§. 1.

I.Da man ſich in der Mathematik bloß
mit Vergleichungen von Groͤſſen beſchaͤftiget, ſo
nennt man jede Groͤſſe A in Beziehung auf eine
andere gleichartige aendlich, wenn ſich der
Werth von A in Vergleichung von a immer
durch eine Zahl angeben laͤßt, dieſe Zahl mag nun
eine ganze Zahl, ein Bruch oder auch eine Irra-
tionalzahl ſeyn, in welchem letztern Falle man ſich
denn von der zur Vergleichung angenommenen
Groͤſſe a ſelbſt wieder Theile gedenken muß, un-
bekuͤmmert ob durch einen ſolchen Theil = α
die Groͤſſe A voͤllig genau gemeſſen, oder wie mei-
ſtens der Fall iſt, nur durch eine Naͤherung aus-
gedruͤckt werden kann.

II. In dem letztern Falle nennt man die
Groͤſſe A endlich, wenn ſich zwey naͤchſt auf ein-
ander folgende vielfache von α angeben laſſen,
zwiſchen denen die Groͤſſe A enthalten iſt, d. h.
wenn man zeigen kann, daß A \> mα aber
\< (m + 1) α iſt, was auch m fuͤr eine ganze
Zahl iſt, wenn ſie nur angegeben, hingeſetzt, oder
als beſtimmt gedacht werden kann.

III. Je groͤßer die Zahl m iſt, deſto groͤ-
ßer iſt A in Vergleichung mit α. Aber jede fuͤr
m hingeſchriebene Zahl, aus ſo viel Ziffern ſie
auch beſtehen mag, iſt endlich, d. h. man kann
ſich eine Zahl gedenken, welche noch groͤſſer als
dieſe ſeyn wuͤrde.

IV. So wie man in der Geometrie keine
Graͤnze kennt, uͤber welche eine Linie, ſo lang
ſie auch ſeyn mag, nicht noch weiter verlaͤngert
werden koͤnnte, ſo wenig kennt der Verſtand auch
eine Graͤnze, uͤber welche eine Zahl (oder Groͤße
uͤberhaupt), ſo groß als ſie auch ſeyn mag,
ſich nicht noch weiter vermehren ließe. Eine
Zahl kann alſo groͤßer gedacht werden als jede
angebliche, d. h. groͤßer als jede, die auch
mit noch ſo viel Ziffern hingeſchrieben oder gedacht
werden mag (major dato quovis numero ad-
ſigna-
[31]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
ſignabili). Man ſagt in dieſem Falle daß ſie
unendlich werde.

V. Der Begriff des Unendlichen beruht alſo
bloß auf der denkbaren Moͤglichkeit des Wachs-
thums einer Zahl oder Groͤſſe uͤberhaupt, uͤber
jede angebliche Graͤnze hinaus. Aber wir duͤr-
fen uns das Unendliche nie als voͤllig erreicht,
als ein voͤllig beſtimmtes, das durch irgend eine
Zahl dargeſtellt werden koͤnnte, gedenken. Man
hat daher zur Bezeichnung des Unendlichen das
Zeichen ∞ eingefuͤhrt, um dem Verſtande die
Freyheit zu laſſen, die Graͤnze uͤber welche eine
Zahl oder Groͤſſe ſteigt, ſich ſo weit als man
will hinauszudenken. Aber jede Graͤnze die man
fuͤr ein ſolches Wachsthum wuͤrklich ſetzt, iſt end-
lich, und bloß darin, daß jede Graͤnze uͤber-
ſchritten, und keine letzte gedacht werden kann,
ſetzen wir den Begriff des Unendlichen, der denn
in der hoͤhern Mathematik, als abſtracter Be-
griff eben ſo gut ohne Anſtoß gebraucht werden
kann, als viel andere Begriffe, die auch nur in
der Abſtraction ſtatt finden, und doch den Ge-
genſtand einer ganzen Wiſſenſchaft ausmachen.

VI. So ſprechen wir in der Geometrie von
einer Linie, ohne an die Flaͤche zu denken,
von
[32]Erſter Theil.
von der ſie die Graͤnze iſt; von einer Flaͤche,
ohne uns den Koͤrper vorzuſtellen, von der
dieſe Flaͤche wieder die Graͤnze iſt, und ohne wel-
chen weder Flaͤche, Linie, noch Punkt exiſtiren
wuͤrde. Wir reden von der unendlichen Verlaͤn-
gerung einer Linie, von einer unendlichen Linie,
ohngeachtet ſie von uns nur gedacht, nie aber ob-
jectiv in ihrer voͤlligen Ausdehnung dargeſtellt
werden kann, und alle Saͤtze die aus dieſen und
aͤhnlichen Abſtractionen abgeleitet werden, machen
doch den Gegenſtand der erhabenſten aller Wiſſen-
ſchaften aus.

VII. Man wird in der Mathematik ſo oft auf
die Vorſtellung eines uͤber alle Graͤnzen hinaus-
gehenden Wachsthums einer Groͤſſe geleitet, daß
man ſich an bloße Spitzfindigkeiten ſtoͤßt, wenn
man ſich zur Bezeichnung eines ſolchen Begriffs
nicht des Worts Unendlich bedienen will, und
Unterſuchungen, die durch den richtigen Begriff
des unendlich Groſſen, oft ungemein erleichtert
und abgekuͤrzt werden, durch Vermeidung dieſes
Begriffs unnoͤthiger Weiſe ein ſchwerfaͤlliges An-
ſehen giebt. Ja ſehr oft glaubt man bey dieſen
oder jenen Unterſuchungen den Begriff des Un-
endlichen vermieden zu haben, und verſteckt liegt
er bey denſelben dennoch zum Grunde.

VIII. Ueberhaupt gedenken wir uns in der
Mathematik das Unendliche nie im Zuſtande des
wuͤrklichen Seyns, ſondern nur im Zu-
ſtande des Werdens. Wir ſagen nie eine
Groͤſſe iſt unendlich, ſondern ſie wird unendlich,
d. h. wir gedenken uns, daß keine Graͤnze
vorhanden iſt, die ſie in ihrem Wachsthum nicht
noch uͤberſteigen koͤnnte oder uͤberſtiegen haͤtte,
und betrachten Verhaͤltniſſe, die zwey Groͤſſen bey
immer fortdaurenden Wachsthume derſelben ha-
ben, als wenn dieſe Verhaͤltniſſe auch uͤber jede
angebliche Graͤnze hinaus, d. h. im Unendlichen
ſelbſt ſtatt finden wuͤrden.

Es ſey z. B.
m = 1 + 1 + 1 + 1 ..... ohne Ende fort
und eben ſo
p = 2 + 2 + 2 + 2 ..... ohne Ende
ſo erhellet, daß zwar jede dieſer Zahlreihen fuͤr ſich
ein Unendliches iſt, und mit ∞ bezeichnet wer-
den kann; aber gleichviel Zahlen aus jeder ein-
zelnen Reihe, geben Summen, die beſtaͤndig in
dem Verhaͤltniſſe 1 : 2 ſtehen, z. B.
1 + 1 + 1 + 1 : 2 + 2 + 2 + 2 = 1 : 2.
Alſo findet der Verſtand darin nichts Ungereimtes,
daß jene Summen m und p, auch im Zuſtande
Cihres
[34]Erſter Theil.
ihres unendlich fortgeſetzten Wachsthums betrach-
tet, noch immer jenes Verhaͤltniß behalten, oder
beſtaͤndig m : p = 1 : 2 ſeyn werde, wenn man
nur immer gleich viel Zahlen aus jeder Reihe zu-
ſammennimmt. Ja es iſt nicht der geringſte Grund
vorhanden, warum bey dem angefuͤhrten ohne
Ende fortgeſetzten Wachsthum von m und p, je
ein anderes Verhaͤltniß ſollte ſtatt finden koͤnnen.
Und ſo koͤnnen demnach zwey Groͤſſen m, p auch
wenn ſie unendlich werden, dennoch immer in ei-
nen gewiſſen geometriſchen Verhaͤltniſſe ſtehen.
Es iſt alſo in voͤlliger Strenge wahr, daß
∞ . 1 : ∞ . 2 = 1 : 2
iſt, und nur der irrige Begriff von dem wuͤrkli-
chen Seyn einer unendlichen Groͤſſe kann den
Einwurf veranlaſſen, daß zwiſchen Groͤſſen im un-
endlichen Zuſtande keine weitere Vergleichung ſtatt
finde. Die unendliche Reihe p = 2 + 2 + 2 …
will ja weiter nichts ſagen, als daß man ſich
die erſtere m = 1 + 1 + 1 + 1 … nur zwey-
mahl vorſtellet, oder p = 1 + 1 + 1 + 1 .....
+ 1 + 1 + 1 + 1 .....
ſetzen ſoll, welches denn der Kuͤrze halber durch
2 . ∞ ausgedruͤckt wird.

Iſt ferner in (1 — III) A = m . α
oder = m = 1 + 1 + 1 + 1 ....., und
fuͤr
[35]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
fuͤr eine andere mit α gleichartige Groͤſſe B der
Bruch oder Quotient = p = 2 + 2 + 2 + 2 ....,
ſo werden zwar A und B fuͤr ſich in Vergleichung
mit α unendlich groß, aber immer bleibt auch
beym unaufhoͤrlichen Wachsthum von m und p,
A : B = 1 : 2.

IX. Ferner ſey z. B. fuͤr eine gerade Linie
A Q (Fig. I.) welche von einer andern A R in A
geſchnitten wird, die welchem Punkte M man will
zugehoͤrige Abſciſſe A P = x und Ordinate
P M = y, ſo iſt beſtaͤndig x : y = 1: tang A,
auch wenn man den Punkt M ſo weit man will
hinausſetzt, mithin die zuſammengehoͤrigen x und
y uͤber alle Graͤnzen hinauswachſen laͤßt, d. h.
ſie im Zuſtande ihres Unendlichwerdens betrach-
tet, und wuͤrde jenes Verhaͤltniß 1 : tang A nicht
ohne Ende hinaus ſtatt finden, ſo wuͤrden nicht
alle moͤglichen oder gedenkbaren Punkte M in der
geraden Linie A Q bleiben, wie doch vorausge-
ſetzt wird. Es kann alſo nie, auch bey der un-
endlichen Verlaͤngerung der Linie A Q, ein ande-
res als das angegebene Verhaͤltniß ſtatt finden.

So kann man ſich den ins Unendliche fort-
laufenden Flaͤchenraum zwiſchen den beyden Schen-
C 2keln
[36]Erſter Theil.
keln eines Winkels b a d (Fig. II) gedenken. Iſt
nun der Winkel c a d = 2 . b a d, und gedenkt
man ſich auch den Flaͤchenraum c a d ohne Ende
fort, ſo bleibt nicht der geringſte Zweifel, daß
auch bey dieſen unendlich fortlaufenden Winkel-
flaͤchen noch immer das Verhaͤltniß 2 : 1 ſtatt fin-
den werde.

X. Wenn wir demnach unter dem Zeichen
∞ eine Zahl verſtehen, welche uͤber alle angebli-
chen Graͤnzen hinausgeht, ohne je eine letzte zu
erreichen, eine Zahl alſo, welche immer waͤchſt,
immer groͤſſer wird, ohne je eine Groͤſte zu ſeyn,
ſo kann ſie in dieſem Zuſtande des Unendlichwer-
dens, dennoch beſtaͤndig in einem angeblichen Ver-
haͤltniſſe zu einer aͤhnlichen unendlich werdenden
ſtehen, und der Verſtand wird Saͤtze, welche aus
einer ſolchen Abſtraction abgeleitet worden, fuͤr
eben ſo wahr halten muͤſſen, als die Saͤtze, die
der Geometer von Linien beweißt, wenn gleich
eine Linie fuͤr ſich allein nur immer in der blo-
ßen Abſtraction beſtehet, und nie in der Wuͤrk-
lichkeit fuͤr ſich allein dargeſtellt werden kann (IV).

XI. Man gedenke ſich ferner durch A (Fig. 1.)
eine andere gerade Linie A W ohne Ende fortgezo-
gen, aber unter einem groͤßern ſpitzigen Winkel gegen
A R,
[37]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
A R, als die vorige A Q, und der Winkel den ſie
mit A R macht, heiße B. Wird nun fuͤr dieſelbe
Abſciſſe x die Ordinate P L mit z bezeichnet, ſo
iſt beſtaͤndig x : z = 1 : tang B, ſo weit man
auch den Punkt L ſich hinausgedenken mag. Dem-
nach beſtaͤndig y : z = tang A : tang B, d. h. z
immerfort groͤßer als y (IX), auch wenn man beyde
im Zuſtande des Unendlichwerdens betrachtet.
Nie kann y = z werden, weil ſonſt die gerade
Linie A W ohne Ende verlaͤngert, noch einmahl die
erſtere A Q wuͤrde durchſchneiden koͤnnen. Wollten
wir nicht annehmen, daß Groͤſſen wie y, z im
Zuſtande ihres Unendlichwerdens nicht noch ge-
wiſſe Verhaͤltniſſe gegen einander haben koͤnnten,
ſondern vielmehr in abſoluter Gleichheit ſtehen
muͤſten, ſo wuͤrden daraus die groͤſten Abſur-
ditaͤten folgen.

XII. Es hindert nichts ſich eine unendliche
Reihe wie m = 1 + 1 + 1 + 1 ......, ſo
viel mahl als man will, d. h. auch unendliche
mahle hingeſchrieben zu gedenken, z. B.

• A1 + 1 + 1 + 1 ...... ohne EndeC
• + 1 + 1 + 1 + 1 ...... ohne Ende
• + 1 + 1 + 1 + 1 ......
• + 1 + 1 + 1 + 1 ......
• . . . .
• . . . .
• . . . .
• . . . .
• Bohne Ende.

Das Aggregat von allen wuͤrde auch ein Unend-
liches ſeyn, aber ein Unendliches gleichſam von
einer hoͤhern Ordnung oder Dimenſion,
als jedes einzelne in jeder Horizontal- oder Ver-
ticalreihe hingeſetzte Unendliche. So lange man
nur eine endliche Menge von Einheiten in jeder
Vertical- und Horizontalreihe nimmt, wie groß
man ſich auch dieſe Menge = x gedenken
mag, wenn man nur immer gleich viel ſolcher
Einheiten, ſich in jeder Reihe A B, A C vorſtellt,
wird das Aggregat von allen immer durch
x . x = x2 ausgedruͤckt werden muͤſſen. Nimmt
man nun x uͤber alle Graͤnzen, und ſetzt dafuͤr
das Zeichen ∞, ſo muß das erwaͤhnte unendliche
Aggregat nothwendig durch ∞ . ∞ oder ∞2 aus
gedruͤckt werden; wuͤrde man ſich ſtatt der Eine[r]
lauter Zweyer gedenken, ſo wuͤrde das Aggre-
gat
[39]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
gat durch 4 . ∞2 ausgedruͤckt werden muͤſſen
u. ſ. w. An welchen Bezeichnungen ſich der Ver-
ſtand nicht ſtoſſen wird, wenn man die richtigen
Ideen damit verknuͤpft.

XIII. Fuͤr jedes endliche x wuͤrde immer
x2 : x = x : 1 ſeyn, alſo auch wenn man x
uͤber alle Graͤnzen ſich wachſend gedenkt, d. h. x
durch ∞ ausdruͤckt, wird ∞2 : ∞ = ∞ : 1
ſeyn.

Es hat alſo das hoͤhere Unendliche zu dem
niedrigern, ein Verhaͤltniß, deſſen erſtes Glied
man ſich gleichfalls uͤber alle angeblichen Graͤn-
zen hinauswachſend gedenken muß.

XIV. Zufolge der angegebenen Vorſtellung,
wird man keinen Anſtand finden, ſich auch ein
Unendliches von der dritten Ordnung, z. B. ∞3,
und ſo mehrere von hoͤhern Ordnungen ∞4, ∞5
u. ſ. w. mit ihren Verhaͤltniſſen zu gedenken.

XV. Wenn man von einer unendlichen
Reihe wie
m = 1 + 1 + 1 + 1 .......
jede endliche Menge von Einheiten, womit man
die Reihe zu ſchreiben angefangen hat, weglaͤßt,
ſo aͤndert man nur den ter[m] [...] quo, von
wel-
[40]Erſter Theil.
welchem man die Reihe anfaͤngt hinzuſchreiben,
der Werth der Reihe ſelbſt, d. h. das Unendliche,
wird dadurch im geringſten nicht geaͤndert. Jede
vorne weggelaſſene endliche Menge von Einheiten
wird gleichſam der Unendlichen hinten immer wie-
der in der Abſtraction zugeſetzt, eben weil ſie die
immer fortwachſende iſt, und in ihrem Wachs-
thum kein Ende hat. Eben ſo bleibt eine ge-
rade Linie, die man von einem Punkte aus ſich
ohne Ende fortgezogen gedenkt, immer die un-
endliche, was fuͤr ein endliches Stuͤck man auch
von ihrem Anfangspunkte abſchneidet, und nur
der Anfangspunkt der ohne Ende fortgezogenen
Linie wird dadurch geaͤndert.

XVI. Daſſelbe wuͤrde ſtatt finden, wenn
man eine endliche Menge von Einheiten zu der
unendlichen m, linker Hand ihres termini a
quo noch hinzuſetzte. Dies alles heißt mit an-
dern Worten ſo viel, der Werth einer unendli-
chen Groͤſſe, oder vielmehr das Unendliche, bleibt
voͤllig ungeaͤndert, ob man eine endliche Groͤſſe
hinzuſetzt, oder wegnimmt, oder in Zeichen, es iſt
∞ ± a = ∞, was auch a fuͤr einen endlichen
Werth hat.

XVII. Ferner erhellt auf dieſelbe Weiſe,
daß auch das Aggregat (XII) oder das unendliche
der zweyten Ordnung ∞2 voͤllig daſſelbe bleibt,
ob man eine Reihe wie 1 + 1 + 1 + 1 ......
horizontal oder vertical davon wegnimmt, oder
hinzuſetzt. Es werden hier gleichſam auch nur
die termini a quo (A C und A B) geaͤndert, von
denen man das Aggregat hinzuſchreiben anfaͤngt.
Da nun m = 1 + 1 + 1 + 1 ..... das Un-
endliche der erſten Ordnung bedeutet, ſo iſt be-
ſtaͤndig ∞2 ± ∞ ſo viel als ∞ ſelbſt, oder
das Unendliche der hoͤhern Ordnung wird durch
dasjenige einer niedrigern im geringſten nicht
geaͤndert; ſo iſt auch uͤberhaupt ∞2 + μ . ∞
immer = ∞2, was auch μ fuͤr einen endlichen
Factor bezeichnen mag.

XVIII. Auf dieſe Weiſe iſt allgemein
∞k + ∞t; oder auch ∞k + μ . ∞t
immer nur einerley mit mit ∞k, wofern k \> t
und μ eine endliche Zahl iſt. Oder auch, wenn
x erſtlich eine endliche Groͤſſe bezeichnet, iſt
xk : xk + μxt = 1 : 1 + d. h. das
Verhaͤltniß xk zu xk + μxt naͤhert ſich mit dem
Wachsthum von x dem Verhaͤltniß der Gleich-
heit 1 : 1 ohne Ende immer mehr und mehr,
weil
[42]Erſter Theil.
weil der Bruch immer deſto kleiner wird,
je groͤßer man x ſich gedenkt. Laͤßt man x uͤber
jede angebliche Graͤnze wachſen, d. h. ſetzt man
x = ∞ ſo naͤhert ſich ∞k : ∞k + μ ∞t ohne
Ende dem Verhaͤltniß 1 : 1, d. h. wenn x un-
unendlich (= ∞) wird, iſt auch ∞k =
∞k + μ ∞t, wofern k \> t.

So bald man den richtigen Begriff des Un-
endlichen hat, kann auch die geſuchteſte Spitzfin-
digkeit nichts gegen dieſe Saͤtze einwenden. Durch
die angefuͤhrten figuͤrlichen Darſtellungen, die ſich
nach einigem Nachdenken noch leicht erweitern
laſſen, werden die anfangs etwas befremdenden
Vorſtellungen vom Unendlichen verſchiedener Ord-
nungen, alles Geheimnißvolle verliehren.

XIX. So wie der Verſtand dem Wachs-
thum einer Groͤſſe keine Graͤnzen ſetzt, und auf
dieſe Weiſe zu dem Begriff einer unendlichen
Groͤſſe, oder vielmehr des unendlich Groſſen ge-
langt, ſo kann man auch umgekehrt eine Groͤſſe
immer kleiner und kleiner werden laſſen, ohne daß
man dieſer Abnahme je ein Ende ſetzte. Gedenkt
man ſich eine Groͤſſe in einem ſolchen Zuſtande
der unendlichen Abnahme, ſo ſagt man daß ſie
un-
[43]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
unendlich klein werde, aber nie kann man ſagen
daß ſie unendlich klein ſey, weil dies ſo viel
hieße, als eine Graͤnze ſetzen, uͤber die ſie nicht
noch kleiner werden koͤnnte.

XX. Zwar koͤnnte man ſagen, Null oder
Nichts ſey die Graͤnze bey immerwaͤhrender Ab-
nahme oder das unendlich Kleine ſelbſt. Aber
dies widerſpricht dem feſtgeſetzten Begriff, daß
die Groͤſſe ohne Ende abnehme, daß ſie immer
kleiner werde, daß immer noch etwas von ihr
vorhanden ſeyn ſoll, ſo weit man ſich auch die
Verminderung derſelben gedenken will, und daß
dies Vorhandene noch immer ſoll kleiner werden
koͤnnen.

Die Moͤglichkeit einer ſolchen unendlichen Ab-
nahme, ohne je Null zu werden, kennt man ja
ſchon aus der gemeinen Arithmetik, z. B. bey
der Bruchreihe
oder allgemein
wie weit man auch hier die fortgeſetzte Eintheilung
der Einheit ſich hinausgedenkt, ſo werden wir nie
auf
[44]Erſter Theil.
einen Bruch oder auf ein Stuͤck der Einheit kom-
men, welches voͤllig = o waͤre, d. h. die Null
iſt nicht das uͤber alle Graͤnzen Kleine, das un-
endlich Kleine. Die Null oder das Nichts kann
weder eine Groͤſſe, noch eine unendlich kleine
Groͤſſe genannt werden.

XXI. Zwar koͤnnen wir eine Groͤſſe, durch
beſtaͤndige Subtraction eines aliquoten Theiles
derſelben vermindern, daß Nichts mehr von ihr
uͤbrig bleibt, daß ſie verſchwindet (evaneſcit),
aber das heißt nicht eine Groͤſſe ohne Ende ver-
mindern, oder ſie unendlich klein werden laſſen.
Dadurch daß man dieſe Begriffe nicht ſorgfaͤltig
von einander unterſchieden hat, ſind in der Ana-
lyſis des Unendlichen, die groͤßten Abſurditaͤten
entſtanden, z. B. daß Nullen oder Nichtſe, wie
wuͤrkliche Groͤſſen, noch ein Verhaͤltniß gegen ein-
ander haben koͤnnen u. dgl., und man hat ſogar
die ganze Differenzialrechnung auf eine ſolche Nul-
lenrechnung gebracht, und dadurch das Princip
derſelben, mit Ungereimtheiten und Schwuͤrigkei-
ten uͤberhaͤuft.

XXII. Soll eine Groͤſſe unendlich klein wer-
den, ſo darf man ſie nicht dergeſtalt abnehmen
laſſen, daß ſie endlich Null wird (alſo durch Sub-
traction),
[45]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
traction), weil man ſie ja nach dieſer Weiſe noch
weiter vermindern, und gar in den negativen Zu-
ſtand uͤbergehen laſſen koͤnnte, ſondern die Ver-
minderung muß ſo beſchaffen ſeyn, daß die Groͤſſe
wenn ſie auch immerfort abnimmt, doch nie den
voͤlligen Nullzuſtand erreicht. Dann hat man
den wahren Begriff des ohne alle Ende Kleinen,
des unendlich Kleinen, welches man ſich gleich-
falls nie im Zuſtande des wuͤrklichen Seyns,
d. h. als voͤllig erreicht, ſondern auch immer nur
im Zuſtande des Werdens gedenken muß.

So ſagen wir alſo daß in der Reihe (XX)
die Bruͤche immer kleiner und kleiner werden,
daß ſie uͤber alle Graͤnzen klein, unendlich klein
werden, aber nie laͤßt ſich einer angeben, der wuͤrk-
lich der Kleinſte waͤre, und dies verlangt man
auch bey keiner Unterſuchung, auf welche man
durch die Betrachtung einer unaufhoͤrlich uͤber
alle Graͤnze hinausgehenden Abnahme einer Groͤſſe
geleitet wird.

XXIII. Wenn A eine Groͤſſe welche man will,
und m eine Zahl ſo groß man will bedeutet, ſo
bezeichnet der Ausdruck immer ein beſtimm-
tes Stuͤck der Groͤſſe A, aber ein immer kleineres
je
[46]Erſter Theil.
je groͤſſer man ſich die Zahl m gedenkt. Waͤchſt
m uͤber alle Graͤnzen, ſo nimmt das Stuͤck
uͤber alle Graͤnzen ab, es wird ohne Ende oder
unendlich klein, wenn man m ſich unendlich groß
gedenkt; aber nie wird es voͤllig = o. Wird
demnach eine unendlich große Zahl mit ∞ bezeich-
net, ſo wird der Ausdruck einen unendlich
kleinen Theil der Groͤſſe A bezeichnen, der alſo
nur in der Abſtraction gedacht, aber nie wuͤrklich
dargeſtellt werden kann, was man auch fuͤr das
Zeichen ∞ fuͤr eine Zahl hinſetzen mag. Bey
den Bruchreihen (XX) wuͤrde A eine Zahl = 1,
und m eine uͤber alle Graͤnzen hinausgehende Po-
tenz der Zahl 2 oder n bezeichnen.

XXIV. Daß unendlich kleine Groͤſſen, nach
den bisherigen Begriffen, in einem angeblichen
geometriſchen Verhaͤltniſſe ſtehen koͤnnen, wird
man ſo wenig bezweifeln, als es oben von dem
unendlich Groſſen erwieſen worden iſt. Man
gedenke ſich z. B. die beyden Reihen
M = 1; ; … ohne Ende fort
N = 1; ; … ‒ ‒ ‒
So
[47]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
ſo wird jedes Glied der Reihe N zu dem dar-
uͤberſtehenden der Reihe M, immer in dem Ver-
haͤltniſſe 2 : 1 ſtehen, wenn man auch beyde
Reihen ohne Ende fortſetzt, d. h. die Glieder
derſelben ohne Ende klein werden laͤßt. Da die
Nenner der Bruͤche in beyden Reihen Potenzen
der Zwey ſind, ſo iſt der allgemeine Ausdruck
fuͤr den unendlich Kleinen in der Reihe ,
und fuͤr den darunter ſtehenden in der Reihe
; beyde werden fuͤr ſich ohne Ende klein,
aber immer ſtehen ſie in dem Verhaͤltniſſe 1 : 2.

XXV. So wie wir im Vorhergehenden auf
den Begriff des unendlich Groſſen verſchiedener
Ordnungen geleitet worden ſind, ſo koͤnnen wir
uns in der Abſtraction auch unendlich Kleine von
verſchiedenen Ordnungen gedenken, welche man
denn auf folgende Weiſe bezeichnen kann
u. ſ. w.
So wie nemlich ∞2 als unendlich gegen ∞ be-
trachtet wird, ſo wird dagegen immer als un-
endlich klein in Vergleichung mit angeſehen
wer-
[48]Erſter Theil.
werden muͤſſen. Voͤllig wie nemlich ∞2:
∞ = ∞ : 1, ſo verhaͤlt ſich auch
Ueberhaupt
Iſt demnach k \> t, ſo iſt immer als un-
endlich klein gegen zu betrachten, und
wird nicht geaͤndert, wenn man ein unendlich
Kleines von einer hoͤhern Ordnung dazu ſetzt,
oder davon abzieht.

XXVI. Zu fernerer Erlaͤuterung des unend-
lich Groſſen und unendlich Kleinen, und der ver-
ſchiedenen Ordnungen derſelben, iſt zu bemerken,
daß man zugleich auf die urſpruͤnglichen Formen
Ruͤckſicht nehmen muß, in welchen man die
Groͤſſen, als noch im endlichen Zuſtand exiſtirend,
betrachtete, und welche Formen man nicht ver-
nachlaͤſſigen darf, wenn man einen richtigen Be-
griff ſowohl von dem Unendlichen, als auch den
verſchiedenen Ordnungen und Verhaͤltniſſen deſſel-
ben erhalten will.

Es iſt kein Zweifel, daß Ausdruͤcke wie ∞;
∞2; ∞m; a∞; log ∞ abſolut genommen, lau-
ter in den unendlichen Zuſtand uͤbergehende Groͤſ-
ſen bezeichnen, aber in den Formen, wie ſie hier
gegeben ſind, und uͤberall in der Mathematik vor-
kommen koͤnnen, ſobald man in den aͤhnlichen
Ausdruͤcken endlicher Form x, x2, xm, ax;
log x die Groͤſſe x ohne Ende wachſen laͤßt, be-
zeichnen jene Ausdruͤcke, Unendliche von ſehr un-
terſchiedenen Ordnungen, deren Verhaͤltniſſe aus
jenen Formen ſelbſt abgeleitet werden koͤnnen. Ei-
nige Beyſpiele werden dies erlaͤutern.

1ſtes Beyſpiel. Es ſeyen in zwey krum-
men Linien, fuͤr einerley Abſciſſe x die Ordinaten
wo a, b gewiſſe unveraͤnderliche Linien bezeichnen,
ſo wachſen zwar y und z, unaufhoͤrlich mit x,
beyde werden unendlich, ſo wie x unendlich wird,
aber je mehr ſich y und z dem unendlichen Zu-
ſtande naͤhern, deſto mehr waͤchſt y in Verglei-
chung mit z, und wird unendlich groß gegen z,
wenn beyde ſelbſt unendlich werden. Denn im-
Dmer
[50]Erſter Theil.
mer iſt y : z = b x : a2, alſo fuͤr x = ∞,
wird y : z = b . ∞ : a2, demnach y ein Unend-
liches gegen z, und z alſo von einer niedrigern
Ordnung als y.

2tes Beyſpiel. Waͤre fuͤr eine dritte
krumme Linie die Ordinate w = b . , wo
b und c wieder unveraͤnderliche Linien bezeichnen,
ſo iſt fuͤr x = ∞ zwar auch w = ∞, aber
von einer hoͤhern Ordnung als y (1. Beyſp.) Denn
verwandelt man die Exponentialgroͤſſe oder
nach dem binomiſchen Lehrſatz in eine
unendliche Reihe
ſo wird ſolche fuͤr den Fall, daß x unendlich wird =
weil vorne die 1 als eine endliche Groͤſſe wegge-
laſſen, und ſtatt x — c, x — 2 c ꝛc. bloß x ge-
ſetzt werden kann (XVI.). Alſo iſt fuͤr x = ∞
w = b
[51]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
oder
Aber die erſten zwey Glieder dieſer Reihe, ſind
wenn x unendlich groß wird, unendlich klein, und
das dritte Glied iſt eine endliche Groͤſſe, alle 3
koͤnnen alſo gegen die folgenden Glieder wegge-
laſſen werden, weil ſolche unendlich groß werden.
Alſo iſt w unendlich groß gegen y fuͤr den Fall
daß beyde unendlich werden. Mithin iſt y ein
unendliches von einer niedrigern Ordnung als w;
und folglich z noch von einer niedrigern Ordnung
gegen w als y (Beyſp. 1.).

3tes Beyſpiel. Es ſey wieder fuͤr eine
andere krumme Linie, die Ordinate u = f log,
wo f und g wieder beſtaͤndige Linien bezeichnen,
und log den natuͤrlichen Logarithmen bedeu-
ten mag.

Nun iſt, wie wir in der Folge ſehen werden,
Iſt alſo x, und folglich auch unendlich, ſo
kann man die 1 weglaſſen, und erhaͤlt fuͤr die-
ſen Fall
Demnach das Verhaͤltniß der Ordinaten z und u
in beyden krummen Linien (1tes u. 3tes Beyſp.),
fuͤr den Fall daß dieſe Ordinaten unendlich werden
z : u = x2 : b . f log
Oder ſtatt x2 den Werth der dafuͤr gefundenen
Reihe ſubſtituirt
Alſo wird z unendlich gegen u; oder die unend-
liche Ordinate u fuͤr x = ∞, iſt ein Unendliches
von einer niedrigern Ordnung, als die Ordinate z.

XXVII. Wenn demnach die Ordinaten y,
z, w, u, in den erwaͤhnten krummen Linien un-
end-
[53]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
endlich werden, ſo iſt w = ein Unendli-
ches von einer hoͤhern Ordnung als y = ,
und noch von einer hoͤhern, als z = ,
endlich noch von einer hoͤhern, als u = f log.
Woraus denn weiter folgt, daß wenn man ſtatt
der Linien ſich Zahlen gedenkt, und z. B.
b = a = f = g = 1 ſetzt, die Exponentialgroͤſſe
2x fuͤr den Fall daß x = ∞ wird, ein hoͤheres
Unendliche als x3, dieſes wieder ein hoͤheres als
x2, und dieſes ein hoͤheres als log x bezeich-
nen wird.

XXVIII. Haͤtte man alſo z. B. einen Aus-
druck von der Form
S = 2x + x3 + x2 + log x
ſo wird ſich S dem Werthe 2x ohne Ende immer
mehr und mehr naͤhern, je groͤſſer man x nimmt,
und wenn x uͤber jede angebliche Graͤnze waͤchſt,
d. h. unendlich wird, ſo verſchwinden die niedern
Unendliche x3, x2, log x, gegen das hoͤchſte
2x, und es wird ſchlechtweg S = 2x.

XXIX. Umgekehrt, wenn die Bruͤche
vorgegeben waͤren, ſo wuͤrden ſie zwar, wenn x
unendlich groß wird, ſaͤmmtlich unendlich klein,
aber unter allen, wuͤrde der unendlich Klein-
ſte, d. h. der unendlich Kleine von der hoͤchſten
Ordnung ſeyn, und in einem Ausdrucke wie
wuͤrde ſich T dem Werthe ohne Ende im-
mer mehr und mehr naͤhern, je groͤſſer man x
nimmt, und fuͤr x = ∞, verſchwinden die Glie-
der gegen , ſo daß es ver-
ſtattet iſt fuͤr dieſen Fall bloß
zu ſetzen.

XXX. Wollte man einwenden, daß ſo groß
man auch x nimmt, doch nie voͤllig genau
ſeyn
[55]Differential-Rechnung. Vorbegriffe.
ſeyn koͤnne, ſo wird man doch zugeben muͤſſen,
daß je groͤſſer x wird, deſto mehr ſich auch T
dem Werthe von naͤhern muͤſſe, und wenn
man fuͤr x = ∞, T = ſetzt,
ſo will man durch das Zeichen = nichts anders
als dieſe unendliche Annaͤherung bezeich-
nen. Haͤtte man in der Analyſis ein beſonderes
Zeichen eingefuͤhrt, um eine ſolche unendliche Annaͤ-
herung einer Groͤſſe zu einer andern anzudeuten,
z. B. etwa das Zeichen ≡, ſo wuͤrde Niemand
daran einen Anſtoß finden, daß wenn in einer Glei-
chung wie
die Groͤſſe x ohne Ende waͤchſt, d. h. unendlich
wird
ſeyn werde, da man hingegen bey der Bezeichnung
ſich gewoͤhnlich den Werth von T als ſchon er-
reicht gedenkt, eine Vorſtellung, die bey der Be-
trachtung des unendlich Groſſen oder unendlich
Kleinen, nur in der Abſtraction ſtatt finden kann.

XXXI. Man kann alſo behaupten, daß
wenn in dem fuͤr T angegebenen Ausdrucke
x ≡ ∞ wird, d. h. xſich dem Unendli-
chen immer mehr und mehr naͤhert, als-
dann in voͤlliger Schaͤrfe auch
d. h. Tſich dem Werthe ohne Ende
immer mehr und mehr naͤhern werde.
Da indeſſen ein ſolches Zeichen fuͤr die unendli-
che Annaͤherung einer Groͤſſe zu einer andern,
bis jetzt nicht eingefuͤhrt iſt, ſo erinnere ich doch
ein fuͤr allemahl, daß wenn man fuͤr x = ∞ den
Werth von ſetzt, man unter dem Zei-
chen = bloß eine ſolche unendliche Annaͤherung
ſich gedenken muß.

XXXII. Es verhaͤlt ſich in dem angegebe-
nen Beyſpiele ohngefaͤhr wie in der Arithmetik,
wenn man den Bruch ⅓ = o, 33333 ....
ſetzt, da doch eigentlich das Zeichen = ſich nur in
der Abſtraction rechtfertigt, in ſo ferne man ſich
den hingeſchriebenen Decimalbruch als voͤllig er-
reicht oder vollendet gedenkt, wenn derſelbe gleich
nie voͤllig dargeſtellt werden kann.

Ferner ſetzt man in der Arithmetik die Sum-
me der unendlichen Reihe
\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}\ldots=1
und man weiß, daß dieſe Bezeichnung doch nichts
anders ſagen will, als daß ſich dieſe Reihe ohne
Ende immer mehr und mehr der 1 naͤhert.

Wenn demnach in einem Ausdrucke wie
ſich T dem Werthe von immer mehr und
mehr naͤhert, je groͤſſer man x nimmt, ſo kann
man auch mit eben dem Rechte, wie bey jenen
arithmetiſchen Beyſpielen ſagen, daß
werde, wenn man x uͤber jede angebliche Graͤn-
zen hinaus, d. h. unendlich wachſen laͤſt.

XXXIII. Eben ſo laſſe man in nachſtehen-
der Gleichung zwiſchen zwey veraͤnderlichen Groͤſ-
ſen x, y, nemlich
y = a x + b x2 + c x3
den Werth von x ohne Ende abnehmen, ſo wird
zwar
[58]Erſter Theil.
zwar auch y ohne Ende abnehmen, aber wenn
man das Verhaͤltniß von y zu x nemlich
y : x = a + b x + c x2 : 1
betrachtet, ſo wird ſich ſolches dem Verhaͤltniſſe
a : 1 immer mehr und mehr naͤhern, je kleiner x
[und] folglich auch y wird. Nehmen alſo beyde
ohne Ende ab, ſo daß man x und folglich auch
y als unendlich klein betrachtet, ſo verſchwinden
die unendlich kleinen Glieder b x, c x2 in Ver-
gleichung mit der endlichen Groͤſſe a, und giebt
man nun dem Zeichen = die Bedeutung
(XXXI), ſo iſt in voͤlliger Schaͤrfe
y : x = a : 1.

XXXIV. Wollte man in dem angefuͤhrten
Beyſpiele x bis auf Null ſelbſt abnehmen laſſen,
ſo wuͤrde auch y = o und die Proportion
(XXXIII) hieße nun
o : o = a : 1
Aber dann begreift man nicht leicht, wie zwey
Nullen oder Nichtſe noch in einem gewiſſen Ver-
haͤltniſſe ſtehen koͤnnen, wie eine Null kleiner als
eine andere ſeyn kann. So bald zwey von ein-
ander abhaͤngige Groͤſſen wie y und x voͤllig ver-
ſchwinden, hoͤrt alle weitere Vergleichung derſelben
auf, da hingegen, ſo lange ſie ſich noch im Zu-
ſtande ihrer Abnahme befinden, ſelbſt wenn dieſe
Ab-
[59]Differenzial-Rechnung. Vorbegriffe.
Abnahme uͤber alle angeblichen Graͤnzen hinaus-
gedacht wird, alſo die Groͤſſen y und x unend-
lich klein werden, noch immer ein Verhaͤltniß der-
ſelben gedacht werden kann.

Ohne demnach y und x voͤllig verſchwinden zu
laſſen, betrachtet man das Verhaͤltniß a : 1 als
das Graͤnzverhaͤltniß, dem ſich das von
y : x ohne Ende immer mehr und mehr naͤhert,
und man darf nun mit eben dem Rechte
y : x = a : 1 ſetzen, als man z. B. die Summe
der unendlichen Reihe (XXXII) = 1 ſetzt, da
ſie ſich doch eigentlich dieſem Werthe, nur ohne
Ende naͤhert.

XXXV. Manche Schriftſteller betrachten die
Null als die Graͤnze, der ſich eine ohne Ende
abnehmende Groͤſſe immer mehr und mehr naͤ-
hert. Dieſe Vorſtellung kann man immer gelten
laſſen, wenn man die ohne Ende abnehmende oder
unendlich kleine Groͤſſe, nur nicht ſelbſt fuͤr Null
haͤlt, oder glaubt daß ſie es voͤllig werden koͤnnte,
weil dies dem Begriffe einer ohne Ende abneh-
menden Groͤſſe widerſpricht (XX). Noch weniger
darf man ſich erlauben, eine unendlich kleine Groͤſſe
bald fuͤr Null zu halten, bald aber auch wieder
als eine wuͤrkliche Groͤſſe zu behandeln, wie ſo
haͤu-
[60]Erſter Theil. Differ. Rechn. Vorbegr.
haͤufig in der Differenzialrechnung und den An-
wendungen derſelben zu geſchehen pflegt. Aber
dieſe Wiederſpruͤche vermeidet man durch den rich-
tigen Begriff des unendlich Kleinen, wie ſolcher bis-
her, wie ich glaube, ſo deutlich entwickelt worden
iſt, als es bey abſtracten Begriffen nur moͤglich iſt.

Will man daher die Proportion (XXXIV)
o : o = a : 1
rechtfertigen, oder ihr einen vernuͤnftigen Sinn un-
terlegen, ſo muß man ſich unter dieſen Nullen die
ohne Ende abnehmenden Groͤſſen y, x ſelbſt geden-
ken, in ſo fern ſie bey dieſer Abnahme ſich den Nul-
len ohne Ende immer mehr und mehr naͤhern, ohne
ſich jedoch je in ſolche Nullen ſelbſt zu verwandeln,
wie z. B. die Bruͤche in den Reihen (XX.).

Oder man kann ſich auch vorſtellen, daß die
Groͤſſen y, x das Verhaͤltniß a : 1 haben, in dem
Augenblicke da ſie nach dem Geſetz der Stetigkeit
und ihrer gegenſeitigen Dependenz von einander, im
Begriff ſind in den Nullzuſtand uͤberzugehen, da ſie
alſo beyde noch einen Werth haben, aber doch noch
nicht voͤllig zu Null geworden ſind. Daher nen-
nen auch einige das Verhaͤltniß a : 1 das Ver-
ſchwindungsverhaͤltniß der Groͤſſen y, x,
welche Benennung denn auch ſtatt des Worts
Graͤnzverhaͤltniß gebraucht werden kann.

§. 2.

I.Es ſey y eine Function von x, und x aͤn-
dere ſich um einen gewiſſen Werth oder um eine
gewiſſe Differenz, welche ich mit Δx bezeichnen will,
ſo wird ſich auch y um einen gewiſſen Werth
oder um eine gewiſſe Differenz = Δ y veraͤndern,
alſo y ſich in y + Δ y verwandeln, wenn x ſich
in x + Δ x veraͤndert.

II. Da y durch x vermoͤge einer Gleichung
gegeben iſt, ſo muß ſich daraus auch eine Glei-
chung zwiſchen Δy und Δx finden laſſen. Sucht
man nun aus dieſer Gleichung das Verhaͤltniß
von Δ y : Δ x, oder auch den Exponenten dieſes
Verhaͤltniſſes, d. h. den Quotienten , ſo
nennt man Δ y : Δ x das Differenzverhaͤlt-
niß und den Differenzquotienten,
und
[62]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
[und] ſucht man endlich dies Verhaͤltniß fuͤr den
Fall, daß die Differenzen Δ x, Δ y ohne Ende
immer kleiner und kleiner werden, oder ſich in ſo-
genannte Differenziale verwandeln, ſo wird
jenes Verhaͤltniß das Differenzialverhaͤlt-
niß, der Quotient der Differenzial-
quotient, und die Auffindung dieſes Verhaͤlt-
niſſes oder Quotienten die Differenzialrech-
nung genannt. Ein Beyſpiel wird die Sache
am beſten erlaͤutern.

III. Es ſey alſo z. B. y = a x2, ſo iſt,
x + Δ x ſtatt x, und y + Δ y ſtatt y geſetzt,
y + Δ y = a (x + Δ x)2
Oder y + Δ y = a x2 + 2 a x . Δ x + a (Δ x)2
Hievon ziehe man die ungeaͤnderte Function (nem-
lich y = a x2) ſelbſt ab, ſo erhaͤlt man die Dif-
ferenzgleichung
Δ y = 2 a x . Δ x + a (Δ x)2.

IV. Und hieraus das Differenzverhaͤltniß,
und den Differenzquotienten, nemlich
Δ y : Δ x = 2 a x + a . Δ x : 1
und = 2 a x + a . Δ x.

V. Laͤßt man nun Δ x ohne Ende abnehmen
(in welchem Falle auch Δ y ohne Ende abnimmt),
ſo naͤhert ſich der Ausdruck 2 a x + a . Δ x
ohne Ende immer mehr und mehr dem von Δ x
unabhaͤngigen Gliede 2 a x, und man erhaͤlt fuͤr
das Graͤnzverhaͤltniß von Δ y : Δ x in die-
ſem Falle 2 a x : 1, oder Δ y : Δ x = 2 a x : 1
und = 2 a x.

VI. Man nennt die Differenzen Δ y, Δ x,
wenn ſolche unendlich abnehmen, ohne jedoch voͤl-
lig zu verſchwinden, Differenziale, und be-
zeichnet ſie dann mit d y, d x, wo denn der
Buchſtabe d bey unendlich kleinen Differenzen,
ſo gut wie der Buchſtabe Δ bey endlichen Diffe-
renzen ein bloßes Zeichen iſt, welches, ſo bald in
Rechnungen von Differenzialien die Rede iſt, ſo
wenig mit einem Factor, als d y mit einem Pro-
ducte zu verwechſeln iſt.

Auch ſchreibt man um Verwirrung zu ver-
meiden, in jedem Product, worin ein Differen-
zial vorkoͤmmt, das Differenzial gern zuletzt,
z. B. a . Δ x ſtatt Δ x . a, oder a . d x ſtatt dx . a.

VII. Demnach hat man fuͤr die angenom-
mene Funktion (III) das Differenzialverhaͤltniß
d y
[64]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
d y : d x = 2 a x : 1
und den Differenzialquotienten
= 2 a x.

VIII. Da y nichts als den Ausdruck a x2
ſelbſt bedeutet, ſo heißt d y auch das Differen-
zial von a x2, wenn d x das Differenzial der ver-
aͤnderlichen Groͤſſe x ſelbſt bedeutet. Demnach
kann man die Ausdruͤcke (VII.) auch ſo darſtellen
d (a x2) : d x = 2 a x : 1
.

IX. Setzt man ſtatt der Proportion (VII.)
die Gleichung
d y = 2 a x . d x
ſo nennt man dies die Differenzialglei-
chung von (III.), [wofuͤr] auch
d (a x2) = 2 a x . d x
geſchrieben werden kann.

X. Wollte man die Differenzialien d x, dy,
voͤllig als Nullen betrachten, wie von einigen
Schriftſtellern zu geſchehen pflegt, ſo wuͤrde die
Proportion (VII.) auch ſo heißen
o : o = 2 a x : 1
wo-
[65]Differenzialrechnung.
wogegen aber Erinnerungen wie (§. 1. XXXIV.)
auf keinerley Weiſe zu vermeiden ſind.

XI. Indeſſen glaubt man, daß die Propor-
tion (VII.) nicht in voͤlliger Schaͤrfe ſtatt finden
koͤnnte, wenn man in derjenigen (IV.) fuͤr end-
liche Differenzen, nicht Δ x voͤllig = o ſetzt, in
welchem Falle denn auch Δ y = o wuͤrde; und
ſo will man denn, daß die Zeichen d y, und d x,
welche man ſtatt der Nullen hinzuſetzen beliebt,
nur ausdruͤcken ſollen, daß es die Differenzen Δy,
und Δ x ſind, welche in den Null-Zuſtand uͤber-
gehen, und daß ſie in dieſem Falle genau das
Verhaͤltniß 2 a x : 1 haben. Allein durch dies
Hinſchreiben der Zeichen dy, dx, ſtatt der Nul-
len, welche ſie bedeuten ſollen, ſind die (§. 1.
XXXIV.) ſtatt findenden Erinnerungen auf keiner-
ley Weiſe beſeitiget, und es bleibt, um einer ſol-
chen Proportion wie o : o = 2 a x : 1 eine an-
nehmbare Bedeutung zu verſchaffen, nichts uͤbrig,
als ſich vorzuſtellen, daß jene Nullen die ohne
Ende abnehmenden Differenzen dy, dx ſelbſt be-
deuten, in ſo fern ſich dieſe Differenzen den Nul-
len ohne Ende immer mehr und mehr naͤhern,
ohne jedoch je ſich in ſolche ſelbſt zu verwandeln.

XII. Die Behauptung daß d y : d x
= 2 a x : 1 nie in voͤlliger Schaͤrfe wahr ſeyn
koͤnne, ſo lange dy, dx noch angebbare Werthe
haben, hat zwar ihre voͤllige Richtigkeit. Allein
in der Differenzialrechnung verlangt man auch
nicht daß d y, d x noch angebbare Werthe (etwa
wie Wolfs Sandkoͤrner in Vergleichung eines
Berges. M. ſ. deſſen Anfangsgr. d. Math.
IV. Theil. Differenzialrechnung §. 6.) haben ſol-
len. Sie ſollen kleiner als jede angebbare Groͤſſe
ſeyn. Da dies moͤglich iſt zu gedenken, ſo klein
auch d y, d x ſeyn moͤgen, unbekuͤmmert wie
groß ſie an und fuͤr ſich ſelbſt ſind, wenn ſie
nur nicht voͤllige Nullen oder Nichtſe ſind, ſo
enthaͤlt die Proportion d y : d x = 2 a x : 1
auch nicht den geringſten Widerſpruch, weil es
gewiß iſt, daß die Graͤnze des Verhaͤltniſ-
ſes 2 a x + a Δ x : 1 bey unendlich fortdau-
render Abnahme von Δ x, kein anderes als
2 a x : 1 ſeyn kann. Haͤtte man um die unend-
liche Annaͤherung von 2 a x + a Δ x zu dem Wer-
the 2 a x anzudeuten, ein eigenes Zeichen etwa
wie (§. 1. XXX.) eingefuͤhrt, ſo wuͤrde nie je-
mand gegen einen Ausdruck wie dy : dx ≡ 2ax : 1
etwas zu erinnern gefunden haben.

XIII. Nie verlangt man uͤbrigens in der
Differenzialrechnung auch etwas anders, als ſol-
che Annaͤherungs- oder Graͤnzverhaͤlt-
niſſe zwiſchen Δ y und Δ x, was auch y fuͤr
eine Function von x ſeyn mag. Man bekuͤm-
mert ſich weder darum, wie groß die Differenzen,
oder Differenzialien, an und fuͤr ſich ſelbſt ſind,
noch auch wie viel das Graͤnzverhaͤltniß von dem
wahren unterſchieden iſt, wenn nur beyde Ver-
haͤltniſſe einander ſo nahe kommen, daß ſich der
Unterſchied uͤber jede denkbare Graͤnze vermin-
dern laͤſt.

XIV. Andere haben den Begriff des unend-
lich Kleinen in der Differenzialrechnung, ſo wie
uͤberhaupt in der hoͤhern Analyſis, ganz zu ver-
meiden geſucht, und das Geſchaͤft der Differen-
zialrechnung bloß darin geſetzt, in einer vollſtaͤn-
digen Differenzengleichung, wie z. B.
Δ y = 2 a x . Δ x + a (Δ x)2. (III.)
oder allgemeiner
Δ y = P . Δ x + Q (Δ x)2 + R (Δ x)3 u. ſ. w.
(wo P, Q, R ꝛc. wiedet oeſondere Functionen von
x bedeuten), dieſe Functionen ſelbſt, aus der fuͤr y
angegebenen primitiven, auf eine leichte Art zu fin-
den oder abzuleiten, ohne den directen Weg wie
E 2(III,)
[68]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
(III.) zu befolgen, nach welchem z. B. fuͤr die
Function (III.)
P = 2 a x; Q = a; R = o ꝛc.
gefunden wurde.

XV. Darauf gruͤndet ſich z. B. die Functio-
nen-Lehre von La Grange; der Deriva-
tionscalcul von Arbogaſt u. dgl.

Allein ſo ſinnreich auch dieſe Theorien aus-
gefuͤhrt ſind, ſo geraͤth man doch auf ſo große
Weitlaͤuftigkeiten, bey der Anwendung der-
ſelben auf allerley Gegenſtaͤnde der
Analyſis, hoͤhern Geometrie, Mecha-
nik ꝛc.; daß ich es wenigſtens nicht fuͤr raͤthlich
gefunden habe, den Differenzialcalcul nach dieſen
Anſichten zu behandeln, bey deren Anwendung,
wenn man alles genau erwaͤgt, doch der Begriff
des unendlich Kleinen, oder einer unendlichen An-
naͤherung (XII) zu einem gewiſſen Werthe, nicht zu
vermeiden iſt, ſo kuͤnſtlich derſelbe auch in jenen
Theorien verſchleyert zu ſeyn ſcheint.

XVI. Andere Schriftſteller z. B. Kluͤgel
(Mathem. Woͤrterbuch Art. Differenzial) wollen
unter einem Symbol wie nichts anders als
den
[69]Differenzialrechnung.
den von Δ x ganz unabhaͤngigen Theil P des
Differenzquotienten
= P + Q . Λ x + R . Δ x2 .. (XIV.)
verſtehen. Die Glieder wie Q . Δ x, R Δ x2 ꝛc.,
die man in der allgemeinen Gleichung fuͤr
weglaſſe, wuͤrden nicht als Nullen, oder als un-
endlich klein, als unvergleichbar klein betrachtet,
ſondern ſie wuͤrden weggelaſſen, weil ſie gar nicht
zu dem gehoͤrten, was man eigentlich ſuche, und
durch das Symbol anzeigen wolle. Man
nenne zwar d x, d y, Differenziale, aber man
muͤſſe ſie durchaus nicht als Groͤſſen betrachten,
ſo klein man ſich dieſe auch vorſtellen moͤgte.
Der Buchſtabe d gebe bloß den Urſprung der
Function P = zu erkennen, daß ſie der we-
ſentlichſte und charakteriſtiſche Theil des Quotien-
ten , der endlichen Veraͤnderungen von y und
x ſey. So bleibe es voͤllig gleichguͤltig, wie groß
oder klein man ſich auch das Δ x oder Δ y ge-
denken wolle, und wenn man das Gleichheitszei-
chen gebrauche und = P ſetze, ſo ſolle man
nicht
[70]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
nicht ſagen ſey gleich P, ſondern zeige nur
an, daß man darunter den Theil P des Differenz-
quotienten verſtehe.

So will man alſo auch durch dieſe Anſichten
dem Begriff des unendlich Kleinen ausbeugen.
Allein bey der wuͤrklichen Anwendung derſelben
zeigt ſich doch wieder ſo manche Veranlaſſung,
bey der man ſich unter den Zeichen d y, d x,
wuͤrkliche uͤber alle Graͤnzen abnehmende Groͤſſen
gedenken muß, daß man den Begriff des unend-
lich Kleinen nur auf eine kuͤnſtliche Weiſe ver-
ſchleyert, wenn man dem Symbol die ange-
fuͤhrte Bedeutung geben will.

XVII. Es bleibt einmahl fuͤr den Verſtand
nichts befriedigender, als unter einem Ausdrucke
wie = P ſich bloß die unendliche Annaͤhe-
rung des Quotienten zu dem Werthe von P
zu gedenken. Was ſich einem gewiſſen Werthe P
unendlich naͤhert, wird in der Abſtraction als die-
ſem Werthe gleich angeſehen, weil wenn ſich ein
Un-
[71]Differenzialrechnung.
Unterſchied angeben ließe, dies ſo viel heißen
wuͤrde, man ſoll die Annaͤherung noch weiter trei-
ben, und da nun dieſe Forderung kein Ende hat,
ſo kann ſich alſo auch kein Unterſchied angeben
laſſen, ſo klein ſich ihn der Verſtand auch geden-
ken mag, d. h. man gedenkt ſich den Werth von
P erreicht, wenn Δ y, Δ x ſo klein werden, daß
ſie um weniger als jede angebliche Groͤſſe von
wuͤrklichen Nullen unterſchieden ſind, und daß
dies moͤglich iſt zu gedenken, erhellet aus den
oben angefuͤhrten Beyſpielen. Dieſe Vorſtellung ei-
ner unendlichen Abnahme von Δ y, Δ x, und folglich
auch einer unendlichen Annaͤherung (XII.) des
Quotienten zu dem Werthe von P, iſt dem
Verſtande genuͤgender, als Δ y, Δ x in voͤllige
Nullen uͤbergehen zu laſſen, und dadurch die ganze
Differenzialrechnung bloß in eine kuͤnſtliche Nul-
lenrechnung zu verwandeln.

So bald alſo die Rede davon iſt, die un-
endliche Annaͤherung des Quotienten zu ei-
nem gewiſſen Werthe = P zu finden, fuͤr den
Fall daß die zuſammengehoͤrigen Differenzen Δ y,
Δ x ohne Ende immer kleiner und kleiner werden,
ſchreibt
[72]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
ſchreibt man ſtatt Δ y, und Δ x, die Ausdruͤcke
d y, d x, und druͤckt nun jene Forderung aus
durch = P.

XVIII. In der That laͤuft es auch voͤllig
auf eins hinaus, ob man ſagt ſolle den von
Δ x ganz unabhaͤngigen Theil P des Quotienten
(XVI), oder die unendliche Annaͤherung dieſes
Quotienten zu dem Werthe P bedeuten, weil es kein
Zweifel bleibt, daß wenn anders P, Q ꝛc. in dem
Ausdrucke fuͤr (XIV) endliche Werthe haben,
und Δx ohne Ende abnimmt, der Quotient ſich
ohne Ende dem Werthe von P naͤhert; und wei-
ter ſoll auch der Ausdruck = P nichts be-
deuten, auch hat er nie bey irgend einer wuͤrkli-
chen Anwendung auf Gegenſtaͤnde der Geometrie,
Mechanik u. dergl. eine andere Bedeutung. Man
verlangt nicht den eigentlichen Werth von
wenn Δ y und Δ x verſchwinden, ſondern den Werth
wel-
[73]Differenzialrechnung.
welchem ſich ohne Ende immer mehr und
mehr naͤhert. Le limite d’un rapport
Δ y : Δ x ſagt la Croix (Traité du Calcul
différentiel etc. Paris 1797. S. 192) n’est
point le rapport lui-même, mais une quan-
tité, dont il peut approcher d’aussi près
qu’on voudra, und dies kann man von dem
Ausdruck behaupten, ohne anzunehmen,
daß hiebey d y, d x ſelbſt als Nullen betrach-
tet werden.

Aber die letztere Darſtellungsart des Diffe-
renzialcalculs, nemlich dem Ausdruck
die Bedeutung einer unendlichen Annaͤherung des
Quotienten zu dem Werthe von P zu geben,
iſt fuͤr die Anwendung die brauchbarſte, daher
auch la Croix, indem er ſolche mit andern
Darſtellungsarten des Differenzialcalculs vergleicht,
ganz richtig urtheilt: “Le rapprochement de
ces méthodes prouvera surement aux lecteurs
attentifs, qu’elles ne diffèrent, que dans les
expressions, et peut être penseront-ils,
com-
[74]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
comme moi, que la dernière (nemlich die Me-
thode der Graͤnzverhaͤltniſſe oder limites) lors-
qu’elle a été bien expliquèe, est précieuse
par la facilité, qu’elle donne, a resondre de
nouvelles questions, facilité dont la theorie
des courbes a double courbure de Monge,
que j’ai exposée, offre un exemple remar-
quable u. ſ. w. (Prèface p. XXVII.)

In der That iſt es laͤcherlich, mit welcher
Aengſtlichkeit man ſich dem Begriffe des unend-
lich Kleinen in der Mathematik uͤberall zu entzie-
hen ſucht, da doch ſo viele Unterſuchungen uns
auf jenen Begriff zuruͤckfuͤhren, durch welche ſie
nur allein auf eine geſchmeidige Art ſich entwik-
keln laſſen. Es iſt alſo von der groͤßten Wich-
tigkeit, Anfaͤnger ſobald als moͤglich an dieſe
Begriffe zu gewoͤhnen, und ſie mit der wahren
Bedeutung derſelben vertraut zu machen. Man
raubt ihnen ſonſt die ſchoͤnſte und brauchbarſte
Anſicht der hoͤhern Analyſe, und die reichhaltigſte
Quelle zu neuen Unterſuchungen und Erfindungen,
zu welchen ſie ohne die Betrachtung des unend-
lich Kleinen, nur auf einem ſehr dornigten und
unbehaglichen Wege gelangen wuͤrden.

§. 3.
Aufgabe.

Es iſt die Function
gegeben, man ſoll die Graͤnze des Ver-
haͤltniſſes Δ y : Δ x, d. h. das Verhaͤlt-
niß der Differenzialien d y : d x finden.

Aufl. I. Weil A, B, unveraͤnderliche
Groͤſſen bedeuten, ſo iſt die geaͤnderte Function,
wenn x um Δ x, und y um Δ y ſich aͤndert

II. Nun iſt nach dem binomiſchen Lehrſatz
Demnach
.

III. Hievon ziehe man die urſpruͤngliche
Function y = A xn + B ab, ſo erhaͤlt man,
fuͤr die Differenzengleichung
..
in
[76]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
in welcher Reihe die folgenden Glieder, der Ord-
nung nach den Factor (Δ x)3; (Δ x)4 u. ſ. w.
enthalten.

IV. Demnach wird das Verhaͤltniß
und der Quotient

V. Dieſer Ausdruck naͤhert ſich dem Gliede
n A xn — 1, worin Δ x nicht vorkommt, ohne Ende
immer mehr und mehr, je kleiner man Δ x
nimmt. Verwandeln ſich alſo Δ y, Δ x, in die
Differenzialien, ſo erhaͤlt man
oder den Differenzialquotienten
wofuͤr man als bequemern Ausdruck, auch die
Differenzialgleichung
zu ſchreiben pflegt.

§. 4.

Zuſatz. Da y den Ausdruck A xn + B
bedeutet, ſo ſagt man auch n A xn — 1 d x ſey
das Differenzial von A xn + B, oder
Auf das Differenzial hat alſo die conſtante Groͤſſe
B nicht den geringſten Einfluß, und es iſt einer-
ley A xn oder A xn + B zu differenziiren, wo-
von die Urſache aus (II. III.) leicht einzuſehen
iſt. Nur ſolche unveraͤnderliche Groͤſſen wie A,
welche in der vorgegebenen Function y in veraͤn-
derliche multiplicirt ſind, kommen auch in den
Differenzialen gewoͤhnlich vor.

§. 5.
Aufgabe.

Es ſey Ψ = P + Q + R + S + C, wo C
eine unveraͤnderliche Groͤſſe, P, Q, R,
S ꝛc. lauter veraͤnderliche Groͤſſen ſind;
man ſoll das Differenzial von Ψ fin-
den.

Aufl. Es iſt klar, daß in dieſem Falle
das Differenzial von Ψ, aus der Summe der
Differenzialien von den veraͤnderlichen Groͤſſen P,
Q, R, S ꝛc. beſtehen wird. Denn die geaͤnderte
Function
[78]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Function Ψ iſt Ψ + d Ψ, die geaͤnderte Groͤſſe
P = P + d P, die geaͤnderte Q = Q + d Q
u. ſ. w., und die unveraͤnderliche Groͤſſe C hat
kein Differenzial alſo d C = o. Demnach
Ψ + d Ψ = P + d P + Q + dQ + R + dR + S + dS + C
hievon abgezogen die ungeaͤnderte
Ψ = P + Q + R + S + C
ſo iſt die Differenzialgleichung
d Ψ = d P + d Q + d R + d S.
Sind einige von den Groͤſſen P, Q ꝛc. negativ,
ſo werden begreiflich auch die zugehoͤrigen Diffe-
renziale in dem Ausdrucke fuͤr d Ψ negativ geſetzt.

§. 6.

Zuſ. Begreiflich koͤnnen die veraͤnderlichen
Groͤſſen P, Q ꝛc. auch wieder Functionen von
andern ſeyn, oder auch Functionen von einer und
derſelben veraͤnderlichen Groͤſſe, z. B. von x.
Ein paar Beyſpiele werden dieſes erlaͤutern.

Erſtes Beyſpiel. Man ſoll das Dif-
ferenzial von
Ψ = 4 x5 + 7 x3 + 5 x + 8
finden.

Hier waͤre alſo P = 4 . x5, alſo dP = 5 . 4 x4 dx
nach der gefundenen allgemeinen Formel (§. 4.)
wor-
[79]Differenzialrechnung.
worin fuͤr gegenwaͤrtigen Fall A = 4; n = 5
ſeyn wuͤrde.

Ferner Q = 7 x3 alſo d Q = 3 . 7 x2 d x (§. 4.)
R = 5 x alſo d R = 5 dx
C = 8 alſo d C = o
demnach die Differenzialgleichung
d Ψ = (20 x4 + 21 x2 + 5) d x
oder (20 x4 + 21 x2 + 5) d x iſt das Differen-
zjal von 4 x5 + 7 x3 + 5 x + 8, wo ſtatt der 8
auch jede andere unveraͤnderliche Groͤſſe ſtehen
koͤnnte.

Zweytes Beyſpiel.
Ψ = 4 x7 + 3 y2 + 5 z.
Alſo P = 4 x7; d P = 28 x6 d x; Q = 3 y2;
d Q = 6 y d y; R = 5 z; d R = 5 d z.
Mithin
d Ψ = 28 x6 d x + 6 y d y + 5 d z.

§. 7.

Zuſatz. Verlangte man nicht die Diffe-
renzialgleichungen ſondern die Differenzialquotien-
ten, ſo haͤtte man fuͤr Beyſpiel I.
und
[80]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
und fuͤr Beyſpiel II.
Wo alſo in dem letztern Falle wieder be-
ſondere Differenzialquotienten bezeichnen, welche
bekannt ſeyn muͤſſen, wenn der erſtere ſoll ge-
funden werden koͤnnen.

So waͤre auch fuͤr das Verhaͤltniß von d Ψ
zu d y
in welchem Falle alſo die Werthe der Differen-
zialquotienten als bekannt angeſehen
werden muͤſſen.

§. 8.
Aufgabe.

Wenn P, Q nach Gefallen veraͤn-
derliche Groͤſſen ſind, das Differen-
zial des Products P. Q zu finden, d. h.
P. Q zu differenziiren.

Aufl. I. Man nenne das Product P. Q
der Kuͤrze halber Z, ſo ſoll man aus der Glei-
chung Z = P . Q
die Differenzialgleichung finden.

II. Man ſchreibe demnach Z + d Z ſtatt Z
. . . P + d P ſtatt P
. . . Q + d Q ſtatt Q
ſo wird die geaͤnderte Function heißen
Alſo (nach Abzug der ungeaͤnderten Z = P . Q)
d Z = P d Q + Q d P + d Q d P
Weil aber hier d Q, d P keine endlichen Differen-
zen ſondern Differenzialien bedeuten ſollen, ſo ver-
haͤlt ſich z. B.
d Q d P : P d Q = d P : P
d Q d P : Q d P = d Q : Q
d. h. das Product d Q . d P verſchwindet gegen
P d Q, und Q d P, weil es ſich gegen dieſe beyde
verhaͤlt, wie ein unendlich Kleines zu einer endli-
chen Groͤſſe. Demnach naͤhert ſich d Z ohne Ende
immer mehr und mehr dem Ausdruck PdQ + QdP,
d. h. die Differenzialgleichung iſt
d Z = P d Q + Q d P.

Oder d (P . Q) = P d Q + Q d P
FUm
[82]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Um das Differenzial eines Products zu finden,
multipliret man alſo jeden Factor in das Differen-
zial des andern, und addirt die einzelnen Producte.

§. 9.

BeyſpielI. Es ſey Z = yn xm zu
differenziiren.

Man ſetze demnach
P = yn; alſo d P = n yn — 1 d y (§. 4.)
Q = xm; alſo d Q = m xm — 1 d x
ſo wird d Z oder
d (yn xm) = m yn xm — 1 d x + n xm yn — 1 dy
welches man der Kuͤrze halber = P d x + Q d y
ſetzen kann, wo denn P = m yn xm — 1; und
Q = n xm yn — 1 auch wieder Functionen von
x und y ſind.

BeyſpielII. Es ſeyen P, Q complexe
Groͤſſen z. B.
Z = (a x + b y) . (α x + β y)
alſo P = ax + by; Q = α x + β y; ſo iſt
dQ = α dx + β dy; dP = adx + bdy;
demnach
dZ oder d (ax + by) . (αx + βy) = Pdx + Qdy
wo
[83]Differenzialrechnung.
wo jetzt
alſo auch wieder Functionen von x und y ſind.

§. 10.

Zuſatz. Waͤre ein Product aus 3 Factoren,
z. B.
zu differenziiren, ſo ſetze man auf einen Augenblick
Aber wegen W = QR iſt dW = QdR + RdQ,
demnach
Um uͤberhaupt ein Product aus ſo viel Factoren
man will zu differenziiren, wird das Differenzial
jedes einzelnen Factors allemahl in das Product
aller uͤbrigen Factoren multiplicirt, und alles zu-
ſammen addirt.

§. 11.

Zuſatz. Waͤren nun z. B. P, Q, R nach
Gefallen Functionen von x, y, z, ſo wird ſich
allemahl
F 2er-
[84]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
ergeben, ſo daß π, π' ꝛc. ρ, ρ' ꝛc. ς, ς' ꝛc.; auch
wieder Functionen jener veraͤnderlichen Groͤſſen ſind.
Daraus findet ſich dann
oder
wo P, Q, R, aus den Factoren P, Q, R, und
ihren Differenzialien leicht gefunden werden koͤnnen.

§. 12.

Zuſatz. In der Aufgabe (§. 3.) iſt zwar
nicht beſonders erwaͤhnt worden, daß n jede
ganze, gebrochene [und] verneinte Zahl bedeuten
kann; indeſſen weiß man doch, daß der binomiſche
Lehrſatz (§. 3. II.) und die daraus abgeleitete
Differenzialgleichung (V.) in der groͤſten Allgemein-
heit ihre Richtigkeit haben.

Geſetzt aber, man wolle vorlaͤufig den bino-
miſchen Lehrſatz nur fuͤr n = einer ganzen Zahl
gelten laſſen, ſo wird doch die Differenzialgleichung
(§. 3. V.) ſtatt finden, auch wenn n ein gebro-
chener Exponent iſt.

Denn man ſetze , ſo daß μ und ν
ganze Zahlen ſind, ſo wird, aus der Gleichung
(auf die conſtante Groͤſſe C brauchen
wir nicht Ruͤckſicht zu nehmen)
y =
[85]Differenzialrechnung.
Demnach , und auf beyden Seiten
differenziirt
Mithin
Aber
Mithin
Alſo voͤllig die Formel §. 3. V., wenn man dor-
ten ſetzt.

§. 13.

Zuſatz. So wird auch jene Formel (§. 3. V.) ihre
Richtigkeit haben, wenn n eine negative Zahl iſt.

Man ſetze nemlich n = — m, ſo hat man
Mithin
folglich wenn man auf beyden Seiten differen-
ziirt, nach (§. 9.)
wegen d A = o, als dem Differenzial einer con-
ſtanten Groͤſſe. Alſo
voͤllig wie (§. 3. V.) wenn man das dortige
n = — m ſetzt.

Die Formel (§. 3. V.) iſt allgemein richtig,
was auch n fuͤr einen Werth haben mag.

§. 14.

Zuſatz. Es bedeute U eine Function von
ſo viel veraͤnderlichen Groͤſſen als man will, und
es ſey
wo m jeden Exponenten bedeuten kann, ſo hat
man nach der allgemeinen Formel (§. 3. V.) wo
die veraͤnderliche Groͤſſe x jetzt das U bedeutet
wo
[87]Differenzialrechnung.
wo denn nur der Werth von d U, der ſich durch
die Differenziirung der Function U ergiebt, ſubſti-
tuirt werden darf. Einige Beyſpiele werden dies
erlaͤutern.

BeyſpielI. Es ſey
zu differenziiren, ſo iſt
demnach , weil a2 als eine con-
ſtant angenommene Groͤſſe kein Differenzial hat.
Und nun wegen
d Y oder

BeyſpielII. Es ſey
zu differenziiren, ſo hat man ;
alſo
Mit-
[88]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Mithin d Y oder
und ſo in andern Faͤllen.

§. 15.
Aufgabe.

Es ſey der Bruch oder Quotient
zu differenziiren, wo X, Y, welche
veraͤnderliche Groͤſſen oder Functio-
nen man will, bezeichnen.

Aufloͤſung. Man ſetze der Kuͤrze halber
ſo iſt Z . Y = X und Z d Y + Y d Z = dX
Mithin
oder in dem Gliede den Werth von Z
hergeſtellt
d Z
[89]Differenzialrechnung.
d. h., man multipliciret den Nenner Y in das
Differenzial des Zaͤhlers X, und zieht davon ab
das Product aus dem Zaͤhler X in das Differenzial
des Nenners Y. Den Reſt dividirt man mit
dem Quadrate des Nenners, ſo hat man das
Differenzial des Bruchs oder Quotienten .

§. 16.

Beyſp. I. Es ſey X eine conſtante Groͤſſe
= A; ſo iſt d X = o; mithin
.

Beyſp. II. Es ſey ;
alſo der Bruch
zu differenziiren, ſo hat man
. Alſo
Y d X
[90]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
demnach oder
Und ſo in andern Faͤllen.

§. 17.

Anmerkung. I. Nach den bisherigen Vor-
ſchriften laſſen ſich alle algebraiſche Functionen, es
ſeyen ganze, gebrochene, rationale oder irratio-
nale Functionen von einer oder ſo viel
veraͤnderlichen Groͤſſen als man will,
differenziiren, und das Differenzial wird ſich alle-
mahl durch
ausdruͤcken laſſen, wenn Z eine ſolche Function
von x, y, z … bedeutet, wo denn die Werthe
von P, Q, R durch die bisherigen Vorſchriften
gefunden werden koͤnnen, und wie z. B. (§. 9. 10.)
ebenfalls wieder Functionen der in Z vorkommen-
den veraͤnderlichen Groͤſſen ſeyn werden.

II. Dieſer Ausdruck
iſt allgemein richtig, was auch ſonſt Z fuͤr eine
Function von x, y, z .. ſeyn mag, wenn auch die
Function nicht algebraiſch ſondern tranſcen-
dent (Einleitung §. II.) ſeyn wuͤrde, denn es iſt
klar, daß d Z allemahl durch d x, d y, d z …
beſtimmt ſeyn muß, und daß denn dieſe Diffe-
renzialien durch gewiſſe Functionen, P, Q, R die
ſich durch die Differenziation von Z ſelbſt ergeben,
werden multiplicirt ſeyn muͤſſen, welche nun in
Anſehung der primitiven Function Z,abge-
leitete Functionen (fonctions derivées)
genannt werden, weil ſie ſich aus jener Z be-
ſtimmen laſſen, wenn man Z ſo differenziirt, daß
man entweder alle Groͤſſen x, y, z zu-
gleich, oder nur eine nach der andern
als veraͤnderlich betrachtet.

III. Um dieſes zu erlaͤntern ſey z. B. Z
eine Function von 3 veraͤnderlichen Groͤſſen x,
y, z, alſo
Hier iſt nun klar, daß wenn man Z ſo differen-
ziirt haͤtte, daß man bloß x als veraͤnderlich, y
und
[92]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
und z hingegen als unveraͤnderliche Groͤſſen be-
trachtet haͤtte, ſchlechtweg
ſeyn wuͤrde, wegen d y = o, und d z = o.

Demnach haͤtte man die derivirte oder abge-
leitete Function ; d. h. die primiti-
ve Function Z ſo differenziirt, daß
man bloß x als veraͤnderlich betrachtet,
und dann dieſes Differenzial mit d x
dividirt.

IV. Eine ſolche Operation, wodurch man
bey der Differenziation einer Function Z nur eine
Groͤſſe, z. B. x als veraͤnderlich, die uͤbrigen
hingegen waͤhrend der Arbeit als unveraͤnderlich
anſieht, wird dadurch angedeutet, daß man den
Ausdruck wie in eine Parentheſe einſchließt
.

Auf dieſelbe Art bedeutet , daß man
bey der Differenziation von Z bloß y als veraͤn-
derlich betrachten, und das erhaltene Differenzial
mit d y dividiren ſoll.

So wie man demnach
erhielt, ſo wird auf eben die Art
werden.
P, Q, R ſind alſo abgeleitete Functionen
von Z, weil ſie ſich durch die Differenziirung von
Z auf die angezeigte Weiſe ergeben.

V. Der Kuͤrze halber wollen wir kuͤnftig
P = den Differenzialquotien-
ten von Z nachx; Q = den Diffe-
renzialquotienten von Z nachy u. ſ. w.
neunen. Man nennt dieſe Ausdruͤcke auch par-
tielle Differenzialquotienten vonZ.
Zu ihrer Bezeichnung laͤſſet man ſehr oft auch
die Parentheſen weg, welches aber nur Verwirrung
verurſacht.

VI. Zur Erlaͤuterung diene das Beyſpiel
(§. 9.) fuͤr zwey veraͤnderliche Groͤſſen.

Differenziirt man den dortigen Ausdruck
Z = (a x + b y) . (αx + βy) erſtlich ſo,
daß
[94]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
daß man bloß x als veraͤnderlich, y hingegen
als conſtant betrachtet, ſo erhaͤlt man
.

Differenziirt man nun aber zweytens Z ſo,
daß man bloß y als veraͤnderlich anſieht, ſo wird
voͤllig wie §. 9., wo die Werthe von P, Q, aus
den dortigen Producten, P d Q + Q d P durch
eine etwas weitlaͤuftigere Rechnung gefunden wor-
den ſind.

VII. Subſtituirt man demnach ſtatt P, Q, die
gefundenen Werthe, ſo erhaͤlt man das voll-
ſtaͤndige Differenzial, d. h. wenn man beyde
Groͤſſen x, y, zugleich als veraͤnderlich
anſieht iſt d Z = P d x + Q d y; oder in den
Bezeichnungen (IV.)
.
Und eben ſo wenn Z eine Function von 3 ver-
aͤnderlichen Groͤſſen x, y, z ſeyn wuͤrde
d Z =
[95]Differenzialrechnung.
d Z = P d x + Q d y + R d z oder
d Z = d z
z. B. waͤre Z = x y z2 + y4 + x z3
ſo haͤtte man
Jetzt wollen wir unterſuchen, wie die Werthe von
P, Q, R u. ſ. w. ſich aus Z ableiten laſſen,
wenn Z eine tranſcendentiſche Function, z. B. eine
logarithmiſche Groͤſſe, eine Exponential-
Groͤſſe, einen Kreisbogen deſſen trigono-
metriſche Linie gegeben iſt u. dergl. bedeu-
ten wuͤrde.

§. 18.
Lehrſatz.

Wenn c eine gewiſſe Zahl, und μ
einen kleinen Bruch bedeutet, ſo naͤ-
hert ſich der Ausdruck ohne Ende
immer mehr und mehr einer unveraͤn-
der-
[96]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
derlichen bloß von c abhaͤngigen Groͤſ-
ſe, je kleiner μ iſt.

Bew. Man ſetze c = 1 + a; ſo wird nach
dem binomiſchen Lehrſatz
..

Mithin
Nun iſt klar, je kleiner man μ nimmt, deſto mehr
naͤhert ſich 1 — μ der Zahl 1; 2 — μ der Zahl 2;
3 — μ der Zahl 3 u. ſ. w.

Mithin naͤhert ſich ohne Ende
(1 — μ) (2 — μ) dem Producte 1. 2
(1 — μ) (2 — μ) (3 — μ) dem Producte 1. 2. 3
u. ſ. w.
Alſo naͤhert ſich
ohne Ende der Reihe
.
d.
[97]Differenzialrechnung.
d. h. einer beſtaͤndigen von μ nicht abhaͤngigen
Groͤſſe, welche ich mit A bezeichnen will.

Wird alſo μ unendlich klein, ſo hat man
u. ſ. w.
— u. ſ. w.
Alſo iſt A eine unveraͤnderliche von c abhaͤngige
Groͤſſe.

§. 19.

Zuſ. Aus = A folgt
cμ = 1 + A . μ
d. h. cμ naͤhert ſich ohne Ende dem Werthe 1
je kleiner man μ nimmt, welches ohnehin aus
der gemeinen Arithmetik bekannt iſt. Aber die
Graͤnze des Verhaͤltniſſes
: 1 iſt A : 1.

§. 20.
Aufgabe.

Es ſeyy = log x.Wenn nun die
veraͤnderliche Groͤſſe x um die Diffe-
Grenz
[98]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
renz Δ x, folglich y um die Differenz
Δ y waͤchſt, die Graͤnze des Verhaͤltniſ-
ſes Δ y : Δ x oder den Quotienten
zu beſtimmen, wenn Δ x und folglich
auch Δ y ohne Ende immer mehr und
mehr abnehmen, d. h. ſich in die Dif-
ferenziale d y, d x verwandeln.

Aufl. I. Wenn c die Baſis des loga-
rithmiſchen Syſtems iſt, zu welchem log x gehoͤrt,
ſo hat man bekanntlich
cy = x
Mithin cy + Δ y = x + Δx = x
d. h. cy + Δ y = cy
Oder auf beyden Seiten mit cy dividirt
cΔ y = 1 +
Mithin .

II. Werden nun Δ y, Δ x unendlich klein,
d. h. verwandeln ſie ſich in die Differenziale dy, dx,
und
[99]Differenzialrechnung.
und laͤßt man ferner das unendlich kleine dy das
μ in (§. 19.) bedeuten, ſo hat man
Demnach A = (I.)
Oder
d. h. iſt die Graͤnze, der ſich der Quotient
ohne Ende immer mehr und mehr naͤhert,
welche Naͤherung denn durch die Gleichung
oder d y =
ausgedruͤckt wird.

§. 21.

Wegen y = log x, bedeutet d y alſo auch
das Differenzial des Logarithmen von x. Man
kann demnach die Differenzialgleichung (§. 20. II.)
auch ſo ausdruͤcken
d log x =
G 2d.
[100]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
d. h., man bekoͤmmt das Differenzial des Loga-
rithmen einer Zahl x, wenn man das Differen-
zial der Zahl x mit der Zahl ſelbſt dividirt,
und den Quotienten mit der unveraͤnderlichen
Groͤſſe , welche von der Baſis c des logarith-
miſchen Syſtems abhaͤngt (§. 18.) multiplicirt.

Ich will der Kuͤrze halber mit M be-
zeichnen, ſo iſt
d log x = M .

§. 22.

Um zu ſehen, was A und folglich auch M,
fuͤr eine Zahl fuͤr das briggiſche Syſtem ſeyn
wuͤrde, ſo kann man ſich der briggiſchen Loga-
rithmentafeln auf folgende Art dazu bedienen.

Man ſetze fuͤr μ einen ſehr kleinen Bruch,
je kleiner je beſſer, ſo wird cμ ſehr wenig von
1 unterſchieden ſeyn, und folglich wenn man der
Kuͤrze halber cμ = 1 + m ſetzt, m ebenfalls
ein ſehr kleiner Bruch ſeyn.

Nun hat man aus der Gleichung cμ = 1 + m;
μlog c = log (1 + m); alſo μ =
und folglich oder
weil fuͤr das briggiſche Syſtem c = 10 und
log 10 = 1 iſt. Je kleiner man alſo m nimmt,
deſto mehr wird ſich die Groͤſſe dem
Werthe von A naͤhern.

Es ſey z. B. m = 0,0000001, ſo wird
aus Gardiners oder Vega’s groſſen Loga-
rithmentafeln
log (1 + m) = log 1,0000001 = 0,00000043429
Mithin
oder A = 2,30258. Mithin
M = = 0,43429.

Wir werden indeſſen in der Folge ſehen, wie
man den Werth von M auch unmittelbar, ohne
Loga-
[102]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Logarithmentafeln berechnen kann. (M. ſ. unten
§. 74. I. Beyſp. (11.)).

Man koͤnnte ſich zwar der Reihe (§. 18.)
— u. ſ. w.
= 9 — — u. ſ. w.
dazu bedienen, allein dieſe Reihe iſt von der Be-
ſchaffenheit daß ſie geradezu zu dem Zwecke nicht
gebraucht werden kann.

§. 23.

Setzt man A und folglich auch M = 1, ſo
nennt man das Logarithmenſyſtem, dem dieſer
Werth entſpricht, das natuͤrliche Syſtem,
und die zugehoͤrigen Logarithmen die natuͤrli-
chen. Um die Baſis c dieſes Syſtems zu fin-
den, ſetzt man in die Gleichung
A = 1 dies giebt denn log c = ;
alſo z. B. fuͤr m = 0,0000001;
log c = = 0,43429
Mithin c = 2,71828.

Dieſe Zahl, als Baſis des natuͤrlichen Sy-
ſtems, wird gewoͤhnlich mit dem Buchſtaben e
bezeichnet. Wir werden in der Folge zeigen, ſie
auch unmittelbar zu beſtimmen, und zwar in noch
mehr Decimalſtellen, als ſie hier gefunden wor-
den iſt. M. ſ. unten (§. 74. zw. Beyſp. (5)).

§. 24.

Bedeutet alſo y den natuͤrlichen Logarith-
men einer Zahl x, ſo iſt ey = x, und die Dif-
ferenzialgleichung (§. 21.) heißt dann ſchlechtweg
dy oder d log nat x = ; wegen M = 1
wo denn der Ausdruck log nat x den natuͤrlichen
Logarithmen von x bezeichnet.

Aber fuͤr jedes andere Logarithmenſyſtem iſt
d log x = M .
und muß man alſo, um das Differenzial eines
ſolchen Logarithmen zu finden, die Zahl M, den
ſogenannten Modulus dieſes Syſtems wiſſen.

§. 25.

Zuſ. Weil die Baſis eines Logarithmenſy-
ſtems allemahl diejenige Zahl iſt, deren Loga-
rithme
[104]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
rithme in dieſem Syſtem = 1 iſt, ſo hat man
log nat e oder log nat 2,718 . . = 1.

§. 26.

Anm. Kuͤnftig werden wir, wenn nicht
ausſchließlich ein Logarithmenſyſtem benannt iſt,
unter einem Ausdruck wie log x immer den na-
tuͤrlichen Logarithmen verſtehen, und alſo
ſchlechtweg d log x = ſetzen.

Waͤre aber z. B. von briggiſchen Loga-
rithmen die Rede, ſo wuͤrde man ſchreiben muͤſſen
d log brigg. x = 0,43429 .
weil fuͤr dieſes Syſtem der Modulus
M = 0,43429 … iſt (§. 22.).

§. 27.

Zuſ. 1. Man kann ſich von einem Lo-
garithmen, wieder den Logarithmen gedenken,
von dieſem abermahls den Logarithmen u. ſ. w.
Dies ſchreibt man auf folgende Art log log x
oder ſchlechtweg ll x; lll x u. ſ. w.

2. Das Differenzial eines Ausdrucks, z. B.
l l x zu finden, ſetze man der Kuͤrze halber lx = z;
ſo
[105]Differenzialrechnung.
ſo iſt l lx = l z alſo d (l l x) = d log z =
weil d l x = (§. 26.)

3. Um l l l x zu differenziiren, ſetze man
jetzt l l x = u ſo iſt l l l x = l u.

Demnach
oder
(2)
Dieſe Schluͤſſe kann man leicht weiter fortſetzen.

§. 28.

Einen Ausdruck z. B. (l x)n zu differenzii-
ren, ſetze man l x = w, ſo iſt
(lx)n = wn; alſo d (lx)n = n. wn—1 d w (§. 3. V)
d. h. wegen dw =
d (l x)n = n (l x)n—1.
Wo n jeden ganzen, gebrochenen oder negativen
Exponenten bezeichnen kann.

§. 29.

Zuſ. Bedeutet X welche Function von x
man will, ſo iſt allgemein
d log X = .

Beyſp. I. Es ſey X = a + x alſo
d X = d x ſo hat man
d log (a + x) =
und wenn x negativ iſt
d log (a — x) = — .

Beyſp. II. Es ſey X = ; al-
ſo d X = (§. 15.). Mithin
d log X oder d log

Beyſp. III. Es ſey X = x + √ (1 + x2),
ſo iſt d X = d x +
Alſo
[107]Differenzialrechnung.
Alſo d log X, oder
d log (x + √ (1 + x2)) = .

§. 30.

Zuſ. Iſt Z eine Function von ſo viel ver-
aͤnderlichen Groͤſſen, x, y, z als man will, ſo
iſt auch
d log Z =
wo denn der Werth von dZ = P dx + Q dy + R dz
am bequemſten nach (§. 17.) gefunden werden kann.

§. 31.

Zuſ. Z koͤnnte ein Product aus zwey oder
mehreren Factoren ſeyn; z. B. Z = P. Q. R, ſo
waͤre log Z = log P + log Q + log R; und
folglich d log Z = , z. B.
d log [(a+x) (b+x)] = d log (a+x) + d log (b+x)
.

§. 32.

Zuſ. Oder Z ein Quotient = , ſo
waͤre
log
[108]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
log Z = log T — log W und
d log Z =
z. B. Z = ; alſo T = 1 + x; W = 1 — x.
Mithin ; ,
und folglich
d log Z oder d log
d. h. d log.

§. 33.
Aufgabe.

Eine Groͤſſe deren Exponent als
veraͤnderlich betrachtet wird, oder eine
ſogenannte Exponentialgroͤſſe, z. B.
yx zu differenziiren, die Wurzel y mag
ſelbſt auch veraͤnderlich, oder auch un-
veraͤnderlich ſeyn.

Aufl. Man ſetze der Kuͤrze halber yx = z,
ſo iſt wenn man auf beyden Seiten Logarithmen
nimmt
log z = x log y.
Mithin
[109]Differenzialrechnung.
Mithin weil x. log y ein Product iſt, deſſen Dif-
ferenzial nach der Regel §. 8. gefunden werden
kann, wenn man das dortige P = x; Q = log y
ſetzt
= x . d (log y) + log y . d x
Oder + d x . log y
Alſo d z = z . d y + z log y . d x
Oder ſtatt z ſeinen Werth yx geſetzt
d (yx) = x yx — 1 d y + yx log y dx.

§. 34.

Zuſ. Waͤre y = a unveraͤnderlich, alſo
d y = o, ſo haͤtte man
d (ax) = ax . log a . d x
unter den Logarithmen immer die natuͤrlichen
verſtanden (§. 25.). Fuͤr den Fall daß a = e
(§. 23.), alſo log e = 1 waͤre, haͤtte man
d ex = ex . d x.

§. 35.

Zuſ. Fuͤr y = x haͤtte man
d (xx) = (1 + log x) xx d x.

§. 36.

Zuſ. Allgemein iſt d (eZ) = eZ d Z, wo
Z jede Function von ſo viel veraͤnderlichen Groͤſ-
ſen, als man will, bedeuten kann, deren Differen-
zial d Z nach (§. 17.) am bequemſten gefunden
wird.

§. 37.

Zuſ. Z koͤnnte wieder eine Exponential-
groͤſſe z. E. xx ſeyn, dann waͤre
d exx = exx (1 + log x) xx d x (§. 35.)
Oder waͤre Z = ex alſo d Z = ex d x (§. 34.),
ſo haͤtte man
d eex = eex ex d x.
Und ſo in andern Faͤllen.

§. 38.
Aufgabe.

Es ſeyy = ſinφ, man ſoll d y oder
d ſinφ finden.

Aufl. I. Wenn der Bogen φ um die Dif-
ferenz Δ φ waͤchſt, ſo wachſe y um die Differenz
Δ y; alſo hat man
y + Δ y = ſin (φ + Δ φ)
und
[111]Differenzialrechnung.
und folglich
Δ y = ſin (φ + Δ φ) — y = ſin (φ + Δ φ) — ſinφ.

II. Aber
ſin (φ + Δ φ) = ſinφ. coſ Δ φ + ſin Δ φ . coſφ
Demnach
Δ y = ſinφ (coſ Δφ — 1) + ſin Δφ. coſφ
Nun naͤhert ſich aber coſ Δ φ ohne Ende immer
mehr und mehr dem Sinus totus 1, je kleiner man
Δ φ nimmt; und ſin Δ φ naͤhert ſich ohne Ende
dem Bogen Δ φ ſelbſt; wird alſo Δ φ unendlich
klein = dφ alſo auch Δ y = dy, ſo naͤhert ſich
coſ Δ φ — 1, und folglich auch das Product ſinφ
(coſ dφ — 1) ohne Ende der Null, und das
Product ſin dφ. coſφ ohne Ende dem Werthe
dφcoſφ; demnach hat man
d y = dφcoſφ d. h.
d ſinφ = dφ. coſφ;
die Graͤnze des Verhaͤltniſſes d y : dφ iſt alſo =
coſφ : 1, oder der Quotient
naͤhert ſich ohne Ende dem Werthe coſφ, wel-
ches denn durch die Gleichung = coſφ,
oder d y = dφ . coſφ ausgedruͤckt wird.

§. 39.

Bedeutet Z eine beliebige Function von φ,
ſo iſt eben ſo d ſin Z = d Z coſ Z.

Waͤre z. B. Z = mφ, was auch m fuͤr
eine Zahl ſeyn mag, ſo iſt d Z = m dφ. Mithin
d Z = d ſin mφ = m dφcoſ mφ)
Oder haͤtte man z. B. Z = α + φ; wo α einen
conſtanten Bogen bezeichen, ſo iſt d Z = dφ und
d ſin Z oder
d ſin (α + φ) = dφcoſ (α + φ)
Oder wenn α auch veraͤnderlich geſetzt wuͤrde
d ſin (α + φ) = (dα + dφ) coſ (α + φ).

§. 40.

Zuſ. Man ſetze Z = 90° — φ; ſo iſt
dZ = — dφſin Z = coſφ; coſ Z = ſinφ;
dieſe Werthe in (§. 39.) ſubſtituirt, geben das
Differenzial eines Coſinus
d coſφ = — dφſinφ.

§. 41.

Zuſ. Haͤtte man die Potenz m eines Si-
nus alſo (ſinφ)m zu differenziiren, ſo gaͤbe dies
nach (§. 4.) das dortige n = m, A = 1 und
x = ſinφ geſetzt
d
[113]Differenzialrechnung.
d (ſinφ)m = m (ſinφ)m — 1 d ſinφ
= m (ſinφ)m — 1 dφcoſφ (§. 38.)
welches man denn auch wohl der Kuͤrze halber mit
Weglaſſung der Parentheſe auf folgende Art ſchreibt:
d ſinφm = m ſinφm — 1 dφcoſφ
welche Art zu ſchreiben wir denn auch kuͤnftig bey-
behalten wollen.

§. 42.

Zuſ. So findet ſich auf eine aͤhnliche Weiſe
d coſφm = — m coſφm — 1 . dφſinφ.

§. 43.

Zuſ. Ein Product z. B. ſinψn . ſinφm,
oder ſinφm . coſψn zu differenziiren, verfaͤhrt
man nach (§. 8.),
z. B. das dortige P = ſinψn; und Q = ſinφm
geſetzt,
d ſinψn. ſinφm = ſinψn . d ſinφm
+ ſinφm. d ſinψn
wo denn die Differenziale d ſinφm; d ſinψn nach
(§. 41.) gefunden, und ſubſtituirt werden
koͤnnen.

§. 44.
Aufgabe.

Die Ausdruͤcke, tangφ; ſecφ; cotφ;
coſecφzu differenziiren.

Aufl. I. Weil ; ſo hat
man nach der §. 15. angegebenen Art einen Quo-
tienten zu differenziiren
oder
(§. 38-40.) .
Aber fuͤr den Sinus totus 1, iſt
coſφ2 + ſinφ2 = 1 alſo

II. Oder uͤberhaupt

was auch Z fuͤr eine Function von φ ſeyn mag.

III. Setzt man alſo Z = 90° — φ; alſo
d Z = — dφ ſo erhaͤlt man
.

IV. Ferner iſt ; demnach
(§. 15.)

V. Und wegen nach einer
aͤhnlichen Rechnung
.

§. 45.

Dieſe Differenzialformeln ſind durchaus von
dem weitlaͤuftigſten Gebrauche; wozu denn auch
noch folgende gehoͤren, die aus den bisherigen
und aus (§. 26.) leicht abgeleitet werden.

VI.

VII.

VIII. .

IX. .

X. .

XI. d\log\text{co\longs ec}\phi=-d\phi\cot\phi.

§. 46.

Man bezeichne einen Bogen deſſen Sinus
= x gegeben iſt, auf folgende Art, Arc ſin x
(von arcus Bogen) oder Bogen ſin x oder auch
ſchlechtweg durch B ſin x; werden nun die Be-
zeichnungen Arc tang x; Arc coſ x u. ſ. w. oder
auch B tang x; B coſ x auf eine aͤhnliche Art
verſtanden, ſo ergeben ſich aus den Formeln (§. 44.
45.) noch andere welche ebenfalls von ſehr haͤufi-
gen Gebrauche ſind.

I. Nemlich wenn man ſinφ = x ſetzt ſo
iſt umgekehrt φ = Arc ſin x; und dφ =
d Arc ſin x; coſφ = √ (1 — x2). Subſtituirt
man alſo dieſe Ausdruͤckungen in die Formel
(§. 38.) ſo erſcheint ſie jetzt
auf folgende Art:
.

II. Ferner ſetze man in (§. 40.) coſφ = x,
alſo d coſφ = d x ſo iſt jetzt φ = Arc coſ x;
ſinφ = √ (1 — x2), und die Gleichung
erhaͤlt jetzt die Form
.

III. Setzt man in (§. 44.) tangφ = x,
ſo wird φ = Arc tang x;
und die Formel
dφ = d tangφ . coſφ2
verwandelt ſich jetzt in
.

IV. Nach voͤllig aͤhnlichen Subſtitutionen er-
haͤlt man aus den Formeln §. 44. III. IV. V.
folgende
.

V. .

VI. .

§. 47.

Es bedarf keines Beweiſes, daß jeder ver-
aͤnderlichen Groͤſſe oder Function, die wir bisher
differenziirt haben, auch noch eine beſtaͤndige oder
unveraͤnderliche Groͤſſe, durch die Addition oder
Subtraction, haͤtte hinzugefuͤgt geweſen ſeyn koͤn-
nen, ohne daß dadurch das Differenzial im ge-
ringſten wuͤrde geaͤndert worden ſeyn; denn wenn
Z welche Function man will, bedeutet, ſo iſt allge-
mein, wenn A eine unveraͤnderliche Groͤſſe be-
zeichnet, d (Z ± A) allemahl = d Z.
Alſo z. B.
d (ſinφ ± A) = d ſinφ = dφcoſφ.
Sind aber die Functionen welche differenziirt wer-
den ſollen, in einen unveraͤnderlichen Factor mul-
tiplicirt, ſo wird mit dieſem Factor auch das Diffe-
renzial multiplicirt. Denn es iſt allgemein
d . M Z = M d Z + Z d M (§. 8.)
Iſt demnach M unveraͤnderlich alſo d M = o,
ſo iſt d M Z = M d Z.
Man differenziirt alſo bloß Z, und multiplicirt
das Differenzial in den unveraͤnderlichen Factor M.

§. 48.

Zuſ. Aus den bisherigen Differenzialfor-
meln laſſen ſich durch Combinationen unzaͤhlige
andere
[119]Differenzialrechnung.
andere ableiten, wie wir unter andern in der In-
tegralrechnung ſehen werden. Hier begnuͤge ich
mich nur vorlaͤufig nachſtehende ſehr wichtige For-
meln, aus den vorhergehenden abzuleiten.

I. Man ſetze in die Formel §. 32. ſtatt x
eine imaginaͤre oder unmoͤgliche Groͤſſe von der
Form tangφ . √ — 1, ſo wird daſelbſt
d x = √ — 1 . d tangφ =
(§. 44. I.); und 1 — x2 = 1 + tangφ2;
demnach
d log =
2 √ — 1 .
Aber 1 + tangφ2 = ſecφ2 = ; dem-
nach d log
Aber 2 √ — 1 . dφ iſt das Differenzial von
2 √ — 1 . φ wozu aber noch eine conſtante Groͤſſe
= A geſetzt werden koͤnnte (§. 47.). Alſo iſt
d (A + 2 √ — 1 . φ)
Mit-
[120]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Mithin auch die Function
Weil aber fuͤr φ = o auch tangφ = o iſt, ſo er-
haͤlt man fuͤr die beſtaͤndige Groͤſſe A die Gleichung
A = log = log 1 = o
Alſo iſt A = o, und folglich ſchlechtweg
.
Eine ſehr merkwuͤrdige Gleichung, wovon in der
Analyſis der haͤufigſte Gebrauch gemacht wird.
Sie zeigt wie Kreisbogen und Logarithmen un-
moͤglicher Groͤſſen in Verbindung ſtehen, und ſich
gegenſeitig in einander verwandeln laſſen. Aber
das Unmoͤgliche rechter Hand des Gleichheitszei-
chens iſt, wie wir in der Folge ſehen werden, nur
ſcheinbar, und das Unmoͤgliche verſchwindet,
wenn man den Logarithmen der angegebenen Groͤſſe
in eine Reihe verwandelt, und ſie mit
multiplicirt. M. ſ. unten (§. 74. Beyſpiel III. 6).

1. Man kann dieſer Gleichung noch verſchie-
dene andere Formen geben, wenn man
tang
[121]Differenzialrechnung.
tangφ = ſetzt. Dann iſt nemlich
φ = Arc tang und folglich
Arc tang
wo B und C jede Zahlen bedeuten koͤnnen.

2. Auch iſt dieſer Ausdruck identiſch mit
folgenden:
Arc tang

3. Dann iſt auch wegen
tang
2 Arc tang = Arc tang;
mithin auch
Arc
[122]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Arc tang

4. Ein Bogen deſſen Tangente iſt, hat
zum Sinus den Ausdruck und zum
Coſinus den Ausdruck . Daher
denn die logarithmiſchen Ausdruͤcke (2) fuͤr
Arc tang; auch die Werthe von
Arc ſin und
Arc coſ bezeichnen.

Ein Bogen deſſen Tangente =
iſt, hat zum Sinus die Groͤſſe , und
zum Coſinus die Groͤſſe ; daher ſind
die
[123]Differenzialrechnung.
die logarithmiſchen Ausdruͤcke (3) auch identiſch
mit Arc ſin und Arc coſ.

II. Setzt man tang, ſo erhaͤlt
man auch (I.)

III. Oder auch
.

IV. Man multiplicire des Bruchs wovon
der Logarithme genommen iſt, Zaͤhler und Nen-
ner in (II.) gemeinſchaftlich mit (coſφ + ſin√ — 1),
ſo erhaͤlt man wegen
(coſφ + ſinφ √ — 1) (coſφ — ſinφ √ — 1
= coſφ2 + ſinφ2 = 1
Auch
log (coſφ + ſinφ √ — 1)2 d. h.
log (coſφ + ſinφ √ — 1). Alſo
φ √ — 1 = log (coſφ + ſinφ √ — 1).
Und
[124]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Und eben ſo aus (III.) wenn man Zaͤhler und
Nenner gemeinſchaftlich mit coſφ — ſinφ √ — 1
multiplicirt
— φ √ — 1 = log (coſφ — ſinφ √ — 1).

V. Nun ſey e die Zahl, deren natuͤrlicher Lo-
garithme = 1 (§. 25.) ſo hat man (IV.) die
Gleichungen
eφ √ — 1 = coſφ + ſinφ √ — 1
e— φ √ — 1 = coſφ — ſinφ √ — 1.
Mithin die Formeln, welche ebenfalls ſehr haͤufig
vorkommen

VI. Aus (IV.) wird auch, wenn n welche
Zahl man will, bedeutet
nφ √ — 1 = n log (coſφ + ſinφ √ — 1).

VII. Nun bleibt aber die Gleichung (IV.)
φ √ — 1 = log (coſφ + ſinφ √ — 1)
auch richtig wenn man ſtatt φ, den n fachen Bo-
gen
[125]Differenzialrechnung.
gen alſo nφ ſetzt, weil φ jeden Bogen uͤberhaupt
bezeichnet, mithin hat man auch
nφ √ — 1 = log (coſ nφ + ſin nφ √ — 1).

VIII. Demnach (VI. VII.)
n log (coſφ + ſinφ √ — 1)
= log (coſ nφ + ſin nφ √ — 1)
oder log (coſφ + ſinφ √ — 1)n
= log (coſ nφ + ſin nφ √ — 1)
d. h. (coſφ + ſinφ √ — 1)n
= coſ nφ + ſin nφ √ — 1.
Abermahls eine ſehr wichtige Gleichung, welche
zeigt wie Sinus und Coſinus des n fachen Bogens,
aus dem Sinus und Coſinus des einfachen gefun-
den werden koͤnnen.

IX. Es iſt nemlich wenn φ negativ geſetzt
wird, auch
(coſφ — ſinφ √ — 1)n = coſ nφ — ſin nφ √ — 1
weil die Sinuſſe negativer Bogen negativ werden,
die Coſinuſſe aber poſitiv bleiben.

X. Demnach aus (VIII. IX.)
.
(coſ
[126]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
.
Wo n jede ganze oder gebrochene Zahl bedeu-
ten kann.

XI. Es ſey z. B. n = 3, ſo erhaͤlt man
coſ 3 φ = coſφ3 — 3 coſφſinφ2
ſin 3 φ = 3 coſφ2ſinφ — ſinφ3
Dieſe und mehr andere Saͤtze die jetzt nicht hie-
her gehoͤren, werden ſonſt auch wohl auf andere
Art erwieſen, aber nicht in der Allgemeinheit, in
der hier n jede ganze gebrochene oder verneinte
Zahl bedeuten kann.

XII. Man ſetze in (I) den Bogen φ = ei-
nem Vielfachen des Halbkreiſes π alſo = kπ, ſo
iſt tangφ = tang kπ = o; demnach
2 kπ √ — 1 = log = log 1.
Es hat alſo log 1 unzaͤhlig viele Werthe, weil
weil k jede ganze Zahl bedeuten kann; aber alle
dieſe Werthe ſind unmoͤglich, und nur der einzige,
nemlich fuͤr k = o iſt moͤglich, nemlich fuͤr k = o
iſt 2 kπ √ — 1 auch = o, mithin log 1 = o,
wie bekannt.

Weil nun log b = log b . 1 = log b
+ log 1; ſo iſt, wenn log b = L genannt wird
log b = L + 2 kπ √ — 1.

Alſo hat auch der Logarithme einer jeden
andern Zahl b unzaͤhlig viele Werthe, aber nur
den einzigen moͤglichen nemlich fuͤr k = o, wo
dann der unmoͤgliche Theil 2 kπ √ — 1 verſchwin-
det, und log b = L wird.

XIII. Setzt man in (I) φ negativ und zwar
= — kπ ſo hat man auch
— 2 kπ √ — 1 = log 1.

XIV. Mithin auch
log b = L — 2 kπ √ — 1
Alſo iſt uͤberhaupt
log b = L ± 2 kπ √ — 1.

XV. Setzt man in (I) ſtatt tangφ,
ſo iſt auch
.
Iſt nun ; oder oder uͤberhaupt
ſo wird allemahl cot;
dem-
[128]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
demnach
Hier mag nun m = o, oder was fuͤr eine ganze
Zahl man will, ſeyn, ſo iſt log — 1 allemahl unmoͤg-
lich, und ſo findet man denn uͤberhaupt log — b =
log (b . — 1 = log b + log — 1 =
L ± (2 m + 1) π √ — 1
d. h. der Logarithme einer negativen Zahl iſt alle-
mahl unmoͤglich, aber es ſind der unmoͤglichen
Werthe unzaͤhlige. Iſt alſo y = log x, ſo ge-
hoͤren zu jedem x unzaͤhlig viele y, d. h. y oder
log x iſt eine tranſcendentiſche Function von x.
Dies dient zur Erlaͤuterung von Einleitung (§. II.
2. 3.)

XVI. Weil nach (XII.) 2 kπ √ — 1 = log 1,
ſo hat man umgekehrt e2 kπ √ — 1 = 1.
Dieſer Ausdruck e2 kπ √ — 1 iſt hier offenbar
nur ſcheinbar imaginaͤr. Denn ſetzt man in (V)
das dortige φ = 2 kπ, ſo iſt
e2 kπ √ — 1 = coſ 2 kπ + ſin 2 kπ √ — 1
welches wegen coſ 2 kπ = 1 und ſin 2 kπ = o,
ſich in e2 kπ √ — 1 = 1 verwandelt. Hier
hat man ein Beyſpiel zu (Einleitung §. IX.)
Dies
[129]Differenzialrechnung.
Dies fuͤhrt auf ein leichtes Verfahren, die Wur-
zeln einer Gleichung wie xn — an = o zu finden.
Denn man erhaͤlt , alſo
demnach
oder wenn man in (V) ſetzt
.
Weil aber auch k negativ geſetzt werden kann, wo-
durch coſ wie fuͤr ein poſitives k; ſin
aber entgegengeſetzt zu nehmen iſt, ſo hat man auch
d. h. alle Wurzeln der Gleichung xn — an = o
ſind unter der allgemeinen Form
enthalten, wo denn fuͤr 2 k jede gerade Zahl,
welche nicht groͤßer als n iſt, genommen werden
darf.

Naͤhme man 2 k \> n, ſo wuͤrden wieder dieſel-
ben Werthe von x zum Vorſchein kommen, welche
man fuͤr 2 k \< n erhalten hatte, daher man 2 k nie
\> n nimmt.

Es ſey z. B. x5 — a5 = o, ſo erhaͤlt man
fuͤr
k = o d. Wurzel x=a
.

Wollte man nun z. B. k = 3, alſo
nehmen, ſo wuͤrden, weil coſ;
und ſin, wieder eben die Wur-
zeln x zum Vorſchein kommen, welche man fuͤr k = 2
erhalten hatte, und ſo ferner fuͤr k = 4 eben die
Wurzeln, welche man fuͤr k = 1 erhalten hatte u.
ſ. w. Die Gleichung x5 — a5 = o hat alſo keine
anderen Wurzeln, als die 5, welche ſich fuͤr k = o;
1; 2; ergeben hatten.

Fuͤr x6 — a6 = o, wuͤrde man eben ſo die Wur-
zeln
x
[131]Differenzialrechnung.
x = a
.
Oder auch
x = a
x = — a
(wegen coſπ = coſπ = — 1 und ſin
= ſinπ = o) erhalten.

XVII. Auf eine aͤhnliche Art kann man die
Wurzeln der Gleichung xn + an = o finden.
Denn man erhaͤlt jetzt
.
± (2 k + 1) π √ — 1
Aber — 1 = e(XV).
J 2Dem-
[132]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Demnach
x = a e
d. h. wenn man jetzt in
ſetzt
wo jetzt fuͤr 2 k + 1 jede ungerade Zahl, die nicht
groͤßer als n iſt, geſetzt werden kann.

XVIII. Hieraus ergiebt ſich denn weiter, daß
ein Ausdruck wie xn — aneinfache Factoren von
der Form
und
d. h. quadratiſche oder vielmehr dreythei-
ligte Factoren von der Form
haben wird, weil dieſer quadratiſche Ausdruck das
Produkt aus den angefuͤhrten einfachen Factoren iſt.

Hiebey iſt jedoch zu bemerken, daß fuͤr k = o
kein quadratiſcher Factor, ſondern nur ein einfacher
x — a zu ſetzen iſt, wie z. B. x5 — a5 in (XVI)
bloß die Factoren x — a;
x2 — 2 a x coſ ⅖π + a2
x2 — 2 a x coſ ⅘π + a2
haben kann.

Iſt n gerade, ſo iſt fuͤr 2 k = n auch kein qua[-]
dratiſcher Factor, ſondern bloß ein einfacher x + a
zu ſetzen. So hat z. B. x6 — a6 in (XVI) bloß
die Factoren.

x — a
x2 — 2 a x coſ ⅓π + a2
x2 — 2 a x coſ ⅔π + a2
x + a
wo denn freylich ſtatt (x — a) (x + a) auch ein
quadratiſcher x2 — a2 geſetzt werden koͤnnte, der
aber nicht mit den dreytheiligten von der allge-
meinen Form x2 — 2 a x coſπ + a2 zu
einer Claſſe gehoͤrt.

XIX. Fuͤr einen Ausdruck wie xn + an wuͤr-
den die einfachen Factoren ſeyn
die dreytheiligten Factoren von xn + an wuͤrden
denn unter der Form
enthalten ſeyn, wobey aber zu merken iſt, daß wenn
n ungerade iſt, fuͤr 2 k + 1 = n kein quadratiſcher,
ſondern blos der einfache Factor x + a genommen
werden muß.

§. 49.
Von den hoͤhern Differenzialen.

Erklaͤrung. I. Wenn Z eine Funktion von
x, alſo d Z = P d x, oder iſt, ſo kann
man, falls die abgeleitete Function P nicht etwa
eine beſtaͤndige Groͤße iſt, ſolche auch wieder diffe-
renziiren. Findet man nun d P = Q d x, und iſt
Q auch noch veraͤnderlich, ſo kann man ferner Q
wieder differenziiren, und dieß Verfahren, ſo weit
es angeht, fortſetzen.

Iſt nun auf dieſe Art

• d Z = P d x
• d P = Q d x
• d Q = R d x u. ſ. w.

ſo nennt man P die erſte abgeleitete Funk-
tion von Z; Q die zweyte abgeleitete, R
die dritte u. ſ. w. (Prèmiere fonction de-
rivée; ſeconde fonction derivée u. ſ. w.)

II. Da man bey allen dieſen Differenziationen
das d x immer gleich groß, alſo als unveraͤnderlich
anſiehet, ſo iſt, wenn man P d x als ein Produkt
aus einer veraͤnderlichen Groͤße P in eine unveraͤn-
derliche d x betrachtet, das Differenzial von P d x
= d P · d x; weil aber P d x ſelbſt ſchon das Dif-
ferenzial von Z iſt, ſo wird das Differenzial von
P d x das Differenziodifferenzial oder das
zweyte Differenzial von Z genannt, und durch
d d Z, oder d2 Z angezeigt, in welchem Ausdrucke
man denn das d2 nicht, wie ſonſt, mit der Bezeich-
nung eines Quadrats verwechſeln darf.

III. Alſo hat man
d d Z = d P · d x = Q d x2
oder

IV. Nun kann man aber in dem Ausdrucke
Q d x2 das Q, wenn es die veraͤnderliche Groͤße x
enthaͤlt, wieder als einen veraͤnderlichen Factor be-
handeln, und Q d x2 abermahls differenziiren, in-
dem d x2 als unveraͤnderlich angeſehen wird.
Dann wird dieſes Differenzial das dritte Diffe-
renzial von Z genannt, und durch d d d Z, oder
d3 Z angezeigt. Es iſt alſo
d3 Z = d Q d x2 = R d x3
Mithin
Und ſo ferner wenn d R = S d x iſt
u. ſ. w.

Die Ausdruͤcke d2 Z, d3 Z, d4 Z … dn Z
bedeuten alſo fortgeſetzte Differenziationen von Z,
hoͤhere Differenziale von Z, wobey denn d x
immer als unveraͤnderlich behandelt wird.

V. Da in dem Ausdrucke
Q eine endliche Groͤße iſt, ſo erhellet, daß das d x2
oder das Quadrat des Differenzials d x, als ein
unendlich kleines von einer hoͤhern Ordnung, den-
noch
[137]Differenzialrechnung.
noch mit dem Differenziodifferenzial d d Z von einer-
ley Ordnung ſeyn wird, weil ſonſt beyde in einan-
der dividirt, keine endliche Groͤße Q zum Quo-
tienten geben koͤnnten; denn waͤre Q z. B. ſelbſt ein
unendlich Kleines, ſo waͤre in der Proportion
d d Z : d x2 = Q : 1
d d Z gegen d x2 ein unendlich Kleines, weil Q
gegen 1 ein unendlich Kleines iſt. Alſo muͤßte d d Z
ein unendlich Kleines von einer hoͤhern Ordnung als
d x2 ſeyn (§. 1. XXIX.). Waͤre aber dagegen Q
unendlich groß, ſo wuͤrde auch d d Z gegen d x2
unendlich groß, alſo d d Z ein unendlich Kleines von
einer niedrigern Ordnung als d x2 ſeyn. Alſo muß
d d Z nothwendig als ein unendlich Kleines von
einerley Ordnung mit d x2 betrachtet werden.

Auf dieſelbe Art erhellet, daß auch d3 Z und
d x3 als unendlich Kleine von einerley Ordnung zu
betrachten ſind. Und ſo uͤberhaupt dn Z und d xn.

Beyſpiel. Es ſey Z = (a + b x)n. F x,
wo F x welche Funktion von x man will bedeute,
ſo iſt
d Z = (a + b x)n d F x + n b d x (a + b x)n—1 F x
demnach P oder
Nennt
[138]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Nennt man alſo den Differenzialquotienten
wo F' x wieder eine Funktion von x ſeyn wird, ſo
hat man
oder wenn man die Funktion (a + b x) F' x + nbFx
mit f x bezeichnet
Ein Ausdruck, welcher dem anfaͤnglich fuͤr Z
vorgegebenen voͤllig aͤhnlich iſt, nur daß f x ſtatt
F x ſteht, und ſtatt (a + b x)n die naͤchſtniedri-
gere Potenz (a + b x)n—1.

Differenziirt man nun weiter, und ſetzt auf eine
aͤhnliche Art
, und (a + b x) f' x + n b f x = φx,
ſo erhaͤlt man
.

Ein Ausdruck, welcher dem fuͤr Z vorgegebenen
abermahls aͤhnlich iſt, nur daß jetzt φx ſtatt F x,
und (a + b x)n—2 ſtatt (a + b x)n ſteht.

Setzt man dieſe Rechnung weiter fort, ſo
werden die folgenden Differenzialquotienten ,
, ꝛc. immer eine niedrigere Potenz von a + b x
enthalten, und ſo iſt denn durch dieſes Beyſpiel zu-
gleich der Satz erwieſen, daß wenn eine Funktion
Z von x, einen Factor wie z. B. a + b x, n mahl
enthaͤlt, auch alle folgenden Differenziale
ꝛc. dieſen Factor enthalten, daß aber die Zahl
dieſer Factoren immer um 1 abnimmt, bis endlich
den Factor a + b x gar nicht mehr enthalten
wird.

VI. Wenn wir bey den fortgeſetzten Differenzia-
tionen von Z das Differenzial d x als unveraͤnder-
lich betrachtet haben, ſo ſieht man doch leicht, daß
dies keine nothwendige Vorausſetzung iſt, ſon-
dern in den zu differenziirenden Produkten P d x,
Q d x u. ſ. w. das Differenzial d x auch wieder als
veraͤnderlich behandelt werden kann, ſo daß auch von
dieſem ſich wieder Differenziale d d x, d3 x u. ſ. w.
gedenken laſſen, unter welcher Vorausſetzung denn
obige Ausdruͤcke P d x, Q d x u. ſ. w. voͤllig nach
der
[140]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
der Art, wie Produkte aus zwey veraͤnderlichen
Factoren, zu differenziiren ſind. (§. 8.)

VII. Fuͤr dieſen Fall erhaͤlt man demnach
d d Z = d P · d x + P d d x.
Oder wegen d P = Q d x
d d Z = Q d x2 + P d d x.
In welcher differenziodifferenzial-Glei-
chung die unendlich kleinen Groͤßen d d Z, d x2,
d d x, als von einerley Ordnung zu betrachten ſind.

VIII. Wird die Gleichung (VII.) auf beyden
Seiten von neuen differenziirt, ſo ergiebt ſich nach
der Art, wie das in dem Ausdrucke Q d x2 vorkom-
mende Quadrat der veraͤnderlichen Groͤße d x nach
(§. 4.) zu differenziiren ſeyn wuͤrde
d3 Z = dx2 · dQ + 2Qdx · ddx + ddxdP + Pd3x
oder ſtatt d Q, d P die Werthe (I) ſubſtituirt
d3 Z = R d x3 + 3 Q d x d d x + P d3 x.
In welcher Differenzialgleichung vom
dritten Grade denn d 3 Z; d x3; d x d d x;
d3 x auch wieder als unendlich Kleine von einerley
Ordnung zu betrachten ſind.

Auf dieſe Weiſe kann man weiter fortfahren,
und d4 Z, d5 Z ꝛc. erhalten, wenn es zu einem
Gebrauche erforderlich ſeyn ſollte. Ein Beyſpiel
wird hinlaͤnglich ſeyn, das bisherige zu erlaͤutern.

IX. Es ſey alſo Z = A + Bx + Cx2 + Dx3
ſo hat man

Dieſe Werthe alſo in die Gleichungen (VII.
VIII.) ſubſtituirt geben
d d Z = (2 C + 6 D x) d x2 + (B + 2 C x
+ 3 D x2) d d x
d3 Z = 6 D d x3 + 3 (2 C + 6 D x) d x d d x
+ (B + 2 C x + 3 D x2) d3 x.

X. Betrachtete man aber d x als eine conſtante
Groͤße, ſo erhielte man d d x = o; d3 x = o,
und ſchlechtweg
.

XI. Man ſieht alſo, daß Ausdruͤcke wie ,
u. ſ. w. auch gewiſſe Funktionen von x bezeich-
nen, ſo bald Z eine dergleichen Funktion iſt; und
daß wenn man dieſe Ausdruͤcke jenen Funktionen
gleich ſetzt, dies weiter nichts ſagen will, als daß
ſie ſich denſelben nur ohne Ende immer mehr und
mehr naͤhern, je kleiner man d x nimmt, ſo wie es
im vorhergehenden von gezeigt worden iſt.
Die Ausdruͤcke , u. ſ. w. erhalten denn
ſchlechtweg die Werthe P, Q, u. ſ. w. (X), wenn
man das d x in allen Differenziationen, ſich immer
gleich bleiben laͤßt, und alſo in ſo fern als eine con-
ſtante Groͤße betrachtet.

XII. Laͤßt man aber das unendlich abnehmende
d x nicht immer ſich gleich verbleiben, waͤhrend
man die Funktion Z zu wiederhohlten mahlen diffe-
renziirt, gedenkt man ſich alſo, daß die veraͤnder-
liche Groͤße x, nicht immer um ein gleich großes
differenzial d x ſich aͤndert, ſondern dies Differenzial
ſelbſt wieder veraͤnderlich iſt, dann kommen auch
die Differenziale dieſes Differenzials, d. h. auch
die
[143]Differenzialrechnung.
die Werthe von d d x, d3 x u. ſ. w. in Betrach-
tung, und dann iſt z. B. nicht mehr ſchlecht-
weg der Funktion Q (X) gleich, ſondern es iſt als-
dann in (VII.)
d. h. es haͤngt der Quotient nunmehr auch zu-
gleich von P, und von dem Verhaͤltniſſe d d x zu
d x2, oder von dem endlichen Werthe des Quotien-
ten ab, oder vielmehr von dem Werthe, dem
dieſer Quotient ſich ohne Ende immer mehr und
mehr naͤhern wuͤrde.

XIII. Dies alles wird noch deutlicher werden,
wenn wir ſtatt unendlich kleine Differenzen, erſt
endliche Differenzen ſetzen.

Es ſey alſo die Funktion Z = A + B x + C x2,
ſo iſt, wenn wir erſtlich x um Δ x; und folglich Z
um Δ Z ſich aͤndern laſſen
Z + Δ Z = A + B (x + Δ x) + C (x + Δ x)2.
Oder
Δ Z = (B + 2 C x) Δ x + C (Δ x)2.
Hier
[144]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
Hier naͤhert ſich alſo erſtlich der Quotient
ohne Ende dem Werthe B + 2 C x,
d. h. es iſt der Differenzial-
quotient wie gewoͤhnlich.

XIV. Nun laſſe man aber in der (XIII) erhal-
tenen Differenzgleichung
Δ Z = (B + 2 C x) Δ x + C (Δ x)2
ſich x wieder um Δ x aͤndern, ſo aͤndert ſich Δ Z um
Δ Δ Z. Laͤßt man nun erſtlich dies Δ x eben den
Werth haben, den es in (XIII.) hatte, und laͤßt
es alſo unveraͤndert, d. h. conſtant, ſo iſt fuͤr die-
ſen Fall
Δ Z + Δ Δ Z = B Δ x + 2 C (x + Δ x) Δ x
+ C (Δ x)2
und folglich, wenn man von dieſer geaͤnderten Glei-
chung die erſtere abzieht
Δ Δ Z = 2 C · (Δ x)2.
Mithin der Differenzdifferenz-quotient
oder wenn man die Differenzen unendlich klein ſich
gedenkt, der Differenziodifferenzial-quotient

XV. Jetzt wollen wir aber das x in (XIV.)
nicht um dieſelbe Differenz wie in (XIV.) ſich aͤn-
dern laſſen, ſondern um eine andere = Δ x + Δ Δ x;
wo demnach Δ Δ x ausdruͤcke, um wie viel das jetzige
Δ x groͤßer als das vorige iſt. Dann betrachtet
man alſo das Δ x in (XIV.) ſelbſt als veraͤnderlich,
und erhaͤlt dann fuͤr dieſen Fall
Δ Z + Δ Δ Z = B (Δ x + Δ Δ x) + 2 C (x + Δ x
+ Δ Δ x) (Δ x + Δ Δ x) + C (Δ x + Δ Δ x)2.
Entwickelt man nun die Produkte rechter Hand des
Gleichheitszeichens, und ziehet von der erhaltenen
Gleichung die erſtere (XIV.)
Δ Z = B Δ x + 2 C x Δ x + C (Δ x)2
ab, ſo erhaͤlt man, wenn zuletzt alles mit (Δx)2
dividirt wird
.

XVI. In dieſem Ausdrucke naͤhert ſich nun
der in multiplicirte Factor, ohne Ende im-
mer mehr und mehr dem Werthe B + 2 C x, je
kleiner man Δ x, und folglich auch Δ Δ x nimmt, und
wenn man daher Δ x und Δ Δ x unendlich klein wer-
Kden,
[146]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
den, d. h. ſich in die Differenziale d x, d d x ver-
wandeln laͤßt, in welchem Falle ſich denn Δ Δ Z in
das Differenziodifferenzial verwandelt, ſo hat man
d. h. naͤhert ſich ohne Ende dem Werthe
rechter Hand des Gleichheitszeichens, und dieſe un-
endliche Annaͤherung will man durch das Zeichen
= ſelbſt andeuten.

XVII. So koͤnnte man alſo aus der Betrach-
tung, daß man die Differenzen alle zuerſt blos end-
lich annaͤhme, und ſie nun in den erhaltenen For-
meln allmaͤhlig immer mehr abnehmen oder unend-
lich klein werden ließe, alle Vorſchriften fuͤr die
Verhaͤltniſſe der hoͤhern Differenziale ableiten. Aber
die Rechnung wird unſtreitig kuͤrzer, wenn man die
Formeln fuͤr die hoͤhern Differenzialverhaͤltniſſe, ſo-
gleich auf die Betrachtung des unendlich Kleinen
gruͤndet, ſo wie z. B. das Verfahren (IX) (das
dortige D = o geſetzt) ſogleich
giebt, wie in (XVI).

XVIII. Indeſſen erhellet aus der Betrachtung
der endlichen Differenzen nunmehr noch deutlicher,
wie auch Ausdruͤcke von der Form ; eben-
falls nur gewiſſe Graͤnzverhaͤltniſſe oder Graͤnzquo-
tienten bezeichnen wollen, oder daß ſie die Werthe
von ; darſtellen, fuͤr den Fall, daß
die endlichen Differenzen unendlich klein werden,
oder wenn man will, ſich der Null ohne Ende im-
mer mehr und mehr naͤhern. Und ſo wuͤrden denn
Ausdruͤcke wie ; ; ; ,
dergleichen man z. B. aus (IX) ableiten koͤnnte,
auf eine aͤhnliche Art zu verſtehen ſeyn.

XIX. Der Bequemlichkeit wegen, werden aber
Gleichungen zwiſchen ſolchen Graͤnzquotienten nicht
wie z. B. in (XVII) geſchrieben, ſondern kuͤrzer
wie in (VIII) als Gleichungen zwiſchen den Diffe-
renzialen ſelbſt dargeſtellt, wiewohl der wahre Zweck
der Differenzialrechnung immer nur auf das Ver-
halten der Graͤnzquotienten, als endlicher Groͤßen,
hingerichtet ſeyn kann. Denn es iſt klar, daß nur
dadurch die Differenzialgleichungen eine beſtimmte
Bedeutung erhalten, da hingegen die Differenziale
K 2ſelbſt
[148]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
ſelbſt, als unendlich kleine, oder immerfort abneh-
mende Groͤßen, an und fuͤr ſich nicht beſtimmt ange-
geben, ſondern bey ihrer unendlichen Abnahme nur
in ihren gegenſeitigen Verhaͤltniſſen betrachtet werden
koͤnnen, deren Exponenten denn beſtimmte endliche
Groͤßen ſind.

§. 50.

Zuſatz. Aus dem bisherigen ergiebt ſich aber
nun zugleich noch eine andere wichtige Betrachtung.
Soll nemlich eine Differenzialgleichung wie (§. 49.
IX.) oder vielmehr wie (§. 49. XVII.) eine be-
ſtimmte Bedeutung haben, ſo muß nothwendig an-
gegeben ſeyn, in welchem Verhaͤltniſſe d d x zu d x2
ſtehe; dann weiß man auch was d d Z zu d x2 fuͤr
ein Verhaͤltniß haben wird, und umgekehrt, d. h.
man muß das Geſetz angeben, nach welchem d x
in (§. 49. VI.) variabel geſetzt wird, um daraus
ableiten zu koͤnnen, was fuͤr eine beſtimmte
endliche Funktion ſeyn wird. Einige Beyſpiele wer-
den dieſes erlaͤutern.

I.Beyſpiel. Geſetzt dx (§. 49. XVII) ſolle eine
unveraͤnderliche Groͤße ſeyn, d. h. bey den hoͤhern Dif-
ferenziationen ſich immer gleich verbleiben, ſo iſt d d x
=
[149]Differenzialrechnung.
= o zu ſetzen, wodurch denn der Quotient eben-
falls = o wird. Unter dieſer Vorausſetzung wird
der Quotient ſchlechtweg = 2 C, und hat al-
ſo hiedurch einen beſtimmten Werth, da er hinge-
gen zuvor da noch unbeſtimmt war, eine eben-
falls vage und unbeſtimmte Bedeutung hatte.

II.Beyſpiel. Geſetzt aber, es ſolle d x
nicht conſtant, ſondern ſelbſt veraͤnderlich ſeyn, ſo
iſt d d x nicht = o, mithin auch nicht = o.
Man nehme aber an, es ſolle allemahl ddx = adx2,
oder einer conſtanten Groͤße gleich ſeyn.
Dann wird nicht mehr unbeſtimmt bleiben,
ſondern die beſtimmte Funktion 2 C + (B + 2 C x) a
oder 2 C + B a + 2 C a x bezeichnen.

III.Beyſpiel. Oder waͤre d d x = X d x2,
wo X, welche Funktion von x man will bezeichne,
ſo iſt die nunmehr ebenfalls beſtimmte Funktion

IV.Beyſpiel. Es koͤnnte aber auch angege-
ben werden, was fuͤr einen beſtimmten Werth
erhalten ſoll, dann wird ſich daraus ableiten laſſen,
in welchem Verhaͤltniſſe d d x zu d x2 wird ſtehen
muͤſſen.

Sollte z. B. werden, ſo hat man
die Gleichung
Woraus die beſtimmte Funktion
folgt, d. h. es wird d d x zu d x2 allemahl in dem
Verhaͤltniſſe x — 2 C : B + 2 C x genommen werden
muͤſſen, wenn werden ſoll.

Und ſo in andern Faͤllen.

§. 51.

I. Die bisherigen Betrachtungen laſſen ſich
leicht auf alle Ausdruͤcke anwenden, worinn hoͤhere
Differenzialquotienten vorkommen. Z. B. ein Aus-
druck wie hat keinen beſtimmten Werth,
wenn
[151]Differenzialrechnung.
wenn nicht angegeben wird, was und ,
oder fuͤr beſtimmte Funktionen ſind, weil
der angegebene Ausdruck ſich auch in folgender Form
darſtellen laͤßt.

Da indeſſen die hoͤhern Differenzialquotienten
von den niedrigern abhaͤngen, ſo ſind jene beſtimmt,
ſo bald dieſe auf irgend eine Weiſe angegeben wer-
den. Man darf alſo nur angeben, was fuͤr
eine Funktion von x ſeyn ſoll, ſo wird ſich daraus
auch finden, was fuͤr eine Funktion von x iſt.

Es ſey z. B. allgemein , und X
welche Funktion von x man will, ſo iſt
d d x = X d x2.
Und folglich, wenn man auf beyden Seiten diffe-
renziirt
d3 x = 2 X d x d d x + d x2 · d X.
Wenn in dieſe Gleichung ſtatt d d x der Werth
X d x2, und d X = W d x geſetzt wird, wo W
ſich
[152]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
ſich durch die Differenziirung der Funktion X er-
giebt, ſo erhaͤlt man
d3 x = 2 X2 d x3 + W d x3.
Mithin , d. h. die Funk-
tion welche durch angezeigt wird, iſt jetzt in
endlichen Groͤßen dargeſtellt, und der ganze Diffe-
renzial-Ausdruck oder
erhaͤlt jetzt den beſtimmten endlichen Werth
.

II. Sehr oft pflegt man die Gleichung zwiſchen
ein paar Differenzialen wie z. B. zwiſchen d d x und
d x2 (in I) auch dadurch beſtimmen, daß man das
Differenzial einer beliebigen Funktion von x als un-
veraͤnderlich annimmt. So z. B. wenn das Diffe-
renzial von x2 unveraͤnderlich, alſo d (x)2 d. h.
2 x d x = a geſetzt wuͤrde, erhielte man durch aber-
mahlige Differenziation
2 x d d x + 2 d x2 = o
oder .
Dies hieße denn ſo viel als in (I) den Werth von
X
[153]Differenzialrechnung.
annehmen, wodurch denn den
beſtimmten Werth — 3 x2 erhaͤlt, wegen
.

Man ſieht hieraus, daß es einerley iſt, fuͤr
ſogleich eine beſtimmte Funktion anzunehmen,
oder dieſe erſt dadurch zu beſtimmen, daß man das
Differenzial irgend einer Funktion von x unveraͤn-
derlich ſetzt.

§. 52.

Wenn Z (§. 49. I) eine Funktion von zwey
veraͤnderlichen Groͤßen y und x iſt, ſo kann man
die hoͤhern Differenziale auf folgende Art erhalten.

Erſtlich iſt
d Z = P d x + Q d y (§. 17.)
Und wenn man nun weiter differenziirt,
d d Z = P d d x + d x d P + Q d d y + d y d Q.
Weil aber nun P, Q wieder Funktionen von x, y
ſind, wenn ſie nicht vermoͤge der Beſchaffenheit der
Funktion Z etwa conſtante Groͤßen werden, ſo er-
haͤlt man
P d = πd x + ρd y
Q d = π'd x + ρ'd y,
wo
[154]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
wo π, π'; ρ, ρ' auch wieder Funktionen von x, y
ſeyn koͤnnen.

Dies giebt demnach
ddZ = Pddx + πdx2 + ρ'dy2 + (ρ + π') dydx + Qddy.
Oder
.
Hier erhellet alſo gleichfalls, daß die einzelnen Dif-
ferenzialquotienten
; ; als gegeben angeſehen werden
muͤſſen, wenn der Differenzialquotient einen
beſtimmten Werth erhalten ſoll.

Es iſt unnoͤthig das Verfahren fuͤr noch hoͤhere
Differenziale, oder auch wenn Z eine Funktion von
noch mehr veraͤnderlichen Groͤßen waͤre, hier aus-
einander zu ſetzen.

§. 53.

I. Indeſſen erſiehet man, wie man auf dem
Wege der Differenziation auf allerley Differenzial-
ausdruͤcke gelangen kann, die keine beſtimmte Werthe
haben, wenn nicht andere als beſtimmt angeſehen
werden. Geſetzt man ſey z. B. durch irgend eine
Auf-
[155]Differenzialrechnung.
Aufgabe auf einen Differenzialquotienten von der
Form gekommen, ſo iſt klar,
daß dieſer keinen beſtimmten Werth haben kann,
wenn nicht 1) y eine Funktion von x iſt, wodurch
alſo die Differenziale von y in einem beſtimmten
Verhaͤltniſſe gegen die Differenziale von x ſtehen,
und 2) nicht das Differenzial einer beliebigen Funk-
tion von x als unveraͤnderlich angeſehen wird, wie
(§. 51. II).

II. Setzt man in dem obigen Ausdrucke, daß
y eine Funktion von x iſt, ſo hat man erſtlich d y
= p d x; mithin d d y = p d d x + d x d p =
p d d x + q d x2, wenn d p = q d x geſetzt wird.

III. Dieſe Werthe in obigen Ausdruck ſubſti-
tuirt, geben
.
Hier muß alſo entweder unmittelbar gegeben,
oder aus einem gewiſſen Differenzial, welches man
conſtant ſetzt, beſtimmt werden (§. 51. II), wenn
der vorgegebene Ausdruck eine beſtimmte Bedeutung
erhalten ſoll.

IV. Setzte man alſo z. B. wie (§. 51. II) das
Differenzial von x2 conſtant, alſo ,
ſo haͤtte man alſo
einer beſtimmten Funktion von x gleich, weil y, p,
q Funktionen von x ſind. Aber fuͤr jede andere
Funktion von y wuͤrde freylich dieſer Ausdruck auch
einen anderen Werth erhalten.

V. Wuͤrde dagegen das Differenzial y d x con-
ſtant geſetzt, ſo iſt, wenn man differenziirt, y d d x
+ d x d y = o. Alſo y d d x + p d x2 = o,
d. h. . Mithin jetzt
.
Wieder einer beſtimmten Funktion von x gleich, und
ſo in andern Faͤllen.

§. 54.

I. In manchen Faͤllen braucht man gar kein
Differenzial als unveraͤnderlich anzunehmen, ſo daß
alſo die zweyte Bedingung in (§. 53. I) ganz weg-
fallen kann, und dennoch erhaͤlt der Differenzial-
ausdruck einen beſtimmten Werth. Dies iſt z. B.
der
[157]Differenzialrechnung.
der Fall in (§. 53. III), wenn y — p x = o, wo-
durch der unbeſtimmte Theil ganz
wegfaͤllt.

II. Ein anderes Beyſpiel giebt die Formel
Verfaͤhrt man mit dieſer wie in §. 53. II., ſo wird
dyddx = pdxddx; dxddy = pdxddx + qdx3;
alſo , d. h. einem be-
ſtimmten von der Funktion y abhaͤngigen Werthe
— q gleich, ohne daß es noͤthig waͤre, irgend ein
Differenzial conſtant anzunehmen, begreiflich, weil
in den Werthen von d y d d x und d x d d y das ge-
meinſchaftliche Glied p d x d d x vorhanden iſt, wel-
ches bey der Subtraktion ſich aufhebt.

§. 55.

In dem letztern Falle (§. 54. II) iſt es alſo
gleichguͤltig, was man fuͤr ein Differenzial conſtant
annehmen will, ja man braucht gar keines conſtant
zu ſetzen, und die Formel behaͤlt immer den von
der Funktion y abhaͤngigen Werth — q.

Um dies mit einem Beyſpiele zu erlaͤutern, ſo
ſey y = x3. Dann iſt

I.Wenn gar kein Differenzial con-
ſtant angenommen wird
d y = 3 x2 d x
d d y = 3 x2 d d x + 6 x d x2.
Alſo die Formel
Wo denn dieſes 6 x der Werth von q iſt; weil
und p wegen dy = 3 x2dx gleich 3x2 iſt.

II.Wenn das Differenziald xcon-
ſtant angenommen wird, dann iſt ddx = o,
und die Formel heißt dann ſchlechtweg
= — 6 x.

III.Wenn das Differenziald ycon-
ſtant genommen wird, ſo hat man ddy = o,
d. h. 3 x2 d d x + 6 x d x2 = o, oder
;
und die Formel heißt dann
wieder = — 6 x.

IV. Ueberhaupt ſieht man leicht, daß welches
Differenzial man auch conſtant annehmen mag, um
dar-
[159]Differenzialrechnung.
daraus d d x zu beſtimmen, dies auf den Werth
der Formel nicht den gering-
ſten Einfluß haben kann, weil die zwey Glieder,
worinn d d x vorkoͤmmt, in dem (I) entwickelten
Ausdrucke dieſer Formel ſich immer gegen einander
aufheben.

§. 56.

So iſt es denn auch klar, daß wenn eine Dif-
ferenzialformel z. B. §. 53. da-
durch daß man ein gewiſſes Differenzial conſtant
ſetzte, einen beſtimmten Werth erhalten hat, z. B.
§. 53. V. den Werth
und nun in dieſen Ausdruck ſtatt p wiederum ,
und ſtatt q der Werth
ſubſtituirt wird, man einen unbeſtimmten Ausdruck,
d. h. einen Ausdruck in hoͤhern Differenzialen erhalten
wird, in welchem jedes Differenzial, oder auch gar
keines, conſtant angenommen zu werden braucht,
und
[160]Erſter Theil. Erſtes Kapitel.
und der doch eben den Werth behaͤlt, welchen der
urſpruͤngliche fuͤr das Differen-
zial, welches man conſtant geſetzt hatte (§. 53. V.)
erhielt.

Macht man die angefuͤhrte Subſtitution, ſo er-
haͤlt man fuͤr den Ausdruck T die Formel
y mag alſo fuͤr eine Funktion von x ſeyn, welche
man will, und man mag in dem Ausdrucke W fuͤr
ein Differenzial unveraͤnderlich annehmen, welches
man will, um daraus wie in (§. 55.) den Werth
von d d x ableiten, ſo wird doch immer die Formel
W durch die Subſtitution d y = p d x, und d d y
= p d d x + q d x2, ſich wieder in T = — 1 +
d. h. in den Werth verwandeln, den die
urſpruͤngliche Formel fuͤr das in
(§. 53. V) conſtant geſetzte Differenzial erhielt, weil
ſich durch die angefuͤhrte Subſtitution in dem Aus-
drucke W immer die Glieder aufheben werden,
welche das ddx enthalten, wie (§. 54. II. §. 55. IV)
und es alſo ganz gleichguͤltig iſt, was man in W fuͤr
ein
[161]Differenzialrechnung.
ein Differenzial conſtant ſetzen will, um daraus ddx
zu beſtimmen.