1.

Die Haupt-Abſicht der Algebra ſo wie aller
Theile der Mathematic iſt dahin gerichtet,
daß man den Werth ſolcher Groͤßen, die bisher un-
bekant geweſen beſtimmen moͤge, welches aus genauer
Erwegung der Bedingungen, welche dabey vorgeſchrie-
ben und durch bekante Groͤßen ausgedruͤckt werden,
geſchehen muß. Dahero die Algebra auch alſo be-
ſchrieben wird, daß darinnen gezeigt werde wie man
aus bekanten Groͤßen unbekante ausfindig machen
koͤnne.

2.

Dieſes ſtimmt auch mit allem demjenigen uͤber-
ein, was bisher vorgetragen worden, indem allenthal-
ben aus bekanten Groͤßen andere herausgebracht
worden ſind, ſo vorher als unbekant angeſehen werden
konnten.

Das erſte Beyſpiel findet man ſo gleich in der
Additon, da von zwey oder mehr gegebenen Zahlen
die Summa gefunden worden. Daſelbſt wurde nemlich
eine Zahl geſucht welche den gegebenen zuſammen ge-
nommen gleich iſt.

Bey der Subtraction wurde eine Zahl geſucht,
welche dem Unterſcheid zweyer gegebenen Zahlen gleich
war.

Und eben ſo verhaͤlt es ſich auch mit der Multi-
plication und Diviſion, wie auch mit der Erhebung
der Poteſtaͤten und der Ausziehung der Wurzeln,
wo immer eine vorher unbekante Zahl aus bekanten
gefunden wird.

3.

In dem letzten Abſchnitt haben wir ſchon ver-
ſchiedene Fragen aufgeloͤßt, wobey es immer auf die
Erfindung einer Zahl angekommen, welche aus andern
gege-
[5]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
gegebenen Zahlen unter gewißen Bedingungen ge-
ſchloßen werden mußte.

Alle Fragen lauffen alſo da hinaus, daß aus eini-
gen gegebenen Zahlen eine neue gefunden werden ſoll,
welche mit jenen in einer gewißen Verbindung ſte-
he, und dieſe Verbindung wird durch gewiſſe Bedin-
gungen oder Eigenſchaften, welche der geſuchten Zahl
zukommen muͤßen, beſtimmt.

4.

Bey einer jeden vorkommenden Frage wird nun
diejenige Zahl die geſucht werden ſoll, durch einen
der letztern Buchſtaben des Alphabets angedeutet, und
dabey alle vorgeſchriebene Bedingungen in Erwegung
gezogen, wodurch man auf eine Vergleichung zwiſchen
zweyen Zahlen gefuͤhret wird. Aus einer ſolchen Glei-
chung muß hernach der Werth der geſuchten Zahl be-
ſtimmt werden, wodurch die Frage aufgeloͤßet wird.
Bisweilen muͤßen auch mehrere Zahlen geſucht werden,
welches auf gleiche weiſe durch Gleichungen geſchehen
muß.

5.

Dieſes wird durch ein Exempel deutlicher wer-
den: man ſtelle ſich dieſe Frage vor:

20 Perſonen, Maͤnner und Weiber, zehren in ei-
nem Wirths-Haus: ein Man verzehrt 8 Gl. ein Weib
aber 7 Gl. und die gantze Zeche belaͤuft ſich auf 6
Rthl. Nun iſt die Frage wie viel Maͤnner und Weiber
daſelbſt geweſen?

Um dieſe Frage aufzuloͤſen, ſo ſetze man die Zahl
der Maͤnner = x, und ſehe dieſelbe als bekant an,
oder man verfahre damit als wann man die Probe ma-
chen wollte, ob dadurch der Frage ein Genuͤge geſchaͤhe.
Da nun die Anzahl der Maͤnner = x iſt und Maͤnner
und Weiber zuſammen 20 Perſon ausmachen ſo kann
man daraus die Anzahl der Weiber beſtimmen, welche
gefunden wird wann man die Zahl der Maͤnner von
20 ſubtrahirt. Alſo war die Zahl der Weiber = 20 - x.

Da nun ein Mann 8 Gl. verzehrt, ſo werden dieſe
x Maͤnner verzehren 8 x Gl.

Und weil ein Weib 7 Gl. verzehrt ſo werden dieſe
20 - x Weiber verzehren 140 - 7x Gl.

Alſo verzehren Maͤnner und Weiber zuſammen
140 + x Gl. Wir wißen aber wie viel ſie verzehrt ha-
ben, nemlich 6 Rthl. welche zu Gl. gemacht 144 Gl.
ſind, daher erhalten wir dieſe Gleichung 140 + x = 144
woraus man leicht ſieht daß x = 4.

Dahero waren bey der Zeche 4 Maͤnner und 16
Weiber.

6.

Eine andere Frage von gleicher Art:

20 Perſonen, Maͤnner und Weiber, ſind in einem
Wirths-Haus. Die Maͤnner verzehren 24 Fl. die Wei-
ber verzehren auch 24 Fl. und es findet ſich, daß ein
Mann einen Gulden mehr als ein Weib hat zahlen
muͤßen, wie viel waren es Maͤnner und Weiber?

Es ſey die Zahl der Maͤnner = x
ſo iſt die Zahl der Weiber = 20 - x.

Da nun dieſe x Maͤnner 24 Fl. verzehrt haben, ſo hat
ein Mann verzehrt \frac{24}{x} Fl.

Und weil die 20 - x Weiber auch 24 Fl. ver-
zehret haben, ſo hat ein Weib verzehrt \frac{24}{20 - x}. Dieſe Zeche
eines Weibes iſt nun um 1 weniger, als die Zeche eines
Mannes. Wann man alſo von der Zeche eines Mannes
1 Fl. ſubtrahirt, ſo muß die Zeche eines Weibes heraus
kommen; woraus man dieſe Gleichung erhaͤlt \frac{24}{x} - 1
= \frac{24}{20 - x}. Dieſes iſt alſo die Gleichung woraus der
Werth von x geſucht werden muß, welcher nicht ſo
A 4leicht
[8]Erſter Abſchnitt
leicht heraus gebracht werden kann wie bey der vori-
gen Frage. Aus dem folgenden aber wird man ſe-
hen daß x = 8 ſey, welches auch der gefundenen Glei-
chung ein Genuͤge leiſtet \frac{24}{8} - 1 = \frac{24}{12} das iſt 2 = 2.

7.

Bey allen Fragen kommt es nun darauf an, daß nach-
dem man die unbekanten oder geſuchten Zahlen durch
Buchſtaben angedeutet, die Umſtaͤnde der Frage ge-
nau in Erwegung gezogen, und daraus Glei-
chungen hergeleitet werden. Hernach beſteht die gan-
tze Kunſt darinn wie ſolche Gleichungen aufgeloͤßet,
und daraus der Werth der unbekandten Zahlen ge-
funden werden ſoll, und hievon ſoll in dieſem Ab-
ſchnitt gehandelt werden.

8.

Bey den Fragen ſelbſt ereignet ſich auch ein Un-
terſcheid, in dem bey einigen nur eine unbekannte
Zahl, bey andern aber zwey oder noch mehr geſucht
werden ſollen, in welchem letztern Fall zu mercken,
daß dazu auch eben ſo viel beſondere Gleichungen er-
fodert werden, welche aus den Umſtaͤnden der Frage
ſelbſt hergeleitet werden muͤßen.

9.

Eine Gleichung beſtehet demnach aus zwey Saͤtzen,
deren einer dem andern gleich geſetzt wird. Um nun
daraus den Werth der unbekanten Zahl herauszu-
bringen, muͤßen oͤfters ſehr viele Verwandelungen an-
geſtellet werden, welche ſich aber alle darauf gruͤnden,
daß wann zwey Groͤßen einander gleich ſind, dieſelben
auch einander gleich bleiben, wann man zu beyden einer-
ley Groͤßen addirt oder davon ſubtrahirt: imgleichen
auch wann dieſelben durch einerley Zahl multiplicirt
oder dividirt werden: ferner auch wann beyde zugleich
zu Poteſtaͤten erhoben oder aus beyden gleich-
nahmigte Wurzeln ausgezogen, und endlich auch
wann von beyden die Logarithmen genommen wer-
den, wie ſchon allbereit im vorigen Abſchnitt geſche-
hen.

10.

Diejenigen Gleichungen, wo von der unbekanten
Zahl nur die erſte Poteſtaͤt vorkommt, nach dem die
Gleichung in Ordnung gebracht worden, ſind am leich-
teſten aufzuloͤſen, und werden Gleichungen vom er-
ſten Grad genennet. Hernach folgen ſolche Gleichun-
gen, worinnen die zweyte Poteſtaͤt oder das Quadrat
A 5der
[10]Erſter Abſchnitt
der unbekanten Zahl vorkommt, dieſe werden Qua-
dratiſche Gleichungen, oder vom zweyten Grad ge-
nennt. Darauf folgen die Gleichungen vom dritten
Grad oder die Cubiſchen worinnen der Cubus der unbe-
kanten Zahl vorkommt, und ſo fort, von welchen allen
in dieſem Abſchnitt gehandelt werden ſoll.

11.

Wann die unbekante oder geſuchte Zahl durch den
Buchſtaben x angedeutet wird, und die her-
aus gebrachte Gleichung ſchon ſo beſchaffen iſt, daß
der eine Satz blos allein das x und der andere Satz
eine bekante Zahl enthaͤlt, als z. E. x = 25,
ſo hat man ſchon wuͤrcklich den Werth von x der ver-
langt wird, und auf dieſe Form muß man immer
zu kommen trachten, ſo verwirt auch die erſt gefun-
dene
[11]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
dene Gleichung ſeyn mag, worzu die Regeln im fol-
genden gegeben werden ſollen.

12.

Wir wollen bey den leichteſten Faͤllen anfangen
und erſtlich ſetzen, man ſey auf dieſe Gleichung gekom-
men:

x + 9 = 16, ſo ſieht man daß x = 7.

Es ſey aber auf eine allgemeine Art x + a = b,
wo a und b bekante Zahlen andeuten, dieſelben moͤ-
gen heißen wie ſie wollen. Hier muß man alſo bey-
derſeits a ſubtrahiren und da bekommt man dieſe Glei-
chung x = b - a welche uns den Werth von x an-
zeigt.

13.

Wann die gefundene Gleichung iſt x - a = b, ſo
addire man beyderſeits a, ſo kommt x = a + b, wel-
ches der geſuchte Werth von x iſt.

Eben ſo verfaͤhrt man, wann die erſte Gleichung
alſo beſchaffen iſt x - a = aa + 1, dann da wird
x = aa + a + 1.

Und aus dieſer Gleichung x - 8a = 20 - 6a be-
kommt man x = 20 - 6a + 8a oder x = 20 + 2a.

Und aus dieſer x + 6a = 20 + 3a findet man
x = 20 + 3a - 6a oder x = 20 - 3a.

14.

Iſt nun die Gleichung alſo beſchaffen x - a + b = c,
ſo kann man beyderſeits a addiren, ſo kommt x + b
= c + a, jetzt ſubtrahire man beyderſets b, ſo hat man
x = c + a - b; man kann aber zugleich beyderſeits + a - b
addiren, ſo bekommt man mit einmahl x = c + a - b.
Alſo in den folgenden Exempeln;
wann x - 2a + 3b = o ſo wird x = 2a - 3b,
wann x - 3a + 2b = 25 + a + 2b, ſo wird x = 25 + 4a.
wann x - 9 + 6a = 25 + 2a, ſo wird x = 34 - 4a.

15.

Hat die gefundene Gleichung dieſe Geſtalt ax = b,
ſo dividire man beyderſeits durch a ſo hat man x = \frac{b}{a}.
Iſt aber die Gleichung ax + b - c = d, ſo muß man
erſtlich dasjenige was bey ax ſteht wegbringen,
man addire beyderſeits - b + c ſo kommt ax = d
— b + c: folglich, x = \frac{d - b + c}{a}

oder man ſubtrahire beyderſeits + b - c ſo
kommt ax = d - b + c und x = \frac{d - b + c}{a}.

Es ſey 2x + 5 = 17, ſo kommt 2x = 12 und x = 6
Es ſey 3x - 8 = 7, ſo kommt 3x = 15 und x = 5
Es ſey 4x - 5 - 3a = 15 + 9a, ſo wird 4x = 20
+ 12a, folglich x = 5 + 3a.

16.

Iſt die Gleichung alſo beſchaffen \frac{x}{a} = b, ſo mul-
tiplicire man beyderſeits mit a, ſo kommt x = ab,

Iſt nun \frac{x}{a} + b - c = d, ſo wird erſtlich \frac{x}{a} = d - b
+ c und x = (d - b + c) a = ad - ab + ac.

Es ſey ½x - 3 = 4, ſo wird ½x = 7 und x = 14.

Es ſey ⅓ x - 1 + 2a = 3 + a, ſo wird ⅓ x = 4 - a
und x = 12 - 3a.

Es ſey \frac{x}{a - 1} - 1 = a ſo wird \frac{x}{a - 1} = a + 1 und x = aa - 1.

17.

Iſt die Gleichung alſo beſchaffen \frac{a x}{b} = c, ſo mul-
tiplicire man beyderſeits mit b, ſo wird ax = bc, und
ferner x = \frac{b c}{a}.

iſt aber \frac{a x}{o} - c = d, ſo wird \frac{a x}{o} = d + c und ax = bd
+ bc und folglich x = \frac{bd + bc}{o}.

Es ſey ⅔ x - 4 = 1, ſo wird ⅔ x = 5 und 2x = 15
folglich x = \frac{15}{2}, das iſt 7 ½

Es ſey ¾ x + ½ = 5, alſo ¾x = 5 - ½ welches = [\frac{9}{8}]
und 3x = 18 und x = 6.

18.

Es kann auch geſchehen, daß zwey oder mehr
Glieder den Buchſtaben x enthalten, und entweder
in einen Satz oder in beyden vorkommen. Sind ſie auf
einer Seite als x + ½ x + 5 = 11, ſo wird x +
½ x = 6 und 3x = 12 und x = 4.

Es ſey x + ½ x + ⅓ x = 44, was iſt x? man multi-
plicire mit 3 ſo wird 4x + \frac{3}{2}x = 132, ferner mit 2 mul-
tiplicirt wird 11x = 264 und x = 24; dieſe drey Glieder
koͤnnen aber ſo gleich in eins gezogen werden, als
\frac{11}{6}x = 44, man theile beyderſeits durch 11 ſo hat man
⅙ x = 4 und x = 24.

Es ſey ⅔ x - ¾ x + ½ x = 1 welches zuſammen ge-
zogen giebt \frac{5}{12}x = 1 und x = 2 ⅖.

Es ſey ax - bx + cx = d, ſo iſt dieſes eben ſo viel
als (a - b + c) x = d, hieraus kommt x = \frac{d}{a - b + c}.

19.

Steht aber x in beyden Saͤtzen als z. E. 3x + 2
= x + 10 ſo muͤßen die x von der Seite wo man
am wenigſten hat weggebracht werden, alſo ſubtra-
hire man hier beyderſeits x ſo kommt 2x + 2 = 10 und
2x = 8 und x = 4.

Es ſey ferner x + 4 = 20 - x, alſo 2x + 4 = 20
und 2x = 16 und x = 8.

Es ſey x + 8 = 32 - 3x, alſo 4x + 8 = 32 und 4x
= 24 und x = 6.

Es ſey ferner 15 - x = 20 - 2x, alſo 15 + x = 20 und x = 5.

Es ſey 1 + x = 5 - ½x, alſo 1 + \frac{3}{2}x = 5 und \frac{3}{2}x = 4
und 3x = 8 und x = 2⅔.

Es ſey ½ - ⅓ x = ⅓ - ¼ x, man addire ⅓ x, ſo kommt ½ = ⅓
+ \frac{1}{12}x, ſubtrahire ⅓, ſo hat man \frac{1}{12}x = ⅙, multiplicire mit
12 ſo kommt x = 2.

Es ſey 1½ - ⅔ x = ¼ + ½ x, addire ⅔ x ſo kommt 1½ = ¼ + \frac{7}{6}x,
ſubtrahire ¼ ſo hat man \frac{7}{6}x = 1¼.

multiplicire mit 6 ſo bekommt man 7x = 7½.

durch 7 dividirt, giebt x = 1\frac{1}{14} oder x = \frac{15}{14}.

20.

Kommt man auf eine ſolche Gleichung wo die
unbekante Zahl x ſich im Nenner befindet, ſo muß der
Bruch gehoben und die gantze Gleichung mit demſel-
ben Nenner multiplicirt werden.

Alſo wann man findet \frac{100}{x} - 8 = 12.
addire 8, ſo kommt \frac{100}{x} = 20,
multiplicire mit x, ſo hat man 100 = 20 x
dividire durch 20, ſo kommt x = 5.

Es ſey ferner \frac{5x + 3}{x - 1} = 7,
multiplicire mit x - 1, ſo hat man 5x + 3 = 7x - 7
ſubtrahire 5x, ſo kommt 3 = 2x - 7,
addire 7, ſo bekommt man 2x = 10, folglich x = 5.

21.

Bisweilen kommen auch Wurzel-Zeichen vor,
und die Gleichung gehoͤrt doch zu dem erſten Grad; als
wann eine ſolche Zahl x geſucht wird unter 100, ſo daß
die Quadrat-Wurzel aus 100 - x gleich werde 8, oder
daß √(100 - x) = 8, ſo nehme man beyderſeits die Qua-
draten 100 - x = 64, ſo hat man wann x addirt wird
100
[17]Von den Algebraiſchen Gleichungen
100 = 64 + x ſubtrahire 64 ſo hat man x = 36:
oder man koͤnnte auch alſo verfahren, da 100 - x = 64,
ſo ſubtrahire man 100, und man bekommt - x = - 36;
mit - 1 multiplicirt, giebt x = 36.

22.

Bisweilen kommt auch die unbekante Zahl x
in den Exponenten, dergleichen Exempel ſchon oben
vorgekommen, und da muß man ſeine Zuflucht zu den
Logarithmen nehmen.

Als wann man findet 2x = 512, ſo nimmt man
beyderſeits ihre Logarithmen, da hat man x l 2 = l 512;
man dividire durch l 2 ſo wird x = \frac{l 512}{l 2}: nach den
Tabellen iſt alſo:

x = \frac{2,7092700}{0,3010300} = \frac{27092700}{3010300}; alſo x = 9.

Es ſey 5.32x - 100 = 305; man addire 100, kommt
alſo 5.32x = 405; man dividire durch 5, ſo wird 32x = 81;
man nehme die Logarithmen 2x l 3 = l 81 und divi-
dire durch 2l3 ſo wird x = \frac{l 81}{2 l3} oder x = \frac{l 81}{l 9}, folglich
x = \frac{1,9084850}{0,9542425} = \frac{19084850}{9542425}; alſo wird x = 2.

23.

Erſte Frage.

Zertheile 7 in zwey Theile, ſo daß der groͤßere um
3 groͤßer ſey als der kleinere?

Es ſey der groͤßere Theil = x ſo wird der klei-
nere ſeyn 7 - x, dahero muß ſeyn x = 7 - x + 3 oder
x = 10 - x; man addire x ſo kommt 2x = 10 und di-
vidire durch 2 ſo wird x = 5.

Antwort: der groͤßere Theil iſt 5 und der kleinere 2.

II. Frage: man zertheile a, in zwey Theile, ſo
daß der groͤßere um b groͤßer ſey als der kleinere?

Es ſey der groͤßere Theil x, ſo iſt der kleinere a - x:
dahero wird x = a - x + b, man addire x ſo wird
2x = a + b und dividire durch 2, ſo erhaͤlt man
x = \frac{a + b}{2}.

Eine andere Aufloͤſung: Es ſey der groͤßere Theil
= x, weil nun derſelbe um b groͤßer iſt als der kleiner,
ſo iſt hinwiederum der kleinere um b kleiner als der groͤ-
ßere; dahero wird der kleinere Theil x - b: dieſe beyde
Theile zuſammen muͤßen a ausmachen, dahero bekommt
man: 2x - b = a; man addire b, ſo kommt 2x = a + b,
folglich x = \frac{a + b}{2} welches der groͤßere Theil iſt, und der
kleinere wird ſeyn \frac{a+b}{2} - b oder \frac{a+b}{2} - \frac{2b}{2} oder \frac{a - b}{2}.

24.

III. Frage: Ein Vater hinterlaͤßt drey Soͤhne und
1600 Rthl. Nach ſeinem Teſtament ſoll der aͤlteſte Sohn
200 Rthl. mehr haben als der zweyte, der zweyte aber
100 Rthl. mehr als der dritte; wie viel bekommt ein
jeder?

Das Erbtheil des dritten ſey = x, ſo iſt das
Erbtheil des zweyten = x + 100, und das Erbtheil
des erſten = x + 300; dieſe 3 zuſammen muͤßen 1600
Rthl. machen. Dahero wird 3x + 400 = 1600: man
ſubtrahire 400 ſo wird 3x = 1200 und durch 3 divi-
dirt giebt x = 400.

Antwort: der dritte bekommt 400 Rthl. der zweyte
500 Rthl. der erſte 700 Rthl.

25.

IV. Frage: Ein Vater hinterlaͤßt 4 Soͤhne und
8600 Rthl. Nach ſeinem Teſtament ſoll der erſte zwey-
mal ſo viel bekommen als der zweyte weniger 100
Rthl. Der zweyte ſoll bekommen dreymal ſo viel als
der dritte weniger 200 Rthl. und der dritte ſoll ha-
ben viermal ſo viel als der vierte weniger 300 Rthl.
Wie viel bekommt ein jeder?

Das Erbtheil des vierten ſey = x, ſo iſt das Erbtheil
des dritten 4x - 300, des zweyten 12 x - 1100 und des
erſten 24 x - 2300. Hiervon muß die Summe aus-
machen 8600 Rthl. woraus dieſe Gleichung entſteht:

41x - 3700 = 8600: man addire 3700 ſo kommt
41x = 12300; und durch 41 dividirt giebt x = 300.

Antwort; der vierte Sohn bekommt 300 Rthl. der
dritte 900 Rthl. der zweyte 2500 Rthl. und der erſte
4900 Rthl.

26.

V. Frage: Ein Mann hinterlaͤßt 11000 Rthl. und
darzu eine Wittwe zwey Soͤhne und drey Toͤchter. Nach
ſeinem Teſtament ſoll die Frau zweymal mehr bekom-
men als ein Sohn, und ein Sohn zweymal mehr als
eine Tochter. Wie viel bekommt ein jedes?

Das Erbtheil einer Tochter ſey = x ſo iſt das
Erbtheil eines Sohns = 2x und das Erbtheil der
Wittwe = 4x; folglich iſt die gantze Erbſchaft 3x + 4x
+ 4x, oder 11x = 11000; durch 11 getheilt giebt x = 1000.

Anwort: eine Tochter bekommt 1000 Rthl.
allſo alle drey bekommen 3000 Rthl.
ein Sohn bekommt 2000 Rthl.
allſo beyde 4000
und die Mutter bekommt \frac{=\; =\; = 4000}{\mathfrak{Summa}\; 11000\; \mathfrak{Rthl.}}

27.

VI. Frage; Ein Vater hinterlaͤßt drey Soͤhne, welche
das hinterlaßene Vermoͤgen folgender Geſtalt unter ſich
theilen. Der erſte bekommt 1000 Rthl. weniger als die
Haͤlfte von der gantzen Verlaßenſchaft; der zweyte 800
Rthl. weniger als der dritte Theil der Verlaßenſchaft,
und der vierte 600 Rthl. weniger als der vierte Theil
der Verlaßenſchaft. Nun iſt die Frage wie groß die
Verlaßenſchaft geweſen und wie viel ein jeder bekom-
men?

Es ſey die gantze Verlaßenſchaft = x
ſo hat der erſte Sohn bekommen ½ x - 1000
der zweyte ⅓ x - 800
der dritte ¼ x - 600

Alle drey Soͤhne zuſammen haben alſo bekommen ½ x
+ ⅓ x + ¼ x - 2400 welches der gantzen Verlaßen-
ſchaft x gleich geſetzt werden muß, woraus dieſe
Gleichung entſteht, \frac{13}{12}x - 2400 = x
Man ſubtrahire x, ſo hat man \frac{1}{12}x - 2400 = 0,
man addire 2400, ſo iſt \frac{1}{12}x = 2400,
und mit 12 multiplicirt giebt x = 28800.

Antwort: die gantze Verlaßenſchaft war 28800 Rthl.
davon hat nun der
erſte Sohn bekommen 13400 Rthl.
der zweyte 8800
der dritte 6600
alle drey allſo 28800 Rthl.

28.

VII. Frage: Ein Vater hinterlaͤßt vier Soͤhne; wel-
che die Erbſchaft alſo unter ſich theilen: der erſte nimmt
3000 Rthl. weniger als die Haͤlfte der Erbſchaft:
der zweyte nimmt 1000 Rthl. weniger als ⅓ der Erb-
ſchaft:
der dritte nimmt juſt den ¼ der gantzen Erbſchaft:
der vierte nimmt 600 Rthl. und den ⅕ der Erbſchaft:
wie
[23]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
wie groß war die Erbſchaft und wie viel hat ein jeder
Sohn bekommen?

Man ſetze die gantze Erbſchaft = x
ſo hat bekommen der erſte ½ x - 3000
der zweyte ⅓ x - 1000
der dritte ¼ x
der vierte ⅕ x + 600
und alle vier zuſammen nahmen ½ x + ⅓ x + ¼ x + ⅕ x
— 3400, welches ſeyn muß = x: alſo hat man dieſe
Gleichung.

\frac{77}{60}x - 3400 = x
ſubtrahire x, ſo wird \frac{17}{60}x - 3400 = 0
addire 3400 ſo kommt \frac{17}{60}x = 3400
durch 17 dividirt giebt \frac{1}{60}x = 200 und
mit 60 multiplicirt x = 12000.

Antwort: die gantze Verlaßenſchaft war 12000 Rthl.
davon bekam der erſte 3000 Rthl.
der zweyte 3000
der dritte 3000
der vierte 3000

29.

VIII. Frage: Suche eine Zahl wann ich darzu ihre
Haͤlfte addire, daß ſo viel uͤber 60 kommen, als die
Zahl ſelbſt iſt unter 65?

Die Zahl ſey x, ſo muß x + ½ x - 60 ſo viel ſeyn
als 65 - x
das iſt \frac{3}{2}x - 60 = 65 - x
man addire x ſo hat man \frac{5}{2}x - 60 = 65
man addire 60 ſo kommt \frac{5}{2}x = 125
durch 5 dividirt wird ½ x = 25 und
mit 2 multiplicirt giebt x = 50
Antwort: die geſuchte Zahl iſt 50.

30.

IX. Frage: Man zertheile 32 in zwey Theile, wann
ich den kleinern dividire durch 6, den groͤßern aber durch
5, daß die Quotienten zuſammen 6 ausmachen.

Es ſey der kleinere Theil = x ſo iſt der groͤßere
= 32 - x; der kleinere durch 6 dividirt giebt \frac{x}{6}; der
groͤßere durch 5 dividirt giebt \frac{32 - x}{5}: alſo muß ſeyn \frac{x}{6}
+ \frac{32 - x}{5} = 6
mit
[25]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
mit 5 multiplicirt giebt ⅚ x + 32 - x = 30, oder
— ⅙ x + 32 = 30,
man addire ⅙ x ſo kommt 32 = 30 + ⅙ x
30 ſubtrahirt giebt 2 = ⅙ x
mit 6 multiplicirt wird x = 12
Antwort: der kleinere Theil iſt 12, und der groͤßere 20.

31.

X. Frage: Suche eine Zahl, wann ich ſie mit 5 mul-
tiplicire ſo iſt das Product ſo viel unter 40, als die
Zahl ſelbſt iſt unter 12.

Es ſey dieſe Zahl = x, welche unter 12 iſt um
12 - x, die Zahl fuͤnfmal genommen iſt 5x und iſt
unter 40 um 40 - 5x, welches eben ſo viel ſeyn ſoll
als 12 - x
alſo 40 - 5x = 12 - x
addire 5x ſo wird 40 = 12 + 4x,
12 ſubtrahirt giebt 28 = 4x
durch 4 dividirt wird x = 7
Antwort: die Zahl iſt 7.

32.

XI. Frage: Zertheile 25 in zwey Theile, ſo daß der
groͤßere 49 mal groͤßer iſt, als der kleinere?

Es ſey der kleinere Theil = x ſo iſt der groͤßere
= 25 - x; dieſer durch jenen dividirt ſoll 49 geben,
alſo wird \frac{25 - x}{x} = 49
mit x multiplicirt giebt 25 - x = 49 x
und x addirt kommt 50 x = 25
durch 50 dividirt bleibt x = ½.

Antwort: der kleinere Theil iſt ½ und der groͤßere 24 ½,
welcher durch ½ dividirt, das iſt mit 2 multiplicirr
giebt 49.

33.

XII. Frage: Zertheile 48 in neun Theile, ſo daß
immer einer um ½ groͤßer ſey, als der vorhergehende?

Es ſey der erſte und kleinſte Theil = x ſo iſt der
zweyte x + ½ und der dritte = x + 1 [...] etc. Weil nun
dieſe Theile eine Arithmetiſche Progreſſion ausma-
chen, davon das erſte Glied = x + ½ ſo iſt das neunte
und letzte Glied x + 4, wozu das erſte x addirt
2x + 4 giebt. Dieſe Summe mit der Anzahl der [Glieder 9],
mul-
[27]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
multiplicirt giebt 18 x + 36; dieſes durch 2 getheilt
giebt die Summe aller neuen Theile 9x + 18, ſo da
ſeyn muß 48. Alſo hat man 9x + 18 = 48
18 ſubtrahirt giebt 9x = 30
durch 9 dividirt giebt x = 3⅓.

Antwort: der erſte Theil iſt 3⅓ und die n[e]un Theile
ſind folgende
\overset{1}{3\frac{1}{3}}+\overset{2}{3\frac{5}{6}}+\overset{3}{4\frac{1}{3}}+\overset{4}{4\frac{5}{6}}+\overset{5}{5\frac{1}{3}}+\overset{6}{5\frac{5}{6}}+\overset{7}{6\frac{1}{3}}+\overset{8}{6\frac{5}{6}}+\overset{9}{7\frac{1}{3}}+
davon die Summe = 48.

34.

XIII. Frage: Suche eine Arithmetiſche Progreſ-
ſion davon das erſte Glied = 5 und das letzte = 10
die Summe aber = 60 ſey?

Da hier weder der Unterſchied noch die Anzahl
der Glieder bekant iſt, aus dem erſten und letzten
aber die Summe aller gefunden werden koͤnnte, wann
man nur die Anzahl der Glieder wuͤßte, ſo ſey die-
ſelbe = x, ſo wird die Summe der Progreſſion ſeyn
\frac{15}{2}x = 60; durch 15 dividirt ½ x = 4, mit 2 multi-
plicirt x = 8. Da nun die Anzahl der Glieder 8 iſt, ſo
ſetze
[28]Erſter Abſchnitt
ſetze man den Unterſchied = z, ſo iſt das zweyte Glied
5 + z, das dritte 5 + 2 z und das achte 5 + 7 z,
welches gleich ſeyn muß 10.

Alſo hat man 5 + 7z = 10
und 5 ſubtrahirt, giebt 7z = 5
durch 7 dividirt z = \frac{5}{7}

Antwort: Der Unterſchied der Progreſſion iſt \frac{5}{7} und
die Anzahl der Glieder 8, dahero die Progreſſion
ſelbſt ſeyn wird,
\overset{1}{5}+\overset{2}{5\frac{5}{7}}+\overset{3}{6\frac{3}{7}}+\overset{4}{7\frac{1}{7}}+\overset{5}{7\frac{6}{7}}+\overset{6}{8\frac{4}{7}}+\overset{7}{9\frac{2}{7}}+\overset{8}{10}
davon die Summe = 60.

35.

XIV. Frage: Suche eine Zahl wann ich von ihrem
Duplo ſubtrahire 1 und das uͤbrige duplire, davon 2
ſubtrahire den Reſt durch 4 dividire, daß 1 weniger her-
aus komme als die geſuchte Zahl?

Die geſuchte Zahl ſey x, ſo iſt ihr Duplum 2x,
davon 1 ſubtrahirt bleibt 2x - 1, dieſes duplirt wird
4x - 2, davon ſubtrahirt 2 bleibt 4x - 4 dieſes durch
4 dividirt giebt x - 1, welches 1 weniger ſeyn muß
als x:

Alſo x - 1 = x - 1, dieſes iſt eine Identiſche
Gleichung, und zeiget an, daß x gar nicht beſtimmt
werde, ſondern daß man davor eine jegliche Zahl
nach Belieben annehmen koͤnne.

36.

XV. Frage: Ich habe gekauft etliche Ellen Tuch und
fuͤr jede 5 Ellen gegeben 7 Rthl. Ich habe wieder ver-
kauft je 7 Ellen fuͤr 11 Rthl. und gewonnen 100 Rthl.
uͤber das Hauptguth: wie viel iſt des Tuchs geweſen?

Es ſeyen geweſen x Ellen: man muß alſo erſt ſe-
hen wie viel dieſe im Einkauf gekoſtet, welches durch
folgende Regeldetri gefunden wird:
5 Ellen koſten 7 Rthl., was koſten x Ellen; Antwort:
\frac{7}{5}x Rthl.

ſo viel Geld hat er ausgegeben. Nun laßt uns ſehen,
wie viel er wieder eingenommen, dieſes geſchieht durch
dieſe Regeldetri: 7 Ellen koſten im Verkauf 11 Rthl. was
koſten x Ellen, Antwort: \frac{11}{7}x Rthl.

dieſes iſt die Einnahme, welche um 100 Rthl. groͤßer
iſt als die Ausgabe, woraus dieſe Gleichung ent-
ſpringt:
\frac{11}{7}x
[30]Erſter Abſchnitt
\frac{11}{7}x = \frac{7}{5}x + 100
\frac{7}{5}x ſubtrahirt, bleibt \frac{6}{35}x = 100
mit 35 multiplicirt, kommt 6 x = 3500
durch 6 dividirt wird x = 583⅓.

Antwort: Es waren 583⅓ Ellen, welche erſtlich ein-
gekauft worden fuͤr 816⅔ Rthl. hernach ſind dieſelben
wieder verkauft worden fuͤr 916⅔ Rthl. alſo iſt darauf
gewonnen worden 100 Rthl.

37.

XVI. Frage: Einer kauft 12 Stuͤck Tuch fuͤr 140
Rthl. davon ſind 2 weiße, 3 ſchwartze, und 7 blaue:
Koſtet ein Stuͤck ſchwartzes Tuch 2 Rthl mehr als ein
weißes, und ein blaues 3 Rthl. mehr als ein ſchwar-
tzes: iſt die Frage wie viel jedes gekoſtet?

Man ſetze, ein weißes Stuͤck koſtet x Rthl. dahero
koſten die zwey weiße Stuͤcke 2 x Rthl. Weiter koſtet ein
ſchwartzes Stuͤck x + 2 alſo die drey ſchwartzen 3 x + 6
und ein blaues Stuͤck x + 5 folglich die 7 blauen 7 x + 35
und alle zwoͤlff Stuͤck 12 x + 41
dieſelben koſten aber wuͤrcklich 140 Rthl.

dahero hat man 12 x + 41 = 140
41
[31]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
41 ſubtrahirt bleibt 12 x = 99
durch 12 dividirt wird x = 8¼

Antwort: ein weißes Stuͤck koſtet demnach 8¼ Rthl.
ein ſchwartzes ‒ ‒ ‒ ‒ 10¼ Rthl.
ein blaues ‒ ‒ ‒ ‒ ‒ 13¼ Rthl.

38.

Frage: Einer hat Muſcaten-Nuͤß gekauft, und
ſagt daß 3 Stuͤck eben ſo viel uͤber 4 Pf. koſten, als
4 Stuͤck mehr koſten als 10 Pf. die theuer waren
dieſelben?

Man ſage 3 Stuͤcke koſten x + 4 Pf. ſo werden
4 Stuͤcke koſten x + 10 Pf. Nun aber nach dem erſten
Satz findet man durch die Regeldetri was 4 Stuͤck ko-
ſten, 3 Stuͤck: x + 4 Pf. = 4 Stuͤck: Antwort \frac{4 x + 16}{3}
alſo wird \frac{4 x + 16}{3} = x + 10 oder 4 x + 16 = 3 x + 30
3 x ſubtrahirt giebt x + 16 = 30

16 ſubtrahirt giebt x = 14

Antwort: Es koſten 3 Stuͤck 18 Pf. und 4 Stuͤck
24 Pf. folglich 1 Stuͤck hat gekoſt 6 Pf.

39.

XVIII. Frage: Einer hat zwey ſilberne Becher nebſt
einem Deckel darzu: der erſte Becher wiegt 12 Loth, legt
man den Deckel darauf ſo wiegt er zweymal ſo viel
als der andere Becher; legt man aber den Deckel auf
den andern Becher, ſo wiegt er dreymal ſo viel als der
erſte: hier iſt nun die Frage wie viel der Deckel und
auch der andere Becher gewogen?

Man ſetze der Deckel habe gewogen x Loth, ſo wiegt
der erſte Becher ſammt dem Deckel x + 12 Loth. Da die-
ſes Gewicht zweymal ſo groß iſt, als des andern Be-
chers, ſo hat der andere gewogen ½ x + 6: legt man
darauf den Deckel ſo wiegt er \frac{3}{2}x + 6 welches 3 mahl
12, das iſt 36, gleich ſeyn muß. Alſo hat man \frac{3}{2}x + 6 = 36
oder \frac{3}{2}x = 30 und ½ x = 10 und x = 20.

Antwort: der Deckel hat gewogen 20 Loth, der
andere Becher aber 16 Loth.

40.

XIX. Frage: Ein Wechsler hat zweyerley Muͤntze;
von der erſten Sorte gehen a Stuͤck auf einen Rthl. von
der zweyten Sorte b Stuͤck. Nun kommt einer und
will c Stuͤck vor einen Rthl. haben; wie viel muß ihm
der Wechsler von jeder Sorte geben?

Man ſetze er gebe ihm von der erſten Sorte x Stuͤck
und alſo von der andern c - x Stuͤck. Nun ſind aber je-
ne x Stuͤck werth a : 1 = x : \frac{x}{a} Rthl. dieſe c - x
Stuͤck aber ſind werth b : 1 = c - x : \frac{c ‒ x}{b} Rthl.

Alſo muß ſeyn \frac{x}{a} + \frac{c - x}{b} = 1, oder \frac{bx}{a} + c - x = b,
oder bx + ac - ax = ab, und weiter bx - ax = ab - ac,
folglich wird x = \frac{ab - ac}{b - a} oder x = \frac{a (b - c)}{b - a},
dahero wird c - x = \frac{bc - ab}{b - a} = \frac{b (c - a)}{b - a)}.

Antwort: von der erſten Sorte giebt alſo der Wechsler
\frac{a (b - c)}{b - a} Stuͤck, von der andern Sorte aber \frac{b (c - a)}{b - a} Stuͤck:
Anmerckung: Dieſe beyden Zahlen laßen ſich leicht
durch die Regeldetri finden; nemlich die erſte durch dieſe:
wie b - a : b - c = a : \frac{ab - ac}{b ‒ a}
fuͤr die zweyte Zahl gilt dieſe: wie b - a:c - a = b : \frac{bc - ab}{b - a}.
Hierbey iſt zu mercken, daß b groͤßer iſt als a, und c
kleiner als b aber groͤßer als a, wie die Natur der
Sache erfordert.

41.

XX. Frage: Ein Wechsler hat zweyerley Muͤntze;
von der erſten gelten 10 Stuͤck einen Rthl. von der an-
dern 20 Stuͤck einen Rthl. Nun verlangt jemand 17
II.Theil CStuͤck
[34]Erſter Abſchnitt
Stuͤck fuͤr einen Rthl. wie viel bekommt er von jeder
Sorte?

Hier iſt alſo a = 10, b = 20 und c = 17; wor-
aus dieſe Regeldetrien fließen:

I. 10 : 3 = 10 : 3, alſo von der erſten Sorte 3 Stuͤck:
II. 10 : 7 = 20 : 14, und von der andern Sorte 14 Stuͤck.

42.

XXI. Frage: Ein Vater verlaͤßt nach ſeinem Tode
einige Kinder nebſt einem Vermoͤgen, welches die Kin-
der dergeſtalt unter ſich theilen. Das erſte nimmt 100
Rthl. und dazu noch den 10ten Theil des uͤbrigen
Das zweyte nimmt 200 Rthl. und noch darzu den 10ten
Theil des uͤbrigen.

Das dritte nimmt 300 Rthl. und noch dazu den
10ten Theil des uͤbrigen.

Das vierte nimmt 400 Rthl. und noch dazu den
10ten Theil. des uͤbrigen

und ſo fort: ſolcher geſtalt findet es ſich, daß das gan-
ze Vermoͤgen unter die Kinder gleich vertheilet wor-
den. Nun iſt die Frage, wie groß das Vermoͤgen ge-
weſen, wie viel Kinder hinterlaßen worden, und
wie viel ein jedes bekommen?

Dieſe Frage iſt von einer gantz beſondern Art
und verdienet deswegen bemercket zu werden. Um
die-
[35]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
dieſelbe deſto leichter aufzuloͤſen, ſo ſetze man das
gantze hinterlaßene Vermoͤgen = z Rthl. und weil alle
Kinder gleich viel bekommen, ſo ſey das Antheil eines
jeden = x; woraus man ſieht, daß die Anzahl der Kin-
der geweſen \frac{z}{x}. Hieraus wollen wie die Aufloͤßung
folgender Geſtalt anſtellen.

In der letzten Columne ſind hier die Differenzen
geſetzt worden, welche entſtehen, wann man ein je-
des Erbtheil von dem folgenden ſubtrahirt. Weil nun
alle Erbtheile ein ander gleich ſind, ſo muß eine jede
von dieſen Differenzen ſeyn = 0. Da es ſich nun
C 2ſo
[36]Erſter Abſchnitt
ſo gluͤcklich fuͤget, daß alle Differenzen ein ander gleich
ſind, ſo iſt es genung, daß man eine davon gleich 0 ſetze,
dahero erhalten wir dieſe Gleichung 100 - \frac{x - 100}{10} = 0.
Man multiplicire mit 10 ſo erhaͤlt man 1000 - x - 100
= 0, oder 900 ‒ x = 0, folglich x = 900.

Woraus wir ſchon wißen, daß das Erbtheil eines je-
den Kindes 900 Rthl. geweſen. Man nehme nun eine
von den Gleichungen in der dritten Columne, welche
man will, z. E. die erſte 900 = 100 + \frac{z ‒ 100}{10}, woraus man
z ſo gleich finden kann; Dann 9000 = 1000 + z - 100
oder 9000 = 900 + z alſo z = 8100, dahero wird
\frac{z}{x} = 9.

Antwort: Alſo war die Anzahl der Kinder = 9
das hinterlaßene Vermoͤgen = 8100 Rthl. wovon ein
jedes Kind bekommt 900 Rthl.

43.

Ofters geſchieht es, daß zwey oder auch mehr unbe-
kante Zahlen ſo durch die Buchſtaben x, y, z etc.
vorgeſtellt werden, in die Rechnung gebracht werden
muͤßen, da man dann, wann anders die Frage be-
ſtimmt iſt, auf eben ſo viel Gleichungen kommt, aus
welchen hernach die unbekanten Zahlen gefunden wer-
den muͤßen. Hier betrachten wir aber nur ſolche Glei-
chungen wo nur die erſte Poteſtaͤt der unbekanten Zahl
ſich findet, und auch keine mit der andern multipli-
cirt iſt. Alſo daß eine jede Gleichung von dieſer
Form ſeyn wird az + by + cx = d.

44.

Wir wollen alſo den Anfang von zwey Glei-
chungen machen, und daraus zwey unbekante Zah-
len x und y beſtimmen, und um die Sache auf eine
C 3allge-
[38]Erſter Abſchnitt
allgemeine Art zu tractiren, ſo ſeyen dieſe beyde Glei-
chungen gegeben I. ax + by = c und II. fx + gy = h
wo die Buchſtaben a, b, c und f, g, h die Stelle
bekanter Zahlen vertreten. Hier iſt nun die Frage wie
man aus dieſen beyden Gleichungen die beyden unbe-
kanten Zahlen x und y herausbringen ſoll.

45.

Der natuͤrlichſte Weg beſtehet nun darinn, daß
man aus einer jeden Gleichung, den Werth von ei-
ner unbekanten Zahl als z. E. von x beſtimmt und
hernach dieſe beyde Werthe einander gleich ſetzt; wor-
aus man eine Gleichung erhaͤlt, da nur die unbe-
kante Zahl y vorkommt, welche man nach den obi-
gen Reguln beſtimmen kann. Hat man nun y gefun-
den, ſo darf man nur anſtatt deſſelben ſeinen gefun-
den Werth ſetzen, um daraus den Werth von x zu
erhalten.

46.

Dieſer Regel zu Folge findet man aus der erſten
Gleichung x = \frac{c - by}{a}, aus der andern aber findet man
x = \frac{h - gy}{f}; dieſe beyden Werthe ſetze man einander gleich,
ſo erhaͤlt man dieſe neue Gleichung \frac{c - by}{a} = \frac{h - gy}{f}
mit
[39]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
mit a multiplicirt, wird c - by = \frac{ah - agy}{f}
mit f multiplicirt wird fc - fby = ah - agy
Man addire agy ſo wird fc - fby + agy = ah
Man ſubtrahire fc ſo wird - fby + agy = ah - fc
oder (ag - bf) y = ah - fc
man dividire durch ag - bf ſo wird y = \frac{ah - fc}{ag - bf}
ſchreibt man nun dieſen Werth fuͤr y in einem der
beyden, ſo vor x gefunden worden, ſo erhaͤlt man auch
den Werth von x. Man nehme den erſten ſo hat man
erſtlich - by = - \frac{abh + bcf}{ag - bf},
hieraus wird c - by = c - \frac{abh + bcf}{ag - bf},
oder c - by = \frac{acg - bcf - abh + bcf}{ag - bf} = \frac{acg - abh}{ag - bf}; durch a dividirt
giebt x = \frac{c - by}{a} = \frac{cg - bh}{ag - bf}.

47.

I. Frage: Um dieſes durch Exempel zu erlaͤutern, ſo
ſey dieſe Frage vorgelegt: Man ſuche zwey Zahlen deren
Summe ſey 15 und die Differenz 7?

Es ſey die groͤßere Zahl = x und die kleinere = y
ſo hat man I.) x + y = 15, und II.) x - y = 7.

aus der erſten bekommt man x = 15 - y und aus der
zweyten x = 7 + y,
woraus dieſe neue Gleichung entſpringt 15 - y = 7 + y,
hier addire man y ſo hat man 15 = 7 + 2 y
man ſubtrahire 7 ſo wird 2 y = 8
durch 2 dividirt wird y = 4 und daraus x = 11.

Antwort: die kleinere Zahl iſt 4 die groͤßere aber 11.

48.

II. Frage: Man kann dieſe Frage auch allgemein
machen und zwey Zahlen ſuchen, deren Summe = a
und deren Differenz = b ſey.

Es ſey die groͤßere = x und die kleinere = y
ſo hat man I.) x + y = a und II.) x - y = b,
aus der erſten erhaͤlt man x = a - y und aus der
zweyten x = b + y
woraus dieſe Gleichung entſpringt a - y = b + y,
man addire y ſo hat man a = b + 2 y
man ſubtrahire b ſo kommt 2 y = a - b
durch
[41]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
durch 2 dividirt wird y = \frac{a - b}{2} und hieraus wird
x = a - \frac{a - b}{2} = \frac{a + b}{2}
Antwort: die groͤßere Zahl iſt alſo x = \frac{a + b}{2} und
die kleinere y = \frac{a - b}{2}; oder da x = ½ a + ½ b und
y = ½ a - ½ b, ſo erhaͤlt man dieſen Lehrſatz; die groͤßere
Zahl iſt gleich der halben Summe plus der halben Dif-
ferenz, und die kleinere Zahl iſt gleich der halben
Summe minus der halben Differenz.

49.

Man kann auch dieſe Frage auf folgende Weiſe
aufloͤſen: da die beyden Gleichungen ſind x + y = a und
x - y = b, ſo addire man dieſelbe ſo wird 2 x = a + b und
x = \frac{a + b}{2}

Hernach von der erſten ſubtrahire man die zweyte,
ſo bekommt man 2 y = a - b und y = \frac{a - b}{2}, wie vor-
her.

50.

III. Frage: Ein Maul-Eſel und ein Eſel tragen
ein jeder etliche Pud. Der Eſel beſchwert ſich uͤber
ſeine Laſt und ſagt zum Maul-Eſel, wann du mir
ein Pud von deiner Laſt gaͤbeſt, ſo haͤtte ich zwey
C 5mal
[42]Erſter Abſchnitt
mal ſo viel als du; darauf antwortet der Maul-Eſel
wann du mir ein Pud von deiner Laſt gaͤbeſt ſo haͤtte
ich dreymal ſo viel als du, wie viel Pud hat ein je-
der gehabt?

Der Maul-Eſel habe gehabt x Pud, der Eſel
aber y Pud. Giebt nun der Maul-Eſel dem Eſel
ein Pud, ſo hat der Eſel y + 1 der Maul-Eſel aber
behaͤlt noch x - 1, da nun der Eſel zweymal ſo viel
hat als der Maul-Eſel ſo wird y + 1 = 2 x - 2.

Wann aber der Eſel dem Maul-Eſel ein Pud
giebt, ſo bekommt der Maul-Eſel x + 1 und der Eſel
behaͤlt noch y - 1. Da nun jene Laſt dreymal ſo groß iſt
als dieſe, ſo wird x + 1 = 3 y - 3.

Alſo ſind unſere zwey Gleichungen
I.) y + 1 = 2 x - 2, II.) x + 1 = 3 y - 3,
aus der erſten findet man x = \frac{y + 3}{2} und aus der an-
dern x = 3 y - 4,
woraus dieſe neue Gleichung entſpringt \frac{y + 3}{2} = 3 y - 4,
welche mit 2 multiplicirt giebt y + 3 = 6 y - 8
und y ſubtrahirt kommt 5 y - 8 = 3
addire 8 ſo hat man 5 y = 11 und y = \frac{11}{5} oder 2 ⅕; hier-
aus x = 2 ⅗.

Antwort: Alſo hat der Maul-Eſel gehabt 2⅗ Pud
der Eſel aber 2⅕ Pud.

51.

Hat man drey unbekante Zahlen, und eben ſo viel
Gleichungen als, Z. E. I.) x + y - z = 8, II.)
x + z - y = 9, III.) y + z - x = 10, ſo ſuche man
ebenfals aus einer jeden den Werth von x,
aus der I.) x = 8 + z - y, II.) x = 9 + y - z,
III.) x = y + z - 10
Nun ſetze man erſtlich den erſten gleich dem andern,
und hernach auch gleich dem dritten ſo erhaͤlt man dieſe
zwey neue Gleichungen:
I.) 8 + z - y = 9 + y - z, II.) 8 + z - y = y + z - 10.

Es folgt aber aus der erſten 2 z - 2 y = 1, und aus der zwey-
ten 2 y = 18, und da erhaͤlt man ſo gleich y = 9, welcher
Werth in der vorhergehenden vor y geſchrieben, giebt
2 z - 18 = 1 und 2 z = 19, dahero z = 9½, woraus ge-
funden wird x = 8½.

Hier hat es ſich gefuͤget, daß in der letzten Glei-
chung der Buchſtaben z verſchwunden, und alſo y
ſo gleich daraus beſtimmt werden konnte. Waͤre aber
z auch
[44]Erſter Abſchnitt
z auch noch darinnen vorgekommen, ſo haͤtte man zwey
Gleichungen gehabt zwiſchen z und y, welche nach der
erſten Regel aufgeloͤſt werden muͤßten.

52.

Es ſeyen die drey folgenden Gleichungen gefunden
worden,
I.) 3 x + 5 y - 4 z = 25, II.) 5 x - 2 y + 3 z = 46,
III.) 3 y + 5 z - x = 62.

Man ſuche aus einer jeden den Werth von x, ſo hat man
I.) x = \frac{25 - 5y + 4 z}{3}, II.) x = \frac{46 + 2 y - 3 z}{5}, III.) x = 3 y
+ 5 z - 62.

Nun vergleiche man dieſe drey Werthe unter ſich, ſo giebt
der IIIte und Ite 3 y + 5 z - 62 = \frac{25 - 5 y + 4 z}{3}, oder
mit 3 multiplicirt 25 - 5 y + 4 z = 9 y + 15 z - 186
addire 186 ſo kommt 211 - 5 y + 4 z = 9 y + 15 z
5 y addirt giebt 211 + 4 z = 14 y + 15 z
alſo aus I und III erhaͤlt man 211 = 14 y + 11 z
Die IIte und IIIte giebt 3 y + 5 z - 62 = \frac{46 + 2 y - 3 z}{5} oder
46 + 2 y - 3 z = 15 y + 25 z - 310 und man findet
aus dieſer Gleichung 356 = 13 y + 28 z
aus
[45]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
aus einer jeden dieſer beyden Gleichungen ſuche man
den Werth fuͤr y
I.) 211 = 14 y + 11 z, wo 11 z ſubtrahirt, bleibt 14 y = 211
— 11 z oder y = \frac{211 - 11 z}{14}
II.) 356 = 13 y + 28 z, wo 28 z ſubtrahirt, bleibt
13 y = 356 - 28 z oder y = \frac{356 - 28 z}{13}
dieſe zwey Werthe einander gleich geſetzt, geben:
\frac{211 - 11 z}{14} = \frac{356 - 28 z}{13}, mit 13. 14 multiplicirt wird
2743 - 143 z = 4984 - 392 z
und 392 z addirt, giebt 249 z + 2743 = 4984 oder
249 z = 2241 und alſo z = 9
Hieraus erhaͤlt man y = 8 und endlich x = 7.

53.

Solten mehr als drey unbekante Zahlen, und eben
ſo viel Gleichungen vorkommen, ſo koͤnnte man die
Aufloͤſung auf eine aͤhnliche Art anſtellen, welches ge-
meiniglich auf verdrießliche Rechnungen leiten wuͤr-
de.

Es pflegen ſich aber bey einem jeglichen Fall ſol-
che Mittel zu aͤußern, wodurch die Aufloͤßung unge-
mein erleichtert wird, und ſolches geſchieht, indem
man
[46]Erſter Abſchnitt
man außer den Haupt unbekanten Zahlen noch eine
neue willkuͤhrliche, als z. E. die Summe aller in die
Rechnung mit einfuͤhret, welches von einem der ſich in
dergleichen Rechnungen ſchon ziemlich geuͤbet hat, in
einem jeglichen Fall leicht beurtheilet wird. Zu
dieſem Ende wollen wir einige dergleichen Exempeln
anfuͤhren.

54.

IV. Frage: Drey ſpielen mit einander, im erſten
Spiel verliert der erſte an jeden der beyden andern ſo
viel, als ein jeder von den zwey andern an Gelde bey ſich
hatte. Im andern Spiel verliert der zweyte an den erſten
und dritten ſo viel als ein jeder hat. Im dritten Spiel
verliert der dritte an den erſten und zweyten ſo viel ein
jeder hatte, und da findet es ſich, daß alle nach geendig-
tem Spiel gleich viel haben ein jeder nemlich 24 Fl. Nun
iſt die Frage, wie viel ein jeder anfaͤnglich gehabt habe?

Man ſetze der erſte habe gehabt x Fl. der zweyte
y und der dritte z. Ueber dieſes ſetze man die Summe
aller Fl. zuſammen x + y + z = ſ. Da nun im erſten
Spiel der erſte ſo viel verliert als die beyden andern
haben, und der erſte x hat, ſo haben die beyden andern
ſ - x, und ſo viel verliert der erſte, daher ihm noch uͤbrig
blei-
[47]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
bleiben 2 x - ſ: der zweyte aber wird haben 2 y und der
dritte 2 z.

Alſo nach dem erſten Spiel wird ein jeder haben wie
folget; der I.) 2 x - ſ, der II.) 2 y, der III.) 2 z.

Im zweyten Spiel verliert der andere, der nun
2 y hat, an die beyden andern, ſo viel als ſie haben,
oder ſ - 2 y. Dahero der zweyte noch behaͤlt 4 y - ſ; die
beyden andern aber werden zweymal ſo viel haben
als vorher.

Alſo nach dem zweyten Spiel wird haben:
der I.) 4 x - 2 ſ, der II.) 4 y - ſ, der III.) 4 z.

Im dritten Spiel verliert der dritte, der jetzt
4 z hat, an die andern beyde ſo viel ſie haben, ſie
haben aber ſ - 4 z; alſo behaͤlt der dritte noch 8 z - ſ
und die beyden uͤbrigen bekommen doppelt ſo viel als
ſie hatten.

Alſo wird nach dem dritten Spiel ein jeder haben:
der I.) 8 x - 4 ſ, der II.) 8 y - 2 ſ, und der III.) 8 z - ſ
da nun jetzt ein jeder 24 Fl. hat, ſo erhalten wir drey
Gleichungen welche ſo beſchaffen ſind, daß man aus
der erſten ſo gleich x, aus der andern y und aus der
drit-
[48]Erſter Abſchnitt
dritten z finden kann, inſonderheit da jetzt ſ eine bekan-
te Zahl iſt, indem alle zuſammen am Ende des Spiels
72 Fl. haben. Allein dieſes wird ſich von ſelbſten geben,
ohne daß man noͤthig habe darauf zu ſeheu.

Dieſe Rechnung wird demnach alſo ſtehen:

• I.) 8 x - 4 ſ = 24, oder 8 x = 24 + 4 ſ, oder x = 3 + ½ ſ
• II.) 8 y - 2 ſ = 24, oder 8 y = 24 + 2 ſ, oder y = 3 + ¼ ſ
• III.) 8 z - ſ = 24, oder 8 z = 24 + ſ, oder z = 3 + ⅛ ſ

man addire dieſe 3 Werthe, ſo bekommt man
x + y + z = 9 + ⅞ ſ
da nun x + y + z = ſ, ſo hat man ſ = 9 + ⅞ ſ:
⅞ ſ ſubtrahirt bleibt ⅛ ſ = 9 und ſ = 72.

Antwort: Alſo vom Anfang des Spiels hatte der
erſte 39 Fl. der zweyte 21 Fl. und der dritte 12.

Aus dieſer Aufloͤſung ſieht man, wie durch Huͤl-
fe der Summe der dery unbekanten Zahlen alle oben an-
gefuͤhrte Schwierigkeiten gluͤcklich aus dem Weg ge-
raͤumet worden.

55.

So ſchwer dieſe Frage ſcheinet, ſo iſt doch zu mer-
cken daß dieſelbe ſo gar ohne Algebra aufgeloͤßt wer-
den kann.

Man darf nur in Betrachtung derſelben ruͤckwerts ge-
hen: dann da die drey Perſonen nach dem dritten Spiel
gleich viel bekommen haben, nemlich der erſte 24 der
zweyte 24, der dritte 24; un dritten Spiel aber der
erſte und zweyte ihr Geld verdoppelt haben, ſo muͤ-
ßen ſie vor dem dritten Spiel gehabt haben, wie folget:
I.) 12, II.) 12, III.) 48.

Im zweyten Spiel hat der erſte und dritte ſein
Spiel verdoppelt, alſo muͤßen ſie vor dem zweyten
Spiel gehabt haben.

I.) 6, II.) 42, III.) 24.

Im erſten Spiel hat der zweyte und dritte ſein Geld
verdoppelt, alſo vor dem erſten Spiel haben ſie gehabt.

I.) 39, II.) 21, III.) 12.

und eben ſo viel haben wir auch vorher fuͤr den An-
fang des Spiel gefunden.

56.

V. Frage: Zwey Perſonen ſind ſchuldig 29 Rub. und
es hat zwar ein jeder Geld, doch nicht ſo viel, daß er die-
ſe gemeinſchaftliche Schuld allein bezahlen koͤnnte;
IITheil Dda-
[50]Erſter Abſchnitt
darum ſpricht der erſte zu dem andern; giebſt du
mir ⅔ deines Geldes ſo koͤnnte ich die Schuld ſo gleich
allein bezahlen: der andere antwortet dagegen, gieb
du mir ¾ deines Gelds ſo koͤnnt ich die Schuld allein
bezahlen: wie viel Geld hat jeder gehabt?

Der erſte habe gehabt x Rub. der andere y Rub.

Alſo bekommt man erſtlich x + ⅔ y = 29
hernach auch y + ¾ x = 29.

Aus dem erſten findet man x = 29 - ⅔ y,
aus dem zweyten x = \frac{116 - 4 y}{3}
Aus dieſen beyden Werthen entſteht dieſe Gleichung:
29 - ⅔ y = \frac{116 - 4y}{3}, alſo y = 14½: dahers wird x = 19⅓:
Antwort: der erſte hat gehabt 19⅓ der zweyte 14½ Rub.

57.

VI. Frage: Drey haben ein Hauß gekauft fuͤr 100
Rthl. der erſte begehrt vom andern ½ ſeines Gelds ſo
koͤnnte er das Haus allein bezahlen: der andere begehrt
vom dritten ⅓ ſeines Geldes, ſo koͤnnte er das Haus al-
lein bezahlen. Der dritte begehrt vom erſten ¼ ſei-
nes
[51]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
nes Gelds ſo moͤchte er das Hauß allein bezahlen.
Wie viel hat jeder Geld gehabt?

Der erſte habe gehabt x, der zweyte y, der drit-
te z Rthl. ſo bekommt man folgende drey Gleichungen
I.) x + ½ y = 100. II.) y + ⅓ z = 100. III.) z + ¼ x = 100
aus welchen der Werth von x gefunden wird:
I.) x = 100 - ½ y, III.) x = 400 - 4 z
hier konnte nemlich aus der zweyten Gleichung x nicht
nicht beſtimmt werden
Die beyden Werthe aber geben dieſe Gleichung:
100 - ½ y = 400 - 4 z oder 4 z - ½ y = 300
welche mit der zweyten verbunden werden muß, um
daraus y und z zu finden. Nun aber war die zweyte
Gleichung y + ⅓ z = 100; woraus gefunden wird
y = 100 - ⅓ z; aus der oben gefundenen Gleichung
4 z - ½ y = 300 aber iſt bekannt y = 8 z - 600
woraus dieſe letzte Gleichung entſpringt:
100 - ⅓ z = 8 z - 600, alſo 8⅓ z = 700, oder ⅔5z = 700,
und z = 84, hieraus findet man y = 100 - 28, oder
y = 72, und endlich x = 64.

Antwort: der erſte hat gehabt 64 Rthl. der zweyte
72 Rthl. der dritte 84 Rthl.

58.

Da bey dieſem Exempel in einer jeden Gleichung
nur zwey unbekante Zahlen vorkommen, ſo kann die
Aufloͤßung auf eine bequemere Art angeſtellet werden.

Dann man ſuche aus der erſten y = 200 - 2 x,
welches alſo durch x beſtimmt wird, dieſen Werth
ſchreibe man vor y in der zweyten Gleichung, ſo hat
man 200 - 2 x + ⅓ z = 100, 100 ſubtrahirt ſo
bleibt 100 - 2 x + ⅓ z = 0, oder ⅓ z = 2 x - 100
und z = 6 x - 300.

Alſo iſt auch z durch x beſtimmt: dieſen Werth
bringe man nun in die dritte Gleichung, ſo kommt
6 x - 300 + ¼ x = 100, in welcher nur x allein vor-
kommt und alſo 25 x - 1600 = 0 dahero x = 64,
folglich y = 200 - 128 = 72
und z = 384 - 300 = 84.

59.

Eben ſo kann man verfahren wann auch mehr
ſolche Gleichungen vorkommen: alſo wann man auf
eine allgemeine Art hat.

I.) u + \frac{x}{a} = n, II.) x + \frac{y}{b} = n, III.) y + \frac{z}{c} = n,
IV.) z + \frac{u}{d} = n
oder nach dem man die Bruͤche weggebracht dieſe:
I.) au + x = an, II.) bx + y = bn, III.) cy + z = cn
IV.) dz + u = dn.

Hier bekommen wir aus der erſten x = an - au, wel-
cher Werth in der zweyten giebt abn - abu + y = bn allſo
y = bn - abn + abu; dieſer Werth in der dritten giebt
bcn - abcn + abcu + z = cn alſo z = cn - bcn
+ abcn - abcu; dieſer endlich in der vierten Gleichung
giebt cdn - bcdn + abcdn ‒ abcdu + u = dn. Alſo wird
dn - cdn + bcdn - abcdn = - abcdu + u oder
(abcd - 1) u = abcdn - bcdn + cdn - dn woraus
man erhaͤlt u = \frac{abcdn - bcdn + cdn - dn}{abcd - 1} = n\frac{(abcd - bcd + cd - d)}{abcd - 1}
Hieraus findet man ferner wie folget
x = \frac{abcdn - acdn + adn - an}{abcd - 1} = n. \frac{(abcd - acd + ad - a)}{abcd - 1}
y = \frac{abcdn - abdn + abn - bn}{abcd - 1} = n. \frac{(abcd - abd + ab - b)}{abcd - 1}
z = \frac{abcdn - abcn + bcn - cn}{abcd - 1} = n. \frac{(abcd - abc + bc - c)}{abcd - 1}
u = \frac{abcdn - bcdn + cdn - dn}{abcd - 1} = n. \frac{(abcd - bcd + cd - d)}{abcd - 1}

60.

VII. Frage: Ein Hauptmann hat drey Compagnien
Soldaten. In einer ſind Schweitzer, in der andern
Schwaben, in der dritten Sachſen; mit dieſen will er eine
Stadt beſtuͤrmen und verſpricht zur Belohnung 901
Rthl. alſo auszutheilen:

Daß von der Compagnie, die den Sturm thut, ein
jeder 1 Rthl. bekommen, das uͤbrige Geld aber
unter die beyden andern Compagnien gleich vertheilet
werden ſoll.

Nun findet es ſich, daß wann die Schweitzer den
Sturm thaͤten, ein jeder von den beyden andern ½ Rthl.
bekaͤme; wann aber die Schwaben den Sturm thaͤ-
ten, ein jeder der beyden andern ⅓ Rthl. bekommen
wuͤrde. Thaͤten aber die Sachſen den Sturm ſo
wuͤrde ein jeder der beiden andern ¼ Rthl. bekom-
men. Nun iſt die Frage, aus wie viel Koͤpfen eine
jede Compagnie beſtanden?

Man ſetze nun, die Zahl der Schweitzer ſey gewe-
ſen x Koͤpfe, der Schwaben y und der Sachſen z.

Ferner ſetze man die Anzahl aller x + y + z = ſ
weil leicht vorher zu ſehen, daß dadurch die Rech-
nung
[55]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
nung gar ſehr erleichtert wird. Dann wann die
Schweitzer den Sturm thun, deren Anzahl = x, ſo iſt
die Zahl der beyden uͤbrigen = ſ - x, da nun jene 1
Rthl. dieſe aber einen halben Rthl. bekommen, ſo wird
x + ½ ſ - ½ x = 901.

Eben ſo wann die Schwaben Sturm lauffen, ſo wird
y + ⅓ ſ - ⅓ y = 901,
und endlich wann die Sachſen Sturm lauffen, ſo wird
z + ¼ ſ - ¼ z = 901 ſeyn.

Aus welchen drey Gleichungen ein jeder der drey
Buchſtaben x, y und z beſtimmt werden kann;
Dann aus der erſten erhaͤlt man x = 1802 - ſ
aus der andern 2 y = 2703 - ſ
aus der dritten 3 z = 3604 - ſ.

Nun ſchreibe man dieſelben unter einander; ſuche aber
erſtlich die Werthe von 6 x, 6 y, und 6 z.

• 6 x = 10812 - 6 ſ
• 6 y = 8109 - 3 ſ
• 6 z = 7208 - 2 ſ

• addirt : 6 ſ = 26129 - 11 ſ oder 17 ſ = 26129

woraus gefunden wird ſ = 1537 welches die Anzahl
aller Koͤpfe iſt und daraus findet man ferner:
D 4.x =
[56]Erſter Abſchnitt
x = 1802 - 1537 = 265
2 y = 2703 - 1537 = 1166 und y = 583
3 z = 3604 - 1537 = 2067 und z = 689
Antwort: die Compaguie der Schweitzer beſtand
alſo aus 265 Mann, die Schwaben aus 583, und
die Sachſen aus 689 Mann

61.

Eine Gleichung wird Quadratiſch genennt, wann
darin das Quadrat oder die zweyte Poteſtaͤt
der unbekanten Zahl vorkommt, wann ſich nur keine
hoͤhere Poteſtaͤten davon darinn befinden. Dann
ſollte darin auch die dritte Poteſtaͤt vorkommen ſo
wird
[57]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
wird eine ſolche Gleichung ſchon zu den Cubiſchen ge-
rechnet, wovon die Aufloͤſung beſondere Regeln erfor-
dert.

62.

In einer Quadratiſchen Gleichung kommen alſo
nur dreyerley Glieder von: zum erſten ſolche Glieder
worinnen die unbekante Zahl gar nicht enthalten iſt,
oder welche blos allein aus bekanten Zahlen zuſam-
men geſetzt ſind.

Zweytens ſolche Glieder, in welchen nur die erſte
Poteſtaͤt der unbekanten Zahl vorkommt.

Und drittens ſolche, in welchen das Quadrat der
unbekanten Zahl enthalten iſt.

Alſo wann x die unbekante Zahl andeutet, die
Buchſtaben a, b, c, d etc. aber bekante Zahlen vor-
ſtellen, ſo haben die Glieder der erſten Art dieſe Form
a, von der zweyten Art haben die Glieder die Form bx,
und die Glieder der dritten Art haben die Form cxx.

63.

Man hat ſchon zur Gnuͤge geſehen, daß zwey oder
mohr Glieder von einer Art, in ein einiges zuſammen
D 5ge-
[58]Erſter Abſchnitt
gezogen, oder als ein einiges Glied betrachtet werden
koͤnnen.

Alſo kann dieſe Form axx - bxx + cxx als
ein einziges Glied angeſehen, und alſo vorgeſtellet
werden (a - b + c) xx weil in der That a - b + c
eine bekante Zahl ausdruͤckt:

Wann ſich auch ſolche Glieder zu beyden Seiten
des Zeichens = befinden ſollten, ſo hat man ſchon
geſehen, wie dieſelben auf eine Seite gebracht, und
in eines zuſammen gezogen werden koͤnnen:
Alſo wann dieſe Gleichung vorkommt
2 xx - 3 x + 4 = 5 xx - 8 x + 11;
ſo ſubtrahirt man erſtlich 2 xx, ſo kommt
— 3 x + 4 = 3 xx - 8 x + 11;
hernach addire man 8 x, ſo hat man 5 x + 4 = 3 xx + 11;
und 11 ſubtrahirt giebt 3 xx = 5 x - 7.

64.

Man kann auch alle Glieder auf einer Seite des
Zeichens = bringen, ſo daß auf der anderen Seite
0 zu ſtehen kommt; wobey zu bemercken daß wann
Glie-
[59]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Glieder von der einen Seite auf die andere gebracht
werden, ihre Zeichen veraͤndert werden muͤßen:

Alſo wird die obige Gleichung dieſe Form be-
kommen 3 xx - 5 x + 7 = o und ſo wird auch ins-
gemein eine jegliche Quadratiſche-Gleichung durch die-
ſe Form vorgeſtellt werden koͤnnen
axx ± bx ± c = o
wo das Zeichen ± durch plus oder minus aus-
geſprochen wird, um anzuzeigen, daß ſolche Glieder
bald Poſitiv bald Negativ ſeyn koͤnnen.

65.

Es mag eine Quadratiſche Gleichung anfaͤnglich
ausſehen wie ſie will, ſo kann dieſelbe doch immer
auf dieſe Form, welche nur aus drey Gliedern beſte-
het, gebracht werden; wann man Z. E. auf dieſe
Gleichung gekommen waͤre:
\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{ex + f}{gx + b} ſo muͤſten vor allen Dingen die
Bruͤche gehoben werden: Alſo multiplicire man mit
cx + d ſo bekommt man ax + b = \frac{cexx + cfx + edx + fd}{gx + b}
hier mit gx + h multiplicirt, giebt
agxx + bgx + ahx + bh = cexx + cfx + edx + fd
welches eine Quadratiſche Gleichung iſt, und auf
fol-
[60]Erſter Abſchnitt
folgende drey Glieder gebracht werden kann, wann
alle auf eine Seite geſetzt werden, und welche man alſo
unter einander zu ſchreiben pfleget:
o = agxx + bgx + bh
— cexx + ahx - fd
— cfx
— edx
oder um dieſelbe noch deutlicher vorzuſtellen
o = (ag - ce) xx + (bg + ah - cf - ed) x
+ bh - fd.

66.

Dergleichen Quadratiſche Gleichungen worin von
allen dreyen Arten Glieder enthalten ſind, werden voll-
ſtaͤndige genennt, und die Aufloͤſung derſelben iſt auch
mehr Schwierigkeiten unterworffen, daher wir erſt-
lich ſolche Gleichungen betrachten wollen, in welchen
eines von dieſen dreyen Gliedern mangelt. Sollte nun
das Glied xx gar nicht vorhanden ſeyn, ſo waͤre die
Gleichung nicht einmahl Quadratiſch und gehoͤrte zu
der vorigen Art; ſollte aber das Glied, ſo blos bekan-
te Zahlen enthaͤlt, mangeln, ſo wuͤrde die Gleichung
alſo ausſehen axx ± bx = o, wo man durch x thei-
len
[61]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
len kann und daher zu dieſer Gleichung kommt
ax ± b = o, welche wieder eine einfache Gleichung
iſt und [ni]cht hieher gehoͤrt.

67.

Wann aber das mittlere Glied, ſo nur die erſte
Poteſtaͤt des x enthaͤlt, mangelt, ſo bekommt die Glei-
chung dieſe Form: axx ± c = o, oder axx = c, es
mag nun c das Zeichen + oder - haben;

Eine ſolche Gleichung wird eine reine Quadra-
tiſche genennt, weil ihre Aufloͤſung keiner Schwierig-
keit unterworfen iſt. Dann man darf nur durch a
theilen ſo bekommt man xx = \frac{c}{a}; und beyderſeits die
Quadrat-Wurzel genommen, ſo hat man x = √ \frac{c}{a}; wo-
durch die Gleichung aufgeloͤßt worden.

68.

Hier ſind nun drey Faͤlle zu erwegen. Der erſte
wann \frac{c}{a} eine Quadrat-Zahl iſt, davon ſich die Wurzel
wuͤrcklich anzeigen laͤßt; da erhaͤlt man den Werth
von x durch eine Rational Zahl ausgedruͤckt, dieſelbe
mag gantz oder gebrochen ſeyn.

Alſo aus dieſer [Gleichung]xx = 144 bekommt man
x = 12, und aus dieſer xx = \frac{9}{16} erhaͤlt man
x = ¾.

Derzweyte Fall iſt wann, \frac{c}{a} keine Quadrat-Zahl
iſt, da man ſich dann mit dem Wurzelzeichen √ begnuͤ-
gen muß.

Alſo wann xx = 12 ſo wird x = √ 12, wovon
der Werth durch Naͤherung beſtimmt werden kann,
wie wir ſchon oben gezeigt haben.

Iſt aber drittens \frac{a}{c} gar eine Negativ-Zahl, ſo
wird der Werth von x gantz und gar unmoͤglich oder
Imaginaͤr und zeiget an, daß die Frage welche auf
eine ſolche Gleichung gefuͤhret, an ſich unmoͤglich ſey.

69.

Ehe wir weiter gehen iſt noch zu bemercken,
daß ſo oft aus einer Zahl die Quadrat-Wurzel ge-
zogen werden muß, dieſelbe allezeit einen doppelten
Werth erhalte und ſo wohl Poſitiv als Negativ ge-
nommen werden koͤnne, wie ſchon oben gezeigt wor-
den.

Alſo wann man auf dieſe Gleichung kommt xx
= 49 ſo iſt der Werth von x nicht nur + 7 ſon-
dern
[63]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
dern auch ‒ 7 und pflegt dahero alſo angedeutet zu
werden: x = ± 7, woraus erhellet, daß alle dieſe Fra-
gen eine doppelte Aufloͤſung zulaßen, in vielen Faͤl-
len aber wo etwann von einer Anzahl Menſchen die
Frage iſt faͤlt der Negative-Werth von ſelbſt[er]
weg.

70.

Auch bey dem vorhergehenden Fall, wo die bloße
Zahl mangelt, laßen die Gleichungen a x x = b x
immer zweyerley Werthe vor x zu, ob gleich nur ei-
ner gefunden wird, wann man durch x dividirt. Dann
wann z. E. dieſe Gleichung vorkommt xx = 3 x wo
ein ſolcher Werth fuͤr x gegeben werden ſoll, daß xx
dem 3 x gleich werde, ſo geſchieht dieſes, wann man ſetzt
x = 3 welcher Werth heraus kommt, wann man
durch x dividirt, allein außer dieſem leiſtet auch der
Werth x = o ein genuͤgen; dann da wird xx = o und
3 x = o. Dieſes iſt bey allen Quadratiſchen-Gleichun-
gen zu mercken daß immer zwey Aufloͤſungen ſtatt fin-
den, dahingegen bey den einfachen Gleichungen, nie
mehr als eine Platz hat.

Wir wollen nun dieſe reine Quadratiſche Glei-
chungen durch einige Exempel erlaͤutern.

71.

I. Frage: Es wird eine Zahl geſucht, deren Haͤlf-
te mit ihren ⅓ multiplicirt 24 gebe?

Es ſey dieſe Zahl = x ſo muß ½ x mit ⅓ x mul-
tiplicirt 24 werden, woraus dieſe Gleichung entſpringt
\frac{1}{6}xx = 24.

mit 6 multiplicirt wird xx = 144 und Quadrat-
Wurzel ausgezogen x = ± 12. Dann wann x = + 12,
ſo iſt ½ x = 6 und ⅓ x = 4, wovon das Product 24 iſt.
Ebenfals wann x = - 12 ſo iſt ½ x = - 6 und ⅓ x = - 4
und das Product davon auch 24.

72.

II. Frage: Es wird eine Zahl geſucht, wann zu
derſelben erſtlich 5 addirt und hernach auch 5 ſub-
trahirt und die Summe mit dem Reſt multiplicirt wird;
96 herauskomme?

Es ſey dieſe Zahl x ſo muß x + 5 mit x - 5 multi-
plicirt 96 geben, woraus dieſe Gleichung entſpringt
xx - 25 = 96
Man addire 25 ſo wird xx = 121
und die Quadrat-Wurzel ausgezogen x = 11
dann da wird x + 5 = 16 und x - 5 = 6. Nun aber
iſt 6. 16 = 96.

73.

III. Frage: Es wird eine Zahl geſucht, daß wann
dieſelbe erſtlich zu 10 addirt, hernach auch von 10 ſub-
trahirt, jene Summe mit dieſem Reſt multiplicirt 51 ge-
be?

Es ſey die Zahl x ſo muß 10 + x mit 10 - x
multiplicirt 51 geben, woraus dieſe Gleichung entſteht
100 - xx = 51.

Man addire xx und ſubtrahire 51, ſo kommt
xx = 49, wovon die Quadrat-Wurzel anzeigt x = 7.

74.

IV. Frage: Es haben drey Perſonen Geld, ſo oft der
erſte hat 7 Rthl. hat der andere 3 Rthl. und ſo oft der an-
dere hat 17 Rthl. hat der dritte 5 Rthl. ſo ich aber das
Geld des erſten mit dem Geld des andern, und das
Geld des andern mit dem Geld des dritten und auch
endlich das Geld des dritten mit dem Geld des erſten
multiplicire, hernach dieſe drey Producte zuſammen
addire, ſo wird die Summe 3830 ⅔ ſeyn. Wie viel Geld
hat ein jeder gehabt?

Man ſetze, der erſte habe gehabt x Rthl. und da
geſagt wird, daß ſo oft der erſte 7 Rthl. habe, ſo habe
der andere 3 Rthl. ſo will dieſes ſo viel ſagen, daß das
II.Theil EGeld
[66]Erſter Abſchnitt
Geld des erſten ſich zum Geld des andern verhalte
wie 7 : 3.

Man ſetze alſo wie 7 : 3 = x zum Geld des andern,
welches ſeyn wird \frac{3}{7}x.

Da ferner das Geld des andern ſich verhaͤlt zum
Geld des dritten, wie 17 : 5,
ſo ſetze man, wie 17 : 5 = \frac{3}{7}x zum Geld des dritten,
welches ſeyn wird \frac{15}{119}x.

Nun multiplicire man das Geld des erſten x mit dem
Geld des andern \frac{3}{7}x ſo wird das Product = \frac{3}{7}xx.

Ferner das Geld des andern \frac{3}{7}x mit dem Geld des
dritten \frac{15}{119}x multiplicirt, giebt \frac{45}{833}xx

Und endlich das Geld des dritten \frac{15}{119}x mit dem Geld
des erſten x multiplicirt, giebt \frac{15}{119}xx. Dieſe drey Pro-
ducte zuſammen machen \frac{3}{7}xx + \frac{45}{833}xx + \frac{15}{119}xx, welche
unter einen Nenner gebracht, geben \frac{507}{837}xx, ſo der Zahl
3830⅔ gleich geſetzt werden muß:
Alſo hat man \frac{507}{833}xx = 3830⅔
mit 3 multiplicirt, ſo bekommt man \frac{1521}{833}xx = 11492
ferner mit 833 multiplicirt, giebt 1521 xx = 9572836
und
[67]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
und durch 1521 dividirt, wird xx = \frac{9572836}{1521} wor-
aus die Quadrat-Wurzel gezogen, giebt x = \frac{3094}{39},
welcher Bruch ſich durch 13 verkleinern laͤßt und da
kommt x = \frac{238}{3}, oder x = 79⅓: dahero erhaͤlt man fer-
ner \frac{3}{7}x = 34 und \frac{15}{119}x = 10.

Antwort: Alſo hat der erſte 79⅓ Rthl. der zweyte
34 Rthl. und der dritte 10 Rthl. gehabt.

Anmerckung: dieſe Rechnung laͤßt ſich noch
leichter anſtellen, wann man die darinn vorkommenden
Zahlen in ihre Factores aufloͤßt, und dabey inſon-
derheit ihre Quadrate bemerckt:
Alſo iſt 507 = 3. 169, wo 169 das Quadrat von 13
iſt: hernach iſt 833 = 7. 119 und 119 = 7. 17 da man
nun hat, \frac{3.169}{17.49}xx = 3830 ⅔ ſo multiplicire man mit 3,
da kommt \frac{9.169}{17.49}xx = 11492. Dieſe Zahl loͤſe man auch
in ihre Factores auf, wovon der erſte 4 ſo gleich in die
Augen faͤllt, alſo daß 11492 = 4. 2873: ferner laͤßt ſich
2873 durch 17 theilen und wird 2873 = 17.169, dahe-
ro unſere Gleichung alſo ausſieht:
\frac{9.169}{17.49}xx = 4.17.169, welche durch 169 dividirt, wird:
\frac{9}{17.49}xx = 4.17; ferner mit 17.49 multiplicirt
und durch 9 dividirt giebt xx = \frac{4.289.49}{9}, wo alle
E 2Fac-
[68]Erſter Abſchnitt
Factores Quadrate ſind und alſo die Wurzel ſeyn
wird x = \frac{2.17.7}{3} = \frac{238}{2} wie oben.

75.

V. Frage: Etliche Kaufleute beſtellen einen Fac-
tor, ſchicken ihn nach Archangel zu halten einen Han-
del, haben eingelegt jeder zehnmal ſo viel Rthl.
als der Perſonen ſind. Gewinnt der Factor je mit
100 Rthl. zweymal ſo viel als der Perſonen ſind.
Wann man dann \frac{1}{100} Theil des gantzen Gewinſt multi-
plicirt mit 2\frac{2}{9} ſo kommt die Zahl der Geſellen heraus.
Wie viel ſind ihrer geweſen?

Die Anzahl derſelben ſey = x und da ein jeder
10 x Rthl. eingelegt hat, ſo war das gantze Capital
= 10 xx Rthl. Nun gewinnt der Factor mit 100 Rthl.
2 x Rthl. folglich gewinnt er ⅕ x3 mit dem gantzen Ca-
pital 10 xx. Der \frac{1}{100} Theil dieſes Gewinnſts iſt dem-
nach \frac{1}{500}x3, welcher mit 2\frac{2}{9}, das iſt mit \frac{20}{9} multiplicirt,
giebt \frac{20}{4500}x3, oder \frac{1}{225}x3 welches der Zahl der Geſellen
x gleich ſeyn muß:

Alſo hat man dieſe Gleichung \frac{1}{225}x3 = x, oder
x3 = 225 x, welche Cubiſch zu ſeyn ſcheinet, weil man
aber durch x dividiren kann, ſo kommt dieſe Qua-
dratiſche heraus xx = 225 und x = 15.

Antwort: es ſind dahero in allen 15 Geſellen ge-
weſen und ein jeder hat 150 Rthl. eingelegt.

76.

Eine vermiſchte Quadratiſche Gleichung wird ge-
nennt, wann in derſelben dreyerley Glieder vor-
kommen, nemlich ſolche, welche das Quadrat der unbe-
kanten Zahl enthalten, wie a xx; hernach auch ſolche,
worinn die unbekante Zahl ſelbſt vorkommt, als bx, und
endlich ſolche Glieder, welche blos aus bekanten Zahlen
zuſammengeſetzt ſind. Da nun zwey oder mehr Glieder
von einer Art in eins zuſammen gezogen werden, und
alle auf eine Seite des Zeichens = gebracht werden
koͤnnen, ſo wird die Form dieſer Gleichung alſo be-
ſchaffen ſeyn:
a xx ∓ bx ∓ c = o

Wie nun aus ſolchen Gleichungen der Werth
von x gefunden werden ſoll, wird in dieſem Capitel ge-
zeigt werden, zu welchem Ende zweyerley Wege fuͤh-
ren.

77.

Ein ſolche Gleichung kann durch die Theilung alſo
eingerichtet werden, daß das erſte Glied blos allein
das reine Quadrat der unbekanten Zahl xx enthalte:
hernach laße man das zweyte Glied auf eben der Sei-
te wo xx ſteht, das bekante Glied aber bringe man
auf die andere Seite. Solcher Geſtalt wird unſere
Gleichung dieſe Form bekommen xx ± px = ± q,
wo p und q bekante Zahlen, ſowohl poſitive als nega-
tive andeuten; und jetzo kommt alles darauf an, wie
der wahre Werth von x gefunden werden ſoll. Hier-
bey iſt zuerſt zu bemercken, daß wann xx + px ein
wuͤrckliches Quadrat waͤre, die Aufloͤſung keine
Schwierigkeit haben wuͤrde, weil man nur noͤthig haͤt-
te beyderſeits die Quadrat-Wurzel zu nehmen.

78.

Es iſt aber klar, daß xx + px kein Quadrat ſeyn kann,
weil wir oben geſehen, daß wann die Wurzel aus zwey
Gliedern beſteht, Z. E. x + n, das Quadrat davon drey
Glie-
[71]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Glieder enthalte, nemlich außer dem Quadrat ei-
nes jeden Theils, noch das doppelte Product beyder
Theile, alſo daß das Quadrat von x + n ſeyn wird
xx + 2 nx + nn. Da wir nun auf einer Seite ſchon
haben xx + px ſo koͤnnen wir xx als das Quadrat
des erſten Theils der Wurzel anſehen, und da muß
px das doppelte Product des erſten Theils der Wur-
zel x mit dem andern Theil ſeyn; dahero der andere
Theil ½ p ſeyn muß, wie dann auch in der That das
Quadrat von x + ½ p gefunden wird xx + px
+ ¼ pp.

79.

Da nun xx + px + ¼ pp ein wuͤrckliches Qua-
drat iſt, wovon die Wurzel x + ½ p, ſo duͤrfen wir nur
bey unſerer Gleichung zu xx + px = q beyderſeits ¼ pp
addiren und da bekommen wir xx + px + ¼ pp = q
+ ¼ pp, wo auf der erſten Seite ein wuͤrckliches Qua-
drat, auf der andern aber blos bekante Zahlen befind-
lich ſind. Wann wir dahero beyderſeits die Qua-
drate nehmen, ſo erhalten wir x + ½ p = √ (¼ pp + q);
ſubtrahirt man nun ½ p, ſo erhaͤlt man x = - ½ p
+ √ (¼ pp + q); und da eine jede Quadrat-Wurzel
ſo wohl Poſitiv als Negativ genommen werden kann,
E 4ſo
[72]Erſter Abſchnitt
ſo findet man fuͤr x zwey Werthe, welche alſo durch
dieſe Form ausgedruͤckt zu werden pflegen:
x = - ½ p ± √ (¼ pp + q).

80.

In dieſer Formel iſt nun die Regel enthalten,
nach welcher alle Quadrat-Gleichungen aufgeloͤßt wer-
den koͤnnen, und damit man nicht immer noͤthig ha-
be, die obige Operation von neuem anzuſtellen, ſo iſt
genung, daß man den Inhalt dieſer Formel dem Ge-
daͤchtniß wohl einpraͤge. Man kann demnach die
Gleichung ſo anordnen, daß das bloße Quadrat xx
auf einer Seite zu ſtehen komme, daher die obige Glei-
chung dieſe Form erhalten wird: xx = - px + q
wovon der Werth von x ſo gleich alſo hingeſchrie-
ben werden kann: x = - ½ p ± √ (¼ pp + q).

81.

Hieraus wird nun dieſe allgemeine Regel gezo-
gen um die Gleichung xx = - px + q aufzuloͤſen.

Man ſieht nemlich, daß die unbekante Zahl, x
gleich ſeyn werde der Haͤlfte der Zahl, womit x auf
der
[73]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
der andern Seite multiplicirt iſt, und uͤber das noch
+ oder - der Quadrat-Wurzel aus dem Quadrat
der Zahl, ſo eben geſchrieben worden, nebſt der
bloßen Zahl ſo das dritte Glied der Gleichung aus-
macht.

Wann dahero dieſe Gleichung vorkaͤme xx = 6 x
+ 7, ſo wuͤrde man ſo gleich haben x = 3 ± √ (9 + 7)
= 3 ± 4: folglich ſind die beyden Werthe von x
I.) x = 7, und II.) x = - 1.

Haͤtte man dieſe Gleichung xx = 10 x - 9, ſo
wird x = 5 ± √ (25 - 9), welches = 5 ± 4; dahe-
hero die beyden Werthe ſeyn werden x = 9 und x = 1.

82.

Zu mehrerer Erlaͤuterung dieſer Regel koͤnnen fol-
gende Faͤlle unterſchieden werden, I.) wann p eine
gerade Zahl iſt, II.) wann p eine ungerade Zahl iſt,
und III.) wann p eine gebrochene Zahl iſt.

Es ſey I.) p eine gerade Zahl und die Gleichung
alſo beſchaffen:
xx = 2 px + q, ſo bekommt man x = p ± √ (pp + q):

Es ſey II.) p eine ungerade Zahl und die Glei-
chung xx = px + q, da dann ſeyn wird
E 5x = ½ p
[74]Erſter Abſchnitt
x = ½ p ± √ (¼ pp + q) da nun ¼ pp + q
= \frac{pp + 4 q}{4}, aus dem Nenner 4 aber die Quadrat-
Wurzel gezogen werden kann, ſo bekommt man
x = ½ p ± \frac{\sqrt{(pp + 4 q)}}{2}, oder x = p \pm \frac{\sqrt{(pp + 4 q)}}{2}.

Wird aber III.) p ein Bruch, ſo kann die Auf-
loͤſung folgender Geſtalt geſchehen. Es ſey die Quadra-
tiſche Gleichung a xx = bx + c, oder xx = \frac{bx}{a} + \frac{c}{a},
ſo wird nach der Regel x = \frac{1 b}{2 a} ± √ (\frac{bb}{4 aa} + \frac{c}{a}). Da
nun aber \frac{bb}{4 aa} + \frac{c}{a} = \frac{bb + 4 ac}{4 aa} und hier der Nenner ein
Quadrat iſt, ſo wird x = \frac{b \pm \sqrt{(bb + 4 ac)}}{2 a}.

83.

Der andere Weg welcher auch zu dieſer Aufloͤ-
ſung fuͤhret, beſtehet darinn, daß man eine ſolche ver-
miſchte Quadratiſche Gleichung nemlich:
xx = px + q in eine reine verwandele, welches ge-
ſchiehet, wann man anſtatt der unbekanten Zahl x eine
andere y in die Rechnung einfuͤhret, alſo daß x = y
+ ½ p; da man dann, wann y gefunden worden, auch
ſo gleich den Werth vor x erhaͤlt.

Schreibt man nun y + ½ p anſtatt x, ſo wird
xx = yy + py + ¼ pp und px = py + ½ pp:
hieraus
[75]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
hieraus wird unſere Gleichung alſo zu ſtehen kom-
men yy + py + ¼ pp = py + ½ pp + q
ſubtrahirt man hier erſtlich py, ſo hat man
yy + ¼ pp = ½ pp + q
ferner ¼ pp ſubtrahirt, giebt yy = ¼ pp + q, welches
eine reine Quadratiſche Gleichung iſt, woraus man ſo
gleich erhaͤlt y = ± √ (¼ pp + q).

Da nun x = y + ½ p, ſo wird x = ½ p ± √ (¼ pp + q),
wie wir ſchon oben gefunden haben. Es iſt alſo
nichts mehr uͤbrig als dieſe Regel mit Exempeln zu
erlaͤutern.

84.

I. Frage: Ich habe zwey Zahlen; die eine iſt um 6
groͤßer als die andere und ihr Product macht 91, wel-
ches ſind dieſe Zahlen?

Die kleinere Zahl ſey x, ſo iſt die groͤßere x +
6 und ihr Product xx + 6 x = 91.

Man ſubtrahire 6 x, ſo hat man xx = - 6 x + 91, und
nach der Regel x = - 3 ± √ (9 + 91) = - 3 ± 10,
dahero hat man entweder x = 7 oder x = - 13.

Antwort: die Frage hat alſo zwey Aufloͤſungen; nach der
erſten
[76]Erſter Abſchnitt
erſten iſt die kleinere Zahl x = 7 die groͤßere x + 6
= 13

Nach der andern aber iſt die kleinere x = - 13 und
die groͤßere x + 6 = - 7.

85.

II. Frage: Suche eine Zahl wann ich von ihrem
Quadrat ſubtrahire 9, daß gleich ſo viel uͤber 100
bleiben als meine Zahl weniger iſt als 23: welche Zahl
iſt es?

Es ſey die Zahl x, ſo iſt xx ‒ 9 uͤber 100 um xx—109.
Die geſuchte Zahl x aber iſt unter 23 um 23—x; woraus
dieſe Gleichung entſteht xx - 109 = 23 - x
Man addire 109 ſo wird xx = - x + 132 folglich
nach der Regel x = - ½ ± √ (¼ + 132) = - ½
± √ \frac{529}{4} = - ½ ± \frac{23}{2}
Alſo iſt entweder x = 11, oder x = - 12

Antwort: Wann nur eine poſitive Antwort ver-
langt wird, ſo iſt die geſuchte Zahl 11 deren Qua-
drat weniger 9 macht 112, ſo um 12 groͤßer iſt als 100,
und die gefundene Zahl 11 iſt um eben ſo viel kleiner
als 23.

86.

III. Frage: Suche eine Zahl wann ich ihre
Haͤlffte mit ihrem Drittel multiplicire und zum Pro-
duct ½ der gefundenen Zahl addire, daß 30 kommen?

Es ſey dieſe Zahl x, deren Haͤlfte mit ihrem Drit-
tel multiplicirt ⅙ xx giebt; alſo ſoll ⅙ xx + ½ x = 30
ſeyn; mit 6 multiplicirt, wird xx + 3 x = 180, oder
xx = - 3 x + 180, woraus man findet
x = - \frac{3}{2} ± √ (\frac{9}{4} + 180) = - \frac{3}{2} ± \frac{27}{2}
Dahero iſt entweder x = 12 oder x = - 15.

87.

IV. Frage: Suche zwey Zahlen in Proportione
Dupla, wann ich ihre Summe zu ihrem Product addi-
daß 90 komme?

Es ſey die Zahl x, ſo iſt die groͤßere 2 x, ihr Pro-
duct 2 xx, dazu ihre Summe 3 x addirt ſoll geben 90.
Alſo 2 xx + 3 x = 90, und 3 x ſubtrahirt,
2 xx = - 3 x + 90
durch 2 dividirt, giebt xx = - \frac{3}{2} x + 45; woraus
nach der Regel gefunden wird x = - ¾ ± √ (\frac{9}{16} + 45)
= - ¾ ± \frac{27}{4}.

Dahero iſt entweder x = 6 oder x = —7½.

88.

V. Frage: Einer kauft ein Pferd fuͤr etliche Rthl.
verkauft daſſelbe wieder fuͤr 119 Rthl. und gewinnt
daran von 100 ſo viel Rthl. als das Pferd gekoſtet,
iſt die Frage wie theuer daßelbe eingekauft worden?

Daß Pferd habe gekoſtet x Rthl. weil er nun darauf
x Proc. gewonnen, ſo ſetze man, mit 100 gewinnt man x,
wie viel mit x? Antwort \frac{xx}{100}. Da er nun \frac{xx}{100} gewonnen,
der Einkauf aber x geweſen, ſo muß er daſſelbe fuͤr
x + \frac{xx}{100} verkauft haben. Dahero wird x + \frac{xx}{100} = 119.
Man ſubtrahire x, ſo kommt \frac{xx}{100} = - x + 119
und mit 100 multiplicirt, wird xx = - 100 x + 11900,
woraus nach der Regel gefunden wird
x = - 50 ± √ (2500 + 11900) = - 50 ± √ 14400
= - 50 ± 120.

Antwort: das Pferd hat alſo gekoſtet 70 Rthl. weil
er nun darauf 70 Procent gewonnen, ſo war der Ge-
winſt 49 Rthl. er muß alſo daſſelbe verkauft haben vor
70 + 49, das iſt fuͤr 119 Rthl. wie wuͤrcklich geſchehen.

89.

VI. Frage: Einer kauft eine gewiße Anzahl Tuͤcher:
das erſte fuͤr 2 Rthl. das zweyte fuͤr 4 Rthl. das dritte
fuͤr
[79]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
fuͤr 6 Rthl. und immer 2 Rthl. mehr fuͤr das folgende,
bezahlt fuͤr alle Tuͤcher 110 Rthl. Wie viel ſind der
Tuͤcher geweſen?

Es ſeyen x Tuͤcher geweſen, und wie viel er fuͤr
jedes bezahlt hat, zeiget die folgende Vorſtellung an:
fuͤr das 1, 2, 3, 4, 5 … x
zahlt er 2, 4, 6, 8, 10 … 2 x Rthl.

Man muß alſo dieſe Arithmetiſche Progreſſion
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + .... 2 x welche aus x
Gliedern beſteht ſummiren, um den Preis aller Tuͤ-
cher zuſammen zu finden.

Nach der oben gegebenen Regel alſo addire man
das erſte und letzte Glied zuſammen, ſo bekommt man
2 x + 2. Dieſes multiplicire man mit der Anzahl der Glie-
der x, ſo bekommt man die doppelte Summe 2 xx + 2 x.
Dahero die Summe ſelbſt ſeyn wird xx + x, welche
dem 110 gleich ſeyn muß, oder xx + x = 110
Man ſubtrahire x, ſo wird xx = - x + 110
folglich x = - ½ + √ (¼ + 110) oder = - ½ + √ \frac{441}{4}
oder x = - ½ + \frac{21}{2} = 10
Antwort: Es ſind 10 Stuͤck Tuͤcher gekauft worden.

90.

VII. Frage: Einer kauft etliche Tuͤcher fuͤr 180
Rthl. waͤren der Tuͤcher 3 mehr geweſen vor eben
das Geld, ſo waͤre ihm das Stuͤck um 3 Rthl. wohl-
feiler gekommen. Wie viel ſind es Tuͤcher geweſen?

Es ſeyen x Tuͤcher geweſen, ſo hat das Stuͤck
wuͤrcklich gekoſtet \frac{180}{x} Rthl. Haͤtte er aber x + 3
Stuͤck fuͤr 180 Rthl. bekommen, ſo wuͤrde das Stuͤck
gekoſtet haben \frac{180}{x + 3} Rthl. welcher Preis um 3 Rthl.
weniger iſt, als der wuͤrckliche, woraus dieſe Gleichung
entſteht: \frac{180}{x + 3} = \frac{180}{x} - 3
man multiplicire mit x, ſo kommt \frac{180 x}{x + 3} = 180 - 3 x
durch 3 dividirt, giebt \frac{60x}{x} + 3 = 60 - x
mit x + 3 multiplicirt, wird 60 x = 180 + 57 x - xx
man addire xx, ſo kommt xx + 60 x = 180 + 57 x.
Man ſubtrahire 60 x, ſo kommt xx = - 3 x + 180. Hier-
aus nach der Regel
x = - \frac{3}{2} + √ (\frac{9}{4} + 180), oder x = - \frac{3}{2} + \frac{27}{2} = 12.

Antwort: Alſo ſind 12 Tuͤcher fuͤr 180 Rthl. gekauft
worden, dahero eines gekoſtet 15 Rthl. Haͤtte man
aber
[81]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
aber 3 Stuͤck mehr nemlich 15 Stuͤck fuͤr 180 Rthl.
bekommen, ſo wird 1 Stuͤck gekoſtet haben 12 Rthl., folg-
lich 3 Rthl. weniger als in der That.

91.

VIII. Frage: Zwey haben eine Geſellſchaft, legen
zuſammen 100 Rthl. ein, der erſte laͤßt ſein Geld 3
Monath lang, der andere aber 2 Monath lang ſtehen,
und zieht ein jeder mit Capital und Gewinſt 99 Rthl.
wie viel hat jeder eingelegt?

Der erſte habe eingelegt x Rthl. und alſo der
andere 100 - x: da nun der erſte 99 Rthl. zuruͤck
zieht, ſo iſt ſein Gewinn 99 - x, welcher in 3 Mona-
then mit dem Capital x iſt erworben worden, da der
andere auch 99 Rthl. zuruͤck zieht, ſo war ſein Ge-
winn x - 1, welcher in zwey Monathen mit dem Ca-
pital 100 - x erworben worden: mit eben dieſem
Capital 100 - x wuͤrden alſo in 3 Monathen gewon-
nen werden \frac{3 x - 3}{2}. Nun ſind dieſe Gewinſte denen Capi-
talen proportional, nemlich jenes Capital verhaͤlt ſich zu
jenem Gewinſt, wie dieſes Capital zu dieſem Gewinſt;
alſo
x : 99 - x = 100 - x : \frac{3 x - 3}{2}
IITheil FMan
[82]Erſter Abſchnitt
Man ſetze das Product der aͤußern gleich dem Product
der mittlern, ſo hat man \frac{3 xx - 3 x}{2} = 9900 - 199 x + xx
und mit 2 multiplicirt 3 xx - 3 x = 19800 - 398 x + 2 xx;
man ſubtrahire 2 xx ſo kommt xx - 3 x = 19800 - 398 x
und 3 x addirt xx = - 395 x + 19800. Dahero
nach der Regel x = - \frac{395}{2} + √ (\frac{156025}{4} + \frac{79200}{4}) das iſt
x = - \frac{395}{2} + \frac{485}{2} = \frac{90}{2} = 45.

Antwort: der erſte hat alſo eingelegt 45 Rthl. und
der andere 55 Rthl. mit den 45 Rthl. hat der erſte in
3 Monath gewonnen 54 Rthl. wuͤrde demnach in ei-
nem Monath gewonnen haben 18 Rthl. Der andere
aber gewinnt mit 55 Rthl. in 2 Monath 44 Rthl.
wuͤrde alſo in einem Mona th gewonnen haben 22
Rthl. welches auch mit jenem uͤbereinſtimmt; dann
wann mit 45 Rthl. gewonnen werden 18 in einem
Monath, ſo werden mit 55 in gleicher Zeit gewonnen
22 Rthl.

92.

IX. Frage: Zwey Baͤurinnen tragen zuſammen
100 Eyer auf den Marckt, eine mehr als die andere,
und loͤſen doch beyde gleich viel Geld: Spricht die
erſte zu der andern, haͤtte ich deine Eyer gehabt, ſo
haͤtte ich 15 Kreuzer geloͤßt: darauf antwortet die
an-
[83]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
andere, haͤtte ich deine Eyer gehabt, ſo haͤtte ich daraus
6⅔ Kreutzer geloͤßt: wie viel hat jede gehabt?

Die erſte habe gehabt x Eyer und alſo die ande-
re 100 - x.

Alſo da nun die erſte 100 - x Eyer fuͤr 15 Kreu-
zer verkauft haben wuͤrde, ſo ſetze man dieſe Regel de-
trie 100 - x : 15 = x zu antwort \frac{15 x}{100 - x} Kreuzer.

Eben ſo bey der andern welche x Eyer fuͤr 6⅔ Kreu-
zer verkauft haben wuͤrde, findet man wie viel ſie aus-
ihren 100 - x Eyer geloͤſet, x : \frac{20}{3} = 100 - x zu ant-
wort \frac{2000 - 20 x}{3 x}. Da nun die beyden Baͤurinnen gleich
viel geloͤſet haben, ſo finden wir dieſe Gleichung:
\frac{15 x}{100 - x} = \frac{2000 - 20 x}{3 x}
mit 3 x multiplicirt, kommt 2000 - 20 x = \frac{45 xx}{100 - x}
mit 100 - x multiplicirt,
45 xx = 200000 - 4000 x + 20 xx
20 xx ſubtrahirt, 25 xx = 200000 - 4000 x
durch 25 dividirt xx = - 160 x + 8000: dahero nach
der Regel
x = - 80 + √ (6400 + 8000) = - 80 + 120 = 40.

Antwort: die erſte Baͤurin hat alſo gehabt 40 Eyer,
die andere 60 Eyer und hat eine jede 10 Kreuzer ge-
loͤſet.

93.

X. Frage: Zwey verkauffen etliche Ellen Zeug,
der andere 3 Ellen mehr als der erſte, und loͤſen
zuſammen 35 Rthl. Spricht der erſte zum andern:
aus deinem Zeuge wollt ich geloͤſet haben 24 Rthl.
antwortet der andere, ſo haͤtte ich aus deinem geloͤßet
12½ Rthl. wie viel hat jeder Ellen gehabt?

Der erſte habe gehabt x Ellen, folglich der andere x + 3
Ellen. Da nun der erſte aus x + 3 El. 24 Rthl. geloͤſt haͤt-
te, ſo muß er ſeine x Ellen verkauft haben vor \frac{24 x}{x + 3} Rthl.
und da der andere x Ellen verkauft haͤtte fuͤr 12½ Rthl.
ſo haͤtte er ſeine x + 3 Ellen verkauft vor \frac{25 x + 75}{2 x}; und ſo
haben beyde zuſammen geloͤſt \frac{24 x}{x + 3} + \frac{25 x + 75}{2 x} = 35 Rthl.
Alſo \frac{48 xx}{x + 3} + 25 x + 75 = 70 x
oder \frac{48 xx}{x + 3} = 45 x - 75, mit x + 3 multiplicirt wird
48 xx = 45 xx + 60 x - 225, ſubtrahirt 45 xx, ſo hat
man 3 xx = 60 x - 225 oder xx = 20 x - 75.
Hieraus wird x = 10 ± √ (100 - 75) = 10 ± √ 25,
alſo x = 10 ± 5.

Antwort: Es giebt daher zwey Aufloͤßungen. Nach der
erſten hat der erſte 15 Ellen, und der andere 18 Ellen: weil
nun der erſte 18 Ellen verkauft hat vor 24 Rthl. ſo hat er
aus ſeinen 15 Ellen geloͤſt 20 Rthl. Der andere aber haͤtte
aus 15 Ellen geloͤſet 12½ Rthl. hat alſo aus ſeinen 18 Ellen
geloͤſt 15 Rthl. alſo beyde zuſammen 35 Rtlh.

Nach der andern Aufloͤſung hat der erſte gehabt 5
Ellen, folglich allſo der andere 8 Ellen, allſo der erſte haͤtte
verkauft 8 Ellen fuͤr 24 Rthl. und hat alſo aus ſei-
nen 5 Ellen geloͤſt 15 Rthl. Der andere haͤtte 5 Ellen
verkauft fuͤr 12½ Rthl. hat alſo aus ſeinen 8 Ellen geloͤſt
20 Rthl. folglich beyde zuſammen eben wieder 35 Rthl.

94.

Wir haben oben gezeigt, wie die vieleckigten Zahlen;
gefunden werden ſollen: was wir aber daſelbſt
eine Seite genennt haben wird auch eine Wurzel ge-
nannt. Wann nun die Wurzel durch x angedeutet
wird, ſo werden daraus die vieleckigten Zahlen fol-
gender Geſtalt gefunden.

• Das 3 eck iſt \frac{xx + x}{2}
• „ „ 4 eck „ „ xx
• „ „ 5 eck „ „ \frac{3 xx - x}{2}
• „ „ 6 eck „ „ 2 xx - x
• „ „ 7 eck „ „ \frac{5 xx - 3 x}{2}
• „ „ 8 eck „ „ 3 xx - 2 x
• „ „ 9 eck „ „ \frac{7 xx - 5 x}{2}
• „ „ 10 eck „ „ 4 xx - 3 x
• „ „ n eck „ „ \frac{(n - 2) xx - (n - 4) x}{2}

95.

Durch Huͤlfe dieſer Formeln iſt es nun leicht fuͤr
eine jede gegebene Seite, oder Wurzel, eine verlangte
vieleckigte Zahl ſo groß auch die Zahl der Ecke ſeyn
mag zu finden, wie ſchon oben genungſam gezeigt
worden. Wann aber umgekehrt eine vieleckigte Zahl
von einer gewißen Anzahl Seite gegeben iſt, ſo iſt es
weit ſchwerer die Wurzel oder Seite davon zu finden,
und wird dazu die Aufloͤſung Quadratiſcher Glei-
chungen erfordert, dahero dieſe Sache allhier beſon-
ders verdienet abgehandelt zu werden. Wir wollen
hiebey der Ordnung nach von den dreyeckigten Zahlen
anfangen, und zu den mehreckigten fortſchreiten.

96.

Es ſey demnach 91 die gegebene dreyeckigte Zahl,
wovon die Seite oder Wurzel geſucht werden ſoll.

Setzt man nun dieſe Wurzel = x ſo muß \frac{xx + x}{2}
der Zahl 91 gleich ſeyn: man multiplicire mit 2 ſo hat
man xx + x = 182, woraus gefunden wird xx = - x
+ 182 und alſo x = - ½ + √ (¼ + 182) = - ½ + √ \frac{729}{4} fol-
glich x = - ½ + \frac{27}{2} = 13; dahero iſt die verlangte dreyecks-
Wurzel = 13, dann das Dreyeck von 13 iſt 91.

97.

Es ſey aber auf eine allgemeine Art a die gege-
bene dreyeckigte Zahl, wovon die Wurzel gefunden wer-
den ſoll.

Setzt man dieſelbe = x ſo wird \frac{xx + x}{2} = a, oder
xx + x = 2 a, oder ferner xx = - x + 2 a, woraus
gefunden wird x = - ½ + √ (¼ + 2 a), oder
x = - \frac{1 + \sqrt{(8 a + 1)}}{2}.

Hieraus entſpringt dieſe Regel. Man multi-
plicire die gegebene dreyeckigte Zahl mit 8 und zum Pro-
duct addire 1, aus der Summ ziehe man die Qua-
drat-Wurzel, von derſelben ſubtrahire 1; den Reſt
dividire durch 2, ſo kommt die geſuchte Dreyecks Wurzel
heraus.

98.

Hieraus ſieht man daß alle dreyeckigte Zahlen die-
ſe Eigenſchaft haben, daß wann man dieſelben mit
8 multiplicirt und 1 dazu addirt immer eine Quadrat-
Zahl herauskommen muͤße, wie aus folgendem Taͤ-
felgen zu erſehen,
III. Eck. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, etc.
8 mahl + 1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361, 441, 529, ete.

Iſt nun die gegebene Zahl a nicht ſo beſchaffen, ſo
iſt es ein Zeichen, daß dieſelbe keine wuͤrckliche dreyeckig-
te Zahl ſey, oder die Wurzel davon nicht rational
angegeben werden koͤnne.

99.

Man ſuche nach dieſer Regel die dreyecks-Wurzel
aus der Zahl 210, ſo iſt a = 210 und 8a + 1 = 1681
wovon die Quadrat-Wurzel 41, woraus man ſieht,
daß die Zahl 210 wuͤrcklich eine dreyeckigte Zahl iſt, wo-
von die Wurzel = \frac{41 - 1}{2} = 20.

Waͤre aber die Zahl 4 als ein Dreyeck gegeben, wo-
von die Wurzel geſucht werden ſollte, ſo waͤre dieſelbe
= \frac{\sqrt{33} - 1}{2} und alſo irrational: Es wird aber auch wuͤrck-
lich von dieſer Wurzel, nemlich \frac{\sqrt{33} - 1}{2}, das Dreyeck
gefunden wie folget.

Da x = \frac{\sqrt{33} - 1}{2}, ſo iſt xx = \frac{17 - \sqrt{33}}{2}; darzu x addirt,
wird xx + x = \frac{16}{2} = 8, und folglich die dreyeckigte Zahl
\frac{xx + x}{2} = 4.

100.

Da die viereckigten Zahlen mit den Quadraten
einerley ſind, ſo hat die Sache keine Schwierigkeit.
Dann ſetzt man die gegebene viereckigte Zahl = a und ihre
F 5Vierecks
[90]Erſter Abſchnitt
Vierecks-Wurzel = x, ſo wird xx = a und alſo x = √a.
Alſo daß die Quadrat-Wurzel und Vierecks-Wurzel
einerley ſind.

101.

Wir wollen demnach zu den fuͤnfeckigten Zahlen
fortſchreiten.

Es ſey nun 22 eine fuͤnfeckigte Zahl und die Wurzel
derſelben = x, ſo muß ſeyn \frac{3xx - x}{2} = 22, oder 3 xx - x
= 44, oder xx = ⅓ x + \frac{44}{3}; woraus gefunden wird
x = ⅙ + √(\frac{1}{36} + \frac{44}{3}), das iſt x = \frac{1 + \sqrt{(529)}}{6} = ⅙ + \frac{23}{6} = 4.
Alſo iſt 4 die geſuchte Fuͤnfecks-Wurzel aus der Zahl 22.

102.

Es ſey nun vorgelegt dieſe Frage: wann das ge-
gebene Fuͤnfeck = a iſt, wie ſoll davon die Wurzel ge-
funden werden?

Setzt man dieſe geſuchte Wurzel = x, ſo kommt
man auf dieſe Gleichung \frac{3xx - x}{2} = a, oder 3xx - x
= 2a, oder xx = ⅓ x + \frac{2^{a}}{3}; woraus gefunden wird
x = ⅙ + √(\frac{1}{36} + \frac{2a}{3}), das iſt x = \frac{1 + \sqrt{(24a + 1)}}{6}. Wann
dahero a ein wuͤrckliches Fuͤnfeck iſt, ſo muß 24a + 1 im-
mer eine Quadrat-Zahl ſeyn.

Es ſey z. E. 330 das gegebene Fuͤnfeck, ſo wird die
Wurzel davon ſeyn x = \frac{1 + \sqrt{7021}}{6} = \frac{1 + 89}{6} = 15.

103.

Es ſey nun a eine gegebene ſechseckigte Zahl, wo-
von die Wurzel geſucht werden ſoll.

Setzt man dieſe Wurzel = x ſo wird 2 xx - x
= a, oder xx = ½ x + ½ a, dahero gefunden wird
x = ¼ + √(\frac{1}{16} + ½a) = \frac{1 + \sqrt{(8a + 1)}}{4}. Wann alſo
a ein wuͤrckliches Sechseck iſt, ſo muß 8a + 1 ein Qua-
drat werden, woraus man ſieht daß alle ſechseckigte
Zahlen unter den dreyeckigten begriffen ſind; die Wur-
zeln aber ſind anders beſchaffen.

Es ſey z. E. die ſechseckigte Zahl 1225 ſo wird die
Wurzel davon ſeyn x = \frac{1 + \sqrt{9801}}{4} = \frac{1 + 90}{4} = 25.

104.

Es ſey ferner a eine gegebene ſiebeneckigte Zahl,
wovon die Seite oder Wurzel geſucht werden ſoll:

Setzt man dieſe Wurzel = x ſo hat man \frac{5xx - 3x}{2} = a,
oder 5xx - 3x = 2a, allſo xx = ⅗ x + ⅖ a, wor-
aus gefunden wird x = \frac{3}{10} + √(\frac{49}{100} + ⅖a) = \frac{3 + \sqrt{(40a + 9)}}{10}.
Alle
[92]Erſter Abſchnitt
Alle ſiebeneckigte Zahlen ſind demnach alſo beſchaf-
fen, daß wann man dieſelben mit 40 multiplicirt und
zum Product 9 addirt, die Summe immer Quadrat-
Zahlen werden.

Es ſey z. E. das gegebene Siebeneck 2059, ſo fin-
det man die Wurzel da von x = \frac{3 + \sqrt{(82360)}}{10} = \frac{3 + 287}{10} = 29.

105.

Es ſey nun a eine gegebene achteckigte Zahl wo-
von die Wurzel x gefunden werden ſoll.

Man hat dahero 3xx - 2x = a, oder xx = ⅔ x
+ ⅓a, woraus gefunden wird x = ⅓ + √(⅑ + \frac{a}{3})
= \frac{1 + \sqrt{(3a + 1)}}{3}. Alle achteckigte Zahlen ſind demnach
alſo beſchaffen, daß wann man ſie mit 3 multiplicirt
und dazu 1 addirt die Summe immer eine Quadrat-
Zahl werde.

Es ſey z. E. 3816 eine achteckigte Zahl, ſo wird die
Wurzel davon ſeyn x = \frac{1 + \sqrt{11440}}{3} = \frac{1 + 107}{3} = 36.

106.

Es ſey endlich a eine gegebene n eckigte Zahl, wo-
von die Wurzel x geſucht werden ſoll, ſo hat man die-
ſe Gleichung.

\frac{(n - 2) xx - (n - 4) x}{2} = a, oder (n - 2) xx - (n - 4) x = 2a, alſo
xx = \frac{(n - 4) x}{n - 2} + \frac{2a}{n - 2}, woraus gefunden wird
x = \frac{n - 4}{2(n - 2)} + \sqrt{(\frac{(n - 4)^{2}}{4(n - 2)^{2}} + \frac{2a}{n - 2}}), oder
x = \frac{n - 4}{2 (n - 2)} + √((\sqrt{\frac{(n - 4)^{2}}{4 (n - 2)^{2}} + \frac{8.(n - 2)a}{4.(n - 2)^{2}}}) und folglich
x = \frac{n - 4 + (\sqrt{8.(n - 2)a + (n - 4)^{2}})}{2.(n - 2)}.

Welche Formel eine allgemeine Regel enthaͤlt um
aus gegebenen Zahlen alle moͤgliche vieleckigte Wur-
zeln zu finden.

Um dieſes mit einem Exempel zu erlaͤutern, ſo ſey
gegeben dieſe 24eckigte Zahl 3009; weil nun hier
a = 3009 und n = 24, folglich n - 2 = 22 und
n - 4 = 20 ſo bekommen wie die Wurzel
x = \frac{20 + \sqrt{(529584 + 400)}}{44} = \frac{20 + 728}{44} = 17.

107.

Ein Binomium wird in der Algebra genennt eine
aus zwey Theilen beſtehende Zahl, wovon eine
oder auch beyde das Quadratiſche Wurzel-Zeichen
enthalten.

Alſo iſt 3 + √5 ein Binomium, imgleichen
√8 + √3, und es iſt gleich viel ob dieſe beyden
Theile mit dem Zeichen + oder - verbunden ſind.
Dahero wird 3 - √5 eben ſo wohl ein Binomium ge-
nennt als 3 + √5.

108.

Dieſe Binomien ſind deswegen hauptſaͤchlich merck-
wuͤrdig, weil man bey Aufloͤſung der Quadratiſchen
Gleichungen jedesmahl auf ſolche Formeln kommt, ſo
offt die Aufloͤſung nicht geſchehen kann.

Alſo wann z. E. dieſe Gleichung vorkommt xx = 6x
— 4, ſo wird dann x = 3 + √5. Um dieſer Urſache
willen
[95]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
willen kommen nun ſolche Formeln in den Algebrai-
ſchen Rechnungen ſehr haͤuffig vor, und wir haben
auch ſchon oben gezeiget, wie damit die gewoͤhnliche
Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication
und Diviſion angeſtellt werden ſollen. Nun aber ſind
wir erſt im Stande zu zeigen, wie aus ſolchen Formeln
auch die Quadrat-Wurzeln ausgezogen werden koͤn-
nen, wofern nemlich eine ſolche Ausziehung ſtatt
findet, indem wiedrigenfals nur noch ein Wurzel-
Zeichen vorgeſetzt wird, nemlich von 3 + √2 iſt die
Quadrat-Wurzel √(3 + √2).

109.

Man hat demnach zufoͤrderſt zu bemercken, daß
die Quadrate von ſolchen Binomien wiederum der-
gleichen Binomien werden, in welchen ſo gar der eine
Theil rational iſt.

Dann ſucht man das Quadrat von a + √b, ſo
wird daſſelbe (aa + b) + 2a √b. Wann alſo von die-
ſer Formel (aa + b) + 2a √b hinwiederum die Quadrat-
Wurzel verlangt wuͤrde, ſo waͤre dieſelbe a + √b, wel-
che ohnſtreitig deutlicher zu begreiffen iſt, als wann man
vor jene Formel noch das √ Zeichen ſetzen wollte. Eben
ſo
[96]Erſter Abſchnitt
ſo, wann man von dieſer Formel √a + √b das Qua-
drat nimmt, ſo wird daſſelbe (a + b) + 2 √ab, dahe-
ro auch umgekehrt von dieſer Formel (a + b) + 2 √ ab
die Quadrat-Wurzel ſeyn wird √a + √b welche
wiederum verſtaͤndlicher iſt, als wann man vor jene noch
das √ Zeichen ſetzen wollte.

110.

Es kommt dahero darauf an, wie ein Kennzeichen
zu erfinden ſey, woraus in einem jeglichen Fall beurthei-
let werden kann, ob eine ſolche Quadrat-Wurzel ſtatt
finde oder nicht. Wir wollen zu dieſem Ende mit
einer leichten Formel den Anfang machen und ſehen,
ob man aus dieſem Binomio 5 + 2√6 ſolcher Ge-
ſtalt die Quadrat-Wurzel finden koͤnne:

Man ſetze alſo, dieſe Wurzel ſey √x + √y, wo-
von das Quadrat (x + y) + 2 √xy iſt, allſo muß dieſes
Quadrat jener Formel 5 + 2 √6 gleich ſeyn; folglich
der rationale Theil x + y muß gleich ſeyn 5 und der irra-
tionale 2 √xy muß gleich ſeyn 2 √6; dahero bekommt
man √xy = √6 und die Quadrate genommen xy = 6.
Da nun x + y = 5, ſo wird hieraus y = 5 - x welcher
Werth in der Gleichung xy = 6 geſetzt giebt 5x - xx = 6
oder
[97]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
oder xx = 5x - 6, dahero x = \frac{5}{2} + √ (\frac{25}{4} - \frac{24}{4}) = \frac{5}{2}
+ ½ = 3; alſo x = 3 und y = 2, folglich wird aus
5 + 2 √6 die Quadrat-Wurzel ſeyn √3 + √2.

111.

Da wir hier dieſe beyde Gleichungen erhalten haben
I.) x + y = 5 und II.) xy = 6, ſo wollen wir hier
einen beſondern Weg anzeigen, um daraus x und y zu
finden, welcher darinn beſteht:

Da x + y = 5 ſo nehme man die Quadraten
xx + 2xy + yy = 25: Nun bemercke man, daß
xx - 2xy + yy das Quadrat von x - y iſt; man
ſubtrahire dahero von jener Gleichung nemlich von
xx + 2xy + yy = 25, dieſe xy = 6 vier mal genom-
men oder 4xy = 24, ſo erhaͤlt man xx - 2xy + yy
= 1 und hieraus die Quadrat-Wurzel x - y = 1, ſo wird,
weil x + y = 5 iſt, gefunden x = 3 und y = 2. Dahero die ge-
ſuchte Quadrat-Wurzel von 5 + 2 √6 ſeyn wird √3 + √2.

112.

Laßt uns dieſes allgemeine Binomium a + √b
betrachten und die Quadrat-Wurzel davon √x + √y
ſetzen, ſo erhalten wir dieſe Gleichung (x + y)
+ 2 √xy = a + √b, alſo x + y = a und 2 √xy = √b
II.Theil Goder
[98]Erſter Abſchnitt
oder 4xy = b: von jener iſt das Quadrat xx + 2xy
+ yy = aa wovon dieſe 4xy = b ſubtrahirt, giebt
xx - 2xy + yy = aa - b, und wovon die Quadrat-
Wurzel iſt x - y = √(aa - b). Da nun x + y = a,
ſo finden wir x = \frac{a + \sqrt{(aa - b)}}{2} und y = \frac{a - \sqrt{(aa - b)}}{2}
dahero die verlangte Quadrat-Wurzel aus a + √b
ſeyn wird: \sqrt{\frac{a + \sqrt{(aa - b)}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{(aa - b)}}{2}}.

113.

Dieſe Formel iſt allerdings verwirrter, als wann
man fuͤr das gegebene Binomium a + √b ſchlecht
weg das Wurzel-Zeichen √ geſetzt haͤtte, nemlich
√(a + √b). Allein jene Formel kann weit leich-
ter werden, wann die Zahlen a und b ſo beſchaffen
ſind, daß aa - b ein Quadrat wird, weil als dann
das √ hinter dem √ wegfaͤllt. Hieraus erkennt
man, daß man nur in ſolchen Faͤllen aus dem Binomio
a + √b die Quadrat-Wurzel bequem ausziehen koͤnne,
wann aa - b = cc, dann alsdenn wird die geſuchte Qua-
drat-Wurzel ſeyn √\frac{a + c}{2} + √\frac{a - c}{2}; wann aber aa - b
keine Quadrat-Zahl iſt, ſo laͤßt ſich die Quadrat-Wur-
zel nicht fuͤglicher anzeigen, als durch Vorſetzung des √
Zeichens.

114.

Dahero erhalten wir dieſe Regel um aus einem
Binomio a + √b die Quadrat-Wurzel auf eine
bequemere Art auszudruͤcken. Hierzu wird nemlich er-
fodert daß aa - b eine Quadrat-Zahl ſey: iſt nun
dieſelbe = cc, ſo wird die verlangte Quadrat-Wurzel
ſeyn √\frac{a + c}{2} + √\frac{a - c}{2}; wobey noch anzumercken, daß
von a - √b die Quadrat-Wurzel ſeyn werde √\frac{a + c}{2}
— √\frac{a - c}{2}. Dann nimmt man von dieſer Formel das
Quadrat, ſo wird ſolches a - 2 √\frac{aa - cc}{4}; da nun cc = aa
— b, ſo iſt aa - cc = b: dahero dieſes Quadrat =
a - 2 √\frac{b}{4} = a - \frac{2 \sqrt{b}}{2} = a - √b.

115.

Wann alſo aus einem ſolchen Binomio a ± √b
die Quadrat-Wurzel gezogen werden ſoll, ſo ſubtrahirt
man von dem Quadrat des rationalen Theils aa das
Quadrat des irrationalen Theils b: aus dem Reſt Zie-
he man die Quadrat-Wurzel, welche = c ſey, ſo iſt die
verlangte Quadrat-Wurzel √\frac{a + c}{2} ± √\frac{a - c}{2}.

116.

Man ſuche die Quadrat-Wurzel aus 2 + √3
ſo iſt a = 2 und b = 3; dahero aa - b = cc = 1 und
G 2allſo
[100]Erſter Abſchnitt
allſo c = 1: dahero die verlangte Quadrat-Wurzel iſt
√\frac{3}{2} + √½.

Es ſey ferner dieſes Binomium gegeben 11 + 6 √2, wo-
raus die Quadrat-Wurzel gefunden werden ſoll. Hier
iſt nun a = 11 und √b = 6 √2; dahero b = 36.2 = 72
und aa - b = 49 folglich c = 7. Dahero die Qua-
drat-Wurzel aus 11 + 6 √2 ſeyn wird √9 + √2
= 3 + √2.

Man ſuche die Quadrat-Wurzel aus 11 - 2 √30:
Hier iſt a = 11 und √b = 2 √30, dahero b = 4.30
= 120 und aa - b = 1 und c = 1: folglich die geſuchte
Quadrat-Wurzel √6 - √5.

117.

Dieſe Regel findet auch ſtatt, wann ſo gar ima-
ginaͤre, oder unmoͤgliche Zahlen, vorkommen.

Wann alſo gegeben iſt dieſes Binomium 1 + 4 √ - 3,
ſo iſt a = 1 und √b = 4 √ - 3; dahero b = - 48
und aa - b = 49. Dahero c = 7 folglich die geſuchte
Quadrat-Wurzel √4 + √ - 3 = 2 + √ - 3.

Es ſey ferner gegeben - ½ + ½ √ - 3. Hier iſt
a = - ½, √b = ½ √ - 3 und b = ¼. - 3 = - ¾ da-
hero
[101]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
hero aa - b = ¼ + ¾ = 1 und c = 1: folglich die ge-
ſuchte Quadrat-Wurzel √¼ + √ - ¾ = ½ + \frac{\sqrt{- 3}}{2}
oder ½ + ½ √ - 3.

Noch iſt merckwuͤrdig dieſes Exempel, wo aus
2 √ - 1 die Quadrat-Wurzel geſucht werden ſoll.

Weil hier kein rationaler Theil iſt, ſo iſt a = 0 und
√b = 2 √ - 1 dahero b = - 4 und aa - b = 4, alſo
c = 2, woraus die geſuchte Quadrat-Wurzel iſt √1 + √
— 1 = 1 + √ - 1 wovon das Quadrat iſt
1 + 2 √ - 1 - 1 = 2 √ - 1.

118.

Sollte auch eine ſolche Gleichung aufzuloͤſen vor-
fallen wie, xx = a ± √b und es waͤre aa - b = cc,
ſo wuͤrde man daraus dieſen Werth fuͤr x erhalten
x = √\frac{a + c}{2} ± √\frac{a - c}{2} welches in vielen Faͤllen Nutzen
haben kann.

Es ſey Z. E. xx = 17 + 12 √2, ſo wird x = 3
+ √8 = 3 + 2 √2.

119.

Dieſes findet inſonderheit ſtatt bey Aufloͤſung eini-
ger Gleichungen vom vierten Grad, als x4 = 2 a xx
G 3+ d
[102]Erſter Abſchnitt
+ d. Dann ſetzt man hier xx = y ſo wird x4 = yy,
dahero unſere Gleichung yy = 2 a y + d, woraus ge-
funden wird y = a ± √(aa + d): dahero fuͤr die
erſte Gleichung ſeyn wird xx = a ± √(aa + d),
woraus folglich noch die Quadrat-Wurzel gezogen
werden muß. Da nun hier √b = √(aa + d) alſo b =
aa + d, ſo wird aa - b = - d. Waͤre nun - d ein Qua-
drat nemlich cc oder d = - cc, ſo kann die Wurzel
angezeigt werden; es ſey demnach d = - cc, oder es
ſey dieſe Gleichung vom vierten Grad vorgegeben x4
= 2 axx - cc, ſo wird daraus der Werth von x alſo
ausgedruͤckt x = √\frac{a + c}{2} ± √\frac{a - c}{2}.

120.

Wir wollen dieſes durch einige Exempel erlaͤu-
tern;

I. Erſtlich ſuche man zwey Zahlen deren Product ſey
105, und wann man ihre Quadraten zuſammen addirt,
ſo ſey die Summe = 274?

Man ſetze dieſe Zahlen ſeyen x und y, ſo hat man
ſogleich dieſe zwey Gleichungen I.) xy = 105 und II.) xx
+ yy = 274.

Aus der erſten findet man y = \frac{105}{x} welcher Werth
in der andern vor y geſetzt, giebt xx + \frac{105^{2}}{xx} = 274.

Mit xx multiplicirt wird: xx + 1052 = 274 xx, oder
x4 = 274 xx - 1052.

Vergleicht man nun dieſe Gleichung mit der obi-
gen, ſo wird 2a = 274 und - cc = - 1052; dahero c = 105
und a = 137. Alſo finden wir:
x = √\frac{137 + 105}{2} ± √\frac{137 - 105}{2} = 11 ± 4:
folglich entweder x = 15, oder x = 7. Im erſtern Fall
wird y = 7, im letzteren aber y = 15. Dahero die bey-
den geſuchten Zahlen ſind 15 und 7.

121.

Es iſt hier aber gut zu bemercken, daß die Rechnung
weit leichter gemacht werden kann. Dann da xx + 2xy
+ yy, und auch xx - 2xy + yy ein Quadrat iſt,
wir aber wißen was ſo wohl xx + yy als x y iſt, ſo
doͤrfen wie nur das letztere doppelt genommen, ſo wohl
zu dem erſten addiren, als auch davon ſubtrahiren, wie
hier zu ſehen:
xx + yy = 274. Erſtlich 2xy = 210 addirt
xx + 2 xy + yy = 484 und x + y = 22
darnach 2xy ſubtrahirt giebt xx - 2xy + yy = 64
und x - y = 8.

Allſo 2x = 30 und 2y = 14, woraus erhellet daß x = 15
und y = 7. Auf dieſe Art kann auch dieſe allgemeine
Frage aufgeloͤßt werden.

II. Man ſuche zwey Zahlen, davon das Product
= m, und die Summ ihrer Quadraten = n?

Die [geſuchten] Zahlen ſeyen x und y, ſo hat man die
beyden folgenden Gleichungen I.) xy = m, II.)
xx + yy = n. Nun aber iſt 2xy = 2m, woraus erſtlich
2xy addirt wird xx + 2xy + yy = n + 2 m und
x + y = √(n + 2m)
hierauf 2xy ſubtrahirt giebt xx - 2xy + yy =
n - 2 m und x - y = √(n - 2m)
alſo x = ½ √(n + 2 m) + ½ √(n - 2 m) und
y = ½ √(n + 2m) - ½ √(n - 2m).

122.

III. Es ſey ferner dieſe Frage vorgelegt: man ſuche
zwey Zahlen, deren Product = 35 und die Differenz
ihrer Quadraten = 24?

Es ſey x die groͤßere, und y die kleinere, ſo hat
man dieſe beyde Gleichungen xy = 35 und xx - yy
= 24, da nun hier die vorigen Vortheile nicht ſtatt
finden, ſo verfahre man nach der gewoͤhnlichen Weiſe,
und
[105]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
und da giebt die erſte y = \frac{35}{x}, welcher Werth in der
andern fuͤr y geſetzt, giebt xx - \frac{1225}{xx} = 24, mit xx mul-
tiplicirt, ſo hat man x4 - 1225 = 24xx und x4 = 24xx
+ 1225. Weil hier das letzte Glied das Zeichen plus
hat, ſo kann die obige Gleichung nicht angewandt wer-
den, weil nehmlich cc = - 1225, und alſo c imaginaͤr
wuͤrde.

Man ſetze dahero xx = z, ſo hat man zz = 24z + 1225
woraus gefunden wird z = 12 ± √(144 + 1225) oder
z = 12 ± 37 dahero xx = 12 ± 37, das iſt entweder
xx = 49 oder xx = - 25.

Nach dem erſten Werth wird x = 7 und y = 5
Nach dem andern aber wird x = √ - 25 und y = \frac{35}{\sqrt{- 25}},
oder y = √\frac{1225}{- 25}, oder y = √ - 49.

123.

Zum Beſchluß dieſes Capitels wollen wir noch
dieſe Frage beyfuͤgen:

IV. Man ſuche zwey Zahlen, deren Summe, Pro-
duct, und die Differenz ihrer Quadraten einander
gleich ſeyen?

Die groͤßere Zahl ſey x, die kleinere y, ſo muͤßen die-
ſe drey Formeln einander gleich ſeyn: I.) Summe x + y,
II.) Product xy, III.) Differenz der Quadraten xx - yy.
Vergleicht man die erſte mit der zweyten, ſo hat man
x + y = xy und daraus ſuche man x. Man wird
allſo haben y = xy - x oder y = x (y - 1) und
daraus wird x = \frac{y}{y - 1}; dahero wird x + y = \frac{yy}{y - 1}
und xy = \frac{yy}{y - 1} und alſo iſt die Summe dem Pro-
duct ſchon gleich. Dieſem muß aber noch die Differenz
der Quadraten gleich ſeyn: es wird aber xx - yy
= \frac{yy}{yy - 2y + 1} - yy = \frac{y^{4} + 2y^{3}}{yy - 2y + 1} welches dem obigen
Werth \frac{yy}{y - 1} gleich ſeyn muß; dahero bekommt man
\frac{yy}{y - 1} = - y^{4} + 2y^{3}/(y - 1)^{4}; durch yy dividirt wird \frac{1}{y - 1} = \frac{- yy + 2y}{(y - 1)^{2}};
ferner mit y - 1 multiplicirt wird 1 = \frac{- yy}+ 2y/y - 1} noch-
mahls mit y - 1 multiplicirt giebt y - 1 = - yy + 2y: folglich
yy = y + 1. Hieraus findet man y = ½ ± √(¼ + 1) = ½
± √\frac{5}{2} oder y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}: und dahero erhalten wir
x = \frac{1 + \sqrt{5}}{ \sqrt{5} - 1}. Um hier die Irrationalitaͤt aus dem Nenner
wegzubringen, ſo multiplicirt man oben und unten mit
√5 + 1, ſo bekommt man x = \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{4} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}.

Antwort: Alſo die groͤßere der geſuchten Zahlen
x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, und die kleinere y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}. Ihre
Sum-
[107]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Summe iſt alſo x + y = 2 + √5, ferner das
Product xy = 2 + √5, und da xx = \frac{7 + 3 \sqrt{5}}{2}
und yy = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} ſo wird die Differenz der Quadra-
ten xx - yy = 2 + √5.

124.

Weil dieſe Aufloͤſung ziemlich muͤhſam war, ſo
kann dieſelbe leichter gefunden werden; man ſetze erſt-
lich die Summe x + y, der Differenz der Quadraten
xx - yy gleich, ſo hat man x + y = xx - yy. Hier
kann man durch x + y dividiren weil xx - yy =
(x + y) (x - y), und da erhaͤlt man 1 = x - y woraus
x = y + 1; dahero x + y = 2y + 1 und xx - yy
= 2y + 1; und dieſem muß noch gleich ſeyn das Pro-
duct xy = yy + y. Man hat alſo yy + y = 2y + 1,
oder yy = y + 1, woraus wie oben gefunden wird
y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}.

125.

V. Dieſes leitet uns noch auf folgende Frage. Zwey
Zahlen zu finden, deren Summe, Product und die Sum-
me ihrer Quadraten einander gleich ſeyn?

Die geſuchten Zahlen ſeyen x und y, ſo muͤßen
dieſe drey Formeln einander gleich ſeyn I.) x + y,
II.) xy, und III.) xx + yy.

Setzt man die erſte der zweyten gleich x + y = xy,
ſo findet man daraus x = \frac{y}{y - 1} und x + y = \frac{yy}{y - 1},
welchem auch xy gleich iſt. Hieraus aber wird xx + yy
= \frac{yy}{yy - 2y + 1} + yy, welches dem \frac{yy}{y - 1} gleich zu ſetzen:
Man multiplicire mit yy - 2y + 1 ſo bekommt man
y4 - 2 y3 + 2 yy = y3 - yy oder y4 = 3y3 - 3 yy,
und durch yy dividirt yy = 3 y - 3; dahero y = \frac{3}{2}
± √(\frac{9}{4} - 3), alſo y = \frac{3 + \sqrt{ - 3}}{2} dahero y - 1 = \frac{1 + \sqrt{- 3}}{2},
folglich x = \frac{3 + \sqrt{- 3}}{1 + \sqrt{- 3}}. Man multiplicire oben und
unten mit 1 - √ - 3, ſo wird x = \frac{6 - 2 \sqrt{- 3}}{4} oder
x = \frac{3 - \sqrt{- 3}}{2}.

Antwort: alſo ſind die beyden geſuchten Zahlen
x = \frac{3 - \sqrt{- 3}}{2} und y = \frac{3 + \sqrt{- 3}}{2}, ihre Summe iſt x + y
= 3, das Product xy = 3, und da endlich xx = \frac{3 - 3 \sqrt{- 3}}{2}
und yy = \frac{3 + 3 \sqrt{- 3}}{2}, ſo wird xx + yy = 3.

126.

Dieſe Rechnung kann durch einen beſondern
Vortheil nicht wenig erleichtert werden, welches noch
in andern Faͤllen ſtatt findet. Derſelbe beſtehet darin,
daß man die geſuchte Zahlen nicht durch einzelne Buch-
ſtaben, ſondern durch die Summe und Differenz zweyer
andern ausdruͤckt.

Alſo bey der vorigen Aufgabe ſetze man die eine
der geſuchten Zahlen gleich p + q und die andere
p - q, ſo wird die Summe derſelben ſeyn 2p, ihr Product
pp - qq und die Summe ihrer Quadraten 2pp + 2 qq
welche drey Stuͤck einander gleich ſeyn muͤßen. Man
ſetze das erſte gleich dem zweyten ſo wird 2p = pp - qq und
daraus qq = pp - 2p. Dieſen Werth ſetze man im drit-
ten fuͤr qq, ſo wird daſſelbe 4pp - 4p. Welches dem
erſten gleich geſetzt giebt 2p = 4pp - 4p. Man addire
4p ſo wird 6p = 4pp, durch p dividirt 6 = 4p und
alſo p = \frac{3}{2}.

Hieraus qq = - ¾ und q = \frac{\sqrt{- 3}}{2}; folglich ſind
unſere geſuchten Zahlen p + q = \frac{3 + \sqrt{- 3}}{2} und die
andere p - q = \frac{3 - \sqrt{- 3}}{2} welche wir auch vorher gefunden.

127.

Aus dem vorhergehenden hat man zur Gnuͤge erſe-
hen, daß die Quadratiſche Gleichungen auf eine
doppelte Art aufgeloͤſt werden koͤnnen, welche Eigen-
ſchaft allerdings verdienet in Erwegung gezogen zu
werden, weil dadurch die Natur der hoͤhern Glei-
chungen nicht wenig erlaͤutert wird. Wir wollen da-
hero genauer unterſuchen, woher es komme, daß eine
eine jede Quadratiſche Gleichung zweyerley Aufloͤſun-
gen zulaße, weil darinn ohnſtreitig eine ſehr weſent-
liche Eigenſchaft dieſer Gleichungen enthalten iſt.

128.

Man hat zwar ſchon geſehen, daß dieſe doppelte
Aufloͤſung daher ruͤhret, weil die Quadrat-Wurzel
aus einer jeglichen Zahl ſo wohl negativ als poſitiv
geſetzt werde koͤnne: allein dieſer Grund wuͤrde ſich
nicht
[111]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
nicht wohl auf hoͤhere Gleichungen anwenden laßen,
dahero wird es gut ſeyn den Grund davon noch auf
eine andere Art deutlich vor Augen zu legen. Es iſt
demnach noͤthig zu erklaͤren woher es komme daß eine
Quadratiſche Gleichung als z. E. xx = 12x - 35 auf
eine doppelte Art aufgeloͤſet werden, oder daß vor
x zweyerley Werthe angezeiget werden koͤnnen, wel-
che beyde der Gleichung ein Genuͤge leiſten, wie
in dieſem Exempel vor x ſo wohl 5 als 7 geſetzt wer-
den kann, indem in beyden Faͤllen xx und 12x - 35
einander gleich werden.

129.

Um den Grund hievon deutlicher darzulegen, ſo
iſt es dienlich alle Glieder der Gleichung auf eine
Seite zu bringen, ſo daß auf der andern 0 zu ſtehen
kommt. Dahero die obige Gleichung ſeyn wird xx - 12x
+ 35 = 0, wobey es darauf ankommt, daß eine ſolche Zahl
gefunden werde, welche wann ſie vor x geſetzt wird,
die Formel xx - 12 x + 35 wuͤrcklich in nichts ver-
wandelt werde; und hernach muß auch die Urſach
gezeigt werden warum ſolches auf zweyerley Art ge-
ſchehen koͤnne.

130

Hier kommt nun alles darauf an, daß man deutlich zei-
ge, daß eine ſolche Formel xx - 12x + 35 als ein Product
aus zwey Factoren angeſehen werden koͤnne, wie dann
dieſe Formel wuͤrcklich aus dieſen zwey Factoren beſteht
(x - 5).(x - 7). Wann dahero jene Formel ſoll 0 werden, ſo
muß auch dieſes Product (x - 5).(x - 7) = 0 ſeyn. Ein Pro-
ductaber, aus ſo viel Factoren daſſelbe auch immer beſte-
hen mag, wird allezeit 0, wann nur einer von ſeinen Fa-
ctoren 0 wird. Dann ſo groß auch das Product aus den
uͤbrigen Factoren ſeyn mag, wann daſſelbe noch mit 0
multiplicirt wird, ſo kommt immer 0 heraus, welcher
Grund-Satz fuͤr die hoͤhern Gleichungen wohl zu
bemercken iſt.

131.

Hieraus begreift man nun gantz deutlich, daß die-
ſes Product (x - 5).(x - 7) auf eine doppelte
Art 0 werden koͤnne: einmahl nemlich wann der erſte
Factor x - 5 = 0 wird, und hernach auch, wann der
andere Factor x - 7 = 0 wird. Das erſtere ge-
ſchiehet wann x = 5, das andere aber wann x = 7. Hier-
aus verſteht man alſo den wahren Grund, warum
eine ſolche Gleichung xx - 12x + 35 = 0, zweyerley
Auf-
[113]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Aufloͤſungen zulaͤßt, oder fuͤr x zwey Werthe gefun-
den werden koͤnnen, welche beyde der Gleichung
ein Genuͤgen leiſten.

Der Grund beſteht nemlich darinn, daß ſich die
Formel xx - 12x + 35 als ein Product aus Facto-
ren vorſtellen laͤßt.

132.

Eben dieſer Umſtand findet bey allen Quadrati-
ſchen Gleichungen ſtatt. Dann wann alle Glieder auf
eine Seite gebracht werden, ſo erhaͤlt man immer eine
ſolche Form xx - ax + b = o; und dieſe Formel kann
ebenfals als ein Product aus zwey Factoren angeſehen
werden, welche wir alſo vorſtellen wollen (x - p).(x - q)
ohne uns darum zu bekuͤmmern, was p und q vor
Zahlen ſeyn moͤgen. Da nun unſere Gleichung erfor-
dert, daß dieſes Product gleich 0 werde, ſo iſt offen-
bar, daß ſolches auf zweyerley Art geſchehen koͤnne:
erſtlich wann x = p, und zweytens wann x = q, wel-
ches die beyden Werthe fuͤr x ſind, die der Gleichung
ein Genuͤge leiſten.

133.

Laßt uns nun ſehen, wie dieſe zwey Factoren
beſchaffen ſeyn muͤßen, daß derſelben Product juſt un-
IITheil Hſere
[114]Erſter Abſchnitt
ſere Formel xx - ax + b hervorbringe: man multi-
plicire demnach dieſelben wuͤrcklich, ſo erhaͤlt man
xx - (p + q) x + pq welches, da es einerley ſeyn
ſoll mit xx - ax + b, ſo iſt klar daß ſeyn muß p + q
= a und pq = b, woraus wir dieſe herrliche Eigen-
ſchaft erkennen, daß von einer ſolchen Gleichung
xx - ax + b = o die beyden Werthe fuͤr x alſo be-
ſchaffen ſind, daß erſtlich ihre Summe gleich ſey der
Zahl a und ihr Product der Zahl b. Dahero ſo bald
man einen Werth erkennt, ſo iſt auch leicht der andere
zu finden.

134.

Dieſes war der Fall, wann beyde Werthe fuͤr x
Poſitiv ſind, da dann in der Gleichung das zweyte
Glied das Zeichen —, das dritte aber das Zeichen +
hat. Wir wollen dahero auch die Faͤlle erwegen, wo-
rinnen einer von den beyden Werthen fuͤr x, oder auch
alle beyde negativ werden. Jenes geſchiehet wann die
beyden Factoren der Gleichung alſo beſchaffen ſind:
(x - p) (x + q); woher dieſe zwey Werthe fuͤr x ent-
ſpringen, erſtlich x = p und zweytens x = - q. Die
Gleichung ſelbſt aber iſt alsdann xx + (q - p) x
— pq = o, wo das zweyte Glied das Zeichen +
hat
[115]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
hat wann nemlich q groͤßer iſt als p: waͤre aber q klei-
ner als p ſo haͤtte es das Zeichen —, das dritte Glied
aber iſt hier immer negativ.

Waͤren aber die bey den Factoren (x + p) (x + q)
ſo waͤren beyde Werthe fuͤr x negativ, nemlich x = - p
und x = - q und die Gleichung ſelbſt wuͤrde ſeyn
xx + (p + q) x + pq = o, wo ſo wohl das zweyte
als das dritte Glied das Zeichen + haben.

135.

Hieraus erkennen wir nun die Beſchaffenheit der
Wurzeln einer jeglichen Quadratiſchen Gleichung aus
dem Zeichen des zweyten und dritten Gliedes. Es ſey
die Gleichung xx … ax … b = o wann nun das
zweyte und dritte Glied das Zeichen + haben, ſo ſind
beyde Werthe negativ: iſt das zweyte Glied —, das
dritte aber + ſo ſind beyde Werthe poſitiv: iſt aber
das dritte Glied negativ, ſo iſt ein Werth poſitiv. Alle-
zeit aber enthaͤlt das zweyte Glied die Summe der
beyden Werthe, und das dritte ihr Product.

136.

Anjetzo iſt es gantz leicht ſolche Quadratiſche
Gleichungen zu machen, welche nach Belieben zwey
H 2gege-
[116]Erſter Abſchnitt
gegebene Werthe in ſich enthalten: man verlangt Z.
E. eine ſolche Gleichung, wo der eine Werth fuͤr x ſeyn
ſoll 7, der andere aber - 3. Man mache daraus die-
ſe einfache Gleichungen x = 7 und x = - 3; hier-
qus ferner dieſe x - 7 = 0 und x + 3 = 0, welches
die Factoren der verlangten Gleichung ſeyn werden:
alſo daß die Gleichung ſeyn wird xx - 4x - 21 = 0,
woraus auch nach der obigen Regel eben dieſe beyde
Werthe fuͤr x gefunden werden. Dann da xx = 4x
+ 21, ſo wird x = 2 ± √25, alſo x = 2 ± 5, alſo ent-
weder x = 7 oder x = - 3.

137.

Es kann auch geſchehen, daß beyde Werthe fuͤr
x einander gleich werden; man ſuche nemlich eine Glei-
chung wo beyde Werthe fuͤr x ſind x = 5; die beyde
Factoren werden alſo ſeyn (x - 5) (x - 5) und die
Gleichung iſt alſo beſchaffen xx - 10x + 25 = 0,
welche ſcheinet nur einen Werth zu haben, weil auf
eine doppelte Art wird x = 5, wie auch die gewoͤhn-
liche Aufloͤſung zeigt. Dann da xx = 10x - 25, ſo
wird x = 5 ± √0, oder x = 5 ± 0 und daher wird
x = 5 und x = 5.

138.

Inſonderheit iſt hier noch zu mercken, daß biswei-
len beyde Werthe fuͤr x imaginaͤr oder unmoͤglich wer-
den, in welchen Faͤllen es gantz und gar unmoͤglich
iſt, einen ſolchen Werth fuͤr x anzuzeigen welcher der
Gleichung ein Genuͤge leiſtet: wie z. E. geſchiehet, wann
die Zahl 10 in zwey ſolchen Theile zertheilt werden
ſoll, deren Product 30 ſey: dann es ſey ein Theil = x
ſo wird der andere ſeyn 10 - x und alſo ihr Product
10x - xx = 30, folglich xx = 10x - 30 und x = 3
± √ - 5, welches eine imaginaͤre oder unmoͤgliche Zahl
iſt und zu erkennen giebt, daß die Frage unmoͤglich ſey.

139.

Es iſt demnach ſehr wichtig ein Kennzeichen aus-
zufinden, woraus man ſogleich erkennen kann, ob eine
Quadratiſche Gleichung moͤglich ſey oder nicht. Es
ſey dahero dieſe allgemeine Gleichung gegeben:
xx - ax + b = o, ſo wird xx = ax - b und x = ½a
± √(¼aa - b); woraus erhellet, daß wann die Zahl
b groͤßer iſt als ¼aa, oder 4b groͤßer als aa, die beyden
Werthe unmoͤglich werden, weil man aus einer nega-
tiven Zahl die Quadrat-Wurzel ausziehen muͤßte. So
H 3lange
[118]Erſter Abſchnitt
lange aber hingegen b kleiner iſt als ¼aa, oder auch gar
kleiner als 0, das iſt negativ, ſo ſind die beyde Werthe
immer moͤglich. Dieſelben moͤgen inzwiſchen moͤg-
lich ſeyn oder unmoͤglich, ſo koͤnnen ſie doch nach die-
ſer Art allezeit ausgedruͤckt werden, und haben auch
immer dieſe Eigenſchaft, daß ihre Summe iſt = a und
ihr Product = b, wie in dieſem Exempel zu erſehen
xx - 6x + 10 = 0, wo die Summe der beyden Wer-
the fuͤr x ſeyn muß = 6 und das Product = 10. Man
findet aber dieſe beyden Werthe: I.) x = 3 + √ - 1
und II.) x = 3 - √ - 1, deren Summe = 6 und
ihr Product = 10 iſt.

140.

Man kann dieſes Kennzeichen auf eine allgemei-
nere Art ausdruͤcken, daß es auch auf ſolche Glei-
chungen angewant werden kann fxx + gx + h = o:
dann hieraus hat man xx = ∓ \frac{gx}{f} - \frac{h}{f} dahero x =
∓ \frac{g}{2f} ± √(\frac{gg}{4ff} - \frac{h}{f}), oder x = \frac{\mp g \pm \sqrt{(gg - 4 fh)}}{2 f}, wor-
aus erhellet, daß beyde Werthe imaginaͤr oder die
Gleichung unmoͤglich werde, wann 4 f h groͤßer iſt als
g2, oder wann in dieſer Gleichung fxx + gx + h = o
das vier fache Product aus dem erſten und letzten Glied
groͤßer iſt, als das Quadrat des zweyten Glieds. Dann
das
[119]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
das vierfache Product aus dem erſten und letzten Glied
iſt 4fhxx, das Quadrat aber des mittlern Glieds
iſt ggxx: wann nun 4fhxx groͤßer als ggxx, ſo iſt
auch 4fh groͤßer als gg und alſo die Gleichung un-
moͤglich; in allen uͤbrigen Faͤllen aber iſt die Glei-
chung moͤglich und die beyden Werthe fuͤr x koͤnnen
wuͤrcklich angegeben werden, wann dieſelben gleich
auch oͤfters irrational werden, in welchen Faͤllen man
immer naͤher zu ihrem wahren Werth gelangen kann,
wie oben bemercket worden; dahingegen bey ima-
ginaͤren Ausdruͤcken als √ - 5 auch keine Naͤherung
ſtatt findet, indem 100 davon eben ſo weit entfernt
iſt als 1 oder irgend eine andere Zahl.

141.

Hierbey iſt noch zu erinnern, daß eine jegliche
ſolche Formel vom zweyten Grad xx ± ax ± b noth-
wendig allezeit in zwey ſolche Factores (x ± p)
(x ± q) aufgeloͤſt werden kann. Dann wann man
drey ſolche Factoren nehmen wollte, ſo wuͤrde man zum
dritten Grad kommen, und nur einer allein wuͤrde
nicht zum zweyten Grad anſteigen. Dahero es eine aus-
gemachte Sache iſt, daß eine jede Gleichung vom zwey-
ten Grad nothwendig zwey Werthe fuͤr x in ſich ent-
H 4halte
[120]Erſter Abſchnitt
halte, und daß derſelben weder mehr, noch weniger,
ſeyn koͤnnen.

142.

Man hat ſchon geſehen, daß wann dieſe beyden
Factores gefunden worden, man daraus auch die
beyden Werthe fuͤr x anzeigen kann; indem ein jeder
Factor, wann er gleich o geſetzt wird, einen Werth fuͤr
x angiebt. Dieſes findet auch umgekehrt ſtatt, daß
ſo bald man einen Werth fuͤr x gefunden, daraus auch
ein Factor der Quadratiſchen Gleichung erkannt werde.
Dann wann x = p ein Werth fuͤr x in einer Quadra-
tiſchen Gleichung iſt, ſo iſt auch x - p ein Factor der-
ſelben: oder die Gleichung, wann alle Glieder auf ei-
ne Seite gebracht worden, laͤßt ſich durch x - p thei-
len, und der Quotient giebt den andern Factor.

143.

Um dieſes zu erlaͤutern ſo ſey dieſe Gleichung ge-
geben: xx + 4x - 21 = 0, von welcher wir wißen,
daß x = 3 ein Werth fuͤr x ſey, indem 3.3 + 4.3 - 21
= 0 iſt, und daher koͤnnen wir ſicher ſchließen, daß
x - 3 ein Factor dieſer Gleichung ſey, oder daß ſich
xx + 4x - 21 durch x - 3 theilen laße, wie aus die-
ſer Diviſion zu erſehen

x-3)xx+4x-21(x+7\\xx-3x \\\rule[5]{300}{.5}\\ 7x-21\\7x-21 \\\rule[5]{300}{.5}\\ 0
Alſo iſt der andere Factor x + 7 und unſere
Gleichung wird durch dieſes Product vorgeſtellt
(x - 3)(x + 7) = 0 woraus die beyden Werthe fuͤr
x ſogleich erhellen, da nemlich aus dem erſten Factor
x = 3 aus dem andern aber x = - 7 wird.

144.

Eine reine Cubiſche Gleichung wird genennt wann
der Cubus der unbekanten Zahl einer bekanten
Zahl gleich geſetzt wird, alſo daß darinn weder das
Quadratder unbekanten Zahl, noch dieſelbe ſelbſt vor-
kommt:

Eine ſolche Gleichung iſt x3 = 125, oder auf eine
allgemeine Art x3 = a, oder x3 = \frac{a}{b}.

145.

Wie nun aus einer ſolchen Gleichung der Werth
von x gefunden werden ſoll, iſt fuͤr ſich offenbahr, in-
dem man nur noͤthig hat beyderſeits die Cubic-Wur-
zel auszuziehen:

Alſo aus der Gleichung x3 = 125 findet man
x = 5, und aus der Gleichung x3 = a bekommt
man x = ∛ a; aus x3 = \frac{a}{b} aber hat man x = ∛ \frac{a}{b}
oder
[123]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
oder x = \frac{∛ a}{∛ b}. Wann man dahero nur gelernet hat die
Cubic-Wurzel aus einer gegebenen Zahl auszuziehen,
ſo kann man auch ſolche Gleichungen aufloͤſen.

146.

Solcher Geſtalt erhaͤlt man aber nur einen Werth
fuͤr x, da nun eine jegliche Quadratiſche Gleichung
zwey Werthe hat, ſo hat man Grund zu vermuthen,
daß eine Cubiſche Gleichung auch mehr als einen
Werth haben muͤße, dahero wird es der Muͤhe werth
ſeyn, dieſe Sache genauer zu unterſuchen, und im Fall
eine ſolche Gleichung mehr Werthe fuͤr x haben ſollte,
dieſelben auch ausfuͤndig zu machen.

147.

Wir wollen Z. E. dieſe Gleichung betrachten
x3 = 8, woraus alle Zahlen gefunden werden ſollen,
deren Cubus gleich 8 ſey, da nun eine ſolche Zahl
ohnſtreitig x = 2 iſt, ſo muß nach dem vorigen Capi-
tul die Formel x3 - 8 = 0 ſich nothwendig durch x - 2
theilen laßen: wir wollen alſo dieſe Theilung verrich-
ten wie folget.

x-2)x^{3}-8(xx+2x+4\\x^{3}-2xx \\\rule[5]{250}{.5}\\ 2xx-8\\2xx-4x \\\rule[5]{250}{.5}\\ 4x-8\\4x-8 \\\rule[5]{250}{.5}\\ 0
Alſo laͤßt ſich unſere Gleichung x3 - 8 = 0 durch dieſe
Factores vorſtellen (x - 2)(xx + 2x + 4) = 0.

148.

Da nun die Frage iſt was fuͤr eine Zahl fuͤr x
angenommen werden muͤße, daß x3 = 8 werde, oder
daß x3 - 8 = 0 werde, ſo iſt klar, daß dieſes geſchehe,
wann das gefundene Product gleich o werde: daſſelbe
wird aber o, nicht nur wann der erſte Factor x - 2 = 0
wird, woraus entſpringt x = 2, ſondern auch, wann
der andere Factor xx + 2x + 4 = 0 werde. Man
ſetze alſo xx + 2x + 4 = 0, ſohat man xx = - 2x
— 4 und dahero wird x = - 1 ± √ - 3.

149.

Außer dem Fall alſo x = 2 in welchem die Glei-
chung x3 = 8 erfuͤllet wird, haben wir noch zwey an-
dere
[125]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
dere Werthe fuͤr x, deren Cubi ebenfals 8 ſind, und
welche alſo beſchaffen ſind:

I.) x = - 1 + √ - 3 und II.) x = - 1 - √ - 3
welches außer Zweifel geſetzt wird, wann man die
Cubi davon nimmt, wie folget:

-1+\sqrt{-3}\\-1+\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 1-\sqrt{-3}\\-\sqrt{-3-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ -2-2\sqrt{-3}\; \mathfrak{Quadrat}\\-1+\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 2+2\sqrt{-3}\\-2\sqrt{-3+6} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 8 \quad \mathfrak{Cubus}-1-\sqrt{-3}\\-1-\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 1+\sqrt{-3}\\+\sqrt{-3-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ -2+2\sqrt{-3}\; \\-1-\sqrt{-3} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 2-2\sqrt{-3}\\+2\sqrt{-3+6} \\\rule[5]{120}{.5}\\ 8
Dieſe beyden Werthe ſind zwar imaginaͤr oder
unmoͤglich, verdienen aber nichts deſto weniger be-
mercket zu werden.

150.

Dieſes findet auch insgemein ſtatt fuͤr eine jeg-
liche dergleiche Cubiſche Gleichung x3 = a, wo
außer dem Werth x = ∛ a noch zwey andere ebenfals
ſtatt
[126]Erſter Abſchnitt
ſtatt finden. Man ſetze um der Kuͤrtze willen ∛ a = c alſo
daß a = c3 und unſere Gleichung dieſe Form bekomme,
x3 - c3 = 0, welche letztere ſich durch x - c theilen
laͤßt, wie aus dieſer Diviſion zu ſehen:
x-c)x^{3}-c^{3}(xx+cx+cc\\x^{3}-cxx \\\rule[5]{180}{.5}\\ cxx-c^{3}\\cxx-ccx \\\rule[5]{70}{.5}\\ ccx-c^{3}\\ccx-c^{3} \\\rule[5]{70}{.5}\\ 0
dahero wird unſere Gleichung durch dieſes Product
vorgeſtellt (x - c)(xx + cx + cc) = 0, welches
wuͤrcklich gleich o wird, nicht nur wann x - c = 0
oder x = c, ſondern auch wann xx + cx + cc = 0,
daraus aber wird xx = - cx - cc und dahero x = - \frac{c}{2}
± √ (\frac{cc}{4} - cc) oder x = \frac{- c \pm \sqrt{- 3 cc}}{2} das iſt
x = \frac{- c \pm c \sqrt{- 3}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2}. c, in welcher Formel
noch zwey Werthe fuͤr x enthalten ſind.

151.

Da nun c anſtatt ∛ a geſchrieben worden, ſo zie-
hen wir daher dieſen Schluß, daß von einer jeden
Cu-
[127]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Cubiſchen Gleichung von dieſer Form x3 = a drey-
erley Werthe fuͤr x gefunden werden koͤnnen, wel-
che alſo ausgedruͤckt werden:
I.) x = ∛ a, II.) x = \frac{- 1 + \sqrt{- 3}}{2}. ∛ a, III.) x = \frac{- 1 - \sqrt{- 3}}{2}. ∛ a
woraus erhellet, daß eine jegliche Cubic-Wurzel drey-
erley Werthe habe, wovon zwar nur der erſte moͤg-
lich, die beyden andern aber unmoͤglich ſind, wel-
ches deswegen hier wohl zu bemercken, weil wir ſchon
oben geſehen, daß eine jede Quadratiſche zweyerley
Werthe hat, und unten noch gezeigt werden wird, daß
eine jede Wurzel vom vierten Grad vier verſchiedene
Werthe, vom fuͤnften Grad fuͤnf dergleichen und ſo wei-
ter habe.

Bey gemeinen Rechnungen, wird zwar nur der
erſte von dieſen 3 Werthen gebraucht, weil die bey-
den andern unmoͤglich ſind, und daruͤber wollen wir
noch einige Exempel beyfuͤgen.

152.

I. Frage: Suche eine Zahl, daß derſelben Qua-
drat mit ihrem ¼ multiplicirt 432 hervorbringe?

Dieſe Zahl ſey x, ſo muß xx mit ¼ x multiplicirt
der Zahl 432 gleich werden: dahero wird ¼ x3 = 432
mit
[128]Erſter Abſchnitt
mit 4 multiplicirt wird x3 = 1728
und die Cubic-Wurzel ausgezogen, giebt x = 12.

Antwort: die geſuchte Zahl iſt 12 dann ihr Qua-
drat iſt 144 mit ihrem ¼ multiplicirt, das iſt 3, giebt 432.

153.

II. Frage: Suche eine Zahl, deren vierte Poteſtaͤt
durch ihre Haͤlfte dividirt und dazu 14¼ addirt, 100
werde?

Die Zahl ſey x, ſo iſt ihre vierte Poteſtaͤt x4,
welche durch ihre Haͤlfte ½ x dividirt, giebt 2x3, dazu
14¼ addirt ſoll 100 machen; alſo hat man 2x3 + 14¼
= 100, wo 14¼ ſubtrahirt giebt 2x3 = \frac{343}{4}, durch 2
dividirt, wird x3 = \frac{343}{8} und die Cubic-Wurzel ausgezogen
erhaͤltman x = \frac{7}{2}.

154.

III. Frage: Einige Hauptleute liegen zu Felde, je-
der hat unter ſich dreymal ſo viel Reuter, und 20 mal
ſo viel Fußgaͤnger als der Hauptleute ſind; und ein
Reuter bekommt Monaths-Sold gleich ſo viel Gulden,
ein Fußgaͤnger aber halb ſo viel Gulden als der
Hauptleute ſind, und betraͤgt der monathliche Sold
in allem 1300 Gulden. Wie viel ſind es Hauptleute
geweſen?

Es ſeyen x Hauptleute geweſen, ſo hat einer
unter ſich gehabt 3 x Reuter und 20 x Fußgaͤnger.
Alſo die Zahl aller Reuter war 3xx und der Fußgaͤn-
ger 20 xx. Da nun ein Reuter x Fl. bekommt, ein
Fußknecht aber ½ x Fl. ſo iſt der monathliche Sold
der Reuter 3x3 Fl. der Fußknechte aber 10x3 Fl. ins-
geſammt alſo bekommen ſie 13x3 Fl. ſo der Zahl 13000
gleich ſeyn muß: da alſo 13x3 = 13000 ſo wird x3 = 1000
und x = 10.

So viel ſind der Hauptleute geweſen.

155.

IV. Frage: Etliche Kaufleute machen eine Ge-
ſellſchaft, und legt jeder 100 mal ſo viel ein als ihrer ſind,
ſchicken damit einen Factoren nach Venedig, der ge-
winnt je mit 100 Fl. zweymal ſo viel Fl. als ihrer ſind,
kommt wieder zuruͤck, und der Gewinſt betraͤgt 2662
Fl. Iſt die Frage wie viel der Kaufleute ſind?

Es ſeyen x Kaufleute geweſen, ſo hat jeder ein-
gelegt 100x Fl. und das gantze Capital war 100xx
Fl. Da nun mit 100 Fl. 2x Fl. gewonnen worden, ſo
war der Gewinſt 2x3 ſo der Zahl 2662 gleich ſeyn
ſoll: alſo 2x3 = 2662, dahero x3 = 1331 und folg-
lich x = 11, ſo viel ſind es Kaufleute geweſen.

156.

V. Frage: Eine Baͤuerin vertauſcht Kaͤſe ge-
gen Huͤner, giebt je 2 Kaͤſe fuͤr 3 Huͤner: die Huͤ-
ner legen Eyer, jede ⅓ ſo viel als der Huͤner ſind, mit
denſelben geht ſie auf den Marckt, giebt je 9 Eyer
fuͤr ſo viel Pfennig als ein Huhn hat Eyer gelegt,
loͤſet 72 Pfennig: wie viel hat die Baͤurin Kaͤſe ver-
tauſcht?

Die Zahl der Kaͤſe ſey geweſen x, ſo ſind dieſel-
ben gegen \frac{3}{2}x Huͤner vertauſcht worden: da nun ein
Huhn ½ x Eyer legt, ſo iſt die Zahl aller Eyer ¾ xx.
Nun werden 9 Eyer verkauft fuͤr ½ x Pf. alſo wird in
allem geloͤſt \frac{1}{24}x3, ſo 72 gleich ſeyn muß: alſo daß
\frac{1}{24}x3 = 72 folglich x3 = 24.72 = 8.3.8.9 oder x = 8.8.
27 folglich x = 12, und ſo viel Kaͤſe hat die Baͤuerin
gehabt, welche gegen 18 Huͤner vertauſcht worden.

157.

Eine vollſtaͤndige Cubiſche Gleichung wird ge-
nennt, wann darinn außer dem Cubo der un-
bekanten Zahl, noch dieſe unbekante Zahl ſelbſt und
ihr Quadrat vorkommen, dahero die allgemeine
Form ſolcher Gleichungen iſt:

ax3 ± bx2 + cx + d = 0 wann nemlich alle Glie-
der auf eine Seite ſind gebracht worden. Wie nun
aus einer ſolchen Gleichung, die Werthe fuͤr x, wel-
che auch die Wurzeln der Gleichung genennt werden,
zu finden ſeyn, ſoll in dieſem Capitel gezeigt werden:
dann man kann hier ſchon zum voraus ſetzen, daß
eine ſolche Gleichung, immer drey Wurzeln habe, weil
dieſes ſchon im vorigen Capitel von den reinen Glei-
chungen dieſes Grads iſt gezeiget worden.

158.

Wir wollen fuͤr den Anfang dieſe Gleichung be-
trachten: x3 - 6 xx + 11 x - 6 = 0, und da eine
Quadratiſche Gleichung als ein Product aus zweyen
Factoren angeſehen werden kann, ſo kann man dieſe
Cubiſche Gleichung als ein Product aus drey Facto-
ren anſehen, welche in dieſem Fall ſind:
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 als welche mit einander mul-
tiplicirt die obige Gleichung hervorbringen. Dann
(x - 1).(x - 2) giebt xx - 3 x + 2, und dieſes
noch mit x - 3 multiplicirt giebt x3 - 6xx + 11x 6
welches die obige Form iſt, ſo = o ſeyn ſoll. Dieſes ge-
ſchiehet demnach, wann dieſes Product (x - 1)(x - 2)
(x - 3) nichts wird, welches eintrifft wann nur einer
von den drey Factoren = o wird, und alſo in drey Faͤllen
erſtlich wann x - 1 = 0, oder x = 1, zweytens wann
x - 2 = 0, oder x = 2, und drittens wann x - 3
= 0 oder x = 3.

Man ſieht auch ſo gleich daß wann fuͤr x eine jegliche
andere Zahl geſetzt wird, keiner von dieſen drey Facto-
ren o werde, und alſo auch nicht das Product. Da-
hero unſere Gleichung keine andern Wurzeln hat als
dieſe 3.

159.

Koͤnnte man in einem jeglichen andern Fall die
drey Factores einer ſolchen Gleichung anzeigen, ſo haͤtte
man ſo gleich die drey Wurzeln derſelben. Wir wollen
zu dieſem Ende drey ſolche Factores auf eine allgemeine
Art betrachten, welche ſeyn ſollen x - p, x - q, x - r:
man ſuche demnach ihr Product, und da der erſte
mit dem zweyten multiplicirt giebt xx - (p + q) x
+ pq, ſo giebt dieſes Product noch mit x - r mul-
tiplicirt folgende Formel x3 - (p + q + r) xx +
(pq + pr + qr) x - pqr. Soll nun dieſe Formel
gleich o ſeyn, ſo geſchieht dieſes in drey Faͤllen; erſtlich
wann x - p = 0 oder x = p, zweytens wann x - q
= 0 oder x = q und drittens wann x - r = 0 oder
x = r.

160.

Es ſey nun dieſe Gleichung folgender Geſtalt
ausgedruͤckt x3 - axx + bx - c = 0, und wann
die Wurzeln derſelben ſind I.) x = p, II.) x = q,
III.) x = r, ſo muß ſeyn erſtlich a = p + q + r,
und hernach zweytens b = pq + pr + qr und drit-
tens c = pqr, woraus wir ſehen, daß das zweyte
Glied die Summe der drey Wurzeln enthaͤlt, das dritte
Glied die Summe der Producte aus je zwey Wurzeln
J 3und
[134]Erſter Abſchnitt
und endlich das letzte Glied das Product aus allen
drey Wurzeln mit einander multiplicirt.

Dieſe letzte Eigenſchaft, verſchaft uns ſo gleich
dieſen wichtigen Vortheil, daß eine Cubiſche Gleichung
gewiß keine andere Rational-Wurzeln haben kann,
als ſolche, wodurch ſich das letzte Glied theilen laͤßt:
dann da daſſelbe das Product aller drey Wurzeln iſt, ſo
muß es ſich auch durch eine jede derſelben theilen la-
ßen. Man weis dahero ſo gleich, wann man eine
Wurzel nur errathen will, mit was fuͤr Zahlen man
die Probe anſtellen ſoll.

Dieſes zu erlaͤutern wollen wir dieſe Gleichung
betrachten x3 = x + 6, oder x3 - x - 6 = 0. Da nun
dieſelbe keine andere Rational-Wurzeln haben kann,
als ſolche, dadurch ſich das letzte Glied 6 theilen laͤßt,
ſo hat man nur noͤthig mit dieſen Zahlen die Probe
anzuſtellen 1, 2, 3, 6, welche Proben alſo zu ſte-
hen kommen:

• I.) wann x = 1 ſo kommt 1 - 1 - 6 = - 6.
• II.) wann x = 2 ſo kommt 8 - 2 - 6 = 0.
• III.) wann x = 3 ſo kommt 27 - 3 - 6 = 18.
• IV.) wann x = 6 ſo kommt 216 - 6 - 6 = 204.

Hieraus ſehen wir daß x = 2 eine Wurzel der
vorgegebenen Gleichung iſt, aus welcher es nun
leicht iſt, die beyden uͤbrigen zu finden. Dann da x = 2
eine Wurzel iſt: ſo iſt x - 2 ein Factor der Glei-
chung, man darf alſo nur den andern ſuchen, wel-
ches durch folgende Diviſion geſchiehet

x-2)x^{3}-x-6(xx+2x+3\\x^{3}-2xx \\\rule[5]{210}{.5}\\ 2xx-x-6\\2xx-4x \\\rule[5]{80}{.5}\\ 3x-6\\3x-6 \\\rule[5]{45}{.5}\\ 0
Da nun unſere Formel durch dieſes Product vorge-
ſtellet wird (x - 2)(xx + 2x + 3) ſo wird dieſel-
be o, nicht nur wann x - 2 = 0, ſondern auch
wann xx + 2x + 3 = 0. Hieraus aber bekommen
wir xx = - 2x - 3 und daher x = - 1 + √ - 2,
welches die beyden andern Wurzeln unſerer Glei-
chung ſind, die wie man ſieht unmoͤglich oder ima-
ginaͤr ſind.

161.

Dieſes findet aber nur ſtatt, wann das erſte
Glied der Gleichung x3 mit 1, die uͤbrigen aber mit gan-
zen Zahlen multiplicirt ſind. Wann aber darinn Bruͤ-
che vorkommen, ſo hat man ein Mittel die Gleichung
in eine andere zu verwandeln, welche von Bruͤchen
befreyt iſt, da dann die vorige Probe kann angeſtel-
let werden.

Dann es ſey dieſe Gleichung gegeben x3 - 3xx
+ \frac{11}{4}x - ¾ = 0; weil hier nun Viertel vorkommen,
ſo ſetze man x = \frac{y}{2}, da bekommt man \frac{y^{3}}{8} - \frac{3yy}{4} + \frac{11y}{8}
— ¾ = 0, welche mit 8 multiplicirt giebt y3 - 6yy + 11y
— 6 = 0, wovon die Wurzeln ſind wie wir oben ge-
ſehen y = 1, y = 2, y = 3, dahero iſt fuͤr unſere Glei-
chung I.) x = ½, II.) x = 1, III.) x = \frac{3}{2}.

162.

Wann nun das erſte Glied mit einer Zahl mul-
tiplicirt das letzte aber 1 iſt, als wie in dieſer Gleichung
6x3 - 11 xx + 6x - 1 = 0, woraus durch 6 divi-
dirt dieſe entſpringt x3 - \frac{11}{6}xx + x - ⅙ = 0 welche nach
obiger Regel von den Bruͤchen befreyet werden koͤnnte,
indem man ſetzt x = \frac{y}{6}; dann da erhaͤlt man \frac{y^{3}}{126} - \frac{11yy}{216}
+ \frac{y}{6}
[137]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
+ \frac{y}{6} - ⅙ = 0, und dieſe mit 216 multiplicirt wird
y3 - 11 yy + 36 y - 36 = 0. Hier wuͤrde es muͤh-
ſam ſeyn die Probe mit allen Theilern der Zahl 36 an-
zuſtellen: weil aber in unſerer erſtern Gleichung, das
letzte Glied 1 iſt, ſo ſetze man x = \frac{1}{z} ſo wird \frac{6}{z^{3}} - \frac{11}{z^{2}} + \frac{6}{z}
— 1 = 0 welche mit z3 multiplicirt giebt 6 - 11z
+ 6z2 - z3 = 0 und alle Glieder auf die andere Sei-
te gebracht z3 - 6 zz + 11z - 6 = 0, deren Wurzeln
ſind z = 1, z = 2, z = 3; dahero wir fuͤr unſere Glei-
chung erhalten x = 1, x = ½, x = ⅓.

163.

Aus dem obigen erkennt man, daß wann alle
Wurzeln poſitive Zahlen ſind, in der Gleichung die Zei-
chen plus und minus mit einander abwechſeln muͤſſen,
allſo daß die Gleichung eine ſolche Geſtalt bekommt:
x3 - axx + bx - c = 0, wo drey Abwechſelungen vor-
kommen, nemlich eben ſo viel als poſitive Wurzeln
vorhanden. Waͤren aber alle drey Wurzeln negativ ge-
weſen und man haͤtte dieſe drey Factores mit einander
multiplicirt x + p, x + q, x + r ſo wuͤrden alle
Glieder das Zeichen plus, und die Gleichung dieſe
Form bekommen haben x3 + axx + bx + c = 0,
J 5wo
[138]Erſter Abſchnitt
wo dreymal zwey gleiche Zeichen auf einander folgen,
das iſt, eben ſo viel als negative Wurzeln ſind.

Hieraus hat man nun den Schluß gezogen, daß
ſo oft die Zeichen abwechſeln, die Gleichung auch ſo
viel poſitive Wurzeln, ſo oft aber gleiche Zeichen auf
einander folgen, dieſelbe eben ſo viel negative Wur-
zeln habe, welche Anmerckung allhier von großer
Wichtigkeit iſt, damit man wiße ob man die Theiler
des letzten Glieds, damit man die Probe anſtellen
will, negativ oder poſitiv nehmen ſoll.

164.

Um dieſes mit einem Exempel zu erlaͤutern, ſo wol-
len wir dieſe Gleichung betrachten:

x3 + xx - 34x + 56 = 0, in welcher zwey Ab-
wechſelungen der Zeichen und nur eine Folge eben des-
ſelben Zeichens vorkommt, woraus wir ſchlieſſen daß
dieſe Gleichung zwey poſitive und eine negative Wurzel
habe, welche Theiler ſeyn muͤßen des letzten Glieds 56
und alſo unter dieſen Zahlen ± 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.
begriffen ſind.

Setzt man nun x = 2 ſo wird 8 + 4 - 68 + 56
= 0, woraus wir ſehen daß x = 2 eine Poſitive
Wurzel, und alſo x - 2 ein Theiler unſerer Gleichung
ſey
[139]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
ſey, woraus die beyden uͤbrigen Wurzeln leicht ge-
funden werden koͤnnen, wann man nur die Gleichung
durch x - 2 theilet wie folget

x-2)x^{3}+xx-34x+56(xx+3x-28\\x^{3}-2xx \\\rule[5]{270}{.5}\\ 3xx-34x+56\\3xx-6x \\\rule[5]{100}{.5}\\ -28x+56\\-28x+56 \\\rule[5]{75}{.5}\\ 0
Man ſetze alſo dieſen Quotienten xx + 3x - 28
= 0 ſo wird man daraus die beyden uͤbrigen Wur-
zeln finden, welche ſeyn werden x = - \frac{3}{2} ± \frac{11}{2}, dahero
die beyden uͤbrigen Wurzeln ſind x = 4 und x = - 7
wozu die obige x = 2 zu nehmen.

Woraus erhellet daß wuͤrcklich zwey poſitive und
nur eine negative Wurzel vorhanden: dieſes wollen
wir noch durch folgende Exempel erlaͤutern.

165.

I. Frage: Es ſind zwey Zahlen, ihre Differenz iſt
12, wann man ihr Product mit ihrer Summe multi-
plicirt, ſo kommen 14560, welche ſind dieſe Zahlen?

Die kleinere ſey x ſo iſt die groͤßere x + 12, ihr
Product iſt xx + 12x ſo mit ihrer Summe 2x + 12
multiplicirt giebt 2 x3 + 36 xx + 144 x = 14560
durch 2 dividirt wird x3 + 18 xx + 72x = 7280.

Weil nun das letzte Glied 7280 allzu groß iſt
als daß die Probe mit allen ſeinen Theilern koͤnnte
angeſtellet werden, daſſelbe aber durch 8 theilbar iſt,
ſo ſetze man x = 2y da dann kommt:
8y3 + 72 yy + 144 y = 7280 welche Gleichung
durch 8 dividirt wird y3 + 9yy + 18y = 910, und
jetzo darf man nur mit den Theilern der Zahl 910
probiren welche ſind 1, 2, 5, 7, 10, 13 etc. nun
aber ſind die erſten 1, 2, 5 offenbahr zu klein, nimmt
man aber y = 7 ſo bekommt man 343 + 441 + 126
juſt = 910; alſo iſt eine Wurzel y = 7, folglich x = 14,
will man noch die beyden uͤbrigen Wurzeln von y
wißen ſo dividire man y3 + 9yy + 18y - 910 durch
y - 7 wie folget:

y-7)y^{3}+9yy+18y-910(yy+16y-130\\y^{3}-7yy \\\rule[5]{290}{.5}\\ 16yy+18y-910\\16yy-112y \\\rule[5]{110}{.5}\\ 130y-910\\130y-910 \\\rule[5]{70}{.5}\\ 0
Setzt man nun dieſen Quotient yy + 16y + 130
= 0, ſo bekommt man yy = - 16y - 130 und da-
her y = - 8 ± √ - 66, alſo ſind die beyden an-
dern Wurzeln unmoͤglich.

Antwort: die beyden geſuchten Zahlen ſind dem-
nach 14 und 26, deren Product 364 mit ihrer Summe
40 multiplicirt giebt 14560.

166.

II. Frage: Suche zwey Zahlen deren Differenz 18,
wann man die Differenz ihrer Cuborum mit der
Summe der Zahlen multiplicirt, daß 275184 heraus
komme, welche ſind dieſe Zahlen?

Die kleinere Zahl ſey x, ſo iſt die groͤßere x + 18 der
Cubus der kleinern aber x3 und der Cubus der groͤßeren
= x3
[142]Erſter Abſchnitt
= x3 + 54xx - 972 x + 5832, alſo die Differenz derſel-
ben 54xx + 972x + 5832 = 54 (xx + 18x + 108) wel-
che mit der Summe der Zahlen 2x + 18 = 2 (x + 9)
multiplicirt werden ſoll: das Product iſt aber 108(x3
+ 27 xx + 270 x + 972) = 275184: man dividire
durch 108 ſo kommt x3 + 27 xx + 270 x + 972 = 2548
oder x3 + 27 xx + 270 x = 1576. Die Theiler der
Zahl 1576 ſind 1, 2, 4, 8 etc. wo 1 und 2 zu klein,
4 aber fuͤr x geſetzt dieſer Gleichung ein Genuͤge leiſtet,
wollte man die beyden uͤbrigen Wurzeln finden, ſo
muͤßte man die Gleichung durch x - 4 theilen wie
folget:

x-4)x^{3}+27xx+270x-1576(xx+31x-394\\x^{3}-4xx \\\rule[5]{310}{.5}\\ 31xx-270x\\31xx-124x \\\rule[5]{80}{.5}\\ 394x-1576\\394x-1576 \\\rule[5]{80}{.5}\\ 0
Aus dem Quotienten erhaͤlt man dahero xx = - 31x
— 394 und daraus wird x = - \frac{31}{2} ± √ (\frac{961}{4} - \frac{1576}{4})
welche beyde Wurzeln imaginaͤr oder unmoͤglich ſind.
Antwort: alſo ſind die geſuchten Zahlen 4 und 22.

167.

III. Frage: Suche zwey Zahlen deren Differenz 720;
ſo ich die Quadrat-Wurzel der groͤßern Zahl multi-
plicire mit der kleinern Zahl ſo kommt 20736. Wel-
che Zahlen ſind es?

Es ſey die kleinere = x ſo iſt die groͤßere x + 720
und ſoll ſeyn x √ (x + 720) = 20736 = 8.8.4.81.
Nun nehme man beyderſeits die Quadrate ſo wird
xx (x + 720) = x3 + 720 xx = 82.82.42.812
man ſetze x = 8y
ſo wird 83y3 + 720. 82y2 = 82.82.42.812
durch 83 dividirt wird y3 + 90 y2 = 8.42.812, es
ſey nun y = 2 z
ſo wird 8 z3 + 4.90 zz = 8.42.812
durch 8 dividirt wird z3 + 45 zz = 42. 812. Man
ſetze ferner z = 9 u
ſo wird 93u2 + 45.92 uu = 42.94
durch 93 dividirt wird u3 + 5 uu = 42. 9 oder uu (u + 5)
= 16.9 = 144. Hier ſieht man offenbahr, daß u = 4:
dann da wird uu = 16 und u + 5 = 9: da nun u = 4
ſo iſt z = 36, y = 72 und x = 576, welches die klei-
nere
[144]Erſter Abſchnitt
nere Zahl war, die groͤßere aber 1296, wovon die
Quadrat-Wurzel 36 welche mit der kleineren Zahl
576 multiplicirt giebt 20736.

168.

Anmerckung: Dieſe Frage kann bequemer fol-
gender Geſtalt aufgeloͤſet werden: weil die groͤßere
Zahl ein Quadrat ſeyn muß indem ſonſt ihre Wur-
zel mit der kleinern multiplicirt nicht die vorgegebene
Zahl hervorbringen koͤnnte: So ſey die groͤßere Zahl
xx, die kleinere alſo xx - 720 welche mit der Qua-
drat-Wurzel jener, das iſt mit x multiplicirt, giebt
x3 - 720 x = 20736 = 64. 27. 12 man ſetze x = 4y
ſo wird 64y3 - 720.4y = 64.27.12:
durch 64 dividirt wird y3 - 45y = 27.12: man ſetze
ferner y = 3z
ſo wird 27z3 - 135z = 27.12:
durch 27 dividirt wird z3 - 5z = 12 oder z3 - 5z - 12 = 0.
Die Theiler von 12 ſind 1, 2, 3, 4, 6, 12, davon
ſind 1 und 2 zu klein, ſetzt man aber z = 3 ſo kommt
27 - 15 - 12 = 0; dahero iſt z = 3, y = 9 und x = 36
dahero
[145]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
dahero iſt die groͤßere Zahl xx = 1296 und die klei-
nere xx - 720 = 576 wie oben.

169.

IV. Frage: Es ſind 2 Zahlen, deren Differenz
12 iſt. So man nun dieſe Differenz multiplicirt mit der
Summe ihrer Cuborum, ſo kommen 102144: welche
Zahlen ſind es?

Es ſey die kleinere x ſo iſt die groͤßere x + 12,
der Cubus der erſteren iſt x, der andern aber x3 + 36xx
+ 432x + 1728, die Summe derſelben mit 12 mul-
tiplicirt giebt 12 (2x3 + 36xx + 432x + 1728) = 102144;
durch 12 dividirt wird 2x3 + 36xx + 432x + 1728 = 8512,
durch 2 dividirt giebt x3 + 18xx + 216x + 864 = 4256
oder x3 + 18 xx + 216 x = 3392 = 8.8.53. Man
ſetze x = 2 y und dividire ſogleich durch 8 ſo wird
y3 + 9 yy + 54 y = 8.53 = 424.

Die Theiler des letzten Glieds ſind 1, 2, 4, 8, 53, etc.
wovon 1 und 2 zu klein ſind: ſetzt man aber y = 4 ſo
kommt 64 + 144 + 216 = 424. Alſo iſt y = 4 und
x = 8; dahero ſind die beyden Zahlen 8 und 20.

170.

V. Frage: Etliche machen eine Geſellſchaft, davon
jeder zehnmal ſo viel Fl. einlegt, als der Perſonen ſind,
IITheil Kge-
[146]Erſter Abſchnitt
gewinnen je mit 100 Fl. 6 Fl. mehr als ihrer ſind.
Nun findet ſich daß der Gewinſt zuſammen betrage
392 Fl. wie viel ſind der Geſellen geweſen?

Man ſetzte es ſeyen x Geſellen geweſen, ſo legt
einer 10 x Fl. ein, alle aber legen 10 xx Fl. ein und
gewinnen mit 100 Fl. 6 Fl. mehr als ihrer ſind; alſo mit
100 Fl. gewinnen ſie x + 6 Fl. und mit dem gantzen
Capital gewinnen ſie \frac{x^{3} + 6xx}{10} = 392
Mit 10 multiplicirt kommt x3 + 6 xx = 3920. Setzt
man nun x = 2 y
ſo erhaͤlt man 8 y3 + 24 yy = 3920
welches durch 8 dividirt giebt y3 + 3 yy = 490. Die
Theiler des letzten Glieds ſind 1, 2, 5, 7, 10, etc.
wovon 1, 2 und 5 zu klein ſind.

Setzt man aber y = 7 ſo kommt 343 + 147 = 490
alſo iſt y = 7 und x = 14
Antwort: Es ſind 14 Geſellen geweſen, und hat ein
jeder 140 Fl. eingelegt.

171.

VI. Frage: Einige Kaufleute haben zuſammen
ein Capital von 8240 Rthl. dazu legt ein jeder noch
40mal
[147]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
40 mal ſo viel Rthl. als der Geſellen ſind. Mit dieſer
gantzen Summe gewinnen ſie ſo viel Pr. C. als der
Geſellen ſind: hierauf theilen ſie den Gewinnſt und
da findet es ſich, daß nachdem ein jeder zehn mal ſo
viel Rthl. genommen hat als der Geſellen ſind, ſo
bleiben noch 224 Rthl. uͤbrig. Wie viel ſind es Ge-
ſellen geweſen?

Die Zahl der Geſellen ſey = x ſo legt ein jeder
noch 40x Rthl. zu dem Capital von 8240 Rthl. alle
zuſammen legen alſo dazu noch 40 xx Rthl. alſo
war die gantze Summe 40 xx + 8240 mit dieſer
gewinnen ſie von 100, x Rthl. dahero wird der gantze
Gewinnſt ſeyn:
\frac{40x^{3}}{100} + \frac{8240x}{100} = \frac{4}{10} x^{3} + \frac{824x}{10} = \frac{2}{5} x^{3} + \frac{412x}{5}. Hiervon
nimmt nun ein jeder 10x Rthl. und alſo alle zuſammen
10xx Rthl. und da bleiben noch 224 Rthl. uͤbrig, wor-
aus erhellet daß der Gewinnſt geweſen ſey:
10 xx + 224 woraus dieſe Gleichung entſieht
⅖ x3 + \frac{412x}{5} = 10 xx + 224 welche mit 5 multiplicirt
und durch 2 dividirt wird x3 + 206x = 25 xx + 560
oder x3 - 25xx + 206x - 560 = 0. Doch um zu
probiren wird die erſte Form bequemer ſeyn, da nun
die Theiler des letzten Glieds ſind:
K 21,
[148]Erſter Abſchnitt
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 14, 16, etc. welche
Poſitiv genommen werden muͤßen, weil in der letztern
Gleichung drey Abwechſelungen von Zeichen vorkom-
men, woraus man ſicher ſchließen kann, daß alle drey
Wurzeln poſitiv ſind. Probirt man nun mit x = 1 oder
x = 2 ſo iſt offenbahr, daß der erſte Theil viel kleiner
werde als der zweyte. Wir wollen alſo mit den fol-
genden probiren:
wann x = 4, ſo wird 64 + 824 = 400 + 560 trift
nicht zu.
wann x = 5, ſo wird 125 + 1030 = 625 + 560 trift
nicht zu.
wann x = 7, ſo wird 343 + 1442 = 1225 + 560 trift zu:
dahero iſt x = 7 eine Wurzel unſerer Gleichung. Um
die beyden andern zu finden, ſo theile man die letzte
Form durch x - 7 wie folget:
x-7)x^{3}+25xx+206x-560(xx-18x+80\\x^{3}-7xx \\\rule[5]{300}{.5}\\ -18xx+206x\\-18xx+126x \\\rule[5]{90}{.5}\\ 80x-560\\80x-560 \\\rule[5]{65}{.5}\\ 0

Man ſetze alſo den Quotienten gleich 0 ſo hat
man xx - 18 x + 80 = 0 oder xx = 18 x - 80 da-
hero x = 9 ± 1, alſo ſind die beyden andern Wurzeln
x = 8 und x = 10.

Antwort: auf dieſe Frage finden alſo drey Antwor-
ten ſtatt: nach der erſten war die Zahl der Kaufleute
7, nach der zweyten war dieſelbe 8, nach der dritten 10,
wie von allen die hier beygefuͤgte Probe anzeigt.

172.

Wann eine Cubiſche Gleichung auf gantze Zahlen
gebracht wird, wie oben gewieſen worden, und
kein Theiler des letzten Glieds eine Wurzel der Glei-
chung iſt, ſo iſt dieſes ein ſicheres Z[e]ichen, daß die
Gleichung keine Wurzel in gantzen Zahlen habe, in
Bruͤchen aber auch keine ſtatt finde, welches alſo
gezeiget wird:

Es ſey die Gleichung x3 - axx + bx - c = 0
wo a, b und c gantze Zahlen ſind, dann wollte man
Z. E. ſetzen x = \frac{3}{2} ſo kommt \frac{27}{8} - \frac{9}{4}a + \frac{3}{2}b - c, hier
hat nun das erſte Glied allein 8 zum Nenner. Die
uͤbrigen ſind nur durch 4 und 2 getheilt oder gantze
Zahlen, welche alſo mit dem erſten nicht koͤnnen 0
werden, und dieſes gilt auch von allen andern Bruͤ-
chen.

173.

Da nun in dieſen Faͤllen die Wurzel der Glei-
chung weder gantze Zahlen noch Bruͤche ſind, ſo ſind
dieſelben Irrational und auch ſo gar oͤfters imaginaͤr.
Wie nun dieſelben ausgedruͤckt werden ſollen, und
was darinn fuͤr Wurzel-Zeichen vorkommen, iſt eine
Sache von großer Wichtigkeit, wovon die Erfindung
ſchon vor einigen 100 Jahren dem Cardano oder viel
mehr dem Scipioni Ferreo zugeſchrieben worden,
welche deswegen verdient hier mit allem Fleiß erklaͤrt
zu werden.

174.

Man muß zu dieſem Ende die Natur eines Cubi,
deßen Wurzel ein Binomium iſt, genauer in Erwe-
gung ziehen:

Es ſey demnach die Wurzel a + b, ſo iſt der Cu-
bus davon a3 + 3 aab + 3 abb + b3 welche erſtlich
aus dem Cubo eines jeden Theils beſteht und außer
denſelben noch die zwey Mittel-Gliedet enthaͤlt, nem-
lich 3 aab + 3 abb, welche beyde 3 ab zum Factor ha-
ben, der andere Factor aber iſt a + b. Dann 3ab mit
a + b multiplicirt giebt 3 aab + 3 abb. Dieſe zwey
Glieder enthalten alſo das dreyfache Product der bey-
den Theile a und b mit ihrer Summe multiplicirt.

175.

Man ſetze nun es ſey x = a + b und nehme
beyderſeits die Cubi, ſo wird x3 = a3 + b3 +
3 ab (a + b). Da nun a + b = x iſt, ſo hat man dieſe
Cubiſche Gleichung x3 = a3 + b3 + 3 abx oder
x3 = 3 abx + a3 + b3 von welcher wir wißen, daß
eine Wurzel ſey x = a + b. So oft demnach eine ſol-
che Gleichung vorkommt ſo koͤnnen wir eine Wurzel
davon anzeigen.

Es ſey z. E. a = 2 und b = 3 ſo bekommt man
dieſe Gleichung x3 = 18 x + 35 von welcher wir ge-
wis wißen, daß x = 5 eine Wurzel iſt.

176.

Man ſetze nun ferner a3 = p und b3 = q, ſo wird
a = ∛ p und b = ∛ q, folglich ab = ∛ pq; wann da-
hero dieſe Cubiſche Gleichung vorkommt x3 = 3 x∛ pq
+ p + q ſo iſt eine Wurzel davon ∛ p + ∛ q.

Man kann aber p und q immer dergeſtalt be-
ſtimmen, daß ſo wohl 3 ∛ pq als p + q einer je-
den gegebenen Zahl gleich werde, wodurch man im
Stand
[153]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Stand geſetzt wird, eine jede Cubiſche Gleichung
von dieſer Art aufzuloͤſen.

177.

Es ſey dahero dieſe allgemeine Cubiſche Glei-
chung vorgegeben x3 = fx + g. Hier muß alſo f
verglichen werden mit 3 ∛ pq, und g mit p + q;
oder man muß p und q ſo beſtimmen, daß 3 ∛ pq der
Zahl f, und p + q der Zahl g gleich werde, und als-
dann wißen wir, daß eine Wurzel unſerer Gleichung
ſeyn werde x = ∛ p + ∛ q.

178.

Man hat alſo dieſe zwey Gleichungen aufzuloͤſen
I.) 3 ∛ pq = f und II.) p + q = g. Aus der erſten
hat man ∛ pq = \frac{f}{3} und pq = \frac{f^{3}}{27} = \frac{1}{27}f3 und 4pq
= \frac{4}{27}f3: die andere Gleichung quadrire man, ſo
kommt pp + 2 pq + qq = gg; davon ſubtrahire man
4 pq = \frac{4}{27}f3, ſo wird pp - 2 pq + qq = gg - \frac{4}{27}f3
woraus die Quadrat-Wurzel gezogen giebt p - q
= √ (gg - \frac{4}{27}f3). Da nun p + q = g, ſo wird 2p = g
K 5+ √
[154]Erſter Abſchnitt
+ \sqrt{(gg - \frac{4}{27}f^{3}}) und 2g = + \sqrt{(gg - \frac{4}{27}f^{3}})
dahero erhalten wir p = \frac{g + \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f3)}}{2} und
q = \frac{g - \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f^{3})}}{2}.

179.

Wann alſo eine ſolche Cubiſche Gleichung vor-
kommt x3 = fx + g, die Zahlen f und g moͤgen be-
ſchaffen ſeyn wie ſie wollen, ſo iſt eine Wurzel der-
ſelben allezeit x = \sqrt[3]{\frac{g + \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f^{3})}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{g - \sqrt{(gg - \frac{4}{27} f^{3})}}{2}}; woraus erhellet daß dieſe
Irrationalitaͤt nicht nur das Quadrat-Wurzel-Zei-
chen ſondern auch das Cubiſche in ſich faße: und
dieſe Formel iſt dasjenige was die Regel des Carda-
ni genennt zu werden pflegt.

180.

Wir wollen dieſelbe mit einigen Exempeln erlaͤu-
tern;

Es ſey x3 = 6 x + 9 ſo iſt hier f = 6 und g = 9,
allſo gg = 81, f3 = 216 und \frac{4}{27}f3 = 32: Dahero
gg
[155]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
gg - \frac{4}{27}f3 = 49 und √ (gg - \frac{4}{27}f3) = 7; dahero wird
von der vorgegebenen Gleichung eine Wurzel ſeyn
x = ∛ \frac{9 + 7}{2} + ∛ \frac{9 - 7}{2}, das iſt x = ∛ \frac{16}{2} + ∛ 1 = ∛ 8
+ ∛ 1 oder x = 2 + 1 = 3. Allſo iſt x = 3 eine
Wurzel der vorgegebenen Gleichung.

181.

Es ſey ferner gegeben dieſe Gleichung x3 = 3x
+ 2, ſo wird f = 3 und g = 2, allſo gg = 4, f3 = 27
und \frac{4}{27}f3 = 4; folglich die Quadrat-Wurzel aus
gg - \frac{4}{27}f3 = 0; dahero eine Wurzel ſeyn wird
x = ∛ \frac{2 + 0}{2} + ∛ \frac{2 - 0}{2} = 1 + 1 = 2.

182.

Wann aber gleich eine ſolche Gleichung eine ra-
tionale Wurzel hat, ſo geſchieht es doch oͤfters daß die-
ſelbe durch dieſe Regel nicht gefunden wird ob ſie
gleich darinnen ſteckt.

Es ſey gegeben dieſe Gleichung x3 = 6x + 40,
wo x = 4 eine Wurzel iſt. Hier iſt nun f = 6 und
g = 40 ferner gg = 1600 und \frac{4}{27}f3 = 32, alſo
gg - \frac{4}{27}f3 = 1568 und √ (gg - \frac{4}{27}f3) = √ 1568
= √ 4. 4. 49. 2 = 28 √ 2; folglich iſt eine Wurzel
x =
[156]Erſter Abſchnitt
x = ∛ \frac{40 + 28 \sqrt{ 2}}{2} + ∛ \frac{40 - 28 \sqrt{ 2}}{2} oder x =
∛ (20 + 14 √ 2) + ∛ (20 - 14 √ 2) welche Formel
wuͤrcklich 4 iſt, ohngeacht ſolches nicht ſogleich daraus
erhellet.

Dann da der Cubus von 2 + √ 2 iſt 20 + 14 √ 2,
ſo iſt umgekehrt die Cubic-Wurzel aus 20 + 14 √ 2 gleich
2 + √ 2, und eben ſo auch ∛ (20 - 14 √ 2) = 2 - √ 2,
hieraus wird unſere Wurzel x = 2 + √ 2 + 2
— √ 2 = 4.

183.

Man kann gegen dieſe Regel einwenden, daß
dieſelbe ſich nicht auf alle Cubiſche Gleichungen er-
ſtrecke, weil darinnen nicht das Quadrat von x vor-
kommt, oder weil darin das zweyte Glied fehlt. Es
iſt aber zu mercken, daß eine jede vollſtaͤndige Gleichung
allezeit in eine andere verwandelt werden kann, in
welcher das zweyte Glied fehlt, und worauf folg-
lich dieſe Regel angewandt werden kann. Um die-
ſes zu zeigen, ſo ſey dieſe vollſtaͤndige Cubiſche Glei-
chung vorgegeben, x3 - 6 xx + 11 x - 6 = 0. Da
nehme man nun den dritten Theil der Zahl6 im an-
dern
[157]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
dern Glied und ſetze x - 2 = y; ſo wird x = y + 2,
und die uͤbrige Rechnung wie folget:

da \>x = y + 2, xx = yy + 4y +4 und
x^{3}=y^{3}+6yy+12y+8, ſo iſt

\hrule \begin{matrix}x^{3}=y^{3}+6yy+12y+8\\-6xx=-6yy-24y-24\\+11x=+11y+22\\-6=-6 \end{matrix} \hrule x^{3}-6xx+11x-6=y^{3}-y.
Dahero erhalten wir dieſe Gleichung y3 - y = 0
deren Aufloͤſung ſo gleich in die Augen faͤllt: dann nach
den Factoren hat man y (yy - 1) = y (y + 1)
(y - 1) = 0; ſetzt man nun einen jeden Factor gleich
0 ſo bekommt man:
I. \begin{Bmatrix} y=0,\\x=2 \end{matrix} \quad II. \begin{Bmatrix} y=-1,\\x=1 \end{matrix} \quad III. \begin{Bmatrix} y=1,\\x=3 \end{matrix}
welches die drey ſchon oben gefundenen Wurzeln ſind.

184.

Es ſey nun dieſe allgemeine Cubiſche Gleichung
gegeben: x3 + axx + bx + c = 0 aus welcher
das zweyte Glied weggebracht werden ſoll.

Zu dieſem Ende ſetze man zu x den dritten Theil
der Zahl des zweyten Glieds mit ihrem Zeichen und
ſchreibe dafuͤr einen neuen Buchſtaben z. E. y, dieſer
Regel zufolge werden wir haben x + ⅓ a = y und
alſo x = y - ⅓ a woraus die folgende Rechnung ent-
ſteht:

x = y - ⅓ a, xx = yy - ⅔ ay + ⅑ aa ferner x3 = y3 - ayy
+ ⅓ aay - \frac{1}{27}a3; alſo
x^{3}=y^{3}-ayy+\frac{1}{3}aay-\frac{1}{27}a^{3}\\ axx=+ayy-\frac{2}{3}aay+\frac{1}{9}a^{3}\\ bx=+by-\frac{1}{3}ab\\ c=+c \\\rule[5]{250}{.5}\\ y^{3}-(\frac{1}{3}aa-b)y+\frac{2}{27}a^{3}-\frac{1}{3}ab+c=0.
in welcher Gleichung das zweyte Glied fehlt.

185.

Nun kann man auch des Cardani Regel leicht auf
dieſen Fall anwenden. Dann da wir oben die Glei-
chung hatten x3 = fx + g oder x3 - fx - g = 0, ſo wird
fuͤr unſern Fall f = ⅓ aa - b, und g = - \frac{2}{27}a3 + ⅓ab
+ c. Aus dieſen fuͤr die Buchſtaben f und g gefun-
denen Werthen erhalten wir wie oben:

y = \sqrt[3]{\frac{g + (gg - \frac{4}{27}f^{3})}{2}} + \sqrt[3]{\frac{g - (gg - \frac{4}{27}f^{3})}{2}}
und da ſolcher Geſtalt y gefunden worden, ſo werden
wir fuͤr die vorgegebene Gleichung haben x = y
— ⅓a.

186.

Mit Huͤlfe dieſer Veraͤnderung ſind wir nun im
Stande die Wurzeln von allen Cubiſchen Gleichungen
zu finden, welches wir durch folgendes Exempel zei-
gen wollen. Es ſey demnach die vorgegebene Glei-
chung folgende x3 - 6 xx + 13 x - 12 = 0. Um hier
das zweyte Glied wegzubringen, ſo ſetze man x - 2 = y,
ſo wird:

x = y + 2, xx = yy + 4 y + 4, ferner x3 = y3
+ 6 yy + 12 y + 8, alſo
x^{3}=y^{3}+6yy+12y+8 \\ -6xx=-6yy-24y-24\\ +13x=+13y+26\\ -12=-12 \\\rule[5]{170}{.5}\\ y^{3}+y-2=0
oder y3 = - y + 2, welche mit der Formel
x3 = fx + g verglichen giebt f = - 1, g = 2; alſo
gg = 4, und \frac{4}{27}f3 = - \frac{4}{27}.

Alſo gg - \frac{4}{27}f3 = 4 + \frac{4}{27} = \frac{112}{27}; dahero erhalten wir
√ (gg - \frac{4}{27}f3) = √ \frac{112}{27} = \frac{4 \sqrt{21}}{9} woraus folget
y=\sqrt[3]{\left(2+\frac{\frac{4\sqrt{21}}{9}}{2} \right )} + \sqrt[3]{\left(2-\frac{\frac{4\sqrt{21}}{9}}{2} \right )} oder
y = ∛ (1 + \frac{2 \sqrt{21}}{9}) + ∛ (1 - \frac{2 \sqrt{21}}{9}), oder y = ∛ (\frac{9 + 2 \sqrt{21}}{9})
+ ∛ (\frac{9 - 2 \sqrt{21}}{9}), oder y = ∛ (\frac{27 + 6 \sqrt{21}}{27})
+ ∛ (\frac{27 - 6 \sqrt{21}}{27}), oder y = ⅓ ∛ (27 + 6 √ 21) + ⅓
∛ (27 - 6 √ 21); und hernach bekommt man x = y
+ 2.

187.

Bey Aufloͤſung dieſes Exempels ſind wir auf
eine doppelte Irrationalitaͤt gerathen, gleich wohl
muß man daraus nicht ſchließen, daß die Wurzel
ſchlechter Dinges Irrational ſey, indem es ſich gluͤckli-
cher Weiſe fuͤgen koͤnnte, daß die Binomie 27 ± 6 √ 21
wuͤrckliche Cubi waͤren. Dieſes trift auch hier zu,
dann da der Cubus von \frac{3 + \sqrt{21}}{2} dem \frac{216 + 48 \sqrt{21}}{8}
= 27 + 6 √ 21 gleich iſt, ſo iſt die Cubic-Wurzel
aus 27 + 6 √ 21 gleich \frac{3 + \sqrt{21}}{2} und die Cubic-
Wurzel aus 27 - 6 √ 21 gleich \frac{3 - \sqrt{21}}{2}. Hieraus alſo
wird
[161]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
wird der obige Werth fuͤr y ſeyn y = ⅓ (\frac{3 + \sqrt{21}}{2})
+ ⅓ (\frac{3 - \sqrt{21}}{2}) = ½ + ½ = 1. Da nun y = 1 ſo bekom-
men wir x = 3, welches eine Wurzel iſt der vorgege-
benen Gleichung. Wollte man die beyden andern
auch finden ſo muͤßte man die Gleichung durch x - 3
dividiren, wie folget
x-3)x^{3}+6xx+13x-12(xx-3x+4\\x^{3}-3xx \\\rule[5]{270}{.5}\\ -3xx+13x\\-3xx+9x \\\rule[5]{80}{.5}\\ +4x-12\\+4x-12 \\\rule[5]{70}{.5}\\ 0
und dieſen Quotienten xx - 3 x + 4 = 0 ſetzen, alſo
daß xx = 3 x - 4 und x = \frac{3}{2} ± √ (\frac{9}{4} - \frac{16}{4}) = \frac{3}{2}
± √ - \frac{7}{4}, das iſt x = \frac{3 \pm \sqrt{- 7}}{2}. Dieſes ſind nun die
beyden andern Wurzeln welche beyde imaginaͤr
ſind.

188.

Es war aber hier ein bloßes Gluͤck, daß man aus
den gefundenen Binomien wuͤrcklich die Cubic-Wur-
zel ausziehen konnte, welches ſich auch nur in denen
II.Theil LFaͤllen
[162]Erſter Abſchnitt
Faͤllen ereignet, wo die Gleichung eine Rational-
Wurzel hat, die dahero weit leichter nach den Re-
geln des vorigen Capitels haͤtte gefunden koͤnnen:
wann aber keine Rational-Wurzel ſtatt findet, ſo kann
dieſelbe auch nicht anders als auf dieſe Art nach des
Cardani Regel ausgedruckt werden, ſo daß als-
dann keine weitere Abkuͤrtzung Platz findet, wie Z. E.
in dieſer Gleichung geſchiehet x3 = 6 x + 4, wo f = 6
und g = 4. Dahero gefunden wird x = ∛ (2 + 2 √ - 1)
+ ∛ (2 - 2 √ - 1) welche ſich nicht anders aus-
druͤcken laͤßt.

189.

Wann die hoͤchſte Poteſtaͤt der Zahl x zum vierten
Grad hinauf ſteiget, ſo werden ſolche Glei-
chungen vom vierten Grad auch Biquadratiſche ge-
nennt, wovon alſo die allgemeine Form ſeyn wird:
x4 + ax3 + bxx + cx + d = 0, von dieſen kom-
men nun zu allererſt zu betrachten vor die ſo genan-
ten reinen Biquadratiſchen Gleichungen, deren Form
iſt x4 = f woraus man ſo gleich die Wurzel findet
wann man beyderſeits die Wurzel vom vierten Grad
auszieht, da man dann erhaͤlt x = ∜ f.

190.

Da x4 das Quadrat iſt von xx ſo wird die Rech-
nung nicht wenig erlaͤutert, wann man erſtlich nur die
Quadrat-Wurzel ausziehet, da man dann bekommt
L 2xx =
[164]Erſter Abſchnitt
xx = √ f: hernach zieht man nochmahls die Qua-
drat-Wurzel aus, ſo bekommt man x = √ √ f, alſo
daß ∜ f nichts anders iſt, als die Quadrat-Wurzel
aus der Quadrat-Wurzel von f.

Haͤtte man z. E. dieſe Gleichung x4 = 2401 ſo
findet man daraus erſtlich xx = 49 und ferner x = 7.

191.

Solcher geſtalt aber findet man nur eine Wur-
zel, und da immer drey Cubiſche Wurzeln ſtatt finden,
ſo iſt kein zweifel, daß hier nicht vier Wurzel ſolten
Platz haben, welche inzwiſchen auch auf dieſe
Art herausgebracht werden koͤnnen. Dann da aus
dem letzten Exempel nicht nur folget xx = 49 ſondern
auch xx = - 49, ſo erhalten wir aus jenem dieſe zwey
Wurzeln x = 7, x = - 7 aus dieſem aber bekom-
men wir ebenfalls: x = √ - 49 = 7 √ - 1 und
x = - √ - 49 = - 7 √ - 1 welches die vier Biqua-
dratiſche Wurzeln ſind aus 2401. Und ſo verhaͤlt es
ſich auch mit allen andern Zahlen.

192.

Nach dieſen reinen Gleichungen folgen der Ord-
nung nach diejenigen, in welchen das zweyte und
vierte Glied fehlt, oder die dieſe Form haben:

x4 + fxx + g = 0, als welche nach der Regel der
Quadratiſchen Gleichungen aufgeloͤßt werden koͤn-
nen. Dann ſetzt man xx = y ſo hat man yy + fy
+ g = 0, oder yy = - fy - g woraus gefunden
wird: y = \frac{1}{2}f \pm\sqrt{(\frac{1}{4}ff - g)} = \frac{-f \pm\sqrt{(ff - 4 g)}}{2}.
Da nun xx = y, ſo wird daraus x = \pm \sqrt{\frac{- f^{2}\pm(ff - 4 g)}{2}}
wo die zweydeutigen Zeichen ± alle vier Wurzeln
angeben.

193.

Kommen aber alle Glieder in der Gleichung vor,
ſo kann man dieſelbe immer als ein Product aus vier
Factoren anſehen. Dann multiplicirt man dieſe vier
Factores mit einander (x - p) (x - q) (x - r) (x - s)
ſo findet man folgendes Product x4 - (p + q + r + s)x3
+ (pq + pr + ps + qr + qs + rs) xx —
(pqr + pqs + prs + qrs) x + pqrs, welche Formel
nicht anders gleich 0 werden kann, als wann einer von
obigen vier Factoren = 0 iſt. Dieſes kann demnach auf
viererley Art geſchehen, I.) wann x = p, II.) x = q,
III.) x = r, IV.) x = s, welches demnach die vier
Wurzel dieſer Gleichung ſind.

194.

Betrachten wir dieſe Form etwas genauer, ſo
finden wir, daß in dem zweyten Glied die Summe
L 3aller
[166]Erſter Abſchnitt
aller vier Wurzeln vorkommt, welche mit - x3 multi-
plicirt iſt, im dritten Glied findet ſich die Summe der
Producte aus je zwey Wurzeln mit einander multipli-
cirt, welches mit xx multiplicirt iſt, im vierten Glied ſieht
man die Summe der Producte aus je drey Wurzeln mit
einander multiplicirt, welches mit - x, multiplicirt iſt,
und endlich das fuͤnfte und letzte Glied enthaͤlt das Pro-
duct aus allen vier Wurzeln mit einander multiplicirt.

195.

Da das letzte Glied das Product aus allen Wur-
zeln enthaͤlt, ſo kann eine ſolche Biquadratiſche Glei-
chung keine andere Rational-Wurzel haben, als
welche zugleich Theiler des letzten Glieds ſind, da-
hero man aus dieſem Grund alle Rational-Wurzeln,
wann dergleichen vorhanden, leicht finden kann, wann
man fuͤr x nach und nach einen jeden Theiler des letzten
Glieds ſetzt und zuſieht, mit welchem der Gleichung
ein Genuͤge geſchehe, hat man aber auch nur eine ſolche
Wurzel gefunden, z. E. x = p, ſo darf man nur die Glei-
chung, nachdem alle Glieder auf eine Seite gebracht
worden, durch x - p dividiren und den Quotienten
gleich 0 ſetzen, welche eine Cubiſche Gleichung geben
wird, die nach den obigen Regeln weiter aufgeloͤßt
werden kann.

196.

Hierzu aber wird nun unumgaͤnglich erfordert, daß
alle Glieder aus gantzen Zahlen beſtehen, und daß
das erſte blos da ſtehe, oder nur mit 1 multiplicirt ſey:
kommen demnach in einigen Gliedern Bruͤche vor, ſo
muͤßen dieſelben vorher weggeſchaft werden, welches
jederzeit geſchehen kann, wann man fuͤr x ſchreibt y
getheilt durch eine Zahl, welche die Nenner der Bruͤ-
che in ſich ſchließt:

Als wann dieſe Gleichung vork[aͤm]e x4 - ½ x3 + ⅓ xx
+ ¾ x + \frac{1}{18} = 0, ſo ſetze man weil in den Nennern 2
und 3 nebſt ihren Poteſtaͤten vorkommen
x = \frac{y}{6}, ſo wird \frac{y^{4}}{6^{4}} - \frac{\frac{1}{2}y^{3}}{6^{3}} + \frac{\frac{1}{3}yy}{6^{2}} - \frac{\frac{3}{4}y}{6} + \frac{1}{18} = 0, wel-
che mit 64 multiplicirt giebt y4 - 3 y3 + 12 yy - 162 y
+ 72 = 0. Wollte man nun ſuchen ob dieſe Glei-
chung Rational-Wurzeln habe, ſo muͤßte man fuͤr y
nach und nach die Theiler der Zahl 72 ſchreiben um zu
ſehen, in welchen Faͤllen die Formel wuͤrcklich 0 wer-
de.

197.

Da aber die Wurzeln ſo wohl negativ als poſi-
tiv ſeyn koͤnnen, ſo muͤßte man mit einem jeden Thei-
L 4ler
[168]Erſter Abſchnitt
ler zwey Proben anſtellen, die erſte indem derſelbe po-
ſitiv, die andere indem derſelbe negativ genommen
wuͤrde: man hat aber auch hier wiederum zu bemer-
cken, daß ſo oft die zwey Zeichen + und - mit einan-
der abwechſeln, die Gleichung eben ſo viel poſitive
Wurzeln habe; ſo oft aber einerley Zeichen auf einan-
der folgen, eben ſo viel negative Wurzeln vorhanden
ſeyn muͤßen. Da nun in unſerm Exempel 4 Abwechſe-
lungen vorkommen, und keine Folge, ſo ſind alle
Wurzeln poſitiv, und alſo hat man nicht noͤthig einen
Theiler des letzten Glieds negativ zu nehmen.

198.

Es ſey z. E. dieſe Gleichung vorgegeben x4 + 2 x3
— 7 xx - 8 x + 12 = 0. Hier kommen nun zwey Ab-
wechſelungen der Zeichen, und auch zwey Folgen vor,
woraus man ſicher ſchließen kann, daß dieſe Gleichung
zwey poſitive und auch zwey negative Wurzeln haben
muͤße, welche alle Theiler der Zahl 12 ſeyn muͤßen. Da
nun dieſe Theiler ſind 1, 2, 3, 4, 6, 12, ſo pro-
bire man erſtlich mit x = + 1 ſo kommt wuͤrcklich 0 her-
aus, alſo iſt eine Wurzel x = 1. Setzt man ferner
x = - 1 ſo kommt folgendes + 1 - 2 - 7 + 8 + 12
= 21 - 9 = 12 und dahero giebt x = - 1 keine Wurzel.
Man
[169]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
Man ſetze ferner x = 2 ſo wird unſere Formel wie-
der = 0, und alſo x = 2 eine Wurzel; hinge-
gen x = - 2 geht nicht an. Setzt man weiter x = 3
ſo kommt 81 + 54 - 63 - 24 + 12 = 60 geht alſo
auch nicht an: man ſetze aber x = - 3 ſo kommt 81 - 54
— 63 + 24 + 12 = 0, folglich iſt x, - 3 eine Wurzel;
eben ſo findet man auch, daß x = - 4 eine Wurzel
ſeyn werde, alſo daß alle vier Wurzel Rational ſind
und ſich alſo verhalten, I.) x = 1, II.) x = 2,
III.) x = - 3, IV.) x = - 4, von welchen zwey po-
ſitiv und zwey negativ ſind, wie die obige Regel anzeigt.

199.

Wann aber keine Wurzel Rational iſt, ſo laͤßt ſich
auch durch dieſen Weg keine finden: dahero man auf ſol-
che Mittel bedacht geweſen, um in dieſen Faͤllen die Ir-
rational-Wurzeln ausdruͤcken zu koͤnnen. Hierin iſt
man auch ſo gluͤcklich geweſen, daß man zweyerley
verſchiedene Wege entdeckt habe, um zur Erkentniß ſol-
cher Wurzeln zu gelangen, die Biquadratiſche Glei-
chung mag auch beſchaffen ſeyn wie ſie wolle.

Ehe wir aber dieſe allgemeine Wege eroͤrtern,
ſo wird es dienlich ſeyn einige beſondere Faͤlle aufzu-
loͤſen, welche oͤfters mit Nutzen angebracht werden
koͤnnen.

200.

Wann die Gleichung ſo beſchaffen iſt, daß die
Zahlen in den Gliedern ruͤckwaͤrts eben ſo fortgehen
als vorwaͤrts, wie in dieſer Gleichung geſchiehet:
x4 + mx3 + nxx + mx + 1 = 0, welche noch et-
was allgemeiner alſo vorgeſtellt werden kann:
x4 + max3 + naaxx + ma3x + a4 = 0 So kann eine
ſolche Form allezeit als ein Product zweyer Factoren,
welche Quadratiſche Formeln ſind, angeſehen werden
und die ſich leicht beſtimmen laßen: dann man ſetze fuͤr
dieſe Gleichung folgendes Product (xx + pax + aa)
(xx + qax + aa) = 0, we p und q geſucht werden muͤſſen,
daß die obige Gleichung herauskomme. Es wird
aber durch die wuͤrckliche Multiplication gefunden
x4 + (p + q) a x3 + (pq + 2) aa xx + (p + q) a3 x
+ a4 = 0; damit alſo dieſe Gleichung mit der vor-
gegebenen einerley ſey, ſo werden folgende zwey Stuͤcke
erfordert I.) daß p + q = m, und II.) daß pq + 2 = n,
folglich pq = n - 2.

Die erſtere quadrirt giebt pp + 2 pq + qq = mm,
davon die andere viermal genommen, nemlich
4 pq = 4 n - 8, ſubtrahirt bleibt uͤber pp - 2 pq + qq
= mm - 4 n + 8: davon die Quadrat-Wurzel iſt:
p - q = √ (mm - 4 n + 8). Da nun p + q = m
ſo
[171]Von den Algebraiſchen Gleichungen.
ſo erhalten wir durch die Addition 2 p = m + \sqrt{(mm - 4 n + 8)} oder p = \frac{m + \sqrt{(mm - 4 n + 8)}}{2}; durch die
Subtraction aber bekommen wir 2 q = m - √ (mm - 4 n
+ 8) oder q = \frac{m - \sqrt{(mm - 4 n + 8)}}{2}. Hat man nun p und
q gefunden, ſo darf man nur einen jeden der Factoren
= 0 ſetzen, um daraus die Werthe von x zu finden:
der erſte giebt xx + pax + aa = 0 oder xx = - pax
— aa, woraus man findet x = - \frac{pa}{2} ± √ (\frac{ppaa}{4} - aa)
oder x = - \frac{pa}{2}± a √ (\frac{pp}{4} - 1) oder x = - \frac{pa}{2} ±
½ a √ (pp - 4); der andere Factor giebt aber
x = - \frac{qa}{2} ± ½ a √ (qq - 4) und alſo hat man die vier
Wurzeln der vorgegebenen Gleichung.