V. Ueber die Anwendung der mechanischen Wärme-
theorie auf die Dampfmaschine;
von R. Clausius.

1. Da die veränderten Ansichten über das Wesen
und das Verhalten der Wärme, welche unter dem Namen
der »mechanischen Wärmetheorie« zusammengefaſst wer-
den, in der bekannten Thatsache, daſs sich die Wärme
zur Hervorbringung von mechanischer Arbeit anwenden
läſst, ihre erste Anregung gefunden haben, so durfte man
im Voraus erwarten, daſs die so entstandene Theorie auch
umgekehrt wieder dazu beitragen müsse, diese Anwendung
der Wärme in ein helleres Licht zu stellen. Besonders
muſsten die durch sie gewonnenen allgemeineren Gesichts-
punkte es möglich machen, ein sichreres Urtheil über die
[442] einzelnen zu dieser Anwendung dienenden Maschinen zu
fällen, ob sie schon vollkommen ihren Zweck erfüllen,
oder ob und inwiefern sie noch der Vervollkommnung fä-
hig sind.

Zu diesen für alle thermodynamischen Maschinen gel-
tenden Gründen kommen für die wichtigste unter ihnen,
die Dampfmaschine, noch einige besondere Gründe hinzu,
welche dazu auffordern, sie einer erneuerten, von der me-
chanischen Wärmetheorie geleiteten Untersuchung zu un-
terwerfen. Es haben sich nämlich gerade für den Dampf
im Maximum der Dichte aus dieser Theorie einige wesent-
liche Abweichungen von den früher als richtig angenom-
menen oder wenigstens in den Rechnungen angewandten
Gesetzen ergeben.

2. Ich glaube in dieser Beziehung zunächst daran er-
innern zu dürfen, daſs von Rankine und mir nachgewie-
sen ist, daſs, wenn in einer für Wärme undurchdringli-
chen Hülle eine ursprünglich im Maximum der Dichte be-
findliche Quantität Wasserdampf sich ausdehnt, indem sie
einen beweglichen Theil der Hülle, z. B. einen Stempel,
unter Anwendung ihrer vollen Expansivkraft zurückschiebt,
dabei ein Theil des Dampfes sich niederschlagen muſs, wäh-
rend in den meisten früheren Schriften über die Dampf-
maschine, unter andern in dem vortrefflichen Werke von
de Pambour¹⁾ der Watt’sche Satz, daſs der Dampf
unter diesen Umständen gerade im Maximum der Dichte
bleibe, zu Grunde gelegt ist.

Ferner nahm man früher zur Bestimmung des Volumens
einer Gewichtseinheit gesättigten Dampfes bei verschiede-
nen Temperaturen in Ermangelung genauerer Kenntnisse
an, daſs der Dampf selbst im Maximum seiner Dichte noch
dem Mariotte’schen und Gay-Lussac’schen Gesetze
folge. Dem gegenüber habe ich schon in meiner ersten
Abhandlung über diesen Gegenstand ²⁾ gezeigt, daſs man
[443] aus den Grundsätzen der mechanischen Wärmetheorie un-
ter Zuziehung der Nebenannahme, daſs ein permanentes
Gas, wenn es sich bei constanter Temperatur ausdehnt, nur
so viel Wärme verschluckt, wie zu der dabei gethanen äuſseren
Arbeit verbraucht wird, die Volumina, welche eine Gewichts-
einheit Wasserdampf im Maximum der Dichte bei verschie-
denen Temperaturen einnimmt, berechnen kann, und daſs
man dabei Werthe findet, welche wenigstens bei höheren
Temperaturen von dem Mariotte’schen und Gay-Lus-
sac’schen Gesetze beträchtlich abweichen.

Diese Ansicht über das Verhalten des Dampfes wurde
damals selbst von den Autoren, welche sich speciell mit
der mechanischen Wärmetheorie beschäftigten, nicht ge-
theilt. Besonders W. Thomson bestritt sie. Er sah noch
in einer ein Jahr später, im März 1851, der Edinburger
R. Soc. vorgelegten Abhandlung ¹⁾ in diesem Resultate nur
einen Beweis für die Unwahrscheinlichkeit der von mir zu-
gezogenen Nebenannahme.

In neuerer Zeit aber hat er selbst in Verbindung mit
J. P. Joule es unternommen, die Richtigkeit dieser An-
nahme experimentell zu prüfen ²⁾. Durch eine Reihe zweck-
mäſsig ersonnener und im groſsartigen Maaſsstabe ausge-
führter Versuche haben sie in der That für die von ihnen
untersuchten permanenten Gase, nämlich atmosphärische
Luft und Wasserstoff, die Annahme so nahe richtig ge-
funden, daſs die Abweichungen in den meisten Rechnungen
vernachlässigt werden können. Für das nicht permanente
Gas dagegen, welches sie auch untersuchten, die Kohlen-
säure, fanden sie gröſsere Abweichungen. Dieses stimmt
ganz mit der Bemerkung überein, welche ich gleich bei
der ersten Erwähnung der Annahme hinzufügte, daſs sie
wahrscheinlich für jedes Gas in eben dem Grade genau
sey, in welchem das Mariotte’sche und Gay-Lussac’-
sche Gesetz auf dasselbe Anwendung findet. In Folge die-
[444] ser Versuche hat nun auch Thomson das Volumen des
gesättigten Dampfes in derselben Weise berechnet, wie
ich. Ich glaube daher, daſs die Richtigkeit dieser Berech-
nungsart auch von den übrigen Physikern allmählich mehr
und mehr anerkannt werden wird.

3. Diese beiden Beispiele werden genügen, um zu er-
kennen, daſs die Grundlagen der früheren Dampfmaschi-
nenlehre durch die mechanische Wärmetheorie so wesent-
liche Aenderungen erlitten haben, daſs eine erneuerte Un-
tersuchung dieses Gegenstandes nothwendig ist.

In der vorliegenden Abhandlung habe ich nun den Ver-
such gemacht, die Grundzüge einer mit der mechanischen
Wärmetheorie übereinstimmenden Berechnung der Arbeit
der Dampfmaschine zu entwickeln, wobei ich mich aber
auf die bisjetzt gebräuchlichen Arten von Dampfmaschinen
beschränkt habe, ohne auf die neueren, allerdings sehr
beachtenswerthen Bestrebungen, den Dampf im überhitzten
Zustande anzuwenden, für jetzt einzugehen.

Ich werde bei der Darstellung dieser Untersuchungen
nur die zuletzt von mir veröffentlichte Abhandlung »über
eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der mecha-
nischen Wärmetheorie« ¹⁾ als bekannt voraussetzen. Da-
durch wird es allerdings nothwendig, einige Resultate,
welche nicht mehr neu, sondern schon früher von anderen
Autoren oder von mir selbst gefunden sind, in etwas an-
derer Weise noch einmal abzuleiten; ich glaube aber, daſs
diese Wiederholung in der durch sie gewonnenen gröſse-
ren Einheit und Uebersichtlichkeit des Ganzen ihre Recht-
fertigung finden wird. Ich werde an den betreffenden
Stellen die Arbeiten, in welchen diese Resultate zuerst
mitgetheilt wurden, soweit sie mir bekannt sind, anführen.

4. Der Ausdruck, daſs die Wärme eine Maschine treibt,
ist natürlich nicht auf die Wärme unmittelbar zu beziehen,
sondern ist so zu verstehen, daſs irgend ein in der Ma-
schine vorhandener Stoff in Folge der Veränderungen,
welche er durch die Wärme erleidet, die Maschinentheile
[445] in Bewegung setzt. Wir wollen diesen Stoff den die Wir-
kung der Wärme vermittelnden Stoff nennen.

Wenn nun eine fortwährend wirkende Maschine in
gleichmäſsigem Gange ist, so finden alle dabei vorkom-
menden Veränderungen periodisch statt, so daſs derselbe
Zustand, in welchem sich zu einer gewissen Zeit die Ma-
schine mit allen ihren einzelnen Theilen befindet, in glei-
chen Intervallen regelmäſsig wiederkehrt. Demnach muſs
auch der die Wirkung der Wärme vermittelnde Stoff in
solchen regelmäſsig wiederkehrenden Momenten in gleicher
Menge in der Maschine vorhanden seyn, und sich in glei-
chem Zustande befinden. Diese Bedingung kann auf zwei
verschiedene Arten erfüllt werden.

Erstens kann ein und dasselbe ursprünglich in der Ma-
schine befindliche Quantum dieses Stoffes immer in ihr
bleiben, wobei dann die Zustandsänderungen, welche die-
ser Stoff während des Ganges erleidet, so stattfinden müs-
sen, daſs er mit dem Ende jeder Periode wieder in seinen
Anfangszustand zurückkehrt, und dann denselben Cyclus
von Veränderungen von Neuem beginnt.

Zweitens kann die Maschine jedesmal den Stoff, wel-
cher während einer Periode zur Hervorbringung der Wir-
kung gedient hat, nach auſsen abgeben, und dafür eben-
soviel Stoff von derselben Art von auſsen wieder auf-
nehmen.

5. Dieses letztere Verfahren ist bei den in der Praxis
angewandten Maschinen das gewöhnlichere. Es findet z. B.
bei den calorischen Luftmaschinen, wie sie bis jetzt construirt
sind, Anwendung, indem nach jedem Hube die Luft, welche
im Treibcylinder den Stempel bewegt hat, in die Atmo-
sphäre ausgetrieben, und dafür vom Speisecylinder eine
gleiche Quantität Luft aus der Atmosphäre geschöpft wird.
Ebenso bei den Dampfmaschinen ohne Condensator, bei
welchen auch der Dampf aus dem Cylinder in die Atmo-
sphäre tritt, und dafür aus einem Reservoir neues Wasser
in den Kessel gepumpt wird.

Ferner findet es wenigstens eine theilweise Anwendung
[446] auch bei den Dampfmaschinen mit Condensator von ge-
wöhnlicher Einrichtung. Bei diesen wird das aus dem
Dampfe niedergeschlagene Wasser zwar zum Theil in den
Kessel zurückgepumpft, aber nicht alles, weil es mit dem
Kühlwasser gemischt ist, und von diesem daher auch ein
Theil in den Kessel kommt. Der nicht wieder angewandte
Theil des niedergeschlagenen Wassers muſs mit dem übrigen
Theile des Kühlwassers zusammen fortgeschafft werden.

Das erstere Verfahren hat in neuerer Zeit in denjenigen
Dampfmaschinen Anwendung gefunden, welche durch zwei
verschiedene Dämpfe, z. B. Wasser- und Aetherdampf, ge-
trieben werden. In diesen wird der Wasserdampf nur
durch die Berührung mit Metallröhren, welche inwendig
mit flüssigem Aether gefüllt sind, niedergeschlagen, und
dann vollständig wieder in den Kessel zurückgepumpt.
Ebenso wird der Aetherdampf in Metallröhren, die nur
auswendig von kaltem Wasser umspült sind, niedergeschla-
gen, und dann in den ersten Raum, der zur Verdampfung
des Aethers dient, zurückgepumpt. Es braucht daher, um
den gleichmäſsigen Gang zu erhalten, nur so viel Wasser
und Aether neu zugeführt zu werden, wie etwa wegen
Unvollkommenheit der Construction durch die Fugen ent-
weicht.

6. In einer Maschine dieser Art, in welcher dieselbe
Masse immer wieder von Neuem angewandt wird, müssen,
wie oben gesagt, die verschiedenen Veränderungen, welche
die Masse während einer Periode erleidet, einen in sich
geschlossenen Cyclus oder nach der Bezeichnung, welche
ich in meiner vorigen Abhandlung gewählt habe, einen
Kreisproceſs bilden.

Solche Maschinen dagegen, bei denen ein periodisches
Aufnehmen und Wiederausscheiden von Massen stattfin-
det, sind dieser Bedingung nicht nothwendig unterworfen.
Dessen ungeachtet können auch sie dieselbe erfüllen, in-
dem sie die Massen in demselben Zustande wieder aus-
scheiden, in welchem sie sie aufgenommen haben. Dieses
ist der Fall bei den Dampfmaschinen mit Condensator, bei
denen das Wasser im flüssigen Zustande und mit dersel-
[447] ben Temperatur, mit der es aus dem Condensator in den
Kessel getreten war, später aus dem Condensator fortge-
schafft wird ¹⁾.

Bei anderen Maschinen ist der Zustand beim Austritte
von demjenigen beim Eintritte verschieden. Die calorischen
Luftmaschinen z. B., selbst wenn sie mit einem Regenerator
versehen sind, treiben die Luft mit höherer Temperatur in
die Atmosphäre zurück, als sie vorher hatte, und die Dampf-
maschinen ohne Condensator nehmen das Wasser tropfbar
flüssig auf, und lassen es dampfförmig wieder ausströmen.
In diesen Fällen findet zwar kein vollständiger Kreisproceſs
statt, indessen kann man sich immer zu der wirklich vor-
handenen Maschine noch eine zweite hinzudenken, welche
die Masse aus der ersten Maschine aufnimmt, sie auf irgend
eine Weise in den Anfangszustand zurückbringt, und dann
erst entweichen läſst. Beide Maschinen zusammen können
dann als Eine Maschine betrachtet werden, welche wieder
der obigen Bedingung genügt. In manchen Fällen kann
diese Vervollständigung geschehen, ohne daſs dadurch eine
gröſsere Complication für die Untersuchungen eintritt. So
kann man sich z. B. eine Dampfmaschine ohne Condensator,
wenn man nur annimmt, daſs sie mit Wasser von 100°
gespeist werde, ohne Weiteres durch eine Maschine mit
einem Condensator, dessen Temperatur 100° ist, ersetzt
denken.

Demnach kann man unter der Voraussetzung, daſs die
Maschinen, welche jene Bedingung nicht schon von selbst
erfüllen, in dieser Weise für die Betrachtung vervollstän-
digt seyen, auf alle thermodynamischen Maschinen die für
die Kreisprocesse geltenden Sätze anwenden, und dadurch
gelangt man zu einigen Schlüssen, welche von der beson-
deren Natur der in den einzelnen Maschinen stattfindenden
Vorgänge ganz unabhängig sind.

7. Die beiden Hauptsätze, welche für jeden Kreispro-
[448] ceſs gelten, habe ich in meiner vorigen Abhandlung durch
folgende Gleichungen dargestellt:
(I) Q=A.W
(II)\int\frac{dQ}T=-N,
worin die Buchstaben dieselbe Bedeutung haben wie dort,
nämlich:

A ist das Wärmeaequivalent für die Einheit der Arbeit.

W stellt die während des Kreisprocesses gethane äuſsere
Arbeit dar.

Q bedeutet die dem veränderlichen Körper während des
Kreisprocesses mitgetheilte Wärme und d Q ein Element
derselben, wobei eine dem Körper entzogene Wärmemenge
als mitgetheilte negative Wärmemenge gerechnet wird. Das
Integral der zweiten Gleichung erstreckt sich über die ganze
Menge Q.

T ist eine Function derjenigen Temperatur, welche der
veränderliche Körper in dem Momente hat, in welchem er
das Wärmeelement d Q aufnimmt, oder, falls der Körper in
seinen verschiedenen Theilen verschiedene Temperaturen
haben sollte, der Temperatur des Theiles, welcher d Q auf-
nimmt. Was die Form der Function T anbetrifft, so habe
ich in meiner vorigen Abhandlung gezeigt, daſs sie wahr-
scheinlich weiter nichts ist, als die Temperatur selbst, wenn
diese von dem Punkte an gezählt wird, welcher durch
den umgekehrten Werth des Ausdehnungscoëfficienten ei-
nes ideellen Gases bestimmt wird, und in der Nähe von
—273° C. liegen muſs, so daſs also, wenn die vom Gefrier-
punkte an gezählte Temperatur mit t bezeichnet wird,
(1) T=273+t
zu setzen ist. Ich werde im Folgenden die Gröſse T immer
in dieser Bedeutung anwenden, und sie kurz die absolute
Temperatur nennen, bemerke aber dabei, daſs die Schlüsse
ihrem wesentlichen Inhalte nach davon nicht abhängen, son-
dern auch gültig bleiben, wenn man T als eine noch un-
bestimmte Function der Temperatur betrachtet.

N endlich bedeutet den Aequivalenzwerth aller in dem
[449] Kreisprocesse vorkommenden uncompensirten Verwandlun-
gen ¹⁾.

8. Hat der Proceſs so stattgefunden, daſs er sich in
derselben Weise auch umgekehrt ausführen läſst, so ist
N=0. Kommen dagegen in dem Kreisprocesse eine oder
mehrere Zustandsänderungen vor, welche in nicht umkehr-
barer Weise geschehen sind, so sind dabei auch nothwen-
dig uncompensirte Verwandlungen eingetreten, und die
Gröſse N hat daher einen angebbaren Werth, welcher
aber nur positiv seyn kann.

Unter den Vorgängen, auf welche dieses Letztere An-
wendung findet, wird im Folgenden besonders einer mehr-
fach zur Sprache kommen. Wenn ein Quantum Gas oder
Dampf sich ausdehnt, und dabei einen seiner ganzen Expan-
sivkraft entsprechenden Druck überwindet, so läſst es sich
unter Anwendung derselben Kraft auch wieder zusammen-
drücken, wobei dann alle Erscheinungen, von denen die
Ausdehnung begleitet war, in umgekehrter Weise eintreten.
Dieses ist aber nicht mehr der Fall, wenn das Gas (oder
der Dampf) bei der Ausdehnung nicht den vollen Wider-
stand findet, welchen es überwinden könnte, wenn es also
z. B. aus einem Gefäſse, in welchem es unter gröſserem
Drucke stand, in ein anderes, in welchem ein geringerer
Druck herrscht, überströmt. Alsdann ist eine Zusammen-
drückung unter denselben Umständen, unter welchen die
Ausdehnung stattfand, nicht möglich.

Die Gleichung (II) giebt uns ein Mittel, die Summe
aller in einem Kreisprocesse vorkommenden uncompensirten
Verwandlungen zu bestimmen. Da aber ein Kreisproceſs
aus vielen einzelnen Zustandsänderungen einer gegebenen
Masse bestehen kann, von denen einige in umkehrbarer
Weise, andere in nicht umkehrbarer Weise geschehen sind,
so ist es in manchen Fällen von Interesse, zu wissen, wie-
viel jede einzelne der letzteren zur Entstehung der ganzen
Summe von uncompensirten Verwandlungen beigetragen
hat. Dazu denke man sich nach der Zustandsänderung,
welche man in dieser Weise untersuchen will, die Masse
durch irgend ein umkehrbares Verfahren in den vorigen
Zustand zurückgeführt. Dadurch erhält man einen kleinen
Kreisproceſs, auf welchen sich die Gleichung (II) ebenso
gut anwenden läſst, wie auf den ganzen. Kennt man also
die Wärmemengen, welche die Masse während desselben
aufgenommen hat, und die dazu gehörigen Temperaturen,
so giebt das negative Integral -\int\frac{tQ}T die in ihm entstan-
dene uncompensirte Verwandlung. Da nun die Zurück-
führung, welche in umkehrbarer Weise stattgefunden hat,
[451] zur Vermehrung derselben nichts beigetragen haben kann,
so stellt jener Ausdruck die gesuchte, durch die gege-
bene Zustandsänderung veranlaſste uncompensirte Verwand-
lung dar.

Hat man auf diese Weise alle die Theile des ganzen
Kreisprocesses, welche nicht umkehrbar sind, untersucht,
und dabei die Werthe N1, N2 etc. gefunden, welche alle
einzeln positiv seyn müssen, so giebt ihre Summe die auf
den ganzen Kreisproceſs bezügliche Gröſse N, ohne daſs
man die Theile, von welchen man weiſs, daſs sie umkehr-
bar sind, mit in die Untersuchung zu ziehen braucht.

9. Wenden wir nun die Gleichungen (I) und (II)
auf denjenigen Kreisproceſs an, welcher in der thermo-
dynamischen Maschine während einer Periode stattfindet,
so sieht man zunächst, daſs, wenn die ganze Wärmemenge,
welche der vermittelnde Stoff während dieser Zeit aufge-
nommen hat, gegeben ist, dann durch die erste Gleichung
unmittelbar auch die Arbeit bestimmt ist, ohne daſs die
Natur der Vorgänge selbst, aus denen der Kreisproceſs
besteht, bekannt zu seyn braucht.

In ähnlicher Allgemeinheit kann man durch die Verbin-
dung beider Gleichungen die Arbeit auch noch aus anderen
Daten bestimmen.

Wir wollen annehmen, es seyen die Wärmemengen,
welche der veränderliche Körper nach einander empfängt,
sowie die Temperaturen, welche er bei der Aufnahme einer
jeden hat, gegeben, und nur Eine Temperatur T0 sey übrig,
bei welcher dem Körper noch eine Wärmemenge mitge-
theilt, oder wenn sie negativ ist, entzogen wird, deren
Gröſse nicht im Voraus bekannt ist. Die Summe aller
bekannten Wärmemengen heiſse Q1, und die unbekannte
Wärmemenge Q0.

Dann zerlege man das in der Gleichung (II) vorkom-
mende Integral in zwei Theile, von denen der eine sich
nur über die bekannte Wärmemenge Q1 und der andere
über die unbekannte Q0 erstreckt. Im letzten Theile läſst
29*
[452] sich, da in ihm T einen constanten Werth T0 hat, die
Integration sogleich ausführen, und giebt den Ausdruck:
\frac{Q_0}{T_0}.
Dadurch geht die Gleichung (II) über in:
\int\limits_0^{Q_1}\frac{dQ}T+\frac{Q_0}{T_0}=-N,
woraus folgt:
Q_0=-T_0.\int\limits_0^{Q_1}\frac{dQ}T-T_0.N.
Ferner hat man nach der Gleichung (I), da für unseren
Fall Q = Q1 + Q0 ist:
W=\frac1A(Q_1+Q_0).
Substituirt man in dieser Gleichung für Q0 den eben ge-
fundenen Werth, so kommt:
(2) .

Wird insbesondere angenommen, daſs der ganze Kreis-
proceſs umkehrbar sey, so ist dem Obigen nach N=0, und
dadurch geht die vorige Gleichung über in:
(3) .
Dieser Ausdruck unterscheidet sich von dem vorigen nur
durch das Glied . Da nun N nur positiv seyn
kann, so kann dieses Glied nur negativ seyn, und man
sieht daraus, was sich auch durch unmittelbare Betrachtung
leicht ergiebt, daſs man unter den oben in Bezug auf die
Wärmemittheilung festgestellten Bedingungen die gröſst-
mögliche Arbeit erhält, wenn der ganze Kreisproceſs um-
kehrbar ist, und daſs durch jeden Umstand, welcher bewirkt,
daſs einer der in dem Kreisprocesse stattfindenden Vorgänge
nicht umkehrbar ist, die Gröſse der Arbeit abnimmt.

Die Gleichung (2) führt hiernach zu dem gesuchten
Werthe der Arbeit auf einem Wege, welcher dem gewöhn-
lichen gerade entgegengesetzt ist, indem man nicht wie
sonst die während der verschiedenen Vorgänge gethanen
Arbeitsgröſsen einzeln bestimmt und dann addirt, sondern
von dem Maximum der Arbeit ausgeht, und die durch die
einzelnen Unvollkommenheiten des Processes entstandenen
Arbeitsverluste davon abzieht.

Machen wir in Bezug auf die Mittheilung der Wärme
die beschränkende Bedingung, daſs auch die ganze Wärme-
menge Q1 dem Körper bei einer bestimmten Temperatur T1
mitgetheilt werde, so läſst sich der diese Wärmemenge um-
fassende Theil des Integrals ebenfalls ohne Weiteres aus-
führen, und giebt:
,
wodurch die für das Maximum der Arbeit geltende Glei-
chung (3) folgende Form annimmt:
(4) .
In dieser speciellen Form ist die Gleichung schon früher
von W. Thomson und Rankine aus der Verbindung
des von mir modificirten Carnot’schen Satzes mit dem
Satze von der Aequivalenz von Wärme und Arbeit ab-
geleitet ¹⁾.

10. Bevor wir von diesen Betrachtungen, welche für
alle thermodynamischen Maschinen gelten, zur Behandlung
der Dampfmaschine übergehen können, muſs noch erst
einiges über das Verhalten der Dämpfe im Maximum der
Dichte [vorauſgeschickt] werden.

Die Gleichungen, welche die beiden Hauptsätze der
mechanischen Wärmetheorie in ihrer Anwendung auf die
Dämpfe im Maximum der Dichte darstellen, habe ich schon
in meiner älteren Abhandlung v. J. 1850 »über die bewe-
gende Kraft der Wärme etc.« entwickelt, und zu verschie-
denen Folgerungen angewandt. Da ich indessen in meiner
[454] letzten Abhandlung »über eine veränderte Form des zweiten
Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie« für den gan-
zen Gegenstand einen etwas anderen Gang der Darstellung
eingeschlagen habe, so halte ich es, wie schon erwähnt,
der gröſseren Einheit und Uebersichtlichkeit wegen für
zweckmäſsiger, nur diese letzte Abhandlung als bekannt
vorauszusetzen. Ich werde daher aus den in ihr gewon-
nenen Resultaten jene Gleichungen hier auf einem anderen
Wege noch einmal ableiten.

Es wurde in dieser Abhandlung, um die zuerst aufge-
stellten allgemeinen Gleichungen auf einen etwas specielle-
ren Fall anzuwenden, angenommen, daſs die einzige auf
den veränderlichen Körper wirkende fremde Kraft, welche
bei der Bestimmung der äuſseren Arbeit Berücksichtigung
verdient, ein äuſserer Druck sey, dessen Stärke an allen
Punkten der Oberfläche gleich, und dessen Richtung überall
auf dieselbe senkrecht sey, und daſs ferner dieser, Druck
sich immer nur so langsam ändere, und daher in jedem
Augenblicke von der ihm entgegenwirkenden Ausdehnungs-
kraft des Körpers um so wenig verschieden sey, daſs beide
in der Rechnung als gleich betrachtet werden können.
Bezeichnen wir dann mit p den Druck, mit v das Volumen
und mit T die absolute Temperatur des Körpers, welche
letztere wir statt der vom Gefrierpunkte an gezählten Tem-
peratur t in die Formeln einführen wollen, weil diese da-
durch eine einfachere Gestalt annehmen, so lauten die
Gleichungen, welche sich für diesen Fall ergeben haben,
folgendermaſsen:
(III) ,
(IV) .

Diese Gleichungen sollen nun auf den noch specielle-
ren Fall der Dämpfe im Maximum der Dichte angewandt
werden.

11. Es sey von dem Stoffe, dessen Dampf betrachtet
werden soll, die Masse M gegeben, welche sich in einem
[455] ganz geschlossenen, ausdehnsamen Gefäſse befinde, und
zwar der Theil m im dampfförmigen und der übrige Theil
M — m im tropfbar flüssigen Zustande. Diese gemischte
Masse soll nun den veränderlichen Körper bilden, auf wel-
chen die vorigen Gleichungen zu beziehen sind.

Wenn die Temperatur T der Masse und ihr Volumen v,
d. h. der Rauminhalt des Gefäſses, gegeben sind, so ist da-
durch der Zustand der Masse, soweit er hier in Betracht
kommt, vollkommen bestimmt. Da nämlich der Dampf der
Voraussetzung nach immer in Berührung mit tropfbarer
Flüssigkeit, und daher im Maximum der Dichte bleibt, so
hängt sein Zustand, ebenso wie der der Flüssigkeit, nur
von der Temperatur T ab. Es kommt also nur noch dar-
auf an, ob auch die Gröſse der beiden in verschiedenen
Zuständen befindlichen Theile bestimmt ist. Dazu ist die
Bedingung gegeben, daſs diese beiden Theile zusammen
gerade den Rauminhalt des Gefäſses ausfüllen müssen. Be-
zeichnet man also das Volumen einer Gewichtseinheit Dampf
im Maximum der Dichte bei der Temperatur T mit s, und
das einer Gewichtseinheit Flüssigkeit mit σ, so muſs seyn:
.
Die Gröſse s kommt im Folgenden immer nur in der Ver-
bindung s-σ vor, und wir wollen daher für diese Diffe-
renz einen besonderen Buchstaben einführen, indem wir
setzen:
(5) ,
wodurch die vorige Gleichung in
(6)
übergeht, und daraus ergiebt sich:
(7) .

Durch diese Gleichung ist, da u und σ Functionen von
T sind, m als Function von T und v bestimmt.

12. Um nun die Gleichungen (III) und (IV) auf
unseren Fall anwenden zu können, müssen wir zunächst
die Gröſsen und bestimmen.

Nehmen wir erstens an, das Gefäſs dehne sich soviel
aus, daſs sein Rauminhalt um d v zunehme, so muſs dabei
der Masse, um ihre Temperatur constant zu erhalten, eine
Wärmemenge mitgetheilt werden, welche allgemein durch

dargestellt wird. Da nun diese Wärmemenge nur zu der
während der Ausdehnung stattfindenden Dampfbildung ver-
braucht wird, so läſst sie sich, wenn die Verdampfungs-
wärme für die Masseneinheit mit r bezeichnet wird, auch
durch

darstellen, und man kann also setzen:
,
woraus sich, da nach (7)

ist, ergiebt:
(8) .

Nehmen wir zweitens an, die Temperatur der Masse
solle, während der Rauminhalt des Gefäſses constant bleibt,
um d T erhöht werden, so wird die dazu nöthige Wärme-
menge allgemein durch

dargestellt. Diese Wärmemenge besteht aus drei Theilen.

1) Der tropfbar flüssige Theil M — m der ganzen Masse
muſs um d T erwärmt werden, wozu, wenn c die specifische
Wärme der Flüssigkeit bedeutet, die Wärmemenge

nöthig ist.

2) Der dampfförmige Theil m muſs ebenfalls um d T er-
wärmt werden, wird dabei aber zugleich so viel zusammen-
gedrückt, daſs er sich für die erhöhte Temperatur T + d T
[457] wieder im Maximum der Dichte befindet. Die Wärme-
menge, welche einer Masseneinheit Dampf während ihrer
Zusammendrückung mitgetheilt werden muſs, damit sie bei
jeder Dichte gerade die Temperatur hat, für welche diese
Dichte das Maximum ist, wollen wir für eine Temperatur-
erhöhung um d T allgemein mit h d T bezeichnen, worin h
eine Gröſse ist, welche vorläufig ihrem Werthe und selbst
ihrem Vorzeichen nach unbekaunt ist. Danach wird die
für unseren Fall nöthige Wärmemenge durch
m h d T
dargestellt.

3) Es geht bei der Erwärmung noch eine kleine Menge
des vorher flüssigen Theils in den dampfförmigen Zustand
über, welche allgemein durch dargestellt wird, und
die Wärmemenge

gebraucht. Hierin ist nach Gleichung (7):
,
wodurch der vorige Ausdruck in

übergeht.

Faſst man diese drei Wärmemengen zusammen, und
setzt ihre Summe gleich , so erhält man:
(9) .

13. Von diesen für und gefundenen Ausdrücken
muſs nun noch, wie es in der Gleichung (III) angedeutet
ist, der erstere nach T und der letztere nach v differentiirt
werden. Bedenkt man dabei, daſs die Gröſse M constant
ist, die Gröſsen u, σ, r, c und h sämmtlich nur Functionen
[458] von T sind, und allein die Gröſse m eine Function von
T und v ist, so erhält man:
(10) \frac d{dT}\left(\frac{dQ}{dv}\right)=\frac1u\cdot\frac{dr}{dT}-\frac r{u^2}\cdot\frac{du}{dT}
\frac d{dv}\left(\frac{dQ}{dT}\right)=\left(h-c-\frac ru\cdot\frac{du}{dT}\right)\frac{dm}{dv},
oder wenn man für seinen Werth setzt:
(11) .

Durch Einsetzung der in (10), (11) und (8) gegebenen
Ausdrücke in (III) und (IV) ergeben sich die gesuchten
Gleichungen, welche die beiden Hauptsätze der mechani-
schen Wärmetheorie für Dämpfe im Maximum der Dichte
darstellen, nämlich:
(V)
(VI) .
und aus der Combination beider erhält man noch:
(12) .

14. Mit Hülfe dieser Gleichungen wollen wir nun ei-
nen Fall behandeln, welcher im Folgenden so oft vorkom-
men wird, daſs es zweckmäſsig ist, die darauf bezüglichen
Resultate im Voraus festzustellen.

Es sey nämlich angenommen, das vorher betrachtete
Gefäſs mit der darin befindlichen theils flüssigen theils
dampfförmigen Masse ändere sein Volumen, ohne daſs der
Masse Wärme mitgetheilt oder entzogen werde. Dann wird
zugleich mit dem Volumen auch die Temperatur und die
Gröſse des im dampfförmigen Zustande befindlichen Theiles
der Masse sich ändern, und auſserdem wird, da bei der
Volumenänderung der Druck des eingeschlossenen Dampfes
wirksam ist, welcher bei der Ausdehnung eine äuſsere
Kraft überwindet, und bei der Zusammendrückung von
einer äuſseren Kraft überwunden wird, von der Wärme,
[459] welche den Dampfdruck hervorbringt, eine positive oder
negative äuſsere Arbeit gethan.

Es sollen nun unter diesen Umständen die Gröſse des
dampfförmigen Theiles m, das Volumen v und die Arbeit W
als Functionen der Temperatur T bestimmt werden.

15. Wenn das Volumen und die Temperatur um die
beliebigen unendlich kleinen Gröſsen d v und d T geändert
werden sollen, so wird die Wärmemenge, welche dazu
der Masse mitgetheilt werden muſs, dem Vorigen nach
durch die Summe

ausgedrückt. Diese Summe muſs in Folge der jetzt ge-
stellten Bedingung, daſs der Masse weder Wärme mitge-
theilt noch entzogen werden soll, gleich Null gesetzt wer-
den. Dadurch erhalten wir, wenn wir zugleich für

einfach d m schreiben, die Gleichung:
(13) rdm+m(h-c)dT+McdT=0.
Setzen wir hierin nach (12):

und schreiben wieder für , da r nur eine Function
von T ist, einfach d r, so kommt:

oder:
(14) .
Dividirt man diese Gleichung durch T, und bedenkt, daſs

ist, so erhält man:
(15) .

Da die specifische Wärme einer Flüssigkeit sich mit
der Temperatur nur langsam ändert, so wollen wir die
Gröſse c im Folgenden immer als constant betrachten. Dann
läſst sich die vorige Gleichung ohne Weiteres integriren,
und giebt:

oder, wenn die anfänglichen Werthe von T, r und m mit
T1, r1 und m1 bezeichnet werden:
(VII) .

Durch diese Gleichung ist, wenn r als Function der
Temperatur als bekannt vorausgesetzt werden kann, wie
es beim Wasserdampfe nach den Versuchen von Reg-
nault der Fall ist, auch m als Function der Temperatur
bestimmt.

Um von dem Verhalten dieser Function eine ungefähre
Anschauung zu geben, habe ich einige für einen besonde-
ren F[a]ll berechnete Werthe in der folgenden Tabelle zu-
sammengestellt. Es ist nämlich angenommen, das Gefäſs
enthalte zu Anfange kein tropfbar flüssiges Wasser, son-
dern sey gerade mit Wasserdampf vom Maximum der
Dichte angefüllt, so daſs also in der vorigen Gleichung
m1 = M zu setzen ist, und es finde nun eine Ausdehnung
des Gefäſses statt. Wenn das Gefäſs zusammengedrückt
werden sollte, so dürfte man die Annahme, daſs zu An-
fange kein flüssiges Wasser vorhanden sey, nicht machen,
weil dann der Dampf nicht im Maximum der Dichte blei-
ben, sondern durch die bei der Zusammendrückung er-
zeugte Wärme überhitzt werden würde. Bei der Ausdeh-
nung dagegen bleibt der Dampf nicht nur im Maximum
der Dichte, sondern es schlägt sich sogar ein Theil des-
selben nieder, und die dadurch entstehende Verminderung
von m ist es eben, um welche es sich in der Tabelle han-
delt. Die anfängliche Temperatur ist zu 150°C. angenom-
men, und es sind für die Zeitpunkte, wo die Temperatur
durch die Ausdehnung auf 125°, 100° etc. gesunken ist,
[461] die entsprechenden Werthe von angegeben. Die vom
Gefrierpunkte ab gezählte Temperatur ist, wie schon frü-
her, zum Unterschiede von der durch T dargestellten ab-
soluten Temperatur, mit t bezeichnet:

16. Um die zwischen dem Volumen v und der Tem-
peratur stattfindende Beziehung auszudrücken, hat man zu-
nächst die Gleichung (6), nämlich:
.
Die hierin vorkommende Gröſse σ, welche das Volumen
einer Gewichtseinheit Flüssigkeit bedeutet, ändert sich mit
der Temperatur sehr wenig, und da auſserdem der ganze
Werth von σ gegen u sehr klein ist, so können wir die
kleinen Aenderungen, welche er erleidet, um so mehr ver-
nachlässigen, und wir wollen daher σ und somit auch das
Product M σ als constant betrachten. Es kommt also nur
noch darauf an, das Product m u zu bestimmen. Dazu
braucht man nur in der Gleichung (VII) für r den in (VI)
gegebenen Ausdruck zu substituiren, wodurch man er-
hält:
(VIII) .
Der hierin vorkommende Differentialcoëfficient ist als
bekannt anzusehen, wenn p selbst als Funktion der Tem-
peratur bekannt ist, und somit ist durch diese Gleichung
das Product m u bestimmt, und aus ihm erhält man durch
Addition von M σ die gesuchte Gröſse v.

In der folgenden Tabelle ist wieder eine Reihe von
Werthen des Bruches zusammengestellt, welche sich für
denselben Fall, auf den sich die vorige Tabelle bezieht,
aus dieser Gleichung ergeben. Auſserdem sind zur Ver-
[462] gleichung noch diejenigen Werthe von hinzugefügt, wel-
che man erhalten würde, wenn die beiden bisher in der
Dampfmaschinentheorie gewöhnlich gemachten Annahmen
richtig wären, 1) daſs der Dampf bei der Ausdehnung ohne
sich theilweise niederzuschlagen gerade im Maximum der
Dichte bleibe, 2) daſs er dem Mariotte’schen und Gay-
Lussac’schen Gesetze folge. Nach diesen Annahmen
würde

seyn.

17. Es bleibt endlich noch die bei der Volumenände-
rung gethane Arbeit zu bestimmen. Dazu haben wir all-
gemein die Gleichung:
(16) .
Nun ist nach Gleichung (6), wenn darin σ als constant
betrachtet wird:
d v = d (m u)
also
p d v = p d (m u),
wofür man auch schreiben kann:
(17) .

Hierin könnte man für den durch die Glei-
chung (VIII) gegebenen Ausdruck setzen, und dann die
Integration ausführen. Indessen erhält man das Resultat
gleich in einer etwas bequemeren Form durch folgende
Substitution. Nach (VI) ist:
[463],
und hieraus ergiebt sich unter Anwendung der Glei-
chung (14):
.
Dadurch geht (17) über in:
,
und durch Integration dieser Gleichung erhält man:
(IX) ,
woraus sich, da die Gröſsen m r und m u schon durch die
vorigen Gleichungen bekannt sind, W berechnen läſst.

Auch diese Rechnung habe ich für den obigen speciel-
len Fall ausgeführt, wobei sich für , d. h. für die von
der Masseneinheit bei der Ausdehnung gethane Arbeit, die
in der Tabelle angeführten Werthe ergeben haben. Als
Masseneinheit ist ein Kilogramm und als Arbeitseinheit ein
Kilogramm-Meter gewählt. Für ist der von Joule
gefundene Werth 423,55 angewandt ¹⁾.

Zur Vergleichung mit den Zahlen der Tabelle will ich
noch anführen, daſs man für diejenige Arbeit, welche wäh-
rend der Verdampfung selbst dadurch gethan wird, daſs
der sich bildende Dampf den äuſseren Gegendruck über-
windet, in dem Falle, wo 1 Kilogrm. Wasser bei der
Temperatur 150° und unter dem entsprechenden Drucke
verdampft, den Werth 18700 erhält.

18. Wir wenden uns nun zur Betrachtung der Dampf-
maschine selbst.

In der nebenstehenden schematischen Figur, welche nur

dazu dienen soll, den Ueberblick über die ganze zum Gange
einer gewöhnlichen Dampfmaschine gehörige Reihe von
Vorgängen zu erleichtern, stelle A den Dampfkessel vor,
dessen Inhalt durch die Wärmequelle auf der constanten
Temperatur T1 erhalten wird. Aus diesem tritt ein Theil
des Dampfes in den Cylinder B, und treibt den Stempel
ein gewisses Stück in die Höhe. Dann wird der Cylinder
vom Dampfkessel abgeschlossen, und der in ihm enthaltene
Dampf treibt den Stempel durch Expansion noch höher.
Darauf wird der Cylinder mit dem Raume C in Verbindung
gesetzt, welcher den Condensator vorstellen soll.
Von diesem soll angenommen werden, daſs er nicht durch
eingespritztes Wasser, sondern durch Abkühlung von au-
ſsen kalt erhalten werde, was, wie schon oben bemerkt,
keinen wesentlichen Unterschied in den Resultaten hervor-
bringt,aber die Betrachtung vereinfacht. Die constante
Temperatur des Condensators möge T0 heiſsen. Während
der Verbindung des Cylinders mit dem Condensator geht
der Stempel den ganzen vorher durchlaufenen Weg wie-
der zurück, und dadurch wird aller Dampf, welcher nicht
gleich von selbst in den Condensator strömte, in diesen
[465] hineingetrieben, und schlägt sich hier nieder. Es kommt
nun noch, um den Cyclus von Operationen zu vollenden,
darauf an, die durch den Dampfniederschlag entstandene
Flüssigkeit in den Kessel zurückzuschaffen. Dazu dient
die kleine Pumpe D, deren Gang so regulirt wird, daſs
sie beim Aufgange des Stempels gerade so viel Flüssigkeit
aus dem Condensator aufsaugt, wie durch den oben er-
wähnten Dampfniederschlag in ihn hineingekommen ist, und
diese Flüssigkeitsmenge wird dann beim Niedergange des
Stempels in den Kessel zurückgepreſst. Wenn sie sich
hier wieder bis zur Temperatur T1 erwärmt hat, so befin-
det sich Alles wieder im Anfangszustande, und dieselbe
Reihe von Vorgängen kann von Neuem beginnen. Wir
baben es also hier mit einem vollständigen Kreisprocesse
zu thun.

Bei den gewöhnlichen Dampfmaschinen tritt der Dampf
nicht bloſs von Einer, sondern abwechselnd von beiden
Seiten in den Cylinder. Dadurch entsteht aber nur der
Unterschied, daſs während eines Auf- und Niederganges
des Stempels statt Eines Kreisprocesses zwei stattfinden,
und es genügt auch in diesem Falle, für Einen derselben
die Arbeit zu bestimmen, um daraus die während irgend
einer Zeit im Ganzen gethane Arbeit ableiten zu können ¹⁾.

19. Zu dieser Bestimmung wollen wir, wie es auch
sonst zu geschehen pflegt, den Cylinder als eine für Wärme
undurchdringliche Hülle betrachten, indem wir den während
eines Hubes stattfindenden Wärmeaustausch zwischen den
Cylinderwänden und dem Dampfe vernachlässigen.

Die im Cylinder befindliche Masse kann immer nur
aus Dampf im Maximum der Dichte mit etwas beigemischter
Flüssigkeit bestehen. Es ist nämlich aus dem Vorigen er-
sichtlich, daſs der Dampf bei der nach dem Abschlusse
vom Kessel im Cylinder stattfindenden Ausdehnung, wenn
ihm dabei von auſsen keine Wärme zugeführt wird, nicht
Poggendorff’s Annal. Bd. XCVII. 30
[466] in den überhitzten Zustand übergehen kann, sondern sich
vielmehr zum Theil niederschlagen muſs, und bei anderen
weiter unten zu erwähnenden Vorgängen, welche allerdings
eine geringe Ueberhitzung zur Folge haben könnten, wird
sie dadurch verhindert, daſs der Dampf beim Einströmen
immer etwas tropfbare Flüssigkeit mit in den Cylinder
reiſst, und mit dieser in Berübrung bleibt.

Die Menge dieser dem Dampfe beigemischten Flüssig-
keit ist nicht bedeutend, und da sie gröſstentheils in feinen
Tröpfchen durch den Dampf verbreitet ist, und daher schnell
an den Temperaturänderungen, welche der Dampf während
der Ausdehnung erleidet, theilnehmen kann, so wird man
keine erhebliche Ungenauigkeit begehen, wenn man in der
Rechnung für jeden bestimmten Zeitpunkt die Temperatur
der ganzen im Cylinder befindlichen Masse als gleich be-
trachtet.

Ferner wollen wir, um die Formeln nicht von vorn
herein zu complicirt zu machen, zunächst die ganze Arbeit
bestimmen, welche von dem Dampfdrucke gethan wird, ohne
darauf Rücksicht zu nehmen, wieviel von dieser Arbeit wirk-
lich nutzbar wird, und wieviel dagegen in der Maschine
selbst zur Ueberwindung der Reibungen, und zur Bewe-
gung der Pumpen, welche auſser der in der Figur ange-
deuteten zum Betriebe der Maschine noch nöthig sind,
wieder verbraucht wird. Dieser Theil der Arbeit läſst sich
auch nächträglich noch bestimmen und in Abzug bringen,
wie weiter unten gezeigt werden soll.

In Bezug auf die Reibung des Stempels im Cylinder
ist übrigens zu bemerken, daſs die zu ihrer Ueberwindung
verbrauchte Arbeit nicht ganz als verloren zu betrachten
ist. Durch diese Reibung wird nämlich Wärme erzeugt,
und dadurch wird das Innere des Cylinders wärmer er-
halten, als es sonst seyn würde, und somit die Kraft des
Dampfes vermehrt.

Endlich wollen wir, da es zweckmäſsig ist, zunächst die
Wirkungen einer möglichst vollkommenen Maschine kennen
zu lernen, bevor der Einfluſs der einzelnen in der Wirklich-
keit vorkommenden Unvollkommenheiten untersucht wird,
[467] zu dieser vorläufigen Betrachtung noch zwei Voraussetzun-
gen hinzufügen, welche weiterhin wieder aufgegeben wer-
den sollen. Nämlich erstens, daſs der Zuleitungskanal vom
Dampfkessel zum Cylinder und der Ableitungskanal vom
Cylinder zum Condensator oder zur Atmosphäre so weit
seyen, oder der Gang der Dampfmaschine so langsam sey,
daſs der Druck in dem mit dem Kessel in Verbindung
stehenden Theile des Cylinders gleich dem im Kessel selbst,
und ebenso der Druck auf der anderen Seite des Stempels
gleich dem Drucke im Condensator oder dem atmosphäri-
schen Drucke zu setzen ist, und zweiteus, daſs kein schäd-
licher Raum vorhanden sey.

20. Unter diesen Umständen lassen sich die während
eines Kreisprocesses gethanen Arbeitsgröſsen mit Hülfe der
oben gewonnenen Resultate ohne weitere Rechnung hin-
schreiben, und geben als Summe einen einfachen Ausdruck.

Die ganze bei einem Aufgange des Stempels aus dem
Kessel in den Cylinder tretende Masse heiſse M, und davon
sey der Theil m1 dampfförmig und der Theil M — m1 tropf-
bar flüssig. Der Raum, welchen diese Masse einnimmt, ist,
wenn u1 den zu T1 gehörigen Werth von u bedeutet:
.
Der Stempel wird also so weit gehoben, daſs dieser Raum
unter ihm frei wird, und da dieses unter der Wirkung des
zu T1 gehörigen Druckes p1 geschieht, so ist die während
dieses ersten Vorganges gethane Arbeit, welche W1 heiſse:
(18) .

Die nun folgende Expansion werde so weit fortgesetzt,
bis die Temperatur der im Cylinder eingeschlossenen Masse
von dem Werthe T1 bis zu einem zweiten gegebenen
Werthe T2 herabgesunken ist. Die hierbei gethane Arbeit,
welche W2 heiſse, ergiebt sich unmittelbar aus der Glei-
chung (IX), wenn darin als Endtemperatur T2 genommen,
und auch für die anderen in der Gleichung vorkommen-
den Gröſsen die entsprechenden Werthe gesetzt werden,
nämlich:
30 *
[468](19) .

Bei der hierauf beginnenden Herabdrückung des Stem-
pels wird die Masse, welche zu Ende der Ausdehnung
den Raum

einnahm, aus dem Cylinder in den Condensator getrieben,
wobei der constante Gegendruck p0 zu überwinden ist.
Die dabei von diesem Drucke gethane negative Arbeit ist:
(20) .

Während nun der Stempel der kleinen Pumpe so weit
in die Höhe geht, daſs unter ihm der Raum M σ frei wird,
wirkt der im Condensator stattfindende Druck p0 fördernd,
und thut die Arbeit:
(21) .

Beim Heruntergange dieses Stempels endlich muſs der
im Kessel stattfindende Druck p1 überwunden werden, und
thut daher die negative Arbeit:
(22) .

Durch Addition dieser fünf Gröſsen erhält man für die
ganze während des Kreisprocesses von dem Dampfdrucke,
oder, wie man auch sagen kann, von der Wärme gethane
Arbeit, welche W′ heiſse, den Ausdruck:
(X) .

Aus dieser Gleichung muſs noch die Gröſse m2 eliminirt
werden. Diese Gröſse kommt, wenn man für u2 den aus
(VI) hervorgehenden Werth

setzt, nur in der Verbindung m2r2 vor, und für dieses
Product giebt die Gleichung (VII) den Ausdruck:
.
Durch Einsetzung dieses Ausdruckes erhält man eine Glei-
[469] chung, in welcher auf der rechten Seite nur noch bekannte
Gröſsen vorkommen, denn die Massen m1 und M und die
Temperaturen T1, T2 und T0 werden als unmittelbar ge-
geben angenommen, und die Gröſsen r, p und werden
als Functionen der Temperatur als bekannt vorausgesetzt.

21. Wenn man in der Gleichung (X) T2 = T1 setzt,
so erhält man die Arbeit für den Fall, daſs die Maschine
ohne Expansion arbeitet, nämlich:
(23) .

Will man dagegen die Annahme machen, daſs die Ex-
pansion so weit getrieben werde, bis der Dampf sich durch
die Ausdehnung von der Temperatur des Kessels bis zu
der des Condensators abgekühlt hat, was freilich vollständig
nicht ausführbar ist, aber doch den Gränzfall bildet, dem
man sich so weit wie möglich nähern muſs, so braucht man
nur T2 = T0 zu setzen, wodurch man erhält:
(24) .

Wenn man hieraus noch m0r0 mittelst der vorher an-
geführten Gleichung, in welcher auch T2 = T0 zu setzen ist,
eliminirt, so kommt:
(XI) ¹⁾.

22. Schreibt man die vorige Gleichung in folgender
Gestalt:
(25) ,
so stellen die beiden hierin vorkommenden Producte
M c (T1 — T0) und m1r1 zusammen die während eines
Kreisprocesses von der Wärmequelle abgegebene Wärme-
menge dar. Das erstere ist nämlich die Wärmemenge,
welche nöthig ist, um die aus dem Condensator mit der
Temperatur T0 kommende Masse M im flüssigen Zustande
bis T1 zu erwärmen, und das letztere die Wärmemenge,
welche dazu verbraucht wird, den Theil m1 bei der Tem-
peratur T1 in Dampf zu verwandeln Da m1 wenig kleiner
ist als M, so ist die letztere Wärmemenge bei Weitem
gröſser als die erstere.

Um die beiden Factoren, mit welchen diese beiden
Wärmemengen in der Gleichung (25) multiplicirt sind,
bequemer mit einander vergleichen zu können, wollen wir
den zu M c (T1 — T0) gehörigen Factor in eine etwas andere
Form bringen. Führen wir nämlich zur Abkürzung den
Buchstaben z mit der Bedeutung
(26)
ein, so ist:
,
und wir erhalten daher:
¹⁾
[471] Dadurch geht die Gleichung (25) oder (XI) über in:
(27)
Der Werth der in Klammer geschlossenen unendlichen
Reihe, welche den Factor der Wärmemenge M c (T1 — T0)
von dem der Wärmemenge m1r1 unterscheidet, variirt,
wie man sich leicht überzeugt, während z von 0 bis 1 wächst,
zwischen \tfrac12 und 1.

23. Für diesen zuletzt betrachteten Fall, wo der Dampf
sich durch Expansion bis zur Temperatur des Condensators
abkühlt, kann man den Ausdruck für die Arbeit auch sehr
leicht auf einem anderen Wege erhalten, ohne die verschie-
denen Vorgänge, aus welchen der Kreisproceſs besteht,
einzeln zu verfolgen.

In diesem Falle ist nämlich der Kreisproceſs in allen
seinen Theilen umkehrbar. Man kann sich denken, daſs
im Condensator bei der Temperatur T0 die Verdampfung
stattfinde, und die Masse M, wovon der Theil m0 dampf-
förmig und der Theil M — m0 tropfbar flüssig sey, in den
Cylinder trete, und den Stempel in die Höhe treibe, daſs
dann beim Niedergange des Stempels der Dampf zuerst
soweit comprimirt werde, bis seine Temperatur auf T1 ge-
stiegen sey, und darauf in den Kessel gepreſst werde, und
daſs endlich mittelst der kleinen Pumpe die Masse M wieder
als tropfbare Flüssigkeit aus dem Kessel in den Conden-
sator geschafft werde, und sich bis zur Anfangstempera-
tur T0 abkühle. Hierbei durchläuft der Stoff dieselben
Zustände, wie früher, nur in umgekehrter Reihenfolge.
Die Wärmemittheilungen oder -entziehungen finden in ent-
gegengesetztem Sinne, aber in derselben Gröſse und bei
denselben Temperaturen der Masse statt, und alle Arbeits-
gröſsen haben entgegengesetzte Vorzeichen, aber dieselben
numerischen Werthe.

Daraus folgt, daſs in diesem Falle in dem Kreisprocesse
keine uncompensirte Verwandlung vorkommt. Man hat
daher in der Gleichung (2) N = 0 zu setzen, und bekommt
dadurch die schon unter (3) angeführte Gleichung, in wel-
[472] cher nur der Uebereinstimmung wegen W′ statt W zu
schreiben ist:
.
Hierin bedeutet Q1 für unseren Fall die der Masse M im
Dampfkessel mitgetheilte Wärme, und es ist daher:
.

Bei der Bestimmung des Integrales müssen die
beiden einzelnen in Q1 enhaltenen Wärmemengen M c (T1—T0)
und m1r1 besonders betrachtet werden. Um für die erstere
die Integration auszuführen, schreibe man das Wärmeele-
ment d Q in der Form M c d T, dann lautet dieser Theil des
Integrales
.
Während der Mittheilung der letzteren Wärmemenge ist
die Temperatur constant gleich T1, und der auf diese
Wärmemenge bezügliche Theil des Integrales ist daher
einfach:
.

Durch Einsetzung dieser Werthe geht der vorige Aus-
druck von W′ in den folgenden über:

und dieses ist derselbe in Gleichung (XI) enthaltene Aus-
druck, welchen wir vorher durch die successive Bestimmung
der einzelnen während des Kreisprocesses gethanen Arbeits-
gröſsen gefunden haben.

24. Es folgt hieraus, daſs, wenn die Temperaturen, bei
welchen der die Wirkung der Wärme vermittelnde Stoff
die von der Wärmequelle gelieferte Wärme aufnimmt, oder
[473] Wärme nach auſsen abgiebt, als im Voraus gegeben be-
trachtet werden, dann die Dampfmaschine unter den bei
der Ableitung der Gleichung (XI) gemachten Voraussetzun-
gen, eine vollkommene Maschine ist, indem sie für eine be-
stimmte ihr mitgetheilte Wärmemenge eine so groſse Arbeit
liefert, wie nach der mechanischen Wärmetheorie bei den-
selben Temperaturen überhaupt möglich ist.

Anders verhält es sich aber, wenn man auch jene Tem-
peraturen nicht als im Voraus gegeben, sondern als ein
veränderliches Element betrachtet, welches bei der Beurthei-
lung der Maschine mit berücksichtigt werden muſs.

Dadurch, daſs die Flüssigkeit während ihrer Erwärmung
und Verdampfung viel niedrigere Temperaturen als das
Feuer hat, und also die Wärme, welche ihr mitgetheilt
wird, dabei von einer höheren zu niederen Temperatu-
ren übergehen muſs, liegt eine in N nicht mit einbegriffene
uncompensirte Verwandlung, welche in Bezug auf die Nutz-
barmachung der Wärme einen groſsen Verlust zur Folge
hat. Die Arbeit, welche bei der Dampfmaschine aus der
Wärmemenge m1r1 + M c (T1 — T0) = Q1 gewonnen werden
kann, ist, wie man aus Gleichung (27) ersieht, etwas
kleiner als
.
Könnte man dagegen dieselbe Wärmemenge Q1 einem ver-
änderlichen Körper bei der Temperatur des Feuers, welche
T′ heiſsen möge, mittheilen, während die Temperatur der
Wärmeentziehung, wie vorher, T0 wäre, so würde die in
diesem Falle möglicherweise zu gewinnende Arbeit nach
Gleichung (4) durch

dargestellt werden.

Um die Werthe dieser Ausdrücke in einigen Beispielen
vergleichen zu können, sey die Temperatur t0 des Con-
densators zu 50° C. festgesetzt, und für den Kessel seyen
die Temperaturen 110°, 150° und 180° C. angenommen,
[474] von denen die beiden ersten ungefähr der Niederdruck-
maschine und der gewöhnlichen Hochdruckmaschine ent-
sprechen, und die letzte etwa als die Gränze der bisjetzt
in der Praxis bei den Dampfmaschinen angewandten Tem-
peraturen zu betrachten ist. Für diese Fälle hat der von
den Temperaturen abhängige Bruch folgende Werthe:

Wogegen der entsprechende Werth für die Temperatur t′
des Feuers, wenn wir diese nur zu 1000° C. annehmen,
0,746 ist.

25. Es ist somit leicht zu erkennen, was schon S. Car-
not, und nach ihm viele andere Autoren ausgesprochen
haben, daſs man, um die durch Wärme getriebenen Ma-
schinen vortheilhafter einzurichten, hauptsächlich darauf be-
dacht seyn muſs, das Temperaturintervall T1—T0 zu er-
weitern.

So ist z. B. von den calorischen Luftmaschinen nur dann
zu erwarten, daſs sie einen wesentlichen Vortheil vor den
Dampfmaschinen erlangen, wenn es gelingt, sie bei bedeu-
tend höheren Temperaturen arbeiten zu lassen, als die
Dampfmaschinen, bei welchen die Gefahr der Explosion
die Anwendung zu hoher Temperaturen verbietet. Derselbe
Vortheil läſst sich aber auch mit überhitztem Dampfe er-
reichen, denn sobald der Dampf von der Flüssigkeit ge-
trennt ist, kann man ihn ebenso gefahrlos noch weiter
erhitzen, wie ein permanentes Gas. Maschinen, welche den
Dampf in diesem Zustande anwenden, können manche Vor-
theile der Dampfmaschinen mit denen der Luftmaschinen
vereinigen, und es ist daher von ihnen wohl eher ein prac-
tischer Erfolg zu erwarten, als von den Luftmaschinen.

Bei den oben erwähnten Maschinen, in welchen auſser
dem Wasser noch eine zweite flüchtigere Substanz ange-
[475] wandt wird, ist das Intervall T1—T0 dadurch erweitert,
daſs T0 erniedrigt ist. Man hat auch schon daran gedacht,
auf dieselbe Weise das Intervall auch nach der oberen
Seite hin zu erweitern, indem man noch eine dritte Flüs-
sigkeit hinzufügte, welche weniger flüchtig wäre, als das
Wasser. Dann würde also das Feuer unmittelbar die am
wenigsten flüchtige der drei Substanzen verdampfen, diese
durch ihren Niederschlag die zweite, und diese die dritte.
Dem Principe nach ist nicht daran zu zweifeln, daſs diese
Verbindung vortheilhaft seyn würde; wie groſs aber die
practischen Schwierigkeiten seyn werden, welche sich der
Ausführung entgegen stellen, läſst sich natürlich im Voraus
nicht übersehen.

26. Auſser der eben besprochenen Unvollkommenheit
der gewöhnlichen Dampfmaschinen, welche in ihrem Wesen
selbst begründet ist, leiden diese Maschinen noch an mehre-
ren anderen Unvollkommenheiten, welche mehr der practi-
schen Ausführung zuzuschreiben sind.

Eine davon ist schon in den obigen Entwicklungen
berücksichtigt, und in der Gleichung (X) mit einbegriffen,
nämlich die, daſs man die Expansion lange nicht so weit
treiben kann, bis der Dampf im Cylinder die Temperatur
des Condensators erreicht hat. Nimmt man z. B. die Tem-
peratur des Kessels zu 150° und die des Condensators zu
50° an, so ergiebt sich aus der Tabelle des §. 16, daſs
zu jenem Zwecke die Expansion bis zum 26 fachen des
ursprünglichen Volumens fortschreiten müſste, während man
sie in der Wirklichkeit wegen mancher bei groſser Expan-
sion eintretender Uebelstände gewöhnlich nur bis zum 3
oder 4 fachen, und höchstens bis zum 10 fachen Volumen
geschehen läſst.

Zwei andere Unvollkommenheiten dagegen sind im Vori-
gen ausdrücklich ausgeschlossen, nämlich erstens die, daſs
der Druck des Dampfes im einen Theile des Cylinders ge-
ringer als im Kessel, und im anderen Theile gröſser als im
Condensator ist, und zweitens das Vorhandenseyn des schäd-
lichen Raumes.

Wir müssen daher die früheren Betrachtungen jetzt in
der Weise erweitern, daſs auch diese Unvollkommenheiten
mit berücksichtigt werden.

(Schluſs im nächsten Heft.)

I. Ueber die Anwendung der mechanischen Wärme-
theorie auf die Dampfmaschine;
von R. Clausius.
(Schluſs von S. 476.)

27. Der Einfluſs, welchen die Verschiedenheit des
Druckes im Kessel und im Cylinder auf die Arbeit aus-
übt, ist bisher wohl am vollständigsten in dem Werke von
de Pambour »Théorie des Machines à Vapeur« behan-
delt, und es sey mir gestattet, bevor ich selbst auf die-
sen Gegenstand eingehe, das Wesentlichste jener Behand-
lungsweise, nur mit etwas anderer Bezeichnung und unter
Fortlassung der Gröſsen, welche sich auf die Reibung be-
ziehen, hier vorauszuschicken, um leichter nachweisen zu
können, inwiefern sie den neueren Kenntnissen über die
Wärme nicht mehr entspricht, und zugleich die neue Be-
handlungsweise, welche meiner Meinung nach an ihre Stelle
treten muſs, daran anzuknüpfen.

28. Die Grundlage der Pambour’schen Theorie bil-
den die beiden schon eingangs erwähnten Gesetze, welche
damals ziemlich allgemein auf den Wasserdampf angewandt
wurden. Erstens das Watt’sche Gesetz, daſs die Summe
der latenten und freien Wärme constant sey. Aus diesem
Gesetze zog man den Schluſs, daſs, wenn ein Quantum
Wasserdampf im Maximum der Dichte in einer für Wärme
undurchdringlichen Hülle eingeschlossen sey, und der Raum-
inhalt dieser Hülle vergröſsert oder verkleinert werde, dabei
der Dampf weder überhitzt werde, noch sich theilweise nie-
derschlage, sondern gerade im Maximum der Dichte bleibe;
und dieses sollte stattfinden, ganz unabhängig davon, in
Poggendorff’s Annal. Bd. XCVII. 33
[514] welcher Weise die Volumenänderung geschehe, ob der
Dampf dabei einen seiner Expansivkraft entsprechenden
Druck zu überwinden habe, oder nicht. Dasselbe Verhalten
des Dampfes setzte Pambour im Cylinder der Dampf-
maschine voraus, indem er auch von den Wassertheilchen,
welche in diesem Falle dem Dampfe beigemengt sind, nicht
annahm, daſs sie einen merklichen ändernden Einfluſs aus-
üben könnten.

Um nun den Zusammenhang, welcher für Dampf im
Maximum der Dichte zwischen Volumen und Temperatur
oder Volumen und Druck besteht, näher angeben zu können,
wandte Pambour zweitens das Mariotte’sche und Gay-
Lussac’sche Gesetz auf den Dampf an. Daraus erhält
man, wenn man das Volumen eines Kilogramm Dampf
bei 100° im Maximum der Dichte nach Gay-Lussac zu
1,696 Cubikmeter annimmt, und bedenkt, daſs der dabei
stattfindende Druck von einer Atmosphäre 10333 Kilogrm.
auf ein Quadratmeter beträgt, und man für irgend eine
andere Temperatur t das Volumen und den Druck unter
Zugrundelegung derselben Einheiten mit v und p bezeichnet,
die Gleichung:
(28) .
Hierin braucht man nur noch für p die aus der Spannungs-
reihe bekannten Werthe zu setzen, um für jede Tempe-
ratur das unter jenen Voraussetzungen richtige Volumen
berechnen zu können.

29. Da nun aber in den Formeln für die Arbeit der
Dampfmaschine das Integral \int pdv eine Hauptrolle spielt,
so war es, um dieses auf bequeme Weise berechnen zu
können, nothwendig, eine möglichst einfache Formel zwi-
schen v und p allein zu haben.

Die Gleichungen, welche man erhalten würde, wenn
man mittelst einer der gebräuchlichen empirischen Formeln
für p die Temperatur t aus der vorigen Gleichung elimi-
niren wollte, würden zu complicirt ausfallen, und Pambour
[515] zog es daher vor, eine besondere empirische Formel für
diesen Zweck zu bilden, welcher er nach dem Vorgange
von Navier folgende allgemeine Gestalt gab:
(29) ,
worin B und b Constante sind. Diese Constanten suchte
er nun so zu bestimmen, daſs die aus dieser Formel be-
rechneten Volumina möglichst genau mit den aus der vori-
gen Formel berechneten übereinstimmten. Da dieses aber
für alle bei den Dampfmaschinen vorkommende Druckgrö-
ſsen nicht mit hinlänglicher Genauigkeit möglich ist, so
berechnete er zwei verschiedene Formeln, für Maschinen
mit und ohne Condensator.

Die erstere lautet:
(29a) ,
und schlieſst sich der obigen Formel (28) am besten zwi-
schen \tfrac23 und 3\tfrac12 Atmosphären an, ist aber auch noch in
einem etwas weiteren Intervall, etwa zwischen \tfrac12 und 5 At-
mosphären anwendbar.

Die zweite, für Maschinen ohne Condensator bestimmte,
dagegen lautet:
(29b) .
Sie ist zwischen 2 und 5 Atmosphären am genausten, und
das ganze Intervall ihrer Anwendbarkeit reicht etwa von
1⅓ bis 10 Atm.

30. Die von den Dimensionen der Dampfmaschine ab-
hängigen Gröſsen, welche bei der Bestimmung der Arbeit
in Betracht kommen, sollen hier, etwas abweichend von
Pambour, folgendermaſsen bezeichnet werden. Der ganze
Raum, welcher während eines Hubes im Cylinder für den
Dampf frei wird, mit Einschluſs des schädlichen Raumes,
heiſse v′. Der schädliche Raum soll von dem ganzen
Raume den Bruchtheil ε bilden, so daſs also der schäd-
liche Raum durch ε v′ und der von der Stempelfläche be-
schriebene Raum durch (1—ε)v′ dargestellt wird. Ferner
33*
[516] sey der Theil des ganzen Raumes, welcher bis zum Momente
des Abschlusses des Cylinders vom Dampfkessel für den
Dampf frei geworden ist, ebenfalls mit Einschluſs des schäd-
lichen Raumes, mit e v′ bezeichnet. Demnach wird der von
der Stempelfläche während des Dampfzutrittes beschriebene
Raum durch (e—ε)v′ und der während der Expansion
beschriebene Raum durch (1—e)v′ ausgedrückt.

Um nun zunächst die während des Dampfzutrittes ge-
thane Arbeit zu bestimmen, muſs der während dieser Zeit
im Cylinder wirksame Druck bekannt seyn. Dieser ist
jedenfalls kleiner, als der Druck im Kessel, weil sonst
kein Strömen des Dampfes stattfinden würde; wie groſs
aber diese Differenz ist, läſst sich nicht allgemein angeben,
da sie nicht nur von der Einrichtung der Maschine abhängt,
sondern auch davon, wie weit der Maschinist die im Dampf-
zuleitungsrohre befindliche Klappe geöffnet hat, und mit
welcher Geschwindigkeit sich die Maschine bewegt. Durch
Aenderung dieser Umstände kann jene Differenz innerhalb
weiter Gränzen variiren. Auch braucht der Druck im
Cylinder nicht während der ganzen Zeit des Zuströmens
constant zu seyn, weil sowohl die Stempelgeschwindigkeit,
als auch die von dem Ventil oder dem Schieber frei ge-
lassene Zuströmungsöffnung veränderlich ist.

In Bezug auf den letzteren Umstand nimmt Pambour
an, daſs der mittlere Druck, welcher bei der Bestimmung
der Arbeit in Rechnung zu bringen ist, mit hinlänglicher
Genauigkeit gleich demjenigen Drucke gesetzt werden könne,
welcher zu Ende des Einströmens im Momente des Abschlus-
ses vom Kessel im Cylinder stattfindet. Obwohl ich es nicht
für zweckmäſsig halte, eine solche Annahme, welche nur
für die numerische Berechnung in Ermangelung sichrerer
Data zu Hülfe genommen ist, gleich in die allgemeinen
Formeln mit einzuführen, so muſs ich doch hier bei der Aus-
einandersetzung seiner Theorie seinem Verfahren folgen.

Den im Momente des Abschlusses im Cylinder statt-
findenden Druck bestimmt Pambour mittelst der von ihm
festgestellten Beziehung zwischen Volumen und Druck, in-
[517] dem er dabei voraussetzt, daſs die während der Zeiteinheit
und somit auch die wärend eines Hubes aus dem Kessel
in den Cylinder tretende Dampfmenge durch besondere
Beobachtungen bekannt ist. Wir wollen dem Früheren
entsprechend die ganze während eines Hubes in den Cy-
linder tretende Masse mit M, und den dampfförmigen Theil
derselben mit m bezeichnen. Da dieser Masse, von welcher
Pambour nur den dampfförmigen Theil berücksichtigt, im
Momente des Abschlusses den Raum e v′ ausfüllt, so hat
man, wenn man den in diesem Momente stattfindenden
Druck mit p2 bezeichnet, nach Gleichung (29):

woraus folgt:
(30) .

Multiplicirt man diese Gröſse mit dem bis zu demsel-
ben Momente von der Stempelfläche beschriebenen Raume
(e—ε) v′, so erhält man für den ersten Theil der Arbeit
den Ausdruck:
(31) .

Das Gesetz, nach welchem sich der Druck während der
nun folgenden Expansion ändert, ergiebt sich ebenfalls aus
der Gleichung (29). Sey das veränderliche Volumen in
irgend einem Momente mit v und der dazugehörige Druck
mit p bezeichnet, so hat man:
.
Diesen Ausdruck muſs man in das Integral \int pdv einsetzen,
und dann die Integration von v = ev′ bis v = v′ ausführen,
wodurch man als zweiten Theil der Arbeit erhält:
(32) .

Um die bei dem Rückgange des Stempels von dem
Gegendrucke gethane negative Arbeit zu bestimmen, muſs
der Gegendruck selbst bekannt seyn. Wir wollen, ohne
[518] für jetzt darauf einzugehen, wie sich dieser Gegendruck
zu dem im Condensator stattfindenden Drucke verhält, den
mittleren Gegendruck mit p0 bezeichnen, so daſs die von
ihm gethane Arbeit durch
(33)
dargestellt wird.

Endlich bleibt noch die Arbeit übrig, welche dazu ver-
wandt werden muſs, um die Flüssigkeitsmenge M wieder
in den Kessel zurückzupressen. Pambour hat diese Arbeit
nicht besonders berücksichtigt, sondern hat sie in die Rei-
bung der Maschine mit eingeschlossen. Da ich sie indessen
in meine Formeln, um den Cyclus der Operationen voll-
ständig zu haben, mit aufgenommen habe, so will ich sie
zur leichteren Vergleichung auch hier hinzufügen. Wie
sich aus den bei dem früher betrachteten Beispiele aufge-
stellten Gleichungen (21) und (22) ergiebt, wird diese
Arbeit, wenn p1 den Druck im Kessel und p0 den im
Condensator bedeutet, im Ganzen durch
(34)
dargestellt. Für unseren jetzigen Fall, wo wir unter p0
nicht den Druck im Condensator selbst, sondern in dem
mit dem Condensator in Verbindung stehenden Theile des
Cylinders verstehen, ist dieser Ausdruck freilich nicht ganz
genau; da aber wegen der Kleinheit der Gröſse σ der ganze
Ausdruck einen so geringen Werth hat, daſs er kaum der
Berücksichtigung verdient, so können wir eine im Verhält-
nisse zu dem schon kleinen Werthe wiederum kleine Un-
genauigkeit um so mehr vernachlässigen, und wollen daher
den Ausdruck in derselben Form auch hier beibehalten.

Durch Addition dieser vier einzelnen Arbeitsgröſsen
erhält man die ganze während des Kreisprocesses gethane
Arbeit, nämlich:
(35) .

31. Will man die Arbeit endlich noch, statt auf einen
einzelnen Hub, während dessen die Dampfmenge m wirk-
[519] sam ist, lieber auf die Gewichtseinheit Dampf beziehen, so
braucht man den vorigen Werth nur durch m zu dividiren.
Wir wollen dabei den Bruch , welcher das Verhältniſs
der ganzen in den Cylinder tretenden Masse zu dem dampf-
förmigen Theile derselben darstellt, und somit etwas gröſser
als 1 ist, mit l, ferner den Bruch d. h. den Raum, wel-
cher der Gewichtseinheit Dampf im Cylinder im Ganzen
geboten wird, mit V, und den Bruch , oder die der
Gewichtseinheit Dampf entsprechende Arbeit, mit W be-
zeichnen. Dann kommt:
(XII) .

In dieser Gleichung kommt nur ein Glied vor, welches
von dem Volumen V abhängt, und zwar enthält es V als
Factor. Da dieses Glied negativ ist, so folgt daraus, daſs
die Arbeit, welche man mittelst einer Gewichtseinheit Dampf
erhalten kann, unter sonst gleichen Umständen am gröſsten
ist, wenn das Volumen, welches dem Dampfe im Cylinder
geboten wird, möglichst klein ist. Der kleinste Werth des
Volumens, welchem man sich, wenn man ihn auch nie ganz
erreicht, doch mehr und mehr nähern kann, ist derjenige,
welchen man findet, wenn man annimmt, daſs die Maschine
so langsam gehe, oder der Zuströmungskanal so weit sey,
daſs im Cylinder derselbe Druck p1 stattfinde wie im Kessel.
Dieser Fall giebt also das Maximum der Arbeit. Ist bei
gleichem Dampfzustrome die Ganggeschwindigkeit gröſser,
oder bei gleicher Ganggeschwindigkeit der Dampfzustrom
geringer, so erhält man in beiden Fällen mittelst derselben
Dampfmenge eine kleinere Arbeit.

32. Bevor wir von hier aus dazu übergehen, nach der
mechanischen Wärmetheorie dieselbe Reihe von Vorgängen
in ihrem Zusammenhange zu betrachten, wird es zweck-
mäſsig seyn, einen derselben, welcher noch einer speciellen
Untersuchung bedarf, vorher einzeln zu behandeln, um die
darauf bezüglichen Resultate im Voraus festzustellen, näm-
[520] lich das Einströmen des Dampfes in den schädlichen Raum
und in den Cylinder, wenn er hier einen geringeren Druck
zu überwinden hat, als den, mit welchem er aus dem Kessel
getrieben wird. Ich kann bei dieser Untersuchung ganz
nach denselben Principien verfahren, welche ich schon in
einem früheren Aufsatze ¹⁾ zur Behandlung einiger ähnlicher
Fälle angewandt habe.

Der aus dem Kessel kommende Dampf tritt zuerst in
den schädlichen Raum, comprimirt hier den vom vorigen
Hube noch vorhandenen Dampf von geringer Dichte, und
füllt den dadurch frei werdenden Raum aus, und wirkt
dann drückend gegen den Stempel, welcher der Annahme
nach wegen verhältniſsmäſsig geringer Belastung so schnell
zurückweicht, daſs der Dampf nicht schnell genug folgen
kann, um im Cylinder dieselbe Dichte zu erreichen, wie
im Kessel.

Unter solchen Umständen müſste, wenn aus dem Kessel
gerade nur gesättigter Dampf austräte, dieser im Cylinder
überhitzt werden, indem die lebendige Kraft der Einströ-
[521] mungsbewegung sich hier in Wärme verwandelt; da aber
der Dampf etwas fein vertheiltes Wasser mit sich führt,
so wird von diesem ein Theil durch die überschüssige
Wärme verdampfen, und dadurch der übrige Dampf im
gesättigten Zustande erhalten werden[.]

Wir müssen uns nun die Aufgabe stellen: wenn erstens
der Anfangszustand der ganzen in Betracht kommenden Masse,
sowohl der schon vorher im schädlichen Raume befindlichen,
als auch der aus dem Kessel neu hinzukommenden, ferner
die Gröſse der Arbeit, welche während des Einströmens von
dem auf den Stempel wirkenden Drucke gethan wird, und
endlich der Druck, welcher im Momente des Abschlusses vom
Kessel im Cylinder stattfindet, gegeben sind, dann zu be-
stimmen, wieviel von der im Cylinder befindlichen Masse in
diesem Momente dampfförmig ist.

33. Die vor dem Einströmen im schädlichen Raume
befindliche Masse, von welcher der Allgemeinheit wegen
angenommen werden soll, daſs sie theils flüssig theils dampf-
förmig sey, heiſse μ und der davon dampfförmige Theil μ0.
Der Druck dieses Dampfes und die dazugehörige absolute
Temperatur mögen vorläufig mit p0 und T0 bezeichnet
werden, ohne daſs damit gesagt seyn soll, daſs dieses genan
dieselben Werthe seyen, welche auch für den Condensator
gelten. Der Druck und die Temperatur im Kessel sollen
wie früher p1 und T1, die ans dem Kessel in den Cylinder
strömende Masse M und der davon dampfförmige Theil m1
heiſsen. Der während des Einströmens auf den Stempel
ausgeübte Druck braucht, wie schon erwähnt, nicht constant
zu seyn. Wir wollen denjenigen Druck den mittleren nen-
nen und mit p′1 bezeichnen, mit welchem der von der
Stempelfläche während der Zeit des Einströmens beschrie-
bene Raum multiplicirt werden muſs, um dieselbe Arbeit
zu erhalten, welche von dem veränderlichen Drucke gethan
wird. Der im Momente des Abschlusses im Cylinder wirk-
lich stattfindende Druck und die dazugehörige Temperatur
seyen durch p2 und T2 und endlich die Gröſse, um deren
Bestimmung es sich handelt, nämlich der von der ganzen
[522] jetzt im Cylinder vorhandenen Masse M + μ dampfförmige
Theil durch m2 dargestellt.

Zur Bestimmung dieser Gröſse denken wir uns die
Masse M + μ auf irgend einem Wege in ihren Anfangs-
zustand zurückgeführt, z. B. folgendermaſsen. Der dampf-
förmige Theil m2 wird im Cylinder durch Herabdrücken
des Stempels condensirt, wobei vorausgesetzt wird, daſs
der Stempel auch in den schädlichen Raum eindringen
könne. Zugleich wird der Masse in irgend einer Weise
fortwährend soviel Wärme entzogen, daſs ihre Temperatur
constant T2 bleibt. Dann wird von der ganzen flüssigen
Masse der Theil M in den Kessel zurückgepreſst, wo er
wieder die ursprüngliche Temperatur T1 annimmt. Dadurch
ist im Kessel derselbe Zustand wie vor dem Einströmen
wieder hergestellt, indem es nicht darauf ankommt, ob
gerade dieselbe Masse m1, welche vorher dampfförmig war,
es auch jetzt wieder ist, oder ob eine gleich groſse andere
Masse an ihre Stelle getreten ist. Der übrige Theil μ wird
zuerst im flüssigen Zustande von T2 bis T0 abgekühlt, und
bei dieser Temperatur verwandelt sich der Theil μ0 in
Dampf, wobei der Stempel soweit zurückweicht, daſs dieser
Dampf wieder seinen ursprünglichen Raum einnehmen kann.

34. Hiermit hat die Masse M + μ einen vollständigen
Kreisproceſs durchgemacht, auf welchen wir nun den Satz
anwenden können, daſs die Summe aller während eines
Kreisprocesses von der Masse aufgenommenen Wärme-
mengen der ganzen dabei gethanen äuſseren Arbeit aequi-
valent seyn muſs.

Es sind nach einander folgende Wärmemengen aufge-
nommen:

1) Im Kessel, wo die Masse M von der Temperatur
T2 bis T1 erwärmt und bei der letzteren Temperatur der
Theil m1 in Dampf verwandelt werden muſste:
.

2) Bei der Condensation des Theiles m2 bei der Tem-
peratur T2:
.

3) Bei der Abkühlung des Theiles μ von T2 bis T0:
.

4) Bei der Verdampfung des Theiles μ0 bei der Tem-
peratur T0:
.
Die im Ganzen aufgenommene Wärmemenge, welche Q
heiſse, ist also:
(36) .

Die Arbeitsgröſsen ergeben sich folgendermaſsen:

1) Um den von der Stempelfläche während des Ein-
strömens beschriebenen Raum zu bestimmen, weiſs man,
daſs der ganze zu Ende dieser Zeit von der Masse M + μ
eingenommene Raum

ist. Hiervon muſs der schädliche Raum abgezogen werden.
Da dieser zu Anfange bei der Temperatur T0 von der
Masse μ ausgefüllt wurde, wovon der Theil μ0 dampf-
förmig war, so läſst er sich durch

darstellen. Zieht man diese Gröſse von der vorigen ab,
und multiplicirt den Rest mit dem mittleren Drucke p′1,
so erhält man als erste Arbeit:
.

2) Die Arbeit bei der Condensation der Masse m2 ist:
.

3) Beim Zurückpressen der Masse M in den Kessel:
.

4) Bei der Verdampfung des Theiles μ0:
.

Durch Addition dieser vier Gröſsen erhält man für die
ganze Arbeit W den Ausdruck:
(37) .

Setzt man diese für Q und W gefundenen Werthe in
die Gleichung (I) nämlich
[524] ein, und bringt die mit m2 behafteten Glieder auf Eine
Seite zusammen, so kommt:
(XIII) m2 [r2 + A u2 (p′1 — p2)] = m1r1 + M c (T1 — T2)
+ μ0r0 — μ c (T2 — T0) + A μ0u0 (p′1 — p0) + A M σ (p1 — p′1).
Mittelst dieser Gleichung kann man aus den als bekannt
vorausgesetzten Gröſsen die Gröſse m2 berechnen.

35. In solchen Fällen, wo der mittlere Druck p′1 be-
trächtlich gröſser ist, als der Enddruck p2, z. B. wenn
man annimmt, daſs während des gröſseren Theiles der Ein-
strömungszeit im Cylinder nahe derselbe Druck stattgefun-
den habe, wie im Kessel, und erst zuletzt durch Ausdeh-
nung des schon im Cylinder befindlichen Dampfes der
Druck auf den geringeren Werth p2 herabgesunken sey,
kann es vorkommen, daſs man für m2 einen Werth findet,
der kleiner als m1 + μ0 ist, daſs also ein Theil des ursprüng-
lich vorhandenen Dampfes sich niedergeschlagen hat. Ist
dagegen p′1 nur wenig gröſser oder gar kleiner als p2, so
findet man für m2 einen Werth, der gröſser als m1 + μ0
ist. Dieses letztere ist bei der Dampfmaschine als Regel
zu betrachten, und gilt insbesondere auch für den von
Pambour angenommenen speciellen Fall, daſs p′1 = p2 ist.

Wir sind somit zu Resultaten gelangt, welche von den
Pambour’schen Ansichten wesentlich abweichen. Wäh-
rend dieser für die beiden verschiedenen Arten der Aus-
dehnung, welche in der Dampfmaschine nach einander vor-
kommen, ein und dasselbe Gesetz annimmt, nach welchem
der ursprünglich vorhandene Dampf sich weder vermehren
noch vermindern, sondern immer nur gerade im Maximum
der Dichte bleiben soll, haben wir zwei verschiedene Glei-
chungen gefunden, welche ein entgegengesetztes Verhalten
erkennen lassen. Bei der ersten Ausdehnung während des
Einströmens muſs nach der eben gefundenen Gleichung (XIII)
noch neuer Dampf entstehen, und bei der weiteren Ausdeh-
nung nach dem Abschlusse vom Kessel, wobei der Dampf
die volle seiner Expansivkraft entsprechende Arbeit thut,
muſs nach der früher schon entwickelten Gleichung (VII)
ein Theil des vorhandenen Dampfes sich niederschlagen.

Da diese beiden entgegengesetzten Wirkungen der
Dampfvermehrung und -verminderung, welche auch auf
die Gröſse der von der Maschine geleisteten Arbeit einen
entgegengesetzten Einfluſs ausüben müssen, zum Theil ein-
ander aufheben, so kann dadurch unter Umständen ange-
nähert dasselbe Endresultat entstehen, wie nach der ein-
facheren Pambour’schen Annahme. Deshalb darf man
jedoch nicht darauf verzichten, die einmal gefundene Ver-
schiedenheit auch zu berücksichtigen, besonders wenn es
sich darum handelt zu bestimmen, in welcher Weise eine
Aenderung in der Einrichtung oder im Gange der Dampf-
maschine auf die Gröſse ihrer Arbeit einwirkt.

36. Mit Hülfe der in §. 34 einzeln angeführten Wärme-
mengen kann man nach dem, was in §. 8 gesagt ist, leicht
auch die bei der Ausdehnung eintretende uncompensirte
Verwandlung bestimmen, indem man das in der Gleichung

vorkommende Integral auf diese Wärmemengen bezieht.

Die Mittheilung der Wärmemengen m1r1, — m2r2 und
μ0r0 geschieht bei constanten Temperaturen, nämlich T1,
T2 und T0, und diese Theile des Integrals sind daher:
\frac{m_1r_1}{T_1}, -\fra{m_2r_2}{T_2} und \frac{\mu_0r_0}{T_0}.
Für die von den Wärmemengen M c (T1—T2) und — μ c (T2—T0)
herrührenden Theile des Integrals findet man nach dem schon
in §. 23 angewandten Verfahren die Ausdrücke:
Mc\log\frac{T_1}{T_2} und -\mu c\log\frac{T_2}{T_0}.
Indem man die Summe dieser Gröſsen an die Stelle des
obigen Integrals setzt, erhält man für die uncompensirte
Verwandlung den Werth:
(38) .

37. Wir können uns nun wieder zu dem vollständigen
beim Gange der Dampfmaschine stattfindenden Kreispro-
[526] cesse wenden, und die einzelnen Theile desselben in ähn-
licher Weise wie früher nach einander betrachten.

Aus dem Dampfkessel, in welchem der Druck p1 an-
genommen wird, strömt die Masse M in den Cylinder, und
zwar der Theil m1 dampfförmig, und der übrige Theil
tropfbar flüssig. Der während dieser Zeit im Cylinder
wirksame mittlere Druck werde wie oben mit p′1 und der
Enddruck mit p2 bezeichnet.

Nun dehnt sich der Dampf aus, bis sein Druck von p2
bis zu einem gegebenen Werthe p3, und demgemäſs seine
Temperatur von T2 bis T3 gesunken ist.

Darauf wird der Cylinder mit dem Condensator, in
welchem der Druck p0 stattfindet, in Verbindung gesetzt,
und der Stempel macht die ganze eben vollendete Bewe-
gung wieder zurück. Der Gegendruck, welchen er dabei
erfährt, ist bei etwas schneller Bewegung gröſser als p0,
und wir wollen daher zum Unterschiede von diesem Werthe
den mittleren Gegendruck mit p′0 bezeichnen.

Der zu Ende der Stempelbewegung im schädlichen
Raume bleibende Dampf, welcher für den nächsten Hub
in Betracht kommt, steht unter einem Drucke, welcher
ebenfalls weder gleich p0 noch gleich p′0 zu seyn braucht,
und daher mit p″0 bezeichnet werde. Er kann gröſser
oder kleiner als p′0 seyn, jenachdem der Abschluſs von
dem Condensator etwas vor oder nach dem Ende der
Stempelbewegung eintritt, indem der Dampf im ersteren
Falle noch etwas weiter comprimirt wird, im letzteren
Falle dagegen Zeit hat, sich durch theilweises Ausströmen
in den Condensator noch etwas weiter auszudehnen.

Endlich muſs die Masse M noch aus dem Condensator
in den Kessel zurückgeschafft werden, wobei wie früher
der Druck p0 befördernd wirkt, und der Druck p1 über-
wunden werden muſs.

38. Die bei diesen Vorgängen gethanen Arbeitsgrö-
ſsen werden durch ganz ähnliche Ausdrücke dargestellt,
wie in dem früher betrachteten einfacheren Falle, nur daſs
die Indices der Buchstaben in leicht ersichtlicher Weise
[527] geändert, und die auf den schädlichen Raum bezüglichen
Gröſsen hinzugefügt werden müssen. Man erhält dadurch
folgende Gleichungen.

Für die Zeit des Einströmens nach §. 34, wobei nur
noch u″0 statt u0 geschrieben werden muſs:
(39)
Für die Expansion von dem Drucke p2 bis zum Drucke p3
nach der Gleichung (IX), wenn darin M + μ an die Stelle
von M gesetzt wird:
(40) .
Für den Rückgang des Stempels, wobei der von der Stem-
pelfläche durchlaufene Raum gleich dem ganzen von der
Masse M + μ unter dem Drucke p3 eingenommenen Raume
weniger dem durch μ0u″0 + μσ dargestellten schädlichen
Raume ist:
(41) .
Für die Zurückschaffung der Masse M in den Kessel:
(42) .

Die ganze Arbeit ist demnach:
(43) .

Die hierin vorkommenden Massen m2 und m3 ergeben
sich aus den Gleichungen (XIII) und (VII), wobei man
nur in der ersteren an die Stelle von p0 den Werth p″0
setzen, und in entsprechender Weise die Gröſsen T0, r0
und u0 ändern, und in der letzteren an die Stelle von M
die Summe M + μ einführen muſs. Ich will indessen die
durch diese Gleichungen mögliche Elimination der beiden
Gröſsen m2 und m3 hier nicht vollständig ausführen, son-
dern nur für eine derselben m2 ihren Werth einsetzen,
weil es für die Rechnung zweckmäſsiger ist, die so erhal-
[528] tene Gleichung mit den beiden früher gewonnenen zusam-
men zu betrachten. Das zur Bestimmung der Arbeit der
Dampfmaschine dienende System von Gleichungen lautet
also in seiner allgemeinsten Form:
(XIV) .

39. Ich glaube, daſs es nicht ohne Interesse seyn wird,
wenn ich, bevor ich versuche, diese Gleichungen für die
Anwendung geschickter zu machen, zeige, wie man auch
für eine unvollkommene Dampfmaschine auf dem früher
angedeuteten umgekehrten Wege zu denselben Ausdrücken
gelangt, wie auf dem vorher verfolgten. Ich werde aber,
um bei dieser Abschweifung nicht zu weitläufig zu wer-
den, nur zwei der Unvollkommenheiten, welche in den
vorigen Gleichungen berücksichtigt sind, in Betracht zie-
hen, nämlich das Vorhandenseyn des schädlichen Raumes,
und den geringeren Druck des Dampfes im Cylinder als
im Kessel während des Einströmens. Dagegen werde ich
annehmen, daſs die Expansion vollständig sey, in welchem
Falle T3 = T0 zu setzen ist, und daſs auch die Gröſsen
T0, T′0 und T″0 unter einander gleich seyen.

Wir haben bei dieser Bestimmung die Gleichung (2)
anzuwenden, welche wir hier in folgender Form schrei-
ben wollen:
.

Das erste Glied auf der rechten Seite bedeutet die Ar-
beit, welche man mittelst der angewandten Wärmemenge Q1,
[529] welche für unseren Fall durch m1r1 + M c(T1 —T0) dar-
gestellt wird, erhalten würde, wenn jene Unvollkommenhei-
ten nicht stattfänden. Dieses Glied ist schon in §. 23
berechnet, wo folgender Ausdruck gefunden wurde:
.

Das zweite Glied bedeutet den Arbeitsverlust, welcher
durch jene beiden Unvollkommenheiten veranlaſst wird.
Die darin vorkommende Gröſse N ist ebenfalls schon be-
rechnet, nämlich in §. 36, und ist durch den in der Glei-
chung (38) angeführten Ausdruck dargestellt.

Setzt man diese beiden Ausdrücke in die vorige Glei-
chung ein, so kommt:
(44) .
Daſs diese Gleichung in der That mit den Gleichungen (XIV)
übereinstimmt, sieht man leicht, wenn man in die erste der-
selben für die Masse m3 die Masse m2 einführt, was mit-
telst der dritten Gleichung geschehen kann, und dann noch
setzt.

Auf dieselbe Weise kann man auch den durch die un-
vollständige Expansion entstandenen Arbeitsverlust in Ab-
zug bringen, indem man die beim Ueberströmen des Dam-
pfes aus dem Cylinder in den Condensator entstehende
uncompensirte Verwandlung berechnet, und diese in N mit
einbegreift. Durch diese Rechnung, welche ich hier nicht
wirklich ausführen will, gelangt man ganz zu dem in (XIV)
gegebenen Ausdrucke der Arbeit.

40. Um nun die Gleichungen (XIV) zu einer numeri-
schen Rechnung anwenden zu können, ist es zunächst nö-
thig, die Gröſsen p′1, p′0 und p″0 näher zu bestimmen.

Ueber die Art, wie sich der Druck im Cylinder wäh-
rend des Einströmens ändert, läſst sich kein allgemein gül-
tiges Gesetz aufstellen, weil die Oeffnung und Schlieſsung
Poggendorff’s Annal. Bd. XCVII. 34
[530] des Zuströmungskanales bei verschiedenen Maschinen in
zu verschiedenen Weisen geschieht. Demnach läſst sich
auch für das Verhältniſs zwischen dem mittleren Drucke p′1
und dem Enddrucke p2, bei ganz strenger Auffassung des
letzteren, nicht ein bestimmter, ein für allemal geltender
Werth angeben. Dagegen wird dieses möglich, wenn man
mit der Bedeutung von p2 eine geringe Aenderung vor-
nimmt.

Der Abschluſs des Cylinders vom Kessel kann natür-
lich nicht momentan geschehen, sondern die dazu nöthige
Bewegung des Ventiles oder Schiebers erfordert je nach
den verschiedenen Steuerungseinrichtungen eine gröſsere
oder kleinere Zeit, während welcher der im Cylinder be-
findliche Dampf sich etwas ausdehnt, weil wegen der Ver-
engung der Oeffnung weniger neuer Dampf zuströmen
kann, als der Stempelgeschwindigkeit entspricht. Man kann
daher im Allgemeinen annehmen, daſs zu Ende dieser Zeit
der Druck schon etwas kleiner ist, als der mit p′1 bezeich-
nete mittlere Druck.

Wenn man sich aber nicht daran bindet, gerade das
Ende der zum Schlieſsen nöthigen Zeit als den Moment
des Abschlusses in Rechnung zu bringen, sondern sich in
der Feststellung dieses Momentes einige Freiheit verstattet,
so kann man dadurch auch für p2 andere Werthe erhalten.
Man kann sich dann den Zeitpunkt so gewählt denken,
daſs, wenn bis dahin schon die ganze Masse M eingeströmt
wäre, dann in diesem Augenblicke ein Druck stattfinden
würde, welcher dem bis zu diesem Augenblicke gerechne-
ten mittleren Drucke gerade gleich wäre. Indem man den
auf diese Weise näher bestimmten momentanen Abschluſs
an die Stelle des in der Wirklichkeit stattfindenden all-
mählichen Abschlusses setzt, begeht man in Bezug auf die
daraus berechnete Arbeit nur einen unbedeutenden Fehler.
Man kann sich daher mit dieser Modification der Pam-
bour’schen Annahme anschlieſsen, daſs p′1 = p2 sey, wo-
bei es dann aber noch für jeden einzelnen Fall einer be-
sonderen Betrachtung vorbehalten bleibt, unter Berücksich-
[531] tigung der obwaltenden Umstände den Zeitpunkt des Ab-
schlusses richtig zu bestimmen.

41. Was ferner den beim Rückgange des Stempels
stattfindenden Gegendruck p′0 betrifft, so ist die Differenz
p′0 — p0 unter sonst gleichen Umständen offenbar um so
kleiner, je kleiner p0 ist. Sie wird daher bei Maschinen
mit Condensator kleiner seyn, als bei Maschinen ohne Con-
densator, bei denen p0 gleich einer Atmosphäre ist. Bei
den wichtigsten Maschinen ohne Condensator, den Loco-
motiven, kommt gewöhnlich noch ein besonderer Umstand
hinzu, welcher dazu beiträgt, die Differenz zu vergröſsern,
nämlich der, daſs man dem Dampfe nicht einen möglichst
kurzen und weiten Kanal zum Abfluſs in die Atmosphäre
darbietet, sondern ihn in den Schornstein leitet und dort
durch ein etwas verengtes Blaserohr ausströmen läſst, um
auf diese Weise einen künstlichen Luftzug zu erzeugen.

In diesem Falle ist eine genaue Bestimmung der Diffe-
renz für die Zuverlässigkeit des Resultates von Bedeutung.
Man muſs dabei auch berücksichtigen, daſs die Differenz
bei einer und derselben Maschine nicht constant, sondern
von der Ganggeschwindigkeit abhängig ist, und muſs das
Gesetz, nach welchem diese Abhängigkeit stattfindet, fest-
stellen. Auf diese Betrachtungen und die Untersuchungen,
welche über diesen Gegenstand schon angestellt sind, will
ich aber hier nicht eingehen, weil sie nichts mit der me-
chanischen Wärmetheorie zu thun haben.

Bei Maschinen, in denen jene Anwendung des aus dem
Cylinder austretenden Dampfes nicht vorkommt, und be-
sonders bei den Maschinen mit Condensator ist p′0 so we-
nig von p0 verschieden, und kann sich daher auch mit
der Ganggeschwindigkeit nur so wenig ändern, daſs es
für die meisten Untersuchungen genügt, einen mittleren
Werth für p′0 anzunehmen.

Da ferner die Gröſse p0 in den Gleichungen (XIV)
nur in einem mit dem Factor σ behafteten Gliede vor-
kommt, und daher auf den Werth der Arbeit einen sehr
geringen Einfluſs hat, so kann man ohne Bedenken auch
34 *
[532] für p0 den Werth setzen, welcher für p′0 der wahrschein-
lichste ist.

Der im schädlichen Raume stattfindende Druck p″0
hängt, wie schon erwähnt, davon ab, ob der Abschluſs
vom Condensator vor oder nach dem Ende der Stempel-
bewegung eintritt, und kann dadurch sehr verschieden
ausfallen. Aber auch dieser Druck und die davon abhän-
gigen Gröſsen kommen in den Gleichungen (XIV) nur in
solchen Gliedern vor, welche mit kleinen Factoren behaf-
tet sind, nämlich mit μ und μ0, so daſs man von einer
genauen Bestimmung dieses Druckes absehen, und sich mit
einer ungefähren Schätzung begnügen kann. In solchen
Fällen, wo nicht besondere Umstände dafür sprechen, daſs
p″0 bedeutend von p′0 abweicht, kann man diesen Unter-
schied, ebenso wie den zwischen p0 und p′0, vernachläs-
sigen, und den Werth, welcher den mittleren Gegendruck
im Cylinder mit der gröſsten Wahrscheinlichkeit darstellt,
als gemeinsamen Werth für alle drei Gröſsen annehmen.
Dieser Werth möge dann einfach mit p0 bezeichnet werden.

Durch Einführung dieser Vereinfachungen gehen die
Gleichungen (XIV) über in:
(XV) .

42. In diesen Gleichungen ist vorausgesetzt, daſs au-
ſser den Massen M, m1, μ und m0, von denen die beiden
ersten durch directe Beobachtung bekannt seyn müssen,
und die beiden letzten aus der Gröſse des schädlichen
Raumes angenähert bestimmt werden können, auch noch
die vier Druckkräfte p1, p2, p3 und p0, oder, was das-
selbe ist, die vier Temperaturen T1, T2, T3 und T0 ge-
geben seyen. Diese Bedingung ist aber in den in der
[533] Praxis vorkommenden Fällen nur theilweise erfüllt, und
man muſs daher andere Data für die Rechnung zu Hülfe
nehmen.

Von jenen vier Druckkräften sind nur zwei als be-
kannt vorauszusetzen, nämlich p1 und p0, deren erstere
durch das Kesselmanometer unmittelbar angegeben wird,
und letztere aus der Angabe des Condensatormanometers
wenigstens angenähert geschlossen werden kann. Die bei-
den anderen p2 und p3 sind nicht gegeben, aber dafür
kennt man die Dimensionen des Cylinders, und weiſs, bei
welcher Stellung des Stempels der Abschluſs vom Kessel
erfolgt. Daraus kann man die Volumina, welche der Dampf
im Cylinder im Momente des Abschlusses und zu Ende der
Expansion einnimmt, ableiten, und diese beiden Volu-
mina können daher als Data an die Stelle der Druckkräfte
p2 und p3 treten.

Es kommt nun darauf an, die Gleichungen in solche
Form zu bringen, daſs man mittelst dieser Data die Rech-
nung ausführen kann.

43. Es sey wieder, wie bei der Auseinandersetzung
der Pambour’schen Theorie, der ganze Raum, welcher
während eines Hubes im Cylinder frei wird, mit Einschluſs
des schädlichen Raumes, mit v′, der bis zum Abschluſs vom
Kessel frei werdende Raum mit ev′ und der schädliche
Raum mit εv′ bezeichnet. Dann hat man nach dem, was
früher gesagt ist, die Gleichungen:
.
Die Gröſsen μ und σ sind beide so klein, daſs man ihr
Product ohne Weiteres vernachlässigen kann, wodurch
kommt:
(45) .

Ferner ist nach Gleichung (VI), wenn wir für den
darin enthaltenen Differentialcoëfficienten , welcher im
Folgenden so oft vorkommen wird, daſs eine einfachere
Bezeichnung zweckmäſsig ist, den Buchstaben g einführen:
.
Hiernach kann man in den obigen Gleichungssystemen die
Gröſsen r2 und r3 durch u2 und u3 ersetzen. Dann kommen
die Massen m2 und m3 nur noch in den Producten m2u2
und m3u3 vor, und für diese kann man die in den beiden
ersten der Gleichungen (45) gegebenen Werthe einsetzen.

Ebenso kann man mittelst der letzten dieser Gleichun-
gen zunächst die Masse μ0 eliminiren, und was die andere
Masse μ anbetrifft, so kann diese zwar etwas gröſser als
μ0 seyn, da aber die Glieder, welche μ als Factor ent-
halten, überhaupt sehr unbedeutend sind, so kann man
unbedenklich auch für μ denselben Werth einsetzen, wel-
cher für μ0 gefunden ist, d. h. man kann jene der Allge-
meinheit wegen gemachte Annahme, daſs die ursprünglich
im schädlichen Raume befindliche Masse theils flüssig theils
dampfförmig war, für die numerische Rechnung fallen lassen,
und jene Masse als ganz dampfförmig voraussetzen.

Die eben angedeuteten Substitutionen können sowohl
in den allgemeineren Gleichungen (XIV) als auch in den
vereinfachten Gleichungen (XV) geschehen. Da indessen
die Ausführung gar keine Schwierigkeit hat, so wollen wir
uns hier auf die letzteren beschränken, um die Gleichungen
sofort in einer für die numerische Berechnung geeigneten
Form zu erhalten.

Sie lauten nach dieser Aenderung folgendermaſsen:
[535](XVI) .

44. Um diese Gleichungen, welche die Arbeit eines
Hubes oder der Dampfmenge m1 bestimmen, endlich noch
auf die Gewichtseinheit Dampf zu beziehen, ist dasselbe
Verfahren anzuwenden, mittelst dessen früher die Glei-
chungen (35) in (XII) verwandelt wurden. Wir dividiren
nämlich die drei Gleichungen durch m1 und setzen dann:
\frac M{m_1}=l, \frac{v'}{m_1}=V und \frac{W'}{m_1}=W.
Dadurch gehen die Gleichungen über in:
(XVII) .

45. Die Anwendung dieser Gleichungen zur Berech-
nung der Arbeit kann in folgender Weise geschehen. Aus
der als bekannt vorausgesetzten Verdampfungsstärke und
aus der Ganggeschwindigkeit, welche die Maschine dabei
annimmt, bestimmt man das Volumen V, welches auf eine
Gewichtseinheit Dampf kommt. Mit Hülfe dieses Werthes
berechnet man zunächst aus der zweiten Gleichung die Tem-
peratur T2, sodann aus der dritten die Temperatur T3, und
[536] diese endlich wendet man in der ersten Gleichung zur Be-
stimmung der Arbeit an.

Dabei stöſst man aber noch auf eine eigenthümliche
Schwierigkeit. Um aus den beiden letzten Gleichungen
die Temperaturen T2 und T3 zu berechnen, müſsten die-
selben eigentlich nach den Temperaturen aufgelöst werden.
Sie enthalten aber diese Temperaturen nicht nur explicite,
sondern auch implicite, indem p und g Functionen der
Temperatur sind. Wollte man zur Elimination dieser Grö-
ſsen eine der gebräuchlichen empirischen Formeln, welche
den Dampfdruck als Function der Temperatur darstellen,
für p, und ihren Differentialcoëfficienten für g einsetzen,
so würden die Gleichungen für die weitere Behandlung zu
complicirt werden. Man könnte sich nun vielleicht in ähn-
licher Weise wie Pambour dadurch helfen, daſs man neue
empirische Formeln aufstellte, welche für den vorliegenden
Zweck bequemer, und wenn auch nicht für alle Tempera-
turen, so doch innerhalb gewisser Intervalle hinlänglich
genau wären. Auf solche Versuche will ich jedoch hier
nicht eingehen, sondern statt dessen auf ein anderes Ver-
fahren aufmerksam machen, bei welchem die Rechnung zwar
etwas weitläufig, aber in ihren einzelnen Theilen leicht
ausführbar ist.

46. Wenn die Spannungsreihe des Dampfes für irgend
eine Flüssigkeit mit hinlänglicher Genauigkeit bekannt ist,
so kann man daraus auch die Werthe der Gröſsen g und
T.g für verschiedene Temperaturen berechnen, und ebenso,
wie es mit den Werthen von p zu geschehen pflegt, in
Tabellen vereinigen.

Für den Wasserdampf, welcher bis jetzt bei den Dampf-
maschinen fast allein angewandt wird, und für das Tempe-
raturintervall, innerhalb dessen die Anwendung stattfindet,
nämlich von 40° bis 200° C. habe ich eine solche Rech-
nung mit Hülfe der Regnault’schen Spannungsreihe aus-
geführt.

Ich hätte dabei eigentlich die Formeln, welche Regnault
zur Berechnung der einzelnen Werthe von p unter und über
[537] 100° benutzt hat, nach t differentiiren, und mittelst der da-
durch erhaltenen neuen Formeln g berechnen müssen. Da
aber jene Formeln doch nicht so vollkommen ihrem Zwecke
entsprechen, daſs mir diese mühsame Arbeit lohnend schien,
und die Aufstellung und Berechnung einer anderen geeig-
neteren Formel noch weitläufiger gewesen wäre, so habe
ich mich damit begnügt, die schon für den Druck berech-
neten Zahlen auch zu einer angenäherten Bestimmung des
Differentialcoëfficienten des Druckes zu benutzen. Sey z. B.
der Druck für die Temperaturen 146° und 148° mit p1 4 6
und p1 4 8 bezeichnet, so habe ich angenommen, daſs die
Gröſse

den für die mittlere Temperatur 147° geltenden Werth
des Differentialcoëfficienten hinlänglich genau darstelle.

Dabei habe ich über 100° die von Regnault selbst
angeführten Zahlen benutzt ¹⁾. In Bezug auf die Werthe
unter 100° hat in neuerer Zeit Moritz²⁾ darauf aufmerk-
sam gemacht, daſs die Formel, welche Regnault zwischen
0° und 100° angewandt hat, dadurch, daſs er sich zur
Berechnung der Constanten siebenstelliger Logarithmen be-
dient hat, etwas ungenau geworden ist, besonders in der
Nähe von 100°. Moritz hat daher jene Constanten unter
Zugrundelegung derselben Beobachtungswerthe mit zehn-
stelligen Logarithmen berechnet, und die aus dieser verbes-
serten Formel abgeleiteten Werthe von p, soweit sie von
den Regnault’schen abweichen, was erst über 40° ein-
tritt, mitgetheilt. Diese Werthe habe ich benutzt.

Nachdem die Gröſse g für die einzelnen Temperatur-
grade berechnet ist, hat auch die Berechnung des Pro-
ductes T.g keine Schwierigkeit mehr, da T durch die ein-
fache Gleichung

bestimmt ist.

Die so gefundenen Werthe von g und T.g habe ich
in einer am Ende dieser Abhandlung mitgetheilte Tabelle
zusammengestellt. Der Vollständigkeit wegen habe ich auch
die dazugehörigen Werthe von p hinzugefügt, und zwar
über 100° die von Regnault, unter 100° die von Moritz
berechneten. Bei jeder dieser drei Zahlenreihen sind die
Differenzen je zweier aufeinander folgender Zahlen mit an-
geführt, so daſs man aus dieser Tabelle für jede gegebene
Temperatur die Werthe jener drei Gröſsen, und umgekehrt
für jeden gegebenen Werth einer jener drei Gröſsen die
entsprechende Temperatur finden kann.

Nach dem, was vorher über die Berechnung von g
gesagt ist, brauche ich wohl kaum hinzuzufügen, daſs ich
die Zahlen dieser Tabelle nicht als genau betrachte, sondern
sie nur in Ermangelung besserer mittheile. Da jedoch die
bei der Dampfmaschine vorkommenden Rechnungen immer
auf ziemlich unsicheren Daten beruhen, so kann man hierzu
die Zahlen unbedenklich anwenden, ohne fürchten zu müs-
sen, daſs dadurch die Unsicherheit des Resultates erheblich
vermehrt werde.

Ueber die Art der Anwendung ist jedoch noch eine
Bemerkung nöthig. In den Gleichungen (XVII) ist voraus-
gesetzt, daſs der Druck p und sein Differentialcoëfficient g
in Kilogrammen auf ein Quadratmeter ausgedrückt seyen;
in den Tabellen dagegen ist dieselbe Druckeinheit beibe-
halten, auf welche sich die Regnault’sche Spannungsreihe
bezieht, nämlich Millimeter Quecksilber. Um [dessen ungeach-
tet] die Tabelle anwenden zu können, braucht man nur in
jenen Gleichungen alle Glieder, welche nicht entweder p
oder g als Factor enthalten, durch die Zahl 13,596 zu
dividiren. Ich werde diese Zahl, welche nichts weiter ist,
als das specifische Gewicht des Quecksilbers von 0° ver-
glichen mit Wasser vom Maximum der Dichte, der Kürze
wegen mit k bezeichnen.

Diese Aenderung der Formeln hat übrigens fast gar
keine Vermehrung der Rechnungen zur Folge, indem sie
[539] darauf hinauskommt, daſs statt des constanten Factors ,
welcher nach Joule den schon früher angeführten Werth
423,55 hat, überall die andere Constante
(46) ,
zu setzen ist, und auſserdem statt der Arbeit W zunächst
die Gröſse gefunden wird, welche dann noch mit k
multiplicirt werden muſs.

47. Kehren wir nun zu den Gleichungen (XVII) zurück,
und betrachten zuerst die zweite derselben.

Diese Gleichung läſst sich in folgender Form schreiben:
(47) ,
worin die Gröſsen C, a und b von t2 unabhängig sind,
nämlich:
(47a) .

Von den drei auf der rechten Seite von (47) stehenden
Gliedern ist das erste bei Weitem überwiegend, und da-
durch wird es möglich das Product T2g2 und damit zu-
gleich auch die Temperatur t2 durch successive Näherung
zu bestimmen.

Um den ersten Näherungswerth des Productes, welcher
T′g′ heiſsen möge, zu erhalten, setze man auf der rechten
Seite t1 an die Stelle von t2 und entsprechend p1 statt p2,
dann kommt:
(48) .
Die zu diesem Werthe des Productes gehörige Tempe-
ratur t′ schlage man in der Tabelle auf. Um nun den
zweiten Näherungswerth des Productes zu bekommen, setze
man den eben gefundenen Werth t′ und den entsprechenden
[540] Werth p′ des Druckes auf der rechten Seite von (47) für
t2 und p2, wodurch man unter Berücksichtigung der vori-
gen Gleichung erhält:
(48a) .
Die zu diesem Werthe des Productes gehörige Tempera-
tur t″ ergiebt sich wie vorher aus der Tabelle. Stellt diese
die gesuchte Temperatur t2 noch nicht genau genug dar,
so wiederhole man dasselbe Verfahren. Man setze auf der
rechten Seite von (47) t″ und p″ an die Stelle von t2
und p2, wodurch man unter Berücksichtigung der beiden
vorigen Gleichungen erhält:
(48b) ,
und den neuen Temperaturwerth t‴ in der Tabelle finden
kann.

In dieser Weise könnte man beliebig lange fortfahren,
aber schon der dritte Näherungswerth weicht nur noch etwa
um Grad, und der vierte um weniger als Grad
von dem wahren Werthe der Temperatur t2 ab.

48. Ganz ähnlich ist die Behandlung der dritten der
Gleichungen (XVII). Dividirt man diese durch V — l σ,
und führt der leichteren Rechnung wegen statt der durch
das Zeichen log angedeuteten natürlichen Logarithmen
Briggs’sche Logarithmen ein, welche durch das Zeichen
Log angedeutet werden mögen, wobei man nur den Mo-
dulus M dieses Systems als Divisor hinzufügen muſs, so
nimmt die Gleichung die Form
(49)
an, worin Ç und a folgende von T3 unabhängige Werthe
haben.
(49a) .

In der Gleichung (49) ist wieder auf der rechten Seite
das erste Glied überwiegend, so daſs man das Verfahren
[541] der successiven Näherung anwenden kann. Man setze zu-
nächst T2 an die Stelle von T3, dann erhält man als ersten
Näherungswerth von g3:
(50)
und kann die dazu gehörige Temperatur t′ in der Tabelle
finden, und daraus leicht die absolute Temperatur T′ bilden.
Diese setze man nun in (49) für T3 ein, dann kommt:
(50a)
woraus sich T″ ergiebt. Ebenso erhält man weiter:
(50b)
u. s. f.

49. Es bleibt nun, um zur numerischen Anwendung
der Gleichungen (XVII) schreiten zu können, nur noch
die Bestimmung der Gröſsen c und r übrig.

Die Gröſse c d. h. die specifische Wärme der Flüssig-
keit ist in der bisherigen Entwickelung als constant be-
handelt. Das ist freilich nicht ganz richtig, da die speci-
fische Wärme mit wachsender Temperatur etwas zunimmt.
Wenn man aber den Werth, welcher etwa für die Mitte
des Intervalles, welches die in der Untersuchung vorkom-
menden Temperaturen umfaſst, richtig ist, als gemeinsamen
Werth auswählt, so können die Abweichungen nicht be-
deutend werden. Bei den durch Wasserdampf getriebenen
Dampfmaschinen kann als solche mittlere Temperatur etwa
100° gelten, welche bei einer gewöhnlichen Hochdruck-
maschine mit Condensator ungefähr gleich weit von der
Kessel- und Condensatortemperatur entfernt ist. Wir wol-
len also beim Wasser den Werth anwenden, welcher nach
Regnault die specifische Wärme bei 100° darstellt, in-
dem wir setzen:
(51) c = 1,0130.

Zur Bestimmung der Gröſse r gehen wir von der Glei-
chung aus, welche Regnault für die ganze Wärmemenge,
welche dazu nöthig ist, um eine Gewichtseinheit Wasser
von 0° bis zur Temperatur t zu erwärmen und bei die-
[542] ser Temperatur in Dampf zu verwandeln, aufgestellt hat,
nämlich:
.
Setzt man hierin für λ die der vorigen Definition entspre-
chende Summe , so kommt:
.

In dem Integrale muſs man, um genau die Werthe von
r zu erhalten, welche Regnault angiebt, für c die von
Regnault näher bestimmte Temperaturfunction anwenden.
Ich glaube aber, daſs es für den vorliegenden Zweck ge-
nügt, wenn wir auch hierbei für c die vorher angeführte
Constante in Anwendung bringen. Dadurch erhalten wir:

und können nun die beiden von t abhängigen Glieder
der vorigen Gleichung in Eines zusammenziehen, welches
— 0,708. t lautet.

Zugleich müssen wir nun auch das constante Glied der
Gleichung etwas ändern, und wir wollen es so bestimmen,
daſs derjenige Beobachtungswerth von r, welcher wahr-
scheinlich unter allen der genauste ist, auch durch die
Formel richtig dargestellt wird. Bei 100° hat Regnault
für die Gröſse λ als Mittel aus 38 Beobachtungszahlen den
Werth 636,67 gefunden. Ziehen wir hiervon die Wärme-
menge ab, welche zur Erwärmung der Gewichtseinheit
Wasser von 0° bis 100° erforderlich ist, und welche nach
Regnault 100,5 Wärmeeinheiten beträgt, so bleibt, wenn
wir uns mit Einer Decimale begnügen,
¹⁾.
[543] Unter Anwendung dieses Werthes erhält man für r die
Formel:
(52) .

Eine Vergleichung einiger hieraus berechneter Werthe
mit den von Regnault in seiner Tabelle ¹⁾ angeführten,
wird zeigen, daſs diese vereinfachte Formel sich der vorher
angedeuteten strengeren Berechnungsart hinlänglich genau
anschlieſst:

50. Um die beiden verschiedenen Arten der Ausdeh-
nung, auf welche sich die beiden letzten der Gleichun-
gen (XVII) beziehen, in ihren Wirkungen unterscheiden
zu können, scheint es mir zweckmäſsig, zunächst eine solche
Dampfmaschine zu betrachten, in welcher nur eine derselben
vorkommt. Wir wollen daher mit einer Maschine beginnen,
welche ohne Expansion arbeitet.

In diesem Falle ist für die Gröſse e, welche das Ver-
hältniſs der Volumina vor und nach der Expansion bezeich-
net, der Werth 1 und zugleich T3 = T2 zu setzen, wo-
durch die Gleichungen (XVII) eine einfachere Gestalt an-
nehmen.

Die letzte dieser Gleichungen wird identisch und fällt
also fort. Ferner werden mehrere Glieder der ersten, welche
sich von den entsprechenden Gliedern der zweiten nur da-
durch unterscheiden, daſs die einen T3 und die anderen
T2 enthalten, jetzt ihnen gleich, und lassen sich daher
eliminiren. Dadurch erhält man, wenn man zugleich die
oben erwähnte Gröſse k einführt:
(XVIII) .

Die erste dieser beiden Gleichungen ist genau dieselbe,
welche man auch nach der Pambour’schen Theorie erhält,
wenn man in (XII) e = 1 setzt, und statt der Gröſse B
das Volumen V einführt. Der Unterschied liegt also nur
in der zweiten Gleichung, welche an die Stelle der von
Pambour angenommenen einfachen Beziehung zwischen
Volumen und Druck getreten ist.

51. Die in diesen Gleichungen vorkommende Gröſse ε,
welche den schädlichen Raum als Bruchtheil des ganzen
für den Dampf frei werdenden Raumes darstellt, sey zu
0,05 angenommen. Die Menge der tropfbaren Flüssigkeit,
welche der Dampf beim Eintritt in den Cylinder mit sich
führt, ist bei verschiedenen Maschinen verschieden. Pam-
bour sagt, daſs sie bei Locomotiven durchschnittlich 0,25,
bei stehenden Dampfmaschinen aber viel weniger, vielleicht
0,05 der ganzen in den Cylinder tretenden Masse betrage.
Wir wollen für unser Beispiel die letztere Angabe be-
nutzen, wonach das Verhältniſs der ganzen in den Cylinder
tretenden Masse zu dem dampfförmigen Theile derselben
1 : 0,95 ist. Ferner sey der Druck im Kessel zu 5 Atmo-
sphären angenommen, wozu die Temperatur 152°,22 gehört,
und vorausgesetzt, daſs die Maschine keinen Condensator,
oder, was dasselbe ist, einen Condensator mit dem Drucke
von 1 Atmosphäre habe. Der mittlere Gegendruck im
Cylinder ist dann gröſser als 1 Atmosphäre. Bei Loco-
motiven kann dieser Unterschied, wie oben erwähnt, durch
einen besonderen Umstand beträchtlich werden, bei stehen-
den Dampfmaschinen dagegen ist er geringer. Pambour
hat in seinen numerischen Rechnungen für stehende Ma-
schinen ohne Condensator diesen Unterschied ganz vernach-
lässigt, und da es sich hier nur um ein Beispiel zur Ver-
gleichung der neuen Formeln mit den Pambour’schen
handelt, so wollen wir uns auch hierin ihm anschlieſsen
und p0 = 1 Atmosphäre setzen.

Es kommen also in die Gleichungen (XVIII) für dieses
Beispiel folgende Werthe zur Anwendung:
[545](53) .
Nehmen wir hierzu noch die ein für allemal feststehenden
Werthe:
,
so bleiben in der ersten der Gleichungen (XVIII) auſser
der gesuchten Gröſse W nur noch die Gröſsen V und p2
unbestimmt.

52. Wir müssen nun zuerst untersuchen, welches der
kleinstmögliche Werth von V ist.

Dieser Werth entspricht dem Falle, wo im Cylinder
derselbe Druck, wie im Kessel stattfindet, und wir brauchen
daher nur in der letzten der Gleichungen (XVIII) p1 an
die Stelle von p2 zu setzen. Dadurch kommt:
(54) .

Um hierbei gleich von dem Einflusse des schädlichen
Raumes ein Beispiel zu geben, habe ich von diesem Aus-
drucke zwei Werthe berechnet, den, welcher entstehen
würde, wenn kein schädlicher Raum vorhanden, und also
ε = 0 wäre, und den, welcher unter der von uns gemachten
Voraussetzung, daſs ε = 0,05 ist, entstehen muſs. Diese
beiden Werthe sind für 1 Kilogrm. aus dem Kessel treten-
den Dampfes als Bruchtheil eines Cubikmeter ausgedrückt:
0,3637 und 0,3690.
Daſs der letzte dieser Werthe gröſser ist, als der erste,
kommt daher, daſs erstens der Dampf in den schädlichen
Raum mit groſser Geschwindigkeit eindringt, die lebendige
Kraft dieser Bewegung sich dann in Wärme verwandelt,
und diese wiederum einen Theil der mitgerissenen Flüssig-
Poggendorff’s Annal. Bd. XCVII. 35
[546] keit verdampfen läſst, und daſs zweitens der schon vor
dem Einströmen im schädlichen Raume befindliche Dampf
ebenfalls dazu beiträgt, die ganze nachher vorhandene
Dampfmenge zu vermehren.

Setzt man die beiden für V gefundenen Werthe in die
erste der Gleichungen (XVIII) ein, wobei wieder ε das
eine Mal = 0 und das andere Mal = 0,05 gesetzt wird,
so erhielt man als entsprechende Arbeitsgröſsen in Kilo-
gramm-Meter ausgedrückt:
14990 und 14450.

Nach der Pambour’schen Theorie macht es in Bezug
auf das Volumen keinen Unterschied, ob ein Theil des-
selben schädlicher Raum ist, oder nicht, es wird in beiden
Fällen durch dieselbe Gleichung (29b) bestimmt, wenn man
darin für p den besonderen Werth p1 setzt. Dadurch er-
hält man:
0,3883.
Daſs dieser Werth gröſser ist, als der vorher für dieselbe
Dampfmenge gefundene 0,3637, erklärt sich daraus, daſs
man überhaupt bisher das Volumen des Dampfes im Maxi-
mum der Dichte für gröſser gehalten hat, als es der me-
chanischen Wärmetheorie nach seyn kann, und diese frü-
here Ansicht auch in der Gleichung (29b) ihren Ausdruck
findet.

Bestimmt man mittelst dieses Volumens die Arbeit un-
ter den beiden Voraussetzungen, daſs ε = 0 oder = 0,05
sey, so kommt:
16000 und 15200.
Diese Arbeitsgröſsen sind, wie es auch als unmittelbare
Folge des gröſseren Volumens vorauszusehen war, beide
gröſser, als die vorher gefundenen, aber nicht in gleichem
Verhältnisse, indem der durch den schädlichen Raum ver-
anlaſste Arbeitsverlust nach den von uns entwickelten Glei-
chungen geringer ist, als er nach der Pambour’schen
Theorie seyn müſste.

53. Bei einer Maschine der hier betrachteten Art,
welche Pambour in ihrer Wirksamkeit untersuchte, ver-
[547] hielt sich die Geschwindigkeit, welche die Maschine wirk-
lich annahm, zu derjenigen, welche sich für dieselbe Ver-
dampfungsstärke und denselben Druck im Kessel aus sei-
ner Theorie als Minimum der Geschwindigkeit berechnen
läſst, bei einem Versuche wie 1,275 : 1 und bei einem an-
deren unter geringerer Belastung wie 1,70 : 1. Diesen Ge-
schwindigkeiten würden für unseren Fall die Volumina
0,495 und 0,660 entsprechen. Wir wollen nun als ein
Beispiel zur Bestimmung der Arbeit eine Geschwindigkeit
wählen, welche zwischen diesen beiden liegt, indem wir
in runder Zahl setzen:
V = 0,6.

Es kommt nun zunächst darauf an, für diesen Werth
von V die Temperatur t2 zu finden. Dazu dient die Glei-
chung (47), welche folgende specielle Form annimmt:
(55) T2g2 = 26577 + 56,42. (t1 — t2) — 0,0483. (p1 — p2).
Führt man mittelst dieser Gleichung die in §. 47 beschrie-
bene successive Bestimmung von t2 aus, so erhält man
der Reihe nach folgende Näherungswerthe:
t′ = 133°,01
t″ = 134 ,43
t‴ = 134 ,32
t⁗ = 133 ,33.
Noch weitere Näherungswerthe würden sich nur noch in
höheren Decimalen unterscheiden, und wir haben also, so-
fern wir uns mit zwei Decimalen begnügen wollen, die
letzte Zahl als den wahren Werth von t2 zu betrachten.
Der dazu gehörige Druck ist:
p2 = 2308,30.

Wendet man diese Werthe von V und p2 zugleich mit
den übrigen in §. 51 näher festgestellten Werthen auf die
erste der Gleichungen (XVIII) an, so erhält man:
W = 11960.
Die Pambour’sche Gleichung (XII) giebt für dasselbe Vo-
lumen 0,6 die Arbeit:
W = 12520.

54. Um die Abhängigkeit der Arbeit vom Volumen,
und zugleich den Unterschied, welcher in dieser Beziehung
zwischen Pambour’s und meiner Theorie herrscht, noch
deutlicher erkennen zu lassen, habe ich dieselbe Rechnung,
wie für das Volumen 0,6 auch für eine Reihe anderer in
gleichen Abständen wachsender Volumina ausgeführt. Die
Resultate sind in nachstehender Tabelle zusammengefaſst.
Die erste horizontale Zahlenreihe, welche durch einen Strich
von den anderen getrennt ist, enthält die für eine Maschine
ohne schädlichen Raum gefundenen Werthe. Im Uebri-
gen ist die Einrichtung der Tabelle leicht ersichtlich.

Man sieht, daſs die nach der Pambour’schen Theo-
rie berechneten Arbeitsgröſsen mit wachsendem Volumen
schneller abnehmen, als die nach unseren Gleichungen be-
rechneten, so daſs sie, während sie anfangs beträchtlich
gröſser sind, als diese, ihnen allmählich näher kommen,
und zuletzt sogar kleiner werden. Dieses erklärt sich dar-
aus, daſs nach der Pambour’schen Theorie bei der wäh-
rend des Einströmens stattfindenden Ausdehnung immer
nur dieselbe Masse dampfförmig bleibt, welche es schon
anfangs war; nach der unsrigen dagegen ein Theil der im
flüssigen Zustande mitgerissenen Masse noch nachträglich
verdampft, und zwar um so mehr, je gröſser die Ausdeh-
nung ist.

55. Wir wollen nun in ähnlicher Weise eine Ma-
schine betrachten, welche mit Expansion arbeitet, und zwar
wollen wir dazu eine Maschine mit Condensator wählen.

In Bezug auf die Gröſse der Expansion wollen wir an-
nehmen, daſs der Abschluſs vom Kessel erfolge, wenn der
Stempel ⅓ seines Weges zurückgelegt hat. Dann haben
wir zur Bestimmung von e die Gleichung:
,
und daraus ergiebt sich, wenn wir für ε den Werth 0,05
beibehalten:

Der Druck im Kessel sey wie vorher zu 5 Atmosphären
angenommen. Der Druck im Condensator kann bei guter
Einrichtung unter 1/10 Atm. erhalten werden. Da er aber
nicht immer so klein ist, und auſserdem der Gegendruck
im Cylinder den im Condensator stattfindenden Druck noch
etwas übertrifft, so wollen wir für den mittleren Gegen-
druck p0 in runder Zahl ⅕ Atm. oder 152mm annehmen,
wozu die Temperatur t0 = 60°,46 gehört. Behalten wir
endlich für l den vorher angenommenen Werth bei, so
sind die in diesem Beispiele zur Anwendung kommenden
Gröſsen folgende:
(56)

Es braucht nun, um die Arbeit berechnen zu können,
nur noch der Werth von V gegeben zu werden. Um bei
der Wahl desselben einen Anhalt zu haben, müssen wir
zuerst den kleinstmöglichen Werth von V kennen. Dieser
ergiebt sich ganz wie bei den Maschinen ohne Expansion
dadurch, daſs man in der zweiten der Gleichungen (XVII)
p1 an die Stelle von p2 setzt, und ebenso die übrigen
mit p zusammenhängenden Gröſsen ändert. Man findet auf
diese Weise für unseren Fall den Werth:
1,010.
Hiervon ausgehend wollen wir als erstes Beispiel anneh-
[550] men, die wirkliche Ganggeschwindigkeit der Maschine über-
treffe die kleinstmögliche etwa im Verhältnisse von 3 : 2,
indem wir in runder Zahl
V = 1,5
setzen, und für diese Geschwindigkeit wollen wir die Ar-
beit bestimmen.

56. Zunächst müssen durch Einsetzung dieses Werthes
von V in die beiden letzten der Gleichungen (XVII) die
beiden Temperaturen t2 und t3 bestimmt werden. Die
Bestimmung von t2 ist schon bei der Maschine ohne Con-
densator etwas näher besprochen, und da sich der vorlie-
gende Fall von jenem nur dadurch unterscheidet, daſs die
Gröſse e, welche dort gleich 1 gesetzt war, hier einen an-
deren Werth hat, so will ich darauf nicht noch einmal
eingehen, sondern nur das Endresultat anführen. Man
findet nämlich:
t2 = 137°,43.

Die zur Bestimmung von t3 dienende Gleichung (49)
nimmt für diesen Fall folgende Gestalt an:
(57) .
Hieraus erhält man nach einander folgende Näherungs-
werthe:
t′ = 99°,24
t″ = 101 ,93
t‴ = 101 ,74
t⁗ = 101 ,76.
Den letzten dieser Werthe, von welchem die späteren nur
noch in höheren Decimalen abweichen würden, betrachten
wir als den richtigen Werth von t3, und wenden ihn zu-
sammen mit den bekannten Werthen von t1 und t0 auf
die erste der Gleichungen (XVII) an. Dadurch kommt:
W = 31080.

Berechnet man unter Voraussetzung desselben Werthes
von V die [Arbeit] nach der Pambour’schen Gleichung (XII),
wobei man aber die Werthe von B und b nicht, wie bei
[551] der Maschine ohne Condensator, aus der Gleichung (29b),
sondern aus der für Maschinen mit Condensator bestimmten
Gleichung (29a) entnehmen muſs, so findet man:
W = 32640.

57. In derselben Weise, wie es für das Volumen 1,5
hier angedeutet ist, habe ich auch für die Volumina 1,2,
1,8 und 2,1 die Arbeit berechnet. Auſserdem habe ich, um
den Einfluſs, welchen die verschiedenen Unvollkommen-
heiten der Maschine auf die Gröſse der Arbeit ausüben,
an einem Beispiele übersichtlich zusammenstellen zu können,
noch folgende Fälle hinzugefügt.

1) Den Fall einer Maschine, welche keinen schädlichen
Raum hat, und bei welcher auſserdem der Druck im Cy-
linder während des Einströmens gleich dem im Kessel ist,
und die Expansion so weit getrieben wird, bis der Druck
von seinem ursprünglichen Werthe p1 bis p0 abgenommen
hat. Dieses ist, wenn wir nur noch annehmen, daſs p0
genau den Druck im Condensator darstelle, der Fall, auf
welchen sich die Gleichung (XI) bezieht, und welcher für
eine gegebene Wärmemenge, wenn auch die Temperaturen
der Wärmeaufnahme und Wärmeabgabe als gegeben be-
trachtet werden, die gröſstmögliche Arbeit liefert.

2) Den Fall einer Maschine, bei welcher wieder kein
schädlicher Raum vorkommt, und der Druck im Cylinder
gleich dem im Kessel ist, aber die Expansion nicht wie
vorher vollständig, sondern nur im Verhältnisse von e : 1
stattfindet. Dieses ist der Fall, auf welchen sich die Glei-
chung (X) bezieht, nur daſs dort, um die Gröſse der Ex-
pansion zu bestimmen, die durch die Expansion bewirkte
Temperaturänderung des Dampfes als bekannt vorausgesetzt
wurde, während hier die Expansion dem Volumen nach
bestimmt ist, und die Temperaturänderung daraus erst be-
rechnet werden muſs.

3) Den Fall einer Maschine mit schädlichem Raume
und unvollständiger Expansion, bei welcher von den vori-
gen günstigen Bedingungen nur noch die besteht, daſs der
Dampf im Cylinder während des Einströmens denselben
[552] Druck ausübt, wie im Kessel, so daſs also das Volumen
den kleinstmöglichen Werth hat.

An diesen Fall schlieſsen sich endlich die schon erwähn-
ten an, in welchen auch die letzte günstige Bedingung fort-
gefallen ist, indem das Volumen statt des kleinstmöglichen
Werthes andere gegebene Werthe hat.

Alle diese Fälle sind zur Vergleichung auch nach der
Pambour’schen Theorie berechnet, mit Ausnahme des
ersten, für welchen die Gleichungen (29a) und (29b) nicht
ausreichen, indem selbst diejenige unter ihnen, welche für
geringeren Druck bestimmt ist, doch nur bis zu \tfrac12 oder
höchstens \tfrac13 Atm. abwärts angewandt werden darf, während
hier der Druck bis zu \tfrac15 Atm. abnehmen soll.

Die für diesen ersten Fall aus unseren Gleichungen
hervorgehenden Zahlen sind folgende:

Für alle übrigen Fälle sind die Resultate in der nach-
stehenden Tabelle zusammengefaſst, wobei wieder die auf
die Maschine ohne schädlichen Raum bezüglichen Zahlen
von den anderen durch einen Strich getrennt sind. Für
das Volumen sind nur die nach der Expansion gültigen
Zahlen angeführt, weil die Werthe vor der Expansion sich
daraus von selbst ergeben, indem sie in allen Fällen in
dem Verhältnisse von e : 1 kleiner sind.

58. Die in dieser Tabelle angeführten Arbeitsgröſsen,
ebenso wie diejenigen der früheren Tabelle für die Ma-
schine ohne Condensator, beziehen sich auf ein Kilogramm
aus dem Kessel tretenden Dampfes. Man kann aber hier-
nach die Arbeit auch leicht auf eine von der Wärmequelle
gelieferte Wärmeeinheit beziehen, wenn man bedenkt, daſs
für jedes Kilogramm Dampf soviel Wärme geliefert werden
muſs, wie nöthig ist, um die Masse l, welche etwas gröſser
als 1 Kilogrm. ist, von ihrer Anfangstemperatur, mit wel-
cher sie in den Kessel tritt, bis zu der im Kessel selbst
herrschenden Temperatur zu erwärmen, und bei dieser letz-
teren ein Kilogramm in Dampf zu verwandeln, welche
Wärmemenge sich aus den bisherigen Daten berechnen
läſst.

59. Zum Schluſs muſs ich noch einige Worte über
die Reibung hinzufügen, wobei ich mich aber darauf be-
schränken will, mein Verfahren, daſs ich die Reibung in
den bisher entwickelten Gleichungen ganz unberücksichtigt
gelassen habe, zu rechtfertigen, indem ich zeige, daſs man
die Reibung, anstatt sie, wie es Pambour gethan hat,
gleich in die ersten allgemeinen Ausdrücke der Arbeit mit
einzuflechten, nach denselben Principien auch nachträglich
in Rechnung bringen kann, was übrigens in gleicher Weise
auch von anderen Autoren geschehen ist.

Die Kräfte, welche die Maschine bei ihrem Gange zu
überwinden hat, lassen sich folgendermaſsen unterscheiden.
1) Der Widerstand, welcher ihr von auſsen entgegengestellt
wird, und dessen Ueberwindung die von ihr verlangte nütz-
liche Arbeit bildet. Pambour nennt diesen Widerstand
die Belastung (charge) der Maschine. 2) Die Widerstände,
welche in der Maschine selbst ihren Grund haben, so daſs
die zu ihrer Ueberwindung verbrauchte Arbeit nicht äuſser-
lich nutzbar wird. Diese letzteren Widerstände fassen wir
alle unter dem Namen der Reibung zusammen, obwohl
auſser der Reibung im engeren Sinne auch noch andere
Kräfte unter ihnen vorkommen, besonders die Widerstände
der zur Dampfmaschine gehörigen Pumpen, mit Ausnahme
[554] derjenigen, welche den Kessel speist, und welche im Frühe-
ren schon mit betrachtet ist.

Beide Arten von Widerständen bringt Pambour als
Kräfte, welche sich der Bewegung des Stempels wider-
setzen, in Rechnung, und um sie mit den Druckkräften
des an beiden Seiten der Stempels befindlichen Dampfes
bequem vereinigen zu können, wählt er auch die Bezeich-
nung ähnlich, wie es beim Dampfdrucke geschieht, nämlich
so, daſs das Zeichen nicht die ganze Kraft, sondern den
auf eine Flächeneinheit des Stempels kommenden Theil der-
selben bedeutet. In diesem Sinne stelle der Buchstabe R
die Belastung dar.

Bei der Reibung muſs noch ein weiterer Unterschied
gemacht werden. Die Reibung hat nämlich nicht für jede
Maschine einen constanten Werth, sondern wächst mit der
Belastung. Pambour zerlegt sie daher in zwei Theile,
den, welcher schon vorhanden ist, wenn die Maschine ohne
Belastung geht, und den, welcher erst durch die Belastung
hinzukommt. Von letzterem nimmt er an, daſs er der Be-
lastung proportional sey. Demgemäſs drückt er die Rei-
bung auf die Flächeneinheit bezogen durch
f + δ . R
aus, worin f und δ Gröſsen sind, die zwar von der Ein-
richtung und den Dimensionen der Maschine abhängen, aber
für eine bestimmte Maschine nach Pambour als constant
zu betrachten sind.

Wir können nun die Arbeit der Maschine statt wie
bisher auf die treibende Kraft des Dampfes, auch auf diese
widerstehenden Kräfte beziehen, denn die von diesen gethane
negative Arbeit muſs gleich der von jener gethanen posi-
tiven seyn, weil sonst eine Beschleunigung oder Verzöge-
rung des Ganges eintreten würde, was der gemachten Vor-
aussetzung, nach welcher der Gang gleichmäſsig seyn soll,
widerspricht. Die Stempelfläche beschreibt, während eine
Gewichtseinheit Dampf in den Cylinder tritt, den Raum
(1 — ε) V, und man erhält daher für die Arbeit W den
Ausdruck:
[555].
Der nutzbare Theil dieser Arbeit dagegen, welcher zum
Unterschiede von der ganzen Arbeit mit (W) bezeichnet
werden möge, wird durch den Ausdruck:

dargestellt. Eliminirt man aus dieser Gleichung vermittelst
der vorigen die Gröſse R, so kommt:
(58) .
Mit Hülfe dieser Gleichung kann man, da die Gröſse V als
bekannt vorauszusetzen ist, aus der ganzen Arbeit W die
nützliche Arbeit (W) ableiten, sobald die Gröſsen f und δ
gegeben sind.

Auf die Art, wie Pambour diese letzteren bestimmt,
will ich hier nicht eingehen, da diese Bestimmung noch
auf zu unsicheren Grundlagen beruht, und die Reibung
überhaupt dem eigentlichen Gegenstande dieser Abhandlung
fremd ist.

Tabelle enthaltend die für den Wasserdampf geltenden Werthe des
Druckes p, seines Differentialcoëfficienten und des Pro-
ductes T.g in Millimetern Quecksilber ausgedrückt.