Außlegung der Zeichen.

+ bedeutet und oder mit. Als 9 + 3. be-5.
deutet 9. und 3. oder 9. mit 3.

— bedeutet weniger als 14 — 2. bedeu-6.
tet 14 weniger 2.

∝ bedeutet iſt gleich. als 9 + 3 ∝ 147.
— 2. das iſt/ 9. mit 3 iſt gleich/ oder gilt ſo viel
als 14 weniger 2.

∷ Dieſe vier Puncten, wann ſie zwo unter-8.
ſchiedene Groͤſſen vor ſich haben/ und zwo
andere hinter ſich/ geben zu verſtehen/ daß
ſolche vier Groͤſſen eine Geometriſche Eben-
maͤßigkeit oder Proportion begreiffeñ. Als
6.2 ∷ 2. 4. bedeutet/ daß 6 ſtehet zu 2. als
wie 12. ſtehet zu 4. nehmlich in gleicher Geo-
metriſcher Verhaltnuͤß.

: Dieſe zwey Puncten, wann ſie zwo unter-9.
ſchiedene Groͤſſen vor ſich haben und zwo
andere hinter ſich/ geben zu verſtehen/ daß
ſolche vier Groͤſſen eine Arithmetiſche Eben-
maͤßigkeit oder Proportion begreiffen/ als 7.
3 : 13. 9. bedeutet/ daß 7 um ſo viel groͤſſer iſt
dann 3. als 13 groͤſſer iſt dann 9.

∺ Jm Anfang etlicher unterſchiedenen10.
Groͤſſen geſetzet bedeutet/ daß ſolche Groͤſſen
eine gebundene Geometriſche Ebenmaͤsſig-
keit/ oder einen Geometriſchen Fortgang
ausmachen/ proportio Geometrica continua,
oder progreſſio Geometrica, als ∺ 16. 8. 4.
A 22. 1. das
[4]Elementa Geometriæ Lib. I.
das iſt/ 16. ſtehet zu 8. als wie 8. zu 4. als wie
4. zu 2. ꝛc.

÷ Jm Anfang etlicher unterſchtedenen
Groͤſſen geſetzet/ bedeutet daß ſolche Groͤſſen
eine gebundene Arithmethiſche Ebenmaͤßig-
keit/ oder Arithmetiſchen Fortgang ausma-
chen/ proportio Arithmetica continua, oder
progreſſio Arithmetica, als : 19. 16. 13. 10. 7.
4. das iſt/ 19. iſt ſo viel groͤſſer als 16./ wie
16. groͤſſer iſt als 13./ wie 13. groͤſſer iſt als
10. ꝛc.

Hier hat man im Gebrauch alle Groͤſſen in
genere, und insgemein mit Buchſtaben zu
verzeichnen oder vorzuſtellen/ ohne daß man
ſich bekuͤmmere/ was fuͤr Groͤſſe ſie bedeu-
ten/ ob ſie eine Zahl/ oder eine Linie/ oder eine
Zeit ꝛc. bedeuten/ weil man ſie doch nur
brauchet/ um dadurch zuſchlieſſen/ daß die
Groͤſſe b iſt die Groͤſſe b. die Groͤſſe a iſt a.
die Groͤſſe c iſt c. oder (welches ein Ding
iſt/ wann von Groͤſſen gehandelt wird/) daß
b ∝ b. daß a ∝ a. und daß c ∝ c. \&c.

ADDITIO.

Soll man addiren b mit c, ſo ſchreibet die
Summa alſo, b + c.

Soll man addiren b mit b und c, ſo iſt das
facit, 2 b + c.

SUBTRACTIO.

Soll man ſubtrahiren c von b, ſo iſt das fa-
cit b—c.

Soll man ſubtrahiren b und c von 3 b. ſo
iſt das facit 2 b—c,

MULTIPLICATIO.

Hier muß man nur obſerviren/ daß/ wann15.
die Zeichen der Producenten gleich ſeynd/ der
Product kommet +/ und daß wann ſie un-
gleich ſeynd/ der Product kommet —.

Soll man multipliciren + a mit + b oder
— a mit — b der Product oder das Facit kom-
met + a b.

Soll man aber multipliciren + a mit — b,
oder — a mit + b, das facit kommet — ab.
Dann die Buchſtaben nur alſo bloß beyein-
ander geſetzet/ heiſſet multipliciren.

Soll man multipliciren + a c d mit — a-
b c d. der Product oder das facit kommet —
aabccdd.

DIVISIO.

Hier muß man auch obſerviren/ daß wann16.
man dividiret + mit +/ oder — mit —/ der
quotient kommet +. und wann man dividi-
ret + mit —/ oder — mit +/ der quotient kom-
met —.

Soll man dividiren + a mit + b. oder — a
mit — b. der quotient oder das facit kom̃et
+ \frac{a}{b.}. Wann man aber dividiren ſoll — a
mit + b. oder + a mit — b. das facit iſt — \frac{a}{b}.

Soll man dividiren + a b mit + a. oder17.
— a b mit — a. der quotient iſt + b. Dann
dieſe Diviſio gehet auf und bleibet nichts als
ein Bruch/ dann man ſetzet und operiret alſo
A 3rendition="#rightBraced"\>+ a b
+ a + b.
[6]Elementa Geometriæ Lib. I.
+ a b
+ a + b. oder - ab
- a + b. Oder wann es
wie ein Bruch geſetzet wird/ alſo a \frac{b}{a} ſo
darff man nur die gleiche Buchſtaben oben
und unten wegſtreichen/ bleibet b.

Soll man aber dividiren + a b mit – a. oder
–ab mit + a, der quotient iſt – b. eben ſo ver-
richtet wie zuvor. Und \frac{ab-ac}{b-c} gibt + a.

RADIX QUADRATA.

Weil eine gewiſſe Groͤſſe mit ſich ſelber mul-
tipliciret/ einen quadrat zum facit hat/ als b
mit b, gibt bb. und bc gibt bbcc. ſo folget daß
alle die Buͤchſtaͤbliche Groͤſſen/ da man die
Zahl eines jeden darinn degriffenen Buch-
ſtabes halbiren kan ein Quadrat iſt/ als
aabbcc. iſt ein Quadrat, und aabbccdd iſt auch
ein Quadrat. \&c.

Hieraus folget auch daß um die Radix qua-
drata einer ſolchen Groͤſſe zu extrahiren/ man
nur darff die Helffte der Zahl eines jeden
Buchſtabs nehmen Als die Radix quadra-
ra von aabbcc iſt abc und von bb iſt b. und
von aabbccdd iſt abcd. \&c.

Nota. Jn dieſer Art calculation, wann ein
Buchſtab mehr als zwey oder drey mahl
beyeinander kommen ſolte/ ſchreibt man nur
einmahl den Buchſtaben mit einer kleinen
Zahl oben hinter/ als an ſtatt aaa, ſchreibet
man a3 an ſtatt/ bbbb, ſchreibet man b4.
an ſtatt aaa bbbb. ſchreibet man a3b4. \&c.

Man muß aber auch wohl obſerviren/ daß21.
ein groſſer Unterſcheid iſt zwiſchen 2a. und
a2. zwiſchen 2b und b2. Dann 2b iſt nur
an ſtatt b+b. aber b2. iſt an ſtatt bb. Wann
aber nun b ∝ 3. ſo iſt b+b. oder 2b ſo viel
als 6. aber bb. oder b2. iſt ſo viel als 9. nehm-
lich 3 mahl 3.

RADIX CUBICA.

Wann ein Quadrat mit ſeiner Radix mul-22.
tipliciret wird/ der Product iſt ein cubus, als
aa. mit a multipliciret/ das facit a3. oder aaa. iſt
ein Cubus, und aabb. mit ab multipliciret,
gibt den cubus a3b3. \&c. Hieraus folget daß
alle die buchſtaͤbliche Groͤſſen/ da die Zahl ei-
nes jeden darinn begriffenen Buchſtabes
mit 3. auffgehet/ lauter cubus ſeynd.

Darum dann um die Radix cubica einer
ſolchen Groͤſſe zu extrahiren/ ſo darff man
nur das drittel der Zahl eines jeden Buch-
ſtabs nehmen/ ſo hat man die Radix cubica
als die Radix cubica von a3. oder von aaa. iſt
a. und von a3b3. iſt ab \&c.

ADDITIO in Bruͤchen.

Soll man addiren {a}{b} mit {c}{d} ſo iſt die ſum̃a24.
{a}{b} + {c}{d}.

Soll man addiren {a}{b} mit – {c}{d} die ſum̃a
iſt {a}{b} — {c}{d}.

Soll man aber addiren {a}{b} mit {c}{b} ſo iſt die
ſumma {a}{b} + {c}{b} oder {a+c}{b}

SUBTRACTIO in Bruͤchen.

Soll man ſubtrahiren {a}{b} von {c}{d} ſo iſt der
Reſt {c}{d} — {a}{b}

Soll man aber ſubtrahiren {a}{b} von {c}{b}
ſo iſt der Reſt {c-a}{b}

MULTIPLICATIO in Bruͤchen.

Soll man multipliciren {a}{b} mit {c}{d} ſo kom-
met der Product {ac.}{bd} und ſo mit den andern
allen. Wann man nemlich die zwey Zeh-
ler miteinander multipliciret, und machet ei-
nen neuen Zehler darauß/ und daß man
auch die zwey Nenner miteinander multipli-
ciret und machet einen neuen Neñer drauß.

Soll man aber multipliciren {a}{b} mit a. ſo iſt
es eben als wann es waͤre mit {a}{1} ſo kommet
das facit {aa}{1b} oder {aa}{b} dann 1. wird allzeit bey
einem Buchſtab verſtanden/ wo keine Zahl
davor ſtehet.

Soll man multipliciren {a}{b} mit b, ſo kommet28.
{ab}{b} oder a. allein/ weil ein Bruch oben und
unten mit einerley groͤſſe dividiret/ aͤndert
ihren werth nicht/ darum im vorigen Bruch/
wann ich dividire ab. mit b. ſo kommet a.
und b mit b. ſo kommet 1. alſo iſt dann der
Bruch kommen auf {a}{1} welches ſo viel gilt
als a allein/ weil alle gantze/ koͤnnen alle-
zeit mit dem Nenner 1. geſchrieben werden/
wann man will/ dann ich kan ſchreiben
{b}{1} an ſtatt b. und auch \frac{8}{1} an ſtatt 8. es bleibet
allezeit in ſeinem Werth. Hieraus folget
dieſe General-Regel, daß wann man einen
Bruch mit ſeinem Nenner multipliciren ſoll/
ſo darff man nur den Nenner weg thun/ und
den Zehler fuͤr das facit geben. Soll ich
multipliciren {ab}{c} mit c. ſo iſt das facit ab.

Soll ich multipliciren ⅞ mit 8. ſo iſt das fa-
cit 7. \&c.

DIVISIO in Bruͤchen.

Soll ich dividiren \frac{a}{b} mit \frac{c}{d} ſo iſt der Quo-29.
tient\frac{ad}{bc}. Wann man nehmlich den Zeh-
ler des dividendus multipliciret mit dem
BNen-
[10]Elementa Geometriæ Lib. I.
Nenner des diviſors, und machet daraus ei-
nen neuen Zehler/ und daß man auch den
Nenner des dividendus mult ipliciret mit dem
Zehler des diviſors, und machet daraus den
neuen Nenner.

RADIX QUADRATA in Bruͤchen

Man darff nur die Radix des Zehlers
nehmen und einen neuen Zehler daraus
machen/ und die Radix des Nenners/ und ei-
nen neuen Nenner daraus machen/ dieſer
neue Bruch iſt die Radix des Erſten/ als die
Radix Quadrata von \frac{aa}{bb} iſt \frac{a}{b}. Von \frac{a^4bb}{cc}. iſt
\frac{aab}{c}. und ſo mit den andern allen.

RADIX CUBICA in Bruͤchen.

Man darff auch nur die Radix cubica des
Zehlers nehmen und einen neuen Zehler
daraus machen/ und eben auch die Radix cu-
bica des Nenners und einen neuen Nenner
daraus machen/ ſo iſt dieſer neue Bruch die
Radix cubica des Erſten. Als die Radix cu-
bica von \frac{a^3}{b^3} iſt \frac{a}{b}. und von \frac{a^3b^6}{c^3} iſt \frac{abb}{c} und
ſo mit den andern allen. Nun wollen wir
zu unſerm rechten Zweck der Proportion
oder Ebenmaͤßigkeit ſchreiten.

Problemata,oder Werck-Stuͤck/
betreffend dieGeometriſche Gleich-
maͤßigkeit.

I.

DRey Groͤſſen werden vorgegeben/ als
4. 6 ∷ 10. und man ſoll eine vierte
ebenmaͤßige finden? multipliciret die
zwey aͤuſſerſten Saͤtze auf die rechte Hand 6.
und 10. mit einander/ welche die mittelſte in
der Proportion ſeynd/ ihr Product d. n. 71 wird
auch der Product der zwey aͤuſſerſten ſeyn/
darum dividiret dann dieſen Product 60 mit
dem erſten Satz 4. der Quotient 15. wird die
vierdte ebenmaͤßige Groͤſſe ſeyn die man ſu-
chet.

II. Zwo Groͤſſen 4. und 6. werden gege-
ben/ und man ſoll ihnen eine Dritte eben-
maͤßige finden? Wiederhohlet die andere/
nehmlich 6. alſo 4. 6 ∷ 6. und ſuchet wie zu-
vor eine vierdte proportionirte/ ſo findet ihr
9. fuͤr die geſuchte Zahl alſo 4. 6 ∷ 6. 9.

III. Zwo Groͤſſen werden vorgegeben/ und91
man ſoll zwiſchen denſelben eine Mittel-pro-
portional finden?

Mu[l]tipliciret zuſammen die zwo vorgege-
bene Groͤſſẽ 4 und 9/ und aus ihrem Product
36 ziehet die Quadrat-Wurtzel 6. dieſe iſt die
geſuchte Mittel-proportional dann ∺ 4. 6. 9.

IV. Es werden gegeben der kleineſte und92
der ihm nechſtfolgende Satz eines Geome-
triſchen Fortgangs/ und auch die Zahl aller
Saͤtze/ und man ſoll den groͤſten Satz finden?

Man ſuchet erſt die gemeine Verhaltnuͤß
der Progresſio, indem man den andern Satz
mit dem kleineſten dividiret/ hernach wann
nur drey Saͤtze der Progresſio waͤren/ ſo muͤ-
ſte man dieſe gemeine Verhaltnuͤß mit ſich
ſelber multipliciren/ wo vier Saͤtze waͤren/ ſo
muͤſte man dieſen Product noch wieder mit
der ratione communi multipliciren/ wo fuͤnff
Saͤtze waͤren/ noch einmahl eben mit der
gemeinen Verhaltnuͤß multipliciren/ und
immer ſo fort/ aber endlich muͤſte man
allemahl zum Beſchluß den letzten Product
mit dem erſten und kleineſten Satz multi-
pliciren/ ſo haͤtte man den groͤſten und
letzten/ aber die Compendia oder Verkuͤr-
tzung muͤſſen mit Worten und Exempel ge-
lehret werden/ um die Weitlaͤufftigkeit zu
meiden.

Es werden gegeben der erſte Satz/ der93
andere Satz/ und der letzte Satz eines Geo-
metriſchen Fortgangs/ und man ſoll die
Summam aller Saͤtze finden?

Suchet die gemeine Verhaltnuͤß/ wie in-
dem geſagt/ multipliciret dieſelbige mit dem
groͤſten Satz/ von dem Product, ziehet den
kleineſten Satz ab/ und dividiret den Reſt
mit der gemeinen Verhaltnuͤß/ weniger 1;
was da kommet/ iſt die Summe der gantzen
Progresſio.

Es werden gegeben der erſte und der an-
dern Satz eines unendlich fallenden Fort-
gangs/ und man ſoll die Summe aller ihrer
Saͤtze finden?

Thut wiederum wie bey N°. 92 gelehret
iſt/ und erinnert euch nur/ daß der klei-
neſte Satz hier fuͤr 0. geſchetzet wird.

Eigenſchafften.

WAnn man auff folgende Weiſe/ die100
Arithmetiſche Proportio vorſtellet/
ſo erhellen gleich daraus faſt alle
ihre Eigenſchafften/ nehmlich/ an ſtatt 5. 9 :
11. 15. alſo/ 5. 5 + 4: 11. 11 + 4. und an ſtatt 9. 5 :
15. 11. alſo/ 9. 9—4 : 15. 15—4. dann die
Natur dieſer Ebenmaͤßigkeit wird gleich da-
durch begriffen/ und mit Buchſtaben wird
ſie ſo vorgeſtellet/ a. a + b : c. c + b. oder auch/
a. a—b : c. c—b.

Wann zwo Groͤſſen gegeben werden/ als101
Fa. und
[42]Elementa Geometriæ Lib. I.
a. und a + b. oder a. und a—b. und daß
man zu einer jeden eine dritte Groͤſſe addiret/
als c. oder ſelbige von einer Jeden abziehet/
ſo bleiben die Summen/ oder die Reſte in ih-
rer erſten Arithmetiſchen Verhaltnuͤß.
Dann a + c. a + c + b : a. a + b. Und auch/
a—c. a—c + b : a. a + b \&c.

Vier Arithmetiſch ebenmaͤßige Saͤtze/
bleiben immer in einer Arithmetiſchen Pro-
portion in den acht unterſchiedenen Vorſtel-
lungen die bey der Geometriſchen Propor-
tion notiret worden ſeynd No. 80. nehmlich
permutando, alternando, inverſio alterni, und
die Æquivalentes/ welches augenſcheinlich
iſt/ wann man ſie nur mit Buchſtaben vor-
ſchreibet.

Wann vier Saͤtze Arithmetiſch ebenmaͤſ-
ſig ſeynd/ und man addiret zu ihnen/ oder ſub-
trahiret von ihnen vier andere Saͤtze/ die
auch gleicherweiſe ebenmaͤßig ſeynd/ die
Sum̃en oder die Reſte bleiben noch in Arith-
metiſcher Ebenmaͤßigkeit. Welches wieder
augenſcheinlich wird/ durch die ſchlechte Vor-
ſtellung mit Buchſtaben/ als:

Es ſeye

Addiret und ſubtrahiret

• a. a + b : c. c + b.
• d. d + e : f. f + e.

Die Summa:
a + d. a + d + e + b : c + f. c + f + e + b.

Die Differentia oder Reſt:
a—d. a + b—d—e : c—f. c + b—f—e.

Wann vier Saͤtze Arithetiſch ebenmaͤs-
ſig
[43]Elementa Geometriæ Lib. I.
ſig ſeynd/ die Summe der zwey mittelſten
iſt gleich der Summe der zwey aͤuſſerſten.
Daß wird gleich mit Buchſtaben augen-
ſcheinlich/ als/ a. a + b : c. c + b. die gemeine
Summe iſt a + b + c.

Hieraus folget/ daß wañ die drey Groͤſſen105
÷ a. b. c. eine gebundene Arithmetiſche Eben-
maͤßigkeit machen/ ſo iſt die Sum̃e der aͤuſſer-
ſten Saͤtze gleich dem zweyfach des mittel-
ſten Satzes/ das iſt/ a + c ∝ 2 b. Das erhellet
aus dieſer Vorſtellung ÷ a. a + b. a + 2 b.
Die gemeine Summe iſt 2 a + 2 b, das zwie-
fach des mittelſten Satzes.

Jn einem Arithmetiſchen Fortgang/ als106
÷ a. a + b. a + 2 b. a + 3 b. a + 4 b. a + 5 b. ꝛc.
Die gleich entfernete Saͤtze ſeynd auch in
Arithmetiſcher Ebenmaͤßigkeit/ als/ der erſte
ſtehet zu dem dritten/ wie der vierdte zu dem
ſechſten a. a + 2 b: a + 3 b. a + 5 b. oder/ der erſte
ſtehet zu dem andern/ wie der fuͤnffte zu dem
ſechſten a. a + b : a + 4 b. a + 5 b. und ſo mit
den andern allen.

Aus dieſen Gruͤnden oder Fundament flieſ-
ſen alle folgende Weꝛck-Stuͤcke oder Proble-
mata, wiewohl ich den Beweiß davon hier
nicht weitlaͤufftig ausfuͤhren will/ geliebter
Kuͤrtze wegen.

Werckſtuͤcke oderProblemata.

ES werden drey Groͤſſen gegeben in107
Arithmetiſcher Proportion, und man
ſoll die vierdte finden?

Als 5. 9 : 8. Addiret zuſammen die zwey
Saͤtze 9. und 8. welche die mittelſte in der
Proportion ſeynd/ und von ihrer Summe 17.
ziehet ab die erſte 5. der Reſt 12. iſt die geſuch-
te Groͤſſe/ das iſt/ 5. 9 : 8. 12.

Es werden zwo Groͤſſe vorgegeben 5. und
13. und man ſoll ein Mittel Arithmetiſch-pro-
portional finden?

Addiret die zwo gegebene Groͤſſen zuſam-
men/ thut 18. halbiret das/ ſo kommet 9. fuͤr
die geſuchte Mittel-Proportional, das iſt/
÷ 5. 9. 13.

Was angehet die Problemata oder Werck-
Stuͤcke des Arithmetiſchen Fortgangs/ Pro-
greſſionis Arithmeticæ, die wollen wir hier
gantz kurtz mit Buchſtaben vorſtellen/ und
zu dem Ende muß man obſerviren/ daß fuͤnff
Dinge hieꝛ koͤnnen betrachtet werden/ nehm-
lich/ 1. der erſte Satz/ 2. der letzte Satz/ 3. die
Zahl aller Saͤtze/ 4. der gemeine Reſt/ oder
differentia communis, 5 und 5°. die Summe
aller Saͤtze/ welche wir mit Buchſtaben/
wie folget/ benennen wollen.

• a. Der erſte Satz/ und ſehr offt der kleineſte.
• m. Der letzte Satz.
• n. Die Zahl aller Saͤtze.
• d. Differentia communis, gemeiner Reſt.
• S. Die Summe aller Saͤtze.
  
  • Aber Kuͤrtze willen wollen wir noch dieſe
    drey Benennungen geben/ nehmlich
• b ∝ n—1. z ∝ a + m.
• V. Das Zeichen heiſt Radix Quadrata.

x ∝ Der Unterſcheid oder der Reſt der aͤuſ-
ſerſten Saͤtze/ wenn man nehmlich den klei-
neſten von dem groͤſten abziehet.

Nun muß in einem Werck-Stuͤck oder
Problema wohl diſtinguiret werden/ was ge-
geben wird/ von dem was man ſuchet/ data,
und quæſita. Die Sache aber iſt hier ſo be-
ſchaffen/ daß wann man unter die fuͤnff vori-
ge Dinge nur drey gibt/ welche man will/ ſo
kan man durch Rechnung die zwey andern
finden/ wie folget.

Jn dieſen neun Werckſtuͤcken oder Proble-
matis beſtehet die Auffloͤſung von allen und
jeden curioͤſen Fragen/ die man gemeiniglich
auf die gebundene Arithmetiſche Ebenmaͤſ-
ſigkeit pfleget zu thun/ davon aber die Exem-
pel hier zu weitlaͤufftig waͤren/ auszulegen/
und die wir fuͤr die muͤndliche Information
bey den Curioͤſen reſerviren.

Zugabe. Weil der umgekehrte des n. 71.
gebrauchet wird etliche andere zu beweiſen/
ob er gleich natuͤrlich klar genug iſt/ ſo wol-
len wir doch ſeinen Beweiß hier beyſetzen/
damit man keinen Zweiffel hierauf vor-
wenden koͤnne/ und ſolches wollen wir
thun/ alſo:

Man gibt fuͤr gewiß/ daß ad ∝ bc. und
daraus ſoll man beweiſen/ daß dann auch
a. b ∷ c. d. Nun aber d. n. 64. a c. b c ∷ a. b.
und eben darum c a. a d ∷ c. d. Aber weil
man ſetzet/ daß ad ∝ bc. ſo iſt dann d. n. 70.
a c. b c ∷ a c. a d. Darum ſo iſt auch d. n.
65. a. b ∷ c. d. W. Z. B. W.

Ende deß erſten Buchs.

Eigenſchafften.

I.

WAnn man von einem Punct A. zu120
einem andern B. fig. 9. eine gerade
Linie ziehet/ und viele andere/ die da
kruͤmmen auf einerley Seite/ oder auch die
gekruͤmt ſeynd auf einerley Seite/ die kuͤrtze-
ſte iſt die gerade Linie A B. und die laͤngſte iſt
A C B. fig. 9. die ſich am meiſten von der ge-
raden entfernet.

Hieraus folget/ daß die gerade Linie das121
rechte Maaß iſt oder ſeyn ſoll/ von der Di-
ſtantz zweyer Punct.

II. Durch zwey Puncte kan man viele122
krumme Linien ziehen/ aber nur eine gerade.

Hieraus ſchlieſſet man 1°. daß die Stel-123
lung einer geraden Linie/ folget aus der Stel-
lung zweyer ihrer Puncten. 2°. Daß eine
gerade Linie A B. fig. 10. eine andere gerade
Linie C D. nur in einem einigem Punct E.
durchſchneidet/ dann wann ſie ſelbige in zwey
Puncte ſchneiden ſolte/ ſo wuͤrdẽ ſie alſo zwey
Punct gemein haben/ und waͤren alſo uͤber-
einander gelegt/ und nur eine Linie aus-
machen.

III. Wann zwey Punct C. und D. fig. 11.124
einer geraden Linien/ ein jeder gleich entfer-
net ſeynd/ von zweyen andern Punctẽ A. und
B. auf beyden Seiten geſetzet/ ſo wird ein je-
der anderer Punct von ſelbiger Linie/ als E.
auch gleich entfernet ſeyn von A. und B.

Dann die Stellung der Linie C D. folget
aus der Stellung zweyer Puncten C. und
D. durch n. 123. aber dieſe zwey Puncte ſeynd
gleich entfernet von A. und von B. Ergo, ſo
iſt dieſe Linie alſo gerichtet/ daß alle ihre
Puncte muͤſſen gleich entfernet ſeyn von A.
und von B.

Hieraus folget/ daß wo man die Linie A
B. fig. 12. ziehen wird/ ſo wird ſie durch C D.
in der Mitte getheilet ſeyn.

Wann ein Punct G. fig. 13. neben
der Linie C D. vorhergehender Stellung
ſtehet auf der Seite B. ſo iſt er durch n. 124.
naͤher an B. als an A.

Und wann in dieſer Flaͤche der Punct H.
ſo weit von A. als von B. ſich befindet/ ſo
wird die Linie C D. durch dieſen Punct H.
fahren/ wo ſie verlaͤngert wird. Dann
wann dieſer Punct neben der Linie gegen B.
waͤre/ als G, ſo waͤre er wie wir in dem geſe-
hen naͤher/ an B. als an A. welches lauffet
wider unſern erſten Satz.

Eigenſchafften.

I.

JN einem einigen Circkel/ oder auch in
gleichen Circkeln ſeynd alle Radius ein-
ander gleich/ wie auch alle Diameter,
die Gradus, und Minuten ſeynd darinnen
auch gleich/ und folglich die Bogen von glei-
cher Zahl Gradus und Minuten/ und die Bo-
gen deren Chorda gleich ſeynd/ und die Chor-
dæ deren Arcus gleich ſeynd/ ſeynd alle gleich/
welches klar iſt durch die uͤberall Gleichfoͤr-
migkeit (uniformitas) des Circkels. fig. 20. 21.

Hieraus folget/ daß der Diameter den Um-
kreiß/ und auch den Circkel ſelbſt in zwey glei-
che Theile ſchneidet.

II. Eine gerade Linie A B. kan die Cir-
cumferentz des Circkels nicht mehr als in
zwey Puncten durchſchneiden/ dann das iſt
klar durch die Natur des Circkels und der
geraden Linie. fig. 22.

III. Jn einem Circkel/ die groͤſte Bogen/
(hierdurch verſtehe ich doch ſolche Bogen/
die kleiner ſeynd als der halbe Umkreiß/) ha-
ben auch die laͤngſte Chorda, und wieder-
kehrig/ die laͤngſte Chordæ unterſpannen
auch
[55]Elementa Geometriæ Lib. II.
auch groͤſſere Bogen/ wie in AB. fig. 22. die-
ſes iſt klar wie zuvor.

IV. Wañ unter vielen Circkeln die Con-143
centricus ſeynd/ oder die ein gemeines Cen-
trum haben/ einer iſt/ der durch die Radius in
gleiche Theile getheilet iſt/ ſo werden die an-
deren alle auch durch dieſe fortgeſtreckte Ra-
dins (wo es noͤthig iſt) in eben ſo viel gleiche
Theile getheilet/ und darum/ wann einer alſo
in Gradus getheilet waͤre/ ſo waͤren ſie es alle.
fig. 23. folches iſt klar wie das vorige.

Hieraus folget/ daß wozwey Radius C A.144
C B. fig. 24. viele Circumferentzen/ die ein ge-
meines Centrum haben/ durchſchneiden/ ſo
werden ſie ſo viel Gradus in einem Umkreiß
als in denen andere abſchneiden. Klar wie
zuvor.

V. Zwey Diameter A B. C D. fig. 25. ſchnei-145
den in einem Circkel ab auf beyden Seiten
zwey gleiche Bogen A C. B D. Dann A C B.
iſt eine halber Umkreiß durch n. 140. C B D.
eben deßgleichen; Ergo ſeynd ſie einander
gleich/ und wann man von ihnen abziehet
den gemeinen Bogen C B. ſo werden auf
beyden Seiten uͤberbleiben die zwey gleiche
Bogen A C. B D. durch n. 57.

Problemataoder Werckſtuͤcke.

I.

AUs einem Punct C. fig. 26. der gegeben146
als Centrum, und mit einer gegebenen
Laͤnge A. einen Circkel zu beſchreiben?

Machet euren Circkel auf von der Weite
A. und ſetzet deſſen eine Spitze in C. und be-
ſchreibet alſo den begehrten Circkel.

Es iſt natuͤrlich klar. 1°. Daß aus einem
einigen Centro, und mit einer einigen Oeff-
nung man nur einen einigen Circkel beſchrei-
ben koͤnne. 2°. Daß die Circkel/ die mit glei-
cher Oeffnung beſchrieben werden/ auch
gleich ſeynd.

II. Eine gerade Linie zu finden/ deren alle
die Puncte gleich entfernet ſeynd von zweyen
gegeben Puncten A. und B. fig. 27.

Aus dieſen zwey Puncten A. und B. als
Centrum, und mit einer einigen Oeffnung
nach Belieben genommen/ machet vier Bo-
gen/ die einander zwey und zwey durchſchnei-
den/ in C. und D. und ziehet die Linie C D.
dieſe iſt es die man begehret. Dann
durch die Bewerckſtellung ſind C. und D.
gleich entfernet von A. und B. darum werden
auch alle die andere Puncten dieſer Linie
C D. gleich entfernet bleiben von A. und B.
durch n. 124.

Es iſt auch natuͤrlich klar/ daß wann der
Punct C. fig. 28. gleich entfernet iſt von A.
und von B. und man aus dieſem Punct C.
der Linie C D. und mit der Oeffnung A C.
einen Circkel beſchreibet/ ſo wird dieſer Cir-
ckel auch durch B. fahren/ und daß die Linie
C D. in ſich begreiffet alle die Mittel-Puncte
von allen den Circkeln/ die durch A. und B.
fahren werden/ weil ſie durch n. 124. in ſich
begreiffet
[57]Elementa Geometriæ Lib. II.
begreiffet alle die gleich entfernete Puncte
von A. und B. und daß alle die Centrum derer
Circkel/ die durch A. und B. fahren koͤnnen/
auch muͤſſen ihre Centrum gleich entfernet
haben/ von A. und von B.

III. Fig. 29. Eine gerade Linie A B. in zwey149
gleiche Theile zu theilen.

Suchet durch das vorige Werckſtuͤck die
Linie C D. deren alle Puncte gleich entfernet
ſeynd von A. und B. der Durchſchnitz-Punct
M wird die Mitte ſeyn/ durch n. 124.

Fig. 30. Eben das muß man thun/ um ei-150
nen Bogen A B. in zwey gleiche Theile zu
theilen.

IV. Fig. 31. Die Circumferentz eines Cir-151
ckels durch drey gegebene Puncte A. B. C.
fahren zu laſſen?

Fig. 31. Machet die gerade Linie E F. deren
alle Puncte gleich entfernet ſeyen von A.
und B. durch n. 147. Machet hernach auch
auf eben die Weiſe/ die gerade Linie G H.
deren alle Puncte gleich entfernet ſeyen von
B. und C. der Durchſchnitz-Punct K. wird
das geſuchte Centrum ſeyn/ durch die Be-
werckſtellung.

Notiret aber/ daß wann die drey Puncte in
einer geraden Linie waͤren/ die Auffgabe un-
muͤglich waͤre/ weil eine gerade Linie eine Cir-
cular-Linie nicht in drey Puncte durchſchnei-
den kan/ durch n. 140.

V. Wie man das Centrum eines Circkels152
oder auch nur eines Bogens finden kan/ wañ
es verlohrẽ waͤre?

Fig. 31. Nehmet auf die Circumferentz oder
auf dem Bogen drey Puncte/ als A. B. C.
und thut wie im vorigen Werckſtuͤck und in
voriger Figur.

Eigenſchafften der Gerad-Lini-
ſchen Winckel.

I.

DAs Maaß eines Winckels iſt der Bo-
gen eines Circkels/ deſſen Centrum
auf die Spitze des Winckels iſt/ und
der Bogen zwiſchen die Beine deſſelben; Alſo
iſt das Maaß des Winckels A B C. fig. 33.
der Bogen AC. deſſen Centrum iſt in B. und
wenn
[59]Elementa Geometriæ Lib. II.
wenn alſo dieſer Bogen waͤre von 60. Gra-
dus, ſo wird man ſagen/ der Winckel A B C.
ſeye von 60. Grad.

Hieraus folget 1. Fig. 34. Daß je mehr man158
den Winckel oͤffnet/ je groͤſſer wird der Bo-
gen/ und daß wann dieſer Bogen A C.
gleich einer halben Circumferentz/ die zwo Li-
nien A B. B C. nicht mehr einen Winckel/ ſon-
dern eine einige gerade Linie machen. 2. Daß
wann man den Bogen A C. groͤſſer machet/
als die halbe Circumferentz/ der Winckel
puckelicht wird/ und gegen uͤber einen hohlen
Winckel machet/ den man gemeiniglich be-
trachtet. 3. fig. 36. Es gilt gleich/ mit welcher
Oeffnung man den Bogen A C. macht/
w[e]lcher den Winckel meſſet/ dann ſeine
Schenckel werden eben ſo viel Gradus eines
groſſen Circkels A C. als eines kleinen a c.
abſchneiden/ durch n 143. darum kommet die
Groͤſſe eines Winckels nicht von der Laͤnge
ſeiner Schenckel/ ſondern von der Oeffnung
die darzwiſchen iſt/ alſo daß man dieſe
Schenckel laͤnger oder kuͤrtzer machen kan/
ohne Veraͤnderung des Winckels.

II. Fig. 37. Zwey Winckel ABC. DEF.159
ſeynd gleich/ wann ſie gleiche Bogen eines ei-
nigen Circkels fuͤr ihre Maaß haben/ oder
auch zweyer gleichen Circkel/ oder endlich/
wann ſie Bogen gleicher Zahl Gradus fuͤr
ihre Maaß haben in ungleichen Circkeln.

Es ſeynd dreyerley Sorten Winckel/ nehm-160
lich gerade/ ſpitzige/ oder ſcharffe/ und ſtumpf-
fe.

Fig. 38. Der gerade Winckel A. hat fuͤr
ſeine Maaß das Viertel der Circumferentz/
oder 90. Grad, alſo daß zwey gerade die hal-
be Circumferentz fuͤr ihre Maaß haben/ nehm-
lich 180. Grad, und vier Gerade den gantzen
Circkel/ oder 360 Grad.

Fig. 39. Alle Winckel/ als B. die kleiner
ſeynd als ein gerader/ heiſſen ſpitzig/ oder
ſcharff.

Fig 40. Alle Winckel/ als C. die groͤffer
ſeynd als ein gerader/ heiſſen ſtumpff.

Fig. 41. Wann der Winckel B C D. neben
164dem Winckel D C A. geſetzt/ einen geraden
Winckel ausmachet/ ſo heiſſet der eine das
Complementum des andern.

Fig. 42. Und wann der Winckel E C D.
neden dem Winckel D C A. geſetzt/ zwey
gerade Winckels ausmachet/ ſo heiſt einer
das Complement im halben Circkel/ oder
ſchlechthin und kuͤrtzer/ das Supplementum
des andern.

Fig. 43. Es iſt klar/ daß wañ zwey Winckels
A C D. F G H. einander gleich ſeynd/ ſo ſeynd
ihre Complement, als D C B. H G K. auch
einander gleich/ wie auch ihre Supplement
D C E. und H G L.

IV. Fig. 44 Wann man aus einem Punct
C. einer geraden Linie A B. gegen einerley
Seite viele andere Linien ziehet/ als CD.
CE. CF, alle die Winckel/ die ſie da formi-
ren/ wañ ſie zuſam̃en genom̃en werden/ thun
ſo viel/ als zwey gerade Winckel/ weil ſie die
halbe
[61]Elementa Geometriæ Lib II.
halbe Circumferentz fuͤr ihre Maaß haben.

Fig. 45. Wann zwo oder mehr Linien/ als168
A C. D C. F C. G C. einander begegnen
in einem einigen Punct C. alle die Winckel/
die ſich um dieſen Punct formiren werden/
werden vier geraden Winckeln gleich ſeyn/
weil ſie eine gantze Circumferentz fuͤr ihr
Maaß haben werden.

V. Fig 46 Wann zwo gerade Linien/ als169
AB. DE. einander im Punct C. durchſchnei-
den/ ſo werden ſie zwey einander gegenuͤber-
ſtehende Winckels formirẽ/ als ACE. DCB.
die einander gleich ſeyn werden/ durch n. 165.
Dann ein jeder iſt das Suppiement eines ei-
nigen Winckels A C D.

Problemataoder Werckſtuͤcke.

I.

AUf einer Linie AB. fig. 47. in einem ge-170
gebenen Punct A. einen Winckel
formiren/ der gleich ſey einem gegebe-
nen Winckel E.

Aus der Spitze E. des gegebenen Win-
ckels/ beſchreibet den Bogen F G nach Be-
lieben; und aus dem Punct A der gegebe-
nen Linie mit voriger Oeffnung des Circkels/
beſchreibet den Bogen BC. auf welchem
nehmet B C. gleich F G. und ziehet die Linie
A C. der Winckel A. wird gleich ſeyn dem
Winckel E. durch n 138. Dann ſie fuͤr ihre
Maaß haben werden gleiche Bogen von
gleichen Circkeln BC, FG.

II. Fig. 48. Einen gegebenen Winckel A.
in zwey gleiche Theile zu theilen?

Aus dem Punct A. beſchreibet nach Be-
lieben den Bogen B C. und aus den Puncten
B. und C als Centrum beſchreibet/ auch mit
einer beliebigen Oeffnung/ den Creutzſchnit
D. ziehet die Linie A D. die wird den Win-
ckel A. in zwey gleiche Theile theilen/ durch
n. 150.

Eigenſchafften.

I.

EJne Linie ACE. fig. 51. die perpendicular174
auf B D. iſt/ machet mit derſelben auf
einerley Seite die zwey gerade Win-
ckels B C A. A C D und wañ ſie ſelbige durch-
ſchneidet/ ſo machet ſie mit derſelben 4. gera-
de Winckels. Es iſt die umgekehrte des n. 172.

Fig. 52. Eine Obliqua, als F K. auf H G.
machet mit derſelben auf einerley Seite
zwey Neben-Winckels H K F. F K G den ei-
nen ſtumpff/ den andern ſcharff/ welche zu-
ſammen genommen zweyen geraden gleich
ſeynd/ und wann ſie durchſchneidet/ ſo ma-
chet ſie 4 Winckels/ zwey ſtumpffe und zwey
ſcharffe/ die miteinander 4. geraden Win-
ckeln gleich ſeynd. Es iſt die umgekehrte des
n. 173.

Hieraus folget/ daß/ wann zwo Linien mit-175
einander einen geraden Winckel machen/ ſo
ſeynd ſie einander perpendicular, und wann
ſie miteinander einen ſpitzigen oder ſtumpffen
Winckel machen/ ſo ſeynd ſie ſchieff oder
obliquæ.

II. Fig 53. Wann ein Punct C. einer per-176
pendicular gleich entfernet iſt von zweyen
Puncten B. und D. der Linie/ worauff ſie
Bleyrecht iſt/ ſo ſeynd alle die andere Puncte
der Perpendicular A C. gleich entfernet von
dieſen zweyen B und D.

Dann/ man ſetze nur/ daß dieſe Flaͤche
gefalten
[64]Elementa Geometriæ Lib. II.
gefalten oder gebrochen waͤre in der Laͤnge
der ⊥ A C. das Theil/ CD. wird fallen juſte-
ment auf C B. und der Puuct D. auff B.
und alsdann wird die Diſtantz oder Ent-
fernung eines jeden Puncts der ⊥ AC. gegen
die Puncten D. und B. eben dieſelbige ſeyn/
nun aber/ wann man dieſe Flaͤche wieder
aufmachet/ ſo aͤndern ſich dieſe Diſtantzẽ nicht.
Ergo, ſo ſeynd dann alle die Punct der ⊥
A C. gleicher Diſtantz von dieſen zwey Pun-
cten D. und B.

Hieraus folget/ daß wann eine Linie zwey
ihrer Puncten gleich entfernet hat/ von
zweyen Puncten einer andern Linie/ ſo ſeynd
dieſe Linien einander porpendicular.

III. Fig. 54. Wañ man von einem Punct
C. auf A B. eine ⊥ CG. ziehet und ande-
re obliquæ C E. C F. C G. So iſt 1. die ⊥
die kuͤrtzeſte unter allen. 2. Die ſchiefe C G.
die am weiteſten von der ⊥ iſt/ iſt die laͤngſte/
und 3. die zwo ſchiefe C E. C F die gleich ent-
fernet von der ⊥ ſeynd auch einander gleich.

Dann wann man die ⊥ verlaͤngert biß in
H. alſo daß D H. gleich ſeye C D. und daß
man die ſchiefe H E. H F. H G. ziehe/ die da
gleich ſeyn werden denen C E. C F. C G.
welches durch die Na tur der Figur klar iſt/
ſo iſt 1. die gerade C H. kuͤrtzer als die gekruͤm-
mete C E H. Ergo C D. die Helffte C H.
iſt auch kuͤrtzer als C E. die Helffte der ge-
kruͤmten C E H. 2. Die gekruͤmte C G H.
iſt laͤnger als C F H. die ſie einſchlieſſet. Ergo
ihre
[65]Elementa Geometriæ Lib. II.
ihre Helffte C G. iſt auch durch n. 66. laͤnger
als die Helffte C F. 3. Weil der Punct D.
der ⊥ gleich entfernet iſt von E. und von F. ſo
iſt der Punct C. auch von ihnen gleich entfer-
net durch n. 176. und darum ſeynd auch die
ſchieffe C E. C F. einander gleich.

Hieraus folget fig 55. u. 56. 1. Daß von einem179
Punct D nur eine ⊥ auff eine Linie A B kan ge-
zogen werden/ uñ daß die ⊥ das rechte Maaß
iſt der Diſtantz eines Puncts gegen einer Linie.
2. fig. 57. Daß man aus einem gegebenen
Punct nicht drey gleiche ſchiefe Linien auf
einer Line ziehen kan/ ſondern nur immer zwo
und zwo gleiche CE, CF./ und darum auch/
daß eine gerade Linie nur immer zwey und
zwey Puncte gleich entfernet von einem drit-
ten Punct haben kan/ und niemahls drey.

IV. Fig 58. Wann man von einem Punct180
C. auſſer einer Linie A B. auf ſelbige zwo
andere Linien ziehet C F. C G. ſo iſt der aus-
wendige Winckel C F A groͤſſer als der in-
wendige C G A. Dann wann man ſich ein-
bildet/ daß ſich der Winckel A G C. beweget
nach der Laͤnge der Linie G A, alſo daß ſeine
Spitze G ſich in F. befinde/ alsdann wird ſich
die Seite G C in F L. befinden/ aber d. ax. 1.
der Winckel C F A. iſt groͤſſer als der Win-
ckel L F A. Ergo, ſo iſt er dann auch groͤſſer
als C G A. der ihm gleich iſt/ wie natuͤrlich
klar.

Hieraus folget 1. Fig. 59. Daß wann man181
aus einem Punct C. auf einer Linie A B.
Jeine
[66]Elementa Geometriæ Lib. II.
eine ⊥ und andere Schiefe als CE. CF. CG
ziehet/ ſo wird ſich die ⊥ auf die Seite des
ſpitzigen Winckels finden/ dieweil der Win-
ckel CDA. gerad iſt/ ſo iſt ſein inwendiger
CFA. kleiner als ein gerader.

2. Die Schiefe CG. die am weiteſten
von der ⊥ iſt/ iſt auch die ſchiefeſte/ das iſt/
daß ſie den ſpitzigſten Winckel CGA. ma-
chet.

3. Endlich/ die obliquæ CE. CG. die gleich
entfernet von der ⊥/ ſeynd ſchieff auch
gleich/ das iſt/ ſie machen mit der Linie AB.
gleiche Winckels.

Fig. 59. Darum kan man auch nicht
mehr als eine ⊥ von einem Punct als C.
auf eine gegebene Linie AB. ziehen und auch
nicht mehr als zwo gleiche Schieffe/ und nie-
mahls drey.

V. Fig. 59. u. 60. Was wir geſagt haben von
den Schieffen Linien die aus einem punct C.
einer ⊥ CD. gezogen werden/ muß auch
verſtanden werden von den ſchiefen Linien
die aus einem punct c. einer andern ⊥ cd gezo-
gẽ werdẽ/ die gleich iſt mit CD. und folget zu-
gleich aus vorigẽ allem/ daß wañ drey Linien
aneinander hangen/ u. drey andere auch eben-
fals aneinander/ alſo daß unter jeden dreyen
die eine ⊥ ſeye auf eine andere/ ſo koͤnnen
zwo unter den drey erſten nicht gleich ſeyn/
zwoen gleiches Nahmens unter den dreyen
andern/ daß nicht auch die dritte gleich ſeye
der dritten; das iſt/ wann die Schieffe einer
Seite
[67]Elementa Geometriæ Lib. II.
Seitẽ gleich iſt der Schiefen auf der andern/
u. die perpendicular gleich der andern perpen-
dicular ſo iſt auch die Entfernung der ⊥ einer-
ſeits/ gleich der Entfernung der ⊥ auf der
andern Seite/ und ſo im̃er/ man mag ſie zwo
und zwo nehmen/ wie man will.

Hieraus folget/ daß die wahre Zeichen/184
wodurch man wiſſen kan ob die Linie CD.
⊥ iſt auf AB. dieſe ſeynd.

1. Wann dieſe Linie auf bey den Seiten einen
geraden Winckel machet.

2. Wann zwey punct der einen als cen-
tra gebraucht/ zwey Circkel koͤnnen gemacht
werden/ die durch zwey gewiſſe puncte der
andern fahren.

3. Wann die Linie CD. die kuͤrtzeſte iſt
von allen denen die von C. auf AB. koͤnnen
gezogen werden.

Problemaoder Auffgabe.

AUs einem gegebenen punct D. ſol man185
auf die Linie A B. eine ⊥ ziehen?
fig. 61.

Aus D. als Centrum machet einen Bo-
gen/ der die gegebene Linie in zwey puncten
als in A. und B. durchſchneide/ aus die-
ſen zwey puncten als Centrum, und einer
beliebigen Oeffnung des Circkels machet ei-
nen Creutzſchnitt in C. ziehet die Linie DC.
die wird die geſuchte ⊥ ſeyn.

Dann durch die Bewerckſtellung hat die
Linie CD. ihre zwey puncte C. und D. gleich
entfernet von den zweyen A. und B. der
Linie AB. Ergo d. n. 184. \&c.

Eigenſchafften.

I.

Zwo gerade parallel Linien AB CD. fig.
63. wann ſie gleich unendlich weit foꝛt-
gezogen werden/ werden nimmermehr
einander anſtoſſen; aber zwo gerade und
nicht parallel-Linien/ EF. AB. wann ſie verlaͤn-
gert werden/ ſtoſſen endlich einander an in
G. auf der Seite/ wo ſie ſich naͤhern. d. i. klar.

II. fig. 64 Wann eine Linie als EF. ⊥
iſt auff eine von denen als AB. ſo iſt ſie auch ⊥
auf die andere CD.

Dann wann man ſich einbildet/ daß das
Papier oder andere Flaͤche gefalten oder
gebrochen ſeye in der Laͤnge der ⊥ EF. weil
die Winckel in E einander gleich ſeynd/
ſo
[69]Elementa Geometriæ Lib. II.
wird ſich das Theil EA. d. ax. VII. auf dem
Theil EB. ſchicken; eben desgleichen durch
die Natur der ═ weil das Theil FC. ſo weit
entfernet iſt von EA. als FD. von EB. ſo
wird ſich auch das Theil FC. ſchicken
auff FD. und alſo d. ax. VI. ſeynd dann auch
in F. die Winckel einander gleich/ und folg-
lich iſt EF. ⊥ auf CD. d. n. 184.

Fig. 65. Wann aber zwo Linien AB. CD.190
einander nicht parallel ſeynd/ die ⊥ auf die
eine als auff AB. wird ſchief oder obliquæ
ſeyn auf die andere CD.

III. fig. 66. Wann man eine ⊥ EF. und191
viele Schiefe GH. IK. LM. zwiſchen zwo
parallelen AB. CD. ziehet/ ſo wird 1. Die ⊥
EF die Kuͤrtzeſte ſeyn. 2. Die ſchieffeſte LM. iſt
die laͤngſte. 3. Die Gleichſchiefe GH. IK. ſeynd
einander gleich.

1. Die ⊥ FE iſt kuͤrtzer als die Schiefe
GH. Dann wann man die ⊥ GP. ziehet/
die iſt gleich mit EF. d n. 186. und kuͤr-
tzer als ihre Schiefe G H. d. n. 178. Er-
go iſt klar daß die ⊥ EF kuͤrtzer iſt als die
Schiefe GH.

2. Die ſchiefeſte LM. iſt laͤnger als IK.
die nicht ſo ſchief iſt. Dann wann man die
⊥ IR und LS machet/ ſo werden ſie gleich
ſeyn/ wie indem gemeldet/ und die ſchiefe-
ſie LM. iſt laͤnger als IK. die nicht ſo ſchief
iſt durch n. 178.

3. Aus eben der Urſach/ die gleich Schlefe
GH. IK. ſeynd auch einander gleich/ auch
durch n. 178.

Durch die inverſa oder umgekehrte dieſes
vorigẽ Vortrags wird man auch beweiſe/ daß
die kuͤrtzeſte Linie die man zwiſchen zwo ═
ziehen kan/ die ⊥ ſey/ und daß die laͤngſte
ſeye die ſchiefeſte. Und daß die gleicher
Laͤnge ſeynd/ auch gleich ſchief ſind/ das iſt/
daß ſie gleiche Winckels machen.

Fig. 67. Hieraus folget 1. daß die ⊥ EF.
das rechte Maaß iſt der diſtantz oder ent-
fernung der Parallel-Linien/ oder das Maaß
der Breite eines parallel-Raums.

2. Was wir geſagt haben von denen Lini-
en die in einem ═ Raum gezogen wer-
den/ muß auch verſtanden werden von denen
Linien/ die in unterſchiedene ═ Raum
fig. 68. gezogen werden/ aber die gleicher
Breite ſeynd; Das iſt/ daß in ſolchen
═ Raumen die ⊥ und die Gleichſchiefe
einander gleich ſeynd ꝛc.

3 Zwey ═ Raum ſeynd gleich/ wann
die ⊥ oder die Gleichſchiefe die darzwiſchen
gezogen werden/ einander gleich ſeynd.

Fig. 69. Wann zwo Linien als AB. CD.
einander nicht parallel ſeynd/ ſo kan man
zwiſchen dieſelbe zwo gleiche ⊥ ziehen/ die
eine auf AB. die andere auf CD. aber ſol-
che ⊥ werden einander durchſchneiden. Es
wird eben ſo gehen mit den Gleichſchiefen/
und gleichlangen/ die auch zwiſchen ſolchen
Linien einander durchſchneiden koͤnnen/ wie
leichtlich zu mercken iſt

IV. Fig. 70. Wann eine Linie EF. zwo ═
durch-
[71]Elementa Geometriæ Lib. II.
durchſchneidet als AB. und CD, und daß
man die Winckel vergleichet/ die auf der einẽ
parallel geſchehen/ mit denen die auf der
anderen Parallel kommen/ ſo gibt man ihnen
unterſchiedene Nahmen.

Die vier Winckels die aus dem parallel198
Raum ſeynd/ werden auswendige Win-
ckels genennt/ und die vier in dem Raums
werden inwendige Winckels genannt; Die
inwendige von unterſchiedenen Seiten der
ſchneidenden Linie/ einer oben/ der ander
unten/ als die Winckel CEF, BFE, wer-
den unwechſelende Winckel genañt; Fig. 71.

Das nun alſo voraus geſetzt/ ſo wird be-
wieſen/ 1. daß die umwechſelende Winckels
einander gleich ſeynd. 2. Ein auswendiger
Winckel iſt ſeinem gegenuͤberſtehenden in-
wendigen auf gleicher Seiten gleich. 3. Zwey
inwendige auff einer Seitẽ/ ſeynd zweyen ge-
raden Winckeln gleich.

1. Fig. 71. Die umwechſelende B F E.199.
CEF ſeynd einander gleich. Dañ 1. wañ die Li-
nie EF. ⊥ iſt/ ſo ſind die umwechſelende Win-
ckels alle beyde gerade/ und darũ auch gleich.
2. Wann EF. ſchief iſt/ und daß die Um-
wechſelende Winckels ſpitzig ſeynd/ ziehet die
zwo ⊥ EG. FH. die werden einander gleich
ſeyn/ durch n. 186 und die Schiefe EF. wird
gleich ſeyn fuͤr alle beyde/ und darum
auch gleich ſchief in anſehen dieſer zwoen.
⊥ Ergo die umwechſelende BFE CEF. ſeynd
gleich/ durch n. 192. 3. Wann die umwech-
ſelende
[72]Elementa Geometriæ Lib. II.
ſelende ſtumpf ſeynd/ ſo ſeynd ſie die Sup-
plement der ſpitzigen die da gleich ſeynd
wie wir indem bewieſen haben/ und darum
auch einander gleich durch n. 166.

2 Fig. 72. Der auswendige ∠ G E D. iſt
gleich ſeinem gegenuͤberſtehenden EFB Dañ
der ∠ GED iſt gleich dem ∠ CEF. der ihm an
der Spitze gegenuͤber ſtehet/ durch n. 169.
und CEF iſt ſeinem umwechſelenden EFB.
gleich/ durch n. 199. Ergo der auswendige
GED wird auch dem inwendigen gegen-
uͤberſtehenden EFB. gleich ſeyn/ wie es na-
tuͤrlich klar.

3. Die inwendige auff einer Seiten DEF.
EFB. ſeynd zweyen geraden gleich. Dann
der ∠ EFB iſt ſe[i]nem umwechſelenden CEF.
gleich/ d. n. 199. welcher mit ſeinem Neben-
winckel DEF. zweyen geraden gleich ſeynd.
Durch n. 167 Ergo die zwey inwendige DEF.
EFB ſeynd zweyen geraden Winckeln gleich.

Hieraus folget/ daß wann eine Linie zwo
═ durchſchneidet/ ſo iſt ſie auff alle bey-
de gleich ſchief; weil die ſpitzige Winckels die
ſie auf die eine machet/ gleich ſeynd den ſpitzi-
gen die ſie auf die andere machet/ und darum
auch die ſtumpffen/ die derſelben Supplementa
ſeynd/ ſeynd auch einander gleich; und alſo
ſeynd dieſe zwo ═ auf dieſe ſchneiden-
de gleich ſchief.

V. Fig 73. Wann zwo Parallel Linien AB.
CD zwo andere Parallel-Linien AC BD.
durchſchneiden. 1. Die gegenuͤberſtehende
Win-
[73]Elementa Geometriæ Lib. II.
Winckel A. und D. ſeynd einander gleich/
weil ſie die Supplement des Winckels B.
oder C. mit welchen ſie jedweder/ zwey-
en geraden gleich ſeynd. Das iſt/ weil der
∠ D mit dem ∠ B. zwey geꝛade Win-
ckels machen d. n. 201 und die ∠ A + B machen
auch zwey rechte Winckel durch n. 201. Da-
rum iſt der ∠ A ∝ dem ∠ D. durch ax. VI.
2. Die gegenuͤberſtehende Linien CA. DB.
ſeynd auch einander gleich/ in dem ſie ═
ſeynd/ u. daꝛum auch gleichſchief in dẽparallel-
Raum CD. AB Ergo ſeynd ſiegleich d. n. 192.

VI. Fig. 74. Wann unter zwo Linien CA.204
DB. die zwiſchen zwo ═ AB. CD. begrif-
fen ſeynd/ die eine AC. durch andere ingleiche
Theile geſchnitten iſt/ die mit den erſten
═ ſind/ ſo iſt die andere DB. da-
durch auch in gleiche Theile getheilet; dann
weil die Theile von AC. einandeꝛ gleich ſeynd/
und auch gleich ſchief in den kleinen Paral-
lel-Rauͤmen/ ſo ſeynd dieſe Parallel-Raum
auch einander gleich/ d. n. 195. in welchen
weil die Theile der Linie DB. gleich ſchief
ſeynd/ ſo ſeynd ſie auch einander gleich d. n.
194.

Hieraus folget/ daß die Zeichen wodurch205
man erkennen kan ob eine gerade Linie ei-
ner andern ═ iſt/ ſeynd.

1. Wann zwo gerade Linien unendlich
ſolten verlaͤngert werden/ und daß ſie doch
nimmermehr einander anſtoſſen wuͤrden/ ſo
ſeynd ſie ═.

2. Wañ eine einige Linie auf zwo andere
⊥ iſt/ ſo ſeynd dieſe zwo andere einander
═.

3. Wann eine einige Linie auf zwo an-
dere gleich ſchief iſt/ alſo daß die umwech-
ſelende Winckel/ oder der auswendige mit
dem gegenuͤberſtehenden inwendigen auf ei-
ner Seiten einander gleich ſeynd/ ſo ſeynd
dieſe Linie ═.

4. Wann zwey inwendige ∠ auf einer
einigen Seite zweyen geꝛaden ∠ gleich ſeynd/
ſo ſeynd ſie ═.

5. Wann zwo ⊥ zwiſchen zwo Linien ein-
ander gleich ſeynd/ ſo ſeynd die zwo Linien ═.

6. Wann zwo Linien/ zwiſchen zwo an-
dere begriffen/ gleich und gleich ſchief ſeynd.

7. Wann zwo Linien gleich und ═
ſeynd/ und wird an ihren Enden der parallel-
Raum geſchloſſen/ mit zwo andere/ dieſe zwo
letzte/ werden auch gleich und ═ ſeyn.

Problemataoder Auffgaben.

I.

DUrch einen gegebenen Punct C. fig. 75.
einer gegebenen Linien AB. eine ═
ziehen?

Aus C. als centrum, mit beliebiger Oef-
nung/ machet einen Bogen BD. der die Li-
nie ſchneide in einem Punct als B. aus die-
fem punct B. mit gleicher Oeffnung/ machet
den Bogen CA. darnach machet den Bo-
gen
[75]Elementa Geometriæ Lib. II.
gen BD. gleich CA. und ziehet die Linie CD.
die wird mit AB. ═ ſeyn.

Dann/ ziehet CB. die zwey ∠ DCB, CBA.
ſeynd gleich durch n. 159. Weil ſie durch glei-
che Bogen gemeſſen werden/ und ſeynd auch
umwechſelend Ergo \&c. d. n. 205.

II. Fig. 76. Eine gegebene Linie als AB.207
in einer gewiſſen Zahl gleicher Theile/ oder
ſonſten in ſolche Theile/ die eine gewiſſe
Verhaltnuͤß mit der gegebenen AB. haben/
zu theilen/ als zum Exempel in 5. gleiche
Theile.

Aus A. ziehet die ungeendete AC. auf
welcher ihr die beliebige oͤffnung A 1. fuͤnff
mahl nacheinander ſetzet; Von dem punct
5. ziehet die Linie 5 B. und mit dieſer d. n.
206. lauter ═ auf die andere puncte 4. 3.
2 1. welche die Linie AB. nach Begehren
theilen wird. durch n. 191.

I. Von denChordis.

I.

MAnn ein Diameter als EF. fig. 77.208
eine Chorda in der Mitte durch-
ſchneidet in D. ſo wird er auch den
K 2groſ-
[76]Elementa Geometriæ Lib. II.
groſſen Bogen in E, und den kleinen in F. in der
Mitten ſchneiden/ und wird auf die Chorda
⊥ ſeyn.

Dann der Diameter hat das Centrum
C und den punct D. von den zweyen puncten
A. und B. gleich entfernet/ Ergo d. n. 124.
ſeine puncten E. und F. werden auch dar-
von gleich entfernet ſeyn/ und darum ſeynd
dann der groſſe und der kleine Bogen in
der Mitte getheilet/ und wird alſo auch ⊥
auf die Chorda ſeyn. d. n. 177.

Ebenfals wird man auch beweiſen/ daß
wann der Diameter den kleinen oder den
groſſen Bogen in zwey gleiche Theile thei-
let/ ſo wird er die Chorda AB. in der Mitte
und perpendiculariter ſchneiden; Und end-
lich/ daß wann die Linie EF. die Chorda
AB. und einen von beyden Bogen in zwey
gleiche Theile theilet/ ſo wird ſie durch das
Centrum fahren/ allezeit d. n. 123. und 177.

II. Fig. 78. Wann die zwo Chorda AB.
EF. in einem Circkel oder in 2. gleichen Cir-
ckeln einander gleich ſeynd/ ſo ſeynd ſie auch
von dem Centro gleich entſernet.

Dann wann man von dem Centro die
Radius CA. CE. ziehet/ und die Linien C D.
CH. die die Chorden in zwey gleiche Theile
theilen/ die Haͤlfften AD. EH. ſeynd einan-
der gleich und ⊥ auf CD. CH. d. n. 209. die
Schiefe AC. EC ſeynd auch einander gleich/
darum ſeynd die Entfernungē CD CH. auch
einander gleich. d. n. 183.

III. Wann man in einem Circkel zwey211
ungleiche Bogen nimmt/ einen jeden klei-
ner als die halbe Circumferentz. 1 wird der
kleineſte Bogen die kuͤrtzeſte Chorda haben.
2. Und die kleineſte Chorda wird am wei-
teſten von dem Diametro ſtehen.

Fig. 79. Dann wann man ziehet auf AB.
die ⊥ CD. und auf AE. die ⊥ CH. welche
AB. in G. ſchneiden wird.

1. Die ⊥ CD. CH. werden ihre Chorda
in gleiche Theile theilen/ d. n. 209. Ferner/
weil AH. ⊥ iſt auf HG. ſo wird ſie kuͤrtzer
ſeyn als die Schiefe AG. d. n 178. Und AG
iſt kuͤrtzer als AD. Ergo ſo iſt auch AH.
kuͤrtzer als AD. und folglich die gantze AE.
kuͤrtzer als die gantze AB.

2. Die Entfernung C H. der kleinen
Chorda vom Centro iſt laͤnger als die Ent-
fernung CD. der langen Chorda. Dann
CH. iſt laͤnger als CG. und CG. weil ſie
ſchief iſt/ iſt noch laͤnger als die ⊥ C D. d.
n. 178. Ergo die Entfernung CH. der klei-
nen Chorda vom Centro iſt laͤnger als die
Entfernung CD. der groſſen Chorda.

II.Von denenTangentibus.

IV. Fig. 80 Wann man auf dem Ende212
A. eines Radius C A. die ⊥ AB. machet/ die-
ſelbige wird Tangens oder eine anruͤhrende
Linie des Circkels heiſſen/ das iſt/ ſie wird
neben dem Circkel vorbey fahren und an-
ruͤhren in A. aber denſelben nicht ſchneiden/
K 3und
[78]Elementa Geometriæ Lib. II.
und alſo werden alle andere Puncten dieſer
Linie als D. aus dem Circkel ſeyn

Dann wann man CD. ziehet/ ſo wird ſie auf
AB ſchief ſeyn. Ergo ſo wird ſie auch laͤn-
ger ſeyn als der Radius C A. welcher ⊥
iſt d n. 178. Darum iſt dann D. aus dem
Circkel.

V. Fig. 80. Wann eine Linie A B. den
Circkel anruͤhret in einem Punct als A. die-
ſe wird ⊥ ſeyn auf dem Radius CA. Dann
wann man aus dem Centro C. andere Li-
nien auf die Tangens ziehet/ als CD. die
werden aus demſelben Circkel fahren Ergo
der Radius wird die allerkuͤrtzeſte ſeyn/ d. n.
212 Ergo ſo iſt er ⊥ d. n. 178.

VI. Fig. 80. Wann eine Linie als AB den
Circkel anruͤhret als in A und daß man auf
deſelbe in A. eine ⊥ machet/ die wird durch
das Centrum fahren.

Dann wann man von A. im Centro ei-
ne Linie AC. ziehet/ die wird auf A B. ⊥
ſeyn wie zuvor geſehen/ nun aber aus ei-
nem einigen Punct A. kan man nicht mehr
als eine ⊥ ziehen/ d. n. 179. Ergo \&c.

III.Von denenParallelen in
dem Circkel.

VII.

WAñ zwo ═ Linien AB, CD, fig 81 die
Circumferentz eines Circkels ſchnei-
den/ ſo werden ſie auf beyden Seiten
gleiche
[79]Elementa Geometriæ Lib. II.
gleiche Bogen AC, BD. darvon abſchneiden.
Dann wann man den Diameter EF. ⊥
daruͤber ziehet/ ſo wird er die Bogen
AEB. CFD. in der Mitten theilen.
Darum dann/ wann man von denen
zwey gleichen Bogen E C. E D. die
zwey gleiche Theile AE. EB. abziehet/ ſo
bleiben die Reſt AC. BD. auch gleich d. n. 57.

VIII. Fig. 82. Eben desgleichen/ wann216
unter zwo parallelen AB. CD. die eine AB.
den Circkel in E. anruͤhret/ und die andere ihn
ſchneidet/ ſo werden ſie auch gleiche Bo-
gen auf beyden Seiten abſchneiden/ als
EC. ED. Dann wann man einen Diame-
ter EF. durch den anruͤhrenden Punct E.
ziehet/ der wird auf CD. ⊥ ſeyn/ d. n. 213.
und darum auch wird er den Bogen CDE.
in zwey gleiche Theil theilen im Punct E.
F[i]g. 83. Endlich wann die zwo parallel-Linien217
den Circkel nur anruͤhren in E und F. ſo
werden ſie noch gleiche Bogen auf beyden
Seiten haben/ welche alsdann halbe Cir-
ckel ſeyn werden. d. n. 140.

Von denen Winckeln in der
Circumferentz/ oder in dem Circkel
auſſer demCentro,oder aus
dem Circkel.

WJr haben in dem Capitel der Win-218
ckeln geſagt/ daß ein Winckel A.
Fig. 84. der ſeine Spitze im Cen-
tro
[80]Elementa Geometriæ Lib II.
tro hat/ auch fuͤr ſeine Maaß habe/ den
Bogen auf welchen er ruhet. Hier aber
muͤſſen wir ſagen/ welche Bogen das Maaß
ſeyn werden/ von allen andern Winckeln/
deren die Schenckel den Circkel ſchneiden
oder anruͤhren.

IX. Fig. 85. Wann ein Winckel als BAD.
feine Spitze in dem Umkreiß hat/ ſo iſt ſein
Maaß die Haͤlffte des Bogens BD. auf wel-
chem eꝛ ruhet. Dañ entwedeꝛ wird es alsdañ
geſchehen/ daß eine ſeiner Seiten durch das
Centrum gehet/ oder daß das Centrum zwi-
ſchen die beyde Seiten iſt/ oder endlich daß
das Centrum auſſer dem Winckel iſt

1. Fig. 86. Wann eine Seite als A B. durch
das Centrum gehet ſo ziehet durch das Cen-
trum C. die Linie EF. ═ mit der anderen
Seite AD. Nun aber/ wegen der ═ iſt
der Winckel A. gleich ſeinem auswendigen
FCB. d. n. 200. und darum hat er auch mit
ihm einerley Maaß/ nehmlich den Begen
BF. Aber BF. d. n. 145. iſt die Haͤlffte von
BD. Dann er iſt gleich ſeinem gegenuͤber-
ſtehenden A E. der da gleich iſt mit F D. d.
n. 215. Weil dieſe beyde zwiſchen zwo ═
begriffen ſeynd; Ergo ſo hat dann der ∠ A.
den halben Bogen BD. worauff er ruhet/
fuͤr ſein Maaß.

2. Fig. 87. Wann das Centrum C. zwi-
ſchen die zwo Beine des Winckels A. ſte-
het/ ziehet AF. durch das Centrum/ alsdann
iſt der Winckel A. in zwey andere getheilet/
deren
[81]Elementa Geometriæ Lib. II.
denen die Seite AF. gemein iſt/ deren ein
jeder durch vorigen Caſum fuͤr ſein Maaß
hat die Haͤlffte des Bogens worauf er ru-
het/ und darum auch wird der gantze Win-
ckel A. die Haͤlffte des gantzen Bogens
BD. fuͤr ſein Maaß haben.

3. Fig. 88. Wann das Centrum C. auſ-
ſer dem Winckel ſtehet/ ziehet die Linie AF.
durch das Centrum. Der gantze ∠ FAD. hat
fuͤr ſein Maaß den halben Bogen FD. durch
den erſten Caſum, und das Theil B A F.
hat fuͤr ſein Maaß den halben Bogen BF.
und darum ſo muß dann das Theil BAD.
auch fuͤr ſein Maaß haben den halben Bo-
gen BD worauff er ruhet.

4. Fig. 89. Wann der Winckel A. durch220
eine Chorda AD. und eine Tangens AB.
formiret iſt/ ſo hat er fuͤr ſein Maaß
die Haͤlffte des Bogens AD. den dieſe
Chorda unterſpannet.

Dann ziehet DE. ═ mit AB. der Win-
ckel A. iſt gleich ſeinem umwech ſelen-
den D. d. n. 199. der fuͤr ſein Maaß hat
durch den vorigen Beweiß die Haͤlff-
te des Bogens AE. oder AD. der ihm
gleich iſt/ d. n. 215. Ergo ſo hat der ∠ A. auch
fuͤr ſein Maaß die Haͤlffte des unterſpanne-
ten Bogens AD.

5. Fig. 90. Wann ein ∠ A. die Beine221
aus dem Circkel hat/ und die Spitze in der
Circumferentz/ als BAC. So ſiehet man
durch das vorhergehende/ (weil d. n. 169. der
L∠
[82]Elementa Geometriæ Lib. II.
∠ BAC. ∝ dem ∠ D A E) daß BAC fuͤr ſein
Maaß hat die Haͤlffte des hohlen Bogens
DE, welcher in dem Circkel geſchnitten wird
durch die fortgezogene Seiten CA. BA.

Aus dem allen folget 1. Daß wann vie-
le Winckels BCD. fig. 91. auf einem Bo-
gen BD ruhen/ ſo ſeynd ſie alle untereinan-
der gleich/ weil ein jeder d. 219. die Haͤlffte
des Bogens BD. fuͤr ſein Maaß hat. 2. fig 92
223Daß wann der Winckel A. ſeine Spitze in
der Circumferentz hat/ und ruhet auf einem
halben Circkel/ ſo iſt er gerade/ eben d. n.
224219. Daß wann der Bogen BAD. fig. 93.
worauf er ruhet/ groͤſſer iſt als die halbe
Circumferentz/ ſo iſt er ſtumpff/ uñ daß/ wañ
225der Bogen BD. Fig 94. kleiner iſt als die halbe
Circumferentz/ ſo iſt er ſpitzig 3. Fig. 95 Daß
226wann man drey Linien in dem Circkel zie-
het/ die einen Triangel formiren/ als ABC.
ein jeder von dieſen Winckeln hat fuͤr
ſein Maaß die Haͤlffte des Bogens/ wo-
rauf er ruhet; A. hat die Haͤlffte BC. B die
Haͤlffte AC. und C. die Haͤlffte AB. und
alſo die drey zuſammen/ haben fuͤr ihr Maaß
die Haͤlffte des gantzen Umkreiſes/ das iſt/
180. Gradus, oder ſo viel als zwey gerade.

X. Fig. 96. Wann ein Winckel durch
zwo Tangens gemacht wird BAC/ ſo hat er
fuͤr ſein Maaß die Haͤlffte des hohlen Bo-
gens BDC. worauf er ruhet weniger die
Haͤlffte des Buckelichten Bogens B E C.
Dann ziehet die Chorda BC, und den Di-
ameter
[83]Elementa Geometriæ Lib. II.
ameter CF. der △ A G C. iſt rechtwincke-
licht in G. darum folget aus n. 226. daß der
∠ GAC. mit dem ∠ GCA. einem rechten
Winckel gleich ſeynd/ aber d. n. 213. der ∠
ACF. iſt auch ein rechter Winckel/ daraus
folget d. ax. IV. daß der ∠ BCF. ∝ ∠ GAC;
Ergo, weil der ∠ GAC. die Haͤlffte iſt von
BAC. und d. n. 219 der ∠ BCF. die Haͤlff-
te von BHF. ſo iſt der ∠ BAC ∝ ∠ BHF.
Nun aber der Bogen BF. welcher daß Maaß
derſelben iſt/ iſt BD. die Haͤlffte des Bogens
BDC weniger DF. die Haͤlffte des Bogens
BEC. Dann d. n 169. der Bogen DF. ∝ dem
Bogen EC. W. Z. B. W.

XI. Fig. 97. Wann alle beyde Beine CA228
CE. die Circumferentz ſchneiden/ und der ∠
aus dem Circkel iſt als ACE. ſo iſt/ wie zu-
vor/ das Maaß des ∠ die Haͤlffte des hoh-
len Bogens AE. weniger die Haͤlffte des
Buckelichten BD. Dann ziehet AD. der
∠ ADE. iſt gleich den zweyen A. und C.
zuſammen/ weil dieſe beyde/ d. n. 226. oder
ADE allein d. n. 167. zwey gerade machen/
wann ſie mit dem ∠ ADC. addiret werden/
nun aber iſt das Maaß des ∠ ADE. die
Haͤlffte des Bogens AE. d n. 219. und das
Maaß des ∠ A die Haͤlffte des Bogens
BD. ſo folget/ daß das Maaß des ∠ C. iſt
die Haͤlffte des Bogens AE. weniger die
Haͤlffte des Bogens BD. W. Z. B. W.

XII. Fig. 98. Wañ eine Seite A (eines ∠ A an-229
ruͤhret u. die andere AB den Circkel ſchneidet/
L 2ſo
[84]Elementa Geometriæ Lib. II.
ſo iſt wieder wie zuvor/ das Maaß des ∠
A. die Haͤlffte des hohlen Bogens B E C.
weniger die Haͤlffte des Buckelichten C D.
welches leicht eben wie zuvor zu beweiſen iſt.

XIII. Fig. 99. Endlich/ das Maaß des ∠
A E D der in dem Circkel gemacht iſt auſ-
ſer dem Centro, iſt die Haͤlffte des Bogens
AD. worauff er ruhet mit der Haͤlffte des
Bogens BC. der gegenuͤberſtehet. Dann
ziehet die Linie CD. der ∠ AED. iſt gleich
den zweyen ACD. und CDB zuſammen/ wie
n. 228 erwehnet/ nun aber d n 219 der ∠
ACD hat fuͤr ſein Maaß die Haͤlffte des
Bogens AD. und der ∠ CDB. hat fuͤr ſein
Maaß die Haͤlffte des Bogens BC. ſo hat
dann auch der ∠ AED fuͤr ſein Maaß
die Haͤlffte des Bogens AD. mit der Haͤlffte
des Bogens BC. Welches zu beweiſen
war.

Problemataoder Auffgaben.

I.

AN einem in der Circumferentz gege-
231benen Punct als A. Fig. 100. eine
Tangens zu ziehen.

Aus dem Punct A. ziehet den Radius AC.
auf dem in A. machet die ⊥ AB. welche die
begehrete Tangens ſeyn wird. n 212.

II. Fig. 101 Aus einem auſſer den Circkel ge-
gebenen Punct A. eine Tangens zu ziehen.

Fig. 101. Von dem Punct A. auf das
centrum C. ziehet AC. und theilet ſie in der
Mitten in O. aus O. als centrum mit dem
Radio O C. machet einen Circkel/ der
den gegebenen Circkel in zwey Punct B. und
D. ſchneiden wird. Aus dem Punct A.
auf einem von dieſen beyden B oder D. zie-
het AB die wird die geſuchte Tangens ſeyn.

Dann wann man den Radius BC. zie-
het/ der Winckel ABC. iſt gerade d n. 223.
weil er ſeine Spitze in der circumferentz hat/
und daß er auf die halbe circumferentz ADC.
ruhet/ und darum iſt dann auch AB ⊥ auff
den Radius BC. und alſo Tangens d. n. 212.

Eigenſchafften.

1.

WAñ zwo linien AB. CD Fig. 106 in einẽ238
Parallel-Raum gleichſchief feynd
zwoen andern Linien EF. GH in ei-
nen andern Parallel. Raum/ die zwo erſten
ſeynd den zwoen andern ebenmaͤßig/ das iſt
AB. EF ∷ CD. GH.

Dann wann man EF. zertheilet in ſo
viel gleiche Theile als man will/ als in 4.
die ich p. nennen will/ und durch jede Thei-
lung ziehet ═ Linien: Alsdann wird GH.
in eben ſo viel gleiche Theile getheilet ſeyn/
die ich S. nennen will/ alſo daß EF wird 4.
p. gleich ſeyn/ und GH. ∝ 4. S. Alsdann tra-
get ein Theil p. des andern Satzes EF. auf
ſeinem erſten Satz AB. das wird gerade et-
liche mahl ohne Reſt drinnen begriffen ſeyn/
oder etliche mahl mit einem Reſt. Ge-
ſetzt 1. ohne Reſt/ zum Exempel 3. mahl/ zie-
het/ auch hier durch eine jede Theilung ═
Linien mit den erſten ſo wird C D. dadurch
auch in eben ſo viel gleiche Theile getheilet
werden/ und Theile die d. n. 191. und 194. den
Theilen ihres andern Satzes G H gleich
ſeyn werden/ weil ſie gleich ſchieff ſeynd/ in
kleine gleiche Parallel-Raum. Alſo dann
wird man haben AB gleich 3 p. CD. gleich
3. S. aber 3 p. 4 p ∷ 3 S. 4 S. Ergo die zwo Li-
nien
[88]Elementa Geometriæ Lib. II.
nien AB. CD. ſeynd den andern zwoen EF.
GH. ebenmaͤßig. d. n. 44. Geſetzt/ 2. Daß
die Linie AB. nicht ohne Reſt etliche mahl
das Theil p. ihres andern Satzes EF. in
ſich haͤlt/ ſo wird auch C D. das Theil S.
nicht ohne Reſt in ſich begreiffen/ ſondern
wird ſo vielmahl S in ſich begreiffen/ mit einẽ
Reſt/ als AB. vielmahls p. in ſich begreiffet
mit einem Reſt; alsdann muß man voraus
nehmen/ oder præſupponiren/ daß ſie in un-
endlich kleine Theile zertheilet iſt; und wañ
nun AB. noch nicht accurat ohne Reſt eine
gewiſſe Zahl dieſer Theile in ſich haͤlt/ ſo wird
auch wiederum CD. nicht accurat und ohne
Reſt eine gewiſſe Zahl der Theile von GH.
in ſich begreiffen/ uñ werden allezeit zugleich/
oder alle beyde mit Reſt/ oder alle beyde oh-
ne Reſt bleiben/ und ſonſt in gleicher Zahl/
aber in dem letzten Fall wo ein Reſt iſt/ ſo
wird man den Reſt fahren laſſen und fuͤr
nichts achten/ wie wir bey den ungemein-
maͤßlichen Verhaltnuͤſſen geſagt haben/ und
wird man doch ſchlieſſen/ wie zuvor d. n. 51.
daß die Linien AB. CD. den andern EF. GH.
ebenmaͤßig ſeynd.

Woraus folget 1. Daß auch alternando,
die zwo Linien AB. EF weil ſie in parallel-
Raum gleich ſchief ſeynd/ ſo ſeynd ſie auch
den andern zwo gleich ſchieffen CD. G H.
ebenmaͤßig d. n. 81.

2. Der product von AB. GH. welche die
aͤuſſerſte Saͤtze ſeynd/ iſt gleich dem product
der zwey mittelſten. d. n. 71.

II. Fig 107. Wann zwo Linien AB, CD.239
die zwiſchen zwo ═ AC, BD. begriffe/ durch
eine dritte ═ EF. zertheilet ſeynd/ ſo ſeynd
ſie proportionirlich zertheilet.

Dann man kan die gantze AB. und auch
ihre Theile AE. EB. als unterſchiedene Li-
nien betrachten/ die gleichſchief ſeynd in un-
terſchiedenen parallel-Raumen/ gleichfals
auch die gantze CD. und ihre Theile CF,
FD. ſeynd gleich ſchief in unterſchiedenen pa-
rallel Raumen. Ergo d. n. 238. die gantze
AB. und ihre Theile ſeynd ebenmaͤßig der
gantzen CD. und ihren Theilen das iſt. AB.
CD ∷ AE. CF ∷ EB. FD.

III. Fig. 108. Wann zwo Linien AB. AD.240
einen Punct A. haben der allen beyden zu-
hoͤhret/ und daß ſie durch zwo ═ geſchnit-
ten werden!/ ſo werden ſie auch proportio-
nirlich geſchnitten. Dann wañ man durch A.
eine Linie ziehet/ die den zwey ẽ andern ═ ſey/
ſo wird man das beweiſen wie bey denen vo-
rigen Beweißſtuͤcken/ nehmlich/ daß AB. AD.
AE. AF ∷ EB. FD.

IV. Fig. 109. Wann zwo Linien AB. AC.241
die einen gemeinen punct A. haben/ auf ih-
ren Grund-Strich BC. gleich ſchief ſeynd/
zwoen andern DE. DF. d[]e auch einen gemei-
nẽ punct D. haben/ ſo ſeynd die zwo erſten AB
AC. den zwoen andern DE, DF. ebenmaͤßig.

Dann wann man durch die Punct A.
und D. denen Grundſtrichen BC. EF. ═
Linien ziehet/ der Beweiß wird eben der
Mſeyn/
[90]Elementa Geometriæ Lib. II.
ſeyn/ wie bey der erſten Eigenſchafft n 238.

V. Fig. 110. Wann zwo ═ geſchnitten
werden durch zwo andere Linien AB. AC. die
einen Punct A. gemein haben/ die Theile die-
ſer ═ BC. EF. die da abgeſchnitten wer-
den/ ſtehen gegeneinander/ als die Linien AB.
AE. die begriffen ſeynd zwiſchen jeden paral-
lelen/ und dem gemeinen ∠ A. das iſt BC.
EF ∷ BA. EA.

Dann d n. 202 die zwo Linien BA. BC.
ſeynd eben ſo ſchieff auff ihren Grundſtrich
AC. als die zwo EA. EF. auf ihren Grund-
ſtrich AF. Ergo d. n 238. die Theile der ═
BC. EF. ſtehen gegeneinander wie BA. ge-
gen EA. das iſt BC. EF ∷ BA. EA.

VI. Fig 111 Wann zwo ═ BD. EG.
geſchnitten werden durch viele andere Linien
die einen Punct A. gemein haben als AB. AC
AD. die Theile der einen ſeynd ebenmaͤßig
mit den Theilen der andern.

Dann d. n. 238. BC. EF ∷ CA AF. Eben
auch CD. FG ∷ CA. FA. Ergo d. n. 70. BC.
EF ∷ CD FG.

Daraus folget/ daß wann eine ═ in
gleiche Theile getheilet iſt/ ſo iſt es die an-
dere auch.

VII. Fig. 112. Wann zwo Chordæ in einem
Circkel als AB. CD. einander durchſchneiden/
in E, die Theile der einen AE. EB ſeynd
den Theilen der andern CE. ED. wieder-
kehrig proportional. Das iſt. AE. CE ∷ ED.
EB.

Dann ziehet die Linien AC BD die Win-
ckels A. und D. ſeynd gleich/ d. n. 222. Weil
ſie ihre Spitze in der Circumferentz haben/
und ruhen auf einen Bogen BC. Eben da-
rum ſeynd die zwey Winckels B. und C. auch
gleich. Ergo. ſo ſeynd die Linien AE. CE.
eben ſo ſchieff auf ihren Grundſtrich AC.
als die anderen zwo E D. E B. auf ihren
Grundſtrich BD. Ergo d. n. 241. AE. CE ∷
ED. EB. Ergo die Theile einer Chorda AE.
EB. ſeynd wiederkehrig proportional mit den
Theilen der andern CE. ED. W. Z. B W.

Hieraus folget d n 71. 1. Daß wann zwo246
Chordæ in einem Circkel einander durch-
ſchneiden/ als AB. CD. der product der Thei-
le der einen/ AE mit EB. iſt gleich dem pro-
duct der Theile der andern/ CE. ED.

2. Fig. 113. Daß wann eine von beyden als247
C D. in zwey gleiche Theile geſchnitten
iſt/ ihre Haͤlffte C E. iſt mittel-proportio-
nal zwiſchen die Theile AE. EB. der an-
dern/ und folglich/ daß der □ dieſer Haͤlff-
te gleich iſt dem product der Theile AE,
EB.

3. Fig. 113 Daß wann man aus einem punct248
C. der Circumferentz eine ⊥ CE auf ei-
nem diameter AB. fallen laͤſſet/ ſo wird ſie
mittel-proportional ſeyn zwiſchen die Thei-
le AE. und EB. des diameters; dann wann
man dieſe ⊥ fortziehet in D. ſo iſt CE. die
Haͤlffte der Chorda CD.

VIII. Fig. 114. Wann man aus einem249
M 2punct
[92]Elementa Geometriæ Lib. II.
punct auſſer einem Circkel E. zwo Linien
EB. EC. in dem Circkel ziehet/ biß an dem
hohlen Bogen BC, und die oben die Cir-
cumferentz ſchneiden in A. und D; die gan-
tze Linie EB. und ihr auswendiges Theil
EA ſeynd widerkehrig proportional mit der
andern gantzen Linie EC. und ihrem auswen-
digen Theil ED. das iſt EB EC ∷ ED. EA.

Dann ziehet die Linien A C. B D. die
Winckels B. und C. ſeynd gleich/ wie auch
die zwey BAC. BDC. d. n. 222. und darum
auch deren ſupplementen EAC. EDB. d. n.
166 Ergo ſo ſeynd die zwey Linien ED. EB.
eben ſo ſchief auf ihre baſis BD. als wie die
zwo EC. EA. auf ihre baſis AC. Ergo d. n.
241. EB. EC ∷ ED. EA. welches zu beweiſen
war.

Hieraus folget d. n. 71. 1. Daß der pro-
duct der einen gantzen EB. mit ihrem aus-
wendigen Theil EA. gleich iſt dem product
der andern gantzen EC. mit ihrem auswen-
digen Theil ED.

2. Fig 115. Daß wann die Linie EC.
eine Tangens iſt/ ſo iſt ſie mittel-proportio-
na zwiſchen die gantze EB. und ihrem aus-
wendigen Theil EA. weilen alsdann die
puncten C. und D. aufeinander fallen/ und
daß die Linien ED. und EC. nur eine Linie
worden ſeynd/ und derowegen auch/ iſt ſie
mittel proportional zwiſchen der gantze EB.
und ihrem Theil EA. dann der Winckel E.
dienet zu den zweyen Triangeln EBD.
EAD.
[93]Elementa Geometriæ Lib. II.
EAD und der Winckel EBD. iſt gleich dem
Winckel E D A. weil ein jeder fuͤr ſein
Maaß hat die Haͤlffte des Bogens A C.
d. n. 219. und 220. darum iſt EB. EC ∷ EC.
EA. d. n. 241.

3. Daß wann die Linie AB die in dem252
Circkel begriffen iſt/ gleich iſt mit der Tan-
gens E C. ſo wird alsdann die Linie E B.
geſchnitten ſeyn in media \& extrema ratione
im punct A.

Dann/ EB. EC ∷ EC. EA. nun aber ſe-
tzet AB. an ſtatt ihrer gleichen EC. ſo habt
ihr die folgende EB. AB ∷ AB. EA.

Problemataoder Werckſtuͤcke.

I.

WAnn drey Linien A. B. C. Fig. 116.253
gegeben werden/ und man ſoll ei-
ne vierdte proportional finden?

Ziehet zwo Linien die einen beliebigen
Winckel F. machen/ auf eine derſelben
nehmet das Theil EF. gleich der Linien A.
und auf die andere EG gleich der Linie B.
ziehet die Linie GF. hernach auf EF. neh-
met FH gleich C. und ziehet HK. ═ mit
FG. machet die Linie D. gleich der Linie
GK welche die vierdte geſuchte Ebenmaͤßige
ſeyn wird. d. n 238.

Dann wegen der ═ GF. HK. man
ha[t]EF. EG ∷ FH. GK. und darum auch
A. B ∷ C. D.

II Fig. 117. Wann zwo Linien A. und B.254
M 3gege-
[94]Elementa Geometriæ Lib. II.
gegeben werden/ und man ſoll-ihnen eine
dritte proportional finden? Machet b. gleich
B. und ſo habt ihr drey Linien A. B. b. de-
nen ihr eine 4te proportional ſuchet/ wie im
vorigen Problema.

III. Fig. 118. Zwiſchen zwo gegebene Li-
nien A. und C. ſoll man eine mittel-pro-
portional finden? Ziehet eine ungeendete
Linie/ auf welcher nehmet DE. gleich der
Linie A und EF. gleich C. theilet DF. in der
Mitten in O. aus O. als Centrum mit dem
Radius OD. oder OF. beſchreibet einen Cir-
ckel/ und auf E. machet die ⊥ CE. biß an
die Circumferentz und machet B gleich EC.
dieſelbe wird die geſuchte Mittel-proportio-
nal ſeyn. Dann/ DE. EC ∷ EC. FE. und
darum auch A. B ∷ B. C.

IV. Fig. 119. Eine gegebene Linie AB. in
media \& extrema ratione zu theilen?

An einem Ende B. der gegebenen AB.
machet die ⊥ BO. gleich der Haͤlffte von
AB. Aus O. als Centrum mit dem Radius
OB. beſchreibet einen Circkel/ aus dem an-
dern Ende A. durch das Centrum O. zie-
het die Linie AD. welche die Circumferentz
in E. ſchneiden wird/ machet AC. gleich AE.
und ſo wird AB. in media \& extrema ratio-
ne getheilet ſeyn. Das iſt/ AB. AC ∷
AC. CB.

Dann ED. iſt gleich AB. weil ſie der
Diameter des Circkels iſt/ deſſen Radius BO.
gleich iſt der halben AB. und weil AB. Tan-
gens
[95]Elementa Geometriæ Lib II.
gens iſt/ ſo iſt d. n. 251. AD. AB. AB. AE.
oder AC. welcher ſie gleich iſt/ nun d. n.
83. Dividendo AD— AB. AB ∷ AB— AE.
AE. Das iſt/ AC. AB ∷ BC. AC. Dann
AC. ∝ AE. Endlich wieder d. n. 81. permu-
tando. AB. AC ∷ AC. BC. darum iſt dann
AB. in media \& extrema ratione getheilet.

Ende des andern Buchs.

Eigenſchafften.

I.

MAn kan allezeit einen Circkel durch273
die drey ∠ A, B, C. Fig. 15. fah-
N 2ren
[100]Elementa Geometriæ Lib. III.
ren laſſen/ weil man allezeit einen Win-
ckel kan fahren laſſen durch drey puncten,
die nicht in gerader Linie ſtehen d n. 151.

II. Fig. 16. Man kan die zwey Schenckel
cA. cB. betrachten als wann ſie in ei-
nem parallel-Raum begriffen waͤren.

Durch welche man wil von dieſen zwoen
Eigenſchafften kan man alle die andere be-
weiſen.

III. Fig. 17. Die drey Winckel zuſammen
eines Triangels ABC. ſeynd zweyen geraden
Winckeln gleich/ das iſt/ daß ſie 180.
Grad fuͤr ihr Maaß haben. Dann durch
die erſte Eigenſchafft kan man dieſem Tri-
angel einen Circkel umſchreiben/ und als-
dann hat der Winckel A. die Haͤlffte des
Bogens BC fuͤr ſeine Maaß/ der Winckel
B die Haͤlffte des Bogens AC. und der
Winckel C. die Haͤlffte des Bogens AB.
darum haben dann die drey zuſammen die
Haͤlffte des gantzen Circkels oder 180. Grad/
fuͤr ihre Maaß.

Fig. 16. Oder durch die andere Eigen-
ſchafft/ ziehet durch die Spitze dem Grund-
Strich AB die ═ CD. Der Winckel
a iſt ſeinem inwendigen gegenuͤberſtehen-
den A gleich/ d. n. 200. der ∠ b. iſt ſeinem
umwechſelenden B gleich/ d. n. 199. Aber
die drey a b. c. zuſammen ſeynd zweyen ge-
raden gleich/ d. n. 167. Ergo die drey A.
B. C. zuſammen ſeynd auch zweyen geraden
∠ gleich.

Hieraus folget 1. Fig. 16. daß wann man278
eine Seite eines △ verlaͤngert/ der aus-
wendige ∠ a + b. iſt gleich denen inwen-
digen gegenuͤberſtehenden A. + B. zuſam̃en.

2. Daß wann man zwey ∠ eines △279
kennet/ ſo kennet man auch den dritten/
weil er mit den zwey bekanten 180. Grad
ausmachet; aber wenn ein △ zwey einan-
der gleiche ∠ hat/ ſo iſt es genug/ daß man
einen von den dreyen hat/ um ſie alle drey
zu erkennen.

3. Ein △ kan nur einen geraden oder280
nur einen ſtumpffen ∠ haben/ aber er
kan ſie wol alle 3. ſpitzig haben.

Fig. 18 Ein Triangel wird recht winckelicht281
oder Rectangulum genant/ wann er einen
Winckel A. recht hat/ und die Seite BC.
die dem rechten ∠ gegenuͤber ſtehet/ wird
genañt hypothenusa.