1.

Wenn ein Balken oder Stein, von der Geſtalt ei-
nes Prisma, A B (1 Fig.) bey ſeinen Enden A und B
auf zwo Unterlagen C und D gelegt wird, ſo iſt offen-
bar, daß jede Unterlage die Haͤlfte ſeiner Laſt tragen
muͤſſe:

Werden beyde Ende dieſes Balkens (2. und 3.
Fig.) an Seile gebunden, dieſe uͤber Rollen gezogen,
und zwey Gewichte daran gehaͤngt, deren jedes halb
ſo ſchwer iſt, als der Balken, ſo bleibt alles im Gleich-
gewicht, der Balken mag wagerecht (2. Fig.) oder ſchief
(3. Fig.) aufgehaͤngt werden; vorausgeſeßt, daß der
Balken frey haͤngt, daß die Seile parallel ziehen, und
daß ihre eigene Schwere nicht in Betrachtung komme.

2.

Lehnen wir dieſen Balken an eine ſenkrechte Flaͤ-
che X Z (4. Fig.) z. B. an eine glatte Mauer, ſo muͤſ-
ſen ſeine Ende A und B durch zwo eben ſo groſſe Kraͤf-
te als die Seile zu ziehen hatten, unterſtuͤtzt werden.
Wir wollen dieſe Kraͤfte, oder die halben Laſten des
Balkens durch zwo gleiche Linien A E und B F aus-
druͤcken. Die Richtung der Laſt A E iſt zur Mauer
parallel, ſie kann alſo von derſelben nicht erhalten wer-
den; ziehen wir aber E C ſenkrecht auf X Z, und er-
gaͤnzen das Parallelogramm A C E D, ſo wird die
Laſt A E in A C und A D aufgeloͤſet. Die erſte A D
wirkt ſenkrecht auf die Mauer, und wird von derſelben
a 4ganz
[8] ganz erhalten: die zweite A C muß vom Balken ſelbſt
erhalten werden; ſie geht nach ſeiner Richtung in dem-
ſelben fort, und aͤuſſert ſich bey B. Wir haben daher
bey dem unteren Ende B zwo Kraͤfte, B I (= A C) und
B F (= A E) zu betrachten, welche durch das Parallelo-
gramm B I K F zuſammengeſetzt, die Kraft B K geben,
womit der angelehnte Balken bey B gegen ſeine Wi-
derlage druͤckt, und die unterſtuͤtzt werden muß, wenn
der Balken nicht weichen oder fallen ſoll.

3.

Wenn wir ſtatt der Flaͤche X Z von der andern
Seite einen gleichen Balken a b unter dem Winkel
Z a b entgegenlehnen, und die Laſt a e (= A E) durch
das Parallelogramm a c e d in a d und a c zerlegen, ſo
ſind die Kraͤfte A D und a d einander gleich, und ent-
gegengeſetzt; ſie heben daher einander auf, und am Ende
des Balkens b aͤuſſert ſich die Kraft b k (= B K) u. ſ. w.
Daher gilt alles, was immer fuͤr eine Seite angefuͤh-
ret wird, auch fuͤr die andere.

4.

Weil die Kraft B I (= A C) aus B G (= C E) und
G I (= A E = B F = F H) zuſammengeſetzt iſt, ſo zerfaͤllt
B K in B G und B H (= B F + F H = B F + A E).
Die letztere B H wirkt ſenkrecht auf den Horizont, und
iſt der ganzen Laſt des Balkens gleich: die erſtere B G
aber wird durch den Winkel C A E, und durch die hal-
be Laſt des Balkens A E beſtimmt; denn wenn wir die
ganze Laſt des Balkens p nennen, ſo iſt C E = A E.
Tang. B A Z = ½ p. Tang. ½ B A b.

Hieraus laͤßt ſich leicht der Druck berechnen,
womit die gemeinen Daͤcher auf ihre Widerlagen
druͤcken. Denn derſelbe iſt immer aus zween zu-
ſammengeſetzt, wovon einer (B H) ſenkrecht wirkt,
und
[9]und der Laſt von einer Seite des Daches gleich iſt:
der andere (B G) wirkt wagerecht, und iſt gleich
dem Produkte aus der halben Laſt der Dachſeite in
die Tangente des halben Winkels, den die Sparren
miteinander machen.

5.

Auch die Frage, ob die hoͤheren teutſchen, oder
niedern waͤlſchen Daͤcher ihre Widerlagen mehr be-
ſchweren, laͤßt ſich hieraus leicht beantworten. Denn
der ſenkrechte Druck B H waͤchſt offenbar mit der
Groͤſſe des Daches; er faͤllt aber ganz in die Rich-
tung der Seitenmauern, und traͤgt oft noch zur Feſtig-
keit des Gebaͤudes bey, wie wir in der Folge ſehen
werden. Der wagerechte Druck B G verhaͤlt ſich bey
zwo Dachſeiten A B, C B, (5. Fig.) wie ½ A B Tang.
B A Z : ½ C B Tang. B C Z = (weil im Dreyeck B A C,
B A : B C = Sin. B C Z : Sin. B A Z) :
= Coſec. A B Z : Coſec. C B Z; und iſt da-
her um ſo groͤſſer, je niedriger das Dach iſt.

Der aus beyden zuſammengeſetzte Druck B K (4.
Fig.) iſt = =
= = (wegen p = B A =
.
Dieſer Ausdruck wird unendlich, ſowohl wenn die Hoͤ-
he des Daches A Z = o, als auch wenn ſie unendlich
groß iſt; er hat daher ein Kleinſtes, welches erhalten wird
wenn das Differenziale der letzteren Formel (in wel-
cher die halbe Breite des Gebaͤudes B Z = b, und die
veraͤnderliche Hoͤhe des Daches A Z = x geſetzet wird)
a 5ver-
[10] verſchwindet. Hieraus iſt 2 A Z2 = B Z2; und A B Z =
35° 161.

6.

Wollen wir den Sparren A B (6. Fig.) noch mit
einem anderen B M unterſtuͤtzen, ſo hat dieſer bey B,
nebſt der Laſt B K noch die Haͤlfte ſeiner eigenen Schwe-
re (= H L) zu tragen; die Diagonale des Parallelo-
gramms B G N L giebt daher die Richtung, nach wel-
cher dieſer untere Sparren B M geſtellet werden muß,
damit die Richtung des ganzen Druckes nicht auſſer
der Baſis M falle. Bey M koͤmmt wieder die Kraft
M O (= B N) mit der andern Haͤlfte ſeiner eigenen
Schwere (P R) zuſammen; dieſe geben mit einander
die Kraft M Q, womit beede Sparren bey M auf die
Widerlage druͤcken.

Wollte man unter dieſe zween noch einen dritten
M S ſetzen, ſo muͤßte wieder M Q mit der Haͤlfte ſeiner
Laſt (= R T) zuſammengeſetzt werden: die Diagonale
M S gaͤbe die Richtung, nach welcher derſelbe geſtellet
werden muͤßte, und zugleich die Kraft, mit der er bey
ſeinem unteren Ende U druͤckte u. ſ. w.

7.

Hieraus ergeben ſich folgende Saͤtze:

I. Weil C E = G B = N L = V M = S T u. ſ.
w., ſo iſt offenbar, daß der wagerechte Druck einer-
ley Groͤſſe behalte, wir moͤgen ſo viel Balken un-
tereinander ſetzen, als wir wollen.

II. A E war (§. 2) die halbe Laſt des oberſten
Sparrens; B L war (§. 4 und §. 6) die ganze Laſt des
oberen, mehr der halben Laſt des zweiten; M T war (§.
6) die ganze Laſt der erſten zween, mehr der halben
Laſt des dritten u. ſ. w.; wenn daher alle Sparren
gleich ſchwer ſind, ſo ſteigt der ſenkrechte Druck
an
[11]an den WinkelnA, B, M … = ½ : 1½ : 2½ . . . . =
1 : 3 : 5 … d. i. wie die ungeraden Zahlen.

III. Weil endlich Tang. A B Z = Tang. A C E =
; Tang. B M ϒ = ; Tang. M U X = …
ſo iſt (wegen C E = L N = S T …) Tang. A B Z :
Tang. B M ϒ: Tang. M U X … = A E : B L : M T …
d. i. die Tangenten der Winkel, welche die Spar-
ren mit dem Horizonte machen, verhalten ſich wie
die Laſten an den PunktenA, B, M …, oder wenn
die Sparren einander gleich ſind, wie die ungeraden
Zahlen 1 : 3 : 5 …

8.

Der letzte Satz gieht uns eine leichte Methode
die Lage der Sparren durch eine Zeichnung zu finden.
Wenn der Winkel A B C (7. Fig.) den der obere Dach-
ſparren mit dem Horizonte macht, mit Ruͤckſicht auf
das Clima beſtimmt worden, und beede Sparren ein-
ander gleich ſeyn ſollen, ſo mache man A C = A D =
D E oder C E = 3 A C, ſo giebt die gerade Linie E B M
die Lage des unteren Sparrens B M.

Soll die Hoͤhe des Daches A G (8. u. 9. Fig.) der
halben Breite C G gleich ſeyn, ſo nehme man die ganze
Breite des Gebaͤudes C c (8 Fig.) zum Radius, und
mache mit demſelben erſtens aus C und c bey D, und
hernach aus A in der verlaͤngerten Breite C c bey E
und e Durchſchnitte. Werden endlich die Linien A E,
A e, C D und c D gezogen, ſo iſt C B A b c die Zeichnung
des gebrochenen Daches. — Denn wir haben Tang.
[12].

Oder man beſchreibe uͤber der gegebenen Breite C c
(9. Fig.) den halben Kreis C A c, und theile jeden Vier-
telkreis in drey gleiche Theile, welches geſchieht, wenn
die Sehnen A D, C E, A d, und c e, dem Halbmeſſer
A G gleich gemacht werden; ſo geben die Linien C B
und B A, c b und b A die Lage der Sparren. — Denn
der Winkel A B b (= A D d) hat zu ſeinem Maße ½ A d
= 30°, und der Winkel E C c hat zu ſeinem Maße
½ E e c = 60°; daher iſt Tang. A B b: Tang. B C G
= Tang. 30°: Tang. 60° = 1 : 3

9.

In dieſem Falle iſt der horizontale Druck des
gebrochenen Daches = ½ A B. Tang. B A F = ½ A B.
; und der wagerechte Druck des einfachen Daches
A C iſt = ½ A C Tang. C A G = ½ A C. Weil aber
im Dreyeck C B A, A B : A C = Sin. A C B: Sin. A B C
= Sin. 15° : Sin. 30° = 1 : 2 Coſ. 15° = 1 :
1,9218; ſo verhaͤlt ſich der wagerechte Druck des ge-
brochenen zum wagerechten Druck des einfachen Daches
wie beynahe. Die gebrochenen
Daͤcher gewaͤhren daher, nebſt dem, daß ſie mehr in-
neren Raum verſchaffen, und daß ſie ſich mit kuͤrzerem
Holze ausfuͤhren laſſen, auch noch den Vortheil, daß
der wagerechte Druck, der in jedem Gebaͤude der ge-
faͤhrlichſte iſt, kleiner wird.

10.

Die Linie B K (4. Fig.) zeigt die Richtung, nach
welcher der obere Sparren auf den unteren wirkt.
Wird
[13] Wird hierauf die ſenkrechte Linie m n gezogen, und
werden die Sparren A B und B M (6. Fig.) nach eben dieſer
Linie zuſammengefuͤget, ſo ſteht die Richtung ihres wech-
ſelſeitigen Druckes auf einander ſenkrecht, und am
ſicherſten.

11.

Was bisher von der Zuſammenſetzung der Dach-
ſparren geſagt worden, gilt auch von der Stellung der
Gewoͤlbſteine, wenn ſie ſelbſt einander das Gleichge-
wicht halten ſollen: die Tangente des Winkels den je-
der Gewoͤlbſtein mit dem Horizonte macht, muß hier
ebenfalls der Haͤlfte ſeiner eigenen Schwere ſammt der
Laſt aller daruͤber liegenden Gewoͤlbſteine bis an den
Schlußpunkt des Gewoͤlbes proportional ſeyn. Die
Zeichnung (§. 8.) laͤßt ſich hier allgemein anwenden.

Sind die Gewoͤlbſteine von einerley Dicke, ſo
trage man ihre Laͤngen auf die Senkellinie A X (10.
Fig.) nach der Ordnung auf, ſo daß A B = A b, B C
= b c, C D = c d u. ſ. w., und theile eine jede davon
in zween gleiche Theile, A 1 = 1 b, b 2 = 2 c u. ſ. w.;
wird endlich der Winkel A 1 O, den der obere Gewoͤlb-
ſtein mit dem Horizonte macht, oder die Normallinie
A O angenommen, ſo geben die Linien 1 O, 2 O, 3 O,
u. ſ. w. die Richtungen fuͤr alle Gewoͤlbſteine; naͤm-
lich: der erſte A B iſt parallel mit 1 O, der zweite B C
iſt parallel mit 2 O, der dritte C D mit 3 O u. ſ. w.

Sind aber die Gewoͤlbſteine von ungleicher Dicke
und Schwere, ſo muß (11. Fig.) die Linie A b dem
Gewicht des erſten, b c dem Gewicht des zweiten, c d
dem Gewicht des dritten u. ſ. w. proportional gemacht,
und jede davon nach der Entfernung des Schwerpunktes
von einem Ende deſſelben, in α, β, γ, . . . . getheilt
werden; dann wird wieder die Lage eines jeden durch
die zugehoͤrige Linie α M, β M, γ M . . . . beſtimmt.

12.

Je kleiner die Gewoͤlbſteine angenommen wer-
den, deſto mehr naͤhert ſich das erhaltene Polygon ei-
ner regulaͤren Kruͤmme. Ziehen wir fuͤr einen belie-
bigen Gewoͤlbſtein E F (10. Fig.) die wagerechten Li-
nien E K, F N, die Senkrechte E I, und ſetzen
A C E = s, E F = d s, E I = d y, F I = d x, ſo
iſt Tang. ; und wenn endlich das
beſtaͤndige Verhaͤltniß, in welchem die Tangente des
Winkels E F I mit der zugehoͤrigen Laſt ſtehet, durch
1 : m ausgedruͤcket wird, ſo iſt .
Dieß iſt die bekannte Gleichung fuͤr die Kettenlinie;
daher giebt uns jede Kette oder lockere Schnur, die
an beyden Enden feſtgemacht, und in der Mitte ſo
tief hinabgelaſſen worden, als die Hoͤhe des Gewoͤl-
bes werden ſoll, die vortheilhafteſte Zeichung der Lehr-
linie fuͤr ein Gewoͤlb, das durchaus einerley Dicke
hat.

Geometriſch laͤßt ſich die Kettenlinie zeichnen,
wenn wir die endliche Gleichung fuͤr ihre Coordinaten
x und y ſuchen. Wir haben vorhin erhalten ,
daher m d y = s d x; werden hievon beyde Theile qua-
driret, und s2d y2 zu beyden addiret, ſo iſt (m2 + s2) d y2
.

Im Scheitelpunkte iſt s = o, daher y = m.
Hiedurch wird (12 Fig.) die Ordinate A N im Schei-
telpunkte, oder die Entfernung der Abſciſſenlinie N P
vom Scheitelpunkt der Kettenlinie A beſtimmt.

Wenn wir den Werth von s aus der letzteren
Gleichung in die erſte ſetzen, ſo iſt ;
daher ; und x = m. k. Logar.
, wo k den natuͤrlichen Loga-
rithmus der Grundzahl 10 (= 2, 302585) bedeutet,
wenn wir uns der brighiſchen Logarithmen bedienen
wollen: oder wenn wir die Grundzahl der natuͤrlichen
Logarithmen (= 2, 718282) e nennen, ſo iſt
In
dieſer Gleichung erhaͤlt offenbar y einerley Werth, wir
moͤgen x poſitiv oder negativ nehmen; die Kettenlinie
S R A r s wird daher durch die gerade Linie N M
in zwo gleiche Haͤlften getheilet, und wir brauchen
nur die Coordinaten fuͤr die poſitiven Abſciſſen zu be-
rechnen, womit wir ſchon die ganze Kettenlinie kon-
ſtruiren koͤnnen.

Wenn wir zur leichteren Rechnung m = 10 ſe-
tzen, ſo erhalten die zuſammengehoͤrigen Coordinaten
folgende Werthe:

Wir koͤnnen nun was immer fuͤr einen Maß-
ſtab zur Hand nehmen, und von demſelben die Ab-
ſciſſen N 1 = 1, N 2 = 2, u. ſ. w. von beyden
Seiten des Anfangspunktes N auftragen. Ziehen wir
durch alle Punkte 0, 1, 2, 3 … ſenkrechte Linien,
und tragen auf jede derſelben die zugehoͤrige Ordinate
y aus der vorhergehenden Tafel auf, ſo liegen alle ge-
fundenen Punkte in der Kettenlinie, wodurch eine
fortlaufende krumme Linie ohne Schwierigkeit gezogen
werden kann.

13.

Die bisher vorgetragene Theorie ſetzt voraus,
daß das Gewoͤlb durchaus einerley Dicke, und nichts
weiter zu tragen habe, als ſeine eigene Schwere. Weil
aber dieſer Fall ſelten iſt, und meiſtens die Gewoͤlbe
zu dem Ende erbauet werden, daß ſie noch eine Laſt
tragen, ſo wollen wir den gewoͤhnlichſten Fall, wenn
die daruͤber liegende Laſt ſich oben mit einer wagrech-
ten Linie endiget, z. B. bey Bruͤcken, Gewoͤlben in
Wohngebaͤuden u. dgl. naͤher unterſuchen. H N C
(13 Fig.) ſey die oberſte Flaͤche einer Bruͤcke, A E e
ſey die erfoderliche Woͤlbung, und E e ein beliebiges
Element derſelben; H E, h e zwo ſenkrechte Linien auf
N H, und e f ſenkrecht auf H E f; A N = b, N H
= x, H E = y, E f = d y, e f = h H = d x.
Weil die Tangente des Winkels E e f (= )
mit der Laſt N A E H (= ∫ y d x) in einem beſtaͤn-
digen Verhaͤltniß (= 1 : m2) ſtehen muß, ſo haben
wir die Gleichung . Laſſen wir d x
beſtaͤndig, ſo iſt , oder
[17].

Hieraus ſehen wir, daß fuͤr den Fall b = m,
die verlangte Lehrlinie wieder die naͤmliche Kettenlinie
iſt, die wir oben (§. 12) gefunden haben; wenn aber
b groͤſſer oder kleiner iſt als m, ſo ſtehen die Ordina-
ten unſerer Lehrlinie mit den Ordinaten der Kettenli-
nie, fuͤr einerley Abſciſſen, in dem beſtaͤndigen Ver-
haͤltniß b : m. Wir koͤnnen alſo die Ordinaten der
Kettenlinie A R S (14. Fig.) in jedem beſtimmten Ver-
haͤltniß theilen (O r : O R = N a: N A), oder ver-
laͤngern (O R: O R = N A : N A), und durch al-
le erhaltenen Punkte r r a r r, oder R R A R R
eine krumme Linie ziehen, ſo erhalten wir immer eine
Woͤlbungslinie, welche die daruͤber liegende Laſt bis
an die Abſciſſenlinie O O N O O traͤgt, und im Gleich-
gewicht erhaͤlt. Auch folgt noch ferner, daß in jeder
Flaͤche s r a a' r' s', die zwiſchen zwo Woͤlbungslinien
s r a, s' r' a' liegt, ſich gleichfalls alles im Gleich-
gewicht erhalte. Weil aber durch jede Ordinate N n,
oderO runendlich viel Woͤlbungslinien gezogen wer-
den koͤnnen, ſo iſt hiedurch nicht blos die Woͤlbungs-
linie, ſondern die ganze Maſſe des Gewoͤlbes ins Gleich-
gewicht gebracht.

14.

Hieraus fließen folgende allgemeine Anmer-
kungen:

I. Fuͤr Gewoͤlbe, welche durchaus einerley
Dicke, und nichts als ihre eigene Laſt zu tragen haben,
gehoͤret die gemeine Kettenlinie.

II. Gewoͤlbe, welche wagerecht ausgefuͤllet
werden, muͤſſen nach einer Kruͤmme aus der Ver-
wandtſchaft der Kettenlinien erbauet werden, wovon
die oberſte wagrechte Linie immer die Abſciſſenli-
nie iſt.

III. Je kleiner N a, oder je ſchwaͤcher das
Gewoͤlb beym Schlußpunkt iſt, deſto flaͤcher wird
die Lehrlinie s r r a, und je groͤſſer N A, oder je
ſtaͤrker das Gewoͤlbe, deſto gebogener iſt die Woͤlbung,
fuͤr einerley Breite

IV. Die Laͤngen der Gewoͤlbſteine ſollen von
einer Woͤlbungslinie s' r' r' bis an die andere s r r
reichen (15. Fig.)

V. Ihre Seitenflaͤchen r r' ſollen auf alle
Woͤlbungslinien, die durch ihre Dicke hindurchgehen,
ſenkrecht ſeyn. Hiezu waͤre zwar noͤthig, daß dieſe
Seitenflaͤchen ſelbſt nach einer krummen Linie gehauen
wuͤrden, ihre Laͤnge iſt aber ſelten ſo betraͤchtlich, daß
dieſe Kruͤmmung von einer geraden Linie merklich un-
terſchieden waͤre.

VI. Die Laͤnge der Gewoͤlbſteine richtet ſich
nach ihrer Guͤte, und nach der Laſt, welche getragen
werden ſoll. Dieſe Umſtaͤnde muͤſſen die Wahl be-
ſtimmen, die ein Baumeiſter unter der unendlichen
An-
[19] Anzahl der angezeigten Lehrlinien (14. Fig.) zu ma-
chen hat.

VII. Die Lehrlinien ſind um ſo weniger von
einem Zirkelbogen unterſchieden, je flaͤcher ſie ſind.
Nur wird es darauf ankommen, daß der Baumeiſter
fuͤr jeden Fall denjenigen Halbmeſſer angeben moͤge,
welcher von der zugehoͤrigen Woͤlbungslinie am wenig-
ſten abweicht.

VIII. Bey dem Schlußpunkt A (16. Fig.) wird
die Flaͤche N A E H (= ∫. y d x) = o, daher iſt auch
daſelbſt Tang [...], folglich der Winkel
E A F ein rechter Winkel. Eben ſo iſt auch e A F ein
rechter Winkel. Die gothiſchen Gewoͤlbe ſind demnach
der Natur nicht angemeſſen. Es giebt jedoch Faͤlle,
wo ſelbſt unſere Grundſaͤtze ein Eck in der Lehrlinie
erfodern: an dem Orte naͤmlich, wo eine beſondere
Laſt auf das Gewoͤlb geſetzt werden ſollte; da aber die-
ſer Fall wider die ſcheinbare Feſtigkeit und wider den
guten Geſchmack in der Baukunſt iſt, ſo waͤre es
uͤberfluͤßig, eine beſondere Berechnung hieruͤber an-
zufuͤhren.

Von Logarithmen und Exponentialgroͤſſen.

18. Die Logarithmen aller Syſteme haben folgende
Eigenſchaften gemein, daß ſie die Multiplication und Divi-
ſion zwoer Zahlen in die Addition und Subtraction ihrer
Logarithmen, die Erhebung auf Potenzen, oder Ausziehung
der Wurzeln in die Multiplication oder Diviſion des Lo-
garithmen mit der gegebenen Potenzzahl verwandeln.

19. Die Logarithmen zwoer Zahlen in zwey verſchie-
denen Syſtemen ſtehen mit einander in einem beſtaͤndigen
b 3Ver-
[22] Verhaͤltniß. Hieraus laſſen ſich die Logarithmen aller
uͤbrigen Syſteme berechnen, wenn ſie fuͤr ein Syſtem
bekannt ſind.

20. Vortheile des gemeinen oder brighiſchen Syſtems.

21. Erklaͤrung der hypothetiſchen Logarithmen, der-
gleichen in den trigonometriſchen Tafeln gebraucht wer-
den: Regeln, welche bey der Multiplikation, Diviſion, Er-
hebung auf Potenzen, oder Ausziehung der Wurzeln mit
dieſen Logarithmen zu beobachten ſind.

22. Den Logarithmus einer jeden Zahl durch eine
unendliche Reihe ausdruͤcken.

23. Fuͤr jede Zahl den natuͤrlichen Logarithmus
durch die Annaͤherung finden.

24. Die gefundenen natuͤrlichen Logarithmen in ge-
meine fuͤr die Grundzahl 10, oder fuͤr jede beliebige Grund-
zahl verwandeln

25. Jede Exponentialgroͤſſe in eine unendliche Reihe
aufloͤſen, oder aus dem gegebenen Logarithmen und der
Grundzahl des Syſtems die zugehoͤrige Zahl beſtimmen.

26. Die Grundzahl der natuͤrlichen Logarithmen fin-
den.

Von trigonometriſchen Linien.

27. Allgemeine Ausdruͤcke fuͤr alle Boͤgen, die einer-
ley Sinus und Coſinus haben.

28. Formeln fuͤr den Sinus und Coſinus, fuͤr die
Tangente und Cotangente der Summe und des Unterſchieds
zweener Boͤgen.

29. Formeln, wodurch die Produkte der erſteren in
Summen oder Unterſchiede einzelner Sinuſſe und Coſinuſſe
aufgeloͤſet werden.

30. Den Sinus und Coſinus eines jeden Bogens
durch eine unendliche Reihe ausdruͤcken.

31. Anwendung der trigonometriſchen Linien zur
Erfindung aller moͤglichen einfachen und doppelten Fakto-
ren von folgenden Gleichungen: + xm ± am = o; x2m ±
2am xm Cos. g + a2m = o.

32. Eine neue Methode die Gleichungen des dritten
Grades in jenem Falle aufzuloͤſen, wenn alle drey Wur-
zeln moͤglich ſind, oder wenn die Aufloͤſung nach der Car-
daniſchen Methode unmoͤglich wird.

33. Jede Zahl hat nebſt einem moͤglichen noch un-
endlich viel unmoͤgliche Logarithmen, die alle in der For-
mel
[23] mel Log. enthalten ſind, in welcher Log.
z den moͤglichen Logarithmus der Zahl z, 2π die Peri-
pherie des Kreiſes fuͤr den Halbmeſſer 1, k den natuͤrli-
chen Logarithmus der Grundzahl, und m eine jede beliebi-
ge ganze Zahl bedeutet.

Von unendlichen Reihen.

34. Methode, alle gebrochenen rationalen Funktionen
in wiederkehrende Reihen aufzuloͤſen, d. i. fuͤr jeden Fall
a) die Potenz des erſten Gliedes, b) die gemeinſchaftliche
Differenz der Exponentenfolge, und c) das Geſetz zu fin-
den, nach welchem alle folgenden Coefficienten aus den Vor-
hergehenden beſtimmt werden.

35. Die Aufgabe des Newtoniſchen Parallelogram-
mes: oder wenn in einer Gleichung zwo Unbekannte vor-
handen ſind, eine durch eine unendliche Reihe der andern
auszudruͤcken.

36. Jede Reihe umzukehren. Vorſicht dabey, wenn
das erſte Glied eine beſtaͤndige Groͤſſe iſt.

37. Die Laͤnge des Kreisbogens durch ſeinen Sinus
oder Coſinus auszudruͤcken.

38. Die Reihen in andere zu verwandeln, wo die
Coefficienten aus den Differenzen der Coefficienten der ge-
gebenen Reihe genommen werden.

39. Reihen, fuͤr welche die nte Differenz der Coeffi-
cienten beſtaͤndig iſt, ſummiren.

40. Jede Reihe, in der ſich die Zeichen der Glieder
wechſelweiſe aͤndern, in eine fallende verwandeln.

Aus der geometriſchen Analyſis.

41. Jede gegebene Gleichung mit zwo Unbekannten
durch eine geometriſche Linie konſtruiren.

42. Die Geſtalt der geometriſchen Linie, vorzuͤglich
im unendlichen Raum, erklaͤren, wenn die Funktion der
Ordinate rational, und 1, 2, 3. oder n foͤrmig iſt.

43. Die Geſtalt der geometriſchen Linie, vorzuͤglich
im endlichen Raum, aus den gegebenen Faktoren hinter
den Wurzelzeichen erklaͤren, wenn die Funktion der Ordi-
nate irrational iſt. Anzeige der konjugirten Ovalen, Kno-
ten, Spitzen, u. d. gl.

44. Fuͤr jede geometriſche Linie laſſen ſich unendlich
viele Gleichungen angeben, wenn entweder der Anfangs-
b 4punkt
[24] punkt der Abſciſſen, oder die Abſciſſenlinie, oder auch der
Coordinatenwinkel veraͤndert werden.

45. Die algebraiſchen Linien werden am ſchicklichſten
nach dem Grad der Potenz, welche die zwo Unbekann en
miteinander in der Gleichung haben, geordnet.

46. Jede Linie des erſten Grades wird durch 2, des
zweiten durch 5, des dritten durch 9, und des nten Grades
durch Punkte beſtimmt.

47. Jede Linie der nten Ordnung kann von einer ge-
raden Linie hoͤchſtens nur in n Punkten durchſchnitten wer-
den.

48. Methode die Tangenten, Subtangenten, Nor-
malen, und Subnormalen fuͤr jeden Punkt der geometri-
ſchen Linien zu finden.

Von den Linien der zweiten Ordnung insbeſondere.

49. Jede Linie der zweiten Ordnung geht entweder
in ſich ſelbſt zuruͤck, und iſt in dieſem Fall eine Ellipſe,
oder ſie hat zween unendliche Zweige von einer Seite, und
iſt eine Parabel, oder ſie hat zween unendliche Zweige von
beeden Seiten, und iſt eine Hyperbel. Alle drey werden
unter dem allgemeinen Namen Kegelſchnitte verſtanden.

50. Die Produkte aus den Ordinaten auf was im-
mer fuͤr einer Sehne ſind mit den Produkten aus den Ab-
ſciſſen, die von beeden Durchſchnittspunkten ber gerechnet
werden, in einem beſtaͤndigen Verhaͤltniß, Die Quadrate
der Tangenten verhalten ſich gleichfalls wie die Produkte
der Secanten.

51. Jede gegebene Gleichung des zweiten Grades in
eine andere fuͤr zween konjugirte Diameter verwandeln.

52. Den Mittelpunkt des Kegelſchnitts, die Groͤſſe
beeder konjugirten Diameter, ihre Lage in Ruͤckſicht der
gegebenen Coordinaten, und den Winkel beſtimmen, unter
welchem ſie einander durchſchneiden.

53. Die einfachſte Gleichung fuͤr jeden Kegelſchnitt
angeben, in welcher die Abſciſſen vom Mittelpunkte an ge-
rechnet werden, und wo nur die zween konjugirten Dia-
meter als bekannte Groͤſſen vorkommen.

54. Wenn zween konjugirte Diameter gegeben ſind,
die Lage und Groͤſſe der Axen beſtimmen.

55. Die Entfernung des Durchſchnittspunktes der
Tangente und eines Diameters iſt die dritte Proportional-
linie zur zugehoͤrigen Abſciſſe und zum halben Diameter.

56. Wenn aus den Endpunkten zweener zuſammen-
gehoͤrigen Diameter Ordinaten auf die groͤſſere oder klei-
nere Axe gezogen werden, ſo iſt die Summe der Quadrate
der Abſciſſen dem Quadrate derſelben Axe gleich.

57. Die Summe der Quadrate zweener Diameter
iſt ſo groß, als die Summe der Quadrate der Axen.

58. Das Rechteck aus den Axen iſt dem Parallelo-
gramm aus den Diametern gleich.

59. Sowohl in der Ellipſe als Hyperbel giebt es
zween Punkte, wovon die Vektoren rational ſind.

60. In der Ellipſe iſt die Summe, und in der Hy-
perbel iſt der Unterſchied dieſer Vektoren ſo groß als die
groͤſſere Axe.

61. Die Winkel, welche die zween Vektoren mit der
Tangente machen, ſind einander gleich.

62. Wenn aus jedem Brennpunkte ſenkrechte Linien
auf die Tangente gezogen werden, ſo begegnet jede derſel-
ben dem Vektor aus dem andern Brennpunkte in einer
Entfernung, welche ſo groß iſt, als die rechte Axe.

63. Alle Punkte wo dieſe ſenkrechte Linien in die
Tangente einfallen, liegen in der Peripherie eines Kreiſes,
der aus dem Mittelpunkt des Kegelſchnittes mit dem Halb-
meſſer der halben rechten Axe beſchrieben wird.

64. Die Ordinate im Brennpunkte (Parameter) iſt
die dritte Proportionallinie zur rechten und konjugirten
Axe.

65. Eine Gleichung fuͤr die Ellipſe und Hyperbel
zu finden, in welcher die Abſciſſen vom Scheitelpunkte an
gerechnet werden, und wo nur die rechte Axe und der Pa-
rameter als beſtaͤndige Groͤßen zum Vorſcheine kommen.

66. Sowohl die Ellipſe als Hyperbel werden zur
Parabel, wenn die rechte Axe unendlich groß wird.

67. Die Entfernung des Brennpunktes vom Schei-
telpunkte der Parabel iſt dem vierten Theile des Parame-
ters gleich.

68. Jeder Vektor der Parabel iſt ſo groß, als die
Summe aus der Abſciſſe und der Entfernung des Brenn-
punktes vom Scheitelpunkte.

69. Alle Diameter der Parabeln ſind einander pa-
rallel.

70. Die Subtangente der Parabel iſt zweimal ſo
groß, als die Abſciſſe.

71. Die Winkel, welche die Vektoren und Diameter
mit den Tangenten machen, ſind einander gleich.

72. Wenn eine Linie aus dem Brennpunkt ſenkrecht
auf die Tangente gezogen wird, ſo theilet ſie ſelbe in zween
gleiche Theile; und eine Linie aus dieſem Durch chnittspunkte
ſenkrecht auf die Axe gezogen, faͤllt immer in den Schei-
telpunkt der Parabel.

73. Die Gleichung fuͤr jeden Diameter der Parabel
iſt der Gleichung fuͤr die Axe aͤhnlich.

74. Der Parameter eines jeden Diameters iſt ſei-
nem vierfachen Vektor gleich.

75. Die Aſymtoten der Hyperbel aus der Gleichung
fuͤr die Axen herleiten, ſie konſtruiren, und den Aſymtoten-
winkel beſtimmen.

76. Eine Gleichung fuͤr die Hyperbel finden, wenn
die Abſciſſen auf einer Aſymtote, und die Ordinaten der
andern Aſymtote parallel, oder auch nicht parallel genom-
men werden.

77. Von jeder Sehne ſind die Abſchnitte, welche
beederſeits zwiſchen den Aſymtoten und der Hyperbel lie-
gen, einander gleich.

78. Die Produkte der zwo Ordinaten fuͤr jede Ab-
ſciſſe ſind alle gleich groß.

Conſtruktion der beſtimmten Gleichungen.

79. Jede Gleichung des erſten oder zweiten Grades
mit dem Zirkel und Lineal conſtrulren.

80. Jede Gleichung des dritten oder vierten Grades
mit dem Zirkel und mit einer gegebenen Parabel conſtrui-
ren.

81. Einen gegebenen Winkel in drey gleiche Theile
zertheilen, und die Conſtruktion mit einer Hyperbel zwi-
ſchen den Aſymtoten, oder mit einer gegebenen Parabel
verrichten.

Von endlichen Differenzen, und derſel-
ben Summen.

82. Aus der gegebenen Differenz der Wurzel, die
Differenz einer jeden algebraiſchen Funktion beſtimmen.

83. Weiters die 2te, 3te, 4te … nte Differenz der-
ſelben Funktion finden.

84. Das Geſetz fuͤr die hoͤheren Differenzen bleibt
unbeſtimmt, wenn das Geſetz fuͤr die Stuffen, um welche
die Wurzel zunimmt, unbeſtimmt iſt.

85. Jede Funktion der nten Potenz hat zur nten
Differenz eine beſtaͤndige Groͤße.

86. Aus der gegebenen Differenz zwoer Zahlen die
Differenz ihrer Logarithmen finden; und umgekehrt aus der
gegebenen Differenz des Exponenten oder Logarithmen die
Differenz der zugehoͤrigen Exponentialgroͤſſe finden.

87. Aus der gegebenen Differenz eines Winkels die
Differenz des zugehoͤrigen Sinus und Coſinus beſtimmen.

88. Aus den gegebenen Differenzen einer Reihe ihr
allgemeines Glied finden, und hiedurch die Reihe interpo-
liren.

89. Die Summen fuͤr jede ganze Potenz beſtimmen,
wenn die Differenz der Wurzel gegeben iſt.

90. Anwendung davon zur Summirung der Reihen,
wenn das allgemeine Glied bekannt iſt.

Differenzialrechnung.

91. Die endlichen Differenzen werden zu Differen-
zialien, wenn die gegebene Differenz der Wurzel = o iſt.
Ungeachtet alle Differenzialien hiedurch zu nichts werden,
ſo haben ſie doch endliche Coefficienten, nnd unter einander
endliche Verhaͤltniſſe, mit deren Beſtimmung ſich die Diffe-
renzialrechnung beſchaͤftiget.

92. Jedes Differenzial der nten Ordnung ſteht mit
der nten Potenz des Differenzials der Wurzel in einem
beſtimmten Verhaͤltniß, und verſchwindet deswegen gegen
alle Differenzialien der vorhergehenden Ordnungen.

93. Von jeder ganzen Funktion der nten Ordnung
wird der Coeffcient des Differenzials der (n + 1) ten Ord-
nung = o; dieſes Differenzial verſchwindet daher auch
gegen alle hoͤhere Differenzialien.

94. Methode, das Differenzial einer jeden rationa-
len und irrationalen Potenz der veraͤnderlichen Groͤſſe zu
finden, ohne dabey die newtoniſche Binomialformel voraus-
zuſetzen.

95. Unter eben dieſer Bedingniß die Differenzialen
der Logarithmen und Exponentialgroͤſſen zu finden.

96. Aus dem gegebenen Differenzial des Sinus oder
Coſinus, der Tangente oder Cotangente, das Differenzial
des zugehoͤrigen Bogens finden; und umgekehrt, aus dem
gegebenen Differenzial des Bogens das Differenzial der
zugehoͤrigen trigonometriſchen Linie beſtimmen.

97. Das Differenzial einer jeden Funktion von ver-
aͤnderlichen Groͤſſen iſt der Summe aller einzelnen Diffe-
renzialien gleich, welche erhalten werden, wenn von derſelben
ein Theil nach dem andern als veraͤnderlich, alle uͤbrigen
aber als beſtaͤndig betrachtet werden.

98. Anwendung dieſer Regel, um zu erfahren, ob
ein gegebenes aus mehreren veraͤnderlichen Groͤſſen zuſam-
mengeſetztes Differenzial, in der vorgegebenen Geſtalt aus
der Differenzirung einer endlichen Funktion habe entſtehen
koͤnnen.

99. Anwendung der Differenzialrechnung zur Auf-
loͤſung der Funktionen in unendliche Reihen.

100. Beweis der newtoniſchen Binomialformel fuͤr
alle ganze und gebrochene Exponenten.

101. Erhebung einer unendlichen Reihe auf jede ge-
gebene Potenz.

102. Taylors Formel, die endlichen Differenzen mit-
telſt der Differenzialrechnung zu finden.

103. Erfindung des Groͤßten und Kleinſten; noͤthige
Vorſichten dabey, und Kennzeichen eines von dem andern
zu unterſcheiden.

104. Formeln zur Erfindung der Tangenten, Sub-
tangenten, Normalen, und Subnormalen.

105. Entdeckung der vielfachen, conjugirten, und
Umkehrungspunkte.

106. Die Kruͤmmung der geometriſchen Linien durch
eine allgemeine paraboliſche Gleichung erklaͤren.

107. Erfindung des Kruͤmmungshalbmeſſers, der
Schlangenpunkte, u. ſ. w.

108. Beſtimmung des unbeſtimmten Werthes den
manche Funktionen in gewiſſen Faͤllen annehmen.

109. Zerlegung der rationalen gebrochenen Funktionen.

Integralrechnung.

110. Integrirungsmethode fuͤr die rationalen ganzen
Funktionen.

111. Integrirungsmethode fuͤr die rationalen gebro-
chenen Funktionen a) wenn der Nenner in moͤgliche einfa-
che Faktoren b) wenn er nur in moͤgliche doppelte Fakto-
ren zerlegt werden kann.

112. Methoden die irrationalen Funktionen rational
zu machen a) wenn die irrationale Funktion des erſten
Grades iſt, b) wenn ſie des zweiten Grades und der Expo-
nent derſelben = ½ iſt.

113. Die Faͤlle anzugeben, in welchen die Formel
rational gemacht werden kann.

114. Zwo Methoden, die irrationalen binomiſchen For-
meln auf die einfachſten ihrer Art zuruͤckzufuͤhren.

115. Integrirungsmethode fuͤr Differenzialformeln,
in welchen Logarithmen oder Exponentialgroͤſſen vorkommen.

116. Integrirungsmethode, wenn trigonometriſche Li-
nien vorkommen.

117. Anwendung der Integralrechnung zur Berech-
nung des Flaͤcheninhaltes und zur Rectification der krum-
men Linien.

118. Berechnung des Cubikinhalts und der Ober-
flaͤche der Koͤrper.

119. Umgekehrte Methode der Tangenten.

Beyſpiele
zur Uibung in den vorgetragenen Rechnungs-
arten.

120. Ein Wechsler kauft einen Schuldbrief von (a fl.),
der aber erſt nach (n) Jahren zahlbar iſt, fuͤr (c fl.); wie
viel Prozente (z) gewinnet er bey dieſem Kaufe?

Dieſe Aufgabe kann noch auf dreyerley Art ver-
aͤndert vorkommen, naͤmlich:

Ein Schuldbrief (a), der nach (n) Jahren zahlbar iſt,
wird zum Verkaufe angebothen, wie viel (c) kann ich fuͤr
denſelben geben, ohne bey meinem Kaufe die gewoͤhnlichen
Prozente (z) zu verlieren? — Ein Kaufmann nuͤtzt ein
Capital (c) auf (z) Prozente, und legt die ausfallenden
Zinſe jaͤhrlich wieder zum Capital; wie groß iſt der Be-
trag deſſelben (a) nach (n) Jahren? oder — wie viel Jahre
(n) ſind noͤthig, damit daſſelbe bis auf die Summe (a)
ſteige.

Fuͤr alle dieſe Faͤlle gilt die allgemeine Frage: wenn
von den genannten vier Zahlen a, c, n, z, drey gegeben
ſind, die vierte zu finden? Dieſe allgemeine Aufloͤſung
zu geben, wird ſowohl hier als auch in folgenden Auf-
gaben verſtanden.

121. Nach der Suͤndflut iſt das Menſchengeſchlecht
von 6 Menſchen fortgepflanzet worden; wenn wir anneh-
men, daß ihre Anzahl nach 200 Jahren auf 1000000 an-
gewachſen, wie groß mußte ihre jaͤhrliche Vermehrung ſeyn?

122. Die Einwohner eines Landes ſind ein Capital
(a) mit (z) von hundert jaͤhrlich zu verzinſen ſchuldig, zah-
len aber hierauf alle Jahre (b); nach wie viel Jahren (n)
wird die ganze Schuld getilget ſeyn?

123. Es ſoll eine geometriſche Linie fuͤr alle jene
Punkte gefunden werden, deren Entfernungen von zween
gegebenen Punkten zu einander ein gegebenes Verhaͤltniß
haben, oder

124 —. Deren Entfernungen — mit einander eine
gegebene Summe machen, oder

125 —. Deren Entfernungen — mit einander einen
gegebenen Winkel einſchließen.

126. Die vortheilhafreſte Stellung der Streben,
Sturmbaͤnder u. d. gl. zu beſtimmen.

127. Den Winkel zu beſtimmen, unter welchem ein
Anker am ſtaͤrkſten in den Grund greift.

128. Die vortheilhafteſte Hoͤhe des Lichtes uͤber ei-
nem Tiſch zu finden, damit ein Gegenſtand, der in einer
gegebenen Entfernung vom Leuchter liegt, am hellſten be-
leuchtet werde.

129. Den Winkel zu beſtimmen, unter welchem die
Pferde einen Schlitten am leichteſten ziehen.

130. Beſtimmung der Quadratur, der Oberflaͤche
und des Cubikinhaltes aller drey Kegelſchnitte, mit Huͤlfe
der logarithmiſchen und trigonometriſchen Tafeln.