§ 1. Plan. Der Operationskreis der Algebra der binären Relative.

α) Es ist eine grossartige Disziplin, reich an Ausdrucksmitteln
und mächtigen Schlussmethoden, fast überreich an Sätzen, wenn auch
von unvergleichlichem Ebenmaasse, in welche ich versuchen will den
Leser hiermit einzuführen.

Dürften auch ihre ersten Anfänge — mit Augustus De Morgan —
kaum über die Mitte dieses Jahrhunderts zurückreichen, so ist die
Literatur dieser Disziplin doch schon eine ziemlich umfangreiche, zudem
ihre Kenntnissnahme eigentümlich erschwert nicht nur durch ihr Zer-
streutsein in verschiedenen nicht leicht zugänglichen Schriftwerken,
sondern auch durch die Verschiedenartigkeit der — ich kann nur sagen:
„Hieroglyphen“systeme, deren sich die Urheber der Disziplin bedienten
und welche sogar bei ihrem Hauptförderer Charles S. Peirce zu-
weilen fast unvermittelt gewechselt haben. Ausser diesen beiden
Hauptschöpfern der Theorie dürfte dieselbe mittelbar den Arbeiten von
Herrn R. Dedekind am meisten Förderung verdanken, und liegt es
dem Verfasser ob, nun die Gesamtheit der bisherigen Leistungen zu
dem gegenwärtigen Stande der Disziplin gleichsam aufzurunden.

Bei der fast unermesslichen Mannigfaltigkeit der Richtungen, nach
welchen sich die Disziplin entwickelungsfähig zeigt, der Fülle ihrer
Anwendungsmöglichkeiten auf die verschiedensten Gebiete — zu denen
die Begriffe von „Endlichkeit“, „Anzahl“, „Funktion“ und „Substitution“
ebensowol gehören als wie z. B. die „menschlichen Verwandtschafts-
verhältnisse“ —, bei ihrer Doppelnatur als einer Algebra einerseits
und einer Entwickelungsform der Logik andrerseits, nämlich ihrer Aus-
gestaltung zur Logik der Beziehungen (und Beziehungsbegriffe, „Relative“)
überhaupt, scheint es unerlässlich — soll nicht die Übersicht leiden
und der Eindruck der Schönheit und Konsequenz des Ganzen verloren
Schröder, Algebra der Relative. 1
[2]Erste Vorlesung.
gehen — dass wir die verschiedenen Gesichtspunkte, unter welchen
unsre Theorie zu betrachten sein wird, thunlichst scharf von einander
getrennt halten.

Ich werde deshalb zunächst eine Seite der Theorie fast ausschliess-
lich bevorzugen, und zwar dieselbe lediglich als eine Algebra, einen
Kalkul aufbauen, der seine Gesetze aus einer geringen Anzahl bestimmt
formulirter fundamentaler Festsetzungen denknotwendig ableitet. Erst
wenn auf diesem Wege ein gewisser Grundstock geschaffen und ein
schon recht ansehnliches Kapital von absolut feststehenden Wahrheiten
— Thatsachen der Deduktion — gesichert ist, gedenke ich in sehr
viel spätern Vorlesungen auf die Fundamente der Disziplin zurück-
zukommen, um deren zuerst nur einfach hingestellte Festsetzungen
dann auch heuristisch zu motiviren und aus allgemein logischen Ge-
sichtspunkten reflektirend zu erörtern, insbesondre sie als den Zwecken
ebendieser Wissenschaft, der Logik, dienstbare nachzuweisen. Bis
dahin mögen logische Interpretationen von Ausdrücken oder Formeln
des Kalkuls höchstens nebenher in Form von Seitenblicken erfolgen,
bestimmt, das Interesse des Lesers zu wecken und denselben zu der
später systematisch zu erwerbenden Deutungskunst allmälig heran-
zuziehen.

Ebenso wird es zur Vereinfachung des Ganzen beitragen, wenn
wir dasjenige, was zur Sicherung des Anteils der andern Forscher an
den Errungenschaften der Theorie gesagt werden muss, und was zumeist
von literarhistorisch-kritischen Erörterungen unzertrennlich sein wird,
erst nachträglich in eignem Paragraphen zusammenstellen — die
Theorie selber thunlichst von allem Beiwerk entlastend.

Meine Bezeichnungsweisen schliessen sich sehr nahe an die von
Peirce in einer9c seiner Abhandlungen gebrauchten an, und werden
die Abweichungen späterhin gekennzeichnet und gerechtfertigt. Den
zahlreich zu verwendenden Suffixen zuliebe und um zugleich den Platz
frei zu halten für die „Exponenten“ von „Potenzen“, deren Begriff auch
in unsre Disziplin Eingang findet, musste vom vertikalen zu dem hori-
zontal übergesetzten Negationsstriche übergegangen werden. Zudem wird
sich Veranlassung ergeben, die beiden — wenn auch nicht bei Aus-
sagen — so doch bei binären Relativen (sowie solchen von noch
höhrer Ordnung) unterscheidend zu verwenden — ein Punkt auf den
wir noch zurückkommen.

Nach dem Gesagten gehe ich sogleich zu dem Versuche über:

β) Vorweg über den Operationskreis der relativen Logik einen kurzen
Überblick zu geben — den Operationskreis der arithmetischen Algebra
[3]§ 1. Operationskreis der Algebra der Relative.
zur Vergleichung heranziehend. Ich fasse dabei ausschliesslich den
weitaus wichtigsten Teil der ersteren: die
Algebra der binären Relative
(bei Peirce „dual relatives“ genannt) in’s Auge, welche den natur-
gemässen Ausgangspunkt der ganzen Theorie bildet. Ebendiese ist
bis jetzt allein auch einigen Ausbaues teilhaftig geworden und wird
auf sie die Wissenschaft, um damit für ihre vornehmsten Probleme
auszukommen, vielleicht sogar sich wesentlich beschränken dürfen.

Im identischen (Gebiete- oder Klassen-)Kalkul hatten wir uns mit
drei Rechnungsarten, „Spezies“ vertraut zu machen: mit der identischen
Multiplikation, der identischen Addition und der Negation. Von diesen
waren die beiden erstgenannten „knüpfende“ Operationen, die zu ihrer
Ausführung mindestens zwei Operanden (Terme) als gegeben voraus-
setzten; die letztgenannte eine „nicht-knüpfende“ Operation, welche
schon an einem Operanden (Term) vollziehbar. Die knüpfenden Ope-
rationen waren hier assoziative sowol als kommutative.

Denselben drei identischen Spezies begegnen wir auch in der Logik
der Relative wieder, woselbst sie in der That die erste Hauptstufe der
elementaren Operationen ausmachen. Zu diesen treten aber als zweite
Hauptstufe hier noch drei weitere Spezies hinzu: die drei „relativen“
Elementaroperationen, als da sind: die relative Multiplikation (oder
Komposition), die relative Addition und die Konversion; jene beiden
knüpfende und zwar assoziative aber (im allgemeinen) nicht kommu-
tative Operationen, diese eine nicht knüpfende Operation, die bereits
an einem Operanden vollziehbar.

Mit ihren sechs Spezies ist mithin die Logik der Relative, gegenüber
der allgemeinen Arithmetik mit ihren sieben algebraischen Operationen,
immer noch im Vorteil. Zugunsten der letztern kann allerdings geltend
gemacht werden, dass durch die bekannte Erweiterung des Zahlengebietes
zum Gebiet der gemeinen komplexen Zahlen es sich habe ermöglichen lassen,
die 7 Spezies der Algebra auf viere zu reduziren, nämlich auf Addition,
Multiplikation, Potenzirung und Logarithmirung — indem die Subtraktion
als eine Addition der entgegengesetzten Zahl, die Division als eine Multi-
plikation und die Radizirung als eine Potenzirung mit der reziproken Zahl
in Wegfall gekommen, drei von den vier inversen Operationen mithin in
den direkten aufgegangen seien.

Demgegenüber ist aber zu betonen, dass auch die 6 Spezies der
relativen Logik wesentlich sich auf viere (und zwar schon von vornherein)
reduziren, indem vermittelst der Negation die beiden Additionen zurück-
führbar sind auf die entsprechenden Multiplikationen (oder umgekehrt),
mithin, bei Verzicht auf die Symmetrie, diese auch durch jene könnten ent-
1*
[4]Erste Vorlesung.
behrlich gemacht werden. In der definitiven Anzahl der unentbehrlichen
Grundoperationen stehen somit beide Disziplinen auf gleicher Linie.

In ihrer durchgängigen Symmetrie aber besitzt die Algebra der
Relative einen ästhetischen Vorzug vor der Algebra der Zahlen. Ver-
fügt sie doch über zwei Prinzipien zur Vervielfältigung, Verdoppelung
ihrer Theoreme und tritt ein jeder ihrer allgemeinen Sätze mit drei
zumeist andern gekoppelt als eine Tetrade, ein Quadrupel, ein Gespann
von Sätzen (oder Formeln) auf, indem er mittelst Kontraposition,
beiderseitigem Negiren, einen ihm „dual entsprechenden“ Satz, das Paar
aber mittelst beiderseitigen Konvertirens, ein zweites dazu „konjugirtes“
Sätzepaar liefert, dessen Geltung von ihm mitbedingt und garan-
tirt wird.

γ) Wenn demnach der identische Kalkul als ein blosser Teil —
der elementarste — der relativen Logik erscheinen wird, die letztre
also als eine Erweiterung (spezielle Anwendungsweise und Fortsetzung)
des erstern sich darstellt, so bieten sich anscheinend zwei Möglich-
keiten dar, die Algebra der Relative zu begründen.

Die eine: im Anschluss an den bisherigen Lehrgang, bei welchem
wir vom Begriff der Subsumtion ausgegangen waren um gegen Ende
zu einer wissenschaftlichen Definition des Individuums zu gelangen.
Die andre: als die Möglichkeit einer selbständigen Begründung, als ein
Aufbau der ganzen Disziplin sozusagen auf einer tabula rasa.

Eine solche Begründung, die von der Betrachtung von „Elementen“
(oder Individuen) ihren Ausgang nimmt, hat Peirce gegeben, und
kann der Vergleich der damit geschaffenen ganz eigenartigen Grund-
lage der gesamten Logik mit ihren anderweitigen Fundirungen nur
lehrreich sein. Wir schliessen uns darum diesem letztern Lehrgange
an, zumal von da der erwähnte „Anschluss“ sehr leicht und rasch zu
gewinnen sein wird.

§ 2. Die Denkbereiche der verschiednen Ordnungen und ihre
Individuen.

Als gegeben, irgendwie begrifflich bestimmt, denken wir uns die
„Elemente“ oder Individuen
1) A, B, C, D, E, …
einer „gewöhnlichen“ Mannigfaltigkeit (vergl. Bd. 1, S. 342). Dieselben
sollen durchweg von einander und vom Nichts (von 0) verschieden geachtet
werden. Sie müssen unter sich verträglich (konsistent) sein, sodass
nicht etwa die Setzung eines von ihnen der Denkbarkeit eines andern
[5]§ 2. Denkbereich der ersten Ordnung.
vorbeugt, und sie müssen einander gegenseitig ausschliessen (unter
sich disjunkt sein), sodass auch keines der Elemente als eine Klasse
gedeutet werden dürfte, die ein andres von ihnen unter sich begreift.

Ich bemerke dieses, und noch einiges andre mehr, zum voraus, um
die Erwartung des Lesers angemessen zu dirigiren, nicht aber aus dem
Grunde, weil etwa schon auf diese letzteren Bemerkungen wesentliche
Schlüsse zu bauen wären. Auch wer diese Bemerkungen für ganz un-
genügend fundirt erachten wollte, der könnte sich doch nicht ablehnend
verhalten gegenüber der formalen Denknotwendigkeit, kraft welcher mit
den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen als deren Kon-
sequenz auch das ganze Gebäude unsrer Theorie gesichert sein wird.

Die Gesamtheit der gedachten Elemente stellen wir, indem wir
deren Namen mittelst Pluszeichen verbinden, als eine „identische
Summe“ (logical aggregate) dar und nennen sie den ursprünglichen oder
Denkbereich der ersten Ordnung: 11 (gelesen Eins hoch eins), sodass uns:
2)
gilt.

Der Denkbereich 11 soll mehr als ein Element enthalten. Diese
Voraussetzung ist zur Geltung fast aller Sätze der Theorie erforderlich.
Den Fall, wo der Denkbereich blos ein Element enthielte, wollen wir
„den Ausnahmefall“ nennen.

Bei manchen Formeln wird sogar, damit sie Geltung beanspruchen
können, es unerlässlich sein vorauszusetzen, dass der Denkbereich mehr
als zwei Elemente umfasse. Solche Formeln sollen durch einen ihrer
Chiffre beigesetzten Stern * gekennzeichnet werden.

Im übrigen kann die Menge der Elemente, welche unser Denk-
bereich zusammenfasst, eine „endliche“ (oder begrenzte) sein, indem
der Denkbereich besteht aus einer beliebig zu wählenden „Anzahl“ von
Elementen. Oder aber das System der Elemente ist ein „unendliches“
(unbegrenztes), wo dann von ihrer „Anzahl“ nicht gesprochen werden
kann. Im letzteren Falle mögen die Elemente entweder „diskrete“
sein, etwa ein sogenanntes „einfach unendliches“ System bildend, oder
auch nicht, d. h. sie dürfen ebensogut auch als „konkrete“ gedacht
werden, welche z. B. ein „Kontinuum“ ausfüllen, wie die Punkte einer
Linie, einer Fläche, eines Körpers, insbesondre einer Geraden, einer
Ebene oder des Raumes.

Auch diese Bemerkungen sind vorgreifende. Ist es doch eine der vor-
nehmsten Aufgaben der Theorie selbst, den Begriff der „Endlichkeit“ eines
Systems von Elementen erst aufzustellen, was eine Vorbedingung für die
Gewinnung des so hochwichtigen „Anzahl“-Begriffes bildet, desgleichen
sodann, die verschiedenen Arten von „Unendlichkeit“ unterscheidend zu
[6]Erste Vorlesung.
definiren! Um nicht in Fehlschlüsse zu verfallen wird der Leser aber gut
thun, die Möglichkeit auch der letzterwähnten Annahmen nicht aus dem
Auge zu verlieren.

Wir mögen nun zwar zur Illustration einen Denkbereich „bevor-
zugen“, der aus den sämtlichen Punkten einer Geraden (nämlich beider-
seits unbegrenzten geraden Linie) besteht (denen bekanntlich die reellen
Zahlen der Arithmetik ein-eindeutig entsprechen)
— oder auch blos aus einem Teile dieses Punktgebietes, wie etwa seiner
Hälfte: dem Strahle, welchem sich das Gebiet der positiven Realzahlen ein-
deutig zuordnen lässt — vielleicht auch blos aus der Reihe der den ganzen
Zahlen entsprechenden äquidistanten Punkte unsrer Geraden oder deren
positiver Hälfte. Immer aber wird dies unwesentlich bleiben müssen.

Es darf von vornherein in der Theorie nicht vorausgesetzt werden,
dass die Elemente in einer bestimmten Reihenfolge sich befinden oder
überhaupt in eine solche sich bringen liessen.

Nie wird a priori von „benachbarten“ Elementen, von den Vorgängern
oder Nachfolgern eines Elementes gesprochen werden dürfen — wie es denn
schon zu einem Punkte auf der geraden Linie (wenn sie auch etwa von
links nach rechts durchlaufen wird) keinen unmittelbar vorhergehenden und
keinen unmittelbar folgenden Punkt, keine unmittelbar benachbarten Punkte
gibt. Wie man Urteile fällen kann über alle Punkte, resp. über jeden
Punkt einer Fläche (z. B.) — um aus diesen Urteilen andre Urteile logisch
abzuleiten — ohne doch diesen Punkten damit irgendeine Reihenfolge zu-
zuschreiben, ebenso muss in der Theorie inbezug auf die Elemente unsres
Denkbereiches schliessend vorgegangen werden.

Die „Elemente“ brauchen auch nicht etwa gleichzeitig zu existiren;
sie dürften uns z. B. „Ereignisse“ aus Vergangenheit, Gegenwart und
Zukunft repräsentiren (koexistirende oder simultane, wie successive); es
genügt, dass sie zusammen gedacht werden können.

Zu Zwecken der Exemplifikation auf logischem Gebiete empfiehlt
sich oft die Deutung der Elemente als „Personen“ der menschlichen
Gesellschaft, Menschheit überhaupt.

Neben den grossen lateinischen Buchstaben, die uns bestimmte Ele-
mente vorzustellen haben, falls wir einzelne von diesen hervorzuheben
beabsichtigen, bedürfen wir auch noch einer Kategorie von Zeichen
zur Darstellung von oder als Namen für unbestimmte oder allgemeine
Elemente.

Dieses Bedürfniss tritt bereits zutage, macht sich geltend schon
bei dem ersten und einfachsten Akte — zu welchem wir jetzt schreiten
wollen — dem Akte: irgend zwei Elemente in eine Beziehung zu
einander zu setzen oder unter dem Gesichtspunkte einer solchen zu
[7]§ 2. Elemente, = Individuen des ersten Denkbereichs.
betrachten. Die Elemente, zwischen denen dergestalt — sagen wir: —
„ein Verhältniss“ konstatirt werden soll, können nämlich entweder ver-
schiedene, oder sie können auch die nämlichen, können „einerlei“ sein.

Der Gesichtspunkt, das „fundamentum relationis“ sei z. B. die Zu-
neigung, Liebe einer Person zu einer Person.

Wenn die Person A die Person B liebt, so wird unter diesem
Gesichtspunkt das Elementepaar „A : B“ in Betracht kommen. Wenn
etwa zugleich die Person B die Person A nicht liebt, so wird das
Elementepaar „B : A“ (welches demnach vom vorigen zu unterscheiden
ist) nicht in Betracht kommen.

Wenn die Person A sich selbst liebt, so wird als „Elementepaar“
auch „A : A“ in Betracht zu ziehen sein.

Schon diese beiden Fälle, der erste mit dem letzten, lassen sich —
bei Beschränkung auf den bisherigen Zeichenvorrat — nicht gemeinsam
erledigen oder abhandeln, und zwar aus dem Grunde, weil die An-
nahme: B = A, welche den letzten Fall unter den ersten subsumiren
würde, sich in Widerspruch befindet mit der eingeführten und unver-
brüchlich festzuhaltenden Voraussetzung A ≠ B. Zudem wird man so
doch immer nur am Beispiele kleben bleiben.

Wir bedürfen neuer Zeichen — und diese wählen wir vorderhand
ausschliesslich aus der Reihe der folgenden:
3) i, j, h, k, l, m, n, p, q
— um irgend eines der Elemente A, B, C, D, … unsres Denk-
bereiches 11 vorzustellen.

Heben wir jetzt ein Elementepaar i : j hervor, etwa wieder um
damit zu konstatiren, dass eine Person i eine Person j liebt, so wird
ebensogut die Annahme j = i als die Annahme j ≠ i zulässig bleiben,
und lassen sich alle Vorteile der Allgemeinheit für unsre Betrachtungen
sichern, in Verbindung mit den Vorteilen, welche die Einführung
knappster Zeichenschrift gewährt.

Also: während zwei verschiedene von den Buchstaben A, B, C, …
immer zwei verschiedene Elemente vorzustellen haben, sind zwei ver-
schiedene Buchstaben aus der Reihe i, j, h, … einer solchen Be-
schränkung nicht unterworfen. Dieser Gegensatz ist darin begründet,
dass während A, B, C, … uns als bestimmte sozusagen „spezifizirte“
Elemente gelten, die Symbole i, j, … vielmehr zu verwenden sein
werden als Repräsentanten, Stellvertreter von irgend welchen, von un-
bestimmt gelassenen oder „allgemeinen Elementen“. Jenen entsprechen
in der Arithmetik die numerischen, diesen die literalen oder Buch-
[8]Erste Vorlesung.
staben-Zahlen. Und wie die letztern sind sie gleichermassen unent-
behrlich und ermöglichen uns die Realisirung analoger Vorteile.

Die allgemeinen Elementsymbole i, j, h, k, … lassen insbesondre
auch als „Indizes“, „laufende Zeiger“, „Summations-“ und „Produktations-
variable“, sich verwenden, und werden zunächst sogar vorwiegend als
solche in Betracht kommen.

In der That können wir mit ihrer Beihülfe die Gleichung, welche
uns den Denkbereich 11 darstellte, jetzt konziser schreiben, wie folgt:
4) ,
wobei zur korrekten Auslegung, zur „Auswertung“ oder „Evaluation“
der Summe rechterhand nur erforderlich ist, dass man der Summations-
variablen i auferlege, jedes der Elemente A, B, C, … als seine Be-
deutung anzunehmen, oder — wie man sich ausdrückt — die Gesamt-
heit der Individuen des Denkbereiches 11 „zu durchlaufen“.

Dieser Prozess, der in unsrer Theorie mit jedem Ausdruck von der
Form Σi oder Σj, Σh, … von einem f (i, j, h, …) in Gedanken zu voll-
ziehen sein wird, ist wohl zu unterscheiden von dem Auslegungsverfahren
bei solchen Ausdrücken wie , wie sie im ersten und zweiten Bande
häufig vorkamen (und auch hier in modifizirter Bedeutung bald eine Rolle
spielen werden), wo nämlich die Summationsvariable u zu durchlaufen hatte
nicht blos alle Elemente, sondern alle erdenklichen Gebiete oder Klassen,
das ist alle Elementesummen aus dem vorliegenden Denkbereiche.

Also: jedem auf ein Symbol der Reihe 3) bezüglichen Summen-
zeichen wird (woferne nicht ausdrücklich anderes stipulirt ist) die vorhin
beschriebene „Erstreckung“ zuzuschreiben sein.

Der Denkbereich 11 bildet eine Mannigfaltigkeit, auf welche ohne
weitres der gesamte „identische Kalkul“ anwendbar sein würde. Doch
soll von dieser Thatsache bis zur Neubegründung des letztern hier
kein Gebrauch gemacht werden.

Jede (identische) Summe von Elementen dieses Denkbereiches 11
wird späterhin als ein „absoluter Term“, als ein „System“ (Gebiet) oder
auch eine „Klasse“ (class-term) schlechtweg zu bezeichnen sein.

Nunmehr können wir auch das oben am Beispiel Ausgeführte
allgemein statuiren:

Werden aus unserm Denkbereiche 11 irgend zwei Elemente i und j
in bestimmter Reihenfolge hervorgehoben und in dieser — gleichviel aus
welchem Beweggrunde, einerlei unter welchem Gesichtspunkte — zu
einem „Paare“ zusammengehalten, so mag das Ergebniss der Zu-
[9]§ 2. Elementepaare, = Individuen des zweiten Denkbereichs.
sammenstellung vermittelst eines Doppelpunktes dargestellt werden in
Gestalt von
5)
— gesprochen: i zu j.

Dies ist zunächst unverfänglich, weil der Doppelpunkt zwar in § 23
des Bd. 1 provisorisch zur Darstellung der identischen Division verwendet,
daselbst aber als definitiv entbehrlich nachgewiesen und dadurch zu andern
Zwecken verfügbar geworden ist.

Wenn unter dem Gesichtspunkte einer bestimmten von i zu j be-
stehenden Beziehung ein Elementepaar hervorgehoben und mit i : j in der-
selben Weise dargestellt wird, wie man in der Arithmetik ein (geometrisches)
Verhältniss darzustellen pflegt, so empfiehlt sich dies schon darum nicht
übel, weil in der Sprache des gemeinen Lebens die Worte „Beziehung“
und „Verhältniss“ ohnehin beinahe als synonyme gelten dürften. Zudem
werden mit der arithmetischen Gleichung (i : h) × (h : j) = i : j bei der
Lehre von der Zusammensetzung der Relative Analogieen zutage treten,
die unser dem Peirce’schen sich anschliessendes Vorgehen noch weiter
rechtfertigen.

An sich betrachtet hat zwar der Doppelpunkt — schon als Divisions-
zeichen, gleichwie auch das Minuszeichen — den Fehler, eine unsymmetrische
Knüpfung durch ein symmetrisches, nach rechts und links gleich aus-
schauendes Zeichen darzustellen. Dafür tröstet der Umstand, dass man
(demungeachtet) von der Arithmetik her doch schon gewöhnt ist, die
Knüpfung nicht als eine kommutative anzusehen.

Übrigens sei bemerkt, dass auch hier die Bezeichnung später entbehr-
lich gemacht werden kann, sobald mit ihrer Hülfe die Algebra der Relative
eine bestimmte Stufe der Entwickelung erreicht hat.

Wir nennen i : j ein „Elementepaar“, und zwar i den Antezedenten
(das Vorderglied) oder das Relat, j den Konsequenten (das Hinterglied)
oder das Korrelat desselben.

Nach dem Gesagten wird uns j : i als ein andres Elementepaar
wie i : j zu gelten haben, sobald j von i verschieden ist. Oder wir
mögen hinstellen:
6)
als gültig für alle i und j.

In diesen beiden Aussagenäquivalenzen sind vier Aussagensubsumtionen
enthalten, von welchen diese beiden:
als selbstverständlich, beziehungsweise durch unsre soeben getroffenen Ab-
machungen gegeben, anzusehen sind.

Aus ihnen ergeben sich die beiden andern, die umgekehrten Aussagen-
subsumtionen (kreuz- oder) wechselweise vermittelst Kontraposition.

Übrigens sei betont, dass auch diese Bemerkung nur zur vorläu-
figen Orientirung ausgesprochen ist, indem sich 6) als Theorem aus
den fundamentalen Festsetzungen des nächsten Paragraphen späterhin
beweisen lassen wird.

Dasselbe gilt von dem Ansatze:
7)
durch welchen wir zum Ausdruck bringen, dass uns jedes Elemente-
paar als von dem Nichts verschieden zu gelten habe.

Das Elementepaar j : i heisst „das konverse“ von dem Elemente-
paar i : j. Bei der Allgemeingültigkeit dieser Festsetzung wird es
auch gestattet sein in ihr die Namen i und j auszutauschen und muss
also auch das Elementepaar i : j das konverse sein von j : i. Die Be-
ziehung zwischen konversen Elementepaaren ist eine gegenseitige.

Es können nun alle erdenklichen Elementepaare, zu deren Bildung
unser Denkbereich 11 die Elemente liefert, zu einer Tafel, in ein Ta-
bleau zusammengestellt, geordnet werden (may be arrayed oder arranged
in a „block“):
8)
und sei bemerkt, dass wir diese „spezifizirten“ oder speziellen Ele-
mentepaare auch als
„individuelle binäre Relative“
hinzustellen oder zu bezeichnen haben werden, deren irgend eines
durch i : j allgemein repräsentirt werden kann.

Die Gesamtheit dieser individuellen binären Relative oder Elemente-
paare bildet einen neuen, einen eignen Denkbereich, den wir als den
„Denkbereich der zweiten Ordnung“ mittelst 12 (gesprochen: eins hoch
zwei) darstellen, sodass wir haben:
9)
— wo die Klammern um die Elementepaare auch weggelassen werden
könnten — oder in der durch das Summenzeichen ermöglichten Abkürzung:
10) .

Der Denkbereich 12 ist hiernach gebildet aus den sämtlichen „Varia-
tionen zur zweiten Klasse mit Wiederholungen“ von den Elementen des
Denkbereiches 11 — wie der Mathematiker sich ausdrücken würde; er ist
die zweite Klasse der genannten Variationen. Er enthält die Elemente
von 11 zu Paaren vereinigt in allen erdenklichen Verbindungen (Kombi-
nationen) und Anordnungen (Permutationen).

Als selbstverständlich erscheint es wieder (soll indess nicht we-
sentlich benutzt werden), dass auch dieser Denkbereich eine Mannig-
faltigkeit vorstellt, auf welche der identische Kalkul anwendbar ist.
In diesem Denkbereiche werden sich die Untersuchungen der Theorie
im vorliegenden Bande vornehmlich, ja fast ausschliesslich bewegen,
weshalb wir — den Exponenten 2 zumeist und namentlich in allen
Formeln (seltner im Texte) weglassend — denselben kürzer mit 1 selber
bezeichnen werden.

In einfachster Schreibung seien demnach die Gleichungen 9) und 10)
zusammenfassend wiederholt als:
11)

Ein individuelles binäres Relativ i : j steht in dieser Tafel allemal
in der durch i markirten Zeile und in der durch j markirten Kolonne
(oder Spalte) — wären die Elemente i, j die natürlichen Zahlen, so
könnten wir kürzer sagen: in der iten Zeile und in der jten Kolonne.

Obwohl, wie bereits erklärt, die Voraussetzung einer bestimmten
Reihenfolge oder Anordnung schon bei den Elementen des ersten,
nicht minder also auch bei den Elementepaaren des zweiten Denk-
bereichs den Schlüssen der Theorie nicht zugrunde gelegt werden darf,
wollen wir doch der Übersicht und der Bequemlichkeit der Ausdrucks-
weise zuliebe die vorstehenden Redensarten acceptiren:

Soll von solchen individuellen Relativen i : j, i : h, i : k, … ge-
sprochen werden, welche im Relate übereinstimmen, so werden wir
häufig sagen, dass sie aus derselben Horizontalreihe oder Zeile stammen,
und „die zu i gehörige Zeile“ der Tafel 12 selbst wird uns dann eben
einfach bedeuten: die Gesamtheit (identische Summe) aller der Elemente-
paare unsres zweiten Denkbereichs, welche i zum Relate haben.
Ebenso werden alle Elementepaare i : j, h : j, k : j, …, die im Korre-
late übereinstimmen, von uns der nämlichen Vertikalreihe oder Kolonne
zugewiesen. Und wir unterscheiden demgemäss in unsrer Tafel 12
[12]Erste Vorlesung.
„Reihen“ von Elementepaaren als parallele oder zu einander normale,
sowie als horizontale oder vertikale.

Fasst man die individuellen Elementepaare unsres Denkbereiches 12
in’s Auge, so wahrnimmt man solche von zweierlei Art, je nachdem
in i : j das i = j oder aber i ≠ j ist.

Im ersten Falle haben wir ein Elementepaar von der Form i : i.
Ein solches soll ein individuelles (binäres) „Selbstrelativ“ genannt
werden.

Falls dagegen i ≠ j ist, so heisse i : j ein individuelles (binäres)
„Aliorelativ“.

Ich übersetze hiemit einfach die von Peirce gegebnen Namen „self-
relative“ und „aliorelative“.

Es kann anstössig gefunden werden, dass „self-“ oder „Selbst-“ nicht,
wie die andern zur Zusammensetzung dieser Namen benutzten Wörter,
aus dem Lateinischen stammt. Wenn man nicht „Ipsirelativ“ sagen will,
so könnte man auch „Idemrelativ“ für unser „Selbstrelativ“ nehmen. Andre
Möglichkeiten wären die, zu sagen:
Autorelativ und Heterorelativ,
oder Idio(Homo-?)relativ „ Allorelativ
zur ersten Hälfte aus dem Griechischen, zur zweiten aus dem Lateinischen
genommen, desgleichen zur ersten Hälfte dem Deutschen entstammend:
Selbstrelativ und Anderrelativ
Eigenrelativ „ Fremdrelativ.
Auch schlug mir ein Kollege vor, für Relativ „Beziehnis(s)“ zu sagen.

Ich habe mich nach sorgfältiger Erwägung keinem dieser Vorschläge
anzubequemen vermocht. Dem letzten nicht, weil für die Wissenschaft
zur Deckung ihres Neubedarfs an Wörtern internationale Ausdrücke aus
toten, den klassischen Sprachen weitaus den Vorzug verdienen. Der Aus-
druck „Anderrelativ“ gibt zu unangenehmen Anklängen Veranlassung, wenn
neben den Anderrelativen von andern Relativen oder gar von andern
Anderrelativen gesprochen werden muss. Die übrigen Ausdrücke erscheinen
weniger zutreffend, decken wol den Begriff minder genau.

Obwol nun also „Selbstrelativ“ den erwähnten internationalen Rück-
sichten nicht ganz gerecht wird, will ich es beibehalten, den romanischen
Kulturvölkern es überlassend, sich ein Wort nach ihrem Geschmacke dafür
zu bilden; jenes erscheint mir als das beste und bezeichnendste wenigstens
für die germanische Sprachengruppe mit Einschluss der englischen Sprache.

In unsrer Tafel 12 stehen die individuellen Selbstrelative A : A,
B : B, etc. alle auf einer geraden Linie, welche von links oben nach
rechts unten diese Tafel mitten durchschneidet, und — gemäss einer in
der Lehre von den Determinanten und den Matrices geläufigen Übung —
als die „Hauptdiagonale“ der Tafel bezeichnet wird. Unter der Haupt-
diagonale von 12 verstehen wir also — analytisch gefasst, wenn man es
unabhängig von geometrischen Veranschaulichungen, die eine bestimmte
[13]§ 2. Binäre Relative.
Anordnung der Elementepaare auf einer Fläche vorauszusetzen scheinen,
aussprechen will — weiter nichts als: die Gesamtheit (identische Summe)
aller individuellen Selbstrelative aus unserm zweiten Denkbereiche.

Die individuellen Aliorelative liegen ausserhalb, stehen seitlich
von, oberhalb und unterhalb der Hauptdiagonale.

Jedes individuelle Selbstrelativ ist das konverse von sich selber. Zu
einander konverse individuelle Aliorelative stehen dagegen „symmetrisch“
zur Hauptdiagonale, sodass, wenn man diese letztere als spiegelnde
Linie ansieht, irgend eines der beiden das Spiegelbild sein müsste
vom andern.

Wenn wir sonach über die „individuellen binären Relative“ nun-
mehr Bescheid wissen, so drängt sich die Frage auf: was ist zu ver-
stehen unter einem „binären Relativ“ überhaupt?

Obwol dies systematisch erst im nächsten Paragraphen festgesetzt
werden soll, wollen wir die Antwort hier schon vorgreifend geben.
Darunter wird zu verstehen sein: eine identische Summe (ein Inbegriff)
von irgendwelchen individuellen binären Relativen.

Aus unserm Denkbereiche 12 können wir irgendwelche Elemente-
paare herausgreifen und sie — sei es kollektiv zu einem „Systeme
von Elementepaaren“, sei es generell zu einer „Klasse von Elemente-
paaren“ — mittelst identischer Addition vereinigen. Das Ergebniss
wird ein binäres Relativ (schlechtweg) zu nennen sein.

Der Gesichtspunkt, unter welchem wir solche Aushebung von
Elementepaaren vornehmlich vollziehen, wird allerdings der sein, dass
wir zu einer Klasse oder identischen Summe von Elementepaaren alle
diejenigen individuellen Relative i : j jeweils vereinigen, bei welchen
das Relat i zum Korrelat j in einer „Beziehung“ von bestimmter Art
steht, einer Beziehung, charakterisirt durch ein gewisses „fundamentum
relationis“, auf welches sich gerade das Interesse konzentrirt.

Gleichwie jedoch in der (weiteren) Umfangslogik der Klassen-
bildung keinerlei Schranken gesetzt waren, und die Individuen einer
Klasse nicht etwa, der Forderung der (engeren) Inhaltslogik entspre-
chend, dadurch zusammengehalten werden mussten, dass sie einen
regelrechten „Begriff“ konstituiren, so sollen auch hier die Aushebungs-
möglichkeiten für die zu einem binären Relativ zu vereinigenden
Elementepaare durch keinerlei Schranke eingeengt sein, und mag ein
Gesichtspunkt, wie der erwähnte, zumeist zwar maassgebend sein als
Beweggrund für deren Aushebung aus dem Denkbereiche 12, ohne dass
jedoch sein Vorhandensein eine unerlässliche Bedingung für diese
[14]Erste Vorlesung.
Aushebungen bildete, welche vielmehr (von vornherein) auch ganz
nach Willkür vollzogen werden können (um von da ab festgehalten
zu werden).

Eine Zusammenstellung von irgend drei Elementen i, j und h
aus unserm ursprünglichen Denkbereich 11, wenn dieselben in dieser
bestimmten Reihenfolge geschrieben werden, mag nun weiter ein
„Elementetripel“ oder „individuelles ternäres Relativ“ genannt und mit
12)
dargestellt werden.

Die Gesamtheit, identische Summe aller erdenklichen Elemente-
tripel bildet einen neuen Denkbereich, den wir als den „Denkbereich
der dritten Ordnung“ mit 13 bezeichnen, sodass uns gilt:
13) .

Spezifizirt könnten die Elementetripel übersichtlich nur in Gestalt
eines Blockes — etwa ein Buch füllend — angegeben werden, auf
dessen erster Seite die Elementepaare von 12 in 11) mit dahinter-
gesetztem „:A“ stünden, dessen zweite Seite (besser: Vorderseite des
zweiten Blattes) dieselben Elementepaare mit dahintergesetztem „:B“
enthielte, die dritte Seite (resp. drittes Blatt auf seiner Vorderseite)
ebenjene mit dahinter gesetztem „:C“ und so weiter, weshalb wir
auf deren spezifizirte Angabe hier verzichten.

Mathematisch gesprochen besteht der Denkbereich 13 aus der
„dritten Klasse der Variationen (oder permutirten Kombinationen)
mit Wiederholungen“ von den Elementen des ursprünglichen Denk-
bereiches 11.

Jenachdem in i : j : h alle drei Elemente einander gleich (d. h.
identisch, einerlei) sind, oder — was auf drei Arten möglich — nur
zweie derselben, oder endlich keines von ihnen mit einem andern zu-
sammenfällt, d. h. alle drei verschieden sind, hätten wir fünferlei
individuelle ternäre Relative zu unterscheiden, für welche bezüglich
die Beispiele:
14)
vorbildlich sind.

Eine identische Summe aus Elementetripeln, irgendwie hervor-
gehoben aus dem Denkbereiche 13, wird nun ein „ternäres Relativ“
zu nennen sein.

Indem alle individuellen ternären Relative als unter sich und vom
Nichts verschieden zu gelten haben, wird auch auf den Denkbereich
[15]§ 2. Denkbereiche von höherer Ordnung.
13 und die in ihm denkbaren ternären Relative mindestens zunächst
der identische Kalkul (als Gebiete- sowol wie als Klassenkalkul) an-
wendbar sein.

Und so weiter.

Es ist klar, wie man in dieser Weise fortfahren kann, auch alle
erdenklichen Quadrupel, Quintupel, Sextupel, … von Elementen des
Denkbereiches 11 zu einem Denkbereiche 14, 15, 16, … der vierten,
fünften, sechsten, … Ordnung vereinigend und in ihm den Begriff des
quaternären, quinären, senären, … Relativs aufstellend.

Zum Schlusse sei noch bemerkt, dass auch die „absoluten Terme“,
„(Gebiete oder) Systeme“, „Klassen“ schlechtweg, das ist — wie ge-
sagt — die Summen, welche aus Elementen des ursprünglichen Denk-
bereiches 11 gebildet gedacht werden können, sich werden ansehen,
darstellen und bezeichnen lassen als „uninäre^*)Relatice“ (bei Peirce
„simple relatives“) — wie denn in der That von vornherein nichts im
Wege steht, die Elemente i des Denkbereiches 11 auch „individuelle
uninäre Relative“ zu nennen.

Als obersten Einteilungsgrund für die Klassifikation aller erdenk-
lichen Relative haben wir dann also: die „Ordnung“ derselben. Wir
haben Relative der ersten, zweiten, dritten etc. Ordnung zu unter-
scheiden. Und es ist ein Relativ von bestimmter Ordnung weiter
nichts als die (identische) Summe von irgendwelchen „individuellen“
Relativen ebendieser Ordnung, während unter den „individuellen Re-
lativen“ einer bestimmten Ordnung zu verstehen sind: die „Variationen
(mit Wiederholungen) zur gleichen Klasse“ aus den Elementen des
ersten Denkbereiches. Letztere werden — bei den höheren Ordnungen
(die „Variationen zur ersten Klasse“ sind bekanntlich die Elemente
selbst) — symbolisch dargestellt, indem man die in bestimmter Reihen-
folge in sie eingehenden Elemente mittelst Doppelpunkten verknüpft.

Endlich aber soll im voraus darauf hingewiesen werden, dass die
Theorie der Relative die Möglichkeit schaffen und ein Verfahren auf-
stellen wird, um Ausdrücke, sowol als Relationen, Formeln oder Sätze,
[16]Erste Vorlesung.
von Relativen einer bestimmten Ordnung aus diesem ihrem gemein-
samen Denkbereiche umzudeuten in einen Denkbereich von andrer Ord-
nung. Nämlich, je nach Wunsch, entweder: sie „vorzudeuten“ in einen
Denkbereich von höherer Ordnung, indem alle den Ausdruck zusammen-
setzenden, resp. in die Relation oder Formel eingehenden, Relative der
gegebenen Ordnung gültig umgeschrieben (transformirt) werden in lauter
solche von dieser verlangten höheren Ordnung. Oder (sofern der
Denkbereich, dem die gegebenen Relative angehören, nicht schon von
der niedersten also ersten Ordnung ist) auch: sie „zurückzudeuten“ in
einen Denkbereieh von niedrerer Ordnung.

Bei der Zurückdeutung jedoch gehen gewisse Momente (Elemente)
unsrer Kenntniss über die Konstitution der betreffenden Relative ver-
loren, resp. sie werden ignorirt, es wird von ihnen abstrahirt, m. a. W.
es werden gewisse Teile unsres Wissens fallen gelassen, preisgegeben,
welche hernach bei einer etwa darauf folgenden Wieder-Vordeutung
nicht wieder gewonnen werden, sich nicht mehr restituiren, sodass
der durch eine Zurückdeutung herbeigeführte Verlust an Erkenntniss-
kapital ein dauernder bleibt — natürlich unbeschadet der Zulässigkeit
und Berechtigung des ganzen Prozesses.

Im richtigen Erfassen dieser Prozesse, in der angemessenen Inter-
pretation und Verwertung der für einen Denkbereich aufgestellten
Formeln für einen andern unsrer Denkbereiche, liegen wol die Haupt-
schwierigkeiten, denen das Verständniss unsrer Theorie begegnen mag
und welche behufs Erzielung solchen Verständnisses überkommen
werden müssen. Die Umdeutung aus dem zweiten in den ersten Denk-
bereich — sowie umgekehrt — wird hiefür vorbildlich sein.

Wir wollen deshalb an die Frage erst wieder herantreten, nach-
dem wir uns in diesen beiden Denkbereichen gründlich orientirt haben
werden, und gehn darum jetzt zur eingehenden Betrachtung des
zweiten Denkbereiches, 12, über, dem wir unsre Aufmerksamkeit auf
lange Zeit fast ausschliesslich zuwenden, d. h. wir beschränken unsre
Betrachtungen auf die Algebra und Logik, die Theorie
der binären Relative.

§ 3. Die 29 zu 31 fundamentalen Festsetzungen. Summendarstellung
der Relative. Aussagenschemata.

Wesentlich — wenn wir absehen von den Abkürzungen, die noch
durch Einführung der Summen- und Produktzeichen Σ, Π angestrebt
worden sind, sowie von den Übereinkünften behufs Klammern-Erspar-
niss und dergleichen Äusserlichkeiten oder Nebendingen mehr — be-
ruht die ganze Algebra der binären (und der uninären) Relative — ja
wenn man will: die gesamte Logik — auf nur 29 konventionellen Fest-
setzungen, die sich (ohne die allerdings dazu wünschenswerten Erläu-
terungen) bequem auf einer halben Druckseite übersichtlich würden
zusammenstellen lassen.

Gleichwie in den beiden früheren Bänden sehen wir auch hier
die durch das Zeichen ⋹ auszudrückende Beziehung der Einordnung,
Subsumtion als die fundamentale an, mittelst welcher (oder deren Ver-
neinung ⋹) alle übrigen Beziehungen erst ihre Erklärung finden
müssen. Und wir stellen darum an die Spitze als eine für alle Sym-
bole a, b unsrer Theorie maassgebende die Definition der Gleichheit (das
ist hier immer: Einerleiheit, Identität), welche wir in der — sogleich
nachher von neuem zu rechtfertigenden — Schreibweise des „Aus-
sagenkalkuls“ wie früher formuliren als:
(1) .

Die folgenden 14 (es geht schnell!) fundamentalen Festsetzungen
lauten:
(2)
(4)

Nachdem wir hiermit schon über die Hälfte der formalen Grundlagen
unsrer Theorie statuirt haben, wollen wir in deren Aufzählung eine Pause
eintreten lassen um uns das Bisherige etwas näher anzusehen.

Für einen Wertbereich der aus nur zwei Symbolen 0 (identische
Null) und 1 (identische Eins) besteht, sind mit dem Vorstehenden voll-
ständig — obzwar in nuce — festgelegt: die Gesetze der Einordnung
und Nichteinordnung, der Gleichheit und der Ungleichheit, zudem eines
Kalkuls, der zu Grundrechnungsarten die „drei identischen Spezies“:
Multiplikation, Addition und Negation hat.

Die 4 Konventionen (2) setzen fest, welche von den in jenem
Wertbereich überhaupt denkbaren Subsumtionen gelten und welche
nicht gelten sollen. Dreien wird Geltung zugeschrieben, der vierten
abgesprochen.

Im Hinblick auf (1) wird sich daraus auch ableiten lassen, dass von
den 4 ebenda denkbaren Gleichungen diese beiden: 0 = 0 und 1 = 1, von
den 4 denkbaren Ungleichungen diese: 1 ≠ 0 und 0 ≠ 1 zu gelten haben.

Die 8 Konventionen (3) stellen den „Abacus“, das Einmaleins und
das Einspluseins für jenen auf die Symbole 0 und 1 restringirten
Wertbereich vor. Für diesen Wertbereich definiren sie vollständig
das Produkt a · b oder ab und die Summe a + b zweier Werte a und b
— wie immer letztere „allgemeinen“ Werte auch bestimmt, angenom-
men oder gedacht werden mögen innerhalb jenes Wertbereiches.

Das Einmaleins stimmt vollständig mit dem numerischen überein,
wie es etwa für das dyadische Zahlensystem lauten würde und als
ein Teil des weltläufigen dekadischen Einmaleinses ohnehin jedermann
geläufig ist.

Das Einspluseins zeigt nur die eine Abweichung von dem nume-
rischen Einspluseinse, dass hier 1 + 1 = 1 festgesetzt ist. Zur Mo-
tivirung dieser Abweichung wird vielleicht der Hinweis nicht über-
flüssig sein, dass, weil in unsrer Disziplin für „gleich“ nur gelten soll,
was identisch, einerlei ist, ein wiederholtes Setzen von „Gleichem“
nicht anders denkbar sein wird, denn in Form einer tautologischen und
darum belanglosen Wiederholung — vergleichbar der Bethätigung
jenes Kindes, welches seinem Freunde einunddasselbe, „das nämliche“
Objekt zu wiederholten malen schenkt. Gerade dieser Abweichung aber
wird unsre Disziplin ihre wundervolle Symmetrie hauptsächlich verdanken.

Die 2 Konventionen (4) definiren allgemein die Negation ā („a
strich“ oder „nicht-a“) für jeden Wert a jenes Bereiches.

Was die Anzahl unsrer Konventionen betrifft, so ist ja unverkennbar,
dass in unsrer Art, sie zu zählen etwas Willkürliches liegt. Man könnte
[19]§ 3. Formale Grundlagen. Abacus.
mittelst Anwendung von Buchstaben als allgemeiner Wertzeichen die Menge
der als selbständige hinzustellenden fundamentalen Konventionen noch
weiter verringern oder reduziren. So würden sich die erste und die dritte
Konvention (2) in die Formel a ⋹ a — unser früheres Prinzip I — zu-
sammenfassen lassen, und würden die 6 Festsetzungen der ersten Zeile
von (3) schon durch die viere a · 0 = 0 = 0 · a, a + 1 = 1 = 1 + a ersetz-
bar sein.

Ebensogut lassen aber auch die drei ersten Konventionen (2) in die
beiden sich zusammenziehen 0 ⋹ a ⋹ 1, die uns als „Def. (2)“ von Bd. 1
her wohlbekannt sind, und — noch besser — fassen sich schon alle 8 Kon-
ventionen (3) zu den 4 wohlbekannten Gesetzen zusammen: a · 0 = 0,
a + 1 = 1, a · 1 = a = a + 0.

Am wirksamsten dürfte aber zur Reduktion unsres Konventionen-
systems — sofern man solche überhaupt noch begehren mag — ein Ver-
fahren sich erweisen, welches darauf hinausliefe, die Begründungsweise des
identischen Kalkuls wie sie in Bd. 1 für eine viel umfassendere Mannig-
faltigkeit bereits gegeben worden, hier, für unsern so beschränkten Wert-
bereich 0, 1, im wesentlichen zu wiederholen. Insbesondre wären dabei die
8 Konventionen (3) durch die „Definitionen (3)“ in Bd. 1 S. 196 sq. von
Produkt und Summe, — statuirt in allgemeinen Wertzeichen a, b, c —
zu ersetzen, und aus diesen der Abacus — so wie Bd. 1 S. 271 sq. die
„Theoreme 21) und 22)“ — zu beweisen.

Unstreitig liesse sich also hinbringen, dass man für das Bisherige
auf eine geringere Zahl von selbständigen Festsetzungen blos sich zu be-
rufen brauchte.

Man könnte deren aber auch eine grössere Anzahl herausbringen
[statt 15 bis jetzt im Maximum 26]. Denn: auch darin lag etwas Will-
kürliches, dass wir Subsumtionen wie Gleichungen unterschiedlos als „Fest-
setzungen“ zählten, während doch kraft (1) jede Gleichung ein Paar von
Subsumtionen in sich schliesst.

Über die genaue Anzahl der als selbständige Konventionen ganz un-
umgänglichen Festsetzungen, welche die formale Grundlage für unsre ge-
samte Theorie zu bilden hätten, will ich daher mit niemand rechten.

Mit ihrer Aufzählung bezwecke ich blos, einen praktisch vorzüglich
brauchbaren Ausgangspunkt zu schaffen und eine vollkommene Übersicht
anzubahnen. Da bilden denn in der That die bisherigen 15 Daten jeden-
falls den Kern und spezifizirten Inhalt dessen, was ein damit äquivalentes
System von Konventionen allgemeinerer Form aussagen (in sich begreifen,
involviren) würde, welches etwa diese Data noch konziser zusammenzufassen
strebte — wie immer auch solches formulirt sein möge. Dieser Kern
erscheint hier in kunstloser Enumeration in’s Einzelne („detaillirt“) aus-
einander-gesetzt.

Von vornherein leuchtet ein, was auch die Folge bekräftigen
wird, dass unser Konventionensystem ein widerspruchsfreies ist, wie
denn überhaupt dieselben von vornherein als von einander unabhängige
erscheinen. Beide Überzeugungen sind aus der Wahrnehmung zu
schöpfen, dass jede einzelne von diesen Festsetzungen (1) bis (4) sozu-
2*
[20]Zweite Vorlesung.
sagen „ein neues Symbol“ definirt, welches in den vorhergehenden noch
niemals erwähnt war, sodass durch diese darüber auch nicht präjudi-
zirt sein konnte.

So — um mit dem Ende anzufangen: wenn erst ausgemacht worden,
was unter 1̅ zu verstehen sei, so ist damit noch offen gelassen, was wir
unter 0̅ verstehen wollen, und wie immer wir letzteres ausmachen wollen
(weil eben noch nichts darüber ausgemacht ist, sind wir auch zu nichts
verpflichtet), so wird die Abmachung weder in der oder den vorhergehenden
enthalten sein, noch mit ihnen in Widerspruch treten können.

Beim Abacus (3) — in dessen erster Zeile die Produkte resp. Summen
nicht sowohl einander als vielmehr dem letzten Symbole 0 resp. 1 jeweils
gleichgesetzt zu lesen sind — enthält jede der (so geschieden zu denkenden)
Gleichungen auch eine neue sonst überhaupt nicht vorkommende Knüpfung
zwischen 0 und 1. Und dass z. B. die Gleichung 1 + 1 = 1 nicht aus
den andern folgen kann, lässt schon die Exemplifikation auf das nume-
rische Einmaleins erkennen, wo zwar die andern Gleichungen ebenfalls
gelten, sie (allein) gleichwol nicht gilt. Dass sie auch nicht in Wider-
spruch mit den übrigen stehen kann, erscheint darum als selbstverständlich,
weil sie des bislang noch unerklärten Ausdrucks 1 + 1 erstmals und aus-
schliesslich Erwähnung thut, sodass über die demselben beizumessende Be-
deutung Entgegenstehendes unmöglich schon ausgemacht sein kann.

Die Konventionen (2) endlich enthalten unabhängig von einander die
Festsetzungen über die 0 resp. 1 als Subjekt (oder als Prädikat) zur
0 oder 1.

Hätten wir die 14 letzten Konventionen konziser, d. h. in eine gerin-
gere Zahl von — sonach allgemeineren — formalen Festsetzungen (unter
Gebrauch von Buchstaben) zusammengefasst, so würde diese Überzeugung
von der Unabhängigkeit und Widerspruchslosigkeit der fundamentalen Kon-
ventionen minder bequem und leicht zu gewinnen gewesen sein — was
uns nicht zum wenigsten veranlasste, der obigen Form ihrer Statuirung
den Vorzug zu geben.

Wie schon angedeutet bilden nun die bisherigen 15 Festsetzungen
die Basis, ausreichende Grundlage einer Buchstabenrechnung, eines
„Kalkuls“, in welchem von jedem „allgemeinen Wertsymbole“ oder
Buchstaben — wie a, b, c … — zu unterstellen ist, dass er irgend
einen der beiden Werte 0 und 1 repräsentire.

Die formalen Gesetze, Sätze und Formeln dieser Buchstabenrech-
nung sind keine andern als die des „Aussagenkalkuls“, jenes (noch
formelreicheren) Unterfalles des „identischen Kalkuls“, den wir in Bd. 1
und 2 näher kennen gelernt haben.

Was wir dem Leser nunmehr zumuten müssen ist: dass er sich
hiervon gründlich überzeuge, d. h. zum wenigsten, nachsehe, dass die
l. c. zur Grundlage jener Kalkuln genommenen Definitionen und Prin-
[21]§ 3. Zu den fundamentalen Festsetzungen.
zipien sich auch aus unsern 15 Festsetzungen ergeben, womit dann
auch deren sämtliche Konsequenzen durch ebensie verbürgt sein werden.

Dies mag ganz kunstlos geschehen in der Form einer blossen
Verifikation jener Grundlagen aus dem Abacus, aus unsern Fest-
setzungen.

Da für jeden Buchstaben nur die beiden Fälle zu unterscheiden
sind, wo er 0 und wo er 1 bedeutet, so werden bei einer Formel, in
der blos 1, 2 oder 3 Buchstaben vorkommen, auch nur 2, 22 = 4 resp.
23 = 8 Einsetzungen (von Wertsystemen 0 oder 1 für die Buchstaben)
zu vollziehen sein, um dieselbe für alle erdenklichen Fälle zu bewahrheiten.

Beispielsweise können so das „Prinzip II“ des Bd. 1: (a ⋹ b)(b ⋹ c)
⋹ (a ⋹ c), die Definitionen (3) daselbst: (c ⋹ a)(c ⋹ b) = (c ⋹ ab), etc.,
das Assoziationsgesetz, und das volle Distributionsgesetz a(b + c) = ab + ac
mit Leichtigkeit als kraft unsrer 15 Festsetzungen gültige nachgewiesen
werden.

Mehr wie drei Buchstaben kamen in den zur formalen Grundlage des
Aussagenkalkuls seinerzeit genommenen „Definitionen“ und „Prinzipien“
überhaupt nicht vor.

In gleicher Weise könnte man sich aber natürlich auch jedes kom-
plizirtere Theorem, jeden Folgesatz des Aussagenkalkuls, den wir aus jenen
formalen Grundlagen in der Theorie desselben deduzirten, unmittelbar
verifizirt denken und aufgrund unsrer 15 Festsetzungen ihn nötigenfalls
verifiziren.

Wir dürfen hienach nun mit einem Schlage die volle Vertrautheit
mit dem gesamten Formalismus des Aussagenkalkuls (implicite damit
zugleich also auch des identischen Kalkuls) beim Leser voraussetzen.

Und es erscheint mit dem Vorstehenden die wichtige Thatsache
gesichert: dass es uns jederzeit freistehen wird, die 1 als eine „wahre“,
die 0 als eine „falsche“ Aussage zu interpretiren — wo dann alle
wahren Aussagen als einander gleich („äquivalent“) zu gelten haben
werden, und ebenso alle falschen Aussagen — wofern wir zugleich
die Subsumtion zwischen Aussagen, sowie die Aussagennegation, das
Aussagenprodukt und die Aussagensumme, in der üblichen Weise
deuten.

Mit dieser Bemerkung ist den Verwendungen, die wir mit den-
selben Wertsymbolen 0 und 1 im Wertbereich der Relative noch be-
absichtigen, in keiner Weise vorgegriffen.

Der Studirende aber bleibe sich bewusst und halte fortgesetzt
sein Augenmerk darauf gerichtet, dass wenn nunmehr aus den ferner
hinzutretenden Festsetzungen werden Schlüsse, Folgerungen gezogen
werden, dieses Folgern stets nach den Gesetzen ebenjenes Aussagen-
kalkuls vor sich geht, dessen Grundlage die bisherigen Festsetzungen
[22]Zweite Vorlesung.
bilden, und welche keine andern sind als die der allgemeinen Logik
— auch der traditionellen, jedoch in ihrer knappsten und strengsten
Fassung.

Die vierte Konvention (2) formulirt zwar für Aussagen den Gegen-
satz von „wahr“ und „falsch“, bringt ihn als einen solchen auf die
knappste Weise zum Ausdruck. Bei Relativen jedoch wird dieselbe
erst dann eine wesentliche Rolle spielen, wenn partikulare Urteile in
Betracht gezogen werden, und kann man zuvor derselben längere Zeit
entraten.

Eine fernere Gruppe von — 7 — fundamentalen Festsetzungen ist
dazu bestimmt, das allgemeine „binäre Relativ“ und gewisse spezielle
Relative eben dieser (der zweiten) Ordnung zu definiren.

Mit diesen Konventionen treten wir eigentlich erst in die Algebra
„der Relative“ ein, sintemal die vorhergehenden noch den elementareren
Zweigen unsrer Disziplin der exakten Logik angehörten.

Die auch verbal zu gebenden Definitionen wollen wir alsbald mittelst
Ansatzes von Gleichungen formuliren. Die Gleichung involvirt zwei Sub-
sumtionen und setzt nach dem bei Konvention (1) aufgestellten Ideale
zum vollen Verständniss ihrer Tragweite eigentlich voraus, dass man schon
wisse, was eine Subsumtion zwischen zwei binären Relativen bedeute. Das
hinwiederum lässt sich nicht (gut) sagen, bevor man weiss, was unter
einem binären Relativ selbst zu verstehen ist. Wir wollen oder müssen
demnach die Frage nach dem Sinn einer Subsumtion zwischen Relativen
a und b vorläufig (bis an’s Ende der Aufzählung) zurückstellen und den
Begriff der Gleichheit, Identität — so, wie es überhaupt beim „Definiren“
üblich — hiernächst als den ursprünglichern gelten lassen. Ich möchte
sagen: „aus didaktischen Gründen“ doch mag man — worauf wenig Ge-
wicht zu legen sein dürfte — über das Zutreffende dieser Bezeichnung
verschiedener Meinung sein.

„Binäres Relativ“ nennen wir eine Summe von Elementepaaren,
hervorgehoben aus dem Denkbereich 12 — und zwar von keinen, von
irgendwelchen, oder auch von allen.

Als die allgemeine Form irgendeines binären Relativs a lässt sich
demnach hinstellen der Ausdruck:
(5)
— wo in der Summe Σi j die Indizes i und j unabhängig von einander
alle Elemente aus dem Denkbereiche 11 (als ihre Bedeutung oder
„Werte“) zu durchlaufen haben — sofern man nur die „Koeffizienten“
ai j (gesprochen: a tief ij), mit welchen die Elementepaare i : j (als
die zugehörigen „Konstituenten“) behaftet oder „multiplizirt“ erscheinen,
[23]§ 3. Summendarstellung der Relative.
auf den Bereich der beiden Werte 1 und 0 beschränkt, was die Formel
ausdrücken würde:
(5α)
und erstern Koeffizientenwert mittelst der Festsetzung
(5β)
das Vorhandensein von i : j als Glied der Summe garantiren, letzteren
Koeffizientenwert mittelst der [Festsetzung]
(5γ)
den Ausfall des Elementepaares i : j als eines Gliedes der Summe be-
wirken lässt.

Die „Relativkoeffizienten“, kenntlich an dem Suffixe, mit welchem
sie stets (in der Regel in Form eines doppelten Index) behaftet sind,
werden demnach den Gesetzen des reinen Aussagenkalkuls unterliegen.

Die Operationen und Knüpfungen welche an, mit oder zwischen
ihnen zu vollziehen sein werden, sind mit unsern ersten 15 Fest-
setzungen bereits vollständig erklärt und nach ihren Gesetzen geregelt.
Andre als die drei identischen Spezies (können und) werden nicht be-
züglich ihrer in Betracht kommen.

Mit einfachen Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabets, d. h.
mit solchen ohne Suffix, werden wir — im Gegensatz hierzu — fortan
immer binäre Relative darstellen; sogar mit jenen, die wir bereits für
die Darstellung der Indizes uns reservirt haben, und unbeschadet dieser
ihrer Verwendung, was allerdings noch näherer Erläuterung bedarf,
die später (nach und nach) wird gegeben werden.

Der Gleichung (5) für sich allein würde, wegen der ursprünglichen
Unerklärtheit der Koeffizienten ai j und von deren Wirkung, die Ver-
ständlichkeit noch abgehen, woferne man sie nicht in Verbindung mit
ihren verbalen Zusätzen oder Zusatzformeln nähme, welche — cf. (5α) —
jeden dieser Koeffizienten auf einen der beiden Werte 0 und 1 ver-
weisen, und die Wirkung solchen Faktors 1 oder 0 auf einen Kon-
stituenten mittelst (5β) und (5γ) erläutern. Rationeller Weise kann
man deshalb die vier Ansätze (5), (5α), (5β) und (5γ) doch nur als
„eine Festsetzung“ hinstellen, und zwar jene (5) nicht blos als Formel
betrachtet, sondern in Verbindung mit dem Worttexte genommen.

Namentlich ist hierbei unsre [nur der Übersicht zuliebe ebenfalls in
Formeln gesetzte] Erläuterung (5γ) eigentlich in der verbalen Fassung der
Theorie zugrunde gelegt zu denken, wonach für den Fall, wo ein Koeffi-
zient den Wert 0 besitzt, einfach der Ausfall des zugehörigen Konstitu-
[24]Zweite Vorlesung.
enten i : j als eines Gliedes der a zu nennenden Summe gefordert wird —
ansonst wir streng genommen genötigt sein würden auch noch den Satz
a + 0 = a für Relative a von vornherein zu postuliren, und zu dem kleinen
(übrigens in der That nicht sehr bedenklichen) Zirkel kämen, dass dieses
vorweg als eine Konvention stipulirte Postulat sich später doch aus den
noch hinzutretenden Konventionen beweisen lassen würde.

Einmal gesagt muss auch noch sein, dass bei mehrfachen Indizes,
wie ij, ijh, …, sei es im Suffixe von Σ oder Π Zeichen, sei es im
Suffixe eines Relativ-Symbols, wie a, ā, a + b, etc., die Elementbuchstaben
eigentlich durch Kommata getrennt zu denken sind — was wir ausdrück-
lich zu thun blos der Druck- und Raumersparniss halber unterlassen: im
Suffixe ist i j stets als Repräsentant von i,j und nicht etwa als „Produkt“
von i und j (welches ja allerdings korrekt mit i j darzustellen wäre) auf-
zufassen!

Da die Bezeichnung der Summationsvariabeln von vornherein
gleichgültig ist, nämlich dazu uns jeder nicht schon anderweitig ver-
gebene Name zur Verfügung steht, so konnten wir natürlich (5) auch
schreiben:
,
und zu solcher Abänderung der Indizesbenennung müssten wir behufs
Anwendung des Schema’s (5) jedenfalls schreiten in solchen Fällen,
wo etwa einer der Namen i und j (vielleicht zur Darstellung eines be-
stimmten Elementes) bereits anderweitig vergeben, nicht mehr dispo-
nibel wäre.

Für a kann aber auch b oder c, und so weiter, in (5) durchweg
gesetzt werden, kurzum ein jedes Symbol, sei es einfach oder zusammen-
gesetzt, welches uns ein binäres Relativ vorzustellen bestimmt ist oder
das wir unter die binären Relative aufnehmen. Die Konvention (5)
sollte als eine allgemeine hingestellt sein und das „Schema“ für alle
binären Relative abgeben.

Soferne also in den nachstehenden Gleichungen die Symbole linker-
hand uns als binäre Relative zu gelten haben werden, ist implicite mit
(5) zugleich schon folgendes festgesetzt:
— was zur Erleichterung des Verständnisses von allem Nachfolgenden
hiermit ausdrücklich statuirt sei. —

Weiss man für einen bestimmten Denkbereich zu jedem erdenk-
lichen Suffix ij, welcher Wert dem Koeffizienten ai j eines binären
Relatives a zukommt, nämlich ob derselbe = 0 oder ob er = 1 (für
ebendies gedachte Suffix ij) ist, so weiss man auch, welche Elemente-
paare in die Summe a ausschliesslich eingehen, man kennt die Art,
wie das binäre Relativ a sich aus individuellen binären Relativen des
Denkbereiches 12 zusammensetzt, m. a. W. man kennt das binäre
Relativ a selbst.

Ein Relativ kann durch die Angabe seiner sämtlichen Koeffizienten,
nämlich der Werte, die diesen zukommen, „bestimmt“, ausreichend be-
schrieben, bekannt gegeben werden. Zur Determination, völligen Be-
stimmung eines binären Relativs, m. a. W. zur „Definition“ eines spe-
ziellen binären Relativs genügt es und ist es im Hinblick auf (5) nur
mehr erforderlich, festzusetzen welche Werte seine Koeffizienten haben
sollen. Die Beschreibung, Spezifikation des Relativs reduzirt sich
fortan auf die Angabe, Spezifizirung seiner Koeffizienten.

Hienach ist klar, dass durch die folgenden 6 Festsetzungen
(6)

(7)

— oder, besser auseinandergelegt
(7) und
(8)
(9)
— welche für jedes Suffix i, j, beziehungsweise — bei (8) und (9) —
h, k getroffen zu denken sind — die Symbole 1, 0, 1', 0' und i sowie
i : j (auch) als „binäre Relative“ ihre Erklärung gefunden haben
werden.

Diese Festsetzungen bilden mit (5) zusammen die „zweite“ Gruppe
der fundamentalen Konventionen, und sehen wir uns dieselben zunächst
etwas näher an.

Die Symbole 1 und 0 sollen, wenn als Relative gedeutet, die beiden
identischen Moduln genannt werden.

Durch die erste Konvention (6) ist der identische Modul 1 (Eins)
zu einem binären Relativ gestempelt, welches mit dem Denkbereiche 12
zusammenfällt.

Er ist das Universum, die Vollsumme, das Totum oder Ganze des
[26]Zweite Vorlesung.
Denkbereichs, die Summe von allen seinen Individuen oder Elemente-
paaren.

Die zweite Konvention (6) stempelt den identischen Modul 0 (Null)
zu einem völlig leeren Relative, zu einem solchen nämlich, welches
gar kein Elementepaar unsres Denkbereiches 12 (und auch sonst nichts)
enthält.

Wir haben kraft (6) mit Rücksicht auf (5), (5β) und (5γ):

wo die letzte Gleichung, obwohl als rechte Seite derselben nichts zu
sehen ist, dennoch als eine vollständige Gleichung anzusehen wäre.
Rechte Seite ist hier eine Summe, deren sämtliche Glieder „ausfallen“,
d. h. in der That buchstäblich: „Nichts“. Um die Verwechselung mit
einer unfertigen Gleichung, deren rechte Seite erst noch herzustellen
wäre, zu vermeiden, muss in solchen Fällen, wo alle Glieder auf einer
Seite ausfallen, inskünftige stets das Symbol 0 eintreten.

Die identischen Moduln repräsentiren die äussersten oder Grenz-
fälle, die beiden Extreme unter den denkbaren binären Relativen. Kein
Relativ (innerhalb 12) kann mehr individuelle binäre Relative oder
Elementepaare enthalten als der Modul 1, keines kann deren weniger
enthalten als der Modul 0, und man könnte darum auch 1 als das
„Maximalrelativ“, 0 als das „Minimalrelativ“ hinstellen. Auf die Zu-
lässigkeit dieser Grenzfälle musste schon bei der allgemeinen Definition
eines binären Relativs hingewiesen werden

Ausser diesen beiden „identischen“ Moduln treten aber noch zwei
spezielle (binäre) Relative in der Theorie hervor, die sich durch die
beiden Konventionen (7) definirt finden, nämlich die beiden „relativen
Moduln“ 1' und 0' — gesprochen etwa: Einsap und Nullap (als Ab-
kürzung von „Eins-Apostroph“ etc.).

Wir haben für sie kraft (5) die Darstellungen:

Ist nämlich — links vom Mittelstriche — j ≠ i, so ist der Aussagen-
faktor (i = j) gleich 0 und fällt allemal das Glied i : j in der Summe aus.
Ist dagegen j = i, so hat der Aussagenfaktor (i = j) den Wert 1, und ist
das Glied i : j in der Summe vertreten. Dann aber dürfen wir für das j,
welches einerlei mit i, auch den Namen i verwenden, wonach die vorhan-
denen Glieder sich in der Form i : i darstellen werden, und diese sind nun
einfach für jedes i gebildet zu denken.

Das heisst nun: 1' ist die Summe „das Universum, der Bereich“
aller individuellen Selbstrelative des Denkbereichs 12, 0' ist die Summe
[27]§ 3. Relativkoeffizienten.
aller individuellen Aliorelative jenes Denkbereiches, bildet „das Univer-
sum der Aliorelative“ (vergl. § 9).

Unsre Theorie der binären Relative kennt sonach vier „Moduln“,
1, 0, 1', 0', deren Benennung als solche sich bald noch genauer moti-
viren lassen wird. —

Bevor wir in die Besprechung der Konvention (8) eintreten, sei
vorgreifend und als für die Algebra der Relative unwesentlich, dagegen
für die Logik der Relative, für ihre Interpretation und Anwendung
fundamental — somit hauptsächlich im Interesse der Anwendungen,
die wir zur Illustration schon in die Algebra einzuflechten beabsich-
tigen — das folgende bemerkt.

Die Relativkoeffizienten, welche wie betont dem Aussagenkalkul
unterliegen, werden sich jederzeit auch als Aussagen deuten, inter-
pretiren lassen, und zwar wird man lesen können:
.
Der Name a des binären Relativs gibt sich hienach als ein „relativer
Name“ zu erkennen (vergl. Bd. 1, S. 76 sq.) äquivalent mit: „ein a
von-“, wie „ein Liebender von-, Bild von-, Wirkung von-, Vater
von-“ etc., als ein Name, der zu seiner Vervollständigung noch der
Anfügung eines Korrelates bedarf. Dieselben Namen können aber auch
als „absolute“ gebraucht werden, indem man sprechen kann von „Lieben-
den, Bildern, Wirkungen, Vätern“ etc. — ohne Anfügung von Korrelaten.

Die wesentlich von Peirce aufgestellte Festsetzung (8) — der
ich nur diese ihre konziseste Fassung dortselbst gegeben — bildet nun
die Grundlage für den Übergang von jener Verwendungsweise der
Namen als relativer zu dieser, ihrer Verwendungsweise als absoluter
Namen, und umgekehrt.

Sie lehrt nämlich zunächst: irgendein Individuum oder Element i
des Denkbereichs 11 als ein binäres Relativ zu betrachten und darzu-
stellen. Und darnach wird sich denn späterhin von selbst ergeben,
auf welche Weise überhaupt ein „absoluter Term“ — nämlich ein
„System“ oder eine „Klasse“ als die identische Summe von Elementen,
Individuen i des Denkbereichs 11 — jederzeit darzustellen ist als ein
binäres Relativ; sowie umgekehrt: wie binäre Relative zu interpretiren
sind im ursprünglichen Denkbereiche, m. a. W. wie sie aus 12 in 11
zurückzudeuten sein werden.

Ich stehe nicht an, die Aufstellung dieser Konvention (8), so un-
scheinbar sie ist, für die höchste und belangreichste Leistung in der
ganzen Theorie zu erklären. Doch wird der Studirende in das volle
[28]Zweite Vorlesung.
Verständniss ihrer Tragweite, in ihre angemessene Handhabung und
Verwertung nur allmälig hereinzuwachsen in der Lage sein.

Für die Darstellung von i werden wir kraft (8) und (5) haben:
,
das heisst: i ist hingestellt als die Summe aller der Elementepaare,
welche i zum Relate haben; es umfasst das Relativ i gerade die Glieder,
welche in der Tafel 12in der mit dem Element i markirten Zeile stehen.

Die Algebra der binären Relative kann aber schon auf eine hohe
Stufe der Entwickelung gebracht werden, ohne dass jemals von der
Konvention (8) Gebrauch zu machen wäre. Es mag deshalb für den
Leser der Rat am Platze sein, für den ersten und allgemeinsten Teil
der Theorie diese Konvention vorderhand zu ignoriren; andernfalles
würden ihm wol Schwierigkeiten des Verständnisses in den Weg treten —
Einwürfe, die ihn irre machen, können sich aufdrängen, die er dann
selbständig und ohne Führer zu überkommen resp. zu entkräften hätte,
während wir im Systeme unsrer Theorie erst später daran kommen,
sie doch mit Leichtigkeit — weil systematisch — zu beseitigen. In
der vollständigen Aufzählung der formalen Grundlagen musste diese
Konvention (8) gleichwol ihre Stelle finden.

Die Konvention (9) läuft, nach den vorhergehenden: (7) links,
(5), und (3) links, wesentlich hinaus auf die Anerkennung der Gleichung
.
Sie lässt nämlich erkennen, dass der allgemeine Koeffizient
eines mit i : j zu bezeichnenden binären Relativs nur dann nicht ver-
schwindet, wenn die beiden Gleichungen h = i und k = j gleichzeitig
den Wahrheitswert 1 haben — wonach denn in der sechsten Doppel-
summe unsres „Korollars zu (5)“ nur das Elementepaar h : k nicht
ausfallen, stehen bleiben wird, bei welchem h = i und k = j bedeutet.

Mit andern Worten garantirt uns die Konvention (9) die Zulässig-
keit des Elementepaares i : j selbst als einer („eingliedrigen, mono-
mischen“) Summe von Elementepaaren; sie reiht die Elementepaare
förmlich ein unter die „binären Relative“ und gibt uns nachträglich
und ausdrücklich Indemnität dafür, dass wir uns vorweg die Freiheit
genommen, diese Elementepaare auch als „individuelle binäre Relative“
hinzustellen oder zu bezeichnen.

Gemäss einer bei Summen, Polynomen, Aggregaten der arithmetischen
Analysis längst eingebürgerten Gepflogenheit mochte wol die Erklärung des
[29]§ 3. Die fundamentalen Festsetzungen über die 6 Spezies.
binären Relativs, wie sie verbal unter (5) gegeben ist, von vornherein einer
so weiten Auffassung begegnen, dass man sich bei (9) — ähnlich wie auch
schon bei (6) — geneigt fühlen wird zu behaupten, diese Konventionen
seien als ausdrückliche gar nicht mehr erforderlich, vielmehr als Selbst-
verständlichkeiten bereits mit dem Übrigen gegeben. Ich will darüber mit
niemand rechten. Der deutlichen und bequemen Bezugnahme halber em-
pfiehlt es sich jedenfalls, beim Chiffriren der fundamentalen Konventionen
liberal, freigebig zuwerke zu gehn und lieber eine zuviel als eine zuwenig
aufzuführen.

Auch von der Konvention (9) wird die Theorie imstande sein lange
Zeit keinen wesentlichen Gebrauch zu machen.

Eine dritte Gruppe von — 6 — fundamentalen Festsetzungen
definirt diejenigen binären Relative, welche aus gegebenen vermittelst
der in § 1 erwähnten sechs Spezies oder Grundrechnungsarten ableitbar
sind; sie erklärt die Resultate dieser 6 Operationen (an oder mit binären
Relativen) als wiederum binäre Relative.

Dieselben lauten:
(10)

(11)
(12)

(13) ,
und sollen als allgemein, für jedes Suffix ij getroffene Vereinbarungen
verstanden werden, was aussagenrechnerisch bei jeder von diesen Kon-
ventionen — ähnlich wie schon bei denen (6) ‥ (9) der vorigen Gruppe —
eigentlich auszudrücken wäre durch ein Zeichen Πi j, vorangeschrieben
der alsdann in Klammern { } zu setzenden Aussage, durch welche vor-
stehend die Konvention statuirt erscheint — bei der letzten z. B.
mittelst: Πi j{ăi j = aj i}.

Im Hinblick auf das unter (5) Gesagte definiren die drei ersten
(10) und (11) von obigen Festsetzungen das identische Produkt a · b
oder ab, ferner die identische Summe a + b zweier Relative a und b,
sowie endlich das Negat („die Negation“) ā (gelesen: a strich) eines
Relativs a.

Weil nach bekannten Sätzen des Aussagenkalkuls — vergleiche
auch den Abacus (3) — obiges (ab)i j nur gleich 1 sein kann, wenn
ai j und bi j zugleich den Wert 1 haben, wogegen (a + b)i j allemal schon
gleich 1 sein wird, wenn ai j oder bi j den Wert 1 besitzt, so sieht man,
dass das identische Produkt ab dasjenige Relativ sein wird, welches
[30]Zweite Vorlesung.
die den Faktor-Relativen a und b gemeinsamen Elementepaare aus-
schliesslich enthält, wogegen die identische Summe a + b alle die Ele-
mentepaare, und diese allein, umfasst, welche entweder dem a oder
dem b, oder auch diesen beiden Summanden, angehören.

Das Negat ā oder „nicht-a von-“ eines binären Relativs a aber wird
kraft Konvention (4) gerade diejenigen Elementepaare des Denkbereichs
12 in sich vereinigen, welche in dem Neganden a unvertreten sind.

Die ersten 25 Festsetzungen (1) bis (11) zusammen mit der noch
ausstehenden Festsetzung (14), welche den Abschluss unsrer Aufzäh-
lung zu bilden hat, indem sie schliesslich die „Einordnung“ zwischen
binären Relativen definirt — diese 26 Konventionen werden sich als
die ausreichende formale Grundlage dafür erkennen lassen, dass die
binären Relative dem „identischen Kalkul“ unterworfen sind, wogegen
die „spezifischen“ Gesetze des Aussagenkalkuls keineswegs für sie zu
gelten brauchen.

Im Hinblick auf das unter (5) Gesagte definiren nun ferner die
drei letzten (12) und (13) von obigen Festsetzungen

zweier binären Relative a, b, und endlich:
das Konverse („die Konversion“) ă — gesprochen: a konvers —
eines binären Relativs a.

Die „relative Multiplikation“, welche aus zwei binären Relativen
a und b ein drittes binäres Relativ „a ; b“ ableitet, darf auch deren
Zusammensetzung oder Komposition genannt werden; wenn man indessen
auch die „relativen Faktoren“ a und b als die „Komponenten“ bezeichnen
mag, so würde doch der Name „Kompos(i)t“ oder „Kompot“ für
„relatives Produkt“ fataler Anklänge halber nicht annehmbar er-
scheinen — wogegen im englischen „compound“ angeht.

Die Festsetzungen (12) und (13) werden — später — sich aus den
Bedürfnissen des verbalen Denkens auch motiviren lassen. Was z. B. die
erste von diesen Festsetzungen betrifft, so pflegt schon das verbale Denken
auf Schritt und Tritt aus gegebenen Relativen wie „Liebender von-“ und
„Wohlthäter von-“ neue Relative, wie „Liebender von einem Wohlthäter
von-“ zusammenzusetzen.

Übrigens muss noch bemerkt werden, dass — wegen der Nicht-
kommutativität der relativen Knüpfungen — die beiden relativen Fak-
toren in ganz verschiedener Weise in den Begriff des relativen Pro-
duktes eingehen und darum wohl zu unterscheiden sind als „erster
relativer Faktor“, „relativer Vorfaktor“ oder „Multiplikand“ und „zweiter
[31]§ 3. Die relativen Operationen.
relativer Faktor“, „relativer Nachfaktor“ oder „Multiplikator“. Wenn
a ; b gebildet wird, werden wir zu sagen haben, dass man b mit a
„relativ vormultiplizire“, oder a mit b „relativ nachmultiplizire“. Ebenso
wird bei der Bildung einer relativen Summe a ɟ b der „erste (relative)
Summand“, das „erste relative Glied“ a zum „zweiten“ b „voraddirt“,
dieses zu jenem „nachaddirt“. Wenn von relativem Addiren oder „Sum-
miren“ (resp. Multipliziren) gegebener Terme schlechtweg gesprochen
wird, so muss man sich allemal die Reihenfolge derselben beibehalten
denken, in der sie angegeben wurden: man verknüpfe dann die Terme
in der Ordnung, in welcher sie Erwähnung gefunden haben.

Während das Konverse ă eines Relativs a leicht mit Worten zu
beschreiben ist: als dasjenige binäre Relativ, welches ausschliesslich in
sich vereinigt alle die individuellen binären Relative oder Elemente-
paare, die zu den in a enthaltenen „konvers“ sind (vergl. S. 10) — ist
die Bildungsweise von a ; b und a ɟ b eine verwickeltere, und behalten
wir uns vor, dieselbe an andrer Stelle noch eingehender zu betrachten.
Hiernächst sei nur hervorgehoben, dass diese beiden mittelst relativer
Knüpfung aus zwei gegebenen a, b zich zusammensetzenden Relative
in (12) definirt erscheinen durch die Art, wie ihre Koeffizienten aus
denen der beiden Terme a und b jeweils abzuleiten sind. Zu dem
Ende müssen diese letztern Koeffizienten auf jede erdenkliche Weise
aus den Zeilen von a und aus den Kolonnen von b entnommen und
nach Vorschrift der Formeln (11) miteinander verknüpft werden^*)
und zwar vermittelst „identischer“ Multiplikation resp. Addition, mithin
durch Rechnungsarten, die dem Operationskreise des Aussagenkalkuls
angehören. Auch zur Erklärung und zum Verständniss der beiden
relativen Knüpfungen ist lediglich die Kenntniss des Aussagenkalkuls
vonnöten.

Kraft des Abacus (3) — nebst (4) — sind die Operationen dieser
letztern Disziplin unbedingt ausführbare und liefern in jedem Falle
ihrer Anwendung ein „eindeutig“ oder unzweifelhaft bestimmtes Ergeb-
niss. Identisches Produkt und identische Summe irgend zweier Werte
aus dem Wertbereich 0, 1 ist in jedem Falle wieder ein ganz be-
stimmter Wert aus ebendiesem Wertbereiche — nicht minder wie das
Negat eines solchen. Die Ausdrücke sind „vollkommen eindeutige“, d. h.
„nie undeutig“ und „nie mehrdeutig“.

Und diese Eigenschaft überträgt sich offenbar auf unsre sechs
[32]Zweite Vorlesung.
Spezies, für die Ermittelung der Koeffizienten von deren Erzeugnisse
ein stets gangbarer Weg vorgezeichnet ist, nämlich ein bestimmtes
Verfahren vorgeschrieben erscheint, welches sich lediglich aus Pro-
zessen der vorerwähnten Art zusammensetzt — mit Ausnahme (wenn
man will) der Konversion, bei der an jener Statt eine blosse Ver-
tauschung der beiden Indizes einzutreten hat, die bewirkt, dass an die
Stelle eines Koeffizienten des Operanden a ein gewisser andrer von
dessen Koeffizienten tritt. Kurz, wir können jedenfalls sagen:

Die sechs Spezies unsrer Disziplin — die identischen gleichwie die
relativen Grundrechnungsarten — sind „vollkommen eindeutige“ Opera-
tionen. Sie sind in unserm Denkbereiche stets unbedingt ausführbar;
wenn a, b gegebene binäre Relative bedeuten, so sind die Symbole
welche die Resultate dieser Spezies als solche kennzeichnen, niemals
sinnlose oder undeutige Zeichen, auch niemals mehrdeutige Namen, d. h.
es kommt ihnen im Gebiete der binären Relative stets ein und nur
ein Wert — in völliger Bestimmtheit — zu.

So schätzbar dieser Fingerzeig in didaktischer Hinsicht für den in die
Theorie Eintretenden sein mag, soll derselbe hier doch nur als ein all-
gemeinphilosophischer Gesichtspunkt zur richtigen Erfassung der Theorie
betont sein. Als eine ihrer vornehmsten Aufgaben wird es dieser Theorie
ja zufallen, das Wesen der „Eindeutigkeit“, eindeutigen Zuordnung erst zu
ergründen, deren Begriff exakt zu formuliren und deren Gesetze zu dedu-
ziren. Zuvor dürfen auf einen Begriff von so abstrakt philosophischem
Klange, solang er noch von einem Nimbus phrasenhafter Unbestimmtheit
umflossen, hier nicht Schlüsse gegründet werden.

Als letzte unsrer fundamentalen Festsetzungen, welche wir hiermit
noch deren dritter Gruppe angliedern, ist hinzustellen: die Definition
der Einordnung, Subsumtion zwischen binären Relativen. Dieselbe lautet:
(14)
und führt den fraglichen Begriff zurück auf den bereits bekannten,
weil durch die Festsetzungen (2) erklärten, Begriff der Einordnung
zwischen den gleichstelligen Koeffizicnten ebendieser Relative. Von
zwei binären Relativen a und b ist a eingeordnet b, a ⋹ b dann und
nur dann zu nennen, wenn für jedes Suffix ij ist ai j ⋹ bi j. Darnach
wird also a ⋹ b besagen, dass alle Elementepaare von a sich unter
denen von b vorfinden. Wir sagen dann auch: a ist Teil (echter Teil
oder auch das Ganze) von b, ist in b enthalten.

Kraft (1) muss nun auch, wie leicht zu sehen, sein:
[33]§ 3. Einordnung und Gleichheit zwischen Relativen.
Korollar zu (14) (a = b) = Πi j(ai j = bi j)
— wonach denn zwei Relative dann und nur dann einander gleich zu
nennen sein werden, wenn sie in den gleichstelligen Koeffizienten über-
einstimmen, d. h. identisch die nämlichen Elementepaare ausschliesslich
umfassen.

Damit findet auch unsre oben noch verbal geführte Überlegung,
dass ein binäres Relativ durch seine Koeffizienten bestimmt sei, ihre
rechnerische Bestätigung, und es wird den bereits in Gleichungenform
gegebenen Festsetzungen (5) bis (13) durch (14) und (1) ihr voller
Inhalt gesichert.

Wenn gelegentlich auch von Beziehungen der Unterordnung wie a ⊂ b
(wo a „echter“ Teil von b zu nennen), vielleicht der Sekanz a  b, etc.
wird gesprochen werden, so können wir diese gleichwie die Beziehungen
a ≠ b (a ungleich b), a ⋹ b (a nicht eingeordnet b), gemäss Bd. 2 nun auch
als auf der Grundlage von (14) definirt erachten.

Zum Schlusse noch ein Wort der Rechtfertigung über die Ab-
weichungen meines Bezeichnungssystems von den Peirce’schen, resp.
dem uns am nächsten kommenden von diesen:

Wegen des nicht kommutativen Charakters der relativen Addition habe
ich das Piu-Zeichen unsymmetrisch gestaltet, während Peirce9c sich noch
mit dem steifen bei Todesanzeigen üblichen Kreuze behalf. Aus ähnlichem
Grunde ist für die relative Multiplikation der Strichpunkt, das Semikolon,
als ein unsymmetrisches Knüpfungszeichen von mir gewählt, während ich
die identische Multiplikation als eine kommutative Knüpfung auch sym-
metrisch ausdrücke, sei es vermittelst des Punktes als Malzeichens, sei es
— wie zumeist — durch einfaches Nebeneinanderstellen der Faktoren (ohne
ausdrückliches Verbindungszeichen). In letztrer Hinsicht weiche ich wesent-
lich von Peirce ab.

Peirce bezeichnet das identische Produkt mit „a,b“. Ganz abgesehen
davon, dass dieses Komma als Malzeichen für eine kommutative Knüpfung
wegen seiner Unsymmetrie hinsichtlich rechts und links als weniger geeignet
erscheint, muss ich solche Verwendung eines so häufig als Interpunktions-
zeichen gebrauchten Trennungszeichens nach wie vor für gänzlich unan-
nehmbar erklären wegen der Verwirrung die sie anzurichten nicht verfehlen
kann sowohl und vor allem im Texte, als auch in den Formeln, wo Funk-
tionen von mehreren Argumenten in Betracht kommen, die ja auch durch
Kommata zu trennen wären. Vergl. Bd. 1, S. 193 sq.

Die relative Multiplikation sodann drückt Peirce sozusagen symme-
trisch mittelst einfachen Nebeneinanderstellens der Faktoren aus. Hiezu
konnte ich mich schon darum, weil letztres Verfahren anderweitig vergeben
war, nicht mehr bequemen.

Allerdings lassen sich zwei Umstände zugunsten dieses Peirce’schen
Verfahrens anführen. Der eine ist geringfügiger Art: wird ein Relativ a
Schröder, Algebra der Relative. 3
[34]Zweite Vorlesung.
interpretirt als „ein a von-“ und zugleich, wie ich es vorschlage, das
Semikolon als „von“ gelesen, so scheint dann „a ; b“ als „ein a von von b“
gelesen werden zu müssen, wobei ich die tautologische Wiederholung des
„von“ begreiflich ablehne. Ich begegne dem Einwand, indem ich sage:
a kann sowohl als absoluter Term, wie als Relativ gedeutet werden; im
letztern Falle interpretirt man nicht sowohl a, als vielmehr eigentlich „a;“,
d. h. „a von-“ scilicet (von) irgend einem dahinter gesetzt zu denkenden
Korrelate.

Der zweite mehr in die Wagschale fallende Umstand ist dieser. Unter
den Begriff des binären Relativs fällt auch — wie wir sehen werden —
der Begriff der mathematischen Substitution, nicht minder wie derjenige der
Funktion. Man schreibt nun allerdings nicht „f ; x“ für eine Funktion von
x, „f(x)“, jedoch auch ebensowenig „fx“. Und ferner wird die relative
Multiplikation der Substitutionen keine andre als deren eigentliche Multi-
plikation sein, welche die Substitutionentheorie ohne Knüpfungszeichen durch
das blosse Nebeneinanderstellen der Faktor-Symbole schon längst aus-
zudrücken pflegt. Der Vorteile einer so einfachen Bezeichnungsweise will
nun auch ich die Substitutionentheorie — solange sie (wie bisher) immer
nur mit der einen Operation des gewöhnlichen (also „relativen“) Multipli-
zirens der Substitutionen zu schaffen hat, keineswegs berauben. Verein-
fachende Abweichungen von der systematischen Bezeichnungsweise zugunsten
eines spezielleren Forschungsgebietes sind in einem solchen jederzeit zu-
lässig, aber auch dessen Gepflogenheiten für eine so sehr viel allgemeinere
Disziplin nicht maassgebend.

GegenPeirce spricht hierbei ferner noch der Umstand, dass mittelst
einfachen Nebeneinanderstellens der Terme bei ihm doch (gleichwie bei mir)
das Produkt von Koeffizienten sowie Aussagen dargestellt wird, sodass also
bei ihm, je nachdem a und b Relative oder Aussagen bedeuten, die
Knüpfungen ab nicht durchaus denselben Gesetzen unterliegen, Verwechse-
lungen näher gelegt erscheinen. Die Koeffizienten werden sich zudem, obwol
sie Aussagen sind, auch als (binäre, sogenannte „ausgezeichnete“) Relative
darstellen lassen! (Siehe Ende des § 25).

Der „relative Modul“ 1' — der in der That sich deckt mit der „iden-
tischen Substitution“ 1 der Substitutionentheorie — wird von Peirce auch
mit 1 selbst (ohne meinen Apostroph) bezeichnet — was nur darum bei
ihm angängig, weil Peirce auch meinen „identischen“ oder „absoluten
Modul“ 1 durch das Symbol ∞ (unendlich) ersetzt — nicht ohne aber für
die Koeffizienten und Aussagen wieder meine (d. i. die Boole’sche) 1 bei-
zubehalten! Gegen diese Verwendung des ∞ glaube ich mich in Bd. 1,
S. 274 sq. hinreichend ausführlich geäussert zu haben, wozu noch kommt,
dass wir hier des ∞ auch noch zu ganz andern Zwecken — mehr im
mathematischen Sinne — bedürfen werden, und dass die schönen Analogieen
zwischen den absoluten und den relativen Moduln in Peirce’s Bezeich-
nungssystem verschleiert, im meinigen besser zutage treten. Den relativen
Modul 0' stellt Peirce dar durch ein gothisches n (wonicht das latei-
nische n) als dem Anfangsbuchstaben von „naught“ oder „nought“ (nichts).

Den fundamentalen Festsetzungen könnten (was anfangs unter-
blieb) endlich noch diejenigen zugezählt werden, welche die Verwen-
dungsweise des Produkt- und Summenzeichens
Π und Σ
erklären und regeln.

Unter dem „laufenden Zeiger“ (d. i. der „Produktations“- resp. „Sum-
mations-Variabeln“) u stellen wir uns ein Relativsymbol vor, welchem
alle Werte aus einem bestimmten (als irgendwie gegeben zu denkenden)
Wertbereiche beigelegt werden sollen. Dieser Wertbereich heisst die
„Erstreckung“ des „nach u genommenen“ „Produktes Π“, resp. der
„Summe Σ“, und wird im allgemeinsten Falle eine wohldefinirte „Klasse“
von (binären) Relativen sein.

Unter dem „allgemeinen Term (Faktor resp. Summand)“ des Pro-
duktes resp. der Summe — welcher immer hinter diesem Zeichen
zu erblicken ist — stellen wir uns irgend eine „Funktion von u“, f(u)
vor, d. h. einen Ausdruck, welcher in irgendwie gegebner Weise ver-
mittelst lauter Operationen aus der Gruppe der sechs Spezies unsrer
Disziplin aufgebaut ist aus u selber und irgendwelchen andern Rela-
tiven a, b, c, …, x, y, …, deren Bedeutungen (Werte) aber, auch
wenn die Bedeutung von u (innerhalb jener Erstreckung) wechselt,
stets konstant festgehalten werden müssen. Diese letzteren Relative
heissen — im Gegensatz zum „Argument“ u — die „Parameter“ der
Funktion f(u), und können sowol als allgemeine Relative aufgefasst
werden, wie auch spezielle Werte haben, insbesondre können sie oder
einzelne von ihnen auch durch Moduln vertreten sein.

Alsdann wird die Funktion f(u) selbst ein binäres Relativ sein,
dessen Wert für jeden angenommenen Wert von u und fixirte Werte
der allgemeinen Buchstabenparameter ein völlig bestimmter sein muss
— aus dem Grunde, weil auch die Ergebnisse der den Ausdruck f(u) zu-
sammensetzenden, in ihm vorgeschrieben erscheinenden Operationen oder
Spezies durch unsre Festsetzungen als binäre Relative jeweils eindeutig
erklärt worden. In der That wird sich auch der allgemeine Koeffizient
zum Suffix ij dieses Relativs f(u) vermittelst kombinirter Anwendung
unsrer 6 Schemata (10) bis (13) durch die allgemeinen Koeffizienten
des Argumentes u und sämtlicher Parameter nach einem vollkommen
bestimmt vorgeschriebnen Verfahren als eine Aussagenfunktion der-
selben unschwer darstellen lassen. Mit f(u) zugleich kennen wir also
für jedes ij auch dessen Relativkoeffizienten {f(u)}i j.

Es handelt sich nun darum auch die Symbole:
3*
[36]Zweite Vorlesung.
als binäre Relative zu erklären. Diese Erklärung hat, wie immer, zu
erfolgen vermittelst allgemeiner Angabe ihrer Koeffizienten. Und letz-
tere leisten im vorliegenden Falle die beiden Festsetzungen:
(15)

welche für jedes Suffix ij hiermit „ausgemacht“ sein sollen.

Diesen Festsetzungen werden wir im § 6 auch die einfachere Fassung
zu geben vermögen:
(15)

.
Rechnet man dieselben hinzu, so werden wir im Ganzen 29 + 2 = 31 funda-
mentale Festsetzungen zu zählen gehabt haben.

In der That kann über den Sinn und Wert der Koeffizienten-
(id est Aussagen)produkte oder Summen rechterhand, durch welchen
unser Koeffizient zur linken eben explizirt werden soll, in keinem Falle
mehr ein Zweifel bestehen.

Im Hinblick auf die in unsrer neunten Vorlesung (§ 23 und 24) ver-
folgten Ziele ist es jedoch wichtig, letzteres noch eingehender zu erörtern
und namentlich die Überzeugung zu gewinnen, dass es zur Evaluation
solcher Aussagen-Π und Σ keineswegs erforderlich ist, den Begriff von
Aussagenprodukt Π (resp. -summe Σ) etwa dadurch etablirt zu denken,
dass man denselben so, wie es in Anhang 3 des Bd. 1 gesehah — aufgrund
der mittelst „Schlusses von n auf n + 1“ von dreien auf beliebig (auch
unbegrenzt) viele Terme ausgedehnten Assoziationsgesetze der Aussagen-
multiplikation und Addition — fundirt, nämlich „induktorisch“ gewinnt.
Vielmehr genügt es, zur Aufstellung dieses Begriffes und zur Begründung
der vornehmsten auf ihn bezüglichen Sätze, schon: auch nur das Recht in
Anspruch zu nehmen, eine Überlegung allgemein zu führen, nämlich in uni-
versalen und Existenzialurteilen überhaupt zu denken.

Wir gehen darum auf die Rolle der Π und Σ im Aussagenkalkul
hiernächst noch etwas näher ein.

Die Begriffe beider sollen hier als selbständig (independent, nicht
rekurrirend oder induktorisch) aufgestellte zugrund gelegt sein, wie
folgt. Stellt Au irgend eine auf ein Gedankending u bezügliche Aus-
sage, eine „Aussage über u“ vor, so hat uns von den beiden Symbolen
— erstreckt über einen irgendwie gegebnen Bereich von „Werten“ als
den dem Symbole u unterzulegenden Bedeutungen — von diesen beiden
hat uns das erstre vorzustellen: die Aussage, dass Au für jedes dieser
Objekte u (innerhalb der „Erstreckung“) zutrifft, das letztre aber: die
[37]§ 3. Aussagenschemata.
Aussage, dass Au für gewisse u (innerhalb dieser Erstreckung) zutrifft,
mithin dass es mindestens ein u im Erstreckungsbereiche gibt, für
welches Au zutrifft.

Hienach wird der Aussage der Wahrheitswert 1 immer dann
und nur dann zukommen, wenn, für jedes der gedachten u, Au = 1 ist,
der Wahrheitswert 0 dagegen, falls es unter jenen mindestens ein u
gibt, für welches Au nicht zutrifft, wo also Au = 0 ist.

Der Aussage wird der Wahrheitswert 1 schon zukommen,
wenn es im Erstreckungsbereiche nur überhaupt ein u gibt, für welches
Au = 1 ist, dagegen wird ihr der Wahrheitswert 0 dann und nur
dann zukommen, wenn es daselbst kein solches u gibt, d. h. wenn für
jedes u des Erstreckungsbereiches Au nicht zutrifft, Au = 0 ist.

Stellt demnach v einen Wert vor, beliebig hervorgehoben aus dem
Erstreckungsbereiche für u, so müssen wir haben:
oder kürzer:
α)
womit auch gegeben ist:
β)

.
Letzteres zeigt, dass für jeden Wert (v oder u) aus dem Erstreckungs-
bereiche der sogenannte „allgemeine Faktor“ Au des Aussagen-Π auch
angesehen und hingestellt werden kann als ein wirklicher („eigent-
licher“) „Faktor“ des ohne Π-zeichen als ein „binäres“ (zweifaktoriges)
bereits anderweitig erklärten Aussagen-„Produktes“ im engsten Sinne;
und ebenso, dass das sog. „allgemeine Glied“ einer Aussagen-Σ auch
wirklicher (oder „eigentlicher“) Summand ist einer binomischen Aus-
sagensumme, d. h. einer Aussagensumme im engsten Sinne, als welche
sich eben unsre Aussagen-Σ jederzeit muss hinstellen lassen.

Ferner erkennt man im Hinblick auf das oben Gesagte als un-
mittelbar einleuchtend, dass die Negation an unsern Aussagen-Π und Σ
nach folgenden Schemata „auszuführen“ ist:
γ)

.

Und in dem hier bethätigten „dictum de omni et de nullo“, durch
welches wir die sämtlichen vorstehenden Formeln gewinnen (deren An-
erkennung wir ja fordern müssen), ist nicht etwa ein wirkliches „Axiom“
zu erblicken; vielmehr hat das dictum nur den Charakter eines „Prin-
[38]Zweite Vorlesung.
zips“ (im Sinne des Bd. 1); es vertritt uns nämlich — und ist in der
That weiter nichts, als: — die Erklärung der Begriffe:

• „jedes“ (every) u, resp.
• „einige“ oder „gewisse“ u^*) (sive „überhaupt ein“ u, kürzer: „ein
  u“, some u, an u)

— welche Erklärung anders „förmlich“, als eine „regelrechte Definition“,
wol nicht gegeben zu werden vermöchte. Vergl. S. 67 sq.

Umfasst der Erstreckungsbereich von u blos ein Objekt v, so ist leicht zu
sehn, dass die Bedeutung sowol des ΠA als des ΣA alsdann die auf dieses
eine v bezügliche Aussage A selbst sein wird, nämlich dass
alsdann sein wird. Die Π und Σ bestehen hier nur aus einem Term, sind
„monomisch“.

Umfasst der Erstreckungsbereich von u gerade zwei Objekte v und w,
so erkennt man ebensoleicht, dass dann die Bedeutung von
zusammenfällt mit derjenigen vom, durch den Abacus (3) bereits (ohne Π
und Σ-zeichen) erklärten binären Produkte, resp. der binären (= binomischen)
Summe der auf v und w bezüglichen beiden Einzelaussagen.

Umfasst — um es nur mehr für das Π auszusprechen — der Er-
streckungsbereich genau drei Objekte, welche uns für den Augenblick die
Buchstaben u, v, w repräsentiren mögen, so liesse sich ähnlich einsehn,
dass die Bedeutung des ΠA zusammenfällt mit dem — aufgrund des
Assoziationsgesetzes der Aussagenmultiplikation — als der übereinstim-
mende Wert der beiden binären Aussagenprodukte Au(AvAw) und (AuAv)Aw
erklärten ternären (dreifaktorigen) Produkte AuAvAw, und so weiter.

Für einen auf eine beliebige „Anzahl“, eine „endliche Menge“ von
Objekten u beschränkten, „begrenzten“ Erstreckungsbereich nun ähnlich
darzuthun, dass das Aussagen-Π sich auch mittelst successiven immer nur
binären Multiplizirens zwischen seinen Faktoraussagen aus diesen ableiten
lässt, dies auch zu statuiren und davon wesentlich Gebrauch zu machen,
können wir in unsrer Theorie sehr wohl unterlassen, uns dessen enthalten,
wenigstens bis dahin, wo in der neunten Vorlesung der „Schluss von n
auf n + 1“ seine strenge Begründung gefunden haben wird. Sobald aber
letztere erfolgt ist, wird auch die angeregte Sache als mit einem Schlage
durch unsern Anhang 3 des Bd. 1 vorweg erledigt zu betrachten sein.

[Noch weniger aber brauchen wir zuvor auch davon noch Notiz zu
nehmen, dass für einen aus einer „unbegrenzten“ und zwar „einfach unend-
lichen“ Reihe von diskreten Objekten u bestehenden Erstreckungsbereich,
[39]§ 3. Aussagenschemata.
unser ΠA sich auch sozusagen als ein „Grenzwert“ mittelst unbegrenzt
fortzusetzenden binären Multiplizirens aus den Faktoraussagen ableiten
lassen würde!]

Ist Au unabhängig von, konstant bezüglich u, das heisst: ist in
der Aussage, welche hier als allgemeiner Term figurirt, von u gar nicht
die Rede, so mögen wir (auch in den Formeln) das Suffix u bei der
Aussage Au als belanglos unterdrücken, dieselbe blos mit A selbst
darstellen. Alsdann gilt wiederum selbstverständlicherweise:
δ) .
Ist ebenso Bu eine auf u bezügliche und B eine bezüglich u konstante
Aussage, so haben wir ferner die Schemata:
ε)

welche beiden sich zu dem allgemeinern Schema zusammenfassen
lassen:
oder auch zu dem noch allgemeinern:
ζ) ,
worin der Erstreckungsbereich für v ein beliebig andrer als der für u
sein mag.

Analog zu vorstehenden Peirce’schen gelten aber auch die (meine)
beiden Schemata:
η)

die sich zu dem allgemeinern:
sowie zu dem noch allgemeinern:
ϑ)
zusammenfassen lassen.

Spezialisirt man in ε) und η) A = 1 (indem man hernach A für
das verbleibende B sagt) oder B = 0, so ergeben sich die Schemata:
ι)

von welchen das erste und letzte im Hinblick auf das „spezifizische
Prinzip“ des Aussagenkalkuls
[40]Zweite Vorlesung.
(A = 1) = A
sich als nichtssagend darstellen, die beiden andern aber von der häu-
figsten Anwendung sind.

Endlich ist, als von häufigstem Gebrauche, noch das Aussagen-
schema anzuführen:
κ)
worin von den beiden mittleren, den untereinander stehenden Subsum-
tionen, sei es als Thesis (Behauptung, Folgerung) sei es als Hypothesis
(Voraussetzung, Bedingung) blos die eine (oder die andre) genommen
zu werden braucht. Dieselben gestatten namentlich das überschiebende
Produktiren sowie Summiren von für den Erstreckungsbereich allge-
gemein geltenden Subsumtionen, etc.

Hiermit haben wir wol die wichtigsten Schemata oder Sätze des
Aussagenkalkuls soweit sie Aussagen-Π und Σ betreffen, rekapitu-
lirt und zur Bequemlichkeit des Studirenden übersichtlichst zusammen-
gestellt — solche jedenfalls, mit denen (und ein paar sogleich folgenden
Beiträgen) sich wird auskommen lassen.

Sie sind ausdrücklich oder in nuce in Bd. 2 schon vorgekommen,
wenngleich etwas zerstreut (ibid. S. 40, 180, 194, 258, 261, u. a.). Man
erkennt in α) die Theoreme 6) des Bd. 1 und 2 wieder, in β) nah lie-
gende Korollare dazu kraft R. Grassmann’s Theoremen 20), in γ) De
Morgan’s Theoreme 36), in δ) die Tautologiegesetze 14), in ε) die Bd.
1 und 2 mit (3) chiffrirte (dort) „Definition“ von Peirce, in η) aber
das von mir Bd. 2 S. 258 (als blos für Aussagen gültig) dazu gelieferte
Gegenstück, in ι) das Th. 24) nebst einem Bd. 2, S. 261 dazu gelieferten
(blos für Aussagen gültigen) Gegenstück, in κ) endlich Erweiterungen der
Theoreme 17).

Nicht mitangeführt sind noch die Distributionsgesetze für die
Aussagen Π und Σ:
λ)

nebst ihren Erweiterungen zur Multiplikationsregel für (Aussagen-)
Polynome und deren dualem Gegenstück:
μ)

.
Das Pendant zu λ):
ν)

versteht sich aus δ) von selbst nach den Identitäten:
[41]§ 3. Aussagenschemata.
ξ)

deren jeweilig letzte jedoch nur gilt sofern u und v die nämliche Er-
streckung haben.

Auch würden sich über mehrfache Summen und Produkte noch
weitre Schemata anreihen lassen.

Als bemerkenswertester neuer schliesst sich diesen der von Herrn
Peirce aufgestellte Satz an:

Stellt Au,v eine auf zwei Objekte u und v bezügliche Aussage vor,
welche je in einem eignen Erstreckungsbereiche variabel gedacht wer-
den sollen, so ist stets
ο)
— worin natürlich das Symbol Au,v auch a priori durch das Av,u er-
setzbar.

Gibt es nämlich mindestens ein u derart, dass für dieses u und
jedes v die Aussage A gilt, so wird es auch für jedes v mindestens
ein u geben (nämlich eben das genannte) derart, dass von beiden die
Aussage A zutrifft. Der Schluss ist jedoch augenscheinlich nicht um-
kehrbar.

Wir werden aber die gedachten Schemata vorwiegend, wenn nicht
ausschliesslich, auf solche Objekte u, v, ‥ anzuwenden bekommen,
welche nicht sowol allgemeine Relative, als vielmehr blos „Elemente“
i, j, ‥ sive „Individuen des ersten Denkbereiches“ sind. In solchem
Falle hängen wir, anstatt sie unter das Σ oder Π zu schreiben, die
laufenden Zeiger den Σ und Π (wie bisher schon) als Suffixum an.

Um nicht Überflüssiges zu leisten und uns zu sehr zu wiederholen,
wollen wir deshalb die einschlägigen oder noch ausstehenden von den be-
achtenswertern Schemata blos mit obiger Beschränkung und erst in § 7
in’s Auge fassen.

Schon bei dieser Beschränkung der laufenden Zeiger auf Elemente
sei jedoch darauf hingewiesen und betont, dass der Erstreckungsbereich
unsrer Aussagen-Π und Σ allemal auch ein „Kontinuum“ sein darf, wie
es beispielsweise die reellen Zahlen, oder die Punkte einer Geraden ins-
gesamt bilden. In solchen Fällen bleiben die Zeichen Π und Σ definitiv
unentbehrlich und würde es nimmermehr thunlich sein, das mittelst des
Π (z. B.) „symbolisch“ dargestellte Aussagenprodukt als ein „aktuelles“
Produkt mit allen seinen Faktoren explicite hinzuschreiben.

Stets werden es in unsrer Theorie — wenn nicht blosse Aus-
sagen-Produkte resp. Summen — so doch „identische“ Produkte Π und
Summen Σ sein, welche uns diese Zeichen darstellen helfen. M. a. W.
die Zeichen Π, Σ werden als solche nur für die erste Hauptstufe von
[42]Zweite Vorlesung.
uns verwendet: um eine identische Multiplikation resp. Addition von
(zumeist unbegrenzt vielen) Relativen anzudeuten.

Sollten jemals diese Symbole zur Abkürzung auch von relativen
Produkten und Summen in Bedarf kommen, so werden wir sie uns
zur Unterscheidung (ähnlich wie die Moduln) in Gestalt von Π', Σ'
mit einem Apostroph versehen. Begreiflich wird jedoch solche Ver-
wendung noch eingehendere Vorbetrachtungen, eventuell gerichtet auf
die Bestimmung des allgemeinen Koeffizienten, erheischen.

Die oben resumirten Aussagenschemata α) ‥ ο) muss der Studi-
rende [so wie wir es unter ο) zur Illustration ausgeführt] sich gründlich
überlegen und dieselben in succum et sanguinem aufzunehmen suchen.

Ein Übriges wird die Übung, die unsre Theorie gewährt, hin-
zuthun.

§ 4. Die Matrix eines Relativs und deren Augen. Beispiele.
Geometrische Repräsentation. Die dreifachen Evidenzen.

Wir sahen: zur völligen Bestimmung, Determination oder un-
zweifelhaften Beschreibung eines (binären) Relativs in gegebnem Denk-
bereiche (12) genügt die Angabe seiner Koeffizienten. Die mit Bezug
auf die Elementepaare der Tafel 12 in Reihen geordnet zusammen-
gestellten, je als 0 oder aber 1 spezifizirten Werte der Koeffizienten:
1)
eines speziellen Relativs a bilden die sogenannte „Matrix“ desselben,
und kann auch ohne jene Spezifizirung das vorstehende Schema
wol als die Matrix eines allgemeinen binären Relativs a bezeichnet
werden.

Man mag die Matrizen der Relative zwischen zwei vertikale, soge-
nannte „Kolonnenstriche“ einschliessen, wonach sie gerade so aussehen
werden, wie „Determinanten“, deren sämtliche „Elemente“ nur „Nullen
oder Einser“ wären. Wird Unterscheidung von Determinanten auch im
Äusserlichen gewünscht, so kann man unten die Kolonnenstriche noch mit
einem Horizontalstriche behufs Hufeisen- oder U-förmiger Umrahmung der
Matrix verbinden — der obere Teil muss für den Negationsstrich und event.
das Konversionshyphen frei bleiben.

Mit dem Relativ zugleich ist seine Matrix bekannt, und umgekehrt.
[43]§ 4. Matrix eines Relativs und deren Augen.
Für viele Zwecke ist es aber bequemer, nur von dessen Matrix zu
reden, blos diese zu schildern.

Beispielsweise wenn für einen Denkbereich von 4 Elementen A, B, C, D
die Matrix eines Relativs a die folgende ist, so wird das Relativ den da-
neben angegebnen Wert haben:
2)
und umgekehrt ist auch aus der rechts für a gemachten Angabe — selbst
wenn die Glieder gänzlich zusammengerückt sein sollten — mit Leichtig-
keit das Schema zur Linken als die Matrix von a zu entnehmen.

Man ermisst hier bereits, welche Druckersparniss durch die Angabe
ihrer Matrizes an Stelle der Relative selbst erzielt zu werden vermag.

Der Vorgang besitzt ein bemerkenswertes Analogon und Präzedens in
der Arithmetik bei der üblichen Darstellung der natürlichen Zahlen im
dekadischen Zahlensysteme. Daselbst ist eine natürliche Zahl ja eigentlich
ein Aggregat oder Polynom, welches nach fallenden Potenzen der Grund-
zahl Zehn unsres Zahlensystems geordnet ist und als dessen Koeffizienten
lauter „Ziffern“ auftreten, wie z. B.
,
.

Aus der Wahrnehmung nun, dass in dieser Weise dargestellt alle
Zahlen in einem gewissen (nach links weit genug fortgesetzt zu denkenden)
„Gerippe“:
… + ‥ × 103 + ‥ × 102 + ‥ × 101 + ‥ × 100
übereinstimmen, entspringt die Berechtigung ebendieses Gerippe als selbst-
verständlich zu unterdrücken und die Zahlen mittelst einfachen Nebenein-
anderstellens ihrer Ziffern (nämlich der Polynom-Koeffizienten) darzustellen
— so, wie es links in den Klammern vorgreifend für sie angegeben ist —
somit jene Schreibersparniss zu verwirklichen, die durch die Einführung
der Ziffer 0 erst ermöglicht worden.

Ganz ähnlich in der That lassen wir hier beim Übergang von
den Relativen zu ihrer Matrix weg: das Gerippe der Konstituenten
oder Elementepaare (samt den sie verbindenden Pluszeichen) und be-
halten als das, was eben das Unterscheidende ist für verschiedene Re-
lative (im gegebenen Denkbereiche), blos das System ihrer Koeffi-
zienten bei — wobei es ebenfalls zur unzweifelhaften Darstellung der
Relative erforderlich ist oder wenigstens zur Deutlichkeit ihrer Be-
[44]Zweite Vorlesung.
schreibung beitragen wird, dass der Ausfall, das Fehlen gewisser
Elementepaare oder Konstituenten durch Nullkoeffizienten markirt
werde.

Man könnte nun die Koeffizienten eines Relativs auch als die
„Elemente“ seiner Matrix bezeichnen; doch wollen wir um jeden Doppel-
sinn zu vermeiden, hier blos von „Stellen“ der Matrix reden.

Eine mit 1 besetzte Stelle der Matrix soll schlechtweg eine besetzte
Stelle, eine „Vollstelle“ oder auch ein „Auge“ derselben genannt werden;
jede mit einer 0 besetzte Stelle derselben heisse eine unbesetzte Stelle
oder „Leerstelle“ — eventuell „Lücke“.

Wol weniger gut qualifiziren sich — weil auf der zu speziellen An-
schauung von einer Lotterie beruhend — die Benennungen „Treffer“ und
„Niete“.

Auch die Bezeichnung als „Stift“ und „Loch“ oder „Kontakt“ und
„Unterbrechung“ — bei denen an die Möglichkeit einer (sicherlich bevor-
stehenden!) mechanischen oder maschinellen Ausführung der relativen Ope-
rationen, eventuell unter Beihülfe der Elektrotechnik, zu denken wäre —
dürften vorderhand als „vorgreifende“ beiseite zu lassen sein.

Zur Darstellung von binären Relativen vermittelst ihrer Matrix
empfiehlt sich ungemein die Verwendung von „karrirtem Papiere“.
Man kann die Zeilen eines solchen Blattes mit den Namen A, B, C, …
der Elemente des Denkbereiches 11 markiren und ebendiese Namen
auch den vertikalen Linien zur Überschrift geben. Die Gitterpunkte
markiren alsdann die „Stellen“ der Matrix.

In solchem Falle ist es nur erforderlich, ist es ausreichend, die
als Vollstellen zu kennzeichnenden Gitterpunkte (in Druck oder Schrift)
mit einem fetten oder schwarzen Punkte zu besetzen — vergleichbar
den „Augen“ eines Dominosteines oder Würfels im Spiele; die unbe-
setzt gelassenen Gitterpunkte geben sich dann von selbst als die Leer-
stellen der Matrix zu erkennen.

Auf diese Weise würde beispielsweise die Matrix des
obigen Relativs sich als die nebenstehende Figur präsentiren.

Die Vor- und Überschriften der Reihen kann man eventuell
als selbstverständliche auch weglassen.

Dies vorausgeschickt wird nun der Leser praktisch
am schnellsten von der Natur eines „binären Relativs“
sich einen richtigen Begriff verschaffen, wenn er sich ein wenig ver-
tieft in den Anblick der beiden folgenden Figuren, durch welche ich für
einen Denkbereich 11, bestehend aus den natürlichen Zahlen 0, 1, 2,
3, 4 … die Relative „Teiler von-“ und „teilerfremd mit“ (d. h. „relativ
prim zu-“) vermittelst ihrer Matrix dargestellt habe.

Wenn ich bei Exemplifikationen auf den Denkbereich der Zahlen die
bekannten Zeichen für die Zahlen Null und Eins mit einem Tupfen ver-
sehe, so geschieht dies natürlich blos ad hoc, zum Zwecke ihrer Unter-
scheidung von den beiden Wahrheitswerten der Aussagen sowie auch von
den absoluten Moduln unsrer Theorie. Und bei dem so spärlichen Vor-
kommen dieser Symbole als Zahlzeichen in unserm Buche erwächst daraus
auch wie figura zeigt keine nennenswerte Belästigung. Keineswegs jedoch
soll damit etwa auf eine allgemeinere Annahme solcher Gepflogenheiten
in der Arithmetik und anderwärts hingewirkt oder dafür plädirt werden.
Im Gegenteil, ich müsste dringend davor warnen: der Studirende, welcher
die Zahl Eins stets mit Tupfen schreibt, muss im schriftlichen Rechnen
hinter Andern zurückbleiben.

Die Elemente i, j sind hier natürliche Zahlen. Um die Darstellung
Fig. 2 des Relativs „Teiler von-“ zu gewinnen, hat man sich für jede
Stelle, wo eine mit i markirt gedachte Zeile von der Kolonne zu einem j
geschnitten wird, die Frage vorzulegen: Ist i ein Teiler von j? Im Be-
jahungsfalle ist der Gitterpunkt mit einem Auge zu besetzen, im Ver-
neinungsfalle unbesetzt zu lassen. Man erhält so ein Tableau, das an das
„Sieb des Eratosthenes“ cribrum Eratosthenis (behufs Auffindung der
Primzahlen) erinnert. Dasselbe veranschaulicht für das Gebiet der natür-
lichen Zahlen den ganzen Umfang des (relativen) Begriffes „Teiler von-“
(einer Zahl).

Jede Zahl ist Teiler von sich selbst, weshalb denn die Hauptdiagonale
voll mit Augen besetzt ist. Unser Relativ — t mag es für den Augen-
blick heissen — enthält alle individuellen Selbstrelative unsres Denk-
bereiches, begreift sie unter sich: es ist 1' ⋹ t. Unser t ist in Peirce’s
Ausdrucksweise sowol Selbstrelativ als Negat eines Aliorelativs. Die Zahl
Null (0̇) ist sonst — ausser von sich selbst — Teiler von keiner Zahl,
darum die erste Horizontallinie sonst eine leere. Dagegen ist jede Zahl
Teiler von Null, geht in der Null ohne Rest (und zwar nullmal) auf, darum
die erste Vertikallinie eine vollbesetzte, eine „Vollkolonne“. Die Zahl
Eins (1̇) geht in jeder Zahl auf, daher die zweite Zeile überall mit Augen
besetzt, eine „Vollzeile“. Auch in jeder folgenden Zeile bilden die Augen
eine Reihe von äquidistanten Punkten — mit immer grösserem Abstande.
Ebenso erscheinen sie aber auch auf Strahlen gereiht, die vom Anfangs-
punkt der Hauptdiagonale ihren Ausgang nehmen und sich asymptotisch
der ersten Horizontale nähern. …

Das Relativ t ist ein hervorragendes Beispiel zu derjenigen Klasse
von Relativen, die wir, weil t ; t ⋹ t ist, „transitive“ zu nennen haben: ein
„Teiler von einem Teiler von“ (einer Zahl) ist immer auch ein „Teiler
von“ (ebendieser Zahl). Es ist hier sogar (weil auch das Umgekehrte
gilt): t ; t = t.

Um die Darstellung Fig. 3 des Relativs p = „teilerfremd mit-“ zu
gewinnen, muss man sich ebenso für jeden Gitterpunkt die Frage vor-
legen: Ist das Element i, welches die Zeile markirt, d. h. die Zahl i,
teilerfremd (relativ prim) mit der Zahl j, welche die Kolonne markirt? —
um im Bejahungsfalle ein Auge einzutragen. Dabei darf bekanntlich die
Zahl Eins als ein allen Zahlen selbstverständlich „gemeinsamer“ Teiler als
[47]§ 4. Beispiele von Relativen.
solcher nicht berücksichtigt werden. Die Frage ist also: haben i und j
noch (einen) gemeinsame(n) Teiler ausser der 1̇? Im Verneinungsfalle
sind sie „teilerfremd“ zu nennen.

Gewöhnlich wird der Begriff aber nur auf die Zahlen von 2 an auf-
wärts angewendet und haben wir nur für diese die Augen als fette in die
Figur eingetragen.

Bei Einbeziehung, indessen, auch der Zahlen 0̇ und 1̇ würden als mit
Augen zu besetzende auch noch diejenigen Gitterpunkte in Betracht kom-
men, die sich in der Figur mit hohlen Ringeln (unfett) markirt finden.

Bei der ganz strengen Fassung des Begriffes, wie sie oben durch die ent-
scheidende „Frage“ charakterisirt erscheint, muss in der That dann jede
Zahl zur Eins, und auch diese zu sich selber, teilerfremd genannt werden,
auf welch letzteren Umstand das (einzige) Ringelchen auf der Haupt-
diagonale hinweist.

Für den engeren Denkbereich (der Zahlen von 2 an) gilt jedoch: dass
[48]Zweite Vorlesung.
keine Zahl teilerfremd mit sich selbst ist; bei dem Relativ mit fetten
Augen bleibt die Hauptdiagonale eine unbesetzte oder leere und ist p ⋹ 0',
unser p enthält nur individuelle Aliorelative und ist deshalb, in Peirce’s
Terminologie, selbst ein „Aliorelativ“ zu nennen.

Das Relativ p exemplifizirt zudem jene Klasse von binären Relativen,
welche eine „gegenseitige“ Beziehung zum fundamentum relationis haben,
es ist p ein „symmetrisches“ (nach Einigen auch: „umkehrbares“, „konver-
tibles“) Relativ — symmetrisch inbezug auf die Hauptdiagonale — indem
p̆ = p ist.

Aus den bisherigen Betrachtungen erhellt, dass — äusserlich ge-
nommen (m. a. W. in der suppositio nominalis, cf. Bd. 1, S. 44) — binäre
Relative „Namen“ sind, welche, sei es mit bestimmtem, sei es mit offen
gelassnem unbestimmten Korrelate, sowol als Subjekt, wie als Prädikat
von kategorischen Urteilen figuriren können.

Als Prädikat finden sich solche schon mehrfach illustrirt. Der Satz:
Ein Teiler von einer Zahl ist (weil Teiler auch von sich selber) immer
zugleich Teiler von einem Teiler dieser Zahl — dieser Satz illustrirt auch
als Subjekt unser Relativ „Teiler von-“.

„Relative“ also sind nicht etwa Aussagen; vielmehr sind sie wirk-
lich Namen von Dingen. Sie sind aber — nach Mill so zu nennende —
„mitbezeichnende“ oder „konnotative“ Namen^*), d. h. Namen, welche eine
Aussage involviren.

Das durch Angabe seiner Matrix Fig. 2 spezifizirte Relativ „Teiler
von“ — z. B. — gibt erschöpfend die Antwort auf die „Doppelfrage“:
welche natürliche Zahlen Teiler sind von welchen natürlichen Zahlen.

Die durch das spezifizirte Relativ mitabgegebne Aussage ist eine
völlig bestimmte, sobald das fundamentum relationis gegeben ist. Als-
dann haben nämlich die Gleichungen, vermittelst deren wir die Koeffi-
zienten als = 0 oder = 1 spezifiziren, auch einen bestimmten Sinn.
Und das aus diesen Gleichungen gebildete Aussagenprodukt ist die von
unserm Relativ involvirte Aussage.

So involvirt das als erstes Beispiel gebrachte und durch Fig. 1 dar-
gestellte Relativ die Aussage:
3) (aA A = 0)(aA B = 1)(aA C = 0)(aA D = 1) .
. (aB A = 1)(aB B = 1)(aB C = 0)(aB D = 0) .
. (aC A = 1)(aC B = 1)(aC C = 1)(aC D = 0) .
. (aD A = 0)(aD B = 1)(aD C = 0)(aD D = 0)
und gibt, wenn etwa a = „amans“ = „Liebender von-“ bedeutet, die Ant-
wort auf die Frage: welche von den Personen A, B, C, D unsres Denk-
[49]§ 4. Beispiele. Konnotativität.
bereiches welche Personen lieben? — und zwar dahingehend, dass A den B
und den D liebt, B den A und sich selber, C den A, den B und sich
selber, D den B, sonst aber (von den Genannten) niemand jemanden (aus
ihrer Mitte) liebt.

Ich habe die vorstehenden Beispiele gebracht, um vorweg das
Interesse des Lesers für die Relative zu erregen, deren richtige Auf-
fassung wenigstens anzubahnen. Über die hierbei in Betracht kom-
menden und zum Teil erst flüchtig gestreiften Dinge werden wir uns
in dem spezifisch logischen Teil unsrer Disziplin noch eingehender zu
verbreiten haben.

Zur Stelle muss ich nur über den „konnotativen“ Charakter der
relativen Namen zur Berichtigung noch folgendes aussprechen.

Wenn ich mich in Bd. 1 gegen eine Einteilung der Namen in
„mitbezeichnende (konnotative)“ und „nichtkonnotative“ ablehnend ver-
halten habe, so geschah dies insofern mit Recht, als solche Einteilung
— wie sich zeigen wird — zusammenfallen würde mit der Einteilung
der Namen in absolute und relative, die wir ohnehin adoptirten.

Zu weit bin ich aber gegangen — und hat dies auch ein Kritiker
(Herr Husserl1) beanstandet — indem ich durch die (wie ich fand
und noch finde) unzutreffend gewählten Beispiele Mill’s mich verleiten
liess, auch dem Begriffe der Konnotativität eines Namens die Berech-
tigung abzusprechen (Bd. 1, S. 62). Auf dem durch die Bearbeitung
der Theorie der Relative gewonnenen Standpunkte kann ich nicht um-
hin, diesem Begriffe eine gewisse Bedeutung zuzuerkennen, welche wie
mir scheint gerade durch die Logik der Relative erst in das rechte
Licht gesetzt wird. (Darüber später noch Näheres!)

Als fernere Illustrationen von Relativen durch ihre Matrizes sollen
die der vier Moduln (S. 50) hergesetzt werden — für den Fall der
Verwendbarkeit von karrirtem Papiere.

Die Matrix des absoluten oder identischen Moduls 1 ist durchaus
vollbesetzt, trägt an jedem Gitterpunkte ein Auge; die Matrix von 0
ist eine durchaus leere (enthält blos Leerstellen). Die Matrix des
relativen Moduls 1' hat die Hauptdiagonale mit Augen vollbesetzt,
ausserhalb dieser Linie aber lauter Leerstellen; bei der Matrix von 0'
ist es umgekehrt: da enthält die Hauptdiagonale lauter Leerstellen
während der ganze Aussenraum derselben mit Augen voll besetzt ist.

Man sieht auch hier, dass die Angabe der Matrix einfacher ist,
als wie die der Relative 1', 0' selbst (die 1 und 0 wurden bereits in
extenso angegeben, S. 11 und 26):
Schröder, Algebra der Relative. 4
[50]Zweite Vorlesung.
4)

Ganz nebenher sei auch schon hier bemerkt, dass es freistehn wird,
die absoluten Moduln 1 und 0 als „etwas“ (resp. „etwas von“) — eine

Kategorie unter welche „Alles“ fällt — und „nichts“ (resp. „nichts von“)
zu deuten — übrigens sehr cum grano salis.

a ; 1 könnte also mit Worten beschrieben werden als a, zusammen-
gedacht mit (bei Peirce minder genau: „coexistent with“) irgend etwas. Etc.
Genaueres siehe im logischen Teile.

Der relative Modul 1' aber kann als „einerlei, identisch mit“, „gleich“
oder „selbst“ (identical with), der 0' als „ein andres als“ (other than),
„ungleich mit“, „verschieden von“ gedeutet werden.

Kraft Festsetzung (8) des § 3 haben wir ferner noch:
5) i = i : A + i : B + i : C + i : D + …
und besteht hienach die Matrix des Elementes oder Individuums i des
Denkbereiches 11, wenn dasselbe als binäres Relativ aufgefasst, im
Denkbereiche 12 gedeutet wird, aus lauter leeren oder unbesetzten Zeilen
mit Ausnahme der einen mit i markirten Zeile, in der nun alle Stellen
mit Augen voll besetzt sein werden.

Die nebenstehende Figur stellt beispielsweise
die Matrix des Elementes D vor. — Die Matrix des
Elementepaars oder individuellen binären Rela-
tivs i : j trägt kraft Festsetzung (9) blos an
der einen Stelle, wo die ite Zeile sich mit der
jten Kolonne schneidet, ein Auge, während sie
überall sonst nur Leerstellen aufweist. Man könnte
sie füglich als „Einauge“ („Punkt“) charakteri-

siren. Wir überlassen es dem Leser sie sich zu veranschaulichen.

Umfasst der Denkbereich 11 eine begrenzte Menge, eine „Anzahl“
von Individuen i, so besteht die Matrix jedes binären Relativs aus
n × n = n2 Stellen, deren jede entweder mit 1 oder mit 0 besetzt zu
denken ist, d. h. leer sein oder aber ein Auge tragen wird.

Die Mannigfaltigkeit der alsdann möglichen oder denkbaren binären
Relative ist in solchem Falle ebenfalls eine endlich begrenzte, und zwar
ist die AnzahI dieser Relative, wie leicht zu sehen,
mithin 16 bei n = 2, ferner 512 bei n = 3 und 65536 bei n = 4, etc.

Umfasst dagegen der Denkbereich 11 eine unbegrenzte Menge von
Elementen i, so wird auch die Mannigfaltigkeit der möglichen binären
Relative eine unendlich grosse.

Die Begriffe: „endlich“, „Anzahl“, „unendlich“ und insbesondre „ein-
fach unendlich“ sowie „mehrfach unendlich“ werden ja systematisch erst
später einzuführen und strenge zu definiren sein. Doch muss behufs Be-
sprechung der geometrischen Veranschaulichung unsrer Relative vermittelst
ihrer Matrizen hier vorgreifend von diesen Begriffen schon ein populärer
Gebrauch gemacht werden.

Nur bei „einfach unendlichem“ Denkbereiche 11, d. h. populär ge-
sprochen: falls die natürlichen (oder auch die ganzen) Zahlen zur
Numerirung seiner Elemente ausreichen würden, genügen auch die
4*
[52]Zweite Vorlesung.
Gitterpunkte (eines unbegrenzt zu denkenden Blattes) von karrirtem
Papiere um die Matrixstellen aller binären Relative zu repräsentiren.

Das quadratische Schema der Matrix eines solchen Relativs, wie
wir es bei endlichem Denkbereiche hatten, degenerirt alsdann, indem
es mindestens nach rechts und unten unbegrenzt bleibt, in ein den
Winkelraum eines Rechten oder Quadranten erfüllendes Schema von in
Reihen geordneten Stellen, deren jede für sich entweder unbesetzt ist
oder ein Auge trägt. (Es kann jedoch auch dieses Schema nach links
und oben so fortgesetzt werden, dass es die ganze Ebene überdeckt.)

Bilden dagegen die Elemente des Denkbereiches 11 als eine mehr-
fach unendliche Mannigfaltigkeit etwa ein „Kontinuum“, so empfiehlt
es sich zumeist, diese Elemente den Punkten einer (begrenzten oder
unbegrenzten) geraden Linie eindeutig zugeordnet zu denken. Die Mög-
lichkeit solcher Zuordnung zu den Punkten einer geraden Linie oder
auch schon Strecke ist ja für jeden stetigen unendlichen wenn auch
mehrdimensionalen Denkbereich in der Georg Cantor’schen „Mannig-
faltigkeitslehre“ mathematisch bewiesen (so namentlich für alle Punkte
des Raumes). Doch mögen wir — davon absehend — sie hiernächst
einfach zur Voraussetzung erheben.

Ein hervorragendes Interesse wird somit jedenfalls die Supposition
beanspruchen dürfen, wo als Elemente (oder Repräsentanten der Ele-
mente) des Denkbereiches 11 die sämtlichen Punkte einer unbegrenzten
— sagen wir horizontalen — Geraden angesehen werden können, sodass
in dem ursprünglichen Denkbereiche das Element i irgend einen Punkt
dieser Geraden markirt.

Wir können alsdann in bekannter Weise auch die reellen Zahlen
zur Bestimmung unsrer Elemente i verwenden, die genannte Gerade
als die x-Axe eines rechtwinkligen Koordinatensystems in der Ebene hin-
stellen, deren positive Seite sich rechts von einem in ihr angenommenen
Ursprunge (oder Nullpunkte) befindet, und können von da die positive
y-Axe nach unten gehen lassen.

Für den Denkbereich der zweiten Ordnung, 12, wird alsdann jeder
Punkt der Koordinatenebene eine Matrixstelle repräsentiren und als
Träger zu dienen haben für den Koeffizienten eines ganz bestimmten
Elementepaares. Und zwar des Elementepaares i : j, wenn in ihm die
mit i (auf der y-Axe) markirte Horizontallinie oder Zeile zusammentrifft
mit der mit j (auf der x-Axe) markirten Kolonne — kurz wenn i als
Ordinate und j als Abszisse die rechtwinkligen Koordinaten des ge-
dachten Punktes sind.

Eine den Koeffizienten 1 tragende Matrixstelle wird als ein „Auge“
[53]§ 4. Geometrische Repräsentation der Relative.
fortan ein mittelst schwarzen Druckes hervorzuhebender Punkt sein,
wogegen eine den Koeffizienten 0 tragende Matrixstelle weiss, unbedruckt
zu bleiben hat. Die Augen der Matrix eines binären Relativs bilden
somit irgend eine Figur in der Koordinatenebene und umgekehrt wird
jede Figur in der Ebene — wie immer sie auch aus Punkten, Linien
(Kurven) und eventuell auch Flächen zusammengesetzt sei — sich
ansehen lassen als die Matrix eines (durch sie völlig bestimmten) binären
Relatives.

Die Theorie der binären Relative gewinnt bei dieser Veranschau-
lichungsweise den Reiz sich zu präsentiren als eine ganz eigentümliche
Form von
„analytischer Geometrie der Ebene“.
Wir werden sie kurz „die geometrische Repräsentation“ der Relative nennen.

Insbesondre wird nun die ganze schwarz bedruckte Ebene den
Modul 1, dieselbe, weiss oder unbedruckt gelassen, den Modul 0 reprä-
sentiren. Der Modul 1' ist (schwarz ausgezogen gedacht) die den
Koordinatenwinkel halbirende Gerade (deren Gleichung in der gewöhn-
lichen Darstellung y = x wäre), das ist die (eine) „Symmetriegerade“ der
beiden Koordinatenaxen, welche immer noch den Namen „Hauptdiago-
nale“ weiter führen mag. Der Modul 0' ist die ganze Aussenfläche
eben dieser Symmetriegeraden (d. h. sonst die ganze Ebene schwarz
bedruckt gedacht und nur die Hauptdiagonale weiss gelassen).

Das „Element“ i als binäres Relativ gedeutet ist Funktionskurve
einer konstanten Funktion, nämlich die im Abstand i zur x-Axe parallele
Gerade, als deren Gleichung gemeinhin y = i anzusetzen wäre.

Ein einzelner Punkt aber in der Ebene (auch wenn er auf der
x-Axe gelegen) repräsentirt — wenn schwarz bedruckt oder hervor-
gehoben gedacht — allemal jetzt (d. h. für den Denkbereich 12) ein
„individuelles binäres Relativ“ oder „Elementepaar“ i : j (und nicht mehr,
wie oben sub 11, ein Element i selber).

Dieser geometrischen Repräsentation der binären Relative durch
Punktsysteme („Gebiete“) in der Ebene ordnen offenbar auch die vor-
hergehenden Matrixdarstellungen (bei endlichem oder einfach unend-
lichem Denkbereiche) sich ein, indem sie eben nur einen Teil der ver-
fügbaren Koordinatenebene in Anspruch nehmen — sodass wir für alle
Fälle werden von der geometrischen Repräsentation reden und Gebrauch
machen können.

Interessant ist es z. B. sich zu vergegenwärtigen, welche Figur das
S. 45 sq. betrachtete Relativ „Teiler von-“ für unser Kontinuum bilden wird.
Der Begriff des Teilers ist ja in der That längst von den ganzen auch auf
[54]Zweite Vorlesung.
beliebige Zahlen ausgedehnt: a ist Teiler von b, sooft b/a eine ganze Zahl
ist. Darnach sieht man leicht, dass die Figur ein Büschel wird von unend-
lich vielen (voll ausgezogenen) diskreten Geraden (Doppelstrahlen), die vom
Ursprunge ausgehen und sich der x-Axe asymptotisch nähern — und zwar
symmetrisch zu beiden Seiten der y-Axe, welche selbst zu dem Büschel
gehört, wogegen die x-Axe frei bleibt. Es wäre nicht schwer auch „die
Gleichung“ dieser Geradenschar aufzustellen.

Im Anschluss an diese Betrachtungen müssen wir jetzt auch die
Frage beantworten, als welche Figuren — wenn die geometrische Re-
präsentation der binären Relative a und b bekannt ist — sich die
Resultate der sechs Spezies:
ā, ab, a + b, ă, a ; b, a ɟ b
nunmehr darstellen werden?

Es leuchtet sofort ein, dass die drei ersten von diesen Ausdrücken
die aus dem identischen Kalkul bekannte Bedeutung haben.

Das Negat ā von a hat ausschliesslich die Leerstellen von a mit
Augen besetzt; seine geometrische Repräsentation wird erhalten, indem
man in der Figur von a sozusagen schwarz und weiss vertauscht; die
Figur von ā ist die Aussenfigur derjenigen von a.

Das identische Produkt ab stellt sich geometrisch dar als der
Schnitt (Dedekind’s „Gemeinheit“) der Figuren a und b; es ist der
Inbegriff, die Gesamtheit der den Relativen a und b gemeinsamen Punkte
oder Augen. Man lasse also behufs Bildung von ab alle die Punkte
(Augen) weg, die blos dem einen oder blos dem andern der beiden
Relative a, b angehören. Die Matrix von ab enthält ausschliesslich
diejenigen Augen, welche dem Relativ a und dem Relativ b zugleich
angehören
— in bekannter Analogie mit dem grössten gemeinschaftlichen Divisor zweier
Zahlen, insofern ab das weiteste (umfassendste, ausgedehnteste, „grösste“,
augenreichste) Relativ sein wird, welches sowol in a als in b enthalten ist.

Die identische Summe a + b stellt sich geometrisch dar als die
Figur, das Punktsystem, zu welchem die Figuren von a und von b
einander gegenseitig ergänzen. Die Zeichnung zu dieser Figur wird
erhalten, indem man beide Figuren — die von a und die von b — in
die Ebene einträgt, die eine sozusagen über die andre hinweg druckend;
die doppelt bedruckten Stellen werden dabei gleichwie die blos einfach
bedruckten nur eben schlechtweg schwarz erscheinen. Die Matrix von
a + b umfasst ausschliesslich diejenigen Augen, welche dem Relativ a
oder dem Relativ b angehören.

In Analogie zu dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier
Zahlen wird a + b das engste (mindestumfassende, „kleinste“, augenärmste)
Relativ sein, welches sowol a als b in sich enthält.

Besteht überhaupt zwischen zwei Relativen die Beziehung der Ein-
ordnung, ist a ⋹ b, so wird die Matrix von a Teil sein (echter Teil
oder das Ganze) von der Matrix von b. Die Figur von a liegt alsdann
ganz in der Figur, dem Punktsysteme von b, d. h. wirklich innerhalb
derselben, oder aber indem sie sich mit demselben deckt). M. a. W. Die
Figur von b enthält, begreift in sich die Figur von a.

Die geometrische Repräsentation des Konversen ă zu einem ge-
gebenen Relativ a wird ferner erhalten, indem man die Matrix, Figur
von a umklappt um die Hauptdiagonale, sodass von den beiden positiven
Axenrichtungen, der x- und der y-Axe, eine jede in diejenige Lage
kommt, welche zuvor die andre inne hatte. Dem Analysten ist das
Umklappen von Determinanten, dem Geometer die Vertauschung der
Koordinatenaxen ein längst geläufiger Prozess.

Mehr neu und unsrer Disziplin eigentümlich sind die Prozesse der
beiden relativen Knüpfungen, wenngleich auch sie in der Analysis schon
ein Präzedenz besitzen in Gestalt der „Zusammensetzung von Funk-
tionen“ — noch allgemeiner: in der Elimination einer Variabeln aus
zwei Gleichungen oder Ungleichungen. Diese Operationen sind auch
von verwickelterem Charakter wie die vorhergehenden. Um zu ent-
scheiden, ob das relative Produkt c = a ; b an
einer bestimmten Stelle, die dem Elementepaar
i : j entspricht (in der Sprache der analytischen
Geometrie: an der Stelle x = j, y = i) ein Auge
trägt oder nicht, hat man sich die Kolonne j des
Relativs b so über die Zeile i des Relativs a
umgelegt zu denken, dass das obere Ende, der
Fusspunkt jener Kolonne in der x-Axe auf den
linkseitigen Anfang oder Fusspunkt dieser Zeile
auf der y-Axe zu liegen kommt. Fallen dann

irgendwo zwei Augen zusammen, kommt nämlich ein Auge von a zur
Deckung mit einem Auge von b, indem eben beide in ihrer Reihe
(Zeile resp. Kolonne) die gleiche (hte) Stelle einnehmen, so ist ci j = 1,
d. h. c an der fraglichen Stelle mit einem Auge zu versehen, andern-
falles behält c daselbst eine Leerstelle.

Bei dem gleichen Verfahren des Superponirens, Übereinanderlegens
wird die relative Summe d = a ɟ b immer und nur dann an der Stelle ij
ein Auge bekommen, wenn auf jede Stelle der iten Zeile ein Auge zu
liegen kommt — sei es ein solches von a allein, sei es eines nur
von b, sei es auch in Deckstellung ein Auge von a zusammen mit
einem Auge von b.

Für gewöhnlich wird man sich die gegebnen Relative in verschiedene
Blätter eintragen, weil bei Eintragung in das nämliche Blatt betreffs irgend
eines Auges zweifelhaft erschiene, ob es als ein Auge von a oder als ein
solches von b anzusehen ist. Bei Eintragung der Figuren von a und b in
einunddasselbe Blatt würde die Deutlichkeit erfordern, dass man die Augen
von a von denen von b etwa als Tupfen und Kreuze, am besten vielleicht
(als Tupfen) durch verschiedene Färbung unterscheide — wobei aus rot
und blau z. B. in Fällen der Deckung violett entstünde (sofern man nicht
vorzieht, die linke Hälfte des Tupfens alsdann rot, die rechte blau zu
zeichnen, oder auch die gefärbten Augentupfen des einen Relativs, die-
jenigen des andern an Grösse übertreffen zu lassen).

Bei solcher Eintragung liesse sich die Ermittelung des ci j und di j
dadurch gewinnen, dass man die Schenkel eines rechten Winkels h, h aus
der Anfangslage des Axensystems in Parallelbewegung mit seinem Scheitel
der Hauptdiagonale entlang (eventuell blos durch deren Gitterpunkte hin-
durch) führte. Nur wenn mindestens einmal diese Schenkel gleichzeitig
ein Auge treffen und zwar eines von a auf der iten Zeile, und eines von b
auf der jten Kolonne, nur dann wird ci j mit einem Auge zu versehen sein —
sobald dies jedoch für eine Lage unsres rechten Winkels erkannt ist,
braucht dessen Gleitbewegung nicht weiter fortgesetzt zu werden; alsdann
ist nämlich für das dieser Lage entsprechende h erkannt, dass ai hbh j = 1
ist und kann nach dem Abacus (3) das Hinzutreten noch weitrer Glieder
0 oder 1 in der Summe Σhai hbh j, als welche ci j = (a ; b)i j definirt ist, an
diesem Ergebniss nichts mehr ändern; die Summe muss = 1 sein, sobald
auch nur ein Glied derselben = 1 ist.

Dagegen wird di j = (a ɟ b)i j = Πh(ai h + bh j) = 1 also mit einem Auge
zu versehen sein, immer und nur dann, wenn für jede Lage des gleitenden
rechten Winkels (eventuell nur an den durch die Gitterpunkte der Haupt-
diagonale gebotenen Stationen) mindestens einer seiner beiden Schenkel
ein Auge trifft und zwar der vertikale Schenkel ein Auge des Relativs a
in dessen iter Zeile oder der horizontale Schenkel ein Auge von b in dessen
jter Kolonne. Versagt dies Kennzeichen für eine Lage des rechten Winkels
(nämlich auch nur für einen Gitterpunkt der Hauptdiagonale), indem beide
Schenkel auf den zugehörigen Fluchten kein solches Auge treffen, so
braucht diesmal wiederum die Gleitbewegung nicht weiter fortgesetzt zu
werden; alsdann ist nämlich erkannt, dass der eine Faktor ai h + bh j = 0 ist,
was das Verschwinden des ganzen Produktes bedingt, als welches di j
definirt wurde.

Übrigens ist anzuraten, dass der Studirende sich an Beispielen für
Denkbereiche von nur wenig Elementen darauf einübe, die relativen
[57]§ 4. Relative Knüpfung, an den Matrizes vollzogen.
Knüpfungen an durch ihre Matrizes gegebenen Relativen zu vollziehen. Den
Schematismus oder die Technik des Verfahrens sich anzueignen ist in der
That nicht schwer, und genügt es schon, dieselbe für einen Denkbereich 1 ⅓
aus drei Elementen zu erfassen: Bezeichnen wir in Gestalt von
die (Koeffizienten 1 vertretenden) Augen, sowie die (Nullkoeffizienten reprä-
sentirenden) Leerstellen der Matrix für den Augenblick mit chiffrirten Buch-
staben, so wird die Matrix des relativen Produktes nach folgendem Vor-
bilde erhalten:
und ist die Matrix von a ɟ b dual entsprechend zu bilden, sodass z. B.
(a1 + α1)(a2 + β1)(a3 + γ1) deren Anfangselement sein wird, u. s. w.

Darnach werden wir beispielsweise für
und mag man für letzteres die Probe machen, dass:
.

Allerdings wäre bei der Eintönigkeit des rein mechanischen Verfahrens
eine maschinelle Auṡführung desselben sehr zu wünschen — und wird
solche beim weitern Fortschreiten unsrer Disziplin auch sicherlich nicht
ausbleiben.

Nach alledem ist, wenn a und b zwei Figuren in der Koordinatenebene
bedeuten, auch die Figur vollkommen bestimmt, welche das Relativ a ; b,
desgleichen diejenige, welche das Relativ a ɟ b vorstellen wird.

Was ist nun z. B. eine Kreislinie „von“ einer Kreislinie, sowie eine
Kreisfläche „von“ einer Kreislinie, oder wiederum „von“ einer Kreisfläche (etc.)?

Herr Gustav Mie hatte die Güte, sich mit diesen Fragen zu beschäf-
tigen und veranschaulichen die Figuren 10 bis 17 für verschiedene nach
Lage und Grösse charakteristische Annahmen der beiden gegebenen Kreise
a, b die spezielleren Resultate seiner dankenswerten Untersuchung.

Bevor wir noch das zur nähern Erläuterung dieser Figuren Erforder-
liche sagen, wollen wir auch die allgemeineren Ergebnisse dieser Unter-
suchung — für den Mathematiker — statuiren.

Sind im rechtwinkligen Koordinatensystem der Ebene
y = f(x) und y = φ(x)
[58]Zweite Vorlesung.
die Gleichungen zweier Kurven, die wir mit den verwendeten Funktions-
buchstaben f und φ selbst kurz bezeichnen wollen, so ist
y = f{φ(x)},
mithin die Resultante der Elimination von h aus den beiden Gleichungen:
y = f(h), h = φ(x),
die Gleichung der Kurve, als welche sich uns das Relativ „f ; φ“, also
„f von φ“, darstellt.

Die zu einem relativen Produkte a ; b sich „zusammensetzenden“ Fak-
toren a = f, b = φ sind hier „Funktionen im Sinne der Mathematik“ und
das relative Produkt a ; b = f ; φ ist „die aus beiden zusammengesetzte Funk-
tion“ — das Wort „Funktion“ im gleichen Sinne genommen. Dieser Sinn
ist, nebenbei gesagt, ein etwas weiterer als derjenige, in welchem das Wort
„Funktion“ in unsrer Theorie späterhin zu gebrauchen sein wird, wo näm-
lich gelegentliche Undeutigkeit sowie Mehrdeutigkeit (der Zuordnung der
y-Werte zu den x-Werten) strengstens ausgeschlossen bleiben muss.

Sind — noch allgemeiner gesprochen —
Φ(x, y) = 0 und Ψ(x, y) = 0
die Gleichungen zweier Kurven, welche selbst wieder mit den gleichnamigen
Funktionsbuchstaben Φ und Ψ bezeichnet und unter den binären Relativen
a und b demnächst verstanden werden mögen, so wird die Gleichung der
als a ; b = Φ ; Ψ zu bezeichnenden Kurve einfach erhalten, indem man eine
Variable h aus den beiden als zusammenbestehend gedachten Gleichungen
Φ(h, y) = 0, Ψ(x, h) = 0
eliminirt.

Wird ferner für die eine oder für die andre der beiden Kurven (oder für
beide) die von ihr begrenzte Fläche genommen, als welche bekanntlich —
für die erstere sei es gesagt — diejenige gilt, deren Punkte x, y der Un-
gleichung Φ(x, y) \< 0 genügen, so braucht in dem vorstehend Gesagten
nur das betreffende Gleichheitszeichen durch das Zeichen \<, das Wort
„Gleichung, Kurve“ eventuell durch „Ungleichung, Fläche“ ersetzt zu werden.
Auch hat man das Zeichen ≦ (kleiner oder gleich) zu nehmen, falls das
zusammensetzende Relativ etwa die Fläche der Kurve mitsamt ihrer Um-
grenzung bedeuten soll.

Die Linie, welche man als „die eine Kurve (a) von der andern
Kurve (b)“ erhält, wird im Allgemeinen mit beitragen zur Begrenzung der
Fläche, welche sich bezüglich ergibt als die „Kurve a von der Fläche b“
resp. die „Fläche a von der Kurve b“ sowie die „Fläche a von der Fläche b“.

Bei der Anwendung auf die zwei Kreise
a) (x - α)2 + (y - β)2 - γ2 = 0, b) (x - δ)2 + (y - ε)2 - ζ2 = 0
ist jene Linie nun die Projektion auf die x, y-Ebene der Raumkurve
vierter Ordnung, in welcher sich die beiden Kreiszylinder mit zu einander
normalen Axen schneiden (das h als Applikate, z-Koordinate gedacht):
(h - α)2 + (y - β)2 - γ2 = 0, (x - δ)2 + (h - ε)2 - ζ2 = 0.

Wir haben nun
in den Figuren die
Kreisfläche a horizon-
tal, die b vertikal
schraffirt — jedoch
nicht die ganzen Kreis-
flächen, sondern nur
dasjenige Segment der-
selben, welches zu dem
relativen Produkte a ; b
bei der Konstruktion
desselben Punkte bei-
steuert. Es zeigt sich
nämlich, dass oft nicht
alle Teile der Figuren
a und b hierbei in
Verwendung kommen,
m. a. W. auf die Ge-
staltung des „a ; b“ von
Einfluss sind, viel-
mehr, ohne dass letz-
teres irgend anders
ausfällt, gewisse Seg-
mente von jedem Kreise
auch weggelassen wer-
den könnten.

Die „Kreislinie a
von der Kreislinie b“
ist nun die bei a ; b aus-
gezogen zu erblickende
Kurve vierter Ord-
nung, welche in Fig. 10
die Gestalt eines rund-
lichen Vierecks hat, bei
Fig. 11 und 12 ein, bei
13 zwei Paar einge-
drückte Seiten zeigt,
bei Figur 14 einen
Doppelpunkt besitzt
oder Schleifenform an-
nimmt, sich bei Fig. 15
in zwei geschlossene
Äste sondert, die in
16 (zusammenschrum-
pfend) zu offenen (ob-
zwar begrenzten) Hy-
perbelästen geworden
sind und bei Fig. 17

[60]Zweite Vorlesung.

in die Diagonalen des
Quadrates (als Asymp-
toten) degeneriren.

Die „Kreisfläche a
von der Kreislinie b“ ist
nun allemal der hori-
zontal (oder mindestens
auch horizontal) schraf-
firte Teil der in der
Figur mit a ; b bezeich-
neten Fläche.

Die „Kreislinie a von
der Kreisfläche b“ ist
der vertikal (oder min-
destens auch vertikal)
schraffirte Teil dieser
Fläche.

Endlich „die Kreis-
fläche a von der Kreis-
fläche b“ ist der über-
haupt (sei es horizontal,
sei es vertikal, sei es
doppelt) schraffirte Teil
besagter Fläche — z. B.
bei Fig. 13, 14, 15
das Rechteck mit nur
ganz wenig abgerunde-
ten Ecken, bei Fig. 16
das volle Rechteck.

Bei Fig. 10 fallen alle
drei Flächen in eine
zusammen, bei Fig. 11
und 12 fallen noch zwei
von den drei Flächen
in eine, nämlich die
erste mit der dritten zu-
sammen. Bei Fig. 17
haben wir nur die Schraf-
fur für „die Fläche a
von der Linie b“ ein-
getragen. Der Kreis b
(welcher voll in Betracht
kommt) und die beiden
leeren Zentridreiecke des
mit a ; b markirten Qua-
drates müssten, sym-
metrisch dazu, vertikal
schraffirt werden, um
[61]§ 4. Ein Kreis von einem Kreise.
auch „die Linie a von
der Fläche b“ zur Dar-
stellung zu bringen,
und das ganze Qua-
drat wird hier „die
Fläche a von der
Fläche b“ repräsen-
tiren.

Behufs Verdeut-
lichung des Konstruk-
tionsverfahrens und
um den Studirenden
in den Stand zu setzen,
auch selbst Kontrole
zu üben, haben wir
fast zum Überfluss^*)
noch mit Fig. 18 für
zwei aufs Gerathewohl
angenommene Kurven
a und b die Konstruk-
tion von irgend einem
Punkte ihres relativen
Produktes a ; b veran-
schaulicht, womit sich
bei denselben Hülfs-
linien noch drei weitre
Punkte von letzterm
— im Ganzen vier
Punkte des a ; b — zu-
gleich ergaben.

Durch einen be-
liebigen (im Abstand h
von beiden Axen be-
findlichen) Punkt der
Hauptdiagonale 1' sind
(vertikal resp. hori-
zontal) Parallelen zu
den Axen gezogen,

[62]Zweite Vorlesung.

welche Punkte der
Figuren a und (resp.) b
enthalten, mit letztern
zum Schnitt kommen.
Wo die Projizirenden
dieser Schnittpunkte
zusammentreffen, muss
man Punkte des ge-
suchten Relativs a ; b
haben.

Ist nämlich^*)y = i,
x = h — gemeinhin
(analytisch - geome-
trisch) gesprochen —
ein Punkt von a, so hat
die Matrix dieses Re-
lativs an der Schnitt-
stelle der iten (ge-
nauer: der mit i mar-
kirten) Zeile und hten
Kolonne ein Auge, wel-
ches in unsrer Theorie
als die Matrix des
individuellen Relativs
i : h zu bezeichnen wäre;
letzteres Elementepaar
gehört dem Relative a
an, und es ist ai h = 1.

Ist ebenso y = h,
x = j ein Punkt von b,
so hat die Matrix von b
an der Schnittstelle der
hten Zeile mit der jten
Kolonne ein Auge, ge-
hört das individuelle
Relativ oder Elemente-
paar h : j dem Rela-
tive b an und ist
bh j = 1.

Dann ist aber auch
ai hbh j = 1 und um so
mehr ci j = (a ; b)i j =
= Σhai hbh j = 1, d. h.
es trägt das Relativ
c = a ; b auch an der
Schnittstelle der iten
[63]§ 4. Ein Kreis von einem Kreise.
Zeile mit der jten Kolonne ein Auge oder gehört der Punkt y = i, x = j
der Figur a ; b an.

Imgrunde ist, wie man sieht, nur die in der Geometrie übliche Be-
zeichnung y = i, x = j eines Punktes der Koordinatenebene für unsre
Zwecke durch die Bezeichnung
i : j zu ersetzen! Hält man
sich nur dieses gegenwärtig, so
wird man darnach auch das
Vorhergehende alles leicht zu
verstehen und zu rechtfertigen
imstande sein.

Die nämlichen Figuren
werden — kraft einer in § 6
unter C) folgenden Bemerkung
— auch geeignet erscheinen die
Konstruktion und Beschaffen-
heit einer relativen Summe
a ɟ b zu illustriren, wofern
man nur anstatt der Figuren
a, b und a ; b deren „Aussen-
figuren“ oder Ergänzungen zur
ganzen Ebene, Negate in’s Auge
fasst.

Ich habe vorstehenden Sei-
tenblick in die analytische Geo-

metrie gewagt, um auch bei dem Mathematiker um Interesse für unsre
Disziplin zu werben.

Zugunsten etwaiger in die Algebra der Relative einzuflechtender
Illustrationen und Exemplifikationen, sei — deren Logik vorgreifend —
hier auch noch angeführt:

Die Subsumtion a ⋹ b zwischen binären Relativen wird sich in
Worten wiedergeben lassen mit: „alle a von- (scilicet etwas) sind auch
b von- (sc. ebendiesem etwas)“, oder m. a. W. „jedes a von- ist ein
b von-“.

Es bedeute etwa a (= amans) Liebender von- (lover of) und
b (= benefactor) Wohlthäter von-.

So stellt das Negat ā den relativen Begriff vor: „Nicht-Liebender
von-“, das Konverse ă den: „Geliebter (Geliebte, Geliebtes) von-“.

Dass man im Deutschen nichts geschlechtlos, ohne ein bestimmtes
genus sagen kann ist für unsre Disziplin sehr hinderlich und begründet
einen grossen Vorzug des Englischen, wo einfach „lover“ eintritt für
„der, die oder das Liebende“. Auch können wir im Deutschen für b̆ (bene-
fitted by-) nicht „bewohlthatet von-“ sagen sondern müssen zu der Um-
[64]Zweite Vorlesung.
schreibung „Empfänger oder Empfängerin von Wohlthaten seitens-“ unsre
Zuflucht nehmen, u. s. w.

Um nicht zu übergrosser Weitläufigkeit gezwungen zu sein kann ich
nur die Bitte an den Leser richten (sofern nicht ausdrücklich das Gegen-
teil stipulirt wird) das Genus in welchem ein relativer Name eingeführt
wird, allemal ignoriren zu wollen.

Ferner bedeutet nun das identische Produkt ab alles was zugleich
Liebender und Wohlthäter ist von- (sc. jemand), die identische Summe
a + b: was Liebender oder Wohlthäter (eventuell beides) ist von-.

Dagegen wird das relative Produkt a ; b zu interpretiren sein als
„Liebender von einem Wohlthäter von-“, und die relative Summe a ɟ b
als „Liebender von allen ausser Wohlthätern von-“, womit indessen
gänzlich offen gelassen (in keiner Weise präjudizirt) sein soll, ob er
etwa auch solche Wohlthäter liebe, oder nicht. Wir werden in unsrer
Disziplin fein unterscheiden müssen zwischen den Partikeln „ausser“
(englisch: but, save?, besides?) und „ausgenommen“ (englisch: excepting).

Sagen wir von den Personen, Menschen auf einem untergegangenen
Schiffe: „Alle wurden gerettet mit Ausnahme der Besatzung“, so wurden
blos die Passagiere gerettet und die Mannschaft ist umgekommen, sagen
wir dagegen: „alle Personen ausser der Besatzung sind gerettet“, so steht
zwar fest, dass die Passagiere gerettet sind; von der Besatzung aber will
ganz und gar nichts ausgesagt sein; vielleicht ist sie untergegangen, viel-
leicht schwebt sie noch in Lebensgefahr, wird teilweise oder ganz (eben-
falls) noch gerettet.

Von grösster Wichtigkeit für das richtige Erfassen unsrer Theorie
ist es nunmehr, dass der Leser, bevor er in dieselbe eintritt, folgendes
beachte.

Alle Sätze der Algebra der Relative dürfen eine „dreifache Evi-
denz“ beanspruchen.

In dreierlei Sinne — schon nach den bisherigen Ausführungen —
mögen wir von „einer Evidenz“ derselben reden; auf drei grundver-
schiednen Wegen können wir sie einleuchtend finden, je nachdem wir
zum Ausgangspunkt nehmen: die in § 3 aufgestellten fundamentalen
Festsetzungen, oder aber: die geometrische Repräsentation der Relative
und der mit ihnen zu vollziehenden Operationen, wie wir sie oben
an die Betrachtung der Matrix knüpften, oder endlich: die verbale
Interpretation der Relativsymbole, ihre Wiedergabe durch relative
Namen der Wortsprache zu Zwecken der angewandten Logik — wie
wir sie zuletzt, soeben, und vorgreifend, angedeutet.

Kurz, wenn auch nicht vollkommen erschöpfend, will ich diese
dreierlei Evidenzen als die analytische, die geometrische und die rheto-
[65]§ 4. Dreifache, analytisch-geometrisch-rhetorische Evidenz.
rische Evidenz bezeichnen. Die Reinheit der Methode wird jedenfalls
erheischen, dass wir dieselben unvermengt lassen, ja dass wir eine von
ihnen — bei der Algebra die erste — bevorzugen und sie allein alle
wesentlichen Schlüsse beherrschen lassen.

Die erste, die „analytische“ Evidenz ist zu erzielen durch den streng
deduktiven „Beweis“ der Formeln oder Sätze unsrer Theorie aus ihrer
in § 3 gegebnen formalen Grundlage. Es wird von jeder Formel gezeigt,
dass sie in jenen Konventionen bereits als eine Konsequenz derselben
enthalten und durch sie denknotwendig mitgegeben ist. Und zwar ist
solcher Nachweis rechnerisch zu führen, indem man bei jedem Schritte
sich bewusst wird, nach welchem Schema des Aussagenkalkuls derselbe
vor sich geht, das ist also: durch welche Gesetze der allgemeinen
Logik dieser Schritt legitimirt wird. Für die Natur dieser Evidenz
und die Art und Weise ihrer Erlangung werden die folgenden Vor-
lesungen reichlichste Illustration liefern. Man könnte unzweideutig sie
auch als die „Koeffizienten-Evidenz“ kennzeichnen, weil in den funda-
mentalen Konventionen die Erzeugnisse der 6 Spezies je als ein Re-
lativ doch nur erklärt erscheinen vermittelst Definition seines allge-
meinen Koeffizienten — weshalb bei allen Beweisen unmittelbar oder
mittelbar auf diese Koeffizienten muss zurückgegangen werden.

Diese analytische Evidenz also werden wir in der Theorie aus-
schliesslich gelten lassen, und ein Satz der Algebra der Relative darf
nicht als sichergestellt anerkannt werden, solange er nicht auf diesem
Wege „erwiesen“ ist.

Man kann nun aber zweitens auch die Beziehungen und Knüpfungen
zwischen Relativen — ingestalt etwa einer Vergleichung durch men-
tales Superponiren, zum-Schnitt-Bringen, Zusammenfügen und Tren-
nen ihrer Raumbilder sowie eventuell mittelst gesetzmässigen Ver-
flechtens der Augenreihen ihrer Matrizes — mit der „geometrischen“
Anschauung bewerkstelligen resp. verfolgen und begleiten.

So sieht man z. B. im Hinblick auf die Figuren 4 bis 7 augenblick-
lich, dass 1' · 0' = 0 und 1' + 0' = 1 ist, die beiden relativen Moduln also
disjunkt sind und einander zum ganzen Denkbereiche 12 ergänzen, dass
sie m. a. W. Negate von einander sind.

Oder — um noch durch ein andres Beispiel die „geometrische Evi-
denz“ zu illustriren — so wird es — nachdem bereits erkannt ist, dass
das Relativ „a ; 1“ aus einem Relativ a immer erhalten wird, indem man
des letzteren überhaupt mit (einem oder mehrern) Augen besetzte Zeilen
in lauter vollbesetzte oder Vollzeilen verwandelt — geometrisch unmittel-
bar einleuchten, dass:
(a = 0) = (a ; 1 = 0) und (a ≠ 0) = (a ; 1 ≠ 0)
Schröder, Algebra der Relative. 5
[66]Zweite Vorlesung.
ist, d. h. dass Verschwinden oder Nichtverschwinden von a und von a ; 1
einander gegenseitig bedingen.

Ebenso ist dann klar, dass a ⋹ a ; 1 sein muss, und andres mehr
— wie wir denn auch die Sätze des identischen Kalkuls für die Figuren
oder Punktsysteme, die unsre Relative geometrisch repräsentiren, schon in
Bd. 1 so als unmittelbar einleuchtende erkannten.

Wennschon sie (hier wie dort) beim Aufbau der Theorie nicht
wesentlich soll benutzt werden dürfen, ist die geometrische Evidenz
jedoch als ein bequemes und fruchtbares Mittel zur Entdeckung
von Sätzen nicht zu verachten; auch liefert sie höchst schätzbare
Kontrolen und erleichtert das Behalten mancher Sätze. Derselben
wird darum ganz besondre Aufmerksamkeit in der Theorie zu widmen
sein; ja die letztere wird eine Tendenz rechtfertigen, die Koeffizienten-
evidenz nach und nach in analytisch wohlbegründeter Weise durch die
geometrische Evidenz „ablösen“ zu lassen.

Die dritte Art von Evidenz, die rhetorische, ist die im gewöhn-
lichen Denken wirksame. Wir empfinden sie, werden ihrer gewahr,
sobald wir auf Relative von spezieller Natur, wie l = lover = Lie-
bender (von-), b = benefactor = Wohlthäter (von-), s = servant =
Dienender (von-) jene allgemeinen Relative, die als Buchstaben in unsern
Formeln auftreten, — mit Peirce — exemplifiziren.

Jedermann wird z. B. unmittelbar einleuchtend den Satz finden: Der
Liebende eines Wohlthäters (von-), der zugleich ein Dienender ist (von je-
mand), ist Liebender eines Wohtthäters (von-) und zugleich auch Liebender
eines Dienenden (von diesem jemand) — wie ihn [blos etwas kürzer und
wenn man will auch allgemeiner] die Formel ausspricht:
l ; (bs) ⋹ (l ; b)(l ; s).

Niemand wird sich sträuben, den Satz von genannten Relativen spe-
zieller Natur auch auf irgend welche andre sei es relative, sei es selbst
absolute Terme auszudehnen und darin ein Prinzip anzuerkennen, welches
unser gesamtes Denken als eine Selbstverständlichkeit beherrscht. Ist doch
auch das Bild eines verstorbenen Freundes gewisslich Bild eines Verstor-
benen und auch Bild eines Freundes, der Käufer eines teuern Pferdes zu-
gleich Käufer von etwas Teuerm und Käufer eines Pferdes, u. s. w.

Auch allgemein wird:
a ; (bc) ⋹ (a ; b)(a ; c)
sein müssen.

Sobald man sich ein wenig mit dem Übersetzen aus der Zeichen-
sprache in die Wortsprache vertraut gemacht hat, lassen so in der
That die einfachern Formeln unsrer Theorie einen hohen Grad von
unmittelbarer Intuitivität nicht verkennen.

Die Logik, wenn sie — ebenso für relative wie für absolute Begriffe —
die Methoden und Schemata des Folgerns und Schliessens entwickeln will,
kann natürlich nicht umhin darnach zu streben, dass sie auch möglichst
vollständig registrire und schematisire: die apriorischen, selbstverständlichen,
identischen, analytischen oder nichtssagenden Urteile oder „Wahrheiten“ als
diejenigen, auf welche bei jeglichem Schliessen jederzeit Berufung erfolgen kann.

Wer aber auf solche Evidenz beim Aufbau unsrer Theorie sich
berufen wollte, der würde sich bald zur Anerkennung einer ganz über-
grossen Menge von eigenartigen „Prinzipien“ genötigt sehen und die
Klage des Herrn Venn1p. 400 sq. gerechtfertigt erscheinen lassen:
dass an Stelle des einen „simple and uniform set of rules“, des so
einfachen Systems von Grundsätzen der alten Logik, wir beim Eintritt
in die Logik der Relative uns sogleich vor eine verblüffend grosse
und verwirrende Mannigfaltigkeit von solchen gestellt sehen (are intro-
duced into a most perplexing variety of them).

Neben oder ausser den in § 3 zusammengestellten fundamentalen
Konventionen bedürfen wir in der That in der Theorie keines weiteren
„Prinzipes“. Und wenn die Frage aufgeworfen wird nach den axioma-
tischen Grundlagen unsrer Disziplin der Algebra und Logik der Rela-
tive, so kann ich Herrn Peirce beipflichten, der sich über diese Frage
am Schlusse von 2 ausspricht. Die Grundlagen sind vom selben Range,
sind keine andern, als wie die bekannten „Prinzipien“ der allgemeinen
Logik. Im Gegensatz zur Geometrie bedürfen Logik und Arithmetik
keiner eigentlichen „Axiome“.

Um nicht missverstanden zu werden, muss ich einschalten: Freilich
kann auch die Geometrie betrachtet werden lediglich unter dem formalen
Gesichtspunkte der Folgerichtigkeit ihres Lehrgebäudes. Natürlich können
deren sogenannte Axiome auch hingestellt werden als blosse Annahmen,
vielleicht ganz willkürliche Assumtionen, um deren Erfülltsein, Gültigkeit,
Wahrheit in irgend einem Denkbereiche man sich absolut nicht kümmert,
man sich enthält, im Geringsten etwas zu behaupten. Die geometrischen
Sätze werden alsdann blos relative Wahrheit beanspruchen dürfen, werden
immer nur zuzugeben sein, soferne eben jene Voraussetzungen zutreffen.
Gemeinhin, und meines Erachtens mit Recht geschieht aber dergleichen
nicht. Die geometrischen Axiome werden vielmehr gelehrt, hingestellt und
angenommen mit dem Anspruche auf reale Geltung, Wahrheit, sei es für
unsre subjektive Raumanschauung sei es für das derselben objektiv zu-
grunde liegend gedachte Wirkliche. Und diese Axiome sind keineswegs
analytische oder nichtssagende Urteile; mögen sie auch zufolge der Be-
schaffenheit, Natur unsres räumlichen Anschauungsvermögens „psychologisch
denknotwendig“ genannt werden, so kommt ihnen doch keine Denknot-
wendigkeit im logischen Sinne zu, und die Geometrie ist mehr als ein
blosser Zweig der Logik; sie ist das elementarste Glied in der grossen
Reihe der physikalischen Wissenschaften. Anders die Arithmetik.

Ich habe mich darum schon in Bd. 1 enthalten für die bei dem
dortigen Lehrgange benötigten „Prinzipien“ den Namen „Axiome“ zu
gebrauchen. Und jene „Prinzipien“ sind blos verkappte Definitionen
— „are mere substitutes for definitions of the universal logical rela-
tions“. Soweit die allgemeinen logischen Beziehungen definirt zu
werden vermögen — sagt Peirce mit Recht — kann man ohne irgend
welche „Prinzipien“ in der Logik auskommen (all axioms may be dis-
pensed with). Diese Auffassung wird denke ich in dem nachfolgenden
Lehrgebäude noch weitre Bekräftigung finden.

Besonders wird die Thatsache der Führbarkeit des da geführten Be-
weises für das volle Distributionsgesetz in dieser Hinsicht lehrreich sein.

Um nun also nochmals auf unsre drei Evidenzen zurückzukommen,
so darf in der Theorie an die beiden letzten nicht wesentlich appellirt
werden und sind dieselben höchstens zur Illustration der Sätze heran-
zuziehen.

Während bei den einfachern Sätzen die zweite und dritte Evidenz
leichtlich die erste überflügelt, ihr nur allzugerne vorauseilt, bleibt
bei fast allen verwickelteren Untersuchungen namentlich die dritte
Evidenz weit — nicht selten hoffnungslos — hinter der ersten zurück,
sieht man sich schliesslich auf die Evidentmachung mittelst penibel
deduktiven Beweises allein angewiesen oder erfordert wenigstens die
Herbeiführung auch der beiden andern Evidenzen für den Ungeübten
einen nicht geringen Aufwand von „Kopfzerbrechen“.

§ 5. Haushalt mit Klammern.

Bevor wir in die so mannigfaltigen Sätze oder Formeln der Theorie
eintreten, haben wir endlich noch Vereinbarungen zu treffen, die auf
einen möglichst sparsamen Haushalt mit Klammern abzielen. Bei Ver-
wirklichung solcher höchst begehrenswerten Ökonomie mit genanntem
Element der Zeichensprache, mit den Parenthesen, wird eine gründ-
liche Vertrautheit mit den darauf bezüglichen Vereinbarungen uner-
lässlich sein zum richtigen Verständniss der Ausdrücke, welche in ver-
wickelteren Formeln auftreten.

Bereits haben wir die sechs Spezies in zwei „Hauptstufen“ ein-
geteilt, als deren erste die identische, als deren zweite die relative
bezeichnet wurde. Daneben und unabhängig davon empfiehlt es sich
aber, noch gewisse Rangordnungsverhältnisse oder „Stufen“folgen zwi-
schen diesen Spezies festzusetzen.

Was zunächst die vier knüpfenden von den sechs Spezies betrifft,
so sollen die beiden Multiplikationen (in Analogie zur Arithmetik) für
[69]§ 5. Haushalt mit Klammern.
„von höherer Stufe“ gelten als wie die beiden Additionen. Von den „gleich-
namigen“ Operationen aber, d. h. von den beiden Multiplikationen resp.
von den beiden Additionen, soll immer die relative für von der höheren
Stufe gelten (von höherer somit als wie die identische).

Darnach kommt der identischen Addition die erste, der relativen
Addition die zweite, der identischen Multiplikation die dritte und der
relativen Multiplikation die vierte „Stufe“ zu.

Das richtige Verstehen, die korrekte Deutung aller erdenklichen
mittelst dieser Operationen aufzubauenden Ausdrücke wird alsdann
garantirt sein durch durch die folgende(n beiden) aus der Arithmetik
einfach herüberzunehmende(n) Konvention(en).

Erste Konvention. Kommen Operationen derselben Stufe auf der
Zeile zusammen ohne dass durch Klammern die Reihenfolge von deren
Ausführung ausdrücklich vorgeschrieben wäre, so hat man sich dieselben
successive oder „fortschreitend“ ausgeführt zu denken in der Reihenfolge,
in der man beim Lesen von links nach rechts auf deren Knüpfungs-
zeichen stösst.

Diese Konvention war zwar noch in § 23 des Bd. 1 von Belang, indem
sie z. B. den Ausdruck a - b + c, = (a - b) + c gebührend schied von
dem nicht damit zu verwechselnden a - (b + c), bei welchem darnach die
Klammer nicht unterdrückt werden durfte.

Hier jedoch, in unsrer Theorie der Relative, wird diese Konvention
zu einer schliesslich belanglosen zufolge der erweislichen Assoziativität
unsrer sämtlichen knüpfenden Spezies, derzufolge
a + b + c = (a + b) + c von a + (b + c), abc = (ab)c von a(bc)
a ɟ b ɟ c = (a ɟ b) ɟ c von a ɟ (b ɟ c), a ; b ; c = (a ; b) ; c von a ; (b ; c)
ohnehin nicht unterschieden zu werden braucht — vergleiche auch Bd. 1
Anhang 2. Wesentlich bleibt nur die

Zweite Konvention. Kommen Operationen verschiedener Stufe
zusammen ohne dass durch Klammern die Reihenfolge von deren Aus-
führung ausdrücklich vorgeschrieben wäre, so hat man sich allemal die
Operation der höheren Stufe zuerst ausgeführt zu denken.

Hienach wird zum Unterschied von — im Kontrast mit — dem
rechts entgegengestellten Ausdrucke, bei welchem die Klammer niemals
weggelassen werden darf, bedeuten:

Eine gewisse Härte zeigt die rigorose Durchführung dieses Prin-
zips (nur) da, wo die beiden Multiplikationen konkurriren, sofern von
diesen die identische (wie zumeist üblich) ohne Knüpfungszeichen ge-
schrieben ist: In Fällen wie ab ; c, a ; bc, ab ; cd wird man sich näm-
lich versucht fühlen, die näher beisammen stehenden Buchstaben für zu-
nächst zusammengehörig zu halten, was zu einem Widerspruch mit
obiger Übereinkunft führen würde. Diesem Gefühle dürfte es ratsam
sein auch Rechnung zu tragen, und wir thun dies zunächst, indem wir
für den genannten Fall die Geltung der Konvention an die Bedingung
knüpfen, dass für die identische Multiplikation der Punkt als Malzeichen
ausdrücklich Verwendung gefunden habe.

Hiernach haben wir das vorstehende Tableau noch zu ergänzen
durch den gleichsam eine „Ausnahme“ statuirenden Zusatz zu seiner
letzten Zeile:

Von der „Ausnahme“ aber wird man am besten die Konvention
selbst entlasten, indem man sich etwa einprägt: Nur wo sie des Mal-
zeichens entbehrt, stellt die identische Multiplikation sich über die relative,
geht ihr voran.

Beispielsweise noch wird also bedeuten:
.

Ferner fügen wir als Interpretirübung an:
.

Bei einiger Übung wird man bald wahrnehmen, dass jeder Aus-
druck nur eine sparsamste Schreibung zulässt und dass man nicht etwa
unter verschiedenen gleich einfachen „einfachsten“ Schreibungen eines
solchen jemals die Wahl haben kann. Durch unsre Konventionen er-
weist sich die beste Darstellung eines Ausdrucks als eine in jedem
Falle unzweifelhaft bestimmte.

In dieser Hinsicht ist namentlich hervorzuheben, dass, weil der Punkt
doch ein einfacheres Zeichen ist, wie die Klammer, für einen Ausdruck
[71]§ 5. Haushalt mit Klammern.
von der Form a(b ; c), wenn derselbe für sich steht, besser gesagt wird:
a · b ; c. Wenn dagegen dieser Ausdruck selber noch eingeklammert werden
müsste, wie z. B. in (a · b ; c) ; d, so würde besser wieder die vorige Schrei-
bung für ihn eintreten, indem die Darstellung a(b ; c) ; d sich als (um den
Punkt) sparsamer erweist!

Unterdrückt darf hienach die Klammer welche einen Ausdruck
einschliesst nur dann werden, wenn die „innere“ Operation, d. h. die-
jenige aus welcher der eingeklammerte Ausdruck zuletzt hervorgegangen
ist, nicht von niedrigerer Stufe ist wie die „äussere“ Operation, d. h.
die Spezies durch welche der Ausdruck mit einem andern Term (oder
andern Termen) verbunden erscheint. —

Die nicht knüpfenden von unsern 6 Grundoperationen — die Ne-
gation nämlich beim Gebrauch des horizontal übergesetzten Negations-
striches, sowie die Konversion — brauchen in die Vereinbarung nicht
einbezogen zu werden, weil das als Strich oder Ringelchen übergesetzte
Zeichen als vinculum schon eine Klammer ersetzt.

Beim Gebrauch des vertikalen Negationsstriches aber brauchte man
nur die Negation als „von der höchsten Stufe“ hinzustellen um unsre zweite
Konversion auch auf sie mit auszudehnen — wonach denn (in erster Zeile
wie vordem) gelten würde:

Ähnliches wäre bezüglich der Suffixe 0, 00, 1, 11 zu sagen, durch
deren Anhängung wir späterhin noch die Operation der „Ketten-“, „Bild-
ketten-“ etc. Bildung anzeigen. Diese letztern müssen den knüpfenden
Operationen gegenüber als von der höheren Stufe gelten, sodass wir bei-
spielsweise haben werden:

etc.

Ihnen dagegen sollen die mit horizontal übergesetztem Striche resp.
Hyphen angedeuteten Operationen der Negation und Konversion ihrerseits
vorgehen, sodass uns gelten wird:
ā0 = (ā)0 entgegen (a0͞), ă00 = (ă)00 entgegen (a00)͝,
desgleichen ā̆0 = (ā̆)0 entgegen (a0)͞͝. Etc.

Dies motivirt sich später dadurch: weil man die Operationen „strich“,
„konvers“ oder „strichkonvers“ an der a-Kette resp. a-Bildkette etc. ohne-
hin wird „ausführen“ können, sodass die hinter „entgegen“ angeführten
unbequem zu druckenden Symbole gar nicht werden endgültig vorzukommen
brauchen.

Endlich aber müssen wir uns noch über den Klammerngebrauch
da, wo Π und Σ-zeichen mitspielen, verständigen.

Unmittelbar hinter jedem dieser Zeichen steht der „allgemeine Term“
(allgemeine Faktor resp. das allgemeine Glied), auf welchen das Zeichen
Π resp. Σ sich beziehen, den es beherrschen, regiren soll.

Wo der Name dieses allgemeinen Terms anfängt, darüber kann
hienach kein Zweifel bestehen, es frägt sich aber wo dieser Name je-
weils aufhört, m. a. W. bis wie weit nach rechts hin die Herrschaft
unsres Zeichens reichen, sich erstrecken soll?

Letzteres ist im Allgemeinen durch den Usus in der Mathematik
(dem wir uns, wo er ausschlaggebend, anschliessen) bereits geregelt. Gleich-
wohl müssen wir für unsre Disziplin (im Hinblick auf die ihr eigentüm-
lichen Spezies und Schreibweisen) es nochmals und sorgfältiger resp. voll-
ständiger statuiren.

Im allgemeinen Term selbst können — ebenso wie Relativ-Koeffi-
zienten — hier auch Aussagen auftreten, welche z. B. als „spezifizirte“
eines Umfangsbeziehungszeichens, wie ⋹, =, ⊂, ≠, ∉, zu ihrer Dar-
stellung benötigen und sich dessen bedienen. In solchem Falle muss
dies Beziehungszeichen stets von einer Klammer mittelbar umschlossen
sein, welche hinter dem Π resp. Σ anhebt und schliesst. Wir nennen
solches Beziehungszeichen (hinsichtlich unsers Π oder Σ) ein „gebun-
denes“ — im Gegensatz zum „freien“ Zeichen einer Umfangsbeziehung.

Als „frei“ (ev. inbezug auf unser Π resp. Σ) wird (solch) ein
(Beziehungs-)Zeichen zu bezeichnen sein, wenn es entweder überhaupt
nicht von einer Klammer (mittelbar) umschlossen ist, oder doch nur
von solchen Klammern, welche unser Π resp. Σ-zeichen selber mitent-
halten, in sich fassen, mittelbar umschliessen.

Beispielsweise ist in den Ausdrücken:
Π(a⋹b) = c, {Σ(a⋹b) = c}d
das Einordnungszeichen ein gebundenes, das Gleichheitszeichen ein freies
hinsichtlich des Π oder Σ, das linkerhand ein freies schlechtweg.

Keinesfalls soll nun die Herrschaft eines Π oder Σ-zeichens über
das ihm als nächstes folgende freie Umfangsbeziehungszeichen (Ver-
gleichungszeichen) hinüberreichen.

Was die gebundenen betrifft, so gehören diese jeweils entweder
einem als Faktor, oder als Summand — wenn nicht als Negand —
auftretenden „Aussagenterm“ an, und werden solche Aussagenterme
mit den übrigen Operationsgliedern auf einer Linie stehen, sodass wir
uns bei den ferneren Konventionen um die etwaigen Umfangsbeziehungs-
zeichen als solche nicht weiter zu kümmern brauchen, und nur mehr
[73]§ 5. Haushalt mit Klammern.
noch die Frage zu erledigen bleibt, welche Operationen der Herrschaft
unsres Π oder Σ Halt gebieten.

Letzteres wird im Grossen und Ganzen durch den Hinweis darauf
zu erledigen sein, dass unser Π stets eine identische Multiplikation,
das Σ eine identische Addition vorzuschreiben hatte, wonach die Rang-
ordnung oder Stufenfolge, wie sie im Vorangegangenen zwischen den
vier knüpfenden Operationen festgesetzt wurde, implicite auch schon
mitgeordnet erscheint für die mittelst Π und Σ anzudeutenden Ope-
rationen.

Hienach muss in der That schon bedeuten:
.

Ein Zweifel kann nur noch obwalten und wird darum eine Über-
einkunft erforderlich in folgenden Fällen:

Erstens, wenn identisches Produktiren mittelst Π zusammentrifft
mit relativer Multiplikation, und zwar aus dem Grunde, weil es (im
Hinblick auf die oben statuirte „Ausnahme“) zunächst noch nicht aus-
gemacht ist, ob man das Πa ebenso wie ein a · b nach der allgemeinen
Vorschrift, oder ob man es wie ein ab unter dem Gesichtspunkt der
Ausnahme behandeln wolle. Indem wir uns für ersteres entscheiden,
so gilt uns:
Πa ; b = Π(a ; b) entgegen (Πa) ; b.

Zweitens, wenn identisches Produktiren mit Π zusammentrifft mit
identischem Multipliziren (ohne Π, also mit dem oder ohne das Mal-
zeichen.). Hier gelte:
Πa · b = Π(a · b), Πab = Π(ab) entgegen (Πa) · b = (Πa)b.

Drittens, wenn identisches Summiren mit Σ zusammentrifft mit
identischem Addiren (ohne Σ, also mit +). Hier ist schon längst der
Usus sanktionirt, zu verstehen:
Σa + b = (Σa) + b entgegen Σ(a + b)
in welch letzterm Ausdruck die Klammer allemal nicht unterdrückt
werden darf. Es geht also die Summation jeweils der Addition vor.

Im Hinblick auf diesen Gebrauch erscheint es bequemer auch die
oben in eckige Klammer gesetzte Konsequenz unsrer allgemeinen Fest-
[74]Zweite Vorlesung.
setzungen nicht zu adoptiren, sie vielmehr zu ersetzen durch die fol-
gende Übereinkunft:
Σa ɟ b = (Σa) ɟ b entgegen Σ(a ɟ b).

Wir können uns dann einfach merken:

Die Herrschaft der Π und Σ-zeichen reicht stets bis zum nächsten
freien Plus- oder Piu-Zeichen.

Kommen Suffixe mit in Betracht, sei es einfache, wie i, wie
0 und 1, sei es doppelte wie hk, etc., so haben diese, sofern nicht
durch Klammern das Gegenteil ausdrücklich vorgeschrieben ist, allemal
den Vortritt vor allen übrigen Operationen. So gilt in der ganzen
Welt schon längst:
abi = a(bi) entgegen (ab)i,
a + bh k = a + (bh k) „ (a + b)h k,
und wäre auch von vornherein zu verstehen:
Πai j = Π(ai j) entgegen (Πa)i j, Σai j = Σ(ai j) entgegen (Σa)i j
unbeschadet dessen, dass hier beides definitionsweise mit (15) für äqui-
valent erklärt worden.

Ein gleiches gilt ja auch für den Apostroph, sofern uns z. B.
a1' = a · 1' = a(1') bedeutet, wogegen (a1)' = a' für ein von 0 und 1 ver-
schiedenes a in unsrer Disziplin jeden Sinnes baar sein würde, für a = 0
aber einen andern Sinn gäbe.

Ein gleiches ist endlich auch für (Potenz-)Exponenten (als schon
anderweitig üblich) zu statuiren, wonach denn bedeutet:
abn = a(bn) entgegen (ab)n, a ; bn = a ; (bn) entgegen (a ; b)n,
a + bn = a + (bn) „ (a + b)n, a ɟ bn = a ɟ (bn) „ (a ɟ b)n,
Σan = Σ(an) entgegen (Σa)n,
Πan = Π(an) „ (Πa)n.

Die beiden letzten Ausdrücke würden miteinander und mit Πa selbst
übereinstimmen, und ähnlich müssten auch die darüber einander entgegen-
gestellten beiden Ausdrücke jeweils zusammenfallen, wenn die „Potenz“ als
ein identisches Produkt aus gleichen Faktoren aufgefasst würde. In unsrer
Disziplin reserviren wir aber den Potenzbegriff für relative Produkte aus
gleichen Faktoren — wo dann die entgegengestellten Ausdrücke verschie-
denes bedeuten werden.

Da nun ani j als (ai j)n gedeutet auf ai j selbst hinauskommen müsste,
so erklären wir
ani j = (an)i j entgegen (ai j)n = ai j.

Weiter werden wir verstehen:
a0n = (a0)n entgegen (an)0 und a1n = (a1)n entgegen (an)1.

Kommen — ein in unsrer Theorie ungemein häufiger Fall —
mehrere Σ und Π-zeichen in bunter Folge unmittelbar nebeneinander
zu stehen, so erstreckt sich die Wirkung eines jeden über alle fol-
genden und den allgemeinen Term des letzten hinweg bis zu dessen
Ende hin, und bedarf es keiner weitern Übereinkunft um den Sinn
des ganzen Ausdrucks klar zu stellen. Man hat sich dann die Sum-
mationen und Produktationen in der umgekehrten Folge vollzogen zu
denken von derjenigen, in welcher ihre Zeichen der Zeile entlang von
links nach rechts gelesen werden — weil dem Ausführen einer solchen
Operation die Bildung, Herstellung ihres allgemeinen Terms notwendig
vorausgehen muss. So bedeutet z. B.:
ΣiΣjΠhΣkai j h k = Σi[Σj{Πh(Σkai j h k)}]. —

§ 6. Gesetze der Spezies, soweit nur allgemeine Relative in deren
Ausdruck eingehen. Dualismus und Konjugation.

Die wichtigsten Gesetze der 6 Grundrechnungsarten sind von Peirce
schon mit ziemlicher Vollständigkeit aufgestellt.

Es werden uns die kleinen lateinischen Buchstaben nunmehr stets
allgemeine binäre Relative vorstellen, zudem die in 3) S. 7 angeführten
„Elemente“ bedeuten.

Natürlich werden die Knüpfungsgesetze, die schon bei den einfachsten
Knüpfungen zutage treten, auch bei den komplizirteren Knüpfungen eine
Rolle spielen, sie werden den verwickelteren auf solche bezüglichen Sätzen
voraussichtlich mit zugrunde liegen. Als einfachste Knüpfungen mag man
diejenigen hinstellen, in welche nur 1, 2, 3 (oder höchstens 4) Buchstaben
als Symbole für ebensoviele von vornherein unabhängig beliebige Relative
eingehen. Auf diesem Wege lässt sich das Feld der für unsre Disziplin
als fundamental zu bezeichnenden Folgesätze oder „Gesetze“ zunächst einmal
roh umgrenzen. Um sodann heuristisch gedachte fundamentale Gesetze
zu entdecken, brauchte man blos mit kombinatorischer Vollständigkeit alle
erdenklichen Ausdrücke hinzuschreiben, welche sich mittelst unsrer Spezies
aus so geringer Buchstabenzahl aufbauen lassen. Für jeden dieser Aus-
drücke wäre gemäss den Festsetzungen (10) bis (13), S. 29, der allgemeine
Koeffizient zu bilden — eine für Anfänger ohnehin empfehlenswerte Übung —
und endlich wäre zuzusehen, welche Relationen (der Einordnung oder
Gleichheit) sich zwischen diesen Koeffizienten aufgrund der Sätze des Aus-
sagenkalkuls rechtfertigen lassen. Auf solche Weise würde sich auch die
Überzeugung von der Vollständigkeit unsrer Zusammenstellung der Sätze
wol gewinnen lassen oder wenigstens die Erkenntniss, dass in ihr nichts
Belangreicheres übersehen sein dürfte.

Diesen immerhin etwas mühsamen und zeitraubenden Weg will ich
aber mit dem Leser nicht gehen; ich will vielmehr die Grundgesetze sum-
marisch darlegen. Dabei soll auf Erzielung einer guten Übersicht Bedacht
genommen und zu dem Ende eine Einteilung der Gesetze in Gruppen
herbeigeführt werden. Die Beweise liefern uir zumeist erst am Ende einer
grössern Gruppe — für die chiffrirten Formeln dieses Paragraphen sogar
erst im nächsten.

Im gegenwärtigen haben wir vollauf damit zu thun, von den Formeln
selbst Kenntniss zu nehmen, uns die Sätze, die sie darstellen, zum Bewusst-
sein zu bringen, die Namen, welche sie etwa zu führen berechtigt wären,
ihre Stellung, Anwendungsweise und Tragweite in unsrer Wissenschaft zu
beurteilen, dasjenige darzulegen, was zu beachten ist, um sie sich gut ein-
prägen zu können, u. s. w. Da müsste denn die sofortige Einfügung der
Beweise die Übersicht zu schwer beeinträchtigen. Zu den Formeln pflege
ich jedoch auch naheliegende Korollare — wie Ausdehnung auf noch mehr
Operationsglieder, und anderes — immer sogleich mitanzuführen. Bei der
zumeist ganz kurz abzuthuenden Begründung solcher Korollare ist natürlich
der Leser gebeten, die chiffrirten Formeln selbst, zu denen sie gegeben
werden, vorläufig als schon erwiesene zu betrachten.

Ein grosser Teil der Grundgesetze — diejenigen die den Vortritt haben
umfassend — ist dem Leser aus dem identischen Kalkul ohnehin bereits
bekannt.

Der Beweis ebendieser aus den fundamentalen Festsetzungen des § 3
ist wie sich zeigen wird durchgängig äusserst leicht zu führen. Es genügt
dafür in § 7 ein paar Paradigmata anzuführen, unter denen das volle Distri-
butionsgesetz nicht wird fehlen dürfen. Direkt: mittelst Zurückgehens auf
die Koeffizienten, brauchten — woferne man nicht den Inhalt unsres Bd. 1
ignoriren will — ohnehin nur die wenigen „Definitionen und Prinzipien“
(nun als „Theoreme“) aus § 3 „bewiesen“ zu werden, welche wir in Bd. 1
dem identischen Kalkul zugrunde gelegt hatten. Dieses wenigstens ge-
schieht auch im § 7.

Doch wird die Methode der Beweisführung, also die Herbeiführung
der „Koeffizientenevidenz“, an den höhern, auf relative Operationen bezüg-
lichen Sätzen so reichlich eingeübt und ist das Beweisverfahren ein so
gleichmässiges, einheitliches, indem es durchweg auf demselben Grund-
gedanken beruht, dass auch bei keinem noch dem identischen Kalkul an-
gehörenden Satze der direkte Beweis dem Leser irgend eine Schwierigkeit
zu bereiten vermöchte und dass man die Theorie der Relative auch als
eine selbständig begründete sich wird aneignen und von Bd. 1 und 2 ganz
emanzipiren können.

Wenn nun gegenüber dem Bd. 1 die Grundlagen, auf die wir uns
berufen müssen, hier auch als neue zu bezeichnen sind, so wollen wir aber
doch mit der detaillirten Beweisführung der schon bekannten Sätze den
Leser nicht ermüden, auch über deren Benennung, verbale Fassung und
Anwendungsweise, ihre Ausdehnung auf noch mehr Operationsglieder etc.
weiter keine Worte verlieren, dieserhalb ein für allemal auf Bd. 1 verweisend.

Dass
(a  b) = (b ⋹ a)
bedeuten solle ist kein „Satz“, sondern eine Zusatzkonvention, die wir aber
unter den fundamentalen Festsetzungen nicht mit aufgeführt haben, weil sie
immer nur nebensächlich zur Anwendung gelangt und man ganz gut mit
immer nur im Sinne von links nach rechts angesetzten Subsumtionen in
der Theorie auskommen könnte.

Die Sätze:
0) a ⋹ a, a = a, (a = b) = (b = a), (a ⋹ b) (b ⋹ c) ⋹ (a ⋹ c)
drücken kein Gesetz unsrer Spezies aus, müssen aber als ganz unentbehr-
liche und aus unsern Festsetzungen beweisbare Theoreme über Relative
einmal Erwähnung gefunden haben.

Eine erste Gruppe von Gesetzen bezieht sich auf die knüpfenden
Operationen.

Als ganz fundamental sei vorangestellt der Satz:
1) (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (ac ⋹ bd)(a + c ⋹ b + d)(a ; c ⋹ b ; d)(a ɟ c ⋹ b ɟ d),
der eigentlich, weil das Aussagenprodukt rechterhand einem jeden
seiner Faktoren eingeordnet ist, also dessen Geltung nach sich zieht,
die vier zumeist getrennt anzuwendenden Sätze in sich zusammenfasst:

Man merke hinzu: Gleichstimmige Subsumtionen dürfen auch durch
relative Multiplikation oder Addition überschiebend verknüpft werden.

Die Konklusion, gefolgerte Subsumtion, ist aber hierbei eine ganz
andre, wenn man die zweite Subsumtion hinter die erste schiebt, als wenn
man das Umgekehrte thut. Und beides ist zulässig, liefert richtige Kon-
klusionen: man hätte aus der Prämisse links auch schliessen können:
c ; a ⋹ d ; b, sowie c ɟ a ⋹ d ɟ b — wie man denn relatives Vor- und Nach-
multipliziren, resp. -addiren bei der Anwendung des Satzes noch zu
unterscheiden hat.

Die Modifikationen zu formuliren, welche der Satz zulässt, wenn die
eine oder die andre oder wenn beide Prämissensubsumtionen in Gleichungen
ausarten — in Analogie zu den Theoremen 15) bis 19) des Bd. 1 (S. 263 ‥ 267
sowie Bd. 2, S. 31) — überlassen wir dem Leser: Es können, relativ nicht
minder wie identisch, auch Subsumtionen mit Gleichungen sowie Gleichungen
mit Gleichungen überschiebend verknüpft werden. Eine Subsumtion sowol wie
eine Gleichung kann beiderseits mit Gleichem, mit einem beliebigen aber links
und rechts demselben Relative, relativ (vor- resp. nach-)multiplizirt werden;
ein solches kann beiderseits zu ihr relativ (vor- resp. nach-)addirt werden.
Z. B. es ist (a ⋹ b) ⋹ (a ; c ⋹ b ; c). Dagegen wäre: links nach- und rechts
vorzumultipliziren mit c, im Allgemeinen natürlich nicht gestattet. Gleiches,
auf gleiche Art geknüpft, gibt auch in unsrer Disziplin stets Gleiches.

Diese Bemerkungen sind, im Hinblick auf die Def. (1) der Gleichheit,
so nahe liegende Korollare zu unserm Theoreme 1), dass sie mit diesem
zugleich als erwiesen anzusehn sein werden.

Demnächst reihen sich an: die schon bekannten Sätze der ersten
Hauptstufe:
[79]§ 6. Die Grund-Gesetze der Spezies.
2) von denen nur das erste Paar, das Kommutationsgesetz, kein Analogon
auf der zweiten Hauptstufe finden wird.

Ausserdem sind aber noch als fundamentale Sätze des identischen
Kalkuls, zu denen sich bei den relativen Operationen keine Analoga
werden nachweisen lassen, erinnernd hervorzuheben diese:
3)

Als (mit) auf die relativen Operationen bezüglich kommen nun-
mehr neu hinzu die hochwichtigen Sätze:
4) 5)
6)
7)
welche mit ihren höchst nahe liegenden Korollaren:
A)
unsre erste Formelgruppe abschliessen.

Die Sätze 4) bis 7) und A) bilden augenscheinlich in gewissem
Sinne Analoga — wonicht einen Kontrast — zu den Sätzen 2), in
denen mehr als zwei Buchstaben vorkommen.

Man muss sich dieselben möglichst fest einprägen, und zwar die
blos einseitig als Subsumtionen geltenden 5) und 7), etc., auch mit der
zugehörigen Richtung des Subsumtionszeichens. Vor allem merke man
zu 4): Auch die relative Multiplikation verhält sich distributiv zur iden-
tischen Addition, ebenso die relative Addition zur identischen Multiplikation.
Insbesondre kann man identische Summen auch relativ „ausmultipli-
ziren“ und umgekehrt einen „gemeinsamen“ relativen (Vor- resp. Nach-)
Faktor bei den Gliedern einer identischen Summe als ebensolchen
„ausscheiden“. Etc.

Das Theorem 4) wollen wir das Distributionsgesetz der relativen
Knüpfungen oder der zweiten Hauptstufe nennen — wobei wir fort-
fahren unter dem „Distributionsgesetze“ schlechtweg immer das bis-
herige, in 2) mit angeführte der ersten Hauptstufe angehörige Gesetz
gleichen Namens zu verstehen.

Höchst beachtenswert ist der Satz 6) als das „Assoziationsgesetz“
der beiden relativen Knüpfungen. Von den beiden Gleichheitszeichen
einer jeden Doppelgleichung 6) soll nur das erste als „ein Theorem
statuirend“ aufgefasst werden, das zweite dagegen als — konventionell —
eine Zusatzdefinition zum Ausdruck bringend. Das Theorem lautet:

Auch die relative Multiplikation ist (gleichwie die identische) eine
assoziative Operation, desgleichen die relative Addition.

Die Zusatzdefinition erklärt hernach den Begriff des relativen Pro-
duktes von drei in bestimmter Ordnung gegebenen Faktoren mittelst
Zurückführung dieses Begriffes auf den schon feststehenden eines rela-
tiven Produktes von nur zwei Faktoren — analog den Begriff der
Summe aus drei relativen Summanden. Die Zusatzkonvention setzt
fest: Unter a ; b ; c soll der übereinstimmende Wert der beiden in 6)
vorhergehenden relativen Produkte verstanden werden. Etc.

Begriff und Sätze sind von dreien alsbald auf beliebig viele Terme
ausgedehnt zu denken so, wie wir es in Anhang 3 des Bd. 1 für irgend
eine Knüpfung nachgewiesen haben, wofern sie nur dem einfachsten Falle
des Assoziationsgesetzes (dem „speziellen“ Assoziationsgesetz für drei Terme)
unterworfen ist. Dies empfiehlt sich wenigstens als praktisch für unsre
Theorie im Allgemeinen, unbeschadet dessen, dass in der neunten Vorlesung
zeitweilig davon abgesehen werden mag.

Auch bei der relativen Multiplikation von beliebig vielen Relativen
(und eventuell noch relativen Produkten solcher) wird hienach die Klammer-
stellung gleichgültig sein: die Klammern können sämtlich unterdrückt oder
auch nach Belieben angebracht werden. Analog bei der relativen Addition
von Relativen (selbst und eventuell noch relativen Summen).

Der Satz 5) — zunächst links vom Mittelstriche — lehrt: dass
wenn man einen relativen Faktor als ebensolchen (nämlich Vor- resp.
[81]§ 6. Gesetze der knüpfenden Spezies.
Nachfaktor) distributiv zugesellt den Faktoren eines identischen Produktes,
man im Allgemeinen nicht das Gleiche, sondern Übergeordnetes er-
halten wird. Am leichtesten wird man sich diese Sätze wol einprägen
mittelst Beachtung ihrer „rhetorischen Evidenz“, auf welche für den
ersten derselben S. 66 schon hingewiesen wurde.

Die Achtsamkeit auf dieses Merkmal erleichtert überhaupt das
Behalten der Sätze, namentlich derer links vom Mittelstriche.

Diejenigen rechts prägen sich hernach von selbst mit ein als solche,
die den vorerwähnten dual entsprechen. Wofern man sich nur die
Herrschaft über die „Prinzipien des Dualismus und der Konjugation“
erwirbt, die wir baldigst aufstellen und begründen werden, fällt es
überhaupt nur nötig, von jedem Quadrupel zusammengehöriger oder
„verwandter“ Sätze einen einzigen — den ersten z. B. — zu merken.

Ebenso ist für den zweiten einleuchtend: Ein Liebender und zugleich
Wohlthäter von einem Dienenden ist Liebender eines Dienenden und auch
Wohlthäter von einem Dienenden. Aber nicht umgekehrt! Wer Liebender
ist von einem, und zugleich Wohlthäter ist von einem (vielleicht ganz
andern) Dienenden, braucht nicht Liebender und zugleich Wohlthäter von
einem (einem und demselben) Dienenden zu sein!

In der That: Satz 6) erscheint rhetorisch geradezu als selbstverständ-
lich, indem z. B. der „Liebende eines Wohlthäters“ von einem Dienenden als
dasselbe sich darstellt wie: der Liebende eines „Wohlthäters von einem Die-
nenden“. Ebenso auch 4): Der Liebende von einem Wohlthäter von- oder
Dienenden von- (jemand) ist entweder Liebender eines Wohlthäters von-
oder Liebender eines Dienenden von- (diesem jemand), und umgekehrt.
Desgleichen: Wer Liebender oder Wohlthäter ist von einem Dienenden, der
ist auch Liebender von einem Dienenden oder Wohlthäter von einem Die-
nenden, und umgekehrt.

Diese Wahrnehmungen dürfen aber, wie bereits betont, beileibe nicht
als ein „Beweis“ der Sätze angesehen werden, welchen letzteren wir viel-
mehr noch schuldig sind. —

Von zwei Operationsgliedern (Faktoren, Summanden) der in ihnen vor-
kommenden identischen Produkte oder Summen sind auch die Sätze 4)
und 5) alsbald auf beliebig viele Terme ausgedehnt zu denken in einer höchst
nahe liegenden Weise, die vom speziellen Distributionsgesetze her aus Bd. 1
wohlbekannt ist (S. 311). Ebenso ist namentlich die erste Formel A)
fortan erweitert zu denken zu einer auf relative Multiplikation bezüglichen
„Multiplikationsregel für Polynome“ (nämlich identische Summen).

Und somit wäre nun blos noch das Theorem 7) zu besprechen
und zu merken. Dasselbe nimmt eine Sonderstellung insofern ein als
es einen Gegensatz, Kontrast bildet zum Distributionsgesetze der ersten
Hauptstufe.

Es lässt zunächst vermuten, dass zwischen a ; (b ɟ c) und a ; b ɟ a ; c
allgemein keine Beziehung der Einordnung oder Gleichheit (überhaupt der
Schröder, Algebra der Relative. 6
[82]Dritte Vorlesung.
Wertgemeinschaft) bestehn wird, indem es eine solche Beziehung vielmehr
statuirt zwischen jenem ersten Ausdrucke und diesem: a ; b ɟ c, der sich
durch Unterdrückung der Klammer aus ihm ergibt — wenn man will auch:
durch Abänderung der Klammerstellung, Verschiebung der Klammer, indem
nach § 5 dieser letztre Ausdruck nichts andres wie (a ; b) ɟ c bedeutet.

Dass in der That zwischen relativer Multiplikation und Addition
ein distributiver Zusammenhang allgemein nicht besteht, würde sich
mittelst Exemplifikation auf das Gegenteil unschwer beweisen lassen.

Wollten wir uns aber damit befassen von allen erdenklichen Sätzen,
denen in unsrer Disziplin allgemeine Geltung nicht zukommt, auch dieses
nachzuweisen, so würden wir allzusehr belastet und unser ohnehin volu-
minöses Buch übermächtig anschwellen. Wir haben schon genug damit
zu thun für alle in unsrer Theorie positiv hingestellten Behauptungen
die erforderlichen Beweise zu erbringen. Und die Pflicht der Beweisfüh-
rung, das onus probandi, bliebe auf seite Desjenigen, der einen hier nicht
aufgenommenen Satz anwenden wollte. Die eingehende Beschäftigung
mit der Disziplin von seiten des Herrn Peirce und von mir gibt
eine gewisse Bürgschaft dafür, dass einfachre Sätze, falls sie allgemein
Geltung hätten, hier schwerlich übersehen sein würden. Wer den auf-
geführten Sätzen neue hinzufügen will, sei hiermit herausgefordert. Ge-
lingt das, so wird eine Bereicherung der Theorie zu verzeichnen sein.
(Bei den Umkehrproblemen liefre ich selbst noch Einiges hinzu).

Verbal interpretirt besagt der erste Satz 7) z. B.: der Liebende eines
„Wohlthäters von allen ausser Dienenden“ ist immer „Liebender eines Wohl-
thäters“ von allen ausser Dienenden, d. h. steht zu allen ausser Dienenden
in der Beziehung des Liebenden eines Wohlthäters von ihnen.

Wenn man den Worttext (in seiner ersten Fassung) liest, so möchte
man wohl meinen, dass der Satz auch umgekehrt gelten müsse, dass näm-
lich die durch die Kopula „ist“ verbundnen beiden Kategorieen von Per-
sonen in eine Kategorie zusammenfielen. Dieses ist, wie wir noch genauer
sehen werden, nun keineswegs der Fall: unser Satz darf nicht umgekehrt
werden. Und es ist sehr bemerkenswert, dass die „rhetorische Evidenz“ —
im Grunde (nur) weil die Wortsprache des Hülfsmittels (oder zur exakten
Behandlung so unentbehrlichen Bezeichnungskapitals) der Klammern ent-
behrt — hier leichtlich irreführt, wonicht geradezu dazu verleitet einen
Fehlschluss zu begehen.

Ähnlich besagt der zweite Satz 7): Wer zu irgend einem Dienenden
in der Beziehung steht eines Liebenden von allen ausser dessen Wohl-
thätern, der ist ein Liebender von allen ausser Wohlthätern von Dienenden.

Vor Fehlschlüssen gewährt hier jedenfalls der Kalkul Rettung, und so
kann ich nur raten, dass der Leser sich die einfachen Formeln 7) so wie
sie eben sind einpräge.

Was nun die Beweise der Formeln betrifft, so muss ich den Leser
schon darum bitten, sich noch ein wenig zu gedulden bis zur Er-
[83]§ 6. Gesetze von Negation und Konversion.
ledigung der nächsten Formelgruppe, weil bei Berücksichtigung der in
dieser zu statuirenden Prinzipien der Konjugation und des Dualismus
unsre Arbeit sich sehr verringern wird.

Eine zweite Formelgruppe zieht auch die Spezies der Negation
und Konversion mit in Betracht.

Als die allereinfachsten verdienen vorangestellt zu werden die drei
Sätze:
8) ā̄ = a, ă̄ = ā̆, ă̆ = a.

Der erste von diesen ist der schon aus dem identischen Kalkul
bekannte „Satz der doppelten Verneinung (Negation)“.

Der zweite lehrt, dass die Reihenfolge, in welcher die beiden Ope-
rationen der Negation und der Konversion hintereinander ausgeführt
werden, für das Ergebniss gleichgültig ist.

Dieser Satz hat bislang keinen Namen; vielleicht ist es genehm,
denselben als den „Wechselsatz von Negation und Konversion“ zu
bezeichnen.

Der dritte mag analog der „Satz der doppelten Konversion“ heissen.
Derselbe lehrt, dass — gleichwie durch doppelte Negation — so auch
durch doppelte (zweimal hintereinander vollzogene) Konversion jedes
Relativ ungeändert bleibt. Auch doppelte Konversion „hebt sich auf“
oder: das Konverse vom Konversen eines Relativs ist dieses ursprüng-
liche Relativ selber.

In ihrer Gesamtheit legen unsre drei Sätze die Folgerung nahe,
dass die vier Ausdrücke
B) a, ā, ă, ā̆
in Hinsicht der beiden Operationen der Negation und Konversion eine
„Gruppe“ bilden.

Dieselben sollen die vier mit a (oder irgend einem von ihnen)
„verwandten“ Relative heissen.

In hinreichend vereinfachten (sog. reduzirten) Ausdrücken kann
eine jede der beiden nichtknüpfenden Spezies niemals successive, in
mehrfacher Wiederholung, auftreten, sondern es kann nur vorkommen:
eine jede einzeln, oder gar nicht, oder beide in der Ordnung -̆ (strich-
konvers) je einmal hintereinander.

Insbesondre wird auch stets sein müssen:
ā̆̄̆ = a.

Hiernächst treten zu De Morgan’s schon bekannten Formeln:
9)

6*
[84]Dritte Vorlesung.
als vollkommne Analoga auf der zweiten Hauptstufe hinzu:
10)
— zwei höchst bemerkenswerte Sätze, nach welchen auch für die rela-
tiven Knüpfungen der Wortlaut der vorigen aufrecht erhalten werden
kann: das Negat des Produktes ist die Summe der Negate der Faktoren,
das Negat einer Summe ist das Produkt der Negate ihrer Glieder.

Setzt in 10) man ā, b̄ für a, b und wendet den — unter 8) mit
registrirten — Satz der doppelten Verneinung an, so ergeben sich zu den
aus Bd. 1 schon bekannten beiden ersten auch noch die beiden letzten von
den folgenden vier Formeln:
C)
welche (die schon S. 3 aufgestellte Behauptung rechtfertigend) er-
kennen lassen: dass von den beiden knüpfenden Spezies einer jeden
Hauptstufe die eine — gleichviel welche — zur Not auch durch die
andre entbehrlich gemacht werden kann. Solches aber auf Kosten der
Einfachheit, Symmetrie und Eleganz des ganzen Lehrgebäudes wirklich
zu thun, wäre mindestens ebenso thöricht, als wenn man z. B. in der
Mathematik zugunsten des sinus die Namen cosinus, (tg, sec, etc.) —
oder umgekehrt — aus der Welt schaffen wollte.

Nach C) muss auch jeder mittelst knüpfender Spezies aus einfachen
Relativsymbolen aufgebaute Ausdruck seinem Werte nach ungeändert bleiben,
wenn man denselben folgendem Prozesse unterwirft, der sich aus drei Teil-
operationen zusammensetzt, nämlich: wenn man erstens die sämtlichen ein-
fachen Operationsglieder in ihre Negate verwandelt, zweitens die beiden
knüpfenden Operationen einer jeden Hauptstufe, als da sind Multiplikation
und Addition, miteinander vertauscht, drittens vom Ergebnisse die Negation
nimmt.

Bei dem Austausch der Operationen dürfen jedoch die Konventionen
über Erforderlichkeit oder Entbehrlichkeit von Klammern nicht ausser Acht
gelassen werden. Exempel:
a ; (b + c) ɟ d = (ā ɟ b̄c̄) ; d̄.͞

Diese Sätze 9), 10) — in Verbindung mit 8) — garantiren nun-
mehr, dass die Operationen der Negation und Konversion, welche in irgend
einem mittelst der 6 Spezies aufgebauten Ausdrucke vorkommen, d. i.
vorgeschrieben sein mögen, samt und sonders sich so weit ausführen
lassen, dass sie an keinem noch irgendwie zusammengesetzten Aus-
druckteile mehr zu vollziehen sein werden. Vielmehr lässt durch „Aus-
führung“ der nichtknüpfenden Spezies hinfort jeder Ausdruck sich so
[85]§ 6. Gesetze der nicht-knüpfenden Spezies.
weit reduziren, dass Negationsstrich sowie Konversionsringel oder auch
das Zeichen Strichkonvers höchstens noch über den einfachsten Sym-
bolen — wie Buchstaben — haften, aus welchen als aus seinen letzten
Elementen der Ausdruck aufgebaut war. Der allgemeinste Ausdruck
also, der in unsrer Theorie ein binäres Relativ vorzustellen vermag,
wird — solchergestalt reduzirt — ausschliesslich mittelst der vier
knüpfenden von den 6 Spezies zusammengesetzt erscheinen aus lauter
durch Buchstaben dargestellten und eventuell noch den mit ihnen „ver-
wandten“ Relativen von der Form B). Solche Symbole eben wollen
wir hinfort „einfache“ nennen.

Die Buchstaben können auch durch Modul(name)n vertreten sein, und
werden dann die durch die übergesetzten Zeichen -, ̆, -̆ angedeuteten
Operationen, wie bald zu sehen, sich an ihnen noch vollends „ausführen“
lassen, sodass mit jenen Zeichen behaftete Moduln auch nirgends vor-
kommen werden.

Die Anwendung der Formeln 9), 10) im Sinne von links nach
rechts nennen wir das „Ausführen“ der Negation an den unter dem
Negationsstriche linkerhand stehenden Ausdrücken.

Analog — doch in gewissen Hinsichten damit kontrastirend —
gelten für die „Ausführung“ der Konversion die folgenden ebenfalls
ganz fundamentalen Sätze:

oder auch im Hinblick auf das Kommutationsgesetz als hiermit äquivalent:
11)

und dazu:
12)

Im Gegensatz zur Negation lässt hiernach die Konversion bei ihrer
Ausführung die Natur der Ausdrücke unverändert; sie kehrt aber, indem
sie sich distributiv von denselben auf deren Operationsglieder, Terme
überträgt, die Reihenfolge der letzteren um — ein Zusatz der blos bei
den identischen Knüpfungsergebnissen irrelevant, belanglos ist, bei den
relativen dagegen nicht missachtet werden darf. Man merke:

Sowie umgekehrt.

Die Sätze 9) bis 12) sind von zweien alsbald auch wieder auf be-
liebig viele Terme ausgedehnt zu denken.

Ersetzt man in 11) und 12) a und b durch ă, b̆, und beachtet den
Satz der doppelten Konversion aus 8), so ergeben sich noch die Dar-
stellungen:
D)
welche zeigen, dass man in irgend einem vermittelst knüpfender Spezies
aufgebauten Ausdrucke die umgekehrte Ordnung seiner sämtlichen Operations-
glieder oder Terme herstellen könnte dadurch, dass man die letztern durch
ihre Konverse ersetzte und alsdann den ganzen Ausdruck konvertirte.

Es sind jedoch die Teiloperationen des unter D) gleichwie des unter
C) im vorigen Kontext geschilderten Prozesses blos in ihrer Gesamtheit
allgemein gestattet. Im allgemeinen wird dagegen bei einem für sich
stehenden Ausdrucke es nicht zulässig sein, dass man die Teiloperationen
der soeben genannten Prozesse einzeln an ihm vornehme, sintemal die letz-
tern von Einfluss auf den Wert des Ausdrucks sich erweisen dürften.
Ebensowenig darf man die Terme des Ausdrucks durch ihre Negate ersetzen
oder (eventuell in Verbindung damit) die Negation vom ganzen Ausdruck
nehmen.

Denn wenn der Wert, die Bedeutung eines Ausdruckes geändert, der-
selbe in einen (nicht blos der Form nach) „andern“ Ausdruck verwandelt
wird, so lässt sich, falls man vom ursprünglichen Ausdrucke irgend etwas
wusste oder zu begründen vermochte, von dem geänderten Ausdrucke dies
nicht mehr wissen oder behaupten. Jedenfalls lässt sich das über den Aus-
druck vorhandene Erkenntnisskapital nicht ohne weiteres auf diejenigen
Transformationen desselben, die seinen Wert beeinflussen, übertragen. Viel-
mehr geht man dieses gesamten Erkenntnisskapitals verlustig, gibt dasselbe
preis, sobald man den Ausdruck durch einen solchen ersetzt, der einen
vielleicht ganz andern Wert besitzen mag.

Es geht damit ähnlich wie in der Arithmetik: Stellt ein numerischer
oder auch Buchstaben-Ausdruck z. B. die Geldsumme vor, die eine Person
A einer Person B schuldet, so wird A gegen alle Transformationen des die
Schuldsumme repräsentirenden Ausdrucks Protest erheben, welche denselben
in einen solchen von höherem Werte verwandeln, B mindestens dagegen
Verwahrung einlegen, dass der Ausdruck in einen andern von niedrerem
Betrage umgewandelt werde.

Aus Gründen der angedeuteten Art nennt man bekanntlich „erlaubt“
oder „zulässig“ nur solche Umformungen eines Ausdruckes, von welchen
garantirt werden kann, dass sie den Wert desselben ungeändert lassen.

Dies traf oben bei C) und D) für die Teiloperationen der Prozesse
nur in ihrer angegebnen Verbindung miteinander zu.

Doch können (solche) Operationen — wie Negiren, Konvertiren, Er-
setzen der Terme durch von ihnen verschiedene, z. B. ihre Negate oder
ihre Konverse — welche am einzelnen Ausdrucke unzulässig sind, an Aus-
drücken dennoch zulässig werden in einer hochwichtigen Kategorie von
Fällen, nämlich wenn diese Ausdrücke in eine allgemeingültige Formel als
deren beide Seiten eingehen, oder was auf dasselbe hinauskommt, wenn sie
in allgemeinen Lehrsätzen figuriren.

Dass da die unbestimmten, durch Buchstaben als allgemeine Symbole
repräsentirten Operationsglieder auch durch andre durchweg ersetzt werden
dürfen ist a priori einleuchtend, liegt nämlich im Begriffe der Allgemein-
gültigkeit der Formel oder des Lehrsatzes.

Unter welchen Bedingungen aber, oder mit welchen Kautelen, die
Operation des Negirens sowie die des Konvertirens beiderseitig voll-
zogen werden darf an einer Subsumtion oder Gleichung — dies lehren
die nächstfolgenden Sätze:
13) (a ⋹ b) = (b̄ ⋹ ā) = (ă ⋹ b̆) = (b̄̆ ⋹ ā̆)
mit den höchst nahe liegenden Korollaren:
E)
— worin sämtliche Aussagen weniger einander als vielmehr der ersten
von ihnen gleichgesetzt zu denken sind.

Die Verwandlung der ersten Subsumtion 13) in die zweite wird
bekanntlich die Kontraposition von jener genannt; sie läuft hinaus auf
beiderseitiges Negiren, welches jedoch nicht ohne gleichzeitige Umkehrung
des Subsumtionszeichens gestattet ist (oder falls man letztres bei-
behalten will, zu verbinden ist mit einer Vertauschung von Subjekt
und Prädikat der Subsumtion).

Die Verwandlung der ersten Subsumtion 13) in die dritte möge
das beiderseitige Konvertiren derselben heissen. Dasselbe ist hienach
ohne weiteres gestattet, liefert wiederum eine mit der gegebenen äqui-
valente Subsumtion.

Die „Umkehrung der Subsumtion“ a ⋹ b selbst dagegen würde die-
selbe in b ⋹ a verwandeln, welche letztere mit ihr zugleich gar nicht zu
gelten braucht; ihre (legitime) Verwandlung in b  a dagegen würde blos
als ein „Rückwärtslesen“ der Subsumtion zu bezeichnen sein.

Ihre Verwandlung in die vierte mag konvertirende Kontraposition
genannt werden.

Bei den Gleichungen muss alsdann kraft Def. oder Festsetzung (1)
das beiderseitige Negiren (die Kontraposition) sowol als auch das
[88]Dritte Vorlesung.
beiderseitige Konvertiren, sowie endlich dieses in Verbindung mit jenem
ohne weiteres gestattet sein.

Durch beiderseitiges Negiren (Kontraposition) der Aussagen-
gleichungen (Äquivalenzen) in 13) und E) ergibt sich noch als ein
weiteres Korollar dazu: dass es auch gestattet ist in ihnen die in den
Klammern stehenden Zeichen ⋹ und = durch deren Negationen ⋹ und ≠
durchweg zu ersetzen. Wir haben also ganz ähnliche Sätze auch für
die Unsubsumtion und Ungleichung, nämlich als Korollar zu 13) und E):
.

Aus den Sätzen 8) bis 13) lassen sich jetzt auch die hochwich-
tigen „Prinzipien des Dualismus und der Konjugation“ rechtfertigen,
die uns in den Stand setzen, zu jeder als allgemeingültig erkannten
„Formel“ sogleich noch drei zumeist neue Formeln hinzuschreiben,
deren Gültigkeit mit ihr zugleich verbürgt sein wird. Die in der
Theorie zu leistende Beweisarbeit wird damit auf beinah ihren vierten
Teil reduzirt! Es verlohnt deshalb, hierauf sogleich näher ein-
zugehen, indem man die chiffrirten Formeln vorderhand als erwiesen
ansieht.

Die Formel habe die Gestalt einer Subsumtion oder aber einer
Gleichung, oder auch der Verneinung von dieser oder jener. Wie
später zutage tritt, lässt sich dies bei jeder Formel hinbringen, sodass
es unbeschadet der Allgemeinheit vorausgesetzt werden kann. Zu beiden
Seiten der Formel seien auch die Operationen der Negation und Kon-
version schon ausgeführt.

Alsdann dürfen (erster Prozess) sämtliche Buchstabenrelative durch
ihre Konverse ersetzt werden, weil für diese letztern Relativwerte die
Formel ebensogut Geltung beansprucht wie für jene ursprünglichen
Relative. Und ferner dürfen (zweiter Prozess) die Ausdrücke beider-
seits nach 13) und E) konvertirt werden, wodurch nach 8) die Kon-
versionsringel über den Buchstaben wieder aufgehoben werden, aber
die Reihenfolge sämtlicher Operationsglieder in der Formel sich in die
entgegengesetzte verwandelt.

Es muss dann also auch diejenige Formel gelten, welche man (mit
einem Schlage) aus der gegebnen Formel erhält, indem man die Aus-
drücke zu beiden Seiten derselben genau so hinschreibt, wie man sie rück-
[89]§ 6. Dualismus und Konjugation.
wärts^*)liest — während man jedoch etwa vorkommende spezielle Rela-
tive durch deren Konverse ersetzt.

Dies ist zunächst klar, soferne in der Formel keine speziellen Relative
(Moduln) vorkamen, dieselbe vielmehr lediglich auf allgemeine oder Buch-
stabenrelative Bezug nimmt. In solchem Falle muss zur Rechtfertigung
des Gesagten nur noch folgende Überlegung beigebracht werden.

Kam ein a, ā, ă oder ā̆ in der Formel vor, so verwandelt der erste
Prozess dasselbe bezüglich in:
ă, ă̄ = ā̆, ă̆ = a, ă̄̆ = ā̆̆ = ā.
Der zweite Prozess verwandelt dasselbe hernach in resp.:
ă̆ = a, ā̆̆ = ā, ă, ā̆,
das heisst: die beiden Prozesse hintereinander ausgeführt lassen, wie be-
hauptet, die vier Symbole wirklich unverändert.

Auf spezielle Relative, nur, die etwa (neben allgemeinen) noch in der
Formel vorkommen, ist der erste Prozess gar nicht anwendbar.

Gilt z. B. a + 1 = 1 als allgemeine Formel, so darf zwar a durch
ā, ă, b, 0 und was man will ersetzt werden, nicht aber 1.

Bei solch speziellen Relativen hat daher der zweite Prozess die durch
nichts kompensirte Wirkung, dieselben unter Umkehrung der Reihenfolge,
in welcher sie mit andern Symbolen verknüpft sind, in ihre Konverse zu
verwandeln.

Moduln allerdings — werden wir sehen — bleiben auch hierbei un-
verändert, sodass die vorstehend kursiv gedruckte Methode schon ohne den
letzten Zusatz anwendbar ist, soferne — neben Buchstaben — als spezielle
Relative höchstens Moduln in der Formel vorkommen.

Diese zweite mit der ersten zugleich verbürgte Formel möge die
zu ihr „konjugirte“ heissen. Aus ihr geht hinwiederum durch dieselben
Prozesse auch ihrerseits die erste hervor, sodass die Beziehung zwischen
konjugirten Formeln eine gegenseitige zu nennen ist. Das aus den
genannten beiden Prozessen zusammengesetzte Verfahren mag „Kon-
jugiren“ (Konjugation) genannt werden.

Bei Gleichungen — natürlich „analytischen“, denn auf „synthetische“
Gleichungen, auf „Relationen“ ist das Konjugiren überhaupt nicht anwend-
bar — bei Gleichungen, in welchen keine andern speziellen Relative als
höchstens Moduln vorkommen, könnte das Verfahren geradezu als ein buch-
stäbliches Rückwärtslesen derselben bezeichnet werden; bei Subsumtionen
jedoch darum nicht, weil behufs Konjugirens Subjekt und Prädikat nicht
vertauscht werden dürfen, vielmehr der Minor Minor bleiben muss. Hier
[90]Dritte Vorlesung.
wäre es allenfalls angängig „beiderseitiges buchstäbliches Rückwärtslesen“
für „Konjugiren“ zu sagen.

Jedoch ist der verbale Ausdruck „Rückwärtslesen“ schlechtweg bei
einer Gleichung, oder Subsumtion, Ungleichung etc. bereits in einem ganz
andern Sinne gebräuchlich: man pflegt darunter blos zu verstehen: die
Verwandlung von a = b in b = a oder von a ⋹ b in b  a, etc., unter
gewöhnlichem oder Vorwärtslesen der beiderseitigen (vielleicht sehr kom-
plizirten) Ausdrücke, welche uns die Buchstaben a und b bei dieser Be-
trachtung vertreten.

Ebendarum, sowie auch wegen der in der vorigen Fussnote hinsicht-
lich etwa vorkommender Π, Σ statuirten Einschränkung, empfiehlt es sich
am besten, den Ausdruck „Konjugiren“ zu gebrauchen.

Die Konjugation also liefert uns zur ersten Formel eine zweite,
die mit ihr zugleich gelten muss. Es kann sein, dass diese zweite
Formel doch nur den nämlichen Satz ausdrückt wie die erste — dass
sie nämlich aus ihr auch hervorgeht durch blosse Buchstabenvertau-
schung —, in Verbindung, nötigenfalls, auch mit wirklichem Rück-
wärtslesen der ganzen Formel (sofern sie Gleichung oder Ungleichung
gewesen).

Wie leicht zu sehen würde das z. B. bei irgend einem unsrer vier
Assoziationsgesetze zutreffen.

In solchem Falle führen wir die zu einer aufgestellten konjugirte
Formel nicht mit an. Dergleichen findet verhältnissmässig selten statt.
In der grossen Mehrzahl der Fälle drückt die zu einer ersten konju-
girte Formel einen ganz neuen Satz aus. Wir pflegen sie dann unter
die erste zu schreiben, und verfügen bis jetzt über (im allgemeinen)
zwei Formeln.

Die zu einer gegebnen konjugirte Formel wird jedoch oftmals nicht
rein als solche, sondern mit noch obendrein vertauschten Buchstaben ange-
geben, etwa damit diese wiederum alphabetische Ordnung aufweisen.

Zu jeder von diesen Formeln lässt sich nun ferner das duale
Gegenstück derselben herstellen, sodass wir noch zwei eventuell aber-
mals neue Formeln hinzu erhalten, die wir dann hinter einem „Mittel-
strich“ gewöhnlich neben die vorigen stellen. Den beiden letzten werden
ihrerseits auch wieder die beiden ersten Formeln „dual entsprechen“.
Das duale Entsprechen, der „Dualismus“ zwischen den nebeneinander
stehenden Formeln wird ein gegenseitiges sein, und ferner: wie die
untereinander stehenden Formeln links vom Mittelstriche einander kon-
jugirt waren, so werden auch die beiden Formeln rechts vom Mittel-
strich zueinander konjugirt sein müssen, sodass mit den vier Formeln
deren „Gruppe“ abschliesst.

Für die Operation der Bildung des dualen Gegenstücks ist noch
[91]§ 6. Gespanne von Formeln und Sätzen.
kein Name in Gebrauch; es scheint dafür der Ausdruck „Dualisiren“
zur Verfügung zu stehen (minder gut, weil schon mit Nebendeutungen
versehen, wol „Opponiren, Opposition, Entgegensetzung“ oder dergl.).

Also: durch Dualisiren gehen die nebeneinander, durch Konjugiren
die untereinander stehenden von den vier Formeln in einander über,
und weil jene beiden erlaubte Prozesse sein werden, so dürfen mit
irgend einer von den vier Formeln zugleich alle viere Geltung bean-
spruchen. Die vier Formeln, die sich nur auf zweie oder eine auch
reduziren können, bilden eine Tetrade, ein Quadrupel, Viergespann von
— wie wir sagen wollen — „verwandten“ Formeln oder Sätzen.

Beispiele dazu liefern schon die bisher aufgeführten Sätze.

Eine Reduktion der vier Formeln auf dreie, welche verschiedene Sätze
zum Ausdruck brächten und dennoch in Hinsicht der Operationen des Konju-
girens und Dualisirens eine (vollständige) Gruppe bildeten, ist unmöglich.
Dies würde sich leicht im Anschluss an unsre Ausführungen apagogisch
beweisen, theoretisch begründen lassen. Man mag sich jedoch auch an
der aus der Praxis unsrer Disziplin zu schöpfenden Erfahrung genügen
lassen, dass Triaden, Tripel, Dreigespanne von Formeln in dieser niemals
auftreten.

In eine Dyade, ein Paar oder Zweigespann von Formeln kann das
Viergespann auf zwei Arten ausarten. Entweder könnten hiebei die
einander konjugirten, oder die zueinander dualen Formeln jeweils in
eine zusammenfallen — abgesehen natürlich von der Wahl der Buch-
staben, mit denen die in die Formel als Terme eingehenden allgemeinen
Relative gerade benannt erscheinen und wofür ja der Grundsatz mass-
gebend ist: „der Name thut nichts zur Sache“. Im erstern Falle sind
die verbleibenden das Zweigespann bildenden Formeln, als duale, durch
einen Mittelstrich getrennt nebeneinander gesetzt (oder wenigstens auf
einer Zeile stehend zu denken). Im letztern Falle — der jedoch nicht
vorzukommen scheint — würden sie als konjugirte, untereinander stehen.
Dagegen kommt es — wie beim Zweigespann:
7)
— vor, dass die dualen Formeln zugleich konjugirte sind, ohne dass
doch diese oder jene unter sich zusammenfielen.