselben, sondern auf das ganze Produkt, indem die Malzeichen, selbst
wenn sie ausdrücklich (als Punkte) geschrieben sein sollten, der Wirkung
keinen Halt gebieten.

Dagegen das vor eine (ebenso sich begrenzende) Aussage gestellte
Zeichen (gesprochen: Summe nach x von …) soll uns andeuten,
dass die Aussage nicht notwendig für jedes, sondern nur für ein ge-
wisses Gebiet x, oder auch für mehrere gewisse Gebiete x (unsrer
Mannigfaltigkeit 1) — kurz: für mindestens ein x — gelte, oder —
als Voraussetzung zum Beispiel — zu gelten habe. Der so entstehende
Ausdruck heisst dann auch die Summe, genommen nach x, von der da-
hinter stehenden (auf x bezüglichen) Aussage.

Ebenso wird das Zeichen andeuten, dass die dahinter stehende
(nach erwähnter Übereinkunft sich von selbst begrenzende) Aussage
für alle erdenklichen Gebietepaare x, y, welche aus unsrer Mn. 1 her-
vorgehoben werden können, in Anspruch genommen werde, und das
Zeichen , dass dieses nur für gewisse Wertepaare x, y, mindestens
aber für ein solches Wertepaar, geschehen solle. Etc.

Die Zeichen Π, Σ sind in solchem Sinne schon von Peirce und
Mitchell gebraucht. —

Die Motivirung dieser, auch den Mathematiker vielleicht anfangs be-
fremdenden Festsetzungen nebst den etwa nötigen ergänzenden Bemer-
kungen in Bezug auf die Gesetze und den regelrechten Gebrauch der
beiden Zeichen verschieben wir auf den nächsten Paragraphen.

Der Ausdruck hinter dem Zeichen Σ, Π, auf den dasselbe sich
bezieht, heisst das „allgemeine Glied“ der Summe, resp. der „allgemeine
Faktor“ des Produkts, und das unter dem Zeichen angemerkte Symbol x
heisst die „Summationsvariable“ resp. „Produktationsvariable“; auch kommt
die gleiche Benennung (im Plural) den sämtlichen darunter angemerkten
Symbolen zu, wenn ihrer mehrere, wie x, y, ‥, sich angemerkt finden
sollten. —

Auf § 31 sq. verschieben wir thunlichst alle sonst vielleicht noch
w ünschenswert erscheinenden Erläuterungen und Erörterungen, um
den Überblick nicht zu beeinträchtigen.

[28]Fünfzehnte Vorlesung.

Prinzip I der Identität lautet:
I. , oder kürzer:
°I. .
Statt zu sagen: der letztere Satz gilt stets, kann man ihn einfach
hinstellen.

Wo in dieser Weise das Umschreiben, Transkribiren eines Theo-
rems in die Formelsprache des Aussagenkalkuls keine Vereinfachung
seines Ausdrucks liefert und deshalb besser unterlassen wird, wollen
wir, wie soeben, ein Ringelchen vor die Chiffre des Theorems setzen.

Prinzip II des Subsumtionsschlusses (Barbara):
II. .

Definition (1) der Gleichheit:
(1) Def. .

Diese Formel definirt primäre oder Gebietegleichheit (a = b) aus
der Subsumtion, und zwar vermittelst Ansetzung einer sekundären
oder Aussagengleichheit (nämlich der Äquivalenterklärung zweier pri-
mären Aussagen, wie sie das „freie“ Gleichheitszeichen andeutet).

Damit dieselbe — bei der im letzten Nebentext (S. 26) gekenn-
zeichneten Deutungsweise unsrer Formeln als solcher des „reinen Aussagen-
kalkuls“ — nicht als ein circulus in definiendo, eine Zirkeldefinition er-
scheine, sondern als Definition auch der Aussagengleichheit wirklich gelten
könne, muss die Berufung auf diesen Begriff und anderweitiger Gebrauch
des zugehörigen Beziehungszeichens in ihr selbst vermieden werden.

Dies ist leicht hinzubringen dadurch, dass man die Formel auflöst in
das (zwar „gleich“ 1߭ gesetzt zu denkende, hier aber besser nur schlecht-
weg hingestellte) Produkt zweier Subsumtionen:
,
welches nun erst kraft seines eigenen Sinnes sowie Schema’s in die oben
als Def. (1) hingestellte Gleichung zusammenzuziehen wäre.

Man bemerkt nämlich, dass ebenso wie die in ihr vorkommende Teil-
aussage (a⊆b) (b⊆a), so auch die ganze Aussage oder Festsetzung das
Produkt ist zweier vor- und rückwärts in einander übergehenden Subsum-
tionen, mithin von ebendieser Form: (A⊆B) (B⊆A), nur dass jetzt
A die Aussage (a⊆b) (b⊆a) und B die Aussage (a = b) bedeutet.
Nach der in ihr selbst gegebnen, für alle Aussagen — mögen sie a, b
oder A, B heissen — gelten sollenden Erklärung folgt sonach aus ihr
auch: A = B, das heisst: wir dürfen die Definition (1)', wie zu An-
fang, nun auch selbst als Gleichung (1) schreiben, und unter dieser ist
umgekehrt nichts anderes als das Subsumtionenprodukt (1)' zu verstehen.

Zusatz zu Def. (1): (a = b) = (b = a).

[29]§ 29. Übersichtliche Darstellung der bisherigen Sätze.

°1) Theorem. a = a.

2) Th.(a⊆b) (b = c) ⊆ (a⊆c).

3) Th.(a = b) (b⊆c) ⊆ (a⊆c).

4) Th.(a = b) (b = c) ⊆ (a = c).

Die Definition (2) der identischen Null und Eins lautet:

spricht aber die definitionsweise den Gebieten 0 und 1 beigelegte
Fundamentaleigenschaft in Form von Theoremen aus. Es würden
erst die Gleichungen:

die Begriffserklärung ebendieser Gebiete 0, 1 auch in der für Defini-
tionen üblichen Form statuiren, indem sie ausdrücken, (links) dass
ein Gebiet x immer dann und nur dann^*) 0 zu nennen sei, wenn das-
selbe in jedem Gebiet a enthalten, d. h. wenn für jedes a auch x⊆a
ist, (rechts) etc.

Definition (3) von Produkt und Summe (Peirce, McColl):

Dieselbe bestand aus den gesondert chiffrirten Teilen:

Die Theoreme des § 6 waren subtilerer Art, auch im Grunde für
die Theorie entbehrlich; sie sollen deshalb auch hier als eine Ein-
schaltung isolirt werden, die von dem Anfänger sich überschlagen lässt.

[30]Fünfzehnte Vorlesung.

wobei die in dieser Gleichung enthaltenen beiden Subsumtionen die
Theoreme 8)' und 8)'' gesondert vorstellen werden.

wobei wieder die aus der Gleichung nach Def. (1) leicht herauszu-
lesenden beiden Subsumtionen die Theoreme 10)' und 10)'' gesondert
vorstellen.

Für die Theoreme 11) muss wegen Raummangels der Mittelstrich
gebrochen werden.

oder nach Def. (1) zusammengezogen:

Wie hier — in Th. 7) bis 11) der allgemeine Faktor selbst (hinter
dem Produktenzeichen) sich zu der anderen Seite der Proposition (Sub-
sumtion oder Gleichung) verhält, werden wir in § 32 sehen.

• °12) Th. Kommutationsgesetze:
  

  °12×) a b = b a

  °12+) a + b = b + a.

• °13) Th. Assoziationsgesetze nebst Zusatzdefinition von Produkt
  und Summe dreier in bestimmter Ordnung verknüpfter Opera-
  tionsglieder:
  [31]§ 29. Ihre Einkleidung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls.
  

  °13×) a (b c) = (a b) c = a b c

  °13+) a + (b + c) = (a + b) + c = = a + b + c.

• °14) Th. Tautologiegesetze:
  

  °14×) a a = a	°14+) a + a = a.
  15×) Th. (a⊆b) ⊆ (a c⊆b c)	15+) Th. (a⊆b) ⊆ (a + c⊆b + c).
  16×) Th. (a = b) ⊆ (a c = b c)	16+) Th. (a = b) ⊆ (a + c = b + c).
  17×Th. (a⊆b) (a' ⊆b') ⊆ ⊆ (a a' ⊆b b')	17+) Th. (a⊆b) (a' ⊆b') ⊆ ⊆ (a + a' ⊆b + b').
  18×) Th. (a⊆b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a a' ⊆b b')	18+) Th. (a⊆b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a + a' ⊆b + b').
  19×) Th. (a = b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a a' = b b')	19+) Th. (a = b) (a' = b') ⊆ ⊆ (a + a' = b + b').

• 20) Th.(a = a b) = (a⊆b) = (a + b = b).

• °23) Th. Absorptionsgesetze:
  

  °23×) a (a + b) = a	°23+) a + a b = a
  24×) Th. (a b = 1) = (a = 1) (b = 1)	24+) Th. (a + b = 0) = (a = 0) (b = 0).

• °25) Th. („Beweisbare“ oder Erste Subsumtion des Distribu-
  tionsgesetzes und seines dualen Gegenstückes):
  

  °25×) a b + a c⊆a (b + c)

  °25+) a + b c⊆ (a + b) (a + c).

Die nächstfolgenden Formeln 26) bis 28) wurden als „Theoreme“
allerdings erst hinter Th. 34) bewiesen, mögen jedoch hier schon als
solche angeführt werden.

• °26) Th. Zweite Subsumtion des Distributionsgesetzes nebst
  Gegenstück:
  

  °26×) a (b + c) ⊆a b + a c

  °26+) (a + b) (a + c) ⊆a + b c.

• °27) Th. Distributionsgesetz (Erstes und zweites) nebst
  Gegenstück:
  

  °27×) a (b + c) = a b + a c b a + c a = (b + c) a

  °27+) (a + b) (a + c) = a + b c b c + a = (b + a) (c + a)

[32]Fünfzehnte Vorlesung.

• °28) Th. Multiplikationsregel für Polynome nebst Gegenstück:
  

  °28×) (a + b) (c + d) = = a c + a d + b c + b d

  °28+) (a + c) (a + d) (b + c) (b + d) = = a b + c d.

Prinzip III×. |

[Der dual entsprechende Satz:
| III+.
wurde nicht zum Prinzip erhoben.]

29) Hülfstheorem (R. Grassmann2,5):

Definition (6) der Negation. Dieselbe spricht in der Gestalt:
°(6) Def.a a1⊆ 0, 1 ⊆a + a1
die der Negation a1 von a definitionsweise beigelegten Eigenschaften
in Form von Lehrsätzen aus. Dagegen formulirt als:
(6) Def.
oder auch:
leistet sie das gleiche auch in der Form einer Definition, indem sie
ausspricht, dass ein Gebiet x immer dann und nur dann als Nega-
tion a1 von a zu bezeichnen ist, wenn es mit a das Produkt 0 und
zugleich die Summe 1 liefert.

°31) Th. Satz der doppelten Verneinung:
(a1)1 = a.

32) Th. nebst Zus. 1. (a = b) = (a1 = b1).
Zusatz 2. (a = b) ⊆ {f (a) = f (b)}.

Hier kommt den links eingeklammerten Sätzen keine Wichtigkeit für
die Technik des Kalkuls zu.

[33]§ 29. Übersicht der Sätze.

°35) Th. Satz vom Dualismus (vergl. § 14):
.
Derselbe gehört eigentlich nicht zu den von unsrer Zeichensprache
beherrschten Sätzen, besitzt vielmehr seine besondre Symbolik.

°36) De Morgan’s Theoreme:

37) Th. der (Konversion durch) Kontraposition:
(a⊆b) = (b1⊆a1).

38) Th.(a b1 = 0) = (a⊆b) = (a1 + b = 1).

Zusatz.

(a b = 0) = (a⊆b1) = (b⊆a1), (a + b = 1) = (a1⊆b) = (b1⊆a).

39) Th.(a b1 + a1b = 0) = (a = b) = (a b + a1b1 = 1),
{(a + b) (a1 + b1) = 0} = (a = b) = {(a + b1) (a1 + b) = 1}

41) Th. von Peirce:
(a b⊆c) = (a⊆b1 + c) = (b⊆a1 + c), (a⊆b + c) = (a b1⊆c) = (a c1⊆b).

43) Th. (a = u b) = (a⊆b) = (b = a + v).

Zusatz+. f (x, y) = f (1, 1) x y + f (1, 0) x y1 + f (0, 1) x1y + f (0, 0) x1y1,
Etc. (Boole und Peirce).

°Vorbemerkung zu Th. 45+):
(a x + b x1) + (a' x + b' x1) = (a + a') x + (b + b') x1,
(a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1) + (a' x y + b' x y1 + c' x1y + d' x1y1) =
= (a + a') x y + (b + b') x y1 + (c + c') x1y + (d + d') x1y1, Etc.

°45+) Th.(a x + b x1) (a' x + b' x1) = a a' x + b b' x1,
(a x y + b x y1 + c x1y + d x1) (a' x y + b' x y1 + c' x1y + d' x1y1) =
= a a' x y + b b' x y1 + c c' x1y + d d' x1y1, Etc. (Boole.)

Schröder, Algebra der Logik. II. 3
[34]Fünfzehnte Vorlesung.

°46+) Th. (Schröder) (a x + b x1)1 = a1x + b1x1,
(a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1)1 = a1x y + b1x y1 + c1x1y + d1x1y1, Etc.
Hülfstheorem zu Th. 47+) von Schröder:
(a⊆x⊆b) = (a x1 + b x = x)

47+) Th. desgl.
(a⊆x⊆b) = (a⊆b) (x = a w1 + b w)

°48+) Th.a b⊆a x + b x1⊆a + b,
a b c d⊆a x y + b x y1 + c x1y + d x1y1⊆a + b + b + c + d,
Etc. Diese Formeln drücken eigentlich noch nicht den ganzen Inhalt
des Theorems 48+) aus; um dies zu leisten müsste vielmehr die erste
ersetzt werden durch:
a b⊆y⊆a + b) = (y = a x + b x1)
und würden analog mit etc. die folgenden umzuschreiben sein.

Zusatz:
(a u v + b u v1 + c u1v + d u1v1) = {a b c d + w (a + b + c + d)}.

49+) Th.(a x + b x1 = 0) = (b⊆x⊆a1),
oder, wenn man will = (b⊆a1) (b⊆x) (x⊆a1).

Ferner ist hierzu anzuführen das Hülfstheorem des § 24 (Bd. 1,
S. 502):
(a x + b x1 = 0) = (x = b x1 + a1x),
und erscheint noch als eine nützliche Umschreibung (und Zusammen-
fassung) der beiden letzten Theoreme:
(a x + b x1 = 1) = (b1⊆x⊆a) = (x = a x + b1x1).

50+) Th. (Boole und Schröder):
(a x + b x1 = 0) = (a b = 0) (x = b u1 + a1u).

Hier hörte unsre Chiffrirung auf. Als Theoreme 51) mögen
noch angeführt sein die Ergebnisse aus dem § 23:

51×Th.(b x = a) = (a⊆b) {x = a + u b1} |
| 51+) Th. (b + x = a) = (b⊆a) {x = a (b1 + u)}
nebst den Zusätzen:

[35]§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.

In Anbetracht, dass mit dem Vorstehenden der elementare Teil
unsrer Disziplin einen gewissen Abschluss gefunden hat, wollen wir
fortan die Nummernfolge überhaupt nicht weiter fortsetzen.

Dem Mathematiker ist die Mehrzahl der Sätze teils buchstäblich, teils
in der dem Subsumtionszeichen ⊆ analogen Beziehung ⊆ (gleich oder
kleiner) ohnehin geläufig, und wird derselbe eigentlich nur die Theoreme:
14), 22+), 23), 24), sodann diejenigen von Th. 30) ab, besonders zu be-
achten haben. Für den die in unserm Vorwort erwähnte Tertianerbildung
Besitzenden ist demnach, um für die Beherrschung unsrer Disziplin ge-
wappnet zu sein, das Gedächtniss nur mit wenig mehr als zwanzig Sätzen
zu belasten, die auf ungefähr ebensovielen Zeilen darstellbar sind und Der-
jenige von selbst behalten wird, der in den Sinn und Geist derselben ein-
gedrungen! Es kommt dazu noch, dass einzelne von den Sätzen in spä-
teren als in ihren Verallgemeinerungen schon mitenthalten sind. —

§ 30. Fortsetzung über Σ, Π. Aufhören des Dualismus.

Was die im vorigen Paragraphen eingeführten Summen- und
Produktenzeichen betrifft, so kann man im identischen Kalkul diese
Zeichen zunächst genau in derselben Weise verwenden, wie dies in der
Mathematik überhaupt geschieht, um das Anschreiben sehr zahlreicher
Summenglieder oder Produktfaktoren zu ersparen und die Arbeit auf
das einmalige Ansetzen des „allgemeinen Gliedes“, resp. „allgemeinen
Faktors“ zu reduziren.

In der Arithmetik geben die Schemata:

über die Bedeutung der Zeichen Σ und Π Auskunft und regeln den Ge-
brauch derselben. [Man liest: Summe nach λ, (genommen) von 1 bis n,
von a λ. Etc.]

Durch seine Stellung im betreffenden Zeichen gibt sich hier der Buch-
stabe λ als der „laufende“ Zeiger oder die „Summationsvariable“ (resp.
„Produktationsvariable“) zu erkennen — in andern Fällen, wo die Druckerei
solcher typographischen Anforderung nicht gerecht zu werden vermag, er-
kennt man die laufende Zahl daran, dass sie als linke Seite einer über
und einer unter das Summenzeichen gesetzten Gleichung erscheint, wie bei
der Schreibung
β)
die man auch für die linke Seite von α) bezüglich hätte wählen können.

3*
[36]Fünfzehnte Vorlesung.

Um sich die Bedeutung eines mit dem Zeichen Σ oder Π in symbolischer
Abkürzung dargestellten Ausdrucks klar zu machen, den Ausdruck zu inter-
pretiren, braucht man blos dem Zeiger λ alle ganzzahligen Werte von der
„unteren Grenze“ 1 bis zur „oberen Grenze“ n hin — mit Einschluss eben
dieser Grenzen — in dem allgemeinen Gliede resp. Faktor successive beizu-
legen; man erhält dadurch eine Reihe von einzelnen Termen:
a1, a2, a3, … an — 1, an,
welche bei Σ additiv, bei Π multiplikativ miteinander zu verknüpfen sind.

Hat man umgekehrt eine Summe, ein Produkt von lauter Gliedern
resp. Faktoren gleichen Baues, d. h. von Termen welche aus einem Buch-
stabenausdruck aλ dadurch hervorgehen, dass man für einen in ihm vor-
kommenden Buchstaben λ die Werte einer Sequenz von ganzen Zahlen der
Reihe nach einsetzt, so kann man immer die Zeichen Σ, Π behufs sym-
bolisch abgekürzter Darstellung des ganzen Ausdrucks mit Vorteil ver-
wenden. Es genügt dazu die Angabe des „allgemeinen“ Terms hinter dem
betreffenden Zeichen Σ oder Π und die Angabe der „Grenzen“, d. h. der
ersten und der letzten Zahl jener Sequenz (der „unteren“ nebst der „oberen“
Grenze), durch welche auch die zwischenliegenden Zahlen mitbestimmt er-
scheinen, sowie endlich die Charakterisirung der Summationsvariabeln als
desjenigen Buchstabens, für welchen eben die Werte jener Sequenz bei der
Interpretation des Ausdrucks eingesetzt werden müssen.

Man bemerkt, dass in der interpretirten oder „ausgeführten“ Summe
die Summationsvariable selbst gar nicht vorkommt; dieselbe war blos der
Stellvertreter für die Werte jener Sequenz, sozusagen der Träger derselben,
markirte blos die Stelle, wo letztere hinzuschreiben sind. Daher muss es
auch gleichgültig sein, welchen Buchstaben man als Namen für die Summa-
tionsvariable wählt, oder: die Bezeichnung der Summationsvariabeln ist gleich-
gültig — nur muss man Sorge tragen, dafür nicht einen schon anderweitig
in dem (ganzen) Ausdruck verwendeten Buchstaben zu nehmen, entsprechend
dem in der ganzen Symbolik geltenden Grundsatze, dem Grundsatze für
alle systematische Bezeichnung: der Verwechselung von Verschiedenem
durch die Wahl einer unterscheidenden Bezeichnung für dasselbe vorzu-
beugen, insoweit selbiges in dem Rahmen einer Untersuchung zusammen
in Betracht kommt. Und ähnliches gilt beim Produkte. Oder wir haben:
γ) .
Der strenge Beweis für diese Formeln ergibt sich, indem man die Be-
deutung der beiderseitigen Ausdrücke der Definition gemäss ausführlich
hinschreibt, wo sie sich dann eben als augenscheinliche Identitäten heraus-
stellen.

[Zum Überfluss wäre an Beispielen leichtlich darzuthun, dass die
Nichtbeachtung der angeführten Rücksicht: für den laufenden Zeiger einen
noch unverwendeten, disponibeln Buchstaben zu uehmen, in Fehler führt.
Vergleiche hierüber z. B. den Anhang meines „Lebrbuch etc.“1.]

Handelt es sich um Untersuchungen über irgendwelche Summen oder
[37]§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.
Produkte von irgendwieviel Gliedern, also um allgemeine Untersuchungen,
so kann man immer die aus dem Gebrauch der Zeichen Σ, Π resultirenden
Vorteile sich dadurch sichern, dass man sich für eine zweckmässige, eine
systematische Bezeichnung ihrer Terme von vornherein entscheidet, nämlich
wie in γ) numerirte Buchstaben, einen Buchstaben mit verschiedenen
Stellenzeigern, Suffixen oder Indices, wie a1, a2, a3, … an, dazu verwendet.

Und es steht dem nun nichts im Wege, auch ebendieses im identischen
Kalkul zu thun, wenn also die Summen und Produkte nicht als arith-
metische sondern als identische aufgefasst werden. Kommen hier auch
Negationen in Betracht, so werden wir nur, um den Platz für den Nega-
tionsstrich offen zu halten, am besten obere Indices oder Exponenten
wählen vergl. Bd. 1, S. 261 sq.

Damit werden nun allerdings neben den Buchstaben und der 1 (even-
tuell auch der 0) als Gebietsymbolen auch ebensolche als Zahlzeichen ein-
geführt, und zwar für laufende Zeiger, Indices und Summengrenzen. Aber
eben wegen dieser ihrer Beschränkung auf einen bestimmten Platz im
Ausdrucke, steht eine Verwechselung derselben mit jenen nicht zu be-
fürchten.

Und indem wir von einer ganzen Reihe in Betracht kommender Gebiete
eines als das „erste“ mit a1, ein anderes als das „zweite“ mit a2, und so
weiter der Übersicht wegen benennen, wird man doch nicht sagen können,
dass dadurch das der Logik (im allerengsten Sinne) von rechtswegen
fremde Element der Zahl wesentlich in diese Disziplin hereingezogen werde;
es bleibt vielmehr die Angelegenheit nur eine untergeordnete Bezeichnungs-
oder Benennungsfrage.

Zur Illustration wollen wir einmal die namhaftesten unsrer bisherigen
Sätze, die eine Erweiterung auf beliebig viele Operationsglieder zugelassen
haben, in geschilderter Weise mittelst Summen- oder Produktenzeichen
darstellen.

Die Formel:
II.
stellt den n-gliedrigen Kettenschluss oder Sorites dar. Ausführlich inter-
pretirt würde diese Verallgemeinerung des Prinzipes II lauten:
II'.
und können hierin die sämtlichen in Klammer stehenden, d. h. hier nur auf
Gebiete (nicht auf Aussagen) bezüglichen Subsumtionszeichen auch durch-
weg in Gleichheitszeichen verwandelt werden, wodurch sich eine Erweite-
rung von Th. 4) ergäbe:
4)

Endlich dürfen von den linkerhand in II' auftretenden Subsumtions-
zeichen beliebige Gruppen durch Gleichheitszeichen ersetzt werden, wofern
[38]Fünfzehnte Vorlesung.
daselbst nur wenigstens ein Subsumtionszeichen übrig bleibt — in Er-
weiterung der Theoreme 2) und 3).

Die Erweiterungen der Definitionen (3) zu Sätzen:
(3×) (a0⊆a1) (a0⊆a2) … (a0⊆an) = (a0⊆a1a2 … an)
(3+) (a1⊆a0) (a2⊆a0) … (an⊆a0) = (a1 + a2 + … + an⊆a0)
ziehen sich zusammen zu:

und lassen dieselben sich noch einmal verallgemeinernd zusammenfassen zu
der Formel:
(3) .
Denn durch Anwendung des einen der beiden vorhergehenden Sätze auf das
innere Π-Zeichen, d. h. auf den allgemeinen Faktor des ersten oder letzten
Produktes erhält man:
— einen Ausdruck, der nach dem andern jener beiden Sätze alsbald in den
als mittleres Membrum von (3) angegebenen Ausdruck übergeht.

Ebenso ziehen sich die Erweiterungen der Theoreme 17):
17×) (a1⊆b1) (a2⊆b2) … (an⊆bn) ⊆ (a1a2 … an⊆b1b2 … bn)
17+) (a1⊆b1) (a2⊆b2) … (an⊆bn) ⊆ (a1 + a2 + … + an⊆b1 + b2 + … + bn)
zusammen zu:

wobei in Bezug auf Ersetzung der Gebiete verknüpfenden Subsumtions-
zeichen Ähnliches zu bemerken wäre, wie vorhin bei II; — in Erweiterung
der Theoreme 18) bis 19). Die Ausdehnung des Th. 19) ergibt sich
namentlich, wenn man beiderseits alle Zeichen ⊆ in = verwandelt) das
mittlere oder freie ⊆ aber stehen lässt).

Die Ausdehnungen der Theoreme 24):
24+) (a1 = 0) (a2 = 0) … (an = 0) = (a1 + a2 + … + an = 0)
24×) (a1a2 … an = 1) = (a1 = 1) (a2 = 1) … (an = 1)
stellen sich dar als:
[39]§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.

°Weiter sind:

Die Erweiterungen der Distributionsgesetze, die wir schon Bd. 1, S. 311 in
extenso gegeben haben, und die Formel:

drückt die Multiplikationsregel für Polynome nebst ihrem dualen Gegen-
stück aus; es steht hier rechterhand eine sogenannte „Doppelsumme“, d. h.
eine Summe, deren allgemeines Glied selbst wieder ein Summenausdruck
ist, resp. ein „Doppelprodukt“. Und es würden diese Sätze sich fernerhin
leicht noch so verallgemeinern lassen, dass eine ganz beliebige Menge von
Summenzeichen beiderseits vorkäme rechts also (bei 28+) eine „mehrfache
Summe“ — und analog von Π-Zeichen bei 28×).

Endlich gibt die Erweiterung der Theoreme 36):

in unserer Abkürzung.

Die gegebenen Beispiele werden wol genügen, um auch den Nicht-
Mathematiker in die Geheimnisse der Zeichen Σ und Π einzuweihen.

Ich lege auf diese Verwendungsweise (der Zeichen) selbst für unsere
Disziplin nur ein geringes Gewicht, werde auch kaum so von denselben
Gebrauch machen. Jedoch musste dieselbe hier dargelegt werden, um den
mathematisch weniger geschulten Leser mit dem Geiste der Zeichen ver-
traut zu machen und auf den für uns wichtigen Gebrauch derselben vor-
zubereiten, zu dessen Darlegung ich jetzt übergehe.

Bei diesem enthalten wir uns des Gebrauchs von Zahlzeichen (aus-
genommen 0 und 1) gänzlich, verwenden solche auch nicht mehr als Stellen-
zeiger.

[40]Fünfzehnte Vorlesung.

Wir fassen nur Formeln des Gebietekalkuls in’s Auge, und lassen
die Summations- (resp. Produktations) Variable — sie heisse x — so-
gleich eine vorgeschriebene Reihe von bestimmten Gebieten:
a, b, c, d, …
„durchlaufen“, d. h. successive mit einem jeden von diesen im Geiste
identifizirt, äusserlich durch dasselbe ersetzt werden. Wenn f (x) irgend
eine Funktion des identischen Kalkuls bezeichnet, so haben wir dann:
als Erklärung für die Bedeutung der linkerhand stehenden Ausdrücke.
Behufs Verringerung der Schwierigkeiten des Druckes kann man hier
(wo der früher von den „Summengrenzen“ etc. in Anspruch genom-
mene Platz frei geworden ist) die Variable x statt im Innern, auch
unterhalb des Zeichen Σ resp. Π anmerken, schreiben: f (x), f (x);
auch kann in der Gestalt:
die von der Variabeln zu durchlaufende Wertenreihe (Reihe von speziellen
Gebieten) gleich unterhalb der Zeichen Σ, Π angemerkt werden.

Unterlassen wir auch solche Anmerkung, indem wir z. B. die still-
schweigende Unterstellung fordern, dass a eine Wertenreihe a', a'', a''', …
b eine solche b', b'', b''', … zu durchlaufen habe, so gewinnt schon die
Mehrzahl unsrer vorigen Sätze ein durchsichtigeres, weniger schwer-
fälliges oder überladenes Ansehen, z. B.

(3) oder (a⊆b) = (a⊆b),
wo die Suffixa unter den Zeichen Π, Σ nun auch ganz fortgelassen
werden mögen.

wobei es — als naheliegende abermalige Ausdehnung des früheren
Theorems 17) nun nicht einmal zu fordern nötig erscheint, dass die
Wertreihe der a und die der b aus gleichviel Werten bestehe [Es
durften ja einzelne von diesen Werten auch zusammenfallen, und
[41]§ 30. Fortsetzung über Σ, Π.
brauchen sie dann nach dem Tautologiegesetze nicht wiederholt zu
werden]. Etc. (den Rest sich noch einfacher zu schreiben überlassen
wir dem Leser).

Jedenfalls tritt durch solches Preisgeben des Beiwerks der Kern
der Sätze besser hervor. Da es für die Geltung dieser Sätze gleich-
gültig ist, wie viele es der von a oder b beiderseits zu durchlaufenden
Werte sein und wie diese Werte heissen sollen, so braucht letzteres in
den Sätzen auch nicht gesagt, nicht zum Ausdruck gebracht zu werden.

Wird zu einem Zeichen , keine Wertenreihe als die von dem
x zu durchlaufende ausdrücklich angeführt, so findet gewöhnlich einer
von den folgenden beiden Fällen statt:

Entweder diese Wertenreihe ist in unser Belieben gestellt; für
den ersten, zweiten, dritten, etc. Wert derselben können wir jedesmal
ein individuelles Gebiet nach Gutdünken nehmen, auch ist es gleich-
gültig ob die Reihe unbegrenzt fortgesetzt oder irgendwo abgebrochen
wird; auch die Anzahl der Werte steht dahin. Solches war in der
That bei den allgemeinen Sätzen der Fall, welche wir vorhin zu-
sammengestellt haben.

Oder diese Wertenreihe ist eine bestimmte, die Werte sind (wenn
auch ihre Reihenfolge als belanglos offen gelassen sein mag) in ihrer
Gesamtheit gegeben, durch eine allgemeine Abmachung ein für allemal
festgesetzt.

Bei den von Anfang als Rekapitulation der Sätze des identischen
Kalkuls in diesem Paragraphen gegebenen Formeln (welche überhaupt
Zeichen Σ oder Π enthalten — vergl. (2), 7) ‥ 11), 43), 47), 48) Zus.,
50) und 51) — war das letztere der Fall, und zwar sollte die von
der Variabeln x zu durchlaufende Wertenreihe bestehen aus allen denk-
baren Gebieten, die Variable sollte sämtliche Gebiete oder Klassen der
Mannigfaltigkeit hier stets als Bedeutung nacheinander untergelegt be-
kommen (wobei Wiederholungen nicht einmal ausgeschlossen, aber be-
langlos).

Stellt nun Fx eine das Gebiet x betreffende Aussage vor, so wird
die Aussage
als ein identisches Produkt von Aussagen der Def. gemäss aussagen,
dass die Aussagen Fa, Fb, Fc, … gleichzeitig wahr seien, m. a. W. dass
die Aussage Fx sowol für x = a, als auch für x = b, x = c, etc. gelte.
Und das Urteil
[42]Fünfzehnte Vorlesung.
wird sogar — gemäss obiger Abmachung — besagen, dass die Aus-
sage Fx für jedes Gebiet x, mithin, dass sie ganz allgemein im Gebiete-
kalkul gelte.

Dagegen wird eine Aussage:
als eine identische Summe von Aussagen blos ausdrücken, konstatiren,
dass letztere alternativ gelten müssen: entweder die erste, oder auch
vielleicht die zweite, etc., „oder auch“ mehrere von ihnen zugleich,
vielleicht auch alle zusammen. Es können alle, es braucht aber nur
ein Term zuzutreffen. Und demgemäss wird das Urteil
schlechtweg besagen, dass die Aussage Fx wenigstens gelte für irgend
ein Gebiet x, vielleicht für x = 0, oder vielleicht für x = 1, oder für
ein gewisses zwischenliegendes x, vielleicht sogar für mehrere, eine
ganze Klasse von solchen, vielleicht endlich — nicht notwendig — für
alle samt und sonders, „gewiss“ nur, für mindestens eines.

Hiernach erscheint nun die zu Anfang nur einfach als Konvention
von uns hingestellte Erklärung der Zeichen und als durchaus
motivirt; sie ist hiermit erkannt als vollkommen konform oder analog
(wenn auch nicht identisch) der sonstigen Verwendungsweise dieser
Zeichen in der gesamten Mathematik.

Man merke einfach, dass in der Zeichensprache des Kalkuls Π das
Symbol ist für das Pronomen „jedes“ (every), Σ dasjenige für „ir-
gend ein“ (any, resp. some)^*) — kürzer: für den unbestimmten
Artikel „ein“.

Jenes fordert gleichzeitiges, simultanes Vorstellen des dahinter ge-
setzten Termes in allen seinen Bedeutungen, dieses nur (fakultativ-)
alternatives in der einen oder andern, in gewissen oder irgend welchen
dieser Bedeutungen.

Mit Hülfe dieser beiden Zeichen, werden wir erfahren, lässt sich
jeder Grad von (bestimmter oder unbestimmter) Allgemeinheit an-
gemessen darstellen.

[43]§ 30. Aufhören des Dualismus.

Vor alle Formeln des § 29, welche Buchstaben a, b, c, x, … enthalten,
durften im Hinblick auf deren Allgemeingültigkeit natürlich auch die Zeichen
, , … unter jeweiliger Einklammerung der ganzen Formel geschrieben
werden. —

Die Entwickelung der Mathematik während des letzten Jahr-
hunderts hat bekanntlich die Erfahrung gebracht, dass die Über-
tragung des Begriffes der Summe oder des Produktes, aus einer end-
lichen Menge von Zahlen auf eine unbegrenzte Menge von solchen, auf
eine „unendliche“ Reihe von Termen (Gliedern, Faktoren), an bestimmte
Voraussetzungen als einschränkende Bedingungen geknüpft ist, welche
in den „Konvergenzregeln“ („-Kriterien“) für unendliche Reihen, und
Produkte, von der Wissenschaft niedergelegt sind. Die Ausserachtlassung
dieser Konvergenzbedingungen, stellte sich heraus, führt in Fehler.

Für die identischen Produkte und Summen aus Gebieten oder
Klassen haben wir aber vorstehend die analoge Ausdehnung ganz
ohne weiteres vorgenommen, und wird daher durch die Analogie der
identischen mit den arithmetischen Disziplinen die Vermutung nahe
gelegt, ob nicht auch hier gewisse Vorsichtsmassregeln zu beachten
sein würden, ob nicht auch die identischen Produkte und Summen
aus unbegrenzten Mengen von Termen ihre „Konvergenzbedingungen“
haben?

Dass die Frage denknotwendig scheint verneint werden zu müssen
bildet ein interessantes Thema der Erkenntnisslehre, welches wir uns
hier begnügen, als solches blos angedeutet zu haben.

Noch ein andrer Umstand muss beim Überblicken der Formeln
des § 29 auffallen, den wir als

Anmerkung über den Dualismus zur Sprache bringen.

Die formalen Grundlagen des identischen Kalkuls, als da sind
Definitionen und (Axiome oder) Prinzipien^*), desgleichen dann auch die
aus jenen Grundlagen abgeleiteten, gefolgerten Theoreme, zeigten bis-
lang jene in § 14 näher erörterte Eigenschaft des „Dualismus“. In
jedem Satze konnten mit übergeordnet und untergeordnet, also ⊆ und
⊆, zugleich auch 0 und 1, mal und plus die rollen tauschen, und
indem sie hierdurch in einander übergingen, entsprachen die Sätze mit-
unter schon sich selbst, zumeist aber paarweise einander — wie wir
sagten „dualistisch“ — wie wir nunmehr aber genauer werden sagen
müssen: „gebietsdual“.

[44]Fünfzehnte Vorlesung.

Nachdem wir nämlich alle Sätze aus ihrer früheren verbalen
Fassung in die Zeichensprache des Aussagenkalkuls umgeschrieben,
aus jener sie ganz in Formeln „übersetzt“ haben, kommen in ihnen
ausser den wie früher schon Gebietssymbole oder Klassen verknüpfenden
Beziehungs- und Operationszeichen auch vor: dieselben Zeichen als
solche, welche Aussagen verbinden (die jene Gebiete betreffen). Es tritt
neben dem Nullgebiet und dem Gebiet 1 auch eventuell jetzt in den
Formeln auf: die Nullaussage und die Aussage 1߭.

Faktisch ist die Anwendung der 0 als Aussage in der Rekapitulation
des § 29 durchweg vermieden, und ebenso die Aussage 1߭ durchweg, wo-
fern man bei den mit Ringelchen ausgezeichneten Chiffren sich an die an-
gegebene einfachste Fassung der Sätze hält. Leicht könnten jedoch die
Sätze auch in solcher Form dargestellt werden (wie es späterhin zum Teil
nicht vermeidlich), dass diese beiden Symbole häufig aufträten.

Also die „Beziehungszeichen“: ⊆, ⊆ , = (zu denen später noch
weitere, wie ≠, ⊆ treten werden) sowol, als auch die „Operations-
zeichen“: mal oder · (eventuell unterdrückt und in Gedanken erst herbei-
zuschaffen, zu suppliren), sowie plus oder + und nicht oder 1 (Negations-
strich)^*), dazu endlich auch „die beiden Zahlzeichen“: 0 und 1 (resp. 1߭)
des identischen Kalkuls — alle diese Zeichen haben wir nun und hin-
fort zu unterscheiden als „aussagenrechnerisch“ oder aber „gebietsrech-
nerisch“ verwendete — man könnte wol auch sagen: sekundäre und
primäre.

Als solche geben sie auf den ersten Blick sich zu erkennen, indem die
letztern (oder primären Zeichen) an Buchstaben oder Buchstabenausdrücken
haften (die kein Beziehungszeichen enthalten), die erstern (oder sekundären)
aber an in Klammer stehenden Aussagen, oder Knüpfungen, Komplexen
solcher, die mindestens ein Beziehungszeichen in sich schliessen — sodass
eine Verwechselung von beiderlei Verwendungsweisen nicht zu besorgen steht.

Nimmt man in den Formeln des § 29 die durch den Satz des
Dualismus gestattete Vertauschung der Zeichen 0 mit 1, + mit ·, ⊆
mit ⊆ , eventuell auch Π mit Σ, durchweg vor, nicht nur bei den als
primäre stehenden, sondern auch bei sekundären Zeichen, so ergeben
sich fast lauter falsche Sätze.

Gewissermassen zufällig richtig — weil ungeändert bleibend oder in
ihr duales Gegenstück (im herkömmlichen Sinne) übergehend — bleiben
blos der Zusatz zu Def. (1) sowie die Theoreme 5), 20), 32), 37), 38),
39), 41), das Hülfstheorem zu 47), und Th. 49).

Es genügt schon, bei den Grundlagen des Kalkuls jenes nach-
[45]§ 30. Aufhören des Dualismus.
zusehen, um die Unerlaubtheit des Prozesses im allgemeinen dar-
zuthun.

Schon Prinzip I in der Fassung des Aussagenkalkuls: (a⊆a) = 1߭
schlechtweg dual umgeschrieben würde lauten:
(a⊆a) = 0,
und somit geradezu in Widerspruch mit sich selbst treten; während näm-
lich der ursprüngliche Satz sagt, dass die Formel a⊆a stets gelte, be-
hauptet der zweite oder dual umgeschriebene, dass sie (nämlich dieselbe
Formel, nur auf die zweite zulässige Art, nämlich von rechts nach links
als a⊆a gelesen) niemals gelte.

Und ähnlich verhält es sich bei allen mit Ringelchen chiffrirten Theo-
remen, indem die durchgängig duale Umwandlung eines solchen Theorems
allemal hinauslaufen müsste auf die Verneinung seines dualen Gegenstücks
(im herkömmlichen Sinne), dessen Geltung doch mit ihm selbst ver-
bürgt ist.

Prinzip II, einfach dual umgeschrieben gäbe (sofern wir, statt ⊆ und
⊆ , lieber major und minor tauschen):
(c⊆a) ⊆ (c⊆b) + (b⊆a)
und würde, was offenbar falsch ist, lehren, dass wenn c in a enthalten ist,
entweder es in dem nächsten besten Gebiet b, oder dieses in a enthalten
sein müsse.

Def. (1) der Gleichheit gäbe:
(b⊆a) + (a⊆b) = (a = b)
wonach a gleich b zu nennen wäre, wenn auch nur eines von den beiden
Gebieten, gleichviel welches, im andern enthalten ist.

Die Definitionen (2): (0 ⊆a) = 1߭ und (a⊆ 1) = 1߭ würden geben:
(a⊆ 1) = 0 und (0 ⊆a) = 0, würden also in Illustration des oben Ge-
sagten sich gegenseitig ableugnen.

Aus Def. (3) erhielten wir noch:
(a + b⊆c) = (a⊆c) + (b⊆c), (c⊆a b) = (c⊆a) + (c⊆b)
was ebenfalls leicht durch Beispiele als falsch darzuthun.

Etc. Und ähnlich, wie die Grundlagen schon die Umwandlung nicht
vertragen, so auch nicht das auf ihnen errichtete Gebäude von Konsequenzen.
Es würde beispielsweise Th. 40), Zus. 2 liefern:
(b⊆a + c) + (b c⊆a) = (b⊆a),
was offenbar falsch. Etc.

Ebenso würden zumeist falsche Sätze sich ergeben, wenn man in
unsern Theoremen etwa die primären, gebietsrechnerisch verwendeten
Zeichen unverändert stehen liesse und nur die sekundären aussagen-
rechnerisch zu deutenden dem dualistischen Tausch unterwürfe — wie
[46]Fünfzehnte Vorlesung.
man dies im Anschluss an vorstehende Betrachtungen leicht ebenfalls
nachsehen wird.

Es gelten unsre Definitionen und Prinzipien „aussagendual“ um-
geschrieben nicht mehr, mögen sie dabei gleichzeitig auch „gebietsdual“
transkribirt werden, oder nicht.

Diese Thatsache ist auf den ersten Blick überraschend. Wie ist
dieselbe mit dem Umstand in Einklang zu bringen, dass doch der
Aussagenkalkul nur eine besondre Anwendung des Gebietekalkuls ist,
in welchem der Dualismus durchweg herrscht?

Der scheinbare Widerspruch klärt sich in folgender Weise auf.

Schon die allgemeinste, schon eine Aussage von noch ganz offen
gelassenem Inhalte, lässt nicht als ein ganz beliebiges Gebiet sich
deuten (als eine ganz beliebige Klasse in der Mannigfaltigkeit der Ge-
legenheiten zu Aussagen), vielmehr kommt, sofern ihr Sinn nur kon-
stant festgehalten wird, einer der beiden Werte 0 oder 1߭ ihr not-
wendig zu. Bestimmte, mit Inhaltsangabe ausgestattete oder „spezifi-
zirte“ Aussagen, vollends, sind ganz spezielle Gebiete (mögen sie auch
vielleicht allgemeine Gebiete betreffen, über solche als ihr Thema etwas
aussagen). Wenn falsch, sind sie = 0, wenn richtig, = 1߭ zu denken.

Für spezielle Gebiete aber brauchte zu einer Proposition die dual ent-
sprechende keineswegs zu gelten.

Wenn — um das einfachste Beispiel zu nehmen — a⊆b ist, braucht
nicht zugleich auch b⊆a zu sein (sonst müsste ja in der That jede Ein-
ordnung auf identische Gleichheit hinauslaufen). Oder wenn für gewisse
Gebiete a, b, c beispielsweise a⊆b + c sein sollte, so muss nicht notwendig
zugleich auch b c⊆a gelten!

Nicht zu „Relationen“, sondern nur zu allgemeinen „Formeln“ des
Gebietekalkuls, die also richtig sind, was auch immer für Gebiete der
Mannigfaltigkeit die in sie eingehenden Buchstaben bedeuten, mussten
stets die dual entsprechenden gelten.

Da in dieser Weise z. B. a b⊆a war, so musste zugleich auch a⊆a + b
allgemein sein. Etc.

Von solchem Charakter scheinen zwar die in § 29 rekapitulirten
Theoreme zu sein — die wir in der That fortfahren mögen, auch in
ihrer dortigen Fassung, als allgemeine „Formeln“ (und zwar des Aus-
sagenkalkuls) zu bezeichnen, sintemal sie eben für ganz beliebige Ge-
biete a, b, c, d, x, y, etc. Geltung beanspruchen — sie sind es aber in
Wahrheit (im vollen Sinne des Wortes) nicht: vielmehr stellen die-
selben sich sofort als blosse „Relationen“ (des Gebietekalkuls) dar, so-
[47]§ 30. Aufhören des Dualismus.
bald man die in sie eingehenden Aussagen durch Buchstaben ersetzt
(und letztere auf ihre Bedeutung im Gebietekalkul prüft):

Sollte man selbst die zugrunde gelegte Mannigfaltigkeit in ein
Individuum zusammenschrumpfen lassen, somit auf die beiden Gebiete
0 und 1߭ (welch’ letzteres dann dieses eine Individuum vorstellt) be-
schränken, — wie es hier angezeigt sein wird — so können doch
unsre sogenannten Formeln des § 29 im letzterwähnten Sinne in der
Regel nicht „Formeln“ sein. Dies wollen wir an einem Beispiel, etwa
bei Prinzip II, uns völlig zum Bewusstsein bringen.

Dasselbe mögen wir schreiben:
C A⊆B,
wo C, A, B die Behauptungen (oder Aussagen) bedeuten:
C = (a⊆b), A = (b⊆c), B = (a⊆c).

Die Voraussetzungen C und A unsres Satzes mögen hier nach Be-
lieben richtig oder falsch sein; sie sind (innerhalb der blos die Ge-
biete 0 und 1߭ umfassenden Mannigfaltigkeit) beliebige oder allgemeine
Symbole. Nicht so aber dann das Symbol B für die Behauptung des
Satzes. Dasselbe ist, nachdem die Werte von C und A festgelegt sind,
nicht mehr ganz willkürlich; es kann z. B. nicht 0 bedeuten, wenn C
und A die 1߭ zum Werte haben. Sogar in der Mannigfaltigkeit 0, 1߭
ist daher die Proposition C A⊆B nicht allgemeingültig, keine Formel,
weshalb auch die dual entsprechende: B⊆C + A hier nicht zu gelten
braucht. — Und diese Überlegung wird nicht beeinträchtigt durch den
Umstand, dass in unsern Aussagen A, B, C die Symbole a, b, c ganz
allgemeine oder beliebige Gebiete (der Tafelfläche z. B.) vorstellten. —

Das Versagen des Dualismus beim aussagendualen Umschreiben
der Sätze kann uns hiernach nicht mehr befremden.

Immer aber gelten unsre Formeln blos „gebietsdual“ umgeschrieben
ebenfalls wieder, d. h. man erhält aus ihnen immer wieder richtige
Formeln, wenn man nur die primären oder gebietsrechnerisch ver-
wendeten Zeichen 0 und 1, + und ·, Π und Σ, ⊆ und ⊆ umtauscht,
dagegen dieselben ungeändert stehen lässt, wo sie als sekundäre (als
Aussagen zu deutende, resp. solche verknüpfende, auf solche bezüg-
liche) auftreten.

Unsere Theoreme des identischen Kalkuls werden wir hinfort auch
in zweierlei Sinne zu citiren haben [so, wie dies mit den Prinzipien
wenigstens, auch wiederholt schon früher der Fall gewesen]: als solche
nämlich des allgemeineren, des Klassen- oder Gebietekalkuls, und ferner
[48]Fünfzehnte Vorlesung.
als solche des spezielleren, des reinen Aussagenkalkuls — wo unter
den kleinen Buchstaben, a, b, c, x, ‥ dann Aussagen zu denken sein
werden. Um Weitläufigkeiten zu vermeiden, ohne dass doch auf die
Angabe der beabsichtigten Verwendung jedes Citates verzichtet werden
müsste, mag künftig die letztere Citationsweise durch einen über die
Chiffre des Theorems gesetzten Horizontalstrich angedeutet werden.

„Nach Pr. ĪĪ“ z. B. wird darnach heissen: „weil, wenn C aus B und
B aus A folgt, dann auch C aus A folgt“. „Nach Th. 6×)“ heisst: weil
das mehrern Gebieten gemeinsame Gebiet in irgend einem (einem jeden)
derselben enthalten ist; wogegen „nach Th. 6̄×)“ heisst: weil, wenn A nebst
B gilt, dann gewiss auch A (oder resp. B) gelten wird. „Nach Th. 2̅1̅×)“
heisst: weil eine selbstverständliche oder nach den gemachten Voraus-
setzungen ohnehin gültige Aussage (1߭) nach Belieben fortgelassen werden
mag, wo sie erwähnt worden, oder auch als simultan geltende angeführt
werden mag, wo sie noch nicht erwähnt worden. Etc.

§ 31. Die Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Inkonsistenz.

Es wurde schon wiederholt im Kontext darauf hingewiesen, doch
ist erst hier der Ort, es im System eingereiht auszusprechen, dass
(nach der im § 28 über die Aussagensubsumtion A⊆B getroffnen
Übereinkunft) das Prinzip I der Identität:
A⊆A
im Aussagenkalkul die Bedeutung hat: Wenn A gilt, so gilt A. Das
heisst: Eine einmal als richtig erkannte Aussage (von bestimmtem Sinne)
darf, (indem dieser Sinn konstant festgehalten wird), bei beliebiger Ge-
legenheit wiederholt werden und muss allemal, so oft sie ausgesprochen
wird, wieder als gültig anerkannt werden. Mit noch andern Worten:
Was wahr ist, muss wahr bleiben. Zugeständnisse müssen, wenn ge-
macht, auch aufrecht erhalten, Abmachungen müssen gleichwie gegebene
Versprechen, gehalten werden. Ist zugegeben, dass eine Aussage A
gelte, so hat man dies von neuem zuzugeben, wann immer es — etwa
im Verlaufe von ferneren Argumentationen — in Erinnerung gebracht
werden sollte. Es ist geradezu die Forderung der Konsequenz im
Denken, die sich im Aussagenkalkul in das „Prinzip der Identität“ ein-
kleidet.

So unbestreitbar das Recht ist, mit welchem wir diesen Satz als einen
obersten Grundsatz der Logik in Anspruch nehmen, so erscheint es doch
nicht überflüssig, darauf aufmerksam zu machen, dass es missbräuchliche
Anwendungen dieses Grundsatzes gibt, erscheint es daneben angezeigt, auch
vor solchen zu warnen.

Für eine radikale Anwendung unsres Grundsatzes in allen Lebens-
lagen sollte hier keineswegs plädirt werden. Im gemeinen Leben darf
manches, was wahr ist, weder beliebig wiederholt, noch überhaupt nur aus-
gesprochen werden, und schon die Befolgung des Grundsatzes, „was wahr
ist, könne man ja sagen“, müsste sowol für Denjenigen, der es damit ver-
suchte, als für Diejenigen, die mit ihm in Berührung kommen, im all-
gemeinen eine Fülle von Unzuträglichkeiten im Gefolge haben, ja unberechen-
baren Schaden stiften — wie dies in einer bekannten Erzählung und darauf
Schröder, Algebra der Logik II. 4
[50]Sechzehnte Vorlesung.
gegründetem Lustspiele „Nur einen Tag die Wahrheit“, z. B., in anmutiger
Weise veranschaulicht worden.

Im gesellschaftlichen sowol als im dienstlichen Verkehr unter den
Menschen ist bekanntlich die Freiheit, eine Wahrheit auszusprechen oder
zu wiederholen, ausserordentlich und in ernstester Weise eingeschränkt durch
die Pflicht der Rücksichtnahme auf die möglichen oder voraussichtlichen
Wirkungen ihrer Äusserung, namentlich aber durch die Forderungen des
Anstandes, des Taktes und der Diskretion.

Vor geistig Unmündigen, vor ganzen und halben Kindern, Frauen
dürfen grosse Klassen von Wahrheiten überhaupt nicht ausgesprochen
werden. Das Gebiet, unter anderm, braucht hier nicht näher bezeichnet zu
werden, auf welchem auch die Kundgebung von Wahrheit mittelst Ab-
bildung, wie sie z. B. als Photographie mit äusserster Genauigkeit und Treue,
Wahrhaftigkeit, sich herstellen lässt, mit gesetzlichen Strafen aus gutem
Grunde verpönt ist. In der Bethätigung von Takt in seinen Äusserungen
wird ein Mensch nicht nur den etwa auszusprechenden oder anzudeutenden
Wahrheiten eine schonende Form zu geben suchen, in welcher sie die Ge-
fühle Derjenigen, an die sie gerichtet sind, nicht unnötig verletzen, die
Lebensinteressen der Nebenmenschen nicht ohne Not preisgeben oder schä-
digen, sondern er wird auch in vielen Fällen den Impuls zum Aussprechen
oder Wiederholen einer Wahrheit gänzlich hemmen. Den Anforderungen
des Taktes gesellen sich noch die ästhetischen des guten Geschmackes. Als
Geschäfts- und Dienstgeheimniss aber, auch als persönliche Angelegenheit
von privatem Charakter, als ein durch konfidenzielle Mitteilung erworbenes
Wissen oder „im Vertrauen“ Erfahrenes, ist manche Wahrheit sogar vor der
Veröffentlichung oder Preisgebung an Unbefugte sorgfältig zu hüten. Ihre
konsequente Verschweigung und sorgfältige Verheimlichung mag erscheinen
als Forderung der Freundespflicht, der Ehre und des Diensteides; auf
ihrer Preisgebung kann z. B. stehen die höchste Strafe des Vaterlands-
verrates. —

Da wir hier nicht eine Ethik zu schreiben vorhaben, so mag es bei
diesen Andeutungen sein Bewenden haben, die sicherlich für den Verständigen
genügen, der Freiheit wissenschaftlicher Forschung und Argumentation indess
auch wol keinen Eintrag thun.

Auch auf das Prinzip II als solches des Aussagenkalkuls haben
wir uns wiederholt schon vorgreifend berufen. Dasselbe, nämlich
ĪĪ. (A⊆B) (B⊆C) ⊆ (A⊆C)
stellt sich als der erste (und wichtigste) „hypothetische“ Syllogismus
dar, und spricht die Berechtigung aus, aus den als simultan gültig
vorausgesetzten Prämissen, als da sind der
Untersatz: Wenn A gilt, so gilt B,
und der Obersatz: Wenn B gilt, so gilt C,
die Konklusion zu ziehen: ergo Wenn A gilt, so gilt C.

Mit andern Worten: Wenn B von A und C von B bedingt wird,
[51]§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
so wird auch C von A bedingt. Die Folgerung aus der Folgerung aus
einer Annahme ist auch eine Folgerung aus dieser Annahme.

Auch auf diesem Anwendungsfelde sind wir berechtigt, das Prinzip
als einen „Subsumtionsschluss“ zu bezeichnen. Derselbe erscheint uns
als das Prinzip der Stetigkeit, Kontinuität im Folgern oder Schliessen.

Wir haben begonnen, die „Prinzipien“ des Klassenkalkuls im Aus-
sagenkalkul zu deuten und wurde in dieser Hinsicht zunächst Pr. I und
II erledigt, welche beiden sich als die einzigen Prinzipien des letzteren
darstellen, von denen auch schon im ersteren bei dessen mit Worten
geführten Überlegungen und Beweisführungen Gebrauch gemacht werden
musste.

Bei der aussagenrechnerischen Formulirung des letzteren Prinzipes
wurde indess, wie ersichtlich, schon Gebrauch gemacht — und zwar
unvermeidlicherweise — von dem Begriff und Zeichen des Aussagen-
produktes sowie von denen der Aussagenäquivalenz. Die(se) beiden
Begriffe der Gleichheit und des Produktes fanden im Klassenkalkul erst
hinter Prinzip II ihre Erklärung, die zugehörigen Zeichen auch erst
nach diesem ihre Einführung.

Sofern es möglich ist, sie selber ohne Berufung auf das Pr. II zu
begründen, müssten sie demnach im Aussagenkalkul dem Pr. II voran-
geschickt werden.

Hieraus wird offenbar, dass wir uns nicht mehr blos auf die Er-
örterung jener „Prinzipien“ (im engeren Sinne) beschränken dürfen,
sondern auch Definitionen und Postulate mit in den Bereich der Be-
trachtung ziehen müssen. Wir werden nicht umhin können, auch auf
die Grundlagen des Aussagenkalkuls überhaupt wenigstens einen Seiten-
blick zu werfen.

Wie wir anzunehmen uns berechtigt glauben, war der ganze
Klassenkalkul auf ein Minimum von axiomatisch zu fordernden Sätzen
zurückgeführt; er wurde nachgewiesen als beruhend auf einem Komplex
von „Prinzipien“, Definitionen und Postulaten, welche wir einerseits
als unerlässliche, nicht weiter reduzirbare oder zu vermindernde, andrer-
seits als zu seiner Begründung vollkommen hinreichende erkannten.

Von dem Klassenkalkul erschien aber der Aussagenkalkul uns blos
als eine spezielle Anwendung. Jedenfalls konnten die Grundlagen des
ersteren als ohne weiteres auch für letzteren gültige in Anspruch ge-
nommen werden.

Ein speziellerer Charakter wird indess dem Aussagenkalkul in der
That dadurch aufgeprägt — insoweit er sich wenigstens auf Aussagen
4*
[52]Sechzehnte Vorlesung.
von festem Sinne bezieht^*) — dass zu jenen Grundlagen noch eine
weitere axiomatisch zu stellende Forderung hinzutritt, die zur Folge
hat, dass jedem eine Aussage repräsentirenden Buchstaben oder (zu-
sammengesetzten) Symbole immer nur eine der beiden Bedeutungen 0
oder 1߭ zukommt — dergestalt, dass der Aussagenkalkul zusammenfällt
mit einem Klassenkalkul, welcher eine neben dem Nichts nur ein ein-
ziges Individuum 1߭ enthaltende Mannigfaltigkeit 1߭ voraussetzte. Jener
adventiven Forderung werden wir (wie sich zu Anfang des § 32 zeigt)
am besten die Fassung geben:
(A = 1߭) = A
in welcher sie als das spezifische Prinzip des Aussagenkalkuls hingestellt
werden mag. Und somit wären wir also auch über die formalen Grund-
lagen des Aussagenkalkuls schon von vornherein im Klaren.

Wir wissen bereits, auf welchem Minimum von selbständigen
Elementen sein Gebäude ruhend angesehen werden kann, und die er-
kenntnisstheoretisch so hochwichtige Frage nach möglichster Verein-
fachung seiner Grundlagen ist keine dringliche mehr.

Beträchtlich würde gleichwol das Bild dieser Grundlagen sich
verschieben, versuchte man es, den Aussagenkalkul selbständig auf-
zubauen.

Obwol es uns rationeller erschien, den Gebiete- oder Klassenkalkul
als den allgemeineren ihm vorangehen zu lassen, wäre es dennoch
nicht unverdienstlich, ja von hohem Interesse, solch selbständige Be-
gründung des Aussagenkalkuls durchzusprechen. Zu dem Ende würde
Herrn Peirce’s Arbeit 5 zu revidiren sein unter schärferer Hervor-
hebung und Numerirung der als unmittelbar einleuchtend geforderten
Prinzipien und Postulate. Glauben wir auch — aus angeführten Gründen
sowie der noch nicht ganz überwundenen Schwierigkeiten des Unter-
nehmens halber — auf die vollständige Verwirklichung dieses Desidera-
tums hier verzichten zu dürfen, so soll doch die gegenwärtige Vor-
lesung einiges Material dazu beisteuern.

Die Subsumtion (2̄×) 0 ⊆A hingestellt als eine solche, welche
für jede Aussage A zu gelten habe, ist wohl geeignet, die Nullaussage
zu definiren, und ebenso ist die Subsumtion (2̄+) A⊆ 1߭ auch im Aus-
sagenkalkul darnach angethan, die Aussage 1߭ zu definiren. Die letztere
1߭ hätte darnach zu gelten, immer dann, wenn eine beliebig zu wählende
[53]§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Aussage A gilt, das heisst aber: sie hätte stets zu gelten — in An-
betracht, dass man für A auch eine stets gültige Aussage (dergleichen
es ja gibt^*)) wählen kann. Sobald ferner die Aussage 0 gilt, muss
jede beliebige Aussage A gelten; da es aber auch stets ungültige Aus-
sagen A gibt^*), so kann die Gültigkeitsklasse der Nullaussage nur
die leere sein. Es war demnach zunächst die Aussage 1߭ als das
Symbol jeder unbedingt gültigen und die Aussage 0 als der Reprä-
sentant jeder unbedingt falschen Aussage in Erinnerung zu rufen.

Was die Def. (1̄) der Aussagenäquivalenz betrifft, so wurde in
§ 29 gezeigt, wie der scheinbare circulus in definiendo, nämlich der
Gebrauch einer Äquivalenterklärung bei:
(A = B) = (A⊆B) (B⊆A)
sich vermeiden lässt.

Dagegen setzte diese Erklärung das Verstehen eines Aussagen-
produktes bereits voraus, dessen Definition derjenigen der Gleichheit
hier vorangestellt sein müsste — wie denn überhaupt die Reihenfolge
in der die Grundlagen vorzutragen wären, und zufolge dessen zum
Teil auch die Anordnung der Beweise im reinen, selbständig er-
richteten Aussagenkalkul sich zu Anfang als eine andre aufdrängt, als
wie sie im Klassenkalkul gegeben worden.

Durch die Def. (3̄×) (C⊆A B) = (C⊆A) (C⊆B) in dieser
ursprünglichen oder in irgend einer der dieser äquivalenten Formen
kann aber das Aussagenprodukt A B nicht ohne circulus definirt werden,
weil rechterhand, behufs der Erklärung, selbst zu einem Aussagen-
produkt gegriffen wird — ganz abgesehen davon, dass auch (entgegen
dem vorhin Bemerkten) die Erklärung der Aussagenäquivalenz wieder
ihrerseits vorausgegangen sein müsste. Ohne dass man zwei Annahmen
(von Merkmalen) als gleichzeitig vorauszusetzende hinzustellen ver-
möchte, lässt sich überhaupt nichts definiren^**) Das Aussagenprodukt
A B muss wohl oder übel direkt, vermittelst seiner Interpretation, de-
finirt werden als die Aussage, welche ausspricht, dass die Aussage A
und die B gleichzeitig gelten; und die Gleichzeitigkeit scheint zu den
Kategorieen oder Urbegriffen zu gehören.

Was wir im Gebietekalkul unter (3×) als eine Definition hinstellen
[54]Sechzehnte Vorlesung.
konnten, wird darnach jetzt, im reinen Aussagenkalkul, entweder als
ein Theorem oder aber als ein Prinzip auftreten.

Ich bin übrigens wirklich im Zweifel, ob sich in solchem Grenzfalle
die Unterscheidung zwischen diesen Begriffen (von Definition, Axiom resp.
Prinzip und Theorem) noch strenge würde durchführen lassen. Man ver-
gleiche, was in § 51 in Bezug auf Herrn Dedekind’s von ihm so ge-
nannten „Beweis“ des Prinzips II gesagt ist. Man wird erkennen, dass es
bei der Frage wesentlich auf die Art ankommt, wie man den Begriff des
„Beweises“ erfasst, denn nur durch das Vorhandensein oder die Möglichkeit
eines solchen soll sich das „Theorem“ vor dem „Axiom“ auszeichnen.

Verlangt man nun von dem „Beweise“ — denselben wol in dem ge-
bräuchlichsten Sinne (sonach etwas weiter) fassend — nur die Herbei-
führung der subjektiven Überzeugung, dass die zu beweisende Behauptung
mit den Definitionen (und den eventuell ausserdem noch zuvor statuirten
Axiomen) in objektiver Denknotwendigkeit gegeben sei, so muss man in
unsrer gegenwärtigen Disziplin alles als „bewiesen“ gelten lassen, sobald es
nur auf Grund gegebener Definitionen einleuchtet — und zwar einerlei, auf
welchem Wege dieses Gefühl der Evidenz zustande kommt — auch dann
insbesondere, wenn es sich unmittelbar aufdrängt. Wirkliche Axiome, wie
in Geometrie und Physik, sind hier ja gar nicht vorhanden, und Alles ist
mit den Definitionen nebst gewissen (das Zugeständniss der Wirklichkeit
des Definirten fordernden) Postulaten schon denknotwendig gegeben — auch
Dasjenige, was wir hier (zur Unterscheidung von jenen eigentlichen Axiomen)
als „Prinzip“ hinstellen.

Die Wissenschaft fasst den Begriff des „Beweises“ schon enger als das
gemeine Leben, und zwar bei ihrem Fortschreiten ganz merklich immer
enger und enger; vor allem sind die Mathematiker auch wählerisch in den
Mitteln der Erkenntniss geworden; noch mehr müss(t)en die Philosophen
es sein.

So lässt denn die Geometrie z. B. bei ihren Beweisführungen nur
mehr die logische Evidenz gelten; und schliesst die geometrische, welche
auf der uns zur zweiten Natur gewordenen Raumanschauung beruht, in
ihren höheren Teilen wenigstens, gewissenhaft aus.

Die Arithmetik ist nunmehr völlig von der Anschauung oder Voraus-
setzung vergleichbarer und messbarer Grössen frei geworden und auf rein
logische Grundlagen gestellt; sie hat sich besonders dank den Arbeiten von
H. Grassmann, G. Cantor, Weierstrass und Dedekind zu einem
Zweige der reinen Logik entwickelt.

Am engsten, sind wir genötigt, den Begriff des „Beweises“ in der
Logik selbst zu fassen: die Arten, auf welche das Gefühl der Evidenz zu-
stande kommen kann, sollen hier zum Bewusstsein gebracht, schematisirt,
klassifizirt und rubrizirt werden. „Prinzipien“ nannten wir solche Sätze
oder auch Schlussweisen, welche nicht auf früher registrirte nach eben-
solchen zurückgeführt wurden und nebenbei gesagt sich auf noch einfachere
Sätze überhaupt nicht reduziren zu lassen scheinen. „Theoreme“ nannten
wir die Sätze, bei welchen solche Zurückführung — der sog. „Beweis“ —
gelang, und zwar lediglich unter bewusster Anwendung der registrirten
[55]§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
Definitionen und Prinzipien (sei es unmittelbar, sei es mittelbar unter Zu-
zug von noch andern, indess schon ebenso bewiesenen Sätzen).

Wesentlich wird es darnach auf die Reihenfolge ankommen, in welcher
die Sätze untergebracht werden: je nachdem man sich für die eine oder
andere Ordnung entscheidet kann ein und derselbe Satz als Theorem oder
als Prinzip zu gelten haben. Die Reihenfolge ist naturgemäss eingeschränkt
durch die Anforderung, dass Begriffe und ihre Zeichen nicht angewendet
werden dürfen bevor sie, sei es definitionsweise, sei es als Urbegriffe, ein-
geführt worden sind.

Hierbei ist es nun aber noch fraglich, ob es möglich sein wird, auch
die ersten Grundlagen unsrer Erkenntniss im Aussagenkalkul in eine Kette
von logisch in bestimmter Weise sich auseinander entwickelnden Sätzen
aufzulösen, ob nicht vielmehr bei dem Versuche einer solchen Entwickelung
gewisse Zirkel unvermeidlich bleiben und die letzten Grundlagen sich uns
darstellen werden als ein gegebenes Flechtwerk oder Netz von miteinander
konsistenten Begriffen und Grundsätzen, bei dem man zwar von Knoten zu
Knoten die kreuz und die quere entlang zu wandern vermag, ohne jedoch
das Ganze in eine einfache Perlenschnur je auflösen zu können.

Glücklicherweise jedoch liegt in Gestalt des als Klassenkalkul errich-
teten identischen Kalkuls das gedachte Flechtwerk dermalen wenigstens
schon fertig vor unsern Augen.

Nehmen wir nach dem Gesagten nun das gleichzeitige Adoptiren
von (zwei) Voraussetzungen, imgleichen wie das Statuiren von (zwei)
Behauptungen als simultan geltender, in Anspruch als eine logische
Kategorie nach Art der Urbegriffe, so konnte auch die Aussagen-
gleichheit, wie in § 29 erläutert, definirt werden und wir verfügen
nächst dem Begriffe der Aussagensubsumtion, dem Prinzip Ī und dem
Begriff der 0 und 1߭ als der falschen und der wahren Aussage auch
über den Begriff der Äquivalenz, nach welchem, wie gezeigt, das Prin-
zip ĪĪ angereiht werden konnte.

Auf Grund der Erklärung des Aussagenproduktes erscheinen
jetzt auch die Formeln A B⊆A und A B⊆B des Theorems 6̅×) als
reiner Ausfluss des Prinzips Ī: wenn A und B zugleich gelten, so
gilt A.

Ebenso die beiden Subsumtionen:
(C⊆A B) ⊆ (C⊆A) (C⊆B) und (C⊆A) (C⊆B) ⊆ (C⊆A B)
welche sich zu unsrer frühern Def. (3̄×) zusammensetzten: Wenn A B
(d. h. eben A nebst B) gilt, wann C gilt, so gilt auch A wann C gilt,
und zugleich gilt B wann C gilt, sowie umgekehrt.

Was die Aussagensumme A + B betrifft, so hat man, scheint mir,
die Wahl, ob man sie mittelst der für jede Aussage C in Anspruch
zu nehmenden beiden Subsumtionen (3̄+):
(A⊆C) (B⊆C) ⊆ (A + B⊆C), (A + B⊆C) ⊆ (A⊆C) (B⊆C)
[56]Sechzehnte Vorlesung.
als definirt erachten will um dann zu postuliren die Interpretation
dieses A + B als derjenigen Aussage welche die Geltung von A oder
(von) B statuirt, oder ob man umgekehrt diese letztere Deutung von
A + B hinstellen will als die Begriffserklärung unsrer Aussagensumme
und dann die Geltung der Subsumtionen (3̅+) als unmittelbar ein-
leuchtende postuliren:

Wenn C gilt wann A oder B gilt, so muss auch C gelten wann
A gilt, zugleich muss C gelten wann B gilt, sowie umgekehrt.

Im letzteren Falle würde die Konzeption einer Alternative (von
Annahmen, resp. Behauptungen) zu einem logischen Urbegriffe ge-
stempelt. — Von dem auf solche Grundlagen zu stellenden Gebäude
von Sätzen will ich nur weniges einzeln hervorheben.

Durch die Theoreme 1̅2̅) und 1̅3̅) wird dargethan, dass bei simul-
tanen sowol als bei alternativen Aussagen die Reihenfolge und Grup-
pirung derselben gleichgültig ist (für ihren logischen Gehalt, ihre
Tragweite). Insbesondere gilt dies auch für solche Aussagen, welche
als Prämissen von Konklusionen zu figuriren haben.

Praktisch unterliegt freilich die Anwendung dieses Satzes gewissen
Einschränkungen, indem gewisse Aussagen, um verständlich zu werden, es
erfordern können, dass gewisse andere ihnen vorausgeschickt seien.

Der Beweis beim Kommutationsgesetze 1̅2̅×) z. B. scheint auf den
ersten Blick auf eine „Petitio principii“ einen Zirkelbeweis hinauszulaufen,
bei welchem von dem Satze den man beweisen will, bereits unterwegs
Gebrauch gemacht wird. Aus A B⊆A und A B⊆B gemäss Th. 6̅×)
schliesst man ja, dass A B⊆B und A B⊆A, darnach kraft (3̅×):
A B⊆B A sei (desgleichen umgekehrt). Man gestattet sich demnach
augenscheinlich, auf jene zu Prämissen erhobenen beiden Subsumtionen
in der umgekehrten Ordnung als in welcher sie zuerst sich darboten,
sich zu berufen.

Die Erlaubniss dazu ist in der That aber durch das Prinzip Ī
schon garantirt, kraft dessen die als wahr zugegebene zweite Subsumtion
auch wieder anerkannt werden muss, wenn man sie — etwa als erste
— zu wiederholen beliebt.

Auf die im § 10 dargelegte Weise erst zu beweisen, dass Reihen-
folge und Gruppirung der Prämissen in unser Belieben gestellt ist,
erscheint dann freilich als ein Luxus, indem solches schon unmittelbar
aus Prinzip Ī hervorgeht.

Gilt z. B. A B C, so gilt auch A B nebst C, sowie A nebst B C
desgleichen gilt dann C B A. Denn muss jede einzelne Prämisse im
Falle des Wiederholtwerdens bei jeder Gelegenheit anerkannt werden,
[57]§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.
so auch jede Gruppe von Prämissen, diese in was immer für einer
Anordnung genommen — sintemal eben das Auftreten einer Prämisse
in solcher Gruppe resp. in der neuen Anordnung, doch nur eine der
Gelegenheiten bildet, bei denen sie anzuerkennen ist.

Von grosser Wichtigkeit und häufigster Anwendung im Aussagen-
kalkul ist noch das Th. 2̅1̅×):
A · 1߭ = A,
nach welchem eine (selbstverständlich) wahre Aussage nach Belieben
einer Prämisse zugefügt, oder auch bei solchen unterdrückt werden
darf. Z. B. Wenn A gilt, so gilt A und ist zugleich 2 × 2 = 4, so-
wie umgekehrt: wenn A gilt und 2 × 2 = 4 ist, so gilt A.

Das Prinzip III× kann im Aussagenkalkul zunächst durch ein ein-
facheres Prinzip vertreten werden — einfacher, weil es nur auf zwei
(statt drei) allgemeine Aussagen bezüglich, nämlich durch dieses:
Prinzip *ĪĪĪ. (A + B = 1߭) = (A = 1߭) + (B = 1߭),
d. h. Gilt A oder B, so muss entweder A gelten, oder auch es muss B
gelten, und umgekehrt: Wenn A gilt oder B gilt, so gilt A oder B.

Auf Grund des letzteren schon wird sich nämlich die zweite Sub-
sumtion des Distributionsgesetzes 26×) und damit dieses selbst (das
volle Distributionsgesetz) beweisen lassen, und zwar wie folgt. Wir
wählen für den zu beweisenden Satz die Fassung:
2̅6̅×) (A + B) C⊆A C + B C.
d. h. Gilt A oder B, und ausserdem C, so gilt A nebst C oder B
nebst C.

Denn nach der Voraussetzung — im Hinblick, wenn man will
auf Th. 6̅×) als (A + B) C⊆A + B — gilt dann A oder B, wofür
nach Pr. ĪĪĪ gesagt werden darf: es gilt A, oder es gilt B. Da nun
nach Pr. I die Voraussetzung C bei beliebiger Gelegenheit wiederholt
werden darf mit dem Anspruche, alsdann auch anerkannt zu werden,
so können wir für letzteres auch sagen: es gilt A und zugleich (gilt)
C, oder es gilt B und zugleich C, d. h. aber: es gilt A C, oder es gilt
B C, was wiederum nach Pr. ĪĪĪ zusammenziehbar ist in: es gilt A C
oder B C, es gilt A C + B C, q. e. d.

Dass der obige Satz ĪĪĪ im Gebietekalkul nicht gilt, wurde schon
in § 12 hervorgehoben, ist auch zudem leicht durch das nächste beste
Beispiel zu belegen (zum Exempel bei beliebigem von 1 verschiedenem
A durch die Annahme B = A1).

Da der Satz als ein auf Gebiete A und B bezüglicher gleichwol
[58]Sechzehnte Vorlesung.
einen Sinn hätte, obzwar er dann ungültig wäre, so ist der Gefahr vor-
zubeugen, dass man ihn irrtümlich schon auf Gebiete anwende. Davor
zu warnen ist der oben seiner Chiffre vorgesetzte Stern * bestimmt.

Mit einem solchen wollen wir ähnlich alle Formeln auszeichnen,
denen nur die „engere Geltung“ als solchen des Aussagenkalkuls nicht
aber die „weitere“ auch im Gebietekalkul zukommt.

Nur da, wo letzteres ohnehin aus der Formel ersichtlich ist, mag
die Beisetzung des Sterns unterbleiben. Jenes spezifische Prinzip des
Aussagenkalkuls: (A = 1߭) = A zum Beispiel kann unmöglich für eine
Formel der Gebieterechnung gehalten werden weil dann rechts in der
Gleichung ein Gebiet stehen würde, während links eine Aussage figu-
rirt (auch dann, wenn A als Gebiet interpretirt wird), und die Gleich-
setzung solcher Aussage mit einer Kreisfläche A keinen Sinn oder
keine Berechtigung haben könnte. Vgl. hiezu noch § 45.

Nunmehr bleibt uns noch die Negation einer Aussage zu erörtern
mitnebst den auf sie bezüglichen Grundsätzen der Logik.

Betrachten wir die Aussage A selbst als ein Objekt des Denkens,
welches einer „gewöhnlichen“ Mannigfaltigkeit von denkmöglichen Ob-
jekten angehört, so müsste unter A1 verstanden werden: Alles (aus der
erwähnten Mannigfaltigkeit), was nicht eben diese Aussage A ist —
in Anbetracht, dass ja für jedes Objekt des Denkens bereits der Be-
griff seiner Negation in § 13 aufgestellt worden ist.

Hierbei aber hätten wir die Aussage ohne Rücksicht auf ihren
Sinn oder Gehalt als einen blossen Schall, oder Wortgefüge in Betracht
gezogen, wir wären demnach auch nur dahin gelangt, die Negation der
Aussage A in der suppositio nominalis zu bilden — vgl. Bd. 1, S. 44.

Analog würde als Negation von „Pferd“ in letzterer Unterstellung zu
bezeichnen sein: alles was nicht das Wort „Pferd“ ist, wogegen wir aber
als Negation des Pferdes vielmehr in der suppositio realis anzusehen hatten:
alles, was nicht ein Pferd ist.

Gleichwie nun aber die suppositio nominalis bei unsern Operationen
mit Klassen und Begriffen auszuschliessen war, so wird sie auch stets
auszuschliessen sein bei unsern auf Aussagen bezüglichen Konventionen
und Betrachtungen. Aussagen ziehen wir nach ihrer Geltung in Be-
tracht in Hinsicht dessen, was sie besagen. Es kommt uns darauf an,
den Begriff der Negation in der suppositio realis aufzustellen als einer
Aussagenverneinung in der üblichen landläufigen Bedeutung, und diese
wird als „Negation von A“ schlechtweg bezeichnet werden, von dieser
allein soll hier die Rede sein. Zu dem Ende müssen wir uns die im
§ 29 dem Aussagenkalkul gegebene Basis vergegenwärtigen.

[59]§ 31. Grundsätze der Logik im Aussagenkalkul gedeutet.

Im Aussagenkalkul bedeutete uns 1߭ die Mannigfaltigkeit aller
Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo eine Aussage gemacht wird oder
gemacht werden könnte. War A eine Aussage jeweils bestimmten
(wenn auch nicht notwendig gerade unveränderlichen, konstanten)
Sinnes, so sollte beim Rechnen unter A vorgestellt werden die Klasse
der Gelegenheiten resp. Zeitpunkte, wo die Aussage A wahr ist, so-
nach als eine logisch wohlangebrachte, berechtigte gefällt werden kann.

Unter der Negation von A, in Zeichen: A1, ist demnach zu ver-
stehen die Klasse der übrigen Gelegenheiten resp. Zeitpunkte nämlich
derer, in welchen die Aussage A nicht wahr, unberechtigt ist. Man
kann aber dieses Symbol A1 selbst wieder als eine Aussage interpre-
tiren: als diejenige Aussage nämlich, welche die Ungültigkeit der Aus-
sage A behauptet. Die Behauptung A1, = „die Aussage A ist falsch“,
wird gerade bei denjenigen Gelegenheiten wahr und berechtigt sein,
und nur bei solchen, bei welchen eben die Aussage A nicht wahr und
unberechtigt ist (wofern sie, wie hinfort vorauszusetzen, Sinn hat).

Ist die Aussage A als Proposition in unsrer Zeichensprache, als
Subsumtion oder Gleichung eine spezifizirte, z. B. ist
A = (a⊆b) resp. A = (a = b),
so kann ihre Negation auch ausgedrückt werden durch Anhängung
des Negationsstrichs an ihren spezifizirten Ausdruck, d. h. es bedeutet:
(a⊆b)1 = A1 resp. (a = b)1 = A1.
Für diese, wie wir sehen werden, im Kalkul häufig vorkommenden
Formen von Propositionen führen wir aber noch eine kürzere Dar-
stellungsweise ein, und zwar dadurch, dass wir die Kopula, das Be-
ziehungszeichen der zu verneinenden Aussage mit einem Negations-
strich vertikal durchsetzen. Wir definiren also:
(a⊆b) = (a⊆b)1, (a ≠ b) = (a = b)1
was man lesen mag: a nicht-eingeordnet b, resp. a ungleich b; es mag
⊆ das Zeichen der Nichteinordnung, ≠ das Ungleichheitszeichen genannt
werden, die erstere Proposition selbst eine negirte Subsumtion, die
letztere eine Ungleichung.

Das erstere von diesen Urteilen ist eine wirkliche „Urteilsverneinung“
und sonach ein „verneinendes Urteil“ im Sinne Sigwart’s keineswegs aber
im Sinne der (mit Recht) noch herrschenden Terminologie und des Sprach-
gebrauches: im allgemeinen darf dasselbe durchaus nicht mit „a ist nicht b“
und niemals mit „alle a sind nicht b“ in Worte übersetzt werden — vgl.
unsere Ausführungen in § 15 sowie am Schlusse des § 35.

Es besteht vielmehr ein Vorzug unsrer Zeichensprache darin, dass
wir die Negation einer Subsumtion durch eine Proposition nun auszudrücken
[60]Sechzehnte Vorlesung.
vermögen, in welcher Subjekt und Prädikat von jener selbst wieder als
Beziehungsglieder auftreten — denen man die gleiche Benennung als „Sub-
jekt“ und „Prädikat“ auch in der Nichteinordnung belassen mag — wo-
gegen der Wortsprache eine einfache Ausdrucksmöglichkeit von ähnlichem
Charakter nicht zur Verfügung steht (§ 15 und § 35 Schluss).

Von fundamentaler Bedeutung auch für den Aussagenkalkul sind
nun die drei Sätze, als da sind:

Der Satz des Widerspruchs:
3̅0̅×) A A1 = 0,
welcher statuirt, dass eine Aussage A von bestimmtem Sinne bei keiner
Gelegenheit und zu keiner Zeit wahr und zugleich auch nicht wahr
sein könne.

Der Satz des ausgeschlossenen Dritten:
3̅0̅+) A + A1 = 1߭
statuirend, dass immer eine Aussage A entweder wahr oder falsch sein
müsse, dass es eine dritte Möglichkeit nicht gebe.

Endlich der Satz der doppelten Verneinung:
3̅1̅) (A1)1 = A zerfallend in die beiden Subsumtionen:
A⊆ (A1)1 und (A1)1⊆A,
demzufolge, wenn A gilt, dann die Verneinung von A falsch sein
muss, und umgekehrt, wenn die Verneinung von A nicht gilt, dann A
gelten muss.

Der Leser wird gut thun, sich auch noch einige weitere der im
§ 29 zusammengestellten Sätze, wie namentlich die Theoreme 36), auch
als solche des Aussagenkalkuls auszusprechen und zum Bewusstsein
zu bringen.

Eine Bemerkung fordert noch das Th.
3̅7̅): (A⊆B) = (B1⊆A1)
heraus, welches auch hypothetische Urteile durch „Kontraposition kon-
vertiren“ lehrt.

Statt „Wenn A gilt, so gilt B“ kann darnach auch gesagt werden:
„Wenn B nicht gilt, so gilt auch A nicht“ — und umgekehrt.

Indem man A und A1 oder B und B1 in obiger Formel vertauscht,
kann man auch als ihren Ausdruck nehmen:
(A1⊆B) = (B1⊆A), resp. (A⊆B1) = (B⊆A1)
d. h. Gilt B wann A nicht gilt, so gilt auch A, wann B nicht gilt,
desgl. Gilt B nicht, wann A gilt, so gilt auch A nicht, wann B gilt,
und vice versā.

[61]§ 31. Inkonsistenz.

Es ist darauf aufmerksam zu machen, dass aus allen drei Fassungen
eine paradox klingende Formulirung hypothetischer Urteile hervorgehen
kann, aus der zweiten z. B. dann, wenn es nicht vorkommt, unmöglich
oder undenkbar ist, dass B nicht gelte.

Wir haben dann für das Urteil: Wann A nicht gilt, so gilt B
(denn es gilt laut Voraussetzung ohnehin, gilt selbstverständlich, in
allen Fällen) als gleichberechtigt auch die Fassung, in der es unter
Umständen sich von vornherein dargeboten haben mochte: Wenn B
nicht gilt (was aber nicht vorkommen kann, undenkbar bleibt), so
gilt A.

Zu beachten ist also: dass mit einem Konditionalsatz, der eine
nicht realisirbare, eventuell absurde Bedingung zum Vordersatze hat,
doch gültige Urteile in unsrer Disziplin abgegeben zu werden ver-
mögen, deren wahrer Gehalt bei ihrer Konversion zutage tritt — und
werden ungesuchte Beispiele dazu sich unter anderm in § 47 darbieten.

Nach Th. 3̅8̅×) lassen übrigens die einander gleichwertigen Urteile:
A⊆B1 und B⊆A1
auch einen Ausdruck zu, bei welchem ihre Symmetrie bezüglich A
und B ersichtlich ist, nämlich den folgenden:
A B = 0.
Es konstatirt dieses mit jedem der beiden vorigen äquivalente Urteil,
dass die Aussagen A und B nicht gleichzeitig gelten, nie, bei keiner
Gelegenheit zusammen bestehen können, dass sie miteinander unver-
träglich, inkompatibel, inkonsistent sind.

Stellen überhaupt A, B, C, … Aussagen vor, so kann man (mit
Miss Ladd1 p. 29), sobald eine Gleichung der Form:
A B C … = 0
besteht, die linke Seite derselben eine „Inkonsistenz“ (inconsistency)
nennen. Inkonsistenz nennen wir also ein Produkt von Aussagen, so-
bald dasselbe verschwindet — oder auch, in übertragenem Sinne: den
Ausspruch, dass dasselbe verschwinde.

Haben wir eine Inkonsistenz:
A B = 0
so können wir nach erwähntem Theoreme jeden Augenblick dafür
schreiben:
A⊆B1 oder, nach Belieben: B⊆A1.
In der That folgt, falls A und B nie zugleich wahr sind, dass wenn
A gilt, B nicht gelte, und wenn B gilt, A nicht gelten muss.

[62]Sechzehnte Vorlesung.

Ebenso ist die Gleichung
A B C = 0
äquivalent einer jeden der drei Subsumtionen:
A B⊆C1, A C⊆B1, B C⊆A1,
d. h. können die Behauptungen A, B und C nicht zusammen richtig
sein, schliessen sie selbdritt einander aus, so muss, wenn A zugleich
mit B gilt, C ungültig sein, desgleichen mit vertauschten Buch-
staben. Etc. —

Und ferner würde folgen: C⊆ (A B)1, somit nach Th. 3̅6̅×):
C⊆A1 + B1, analog B⊆A1 + C1, A⊆B1 + C1,
und vice versā, d. h. wenn A gilt, so muss entweder B oder C (oder auch
B nebst C) ungültig sein. Etc.

Als eine Inkonsistenz, und damit nach Belieben auch als eine
Subsumtion, lässt jederzeit auch das „disjunktive“ Urteil sich darstellen.

Es kann von Urteilen dieser Art als von zweigliedrigen oder auch
von mehrgliedrigen gesprochen werden, und fassen wir zunächst den
einfachsten Fall in’s Auge.

„Disjunktives Urteil im weiteren Sinne“ — besser vielleicht, mit
einem Worte, „alternatives Urteil“ — nennen wir eine Aussage von
der Form:
A + B = 1߭
mithin besagend — vgl. S. 57, Pr. ĪĪĪ, welches nach § 32, ε) reine
Identität wird —: Entweder gilt A, oder es gilt B. Kürzer: Es gilt A oder B.

Im Sinne unsrer Addition ist der Fall, wo A und B zugleich
gelten, damit nicht ausgeschlossen.

Nach bekannten Sätzen ist nun dies Urteil äquivalent der In-
konsistenz:
A1B1 = 0,
d. h. es kommt nicht vor, dass weder A noch B gelte — und damit,
gemäss dem obigen Schema, ist es auch äquivalent einer jeden der
beiden Subsumtionen:
A1⊆B und B1⊆A,
d. h. wenn A nicht gilt, so muss B gelten; und: sooft B nicht gilt,
muss A gelten.

Dies bleibt auch bestehen, falls etwa obendrein noch
A B = 0
sein sollte, in welchem Falle nach Th. 3̅3̅+) unser Urteil die Form
annimmt:
[63]§ 32. Vom Gewicht der Aussagen.
A B1 + A1B = 1߭,
d. h. Entweder gilt A und dann nicht B, oder es gilt B und dann
nicht A, m. a. W. es gilt A oder aber B. Diese Form ist es wol, die
mit der traditionellen Logik als „disjunktives Urteil im engeren Sinne“
hinzustellen wäre.

Unsre „alternativen“ Urteile umfassen also mit die „disjunktiven“,
und für beide ist vorstehend gezeigt, dass sie in die Form einer Sub-
sumtion gesetzt werden können — so wenigstens, falls sie, wie vor-
stehend zweigliedrig sind.

Dreigliedrig hätten wir als alternatives Urteil:
A + B + C = 1߭
und als disjunktives (im engeren Sinne):
A B1C1 + A1B C1 + A1B1C = 1߭.
Da aber eine mehrgliedrige Summe sich jederzeit als eine zweiglied-
rige ansehen lässt, so unterliegt die Ausdehnung der Betrachtungen
auf beliebig vielgliedrige Urteile nicht der geringsten Schwierigkeit.

In § 15 wurde vom disjunktiven Urteil A + B vorausgesetzt, dass
A und B verbale Urteile, Aussagen in der Wortsprache seien, mithin als
Subsumtionen zwischen Klassen sich darstellen. Von diesen wurde dort
indessen nur der Sonderfall A = (a⊆b), B = (a⊆c) in’s Auge gefasst,
wo gedachte Subsumtionen sich auf das nämliche Subjekt a beziehen —
und zwar behufs Lieferung des Nachweises, dass das eigentlich disjunktive
Urteil „Entweder alle a sind b, oder alle a sind c“ von dem blos „dis-
junktiv“ prädizirenden „alle a sind entweder b oder c“ im allgemeinen zu
unterscheiden ist. —

Über die Grundlagen des Aussagenkalkuls werden auch die nach-
folgenden Betrachtungen noch einiges Licht verbreiten.