Betrachtung eines Blätterbruchs.

Nimmt man ein Stück Glimmer oder Talk, ſo kann man durch
ſchnelles Zerbrechen davon ſo dünne Scheiben ablöſen, daß ſie im reflectirten
Lichte rothe, ſelbſt blaue Regenbogenfarben zurückwerfen, wie die feinſten
Glasblaſen. Schon Hauy berechnete die Dicke dieſer Blättchen auf we-
niger als \frac{1}{600000} Zoll. Trotz der Leichtigkeit, mit welcher man die Blätter
von einander trennt, bilden ſie doch zuſammen eine compakte ungeſonderte
Maſſe, die Sonderung tritt erſt mit dem Schlage oder Drucke ein. Der
Glimmer wird in dieſer Hinſicht von keinem andern Mineral an Deut-
lichkeit übertroffen; man kann etwa folgende Stufen unterſcheiden:

a) Glimmerbruch, Maximum von Perlmutterglanz. Blätter-
zeolith, Gyps nähern ſich ihm.

b) Topasbruch läßt ſich ſelbſt an dieſem harten Edelſtein noch
leicht darſtellen, ſteht aber dem Gyps ſchon entſchieden nach. Kalkſpath,
der erſte Feldſpathbruch zeigt gleiche Deutlichkeit.

c) Apatitbruch läßt ſich noch gut darſtellen und leicht durch
ſeinen Glanz erkennen. Der Flußſpath, der 2te Feldſpathbruch, der
Schwerſpath und andere ſind meiſt noch etwas deutlicher, ſtehen aber dem
Topasbruch entſchieden nach.

d) Beryllbruch liegt ſchon recht verſteckt, er kann daher nicht
mehr als wichtiges Merkmal genommen werden, obgleich man ihn zumal
beim Kerzenlicht nicht überſehen kann.

e) Quarzbruch iſt noch verſteckter, und kaum wahrzunehmen,
durch Erhitzen und plötzliches Abkühlen läßt er ſich aber noch darſtellen.
Von praktiſchem Nutzen iſt dieſe Eigenſchaft jedoch nicht mehr. Und wie
wir ſchon angeführt haben, ſo geht wahrſcheinlich jeder Fläche eines
Kryſtalls irgend ein Grad von Blätterdurchgang parallel.

Mathematiſch haben wir an ſolchen blättrigen Platten, wie Glim-
mer, Gyps, Topas ꝛc. nichts feſtzuhalten, als daß rings um die Platte
der Raum noch nicht geſchloſſen und nur nach einer Richtung eine der
Dicke nach ſehr variable Gränze ſtattfindet. Ob dick oder dünn, der
Parallelraum (Kryſtallraum) zwiſchen den beiden Spiegeln iſt für uns
immer der gleiche. Dieſes veränderliche Element macht dem Anfänger
viel zu ſchaffen, es muß gleich von vorn herein durch die Art der Dar-
ſtellung beſiegt werden.

Betrachtung zweier Blätterbrüche.

Sie bilden ſtets eine vierſeitige Säule (Prisma) mit vier Flächen
und vier Kanten. Die Kanten ſind alle untereinander parallel (bilden
eine Zone), die Flächen zu je zwei liegen einander gegenüber. Auch von
den Kanten ſtehen die abwechſelnden gleichen ſich gegenüber. Durch Ver-
rücken der Blätterbrüche (wenn ſie dicker oder dünner werden) wird keine
der Parallelitäten geſtört, auch die Neigung der Flächen in den Kanten
(Kantenwinkel) nicht. Parallelität und Winkel bleiben alſo conſtant,
nur die Flächenbreite variirt. Flächen und Kanten nennt man die Glieder
der Säule. Die Säule iſt bereits nach zwei Dimenſionen geſchloſſen,
aber variabel dick, nur nach einer noch offen. Die gegenüber liegenden
Winkel (aa und bb) ſind einander gleich, und da a+b = 2R, ſo iſt die Säule
durch einen gemeſſenen Winkel beſtimmt, die Meſſung muß aber bekannt-
lich in einer Ebene ſtattfinden, die auf einer (und folglich auf allen vier)
Kanten ſenkrecht ſteht (Querſchnitt).

Die Eintheilung kann nur nach dem Princip der Gleichheit und Un-
gleichheit gemacht werden: Flächen ſind aber gleich, wenn ſie gleiche
phyſikaliſche Beſchaffenheit haben: Blätterdurchgang, Glanz, Streifung,
Härte, Elaſticität ꝛc. muß die gleiche ſein; Kanten ſind gleich, wenn
ſie bei gleicher Zahl von Graden durch gleiche Flächen (und zwar in der-
ſelben Ordnung) erzeugt werden. Nach dieſen Principen kann es nur
viererlei vierſeitige Säulen geben:

a) Flächen und Kanten gleich: Quadratiſche Säule.

Wenn man ſie in Holz ſchneidet, ſo macht man die Seiten
congruent, dann iſt der Querſchnitt ein Quadrat, folg-
lich ſind die Kanten ſämmtlich rechte Winkel. Es gibt unter
den deutlich blättrigen Brüchen keine recht guten Beiſpiele:
Rutil, Zirkon, Skapolith ꝛc. In der Natur iſt freilich die
Säule auch meiſt verzogen.

b) Flächen gleich und Kanten ungleich: Rhombiſche

Säule. Man ſchneidet die Flächen gewöhnlich con-
gruent, dann iſt der Querſchnitt ein Rhombus mit
zwei ſtumpfen und zwei ſcharfen Winkeln. Hornblende.
Schwerſpath.

c) Flächen ungleich und Kanten gleich.
Oblonge Säule. Die eine Fläche dehnt ſich mehr
in die Breite als die andere, und da die Winkel rechte
ſein müſſen, ſo iſt der Querſchnitt ein Oblongum:
Feldſpath und Euklas liefern im 2+1gliedrigen, Strahl-
zeolith und Olivin im 2+2gliedrigen Syſteme gute
Beiſpiele.

d) Flächen und Kanten ungleich: Rhom-
boidiſche Säule. Hier iſt alles ungleich, folglich der
Querſchnitt ein Rhomboid: Cyanit, Epidot, der mu-
ſchelige und faſerige Bruch des Gyps liefern gute Bei-
ſpiele. Uebrigens kommt dieſe Säule immer vor, wenn
ſich zwei ungleiche Flächen irgendwo ſchneiden.

Man macht ſich die Sache leicht an den beiſtehenden Querſchnitten
klar: die quadratiſche Säule hat rechtwinklige und gleiche Axen (Dia-
gonalen), die rhombiſche rechtwinklige und ungleiche Axen; die oblonge
ſchiefwinklige und gleiche, doch kann man durch den Mittelpunkt auch
rechtwinklige ungleiche ziehen; die rhomboidiſche ſchiefwinklige und ungleiche,
auch ſind gar keine rechtwinkligen Axen möglich. In der Natur beobachtet
man meiſt nur eine Kante der Säule: ſind in dieſer Kante die Flächen
gleich und rechtwinklig, ſo iſt ſie quadratiſch; gleich und ſchiefwinklig,
rhombiſch; ungleich und rechtwinklig, oblong; ungleich und ſchiefwinklig,
rhomboidiſch.

Der Säulenwinkel kann auf zweierlei Weiſe gemeſſen werden: mit-
telſt des Anlegegoniometer, hierbei kann man jedoch um mehrere Grade
irren, dagegen nähert man ſich mittelſt des Reflexionsgoniometer
der Wahrheit bis auf wenige Minuten.

Das Anlegegoniometer (Handgoniometer) fand der Künſtler
Carangeot, welcher Modelle
machte. Hauy hat es dann
noch etwas verbeſſert. Das-
ſelbe beſteht aus einem gra-
dirten Halbkreiſe (Rapporteur),
in deſſen Centrum C ſich zwei
Alhidaden befinden. Die eine
df iſt um C beweglich, die an-
dere aF ſteht feſt. Will man
nun einen Kantenwinkel meſ-
ſen, ſo legt man die Kanten-
linie ſenkrecht gegen die Ebene
des gradirten Halbkreiſes, und

liest nun den Winkel an der Linie fg der beweglichen Alhidade ab. Denn
da die Linie fg über g hinaus verlängert genau in das Centrum C trifft,
und da ao dem Durchmeſſer von Null nach 180° und do dem Radius
fg parallel gehen, ſo muß der Kantenwinkel aod in unſerm Falle 46°
haben, was die Alhidade zeigt. Der Nullpunkt liegt im Mittelpunkte
der Schraube F, er iſt nicht angezeigt, da wegen der Breite der Alhidaden-
arme überhaupt nur Winkel bis auf 15° Größe gemeſſen werden können.
[12]Reflexionsgoniometer.
Um kleinen Kryſtallen leichter beizukommen, ſind beide Alhidaden in den
Schrauben C und F verſchiebbar, auch hat der Halbkreis bei 90° ein
Charnier, mittelſt welchem man die linke Hälfte von 90°—180° zurück-
ſchlagen kann, um ſo in die Kryſtalldruſen hineinzulangen. Zur Be-
feſtigung dieſer beweglichen Hälfte dient daher noch ein Arm Cr. Wenn
es nöthig iſt, ſchnell an Kryſtallen ſich durch die Größe der Winkel zu
orientiren, ſo liefert das Carangeot’ſche Goniometer ein ſehr gutes Hilfs-
mittel, wofern die Winkel von einander wenigſtens einige Grade Unter-
ſchied haben. Jedenfalls iſt es zur Verfertigung der Holzmodelle ſehr
wichtig.

Das Reflexionsgoniometer erfand Wollaſton (Phil. Trans.

1809. pag. 253). Es gehört
einige Uebung dazu, ſich ſeiner
zu bedienen, liefert dann aber
auch viel ſchärfere Reſultate.
Wir unterſcheiden viererlei:

1) Das Geſtellg iſt un-
beweglich, kann bei complicirten
auch wohl durch eine Schraube
nivellirt werden. Oben vorn
iſt daran ein Nonius n befeſtigt,
welcher mit ſeinem Nullpunkt die
Grade anzeigt.

2) Der getheilte Kreisc
iſt am Geſtell vertikal befeſtigt
und kann mittelſt der Scheibe d
um ſeine Axe mit allem was
daran hängt gedreht werden.
Aber nur nach einer Richtung
(nach vorn) hin, indem unten
bei x eine Feder einſchnappt,
den Kreis einſeitig arretirt und auf Null ſtellt.

3) Der Kryſtallträgerkrbamp durchbohrt mit ſeiner Axe kr
die Axe des Theilkreiſes c, und iſt in ihr mittelſt der Scheibe k ſo leicht
drehbar, daß dadurch die Ruhe des getheilten Kreiſes ſelbſt nicht geſtört
werden kann. Links iſt an der Axe der erſte Bogen rb feſt, der zweite
Bogen ab bewegt ſich dagegen bei b um eine Axe, die ſenkrecht auf Axe
kr ſteht. Mittelſt dieſer Drehung nach zwei Zonen kann ich zwar der
Kante eines Kryſtalls ſchon jede beliebige Richtung im Raume geben,
dennoch iſt nochmals der Stift bei a in einem kurzen Gelenk parallel dem
Charnier bei b, alſo auch ſenkrecht auf die Axe kr, beweglich. Senkrecht
auf der Drehungsaxe von a iſt eine Hülſe befeſtigt, worin ein Stift m
läuft, an deſſen Ende eine kleine Platte p haftet, die ſenkrecht gegen
die Axe des Stiftes m ſteht, und worauf der Kryſtall mit Wachs geklebt
wird. Daneben liegt ein kleiner Spiegel s, der Platte p parallel. Da
dieſer ganze Apparat krbamps eine ſelbſtändige Bewegung hat, ſo
kann ich den Kryſtall in jede Lage bringen.

4) Der Sextantenſpiegelqy (Degen, Pogg. Annal. 27. 687),
am Hinterfuße des Geſtells befeſtigt, läßt ſich um eine Axe A parallel
[13]Meſſen mit dem Reflexionsgoniometer.
der des Theilkreiſes drehen; q iſt der ſchwarze Spiegel, in welchem man
einen horizontalen Fenſterrahmen oder eine noch fernere Horizontallinie
mit dem Auge fixirt, y die ſenkrecht neben dem Spiegel ſich erhebende
Blendung, die das Auffinden der im Spiegel fixirten Linie auf der Fläche
des Kryſtalls erleichtert.

Wer einmal mit dieſem vortrefflichen Inſtrumente gemeſſen hat, wird alle
andern in den verſchiedenen Lehrbüchern beſchriebenen unpraktiſcher finden.

Das Meſſen. Die größte Schwierigkeit bildet das Einſtellen des
Kryſtalles. Gewöhnlich geſchieht das durch Hin- und Herprobiren. Allein
ſobald an unſerm Inſtrument der Spiegel s genau ſenkrecht gegen den
Stift m ſteht, ſo darf ich nur den Kryſtall mit einer ſeiner Flächen
parallel demſelben aufkleben, was bei herausgenommenem Stift durch
Einſpiegeln mit s ſehr leicht bewerkſtelligt werden kann. Fixire ich jetzt
den Fenſterrahmen auf der Kryſtallfläche, ſo wird er mit dem Bilde des
Spiegels q im Allgemeinen nicht parallel gehen, dieſe Parallelität iſt
aber ſogleich durch Bewegung des kurzen Charnieres a hergeſtellt, wovon
man ſich durch Drehung an der Scheibe k überzeugt, indem man die
Rahmen zum Decken bringt. Dieſes Einſpielen iſt der Beweis, daß
Spiegel und Kryſtallfläche der Drehungsaxe kr parallel gehen. Da nun
aber der Stift m bei dieſer Stellung ſenkrecht gegen die Kryſtallfläche
ſteht, ſo muß er auch ſenkrecht gegen kr ſtehen, und wenn man jetzt den
Kryſtall um die Axe des Stiftes m dreht, ſo wird die Parallelität der
Fenſterrahmen nicht geſtört, was zu gleicher Zeit wieder ein Beweis
iſt, daß der Spiegel s ſenkrecht gegen den Stift ſteht. Iſt dieß geſchehen,
ſo drehe ich mit der Drehſcheibe k die zweite Fläche dem Auge zu, ſie
wird das Bild des Rahmen nicht mit dem Spiegelbilde parallel ſtehen
laſſen, allein durch die Drehung des Stiftes m iſt die Parallelität ſo-
gleich hergeſtellt. Da nun durch dieſe Drehung die erſte Fläche nicht
aus ihrer Parallelität mit der Axe kr der Drehſcheibe herauskommen kann,
ſo iſt der Kryſtall mit mathematiſcher Sicherheit eingeſtellt. Ich darf jetzt
nur das Inſtrument auf Null einſtellen, das Rahmenbild des Sextanten-
ſpiegels mit dem einer Fläche des Kryſtalls zuſammenfallen laſſen, ſo-
dann bei d drehen und auf der zweiten Kryſtallfläche wieder zuſammen-
fallen laſſen, und auf dem Theilkreiſe die Grade ableſen.

Ueber verſchiedene Abänderungen von Mitſcherlich, Mohs, Babinet ꝛc.
ſiehe Dufrenoy (Traité Minér. I, 192).

Für feinere Unterſuchungen, beſonders auch um die Brechungs-
coefficienten der Lichtſtrahlen zu meſſen, bedient man ſich des Goniometer
von Charles (Ann. chim. phys. 1850. 3 Ser. XXVIII, 177), oder eines
Theodolithen mit excentriſchem Fernrohr, in deſſen Centrum das Prisma
oder der Kryſtall aufrecht geſtellt wird. Heuſſer (Pogg. Annal. 87. 455)
arbeitete mit einem ſolchen, deſſen horizontaler Kreis direkt bis 10 Minuten
getheilt war, durch Nonien konnten 10 Sekunden noch abgeleſen, 5 mit
ziemlicher Sicherheit geſchätzt werden. Da ferner mit dieſem Inſtrumente
der doppelte Winkel gemeſſen wird, ſo wird dadurch der etwa gemachte
Meſſungsfehler halbirt, und die Schärfe möglicher Weiſe auf \frac{5}{2}″ = 2\frac{1}{2} Sek.
geführt.

Hat man ſich nun durch Meſſung überzeugt, ob die Kante 90° oder
nicht habe, ſo weiß ich erſt, ob die Säule gleichwinklig (quadratiſch oder
[14]Symmetriegeſetze.
oblong) oder ungleichwinklig (rhombiſch oder rhomboidiſch) war. Die
weitere Beſtimmung folgt lediglich aus der phyſikaliſchen Beſchaffenheit
der Flächen, die man entweder mit bloßem Auge beurtheilt, oder wozu
man ſich folgender drei Sätze bedient:

Erſter Grundſatz. Tritt zu einer Säule eine dritte
Fläche, ſo muß dieſe die gleichen Glieder in gleicher, und
die ungleichen in ungleicher Weiſe treffen. Man kann den
Satz auch umkehren, aber der rechte Winkel erleidet Ausnahmen. Habe

ich z. B. eine quadratiſche Säule f/f, ſo muß die dritte hinzu-
kommende Fläche s jede der f unter gleichen Winkeln treffen.
Wäre die Säule eine oblonge f g, ſo muß nun die s die
Fläche g unter anderer Neigung ſchneiden als die f, eben weil
beide verſchieden ſind. Oft iſt der Unterſchied nur ſehr un-

bedeutend, aber er ſcheint nach ſcharfen Meſſungen da zu
ſein. So ſtumpft beim Feldſpath n die rechtwinklige Kante
der Oblongſäule P/M zwar faſt unter gleichen Winkeln ab,
doch haben genaue Meſſungen einen kleinen Unterſchied er-
geben, beim glaſigen Feldſpath beträgt P/n 135° 16′ und
M/n 134° 44′. Hauy legte ein großes Gewicht darauf, daß
beim Kalkſpath der blättrige Bruch P die Endkante a1/e2 der
regulären ſechsſeitigen Säule unter gleichen Winkeln (gerade) abſtumpfe,
obgleich die Gradendfläche a1 ſich weſentlich von e2 unterſcheidet. Allein
er berechnete unter dieſer Annahme den Endkantenwinkel des Rhomboeders
zu 104° 28′, während ſpäter ſchärfere Meſſungen entſchieden 105° 5′,
alſo reichlich ½° mehr fanden, und auch Meſſungen den Winkel P/a1 135° 23′
und P/e2 134° 36′ ergaben. Der rechte Winkel macht eine Ausnahme.
Beim Gyps ſchneidet der erſte Blätterbruch die einander ungleichen
muſcheligen und faſerigen unter rechten Winkeln.

Zweiter Grundſatz. Wird ein Glied beſchnitten, ſo
muß jedes ihm gleiche Glied in gleicher Weiſe beſchnitten
werden, wenn keine hemiedriſchen Verhältniſſe obwalten. Iſt alſo bei
der quadratiſchen und oblongen Säule ein k geſchnitten, ſo muß noth-
wendig auch das andere ebenſo geſchnitten ſein. Wird dagegen bei der
rhombiſchen und rhomboidiſchen die ſcharfe getroffen, ſo nicht nothwendig
auch die ſtumpfe.

Dritter Corollarſatz. Trifft daher eine Fläche gleiche
Glieder in verſchiedener Weiſe, ſo erfordert ſie noth-
wendig eine Gegenfläche, welche dieſe Ungleichheit wieder
hebt (Symmetriegeſetz). Wäre z. B. f/f1 die ſcharfe Kante einer rhom-

biſchen Säule, und würde dieſe von einer Fläche s unter
ungleichen Winkeln getroffen, ſo muß nothwendig eine
Gegenfläche s1 kommen, welche ſie unter entgegengeſetzter
Ungleichheit trifft, ſo daß s/f = s1/f1, und s1/f = s/f1 iſt.
Dadurch iſt die Symmetrie vollſtändig hergeſtellt. Man
ſagt, s und s1 ſchärfen die Kante k zu, obgleich die dadurch entſtandene
neue Kante s/s1 ſtumpfer iſt, als die alte weggenommene k. Man hätte
ebenſo gut zuſtumpfen ſagen können.

Betrachtung dreier Blätterbrüche.

Hier gibt es nothwendig zwei Fälle:

a) Die drei Flächen ſchneiden ſich in einer Säule, die-
ſelbe iſt ſechsſeitig (ſechsſeitige Säule) und hat ſechs parallele
Kanten. Man kann ſie als eine vierſeitige Säule mit abgeſtumpfter
Kante betrachten. Abgeſtumpft heißt alſo eine Kante T/r, wenn die
dritte hinzutretende Fläche M dieſelbe ſo ſchneidet, daß die neu entſtehenden
Kanten M/r und M/T einander parallel gehen. Die Säule hat im all-
gemeinen dreierlei Winkel, ſind zwei davon gemeſſen, ſo läßt ſich der dritte
durch Rechnung finden. Denn die Winkel im Querſchnitt liegen in einem
Sechseck, deſſen Winkel (2 · 6 — 4)R = 8R betragen. Da nun Winkel
w = w1, k = k1 und g = g1 ſein muß, ſo iſt w+k+g = 4R. Die qua-
dratiſche und oblonge Säule ſind Einer Abſtumpfung nicht fähig (pag. 10),
folglich kann es nur dreierlei ſechsſeitige Säulen geben:

1) Die unſymmetriſche oder rhomboidiſche Säule
M/T mit ſchiefer Abſtumpfung, ſchief heißt ſie, weil Winkel
r/M von Winkel r/T verſchieden iſt und ſein muß, da
Flächen T und M ungleiche Glieder ſind. Der Epidot
liefert ein gutes Beiſpiel: M/T macht 115° 41′, r/T da-

gegen 129° 39′, folglich M/r = 360° — 245° 20′ = 114° 40′

2) Die ſymmetriſche oder rhombiſche Säule M/M
mit gerader Abſtumpfung s der ſcharfen Kante, gerade, weil
die Winkel k und k gleich ſein müſſen. Ich brauche daher
nur einen Winkel zu meſſen. Der Schwerſpath liefert ein

gutes Beiſpiel, M/M bilden einen Winkel von 101° 42′, folglich iſt
k+k = 360° — 101° 42′ = 258 · 18, alſo k = 129° 9′.

3) Die reguläre ſechsſeitige Säule. Dieß iſt
der intereſſante Fall, wo alle Flächen und folglich alle
Kanten einander gleich werden, alſo 3w = 360°, w = 120°.
Beim drei- und ſechsgliedrigen Syſteme ſehr häufig.

Bei den vier- und ſechsſeitigen Säulen kommen wir
blos auf die Gliederzahlen 1, 2 und 3, ſie ſind daher zur Syſtematik
noch nicht geeignet. Das wird nun aber anders im Falle

b) Die drei Flächen ſchneiden ſich in drei Säulen, dann
bekommen wir ein Parallelopiped (Hexaid) mit dreierlei Flächen (Parallelo-
grammen), ſechserlei Kanten, und viererlei Ecken. Man verſchafft ſich
dieſen Körper leicht, wenn man an die vierſeitigen Säulen ſich Endflächen
ſchneidet.

Wir ſind hiermit bei den Hauy’ſchen Primitivformen angekommen,
und können nichts Beſſeres thun, als dem alten Meiſter folgen. Greifen
wir daher die ſechs folgenden heraus. Hauy bezeichnet die Flächen mit
P M T (PriMiTivform), der Reihe nach die Ecken mit den Vokalen, und
die Kanten mit den Konſonanten. Wie die Glieder nun einander gleich
werden, ſo bezeichnete er ſie mit gleichen Buchſtaben. Man kann die
Sache nicht klarer darſtellen.

1) Würfel im Gleichgewicht hat drei congruente Flächen P (Qua-

drate), ſechs rechtwinkliche Kanten B, und vier dreikantige
Ecken A, alſo bezeichnen die Grundzahlen 3, 4 und 6
gleiche Glieder, daher gleichgliedriges oder regu-
läres SyſtemWeiss. Auch ſphäroedriſches, weil
man eine Kugel darum ſchreiben kann.

2) Quadratiſche SäuleM/M mit Gradendfläche P. Im Gleich-

gewicht iſt P ein Quadrat, MM ſind Rechtecke, doch bleibt
die Länge GG unbeſtimmt. Die drei Flächen zerlegen ſich
alſo in 2+1 Flächen; die rechtwinkligen Kanten werden
4B+2G, und die Ecken bleiben 4A. Es herrſcht die 4
vor, daher viergliedriges SyſtemWeiss. Weil
man die Flächen MM ins Gleichgewicht bringen d. h. con-
gruent machen kann, ſo iſt der Name quadratiſches Syſtem
auch nicht unpaſſend.

3) Oblonge SäuleM/T mit Gradendfläche P. Alle drei ſind ver-

ſchiedene Rechtecke, das Gleichgewicht bleibt unbeſtimmt;
die rechtwinkligen Kanten zerlegen ſich in 2B+2C+2G,
die Ecken bleiben noch 4A. Es herrſcht die 2 vor, daher
zwei und zweigliedriges SyſtemWeiss, oder
kurzweg zweigliedriges Syſtem. Gewöhnlich ſchiebt man
M und T ſo weit, daß ſie eine paſſende ungleiche Aus-
dehnung haben, daher iſt ihr Querſchnitt ein Oblongum
AAAA.

4) Rhomboeder im Gleichgewicht hat 3 congruente Flächen P

(Rhomben), die ſchiefwinklichen Kanten zerlegen ſich in
3B+3D, und die Ecken in 3E+1A. In der Ecke A
(Endung) laufen drei gleiche Kanten (dreikantige Ecke),
und in den E (Seitenecken) 2D+B Kanten (2+1kantige
Ecken) zuſammen. Es herrſcht die 3 vor, daher drei-
gliedriges Syſtem Weiss.

5) HendyoederWeiss, d. h. rhombiſche Säule M/M mit Schiefend-

fläche P, welche gerade auf die Säulenkante H aufgeſetzt,
weil D = D, aber ſchief angeſetzt iſt, weil D keine rechten
Winkel ſind. Die Kanten zerlegen ſich in 2D+2B+H+G,
alſo in 2+2+1+1 Linien, und die Ecken in 2E+O+A,
der Kryſtall iſt daher links wie rechts, aber vorn anders
als hinten. Da weder 2 noch 1 herrſcht, heißt es zwei
und eingliedriges Syſtem Weiss. Es iſt dieſes
eines der intereſſanteſten. Feldſpath.

6) Henhenoeder d. h. rhomboidiſche Säule M/T mit doppelt ſchiefer

Endfläche P, da Kante D von F verſchieden iſt: P iſt
auf die Säulenkante H ſchief an- und aufgeſetzt. Kein
Glied dem andern mehr gleich, daher ein und ein-
gliedriges SyſtemWeiss, oder kurzweg eingliedriges
Syſtem. Es kommt nicht häufig vor, und eine Gruppe
darunter, die des Albits, lehnt ſich durch ihre ſcheinbare
Symmetrie noch ganz an die des Feldſpaths an.

Stellen wir in nachfolgender Rubrik die Zahlen überſichtlich zuſammen:

Außer 5 ſind alle Zahlen von 1 — 6 möglich. Es gibt jedoch noch
mehrere andere Hexaide, ich habe nur dieſe 6 gewählt, weil zwei und
drei mit dem Würfel in einem ähnlichen Zuſammenhange ſtehen, als 5
und 6 mit dem Rhomboeder, denn 2 iſt ein nach einer Richtung lang
gezogener Würfel, wie 5 ein ebenſo lang gezogenes Rhomboeder; 3 da-
gegen ein nach zwei Dimenſionen verzogener Würfel, wie 6 ein ebenſo
verzogenes Rhomboeder. Nur mit dem Unterſchiede, daß man bei 5 und
6 die Kantenwinkel nicht gleich denken darf.

Ueberſchauen wir jetzt einmal die Möglichkeiten der Hexaide. Zu
dem Ende müſſen wir auf die vier möglichen vierſeitigen Säulen zurück-
gehen, eine dritte Fläche daran legen, dürfen dabei aber unſere oben
aufgeſtellten drei Sätze pag. 14 nicht verletzen.

An die quadratiſche Säule kann man eine Gradendfläche legen,
denn ſie trifft alle Säulenflächen in gleicher Weiſe, und dies gibt uns das
gleich- und viergliedrige Syſtem (Nr. 1 und 2). Schief kann ich nicht
mit einer Fläche ſchneiden.

An die oblonge Säule dürfen wir eine Gradend-
fläche legen, weil der rechte Winkel eine Ausnahme macht,
das gibt das zweigliedrige Syſtem Nr. 3. Da M und T
verſchieden ſind, ſo kann ich ferner P gegen M rechtwinklig
laſſen, aber P gegen T ſchiefwinklig denken, das gibt uns
die Zahlen des 2+1gliedrigen Syſtemes Nr. 8, folglich
nichts Neues. Endlich kann ſogar P gegen M und T
verſchieden ſchief ſein. In dieſem Falle wird alles zu 1,

alſo das Hexaid eingliedrig Nr. 6. Zwar kann es den Anſchein bekom-
men, als wären die rechten Winkel G und G noch kryſtallographiſch gleich.
Allein die Doppeltſchiefendfläche P iſt ein Rhomboid, welches in O einen
andern Winkel haben muß, als in E, deshalb können auch die Kanten
G und G unter den verſchiedenen Winkeln nicht mehr als gleichartig
betrachtet werden. Der rechte Winkel zeigt ſich auch hier wieder als
Ausnahme.

An die rhombiſche Säule kann ich eine Schiefendfläche
legen, aber dieſe muß immer gerade auf die Säulenkante
aufgeſetzt ſein, gleichviel ob auf die ſtumpfe oder ſcharfe,
dadurch entſteht Nr. 4 und 5. Man kann ſich aber auch
eine Gradendfläche denken, welche alle Säulenkanten und
Säulenflächen unter rechten Winkeln ſchneidet Nr. 7. Hier
haben wir dann 2+1 Fläche = 2M+P, ferner 4+1+1

Kante, denn Kante P/M iſt viermal da, die Ecken werden 2+2. Aber
4+2+2+2+1+1+1 iſt zweigliedriges Syſtem.

An die rhomboidiſche Säule kann ich außer der doppeltſchiefen (Nr. 6)
auch noch eine Gradendfläche ſetzen, das gibt aber wieder Nr. 8.

Die neun möglichen Hexaide bezeichnen alſo nicht mehr als ſechs
Syſteme, und zwar gehört dem gleich-, vier- und dreigliedrigen je eins zu,
dem zwei-, zwei und ein- und eingliedrigen dagegen je zwei. Wir wollen
ſehen, wie dieſe je zwei zuſammenhängen.

Das zweigliedrige Syſtem hat das rechtwinklige Hexaid PMT
Nr. 3 und die rhombiſche Säule mit Gradendfläche (gerade rhombiſche
Säule) MMP Nr. 7 in ſich. Setzen wir ihre Zahlen hin:
PMT hat: Flächen 1+1+1; Kanten 2+2+2; Ecken 4
MMP hat: Flächen 2+1; Kanten 4+1+1; Ecken 2+2
Da nun beide Hexaide in dem gleichen Syſteme ſtecken, ſo muß dieſes ſeine
1, 2 und 4 eben dahin legen, wo jenes die ſeinen hat, denn ſonſt gäbe
es keine Symmetrie. Hüllen wir daher das eine in das andere, ſo mögen
ſie z. B. die Gradendfläche P gemein haben, dann müſſen ſich aber die
Säulen ſo gegen einander legen, daß die 1+1Kante der rhombiſchen
in die 1+1Fläche der oblongen, die 2+2Ecken und 2Flächen jenes wie
die 2+2+2Kanten von dieſem liegen, und die 4 Kanten ſich den 4 Ecken
gegenüberſtellen, kurz es müſſen die Flächen der oblongen
Säule die Kanten der rhombiſchen abſtumpfen. Der Schwer-
ſpath liefert ein gutes Beiſpiel.

Das zwei und eingliedrige Syſtem hat die rhombiſche Säule
mit Schiefendfläche (ſchiefe rhombiſche Säule) Nr. 5, und die oblonge mit
Schiefendfläche Nr. 8 in ſich. Da wir hier nur 2+1 haben, ſo ſind
verſchiedene Einſchachtelungen denkbar. Einen Fall ſieht man leicht ein,
nämlich den: läßt man die Schiefendfläche P in beiden zuſammenfallen,
ſo müſſen die Flächen der oblongen wie die Kanten der rhombiſchen liegen.
So viel 1 wir aber auch haben, ſo liegt nur eine einzige links und rechts,
nämlich G in Nr. 5 und M in Nr. 8, alle andern liegen in der Vertikal-
zone von vorn nach hinten, alſo entweder vorn, oben oder hinten. Wenn
nun beide zuſammentreten ſollen, ſo muß die ſeitliche 1 in beiden unter
jeder Bedingung zuſammenfallen, die 1 in der Vertikalzone können ſich
aber mehrfach gruppiren.

Beiſpiel. Der Feldſpath hat ein Hendyoeder MM, nur wenig
blättrig, dagegen iſt die Schiefendfläche P außerordentlich blättrig. Die
Ecke o könnte das Auge leicht für einen Rhomboeder A nehmen, denn
D = 112° 16′ und H = 118° 48′, dieſen Unterſchied von reichlich 6° be-
merkt das Auge kaum, allein wegen des ausgezeichneten Blätterbruchs P
muß die Ecke O nicht blos 2+1flächig, ſondern auch 2+1kantig ſein,
alſo 2+1gliedrig. Wäre dieſe Strukturdifferenz nicht da, ſo könnte man
ſich leicht im Syſteme irren. Der Eiſenvitriol bildet eine rhombiſche
Säule H = 82° 21′, die Schiefendfläche P iſt auch blättrig, macht hinten
einen Winkel B = 80° 37′. Da die Differenz nur 1° 44′ beträgt, ſo
ſcheint die hintere Ecke A einem ſcharfen Rhomboeder anzugehören. Daher
beſchreiben Hauy und Mitſcherlich ihn rhomboedriſch, erſt ſcharfe Meſſungen
von Mohs zeigten die 2+1kantige Ecke und mithin das 2+1gliedrige
Syſtem.

Der Gyps bricht außerordentlich leicht in rhomboidiſchen Platten
[19]Berechnung der Hexaide.
(113° 46′) mit muſcheligem und faſerigem Bruch, gegen welche der Haupt-
blätterbruch ſenkrecht ſteht. Die Glieder treten nur zu 2+1 auf. Neh-
men wir in Nr. 8 M als den Hauptblätterbruch, T als den muſcheligen,
und P als den faſerigen, ſo liegen alle 1 in der Vertikalzone P/T, näm-
lich P, T, C, D, nur eine einzige M liegt links und rechts, wenn man
die T oder irgend eine andere 1 der Vertikalzone vor ſich nimmt. Unter
jeder Bedingung muß alſo der Hauptblätterbruch aufrecht links und rechts
ſich erheben, er ſtumpft die ſcharfe Säulenkante des Hendyoeder des Feld-
ſpaths ab, läßt man nun T die ſtumpfe wegnehmen, ſo kann die faſerige
P noch auf der hintern oder vordern Seite eine Schiefendfläche bilden.

Das eingliedrige Syſtem hat die rhomboidiſche Säule mit
doppeltſchiefer Endfläche Nr. 6, zuweilen ſogar eine oblonge mit doppelt
ſchiefer Endfläche. Axinit und Kupfervitriol liefern für das Henhenoeder
gute Beiſpiele. Profeſſor Mitſcherlich (Pogg. Annalen 8. 427) hat bei
der unterſchwefligſauren Kalkerde ĊaS̶̈+6Ḣ̶ eine oblonge Säule mit dop-
pelt-ſchiefer Endfläche nachgewieſen. Man hat daraus fälſchlich ein 7tes
Kryſtallſyſtem gemacht, das jedoch keine Exiſtenz hat, da auch nicht ein-
mal die rechtwinkligen Kanten der oblongen Säule wegen der doppelt-
ſchiefen Endfläche darauf gleich ſein können.

Für den würflichen Blätterbruch bieten Steinſalz und Bleiglanz aus-
gezeichnete Beiſpiele, für das Rhomboeder der Kalkſpath, man muß hier
die 3kantigen und 2+1kantigen Ecken wohl von einander unterſcheiden.
Die ſcheinbar würfligen Brüche des Anhydrits ſind alle drei phyſikaliſch
verſchieden, und daher zweigliedrig. Ueberhaupt laufen alle Unterſuchungen
der Hexaide auf die einer einzigen ihrer Ecken, eines körperlichen
Dreiecks, hinaus, da den drei Flächen PMT und den drei Kanten dieſer
Ecke alle andern Glieder parallel laufen.

Betrachtung des körperlichen Dreiecks.

Nennen wir in einem körperlichen Dreieck die Winkel
in den Kanten α β γ, und die Winkel in den Ebenen
(ſchlechthin Seiten) beziehungsweiſe a b c, ſo wird in der
ſphäriſchen Trigonometrie bewieſen, daß wenn von dieſen
6 Stücken α β γ a b c drei beliebige bekannt ſind, ſich die
übrigen drei durch Rechnung finden laſſen. Der Aſtronom
kann die ebenen Winkel (Seiten) genauer meſſen als die
in den Kanten, bei dem Kryſtallographen iſt es umgekehrt.

Um die körperliche Ecke zu kennen, müſſen wir alſo drei Kanten-
winkel α β γ gemeſſen haben, dann findet das Verhältniß ſtatt:
ferner iſt
2*
[20]Formeln für Hexaide.
oder beſſer für Logarithmen, wenn man ½ (α+β+γ) = S ſetzt:

1) , bekannt α β γ.

Die übrigen zur Auflöſung einer körperlichen Ecke (ſphäriſchen Drei-
ecks) nöthigen Formeln ſind:

2) , bekannt a b c

geſetzt.

3)
, bekannt a β γ.

4)
, bekannt α b c.

5) , bekannt α γ c.

6) , bekannt als a c γ.

Die Formeln ſind vollkommen ſymmetriſch, können daher leicht um-
geſtellt werden.

Iſt α = β = γ = R, ſo iſt cos a = cos b = cos c = 0, alſo a = b = c = 90°.
Iſt β=γ = R, ſo iſt cos b = cos c = 0, alſo b = c = 90°;
dagegen cos a = cos α.

Iſt γ = R, ſo iſt cos γ = 0, sin γ = 1, alſo

• 1) cos c = cot α cot β, nimm dazu
• 2) cos c = cos a cos b
• 3) tga = sin b tg α
• 4) sin a = sin c sin α
• 5) cos α = sin β cos a
• 6) tg b = cos α tg c,

ſo iſt damit die Rechnung der bei γ rechtwinkligen körperlichen Ecke beendet.

Iſt α = β = γ, wie beim Rhomboeder, ſo iſt

Betrachtung von vier Blätterbrüchen.

Hier ſind drei Fälle möglich:

a)Die vier Ebenen liegen in einer Säule. Das gibt eine
achtſeitige Säule. ff1 pag. 14 iſt der Querſchnitt einer geſchobenen Säule,
ſtumpfen nun ſ und ſ1 die ſcharfe Kante k ab, ſo entſteht zwiſchen ſ/ſ1 eine
neue Kante. Man ſagt, die Kante k iſt durch ſſ1 zugeſchärft, und die
entſtandene Säule ff1 ſſ1 iſt 8ſeitig. So kann man 5, 6 … n Blätterbrüche
verbinden, das gibt dann 2nſeitige Säulen.

b)Die vier Ebenen ſchneiden ſich in vier
Zonen, d. h. die vierte hinzukommende ſtumpft eine Kante
des Hexaides ab. Dadurch entſteht eine ſechsſeitige Säule
mit Endfläche, oder ein Vierzonenkörper. Eine Zone
abc iſt ſechsſeitig, und die drei Zonen ad, bd und cd ſind
vierſeitige. Da wir nun dreierlei ſechsſeitige Säulen haben
pag. 15, ſo richten ſich darnach auch die Vierzonenkörper:

Die reguläre ſechsſeitige Säule kann nur mit Gradend-
fläche gedacht werden, da a = b = c ſein und d alle in gleicher Weiſe
ſchneiden muß; d iſt ins Gleichgewicht gebracht ein reguläres Sechseck.

Die rhombiſche Säule mit gerader Abſtumpfung kann
eine Grad- und eine Schiefendfläche haben, erſtere entſteht aus der geraden
rhombiſchen Säule Nr. 7 pag. 17, letztere aus dem Hendyoeder Nr. 5
pag. 16.

Endlich die rhomboidiſche Säule mit ſchiefer Abſtumpfung
kann auch eine gerade oder eine doppelt ſchiefe Endfläche haben. Erſtere
gehört dem 2+1gliedrigen Syſteme an, wie man leicht ſieht.

Die Vierzonenkörper kommen alſo im drei-, zwei-, zwei und ein- und
eingliedrigen Syſteme vor, und ergeben ſich aus den Hexaiden unmittelbar.

c) Die vier Ebenen ſchneiden ſich in 6 Zonen, und bilden
folglich

das Oktaid.

Nimmt man eine Rübe oder Kartoffel, und macht vier
beliebige Schnitte, von denen keiner dem andern parallel
geht, ſo bekommt man ein Tetraid, jenen merkwürdigen
Körper, der allein unter allen Kryſtallen ſich
immer im Gleichgewicht befindet. Das Tetraid
wird von 4 Dreiecken begränzt, hat 6 Kanten, von denen

keine der andern parallel geht. Durch die Halbirungspunkte der Kanten
laſſen ſich drei Linien ziehen, welche je zwei gegenüberliegende Kanten
verbindend ſich in der Mitte des Körpers in einem Punkte halbiren (den
Beweis unten). Wir haben alſo auch hier wieder die Grundzahlen 3,
6 und 4. Außerdem noch 4 Ecken, in welchen je drei Kanten und Flächen
zuſammenlaufen.

Man kann in jedes Hexaid ein Tetraid
einſchreiben. Seine Kanten bilden die Hälften der
12 Flächendiagonalen, in jeder Hexaidfläche liegt eine
Tetraidkante; ſeine Flächen liegen wie die abwechſelnden
Ecken, ſtumpfen alſo, wenn ſie zuſammen auftreten,
dieſe ab. Da alles hälftig getheilt iſt, ſo folgt von

[22]Oktaide.
ſelbſt, daß es ein Gegentetraid gibt, deſſen Kanten mit der übrigen
Hälfte der Diagonalen zuſammenfallen. Denkt man ſich jetzt das Hexaid
weg, ſo hat man zwei durchwachſene (einander umgekehrt gleiche) Tetraide,
deren Kanten ſich gerade ſo ſchneiden müſſen als die Hexaiddiagonalen.
Das beiden gemeinſchaftliche Stück liefert das geſuchte Oktaid. Hieraus
leuchtet unmittelbar der Zuſammenhang der Hexaide mit den Oktaiden
hervor.

Oder einfacher: Haben wir ein beliebiges Tetraid geſchnitten
und legen wir es auf eine ſeiner Flächen, ſo bildet es eine dreiſeitige
Pyramide mit dreieckiger Baſis. Halbiren wir die drei Endkanten der
Pyramide, legen durch die drei Halbirungspunkte eine Ebene, ſo geht
dieſe der Baſis parallel, bildet alſo mit ihr den einen Kryſtallraum.
Schneiden wir nun die Ecke über der Parallelfläche weg, und behandeln
alle vier Ecken in gleicher Weiſe, ſo haben wir das Tetraid in ſein zu-
gehöriges Oktaid verwandelt. Kurz wir halbiren ſämmtliche Kanten und
verbinden die Halbirungspunkte, nehmen die Ecken weg, ſo iſt das Oktaid
da, und immer im Gleichgewicht. Die Flächen des Oktaides und Tetraides
ſind einander der Reihe nach ähnlich, nur iſt die Oktaidfläche viermal
kleiner als die des Tetraides, weil ſie in dieſe eingeſchrieben iſt.

Das Oktaid hat 4 parallele Paare von Dreiecken abc, von denen

je eines mit der Tetraidfläche zuſammenfällt;
6 (reſpective 3) vierkantige Ecken abc, die in
den Mittelpunkten der Tetraidkanten liegen;
und 6 parallele Paare Kanten ac, welche
die eingeſchriebenen Dreiecke der Tetraide
bilden, alſo vier, ſechs und drei Glieder. Die
12 Kanten gruppiren ſich zu drei Parallelo-
grammen (Baſalſchnitten), die Diagonalen
dieſer Parallelogramme müſſen ſich halbiren;
alſo im Baſalſchnitte aba1b1 halbiren ſich
aa1 und bb1, im Baſalſchnitte aca1c1, aa1 und
cc1, folglich müſſen die Axen aa1, bb1 und cc1
ſämmtlich ſich im Mittelpunkte halbiren. Da
die Punkte abc a1b1c1 in den Mittelpunkten
der Kanten des zugehörigen Tetraides liegen,
ſo müſſen auch für dieſes dieſelben Axen Statt haben, was oben nicht
bewieſen war.

Die Axen, auf welche Hr. Prof. Weiß ſchon im Jahre 1809 auf-
merkſam machte, liefern die naturgemäßſte Bezeichnungsweiſe. Wir rechnen
ihre Längen vom Mittelpunkte an, kennen wir dieſe, und wiſſen wir,
unter welchen Winkeln ſie ſich ſchneiden, ſo drückt das Zeichen einer Fläche
a : b : c das weſentliche Verhältniß aus, die Fläche läßt ſich ihrer Lage nach
im Raume beſtimmen.

Die Eintheilung der Oktaide hebt die Syſteme ſchärfer hervor, als
die der Hexaide. In der „Methode der Kryſtallographie“ habe ich ſie
nach mehreren abſtrakten Principien eingetheilt. Hier bleiben wir jedoch
nur bei den concreten Fällen ſtehen, welche uns der bisherige Gang der
Unterſuchung an die Hand gibt. Darnach haben wir neunerlei auszu-
zeichnen mit denſelben Zahlenverhältniſſen, als die 9 Hexaide.

1) Das reguläre Oktaeder hat drei gleiche
rechtwinklige Axen a : a : a, folglich Quadrate zu Ba-
ſalſchnitten; 4 gleichſeitige einander congruente Drei-
ecke; 6 gleiche Kanten 109° 28′ 16″, und 3 vierkantige
Ecken. Schreiben wir auf eine Fläche 0, und auf die
drei anliegenden 1 ꝛc., ſo fallen auf 4 Flächen 0, auf
die vier abwechſelnden 1. Läßt man z. B. die Eins
wachſen, ſo bekommt man ein Tetraeder, und läßt

man die Nullen, ein Gegentetraeder. Beide ſind congruent und regulär, ſie
haben 4 gleichſeitige Dreiecke, 4 dreikantige Ecken, und 6 Kanten
70° 31′ 44″, das Supplement zum Oktaederwinkel. Schreiben
wir in den Würfel ſein Tetraeder ein, ſo entſteht ein reguläres,
weil alle Diagonalen der Würfelflächen einander gleich ſind,

daraus folgt, daß das Oktaeder die Würfelecken ſo abſtumpfen
muß, daß die Oktaederfläche o ein gleichſeitiges Dreieck bildet, und
umgekehrt muß die Würfelfläche P die Oktaederecke ſo abſtumpfen,
daß beim Oktaeder im Gleichgewicht ein Quadrat P entſteht.

2) Das viergliedrige Oktaeder hat 2+1
rechtwinklige Axen a : a : c, folglich zwei einander con-
gruente Rhomben acac, und ein Quadrat aaaa (daher
Quadratoktaeder) zum Baſalſchnitt, 4 gleichſchenk-
liche einander congruente Dreiecke, 4+2 Kanten, von
denen 4 den rhombiſchen Baſalſchnitten (Endkanten)
und 2 den quadratiſchen (Seitenkanten) angehören.
2+1 Ecke: die 1 iſt die aufrecht gedachte 4kantige
Ecke, durch welche die Hauptaxec geht; die 2 ſind
die 2+2kantigen Seitenecken.

Das viergliedrige Tetraeder machen wir aus dem vierglie-
drigen Hexaide Nr. 2, pag. 16, indem wir das zugehörige Tetraid ein-
ſchreiben, es hat 4+2 Kanten, folglich 2+1 kantige Ecken. Die Mittel-
punkte der 2 Kanten werden durch die Axe c verbunden.
Daraus geht hervor, daß das zugehörige Oktaeder die Ecken
des viergliedrigen Hexaides ſo abſtumpft, daß ein gleichſeitiges
Dreieck o entſteht, welches den Flächen des Oktaeders ähnlich
iſt. Stumpft das Hexaid die Ecken des Oktaeders ab, ſo
entſtehen Schnitte, die den Baſalſchnitten ähnlich ſind, alſo

an den Ecken ein Quadrat, an den Seitenecken zwei congruente Rhomben

3) Von den zweigliedrigen Oktaedern
hat das Rhombenoktaeder 1+1+1 rechtwinklige
Axen a : b : c, folglich drei einander nicht congruente
Rhomben abab, acac, bcbc zu Baſalſchnitten; 4 un-
gleichſeitige einander congruente Dreiecke abc; 2+2+2
Kanten, und 1+1+1 Ecken, in welchen 2+2 Kanten
zuſammenlaufen.

Das zugehörige zweigliedrige Te-
traeder machen wir aus dem 2gliedrigen
Hexaide Nr. 3, pag. 16. Es iſt 2+2+2-
kantig, mit ungleichkantigen Ecken und muß
die Hexaidecken ſo abſtumpfen, daß ein un-

[24]Oblonges, dreigliedriges Oktaeder. Rhomboeder.
gleichſeitiges Dreieck o entſteht, während die Hexaidflächen PMT an den
Oktaederecken Rhomben bilden.

Vorſtehende drei Oktaeder und Tetraeder ſind die einzigen mit con-
gruenten Flächen und rechtwinkligen Axen. Das gleichaxige a : a : a hat
keine Hauptſtellung, man kann es nach jeder Axe a aufrecht ſtellen. Wird
nun aber eine Axe a länger oder kürzer zu c gemacht, ſo entſtehen vier-
gliedrige Oktaeder, mit einer Hauptſtellung, in dem c wegen der
Symmetrie immer aufrecht genommen werden muß. Iſt c länger als a,
ſo iſt der Seitenkantenwinkel größer als der Endkantenwinkel, und das
Oktaeder ſchärfer als das reguläre; iſt dagegen c kürzer als a, ſo iſt der
Seitenkantenwinkel kleiner als der Endkantenwinkel, und das Oktaeder
ſtumpfer als das reguläre. Stellte man das viergliedrige Oktaeder nach
einer Axe a aufrecht, ſo wären die Endkanten 2+2, und könnten dann
für zweigliedrig gehalten werden. Sind endlich alle drei Axen verſchieden
lang, ſo iſt die Stellung wieder dreideutig, weil ſich keine Axe vor der
andern auszeichnet.

Das Oblongoktaeder hat 2+2 gleichſchenklige Dreiecke, daher

muß ein Baſalſchnitt, auf welchem ſich die Baſen der
Dreiecke erheben, ein Oblongum mit gleichen aber
ſchiefwinkligen Axen xx ſein, die beiden übrigen Baſal-
ſchnitte ſind congruente Rhomben, deren Diagonalen
ſich rechtwinklig ſchneiden, daher ſteht die dritte Axe b
auf den beiden ſchiefen ſenkrecht. Die Kanten ſind
4+1+1, und die Ecken 2+1, alſo zweigliedrig.
Das zugehörige Tetraeder entſteht aus der geraden
rhombiſchen Säule Nr. 7, pag. 17, es iſt gleichfalls
2+2flächig, 4+1+1 kantig, und 2+2eckig. Da
man die ſchiefen Axen gerne meidet, ſo darf man
im oblongen Baſalſchnitt nur die Seiten halbiren, und die Halbirungs-
punkte durch aa und cc verbinden, die auf einander ſenkrecht ſtehen, bb
nach den Spitzen der Dreiecke gezogen ſteht ohnehin ſenkrecht. Dadurch
bekommen die Flächen nicht mehr den Ausdruck x : x : b, ſondern die
zweierlei a : b : ∞c und b : c : ∞a, es ſind 2 rhombiſche Säulen, die man
auch aus dem Rhombenoktaeder (und umgekehrt) ableiten kann, wie wir
ſpäter ſehen werden.

4) Das dreigliedrige Oktaeder iſt 3+1flächig, die eine

Fläche iſt gleichſeitig, und die drei Flächen ſind gleich-
ſchenklig. Man macht es ſich leicht, indem man an
irgend einem Rhomboeder im Gleichgewicht durch
je 3 Seitenecken Flächen legt, welche die Endecke
gerade abſtumpfen. Es muß dann dieſe neue Fläche
ein gleichſeitiges Dreieck bilden, während die Rhom-
boederflächen zu gleichſchenkligen werden. Die drei
Baſalſchnitte ſind drei congruente Oblongen, daher
haben wir 3+3 Kanten, und drei gleiche Axen
a : a : a, die ſich aber unter gleichen ſchiefen Winkeln ſchneiden. Die drei
gleichen Ecken ſind 2+2kantig und 2+1+1 flächig.

Wollen wir zu einem Rhomboeder das zugehörige Oktaeder ſuchen,
ſo ſchreiben wir das dreigliedrige Tetraeder ein, daſſelbe iſt 3+3kantig,
[25]Dihexaeder.
denn es hat ein gleichſeitiges Dreieck zur Baſis, auf welchem ſich drei
gleichſchenklige Dreiecke als Pyramide erheben, und aus dieſem ſchneidet
man dann das Oktaeder. Wir verfolgen die Sache nicht, weil ſie zur
Darſtellung des Syſtems nicht nothwendig iſt. Denn da das Rhom-
boeder vermöge der Congruenz der Flächen ins Gleichgewicht gebracht
werden kann, ſo reicht es zur Beſtimmung der drei gleichen und ſchiefen
Axen a : a : a, welche von Mittelpunkt zu Mittelpunkt der Flächen gehen,
wie die Axen der Würfel. Da aber durch dieſe Stellung die Symmetrie
des Bildes geſtört wird, und da ferner im Rhomboeder eine einzige 1
ſteht, welche die Ecken A (Nr. 4, pag. 16) verbindet, ſo ſtellt man den
Kryſtall nach dieſer Linie AA aufrecht, und nimmt dieſelbe als Hauptaxe
cc, gegen welche die drei Flächen P und drei Endkanten B eine gleiche
Neigung haben, die Seitenkanten mit den Seitenecken liegen dann im
Zickzack. Durch die Mitte der Zickzackkanten kann man ein reguläres
Sechseck legen, denn jede Seite aa deſſelben geht der Diagonale EE parallel,
iſt alſo halb ſo groß, und da die drei hori-
zontalen Diagonalen EE ein gleichſeitiges Drei-
eck bilden, ſo muß das Sechseck regulär ſein.
Die Diagonalen dieſes regulären Sechseckes aa
ſind untereinander gleich, halbiren und ſchnei-
den ſich im Mittelpunkt unter 60°. Die Rhom-
boederfläche geht alſo von a : a : ∞a : c. Die
Axe c ſteht ſenkrecht gegen die Axenebene
der a. Die Hauptaxe c iſt von a verſchieden,
wenn jedoch das Rhomboeder einen Endkanten-
winkel von 98° 12′ 48″ hätte, ſo müßte
c = a ſein, ein nicht undenkbarer Fall.

Macht man ſich ein Axengeſtell dieſes 3+1axigen Syſtems, ſo
treten die Rhomboederflächen nur in den abwechſelnden Sextanten auf,
die andere Hälfte bleibt leer, legt man darin ebenfalls noch Flächen, ſo
kommt das

Dihexaeder mit 6 parallelen Paaren gleich-
ſchenkliger Dreiecke, deren Baſen a : a in der Ebene
der Axe a liegen; 6 Endkanten gehen von a : c, ſo
daß die Hauptecke in der Axe c 6flächig und 6kantig
iſt, die 6 Seitenecken ſind 2+2kantig.

Man kann daher das Rhomboeder als den
Halbflächner des Dihexaeder anſehen, und deshalb
iſt das dihexaedriſche Syſtem auch wohl dirhom-
boedriſches genannt, da Prof. Weiß auf dieſe
Eigenſchaft ſchon 1809 aufmerkſam machte. Schreibt
man demnach auf eine Fläche 0, auf die anliegenden
1 ꝛc., ſo geben die wachſenden Nullen und Eins je

ein Rhomboeder, beide unterſcheidet man in den Zeichen a : a : ∞a : c und
a1 : a1 : ∞a : c. Da man den Würfel als ein Rhomboeder anſehen
kann, deſſen Endkanten den Seitenkanten gleich geworden ſind, ſo darf
man ihn nur nach einer Ecke cc aufrecht ſtellen, die Zickzackkanten in a
halbiren, ſo ſind ca die Endkanten und aa die Seitenkanten des ein-
geſchriebenen Dihexaeders. Dieſe gefällige Dihexaederform hat Endkante
[26]2+1gliedriges Oktaeder.
131° 48′ 37″ (Winkel der gebrochenen Oktaederkante des Leucitoeder

a : a : ½a) Seitenkante 109° 28′ 16″ (Winkel des regu-
lären Oktaeder). Der Name Dihexaeder (Doppel-
würfel) kann daher auch auf dieſen Urſprung anſpie-
len, und jedenfalls iſt das die leichteſte Weiſe, ſich
den Körper zu ſchneiden. Nach unſerm Gange der
Entwicklung, den ich auch in der Methode der Kry-
ſtallographie eingeſchlagen habe, ſollte man das Di-
hexaeder als ein Dirhomboeder anſehen. Doch kom-
men andererſeits beim Pyramidenwürfel a : ½a : ∞a
und bei mehreren 48flächnern dihexaedriſche Ecken vor,
die ſelbſtſtändig auftreten. Auch ſind beim Quarz
und andern die Flächen ſo gleichartig, daß Weiß den Namen Quarzoeder
(Abh. Berl. Ak. 1814, pag. 324) für den Körper vorſchlug. Später iſt
jedoch durch die Haidinger’ſchen Quarzzwillinge die Anſicht wieder ſo er-
ſchüttert, daß G. Roſe (Abh. Berl. Ak. 1844) den Quarz entſchieden auf
ein Dirhomboeder zurückführen zu können meint. Auch miſcht ſich anderer-
ſeits das Rhomboeder ſo auffallend mit dem Dihexaeder (Eiſenglanz,
Korund), daß zwiſchen dreigliedrigem und ſechsgliedrigem Syſteme keine
ſcharfe Gränze gezogen werden kann.

5) Die zwei und eingliedrigen Oktaeder ſind auch wieder
zweierlei Art, 2+2flächig oder 2+1+1flächig. Das 2+1+1 flächige
(ſchiefes Oblongoktaeder) hat noch einen oblongen Baſalſchnitt, aber die
Dreiecke darüber ſind dreierlei, die 1+1 ſind gleichſchenklig, ſie haben
gleiche Baſen, aber die Schenkel des einen ſind länger als die des andern,
die zwei dagegen ſind ungleichſeitig und congruent. Stellt man das Ob-
longoktaeder nach ſeiner 4kantigen Ecke (a) aufrecht, und bewegt die Axe
a in der Axenebene ac aus ihrer ſenkrechten Stellung ein wenig heraus,
ſo kommt das verlangte Oktaeder. Wenn es ſich blos um die Exiſtenz
und nicht um die Entwickelung deſſelben handelt, ſo darf man nur an
der ſchiefen rhombiſchen Säule (Nr. 5) die hintere Ecke A durch x ſo ab-

ſtumpfen, daß x/M = x/M, beide aber verſchieden von
P/M = D ſind. Wir haben dann einen oblongen Baſal-
ſchnitt EEee, in welchem ſich die Axen bb und cc recht-
winklig ſchneiden, dagegen bilden die beiden andern Baſal-
ſchnitte congruente Rhomboide. Daraus folgt die Sym-
metrie des Kryſtalles von links und rechts, und eine Ebene aca1c muß
ſenkrecht auf dem oblongen Baſalſchnitt ſtehen, folglich auch b auf die
Axen a und c. Dagegen zeigt die Rechnung, daß a und c ſich unter
ſchiefen Winkeln ſchneiden. Wir haben alſo drei verſchiedene Axen abc,
von denen je zwei ab und bc auf einander rechtwinklig, ac dagegen
ſchiefwinklig ſtehen. Den ſtumpfen Winkel kehrt man gewöhnlich auf die
Vorderſeite a, und den ſcharfen auf die hintere a1. (In der Figur iſt
Axe cc etwas aus der Lage gerückt, weil ſie ſonſt nicht ſichtbar würde,
wenn man ſie parallel Ee zeichnete, wie ſie in der Natur geht).

Das 2+2flächige Oktaederpag. 22 leitet man aus der recht-
winkligen Säule mit Schiefendfläche Nr. 8, pag. 17 ab: da die vordern
Ecken EE andere ſind als hintere AA, ſo können die vier Flächen nicht mehr
congruent ſein, wie man leicht aus dem zugehörigen Tetraide ſieht. Jedes
[27]1gliedriges Oktaeder, Tetraide. Axen.
Paar Ecken gibt ein Paar Flächen abc und a1bc (Augitartiges von Weiß,
Diëder der l’Isle), und ſämmtliche Dreiecke ſind ungleichſeitig, weil die
drei Kanten des Hexaides ungleich lang ſind. Die von Ecke zu Ecke
gehenden Oktaederaxen ſind den Kanten des zugehörigen Hexaides parallel,
ſchneiden ſich alſo wie dieſe unter zwei rechten und einem ſchiefen Winkel.
Die Baſalſchnitte ſelbſt ſind zwei verſchiedene Rhomben aba1b und bcbc1,
und ein Rhomboid aca1c1. Auch dieſes Oktaeder bleibt noch nach links
und rechts ſymmetriſch, wird nur vorn anders als hinten, und jede zwei
Augitpaare müſſen ein ſolches geben, wofern ſie nicht in einer Zone liegen.

6) Das eingliedrige Oktaeder hat weder zwei gleiche Flächen,
noch zwei gleiche Kanten, alles tritt nur einzig auf, verſteht ſich immer,
daß man das Parallele nicht mitzählt. Zwar läßt ſich aus der Oblong-
ſäule mit doppeltſchiefer Endfläche noch ein Oktaeder ableiten, an dem
die zwei der oblongen Säule entſprechenden Axenebenen ſenkrecht ſtehen,
allein einen Einfluß kann das auf die Zahl nicht üben.

Betrachten wir die Tetraide für ſich, ſo zerfallen ſie in zwei merk-
würdige Gruppen, in ſymmetriſche und unſymmetriſche. Zu den ſym-
metriſchen gehören das reguläre, viergliedrige, dreigliedrige, und von
den zwei- und zwei und eingliedrigen die aus dem geraden und ſchiefen
Oblongoktaeder. Hier ſind beide das Tetraid und Gegentetraid einander
congruent. Anders iſt es dagegen bei den unſymmetriſchen. Schneidet
man ſich aus der Oblongſäule mit Gradendfläche (Nr. 3) beide Tetraide,
ſo ſind ſie zwar von gleichen Flächen und Kanten begränzt, man kann ſie
aber nicht parallel neben einander ſtellen, ſondern wenn man ſie auf eine
Fläche neben einander legt, ſo ſchaut das eine mit ſeiner Spitze nach
links, das andere nach rechts: das eine iſt alſo um-
gekehrt dem andern gleich und congruent. Aehnliche
Unſymmetrie findet ſich bei dem Tetraide der Oblong-
ſäule mit Schiefendfläche (Nr. 8), es iſt 2+2flächig.
Endlich auch bei den 1+1+1+1flächigen. Naumann

nennt die nicht regulären Sphenoide, Haidinger das unſymmetriſch
zweigliedrige Tartaroid, weil es beim Weinſtein (Tartarus) ſelbſt-
ſtändig vorkommt.

Die Axen.

Nachdem wir uns überzeugt haben, daß aus je vier beliebigen
ſich in 6 Zonen ſchneidenden Flächen ein Oktaid entſteht,
in welchem drei Linien (Axen) ſich im Mittelpunkte halbiren, ſo können
wir nun von dieſen Linien ſprechen. Die Axen gehen entweder alle drei
von Ecke zu Ecke, oder nur eine von Ecke zu Ecke, die andern beiden
den Seiten eines Baſalſchnittes parallel. Wie alles am Kryſtall beweg-
lich gedacht werden muß, ſo auch dieſe Linien: es ſind Richtungen, die
in jedem Punkte des Kryſtalls wirken. Von ihrer Kenntniß, die wir
lediglich dem Herrn Prof. Weiß verdanken, datirt eine ganz neue Epoche
der Kryſtallographie. Alles, was Spätere daran gemodelt haben, hat
den Kern der Sache nur wieder verhüllt. Die Axenrichtungen allein ſind
die wirkenden Kräfte, als deren Reſultanten die Flächen gedacht werden
müſſen, namentlich darf man auch nicht Axenebenen an ihre Stelle ſetzen.

I. Alle drei Axen wirken auf einander rechtwinklig
(orthometriſch):

1) Die gleichen Axena : a : a beſtimmen uns das reguläre

Oktaeder: man darf ſich nur zwei gleiche Linien aa und
aa, die ſich in o halbiren, auf das Blatt zeichnen, und
dann eine dritte gleich lange Linie oa in o ſenkrecht gegen
das Blatt erheben, ſo hat man die einfachſte Anſchauung
vom regulären Oktaeder. Das Zeichen a : a : a iſt ſo ein-
fach, daß es weiter keiner Symbole bedarf, auch liegt
darin von ſelbſt, wegen der vier gleichen Quadranten,
die Vierdeutigkeit des Zeichens: Teſſulariſches S. Mohs, Iſometriſches S.
Hausmann, Teſſeral-S. Naumann.

2) 2 + 1 Axea : a : c beſtimmen uns das viergliedrige Oktae-
der: man darf ſich nur die aufrechte Axe c (Hauptaxe) größer oder kleiner
als a denken, ſo haben wir die Anſchauung. Das Zeichen deutet gleich
an, daß die Seitenkanten a : a von den Endkanten a : c verſchieden ſeien,
und daß die Dreiecke congruent und gleichſchenklig ſein müſſen. Pyra-
midal-S. Mohs, monodimetriſches Hausmann, Tetragonal-S. Naumann.

3) 1 + 1 + 1 Axea : b : c beſtimmen uns das zweigliedrige

Oktaeder: die aufrechte Hauptaxe nennt Weiß
immer c, die nach vorn gehende a und die ſeitliche b.
Wir erſehen daraus, daß die dreierlei Kanten a : b
(Seitenkante), a : c (vordere Endkante) und b : c
(ſeitliche Endkante) von einander verſchieden, und
folglich die vier Flächen ungleichſeitige congruente
Dreiecke ſein müſſen. Orthotypes S. Mohs, rhom-
biſches S. Naumann.

Anmerkung. Leider herrſcht in der Benennung der Axen bei den
Kryſtallographen keine Uebereinſtimmung. Mohs und Naumann nennen
die aufrechte Axe a (unſer c), dagegen ſtimmt b Naumann mit b Weiß,
aber mit c Mohs, und c Naumann mit a Weiß und b Mohs. Der
Mathematiker wird übrigens leichter die aufrechte Axe als c merken, weil
ſie in der Coordinaten-Theorie der Axe der Z entſpricht. Abgeſehen da-
von, daß beim viergliedrigen Syſtem die Symmetrie mit dem regulären
verlangt, die beiden gleichen Axen noch a : a zu nennen und die aufrechte c.
Und warum denn von der Bezeichnung des Begründers der Axen ab-
weichen?

II. Nicht alle drei Axen wirken auf einander rechtwink-
lig (klinometriſch). Die Frage, ob die unbedeutende Schiefe ein-
zelner Axen auf einander, welche nach ſcharfen Meſſungen anzunehmen
man öfter gezwungen iſt, nur von Störungen in der Ausbildung her-
rühren oder im tiefern Innern des Kryſtalls ihren Grund haben, iſt noch
nicht entſchieden. Jedenfalls erwächst mit ſchiefen Axen eine größere
Mühe des Rechnens, wo man daher rechtwinklige Axen nehmen kann,
verdienen ſie unbedingt den Vorzug. Wo man dagegen ſchiefe Winkel
nehmen muß, da wähle man die Axen wenigſtens ſo, daß ſie den recht-
winkligen möglichſt nahe kommen. So macht es Herr Prof. Weiß.
Mohs und Naumann dagegen ſagen, da nun einmal ſchiefwinklige Axen
[29]Axen: ſchiefwinklige. 3+1 Axe.
gefunden werden, ſo nehmen wir ſie auch recht ſchief. Dadurch erleiden
die Flächen eine ſehr verſchiedene Bezeichnung, was das Leſen verſchie-
dener Lehrbücher außerordentlich erſchwert.

Von den ungleichen Axen a : b : c weicht die c
in der Axenebene ac nur um Weniges vom rechten
Winkel ab, zwei und eingliedriges Oktaeder.
Man ſtellt das Oktaeder gern ſo, daß der ſtumpfe
Winkel coa nach vorn ſchaut, dann liegt der ſcharfe
coa1 hinten. Natürlich iſt nun Kante a : c vorn von
a1 : c hinten verſchieden, während die beiden ſeitlichen

Endkanten b : c und die beiden Seitenkanten a : b links und rechts je
einander noch gleich bleiben. Die Oktaederflächen theilen ſich daher in
2+2 ungleichſeitige Dreiecke, das Syſtem kann es nicht mehr zu vier
gleichen Gliedern bringen. Da die Axe b ſenkrecht auf die Axenebene ac
bleibt, ſo müſſen boc und boa noch rechte Winkel ſein. Behufs der
Rechnung ziehe man eine Linie AA1 ſenkrecht gegen cc und Aa parallel cc,
ſo kann man mit der rechtwinkligen Axe oA rechnen, in dem man das kleine
Perpendikel aA = k als Correktion in die Formel einführt. Der Winkel
aoA zeigt die Abweichung vom rechten an. Mohs fällt dagegen ein Per-
pendikel cp auf aa1, und nennt den Winkel pco (= Aoa) die Abweichung.
Hemiorthotypes S. Mohs, monoklinometriſches Naumann.

Man könnte ſich bei dieſem monoklinometriſchen Syſtem zwei Axen,
ja ſelbſt alle drei einander gleich denken, und doch könnte es wegen der
ſchiefen Axen zu keiner größern Gleichheit der Glieder als 2 kommen.

5) Von den ungleichen Axen a : b : c können je zwei ac und bc oder
ſogar alle auf einander ſchief ſtehen, eingliedriges Oktaeder. Hier
können nicht zwei Glieder mehr gleich ſein. Zwar könnte man meinen,
wenn noch ein Axenpaar ab auf einander ſenkrecht ſtünde, müßten beide
Kanten ab links und rechts einander noch gleich bleiben. Allein man
ſieht ſogleich, daß ſie gegen die aufrechte c, welche auf Ebene a wind-
ſchief ſteht, nicht mehr ſymmetriſch liegen, folglich auch nicht mehr gleich
ſein können. Anorthotypes S. Mohs, triklinometriſches Naumann.

Naumann unterſcheidet noch ein diklinometriſches Syſtem, ſchiebt
ſtatt der linearen Dimenſionen die Axenebenen unter: es muß dabei noch
ein Paar Axenebenen z. B. Ebene ab auf bc ſenkrecht ſtehen. Auf die
Symmetrie des Kryſtalls hat das gar keinen Einfluß, und merkwürdiger
Weiſe kann bei dieſem Naumannſchen Syſtem von den drei Lineardimen-
ſionen a : b : c keine auf der andern ſenkrecht ſtehen. Man macht ſich dieſes
leicht an einer oblongen Säule mit doppelt ſchiefer Endfläche klar,
an welcher keine der Kanten auf einander ſenkrecht ſtehen kann. Und
umgekehrt, wenn ein Paar der Kanten auf einander rechtwinklig ſteht,
ſo kann kein Paar der Axenebenen einen rechten Winkel bilden. Das iſt
ein merkwürdiger Widerſpruch! Method. Kryſt. pag. 129.

III. Drei und einaxige Syſteme. Die eine Hauptaxe c ſteht
aufrecht und ſenkrecht gegen die drei gleichen Nebenaxen aaa, welche ſich
unter 60° ſchneiden.

6. a)Sechsgliedriges Syſtem. Denkt man ſich die [Axe]c auf-
recht, ſo kann man durch c : a : a : ∞a eine Fläche legen, die ſechsmal
[30]Verfertigung der Oktaide.
wiederkehrt, alſo ein Dihexaeder bilden muß. Die Seitenkanten a : a
ſind von den Endkanten a : c verſchieden.

6. b)Dreigliedriges Syſtem. Denkt man ſich dagegen nur die

abwechſelnden Sextanten ausgefüllt, ſo entſteht
in c eine rhomboedriſche Ecke. Man ſieht leicht
ein, daß die Ausfüllung der andern Hälfte
ein Gegenrhomboeder rrr geben muß, das ſich
nur durch ſeine Stellung vom erſten unter-
ſcheidet. — Bezeichnet man das eine mit
½ (c : a : a : ∞a), ſo ſchreibt man das andere
½ (c : a1 : a1 : ∞a). Die Sache wird klar, wenn
man das vergleicht, was oben pag. 24 beim
Rhomboeder geſagt wurde.

Verfertigung der Oktaide.

Da ſich in jedes Hexaid ein Tetraid einſchreiben läßt, aus dieſem
aber das Oktaid folgt, ſo könnte man auf dieſe Weiſe ſich leicht alle
Oktaide verſchaffen, wenn man dazu nicht zu viel Holz brauchte, abgeſehen
davon, daß die Schnitte der Hexaide wieder alle genommen werden. Am
beſten iſt es daher, man verfertigt ſie alle aus der Säule.

Das reguläre Oktaeder entſteht aus der geraden rhombiſchen

Säule von (1 : ), da dieß der Oktaederwinkel
iſt. Zu dem Ende trage man die kurze Diagonale AA
nach AH, mache EG = AH, halbire dieſe in C, ziehe
von C nach den vier Punkten AAHH, ſo entſteht das
Oktaeder CAAHHC. Der Beweis iſt leicht zu führen.

Die viergliedrigen Oktaeder entſtehen aus
geraden rhombiſchen Säulen von einem Winkel, der
den Seitenkanten des verlangten Oktaeders entſpricht.
Man verfährt bei der Bereitung ganz wie vorhin. Legt
man die kurze Diagonale AA nach AH, ſo entſteht ein
ſcharfes, legt man dagegen die lange Diagonale EE
nach EG, ſo entſteht ein ſtumpfes Oktaeder.

Würde man AH länger oder kürzer als AA machen, und EG = AH
in C halbiren, ſo entſtünde ein Oblongoktaeder.

Die dreigliedrigen Oktaeder macht man aus dem Rhom-

boeder. Das Rhomboeder aber am beſten aus der
geraden rhombiſchen Säule: zu dem Ende trägt man
EE nach EH, errichtet im Halbirungspunkt p ein Per-
pendikel op, ſo iſt oEEH die Endecke eines Rhomboeders
von dem Endkantenwinkel der Kante H. Da die Rhom-
boederfläche oEE erſt durch den Mittelpunkt der Grad-
endfläche AEAE geht, ſo kann man ſie leicht durch das
hintere A legen, man macht nur vorn Ao = or = Eq,
ſo geht die Rhomboederfläche durch Aqrq. Mache ich
dann ferner Hs = Ao, und ziehe durch ſ Parallelen, ſo iſt stqrqtA
das verlangte Rhomboeder.

Das zweigliedrige Oktaeder macht man aus rhombiſchen Säulen
mit Schiefendfläche. Wäre AEAE eine ſolche, ſo trüge man wieder AA
nach AH, machte EG = AH, halbirte in C, und zöge das Oktaeder CAAHHC.

Ein zwei und eingliedriges käme, ſobald man AH größer oder
kleiner als AA machte; das eingliedrige auf die gleiche Weiſe, nur
muß ſtatt der ſchiefen eine doppelt ſchiefe Endfläche genommen werden.

Die Zeichnung der Oktaide

iſt gewöhnlich eine geometriſche d. h. eine orthographiſche Projektion: man
fälle von den Ecken der Oktaide ſenkrechte auf die Zeichnungsebene, ver-
binde die Orte durch die erforderlichen 12 Kanten, ſo iſt das Bild fertig.
Denkt man das Auge im Unendlichen und ſo gegen Kryſtall- und Zeich-
nungsebene geſtellt, daß ein Geſichtsſtrahl durch den Mittelpunkt des
Kryſtalls ſenkrecht gegen die Zeichnungsebene ſteht, ſo ſieht man den
Kryſtall in unſerm geometriſchen Bilde. Daſſelbe erſcheint zwar etwas
verzogen, aber alle parallelen Kanten bleiben ſich parallel.
Da die Ecken der Oktaide den Endpunkten der drei Axen entſprechen,
ſo fällt die Aufgabe mit der Projektion der drei Axen abc zuſammen.
Wir wollen den einfachſten Fall annehmen, wo dieſelben auf einander
rechtwinklig ſtehen und gleich ſind. Die Zeichnungsebene denkt man ſich
gewöhnlich durch den Mittelpunkt gelegt, ſie muß dann den Kryſtall hal-
biren, die Kanten der vordern Hälfte zeichne man mit dickern, die der
hintern Hälfte mit dünnern Linien, wodurch das Bild durchſichtig wird.
Liegt die Zeichnungsebene in den Seitenaxen ab, ſo gibt das die Hori-
zontalprojektion: in dieſem Falle erſcheint c als Mittelpunkt, weil
alle Geſichtsſtrahlen (Perpendikel) der Axe c parallel gehen, und a und b
erſcheinen in ihrer natürlichen Größe. Aehnlich die Bilder in den Axenebenen
ac und bc (Vertikalprojektionen). Nicht ſo leicht bekommt man

die ſchiefe Projektion.
Zu dem Ende lege Hauptaxe c
in die Zeichnungsebene ZE, die
in der Ebene des Papiers ge-
dacht iſt, und drehe die Seiten-
axen ab ſo lange um die Haupt-
axe c, bis die Projektion von b
um rmal länger iſt als die von a.
Nennen wir den Drehungswinkel,
welchen b dann mit der Zeich-
nungsebene ZE macht, δ, ſo iſt
die Projektion von a = oA = sin δ,
von b = oB = cos δ, folglich
r • sin δ = cos δ, r = cotg δ.
Jetzt drehen wir das ganze Axen-
ſyſtem um die Linie ZE ſo lange,

bis der Projektionspunkt der Axe a (α) von ZE um \frac{1}{s} Länge der erſten
Projektion (alſo \frac{1}{s}OA = Aα) von ZE abſteht. Der Winkel, welchen die
Axenebene ab mit der Zeichnungsebene macht, heiße dann e. Nennen
[32]Zeichnung der Oktaide.

wir den Ort von b mit β, ſo haben wir zwei ähnliche
Dreiecke aAα und bBβ mit dem Winkel e. Da weiter
die Axe c ſich um 90° — e aus der Zeichnungsebene
erhebt, ſo iſt ihre Projektion oγ = sin e, und das Dreieck
ocγ ebenfalls den erſten beiden ähnlich. Es iſt aber
aA = cos δ, bB = sin δ = , ferner wurde Aα =
angenommen, da nun Aa : Aα = Bb : Bβ, ſo iſt
cos δ : : Bβ, Bβ = . Ferner
co : cγ = Aa : Aα, oder
1 : cγ = cos δ : , cγ = , tg δ = , alſo
.

Conſtruction: ſetzen wir r = s = 3, dann iſt δ = 18° 26′,

e = 83° 37′. Ziehe eine beliebige Linie
zB = 2 cos δ, theile ſie in 6 Theile, und
errichte das Perpendikel ZP = ⅙ ZB = sin δ,
ziehe von P nach dem Mittelpunkte o,
ſo iſt oα = ⅓ oP die Axe a, weil
αA = ⅓ sin δ. Mache ferner zβ = ⅓ Aα
= \frac{1}{9}sin δ ¹⁾, ſo iſt oβ die zweite Seiten-
axe. Da (oP)2 = (oz)2 + (zP)2 = cos2 δ
+ sin2 δ = 1, die dritte Axe c = oγ
= iſt, ſo darf ich über
oP nur einen Halbkreis beſchreiben, und
Px = zβ = \frac{1}{9}sin δ hineintragen, ſo iſt im
rechtwinklichen Dreiecke oPx,
(ox)2 = (oP)2 — (Px)2, ox = , mache ich dann ox = oγ
ſenkrecht auf zB, ſo ſind αβγ die verlangten Projektionslinien. Da ox
immer nur \frac{1}{81} von oP abweicht, ſo kann ich auch oP = oγ machen, ohne
einen weſentlichen Fehler zu begehen. Wenn r = s = 2 wäre, ſo wäre
ox = ſchon viel weſentlicher unterſchieden.

Wir haben a = b = c angenommen. Wenn die Axen nun aber
ungleich ſind, ſo ſetzen wir die Hauptaxe c = 1, und ſuchen für a und b
die Proportionalen. Beim Schwefel z. B. iſt a : b = 0,427 : 0,527, nehme
ich alſo etwa a = 0,4α und b = 0,5β, ſo kommen die Axen des ver-
langten Rhombenoktaeders.

Das Dihexaeder ſieht man als ein Rhom-
benoktaeder a : b : c nebſt einem Paar c : ½ b : ∞ a
an, b = a. Man konſtruire erſt das Rhomben-
oktaeder a : b : c, halbire dann die Kante ab in
a', ſo ſind die Verbindungslinien a'a' die geſuch-
ten beiden andern Nebenaxen. Es iſt für dieſe

Stellung nicht unvortheilhaft, wenn man r = 3 und s = 2 nimmt, dann
iſt Winkel ε = 80° 25′.

Deduktion.

Darunter verſteht Herr Prof. Weiß das Ableiten von Flächen aus
gegebenen Zonen. Ohne dieſe Entwickelung iſt gar kein tieferes Verſtänd-
niß der Sache möglich. Die Flächen zeigen ſich hierdurch als Reſultanten
von gegebenen Kräften. Die Säule, das Hexaid und der Vierzonen-
körper laſſen keine weitere Ableitung zu, weil die Zonenpunkte durch ihre
eigenen Flächen ſchon alle untereinander verbunden ſind. Erſt beim
Oktaide wird die Ableitung möglich, und deshalb iſt damit auch das ganze
kryſtallographiſche Syſtem gegeben, wir dürfen nicht zu fünf oder gar
mehr Flächen fortſchreiten.

Das zugehörige Hexaid entſteht durch
Verbindung der Oktaidkanten. Es gibt das
die drei neuen punktirten Linien, welche ſich untereinander
wieder in drei neuen Punkten, den Kantenpunkten des
Hexaides, ſchneiden. Da wir oben geſehen haben, daß
das Hexaid durch drei Linien, die ſich in drei Punkten
ſchneiden, dargeſtellt iſt, ſo muß unſer neuer Körper ein
Hexaid ſein. Da zwei der Hexaidflächen die im Viereck
ſich gegenüber liegenden Kanten verbinden, ſo muß alſo
jede dieſer Hexaidflächen zwei ſich gegenüber liegenden
Endkanten parallel gehen, nur die dritte geht den Seiten-

kanten parallel. Mit jedem beliebigen Oktaide iſt daher auch ein auf
dieſe Weiſe zugehöriges Hexaid gegeben. Jede Hexaidfläche muß am
Oktaide als ein Parallelogramm erſcheinen, weil es nur in zwei Oktaid-
kanten liegt.

Das zugehörige Dodekaid verbindet die Hexaid- mit den
Oktaidkanten, alſo die drei mit den ſechs. Es ſind nur ſechs ſolcher neuen
Linien möglich, daher hat der neue Körper auch nur ſechs Kryſtallräume.
Die ſechs Linien ſchneiden ſich in vier dreikantigen Zonenpunkten, daher
müſſen die den Linien zugehörigen Flächen hier ſechsſeitige Säulen bilden.
Außerdem ſchneidet jede Dodekaidlinie noch zwei Oktaidlinien in neuen
noch nicht vorhandenen Punkten. Die Sektionslinien der drei Körper
Hexaid, Oktaid und Dodekaid, zuſammen 3+4+6 = 13 Linien, ſchneiden
ſich daher unter 3+6+4+12 = 25 Zonenpunkten: die drei entſprechen
3*
[36]Deduktion: Dodekaid.
den Hexaidkanten, die ſechs den Oktaidkanten, die vier den Dodekaid-

kanten, und die zwölf den Dia-
gonalzonen des Oktaides, welche
in jedem Oktaiddreiecke von der
Spitze nach dem Halbirungspunkt
der gegenüber liegenden Kante
gezogen werden, und da jedes
Dreieck drei ſolcher Diagonalen
hat, ſo müſſen 3 • 4 = 12 vorhan-
den ſein. Wir ſind damit bei den
ſchon oben pag. 17 erwähnten
Grundzahlen 3, 4, 6 der Kryſtall-
ſyſteme angelangt, und man ſieht
auf dieſe Weiſe zugleich ein, daß
die Sache nicht anders ſein kann.

Verzeichnen wir das Dodekaid beſonders, ſo beſteht es aus einem
Oktaid 4444 mit zwei zugehörigen Hexaidflächen, welche die Seitenecken

abſtumpfen. Daraus folgen alle ſeine we-
ſentlichen Eigenſchaften. Das nebenſtehende
Dodekaid macht dieß deutlich. Will man
endlich die Axenausdrücke finden, ſo darf
man nur das ganze Dreikörperſyſtem auf
eine der Hexaidflächen projiciren. Man ſieht
dann ſogleich, daß die Sektionslinien der
beiden zugehörigen Hexaidflächen hh' zu Axen genommen das Oktaid o
den Ausdruck a : b : c, das Dodekaid d den Ausdruck a : c : ∞b, b : c : ∞a

hat. Nur über die Ausdrücke der Flächen h und d des
Mittelpunktes könnte man im Zweifel ſein. Allein man
darf die Flächen d z. B. nur parallel mit ſich verrücken,
ſo muß ihre Sektionslinie, ſobald ſie durch a gelegt iſt,
auch durch b gehen, und da d in der Axe c liegt, ſo
muß ſie bei dieſer Verrückung der c parallel bleiben,
alſo a : b : ∞c ſein. h dagegen bekommt den Ausdruck
a : ∞b : ∞c, und h' = b : ∞a : ∞c, wenn man jede parallel mit ſich
verrückt und durch die Axeneinheiten a und b legt. Ehe wir weiter gehen,
wird es gut ſein, auch

die Dodekaide

einer kurzen Betrachtung zu unterwerfen. Zunächſt muß das Dodekaid
ins Gleichgewicht gebracht werden! Zu dem Ende dürfen wir nur das
Oktaid ins Gleichgewicht bringen, ſo daß ſämmtliche Flächen Dreiecke ſind.
Alsdann lege die beiden Hexaidflächen durch die Mitte der Seitenkanten
des Oktaides, und das Dodekaid im Gleichgewicht iſt fertig. Hierauf
beruht zu gleicher Zeit die Weiſe der Verfertigung. Beim Granatoeder
z. B. iſt das Oktaid viergliedrig mit rechtwinkligen Seitenkanten: ich darf
mir daher nach Anleitung von pag. 30 nur aus der quadratiſchen Säule
ein viergliedriges Oktaeder machen, die Seitenecken durch zugehörige Hexaid-
flächen abſtumpfen, und das Granatoeder im Gleichgewicht iſt gemacht.

Das Dodekaid im Gleichgewicht wird von 6 Parallelogrammen be-
gränzt (die parallelen nicht gezählt), die ſich in 3 vierkantigen Ecken, den
Endpunkten der Axen entſprechend, und in 4 dreikantigen Ecken ſchneiden.
Da jede Fläche in der Hexaid- und Oktaidkante zugleich liegt, ſo ent-
ſpricht die Diagonale, welche die vierkantigen Ecken verbindet, den Oktaid-
kanten, und die, welche die dreikantigen verbindet, den Hexaidkanten.
Man kann alſo in jedes Dodekaid das zugehörige Hexaid und Oktaid
einſchreiben. Daraus geht von ſelbſt hervor, daß das Oktaid die drei-
kantigen und das Hexaid die vierkantigen Ecken abſtumpft. Und wieder
kann es nur ſo vielerlei Dodekaide geben, als entſprechende Hexaide oder
Oktaide möglich ſind.

Das reguläre Dodekaid oder Granatoeder iſt ein ſolches,
in welches man einen Würfel und ein reguläres Oktaeder einſchreiben
kann, die Diagonalen ſämmtlicher Flächen ſind daher einander gleich, und
folglich die Flächen congruent. Da die Kanten in vier ſechsſeitigen Säulen
liegen, ſo müſſen dieſe Säulen regulär ſein, und folglich Kanten von 120°.
Der ſtumpfe ebene Winkel der Rhomben beträgt 109° 28′ 16″, iſt alſo ſo
groß als die Kanten des Oktaeders. Die 4 Flächen, welche derſelben Axe
parallel gehen, ſchneiden ſich unter rechten Winkeln, daher hat das Oktaeder
des Granatoeder in den Seitenkanten rechte Winkel, worauf ſeine An-
fertigung beruhte.

Oktaeder, Würfel und Granatoeder treten öfter zuſammen auf (Blei-
glanz, Gold ꝛc.): man mache einen Würfel h, ſtumpfe die Ecken durch das
Oktaeder o ab, indem man gleiche Kantenlängen wegſchneidet, wodurch
gleichſeitige Dreiecke werden. Nimmt man dann mit dem Granatoeder d
die Würfelkanten ſo weg, daß in ihm Rechtecke entſtehen,
was beweist, daß d in der Zone o/o und h/h liegt, ſo
iſt der Körper gemacht. Es ſind in dieſem merkwürdigen
Körper alle möglichen Zahlenverhältniſſe des regulären
Syſtems gegeben. Die 3 bildet den Würfel h mit acht-
eckigen Flächen; die 4 das Oktaeder o mit ſechseckigen
Flächen; die 6 das Granatoeder d mit viereckigen Flächen.
Die Kante h/d iſt 12mal da (die diametral gegenüber

liegenden nicht mitgezählt), in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden-
würfel, d. h. ſie werden durch die Pyramidenwürfel abgeſtumpft; die
Kante h/o nochmals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Leucitoide;
die Kante o/d abermals 12mal, in ihnen liegen alle möglichen Pyramiden-
oktaeder; endlich bleiben noch die 24 Ecken, jede von den drei Flächen
hdo und von den dreimal 12 Kanten begränzt, auf ihrem Gipfel balanciren
alle möglichen 48-Flächner. Eine andere Zahl und ein anderer Körper iſt
nicht denkbar.

Das viergliedrige Dodekaid iſt ein ſolches, in welches man
ein viergliedriges Oktaeder einſchreiben kann. Daher müſſen ſich die Flächen
in 4+2 zerlegen: die 4 untereinander congruenten Rhomben bilden das
nächſte ſtumpfere Oktaeder, und die 2 eine quadratiſche Säule, welche die
Seitenecken des viergliedrigen Oktaeders abſtumpft. Weil die Flächen
zweierlei ſind, ſo pflegt man nicht von einem viergliedrigen Dodekaide zu
ſprechen, man denkt es immer in ſeine Theile zerlegt.

Wir können nun ganz wie beim regulären Syſtem die drei Körper
miteinander verbinden. Zu dem Ende nehme man eine quadratiſche Säule
h mit Gradendfläche h', ſtumpfe die Ecken durch das Oktaid o ſo ab, daß

die Flächen gleichſchenklige Dreiecke bilden pag. 23, und
laſſe dann die Dodekaidflächen d die Kanten des Oktaides
und Hexaides zugleich abſtumpfen. Dann haben wir das
viergliedrige Hauptoktaeder o = a : a : c, an welchem das
Oktaeder des Dodekaides die Endkanten abſtumpft, alſo
das 1ſte ſtumpfere Oktaeder d = a : c : ∞a bildet, wäh-
rend d' = a : a : ∞c die erſte quadratiſche Säule macht,
welche die Seitenkanten von o, und h = a : ∞a : ∞c
die zweite quadratiſche Säule, welche die Seitenecken von o abſtumpft,
während h' = c : ∞a : ∞a nur ein einziges Mal vorhanden als Grad-
endfläche auftritt.

Das zweigliedrige Dodekaid iſt ein ſolches, in welches man
ein zweigliedriges Oktaeder einſchreiben kann. Es müſſen daher die
Flächen ſich in drei Paare 2+2+2 zerlegen. Das vordere Paar d geht
von a : c : ∞b, das ſeitliche d' von b : c : ∞a, das dritte d° (die rhom-
biſche Säule) a : b : ∞c. Wir könnten hier nun wieder ganz in derſelben
Weiſe wie vorhin verfahren, und müßten dann von der Oblongſäule mit

Gradenfläche ausgehen. Je zwei Paare zuſam-
mengenommen bilden ein Oblongoktaeder pag. 24,
an welchem das dritte zugehörige Paar die Seiten-
ecken ſo abſtumpfen muß, daß die Flächen Pa-
rallelogramme werden. Alles das leuchtet aus
einer kleinen Projektionsfigur auf die Hexaidfläche
ſogleich hervor, in welcher die Axe c aufrecht ge-
dacht wird. Das Bild ſtimmt vollkommen mit dem des regulären und
viergliedrigen Syſtems überein, nur daß die Axen ungleich geworden ſind.

Man kann übrigens zu einem zweigliedrigen Dodekaide noch in der
Weiſe gelangen, daß man zwei beliebige Ecken eines zweigliedrigen Oktaeders
durch eine Oblongſäule abſtumpft, weil in dieſelbe ſich ein Oblongoktaeder ein-
ſchreiben läßt. Der Strahlzeolith, Kreuzſtein ꝛc. liefern dazu gute Beiſpiele.

Das dreigliedrige Dodekaid iſt ein ſolches, in welches man
ein dreigliedriges Oktaeder einſchreiben kann. Es muß alſo eine der vier
ſechsſeitigen Säulen regulär bleiben, während die andern drei untereinander
gleiche rhombiſche Säulen mit gerader Abſtumpfung bilden. Denn da das
dreigliedrige Oktaeder 3+3kantig iſt, ſo muß das zugehörige Dodekaid
auch 3+3flächig ſein. Man macht ſich das leicht durch eine Projektion
der Körper auf eine Oktaidfläche klar. Wir wollen dabei vom regulären

Syſtem ausgehen. Wählen wir irgend eine Fläche
des regulären Oktaeder als Projektionsebene, und
denken uns die drei an dieſe Flächen anliegenden
ausgedehnt, ſo müſſen ſich dieſelben in einem
Punkte ſchneiden, dieſen Punkt nehmen wir als
Scheitelpunkt der Projektion. Dann gibt das
gleichſeitige Dreieck ooo die Sektionslinie der
drei Oktaederflächen, während die vierte durch
den Scheitelpunkt der Projektionsebene parallel
[39]Deduktion: Dodekaide.
gehen muß, weil wir ſie als Projektionsebene gewählt haben. Die ſechs
Zonenaxen des Oktaeders ſtrahlen alſo zu drei vom Scheitelpunkte nach
den Ecken des Dreiecks ooo, aber die andern drei treffen die Zonenaxe
nicht, ſie liegen in der Richtung der Sektionslinien 666 im Unendlichen,
was der Pfeil bezeichnen ſoll. Das Oktaeder kann man daher als ein
Rhomboeder mit Gradendfläche betrachten. Das Hexaid hhh muß eine 6
des Dreiecks mit einer im Unendlichen liegenden 6 verbinden, alſo ein
umſchriebenes Dreieck geben, was ein nächſtes ſtumpferes Rhomboeder
bezeichnet. Endlich kommt das Granatoeder d, welches zunächſt durch ein
weiter umſchriebenes Dreieck die Hexaidkante 3 mit der im Unendlichen
liegenden 6 verbindet und ein zweites ſtumpferes Rhomboeder liefert: ſo-
dann kommt die Verbindung der 3 mit der 6 des Oktaederdreiecks, was
eine reguläre ſechsſeitige Säule gibt. Das ganze Syſtem zerlegt ſich alſo
in dieſer Stellung in 1+3+3+3+3 Flächen. Denkt man ſich nun
ſtatt des regulären Oktaeder ein dreigliedriges pag. 24, ſo werden drei
Flächen gleichſchenklig, die vierte bleibt gleichſeitig, und nehmen wir dieſe
als Projektionsebene, ſo bleibt das Projektionsbild ganz das Gleiche, und
die Flächen ſind dennoch in drei Rhomboeder, eine reguläre ſechsſeitige
Säule und eine Gradendfläche zerlegt. Das Ganze dieſer Behandlungs-
weiſe iſt ſo elementar, und führt zugleich ſo tief in das Weſen der Sache
ein, daß ein anderer leichterer Weg nicht wohl denkbar iſt.

Das zwei und eingliedrige Dodekaid iſt ein ſolches, in
welches man ein 2+1gliedriges Oktaeder einſchreiben kann. Man be-
kommt dieſes wieder auf zweierlei Weiſe: 1) Läßt man von den drei
Paaren eines zweigliedrigen Dodekaides eins different werden, ſo haben
wir noch eine geſchobene Säule mit einem ſeitlichen Augit-
artigen Paare, nur das andere Paar zerlegt ſich in eine
hintere Gegenfläche. Man kann darin ein 2+2flächiges
Oktaeder einſchreiben. Das zweite Dodekaid hat ein
ſchiefes Oblongoktaeder pag. 26 als eingeſchriebenen Körper.
Es kommt unter andern ſchön bei Hornblende vor: dieſelbe
bildet eine geſchobene Säule T/T, deren ſcharfe Kante durch
M gerade abgeſtumpft wird. Das Ende in der 2+1-
flächigen Säule bildet die Schiefendfläche P mit dem Augit-
artigen Paare o/o. Da P auf M ſenkrecht ſteht, ſo

bilden ſie eine Oblongſäule, über welcher ein 2+2flächiges Oktaeder o/o
und T/T ſich erhebt, man kann alſo in dieſer Stellung ein 2+1+1-
flächiges Oktaeder einſchreiben.

Die eingliedrigen Dodekaide kann man entweder nach zwei
Paaren different denken, dann muß auch das dritte Paar different ſein; oder
wenn man beim Hornblende-Dodekaid o links von o rechts verſchieden
denkt, ſo kann auch T links nicht mehr T rechts gleich ſein.

Wenn die Dodekaide nach einer ihrer ſechsſeitigen Säulen ſich in die
Länge ziehen, ſo entſtehen keine verſteckten Kanten, und doch iſt der Körper
nicht im Gleichgewicht. Man ſieht das an je einem Oktaide des Dode-
kaids, das gehörig ausgedehnt gedacht immer verſteckte Kanten hat. Ver-
ſteckte Kanten ſind ſolche, die den drei Hauptaxen parallel gehen. Sorgt
man dafür, daß die Oktaide keine verſteckten Kanten haben, ſo iſt auch das
Gleichgewicht des Dodekaids vorhanden. An dieſen Fall habe ich „Methode
[40]Projektion auf die Dodekaidfläche.
der Kryſtallogr. pag. 47, §. 55“ nicht gedacht, denn man kann nicht ſagen,
das Dodekaid iſt im Gleichgewicht, ſobald nur die Kanten der 4 ſechs-
ſeitigen Säulen ſichtbar ſind.

Projektion der drei Körper auf die Dodekaidfläche.

Nehmen wir beiſpielsweiſe das Granatoeder, ſchreiben den Würfel

und das Oktaeder ein, und legen es auf eine ſeiner Flächen
P, die zur Projektionsebene dienen ſoll. Verlängere die
vier anliegenden, ſo ſchneiden dieſelben ſich im Scheitel-
punkte, dddd ſind alſo ihre Sektionslinien, die ein Pa-
rallelogramm von 109° 28′ 16″ bilden. Die Axe a ent-
ſpricht der 5ten d', während die 6te d(P) das Papier iſt,
oder vielmehr dem Papiere parallel geht. Da die Hexaid-
flächen h die vierkantigen Ecken abſtumpfen, ſo liegt jede
in zwei vierſeitigen Säulen dd des Dodekaides. Von den
4 Oktaidflächen gehen zwei durch den Mittelpunkt und zwei
ſchließen das äußere Viereck. Letzteres iſt ein wenig ſchwer
einzuſehen, doch iſt dieſer Weg für die Projektion des
Granatoeders der einleuchtendſte. Man kann nun umge-
kehrt zuerſt das Oktaeder projiciren, wie in nebenſtehender
Figur geſchehen. Zu dem Ende bezeichne man die vier
Flächen mit abcd, ſtelle es nach der Säule bc aufrecht,
ſo daß die Kante ad der Projektionsebene parallel geht.
Wir haben dann eine geſchobene Säule bc, der ſcharfe
Winkel vorn, mit einer Schiefendfläche a, und einer hintern
Gegenfläche d, nur muß man dabei den gemeinſamen
Scheitelpunkt immer feſt im Auge haben. Dieß eingeſehen
folgt alles Andere von ſelbſt, denn die Hexaidflächen h müſſen nun
von 6 zu 6 gehen, und gerade die beiden in den endlichen 6 einander
parallel werden, weil die Projektionsebene der Granatoederfläche parallel
gehen muß. Das Granatoeder verbindet endlich die 3 mit den 6, ganz
wie in den frühern Figuren.

Nimmt man in der vorhergehenden Figur a und b als Axen, ſo
gehen zwei o von a : c : ∞b, und zwei im Mittelpunkt von a : b : ∞c, vier
Dodekaidflächen von ½ a : b : c, kurz man kann alles leicht ableſen.

Das Dodekaid kann in ſeiner Säulenſtellung auch auf drei Axen
bezogen werden, je nachdem man aber dieſe wählt, werden ſie nicht
immer auf einander rechtwinklig ſtehen. Würde ich z. B. das Rhom-
boeder des Granatoeder durch ein gleichſeitiges Dreieck projicirt denken,

wie pag. 38, ſo kann ich die Projektionsebene ſo um
den Mittelpunkt o drehen, daß die neue Projektion ein
gleichſchenkliges Dreieck a'pp bildet, in welchem der
Mittelpunkt der Projektion die Linie aa' halbirt. Der
Zonenzuſammenhang bleibt dann immer der gleiche, wie
unſere Figur zeigt. Nehme ich nun Axe bb parallel pp, ſo
wird d = a : b : ∞c, d' = a : ∞b : c, d° = a' : ½ b : c,
und d'' = b : ∞a : ∞c. Nur ſtänden dann in dieſem
Falle die Axen ac auf einander ſchief, c/b und a/b wären aber noch
[41]Rechnung: Zonenpunktformel.
rechte Winkel. Beim Hornblende-Dodekaid findet das beſondere Verhältniß
Statt, daß die Dodekaidkante d°/d° ſich gegen die Axe c gerade ſo neigt,
als d' auf der Vorderſeite, die Axen ſtehen daher bei ihm ſämmtlich auf
einander rechtwinklig.

Durch die Projektion des Hexaides, Oktaides und Dodekaides ſind
uns ſo viel Punkte gegeben, daß wir daraus eine beliebige Menge von
neuen Flächen ableiten können. Bevor wir dazu ſchreiten, möge das
Wichtigſte geſagt werden über die

Berechnung.

Einiges habe ich darüber in Poggendorf’s Annal. 1835, XXXIV. 503,
XXXVI. 245 und in den „Beiträgen zur rechnenden Kryſtallographie, 1848″
im Programme der philoſ. Fakultät zu Tübingen, das nicht im Buchhandel
erſchienen iſt, geſagt.

I.Sind die Axenelemente ſammt den Flächenaus-
drücken eines Kryſtalls bekannt, ſo werden daraus die
Winkel auf folgende Weiſe berechnet:

Zonenpunktformel.

Sind die Sektionslinien und gegeben, ſo iſt ihr Zonen-
punkt .

Der Punkt p iſt durch die Coordinaten gegeben, gleich-
gültig, ob die Axen rechtwinklig oder ſchiefwink-
lig ſind. Es verhält ſich aber
, folglich

. Da nun nach oben ſich verhält
; ſo iſt
.

Weil μμ1νν1 rationale Größen, ſo müſſen auch die Coordinaten der
Zonenpunkte rationale Theile der Axen ſein.

Beiſpiel. Suchen wir beim Feldſpath im hintern rechten Qua-
dranten den Zonenpunkt o/u = p, ſo iſt
und , alſo
μ = 1, ν = 2, μ1 = 3, ν1 = — 4, folglich
.

Beſonderer Fall. Gienge der Axe b parallel, ſo wäre
ν1 = 0, alſo .

Zwiſchen dem Zonenpunkte und der darin liegenden Sektions-
linie findet die Gleichung m · n = m · ν + nμ ſtatt, da ſich ver-
halten muß: .

Kantenzonengeſetz. Kantenzonenpunkte ſind die Punkte der
Sektionslinie der Säule a : b : ∞c, dieſe haben nämlich die Eigenſchaft,
daß m = n wird. Gegeben iſt wieder die allgemeine Linie , con-
ſtruiren wir nun aus den als bekannt angenommenen
Axeneinheiten a und b das Parallelogramm aobg,
ſo iſt og die Sektionslinie der Säule, in welcher die
Kantenzonen liegen, denn alle Punkte ſind hierin
um gleiche Vorzeichen von den Axen a und b ent-

fernt. iſt jetzt oder — geworden,
wir müſſen daher μ1 = ± ∞ und ν1 = ∓ ∞ ſetzen, gibt
. Dieſes
überraſchend einfache Parallelogrammgeſetz macht man ſich leicht auch
durch einen geometriſchen Beweis klar.

Beiſpiel. In der erſten Kantenzone P/T = des Feldſpathes
pag. 42 iſt für P … 1 — 0 = 1, für m … 3 — 2 = 1, für u … 4 — 3 = 1,
für o … 2 — 1 = 1. Fläche n = ſchneidet die T zwiſchen den
Axen a und b in , weil 4 + 1 = 5, die zwiſchen b und a' in
, weil 4 — 1 = 3 ꝛc. Denn über die poſitiven und negativen
Vorzeichen glaube ich hier nicht ſprechen zu dürfen, da ſie zu den Ele-
menten der Mathematik gehören.

Für die Sektionslinien μa : νb und μ1a : ν1b wird
p = ma + nb = b
= b.

Sektionslinienformel.

Sind die Zonenpunkte und gegeben,
ſo wird der Ausdruck der darin liegenden Flächen:
[44]Rechnung: Sektionslinienformel.
. Denn es iſt
,
. Dieß ſubſtituirt in

=

Beiſpiel. n Feldſpath liegt hinten rechts im Zonenpunkte
x/u = p = , und vorn rechts in m/z = p1 = . Nehmen
wir den hintern rechten Quadranten als den poſitiven, m = 1, n = 2,
ſo iſt m1 = — \frac{7}{3}, n1 = 7, denn , folglich
.

Beſondere Fälle. Läge p1 in der Kantenzone, ſo wäre m1 = n1,
folglich
.

Läge ferner p in einer anliegenden Kantenzone, ſo wäre ±m = ∓n,
.

Beiſpiel. m Feldſpath liegt links in der erſten Kantenzone ,
rechts in der dritten Kantenzone , folglich wird die zwiſchenliegende
Axe a in , und die außerhalb liegende b in
[45]Rechnung: Kantenzonengeſetz.
geſchnitten. Es iſt der umgekehrte Kantenzonenſatz, und nicht minder
wichtig.

Für die Zonenpunkte p = ma+nb und p1 = m1a+n1b, wird μa : νb
.

Anwendung des Kantenzonengeſetzes.

In den Abhandlungen der Berl. Akad. der Wiſſenſch. 1818, pag. 270
hat Herr Profeſſor Weiß nachſtehende ausführliche Bezeichnung der Kry-
ſtallflächen bewieſen:

Wenn eine Fläche das allgemeine Zeichen hat, bezogen auf
die drei Hauptaxen des Oktaides, welche
von Ecke zu Ecke gehen, ſo kann man ſich
zwiſchen dieſen tetragonalen Hauptaxen
6 digonale Zwiſchenaxen ziehen, die,
wenn ſie Kantenzonen ſind, in ,
,

geſchnitten werden müſſen. Zieht man
nun zwiſchen den tetragonalen und digonalen Axen die 4 trigonalen
Zwiſchenaxen, ſo müſſen ſie als Kantenzonen in ,
geſchnitten werden. Wir haben alſo nur zu beweiſen,
daß die digonalen und trigonalen Axen Kantenzonen ſind, ſo iſt die
Richtigkeit des Satzes erſichtlich. Der Satz gilt ganz allgemein für recht-
winklige und ſchiefwinklige, gleiche und ungleiche Axen. Wir wollen
ihn aber hier nur für das reguläre Syſtem beweiſen, woraus dann die
Allgemeinheit von ſelbſt folgt.

Am Würfel im Gleichgewicht gehen die 3 Hauptaxen (tetragonale)
durch die Mittelpunkte der Flächen, die 6 digonalen durch die Mittelpunkte
der Kanten, die 4 trigonalen durch die Ecken, und alle halbiren ſich
im Mittelpunkte des Würfels. In jeder Ebene der Würfel-
fläche liegen 2 digonale Axen d und zwei tetragonale a.
Setzen wir oa = 1, ſo iſt od = . Aus der Pro-
jektion leuchtet unmittelbar ein, daß die Sektionslinien dd
die Kantenzonen für a ſind. Eine Linie muß alſo

die zwiſchenliegende d in , und die außerhalb liegende in oder
ſchneiden, je nachdem ſie auf einer Seite liegt. Und dieß ſagt der
[46]Rechnung: Kantenzonengeſetz.

Weißiſche Satz. Projiciren wir jetzt den gleichen Würfel
auf ſeine Dodekaidfläche, welche den Würfel halbirend
durch zwei gegenüberliegende Kanten und Diagonalen des
Würfels geht, ſo geht in dieſer Projektion dd der Dia-
gonale und aa der Kante parallel. Für oa = 1 war
od = , folglich ot = , tt die trigonalen Zwiſchen-
axen bilden dann aber offenbar die Kantenzonen für
die Axen aa und dd. Da nun jede allgemeine Fläche
die Kantenzone d mit der Summe oder Differenz
im Nenner ſchneiden muß, ſo muß alſo auch unſer d z. B. unter einem
Zeichen oder irgend einem andern von der allge-
meinen Fläche geſchnitten ſein, woraus die Addition der drei Zeichen folgt.
Die tetragonalen Axen ſchneiden ſich unter 90°, die digonalen unter 60°,
die trigonalen unter 109° 28′ 16″ (Oktaederwinkel). In der Würfelebene
ſchneiden ſich zwei digonale mit zwei tetragonalen unter 45°, in der
Oktaederfläche liegen blos drei digonale 60°, in der Granatoederfläche
liegen alle drei: eine tetragonale und digonale 90° und 2 trigonale,
die digonale unter 35° 15′ 52″ (¼ Oktaederwinkel) und die tetragonale
unter 70° 31′ 44″ ſchneidend. Die tetragonale entſpricht der Würfelkante,
die digonale der Oktaederkante, die trigonale der Granatoederkante.

Die drei Linien ſind inſofern auch gut für das allgemeine Zeichen
gewählt, als ſie uns gleich die Orte am Oktaeder andeuten, wo ſie zum
Schnitt kommen.

Beiſpiel. Das Oktaeder hat das Zeichen a : a : a, folglich iſt
μ = ν = 1, die der Oktaederfläche anliegenden digonalen Axen werden
daher in ½ geſchnitten, die drei übrigen aber in , ſie
gehen der Oktaederfläche daher parallel. Die zwiſchenliegende trigonale
Axe wird in geſchnitten, die drei außerhalb liegenden aber
in . Das Granatoedera : a : ∞a hat ν = 0, folglich
die zwiſchenliegende digonale Axe (das Perpendikel auf die Fläche) ½,
die der Fläche anliegenden trigonalen [Axen].
Setzen wir die Zeichen der drei Körper neben einander:

Wenn die drei Körper an einander treten, ſo fallen ihre Axenrich-
tungen zuſammen, wenn alſo beim Würfel die mittlere trigonale Axe in 1
geſchnitten wird, ſo beim Oktaeder in ⅓, d. h. das Perpendikel vom
Mittelpunkte auf die Fläche beträgt nur den dritten Theil von der Linie,
welche vom Mittelpunkte nach der Ecke des umſchriebenen Würfels gezogen
wird; beim Granatoeder die Hälfte, die trigonale Axe geht hier vom
Mittelpunkte nach den dreikantigen Ecken. Stellt man den Würfel nach
einer ſeiner 4 trigonalen Axen aufrecht, und legt durch je drei der Zickzack-
ecken eine Oktaederfläche, ſo müſſen dieſe die Axe in drei Theile theilen.
Da die Sätze allgemein ſind, ſo muß eine ſolche Dreitheilung der Axe
auch für das Rhomboeder gelten. Dieſer Satz iſt daher für Rechnung
und Zeichnung der Kryſtalle von größter Wichtigkeit und Einfachheit.
Denn hat der Anfänger die erſte Schwierigkeit überwunden, ſo iſt kein
elementarerer Satz in ſeiner Anwendung denkbar.

Rechnung mit dem Mittelpunkt.

Liegt einer der beiden Zonenpunkte, z. B. p1, im Mittelpunkte, ſo
iſt m1 = n1 = ∞, denn es muß — 0 werden, folglich
.

Beiſpiel. z Feldſpath pag. 42 geht durch den Mittelpunkt und
durch Punkt n · m = \frac{3}{7}a + \frac{1}{7}b, folglich m = \frac{7}{3}, n = 7, gibt =
— . Würde ich eine Fläche 2a : ⅔b
an das Axenkreuz und dieſer die Fläche z parallel durch den Mittelpunkt
legen, ſo wäre die Bedingung erfüllt. Statt 2a : ⅔b könnte ich aber
auch die Fläche a : ⅓b wählen, die Parallele würde zu der gleichen z
führen. Ich darf daher bei der Mittelpunktgleichung die 2 im Zähler,
oder allgemeinn — m durch Diviſion entfernen. Das Minus deutet
blos an, daß wenn beim Herausrücken von z die Axe b im poſitiven
Quadranten liegt, a nothwendig ein negatives Vorzeichen haben müſſe.

Allgemeine Anwendung der Zonenpunkt- und Sektionslinien-
formeln.

Haben wir die Flächen eines Syſtems auf eine beliebige Ebene pro-
jicirt, ſo kann man ſämmtliche Sektionslinien und Zonenpunkte auf die
Axen desjenigen Oktaides beziehen, aus welchem die Flächen deducirt ſind.
Gehen wir von dem Oktaide 1 bis 4 aus, und ſetzen ganz allgemein
.

Der Orientirung wegen haben wir die Axen mit aa1bb1 bezeichnet,
ſie ſind aber in der Rechnung durchaus nicht nothwendig und = 1 zu
[48]Anwendung der Zonenpunkt- und Sektionslinienformeln.
denken. Die Hexaidflächen 5 und 6 ſind die Axen, auf welchen
abgetragen ſind. Die dritte Hexaidfläche 7 fällt nun in die Zonenpunkte

2 · 3 und 1 · 4. Für 2 · 3 iſt μ = μ, ν = — ν; μ1 = — μ1, ν1 = ν,
das gibt den Zonenpunkt 2 · 3 = b. Für 1 · 4
iſt μ = μ, ν = — ν; μ1 = — μ1, ν1 = ν1, das gibt den Zonenpunkt
1 · 4 = b. Für die Fläche 7 wird alſo
m = , n = ; m1 = , n1 = — , worin
N = μν — μ1ν1 und N1 = μν1 — μ1ν geſetzt iſt, das gibt
7 = .

Für die Dodekaidfläche 8 im Punkte 2 · 3 und dem Mittelpunkte 5 · 6
gelegen iſt m' = n' = ∞; m = , n = , gibt
8 = — b =
= — b,
denn man darf bei Mittelpunktsrechnungen den gleichen Zähler in beiden
Gliedern wegdividiren. Ebenſo findet man 9 = .
[49]Anwendung der Zonenpunkt- und Sektionslinienformeln.
Die übrigen Dodekaidflächen 10—13 kann man ableſen. In Punkt 1 · 6
und 8 · 12 liegt 14 = ; im Punkt 8 · 12 und 1 · 4 liegt
15 = ; im Punkt 1 · 4 und 2 · 11 liegt 16 =
; im Punkte 1 · 8 und 2 · 4 liegt 17 = ;
im Punkte 1 · 8 und 6 · 7 liegt 18 = ; im Punkte 2 · 3
und 9 · 12 liegt 19 = ; im Punkte 3 · 13 und 1 · 4
liegt 20 = ; im Punkte 3 · 9 und 2 · 10 liegt 21 =
; im Punkt 3 · 13 u. 2 · 18 liegt 22 = .

Faſſen wir alle dieſe Zeichen, welche verſchiedenen Körpern angehören,
etwas näher ins Auge, ſo findet man darin bald ein merkwürdiges Geſetz:
Fangen wir bei der Säule 8 = an, ſo folgt dann 17 = ,
18 = , 22 = , 21 = ...... 1 = =
bildet die Gränze. Darüber hinaus ſchlägt das Geſetz um,
und beginnt wieder mit .... 19 = ,
20 = , 18 = . Unter unſern Zahlen iſt keine einzige,
welche dieſem Geſetze erſter Ordnung nicht folgte, denn die Zeichen
21 = ꝛc. ſind = — , machen alſo keine Ausnahme.
Eine ſolche überraſchende Einfachheit hätte man bei der Complicität der
Rechnung nicht erwartet. Setzt man μ = μ1 = ν = ν1 = 1, ſo bekommt
man die gewöhnlichſten Zahlen, welche bei Axenſchnitten vorzukommen
pflegen, c dabei immer in der Einheit geſchnitten gedacht.

Suchen wir jetzt die Flächen im Punkt 3 · 13 und 1 · 12 gibt
22 = ; im Punkt 5 · 6 und 4 · 13 gibt 23 =
b; im Punkte 2 · 15 und
1 · 8 gibt 24 = ꝛc., ſo erkennen wir darin weitere Ord-
nungen, einzelne Glieder ſtimmen noch mit dem Geſetze erſter Ordnung.
Das Geſetz zweiter Ordnung beginnt aber mit ,
Quenſtedt, Mineralogie. 4
[50]Winkelberechnung.
....; … . Die dritte Ordnung
heißt ....; … ,
ꝛc.

Die Kantenwinkelformel

gilt bei ungleichen rechtwinkligen Axen ab für einen Zonenpunkt p =
und eine Sektionslinie , und zwar iſt immer der Winkel gemeint,

welchen die Ebene c : mit der durch p ge-
zogenen Mittelpunktsebene macht, deren Sektions-
linie g iſt, c = 1 geſetzt. Offenbar iſt der Coſinus
dieſes Winkels das Perpendikel vom Axenmittel-
punkt o auf die Linie cp gefällt, folglich
cos : oc = g : pc, oder
cos : 1 = g : , cos = .

Der sin = oq muß dann ſenkrecht auf g ſtehen.
Zieht man die Hilfslinie y parallel ao, und verlängert oq um das Stück x
bis zum Schnitt mit y, ſo iſt sin : sin + x = : y, folglich sin = ,
worin y : , y = , und x : , x = ;
folglich
sin : cos = tg = = mnab : mμb2 — nνa2,
da nun g = , ſo iſt
.

Beiſpiel. Nehmen wir mit Weiß die Axen des Feldſpathes pag. 42
rechtwinklig und a : b = . Suchen wir jetzt den Winkel T/o in
der erſten Kantenzone, ſo iſt p = , folglich m = n = 1,
und o = , — 1 weil die Sektionslinie in einen andern
Quadranten greift als wo der Zonenpunkt liegt, folglich μ = — 1 und
ν = + 2, daher
= .

Für den Winkel T/m bleibt m = n = 1, aber es wird μ = 3 und
ν = — 2, folglich tg = : 3 · 13 + 2 · . Das
+ und — iſt gar nicht weiter zu berückſichtigen, es zeigt blos an, daß
die Winkel auf verſchiedenen Seiten der Mittelpunktsebene T liegen.

Für einen Zonenpunkt p = ma + nb und eine Sektionslinie μa : νb,
wird tg = ab
= .

In manchen Fällen iſt es wünſchenswerth, den ganzen Winkel zu
rechnen. Da gibt es keinen nähern Weg, als mittelſt Coordinaten. Die
Ebene : c, durch den Mittelpunkt gelegt, hat die Coordinaten-
gleichung + z = o, ebenſo die zweite die Gleichung
+ y = o, daraus folgt nach der bekannten Coordinatenformel
für die Winkel zweier Ebenen:
cos = — (Coſinusformel)

Beiſpiel. Suche ich den Winkel P/g beim Feldſpath, ſo müßte ich,
da T ihn nicht halbirt, zwei Winkel P/T und T/g rechnen und addiren.
Der Umweg iſt zwar nicht groß, doch kann man für dieſes Oblong-
oktaeder die Coſinusformel benützen. Für P = und g =
iſt alſo μ = 1, ν = o und μ1 = o, ν1 = 1 zu ſetzen.

Folgt
cos = —
= — .

Zweigliedriges Syſtem.

.

Daraus laſſen ſich mit Leichtigkeit die beſondern Formeln ableiten.
Für die Kantenzone iſt n = m, folglich tg = ab : μb2 — νa2

• vordere Endkante tg = b : νa
• ſeitliche Endkante tg1 = a : μb
• Seitenkante tg0 = : ab

4*
[52]Winkelberechnung des zweigliedrigen Syſtems.
Denn iſt das Oktaeder gegeben, ſo iſt für den Zonenpunkt der
vordern Endkante : c, m = μ, = o oder n = ∞; für die ſeitliche
Endkante : c, = o oder m = ∞ und n = ν.

Für die Neigung der Fläche gegen die Axe c liegt der Zonenpunkt
im Unendlichen, wir haben alſo, wenn wir uns den Zonenpunkt in dem linken
vordern Quadranten denken m = m · o, und n = n · o. Suchen wir
den Zonenpunkt nach der Zonenpunktformel, ſo iſt darin μ = μ, ν = — ν,
μ1 = — μ, ν1 = ν zu ſetzen, gibt , welches mit Rückſicht
auf die Mittelpunktrechnung pag. 47 = , woraus m = μ
und n = ν folgt, dieß und μ = ± μ und ν = + ν in die Kantenwinkel-
formel geſetzt, gibt die Seitenkante. Da der halbe Seitenkantenwinkel +
der Neigung zur Axe c = 90° iſt, ſo iſt ctg = : ab oder
tg = ab : die Neigung der Oktaederflächen zur Hauptaxe.

Das Oktaeder a : b hat daher μ = ν = 1 geſetzt in der
vordern Endkante tg = ; ſeitlichen Endkante tg1 = ;
Seitenkante tg0 = . Aus je zweien können wir die
Axe a und b beſtimmen, wir bekommen dann:
a = ;
b = .

Beiſpiel. Schwefel. Nach Prof. Mitſcherlich (Abh. Berl. Akad.
1822, pag. 45) iſt am zweigliedrigen Schwefel die vordere Endkante
106 · 38 (tg = tg 53 · 19), die ſeitliche Endkante 84 · 58 (tg1 = tg 42 · 29),
die Seitenkante 143 · 16 (tg0 = tg 71 · 38).

• ltg2 = 0,25577 .. num. 1,8021, ltg2 tg12 = 0,17937 .. num. 1,5114
• ltg12 = 9,92360 .. — 0,8387, ltg2 tg02 = 1,21347 .. — 16,348
• ltg02 = 0,95770 .. — 9,0719, ltg12 tg02 = 0,88130 .. — 7,6084.

Dieß in die Formeln geſetzt gibt la = 9,63064 und lb = 9,72213.
Mitſcherlich hat den dritten Winkel aus zweien berechnet, würde man
den dritten zur Kontrole meſſen und aus allen dreien das Mittel nehmen,
ſo würde man damit der Wahrheit näher treten.

Die Paare : ∞ b, : ∞ a, und : ∞ c laſſen ſich unmittel-
bar ableſen. Das Paar : ∞ b hat für die Neigung gegen die Axe c
[53]Berechnung der ebenen Winkel.
tg = , für μ = 1, iſt tg = a, tg1 = , für ν = 1, tg1 = b. Der
leichteſte Weg, die Axen zu berechnen.

Das Oblongoktaeder : ∞ b mit : ∞ a hat nach der Co-
ſinusformel in der Endkante cos = — , denn man darf
nur μ = μ, ν = o; μ1 = o, ν1 = ν ſetzen.

Die ebenen Winkel laſſen ſich von der Projektion unmittelbar
ableſen, denn ſie liegen alle im Scheitelpunkte. Hätte ich eine Fläche
, und ich ſuchte den Winkel der Ebene im Scheitelpunkte
c, ſo fälle man das Perpendikel op, welches den Winkel in
zwei Theile zerlegt, in den α und β correſpondirenden Theil.
y = . Setzen wir α + β = = l,

es iſt die Länge der Sektionslinie zwiſchen den Axenebenen, ſo iſt
cp = cos = . Es verhält ſich aber α : β = , oder
,
α und β ſind aber die Sin. des getheilten ebenen Winkels. Der cos iſt
allen ebenen Winkeln auf der Sektionslinie gemein.

Alle Stücke zwiſchen zwei Zonenpunkten ſind ratio-
nale Multipla oder Submultipla vonl. Iſt wieder
gegeben, und wird dieſe von in p1 geſchnitten, ſo iſt nach der
Zonenpunktformel p1 = . Es iſt aber das Stück
p' …
= .
Da der Faktor von l aus lauter rationalen Zahlen μμ1νν1
beſteht, ſo iſt der Satz bewieſen.

Beiſpiel. Feldſpath. Wir ſuchen den ebenen Winkel der Rhomben-
fläche o, welcher zwiſchen x und P liegt. Die Baſis des Winkels geht alſo
von a' bis zum erſten Kantenzonenpunkte P/T. Da o = a' : ½ b, ſo iſt
[54]Winkelberechnung des viergliedrigen Syſtems.
, und cos =
= . Der sin neben a' = .
Da nun das Stück der Sektionslinie zwiſchen und PT = l iſt, ſo iſt
der zweite sin = , folgl. neben
u. neben .

Viergliedriges Syſtem.

,
denn wir dürfen in der zweigliedrigen Formel nur a = b ſetzen.
.

Kantenzone: tg = : μ — ν, denn darin wird n = m.

• Endkante tg =
• Seitenkante tg0 =

denn ich darf nur für die Endkante μ = ν = m, und n = ∞ ſetzen, für
die Seitenkante dagegen μo = m = n, und μ = μ, ν = — μ. Im letztern
Falle kommt tg =
= als Neigung der Oktaederfläche
gegen die Axe. Da dieſe den halben Seitenkantenwinkel zu 90° ergänzt,
ſo muß ich den Bruch umkehren. Am unmittelbarſten folgt es aus der
Formel der Seitenkante im zweigliedrigen Syſtem pag. 51.

Oktaedera : a hat
.

• Endkante tg = ; a2 = .
• Seitenkante tg0 = ; a = .

denn ich darf für die Endkante nur m = n = μ und μ = μ, ν = o ſetzen.
Das erſte ſtumpfere Oktaedera : ∞ a hat tg = u. tg0 = .

Neigung der Fläche gegen die Axe c iſt tg = a : ,
denn ich darf nur m = μ · o und n = — ν · o ſetzen.

Beiſpiel. Zirkon nach Phillips 84° 20′ in den Seitenkanten des
Oktaeders, daher . Der
Endkantenwinkel wird 123° 15′ angegeben, darnach a =
= 1,588 = = l 0,19259. Nimmt man von beiden Axen das
Mittel, ſo iſt a = 1,559. Nach dem erſten a würde der Endkantenwinkel
123° 19′ betragen, alſo um 4′ größer ſein.

Reguläres Syſtem.

,
denn wir dürfen nur in der zweigliedrigen Formel a = b = 1 ſetzen.
Eine Axe iſt hier nicht mehr zu beſtimmen.

Kantenzone , denn m = n zu ſetzen.

Axenpunkte , denn m = μ und n = ∞ zu ſetzen.
Für die Granatoederkantenzone m = 1, folglich . Für
das Granatoeder ſelbſt μ = 1 und ν = o, folglich tg = = 60°.

Für die Neigung der Flächen gegen die Axenebene iſt ,
denn m = μ, und n = ∞. Für das Oktaeder darin μ = ν = 1,
gibt tg = = 54° 44′.

Drei- und einaxiges Syſtem.

.

Es ſei uns ein Axenkreuz aa gegeben, das ſich unter 60° ſchneidet,
konſtruire ich dazu durch Parallelogromme die Kanten-
zonen ob und oa, ſo wird die Kantenzonenlinie oa im
ſtumpfen Winkel gleich der Axe a ſein, im ſcharfen
Winkel dagegen iſt ob = a√3. Ziehe ich nun eine
beliebige , ſo muß dieſe nach dem Kantenzonen-
geſetz die dritte a des ſtumpfen Winkels in ſchnei-
den, die zwiſchenliegende b im ſcharfen Winkel in .

Das Zeichen der Linie iſt alſo , und da ich nun zwiſchen
je zwei a eine Zwiſchenaxe b, alſo im Ganzen dreimal, legen kann,
ſo werde ich die Schnitte in b durch einfache Addition der Nenner von a
finden. Zwiſchen und liegt daher , und zwiſchen
und liegt , das vollſtändige Zeichen der Linie iſt alſo
. Bei der Rechnung haben wir nur
eines der b mit einem der a auszuzeichnen, die aber wie die punktirten
[56]Winkelberechnung der 3+1axigen Syſteme.
Linien unſerer Figur auf einander ſenkrecht ſtehen müſſen. Die allgemeine
Linie in unſerem Fall iſt alſo durch das Zeichen gegeben.
Wollen wir mit dieſem Zeichen rechnen, ſo iſt in der zweigliedrigen
Formel b = zu ſetzen, woraus obige allgemeine Formel hervorgeht.
Die Hauptſache bei allen dieſen Betrachtungen bleibt immer die, daß
man ſich eine gute Projektionsſigur macht. Für unſere gewählten recht-
winkligen Axen bilden alsdann die zwiſchenliegenden a die Kantenzonen,
will ich aber ihren Schnitt nach dem Kantenzonengeſetz finden, ſo muß
ich den gefundenen Ausdruck mit 2 multipliciren, um ihn auf die
Axe beziehen zu können: z. B. die Axe zwiſchen und hätte
nach dem Kantenzonengeſetz , auf die Axe a bezogen aber .

• Endkante tg =
• Neigung gegen die Axe tg = .

Bei der Rechnung wählen wir am geſchickteſten immer diejenige

Rhomboederkante, welche in der Axe b
liegt, für dieſe iſt aber m = ∞, n = μ.
Da nun ferner eine Rhomboederfläche
: ∞ a die Axe b ebenfalls in
ſchneiden muß, ihr Zeichen auf recht-
winklige Axen bezogen alſo ſein
muß, ſo iſt ν = μ zu ſetzen, woraus die
Endkantenformel folgt. Für die Neigung
gegen die Axe c, iſt der sin = und cos = 1.

Beiſpiel. Der Bitterſpath von Snarum (ṀgC̈) mißt 107° 28
in der Endkante, folglich (bei μ = 1)
1,235 = lg 0,09155. Für die Neigung gegen die Axe ,
lg 0,75 = 9,87506, tg = 46° 55′.

• Endkante .
• Seitenkante .

Da eine Endkante in dem Axenpunkte liegen muß, ſo iſt für dieſe
m = μ, n = ∞ und μ = ν. Für die Seitenkante wird m = n = μo,
μ = μ, ν = — μ, woraus obige Formeln folgen.

Beiſpiel. Das Quarzdihexaeder hat nach Kupfer in der Seiten-
kante 103° 35′ in der Endkante 133° 44′, folglich (für μ = 1)
[57]Winkelberechnung des 2+1gliedrigen Syſtems.
a = , = 0,06247, a = 0,9089 = ,
lg = 9,95853. Gibt tg = = 66° 52′.

• ſtumpfe Endk. tg = .
• ſcharfe Endk. tg1 = .
• Seitenkante ctg0 = .

Zu dem Ende projiciren wir den Dreikantner, ſo liegen die dreierlei
Winkel in der Axe b. Die ſtumpfe Endkante tg dem Projektionsmittel-
punkte am nächſten liegend hat m = ∞, n = ν = 2ν — μ; die ſcharfe
Endkante tg1 vom Mittelpunkte etwas entfernter hat m = ∞, n = ν = μ + ν
und μ = ν — μ; endlich die entfernteſte ſcharfe tg0 hat m = ∞, n = ν
= ν — 2μ und μ = ν, doch finde ich durch dieſe Formel die Neigung
der Fläche zur Hauptaxe, welche das Complement zum halben Seiten-
kantenwinkel bildet, folglich die halbe Seitenkante ſelbſt
.

Beiſpiel. Kalkſpath a = . Suchen wir die Winkel
des gewöhnlichen Dreikantner c : a : ½ a : ½ a, ſo iſt μ = 1, ν = 3,
ν — μ = 2, μ + ν = 4, 2ν — μ = 5, ν — 2μ = 1, folglich

• tg = , lg tg = 0,49346 .... 72° 12′.
• tg1 = , lg tg1 = 0,11212 .... 52° 19′.
• ctg0 = , lg ctg0 = 9,63857 .... 66° 30′.

Die ebenen Winkel findet man mittelſt der Projektion ohne Mühe.
Für die Rhomboeder : ∞ a beträgt der halbe Winkel an der
Endecke tg = 3a : .

Zwei- und eingliedriges Syſtem.

.

Da die Axe b auf c und A
ſenkrecht ſteht, und blos A gegen
c ſich ſchief neigt, ſo wollen wir
die Axenebene Ac zu Papier brin-
gen, worin oA und oA' die Ein-
heiten der ſchiefen Axen bezeichnen,
ſubſtituiren wir dafür eine andere
Axeneinheit oa und oa', welche

rechtwinklig gegen c ſteht, ſo möge eine beliebige Zonenaxe die recht-
winklige a in ſchneiden. Setzen wir nun die Abweichung Aa = k, ſo
iſt k = A · sin α. Ferner verhält ſich
[58]Winkelberechnung des 2+1gliedrigen Syſtems.
oder
und hinten .

Eine beliebige Fläche hat alſo den neuen Ausdruck ,
und den Ausdruck . Wenn man aber das Zeichen für
rechtwinklige Axen hat, ſo könnte man mit der Winkelformel des zwei-
gliedrigen Syſtems rechnen.

Beiſpiel. Feldſpath pag. 42. Suchen wir den Winkel o/T, ſo
iſt o = , folglich die erſte Kantenzone o/T = ,
alſo m = n = 1 + k, μ = — (1—k) = k—1, ν = 2, dieß in die zwei-
gliedrige Kantenwinkelformel geſetzt, gibt
.

Suchten wir in der Diagonalzone von P den Winkel M/n, ſo wäre
n = , alſo m = 1 + k, n = ∞, μ = 1+k, ν = 4, folglich
tg = .

Für den Anfänger iſt dieß der unmittelbarſte Weg zum Ziele, ein-
facher wird es jedoch, wenn man ſich gleich die allgemeine Formel hinſtellt.

Ziehen wir nämlich vom Scheitelpunkte c eine Linie (Zonenaxe) nach
einem beliebigen Punkte in der ſchief gegen Axe c ſtehenden Pro-
jektionsebene, ſo möge durch dieſe Linie die rechtwinklig gegen c gedachte
Projektionsebene in einem Zonenpunkte geſchnitten werden. und
ſind die ſenkrechten Abſtände von b in den Axenebenen Ab und ab, daher muß,
weil zu in der rechtwinklig gegen c gelegenen Ebene wird,
, oder x = m+k ſein. Ebenſo ſind und die ſenkrechten
Abſtände von der Axenebene ac, weil beide der ebenfalls auf ac ſenk-
rechten Axe b parallel gehen. Legt man daher durch Zonenaxe und ſenk-
rechte Abſtände eine Ebene, ſo ſchneide dieſe die Axenebene ac in der
Linie c .... und aus der Proportion
folgt
vorn und hinten . Eine Fläche und
[59]Winkelberechnung des 2+1gliedrigen Syſtems.
ein Zonenpunkt bekommen daher in der neuen rechtwinkligen
Ebene den Ausdruck und ; ſubſtituiren wir
daher in der Kantenwinkelformel des zweigliedrigen Syſtems μ = μ ± k,
m = m ± k und , ſo kommt obige
tg = .
Suchen wir die Winkel der Kantenzonen, ſo iſt m = n,
folglich tg =
für m = 1 haben wir die erſte Kantenzone; für den Winkel o/T iſt dann
μ = — (1 — k) = k — 1 und ν = 2, folglich wie oben
tg = .
Wir müſſen von m ± k das Zeichen + wählen, weil der Zonenpunkt
vorn liegt. Für P/T wird μ = 1, ν = o, folglich
tg = .

Für die Diagonalzonen der Schiefendflächen iſt m = μ,
und n = ∞, folglich tg = .

Beiſpiel. Feldſpath hat:
a : b : k = 2,128 : 3,598 : 0,04334 =
lga = 0,32800, lgb = 0,55612, lgk = 8,63689.
Suchen wir den Winkel M/n, ſo iſt μ = 1, ν = 4, folglich
tg = gibt 45° 3', n ſtumpft alſo
die rechtwinklige Kante zwiſchen P/M faſt gerade ab, indem ſie mit P den
Winkel 180° — 45° 3' = 134° 57' macht.

Auf der Hinterſeite iſt für Winkel o/M μ = 1, ν = 2 zu ſetzen,
und da hinten das Zeichen — gilt, tg = .

Die Zonenpunkte geben die Neigung der Flächen gegen die
Axenebene bc, für ſie iſt m = ∞, n = n, alſo tg = .

Neigung gegen Axec hat tg = . Denn
habe ich eine allgemeine Sektionslinie , ſo iſt das Perpendikel
vom Mittelpunkt darauf gefällt sin = , und
cos = c = 1. Oder ich kann auch in der allgemeinen Formel des zwei-
gliedrigen Syſtems m = (μ ± k)o, n = ν • o, μ = μ±k, ν = —ν ſetzen.
Für die Neigung der Schiefendflächen gegen die Axe iſt ν = o, folglich
vorn tg = a : μ+k und hinten tg = a′ : μ — k.

Neigung von g/M iſt tg = . Denn da g = b : ∞A
= , ſo wird dies in der rechtwinkligen Projektionsebene ,
und das Perpendikel vom Mittelpunkt auf dieſe Linie iſt der sin für
cos = c = 1. Oder allgemein für eine Linie iſt
tg = .

Die Rechnung der Axenelementea, b, k wird am einfachſten,
wenn man den Säulenwinkel und die Winkel zweier Augitartigen Paare
mißt. Hätten wir z. B. beim Feldſpath den Säulenwinkel T/T = 118° 48',
n/n = 90° 6' und o/o = 126° 14' gefunden, ſo heiße tg = tg 59° 24',
tg1 = tg 45° 3' und tg0 = tg 632 7'. Nun iſt aber
tg 59°24 = tg M/T = ;
tg1 45° 3' = tg1 M/n =
tg0 63° 7' = tg0 M/o = , folglich
,
,
,
, folglich
a2 bekannt, und b = atg. Der ſtumpfe Winkel der Axen liegt bei einem
+ k auf der Seite des erſten Gliedes, alſo hier auf der Seite von tg1.
ι4 = 0,60206
.

Hätte man in der Feldſpathprojektion
T/T = 59°24' = tg, P/T = 67° 44' = tg1 und x/T = 69° 20' = tg0
gegeben, ſo bedient man ſich am beſten der ſphäriſchen Trigonometrie.
Im rechtwinkligen ſphäriſchen Dreieck MPT findet man
die Seite M = 63 • 53, da cos M = , ebenſo
im ſphäriſchen Dreieck MTx Seite M' = 65 • 47. Jetzt
macht man von dem Satze
tgω = (Baſalformel)

Gebrauch. Nach den eingeſchriebenen Buchſtaben iſt
nämlich

oder
sinφ•sinω•cosφ1 — sinφ cosω•sinφ1 = sinφ1sinω•cosφ + sinφ1cosω•sinφ
sinφ•sinω•cosφ1 — sinφ1•sinω•cosφ = 2sinφ• sinφ1 • cosω.

In unſerm Falle iſt φ = M = 63° 53' und φ1 = M' = 65° 47', folglich
tgω = 88° 50', und da φ1 größer als φ, ſo liegt der ſtumpfe Winkel
ω = 91° 10' auf der Vorderſeite. Die Abweichung vom rechten Winkel
beträgt alſo ω — 90° = α = 1° 10'. Jetzt verhält ſich A : sin 63 • 53
= c : sin 25 • 57, alſo ιA = 0,32809, a = A • cos 1 • 10 = 2,128,
k = A •sin • 1 • 10 = 0,0434; b = a • tg 59 • 24 = 3,598.

Die Baſalformel läßt ſich leicht verallgemeinern: hätte man vorn eine
Fläche c : a, hinten , ſo wäre tgω =

Das eingliedrige Syſtem kommt ſelten vor, auch ſcheint es
nicht ſonderlich praktiſch, hier anders als mit trigonometriſchen Formeln
zu rechnen. Will man jedoch, ſo rechnet man am beſten mit rechtwink-
ligen Axen, indem man die Axenzeichen irrational macht, wie ich das
in den Beiträgen zur rechnenden. Kryſtallographie pag. 20 auseinander-
geſetzt habe.

Kurze Darſtellung der Syſteme.