Anwendung auf das zusammengesetzte Bogenfachwerk.

Unter der Bezeichnung Bogenfachwerk kann
man alle diejenigen Fachwerke zusammenfassen, welche
in mehr als einem Stützpunkt eine horizontale
Auflagerreaktion aufzunehmen haben. Die Anzahl der
festen Stützpunkte ist in der Regel zwei, und man
pflegt bei der Berechnung solcher Fachwerke anzu-
nehmen, dass die Entfernung A B (Fig. 18) dieser beiden
Punkte von einander vollkommen unveränderlich sei.

Diese Voraussetzung ist ohne Zweifel nicht genau richtig,
denn jedes Widerlager wird unter der Einwirkung der
Auflagerdrücke theils bleibende theils elastische Form-
veränderungen annehmen. Es ist sogar wahrscheinlich,
dass die ungünstigen Erfahrungen, welche man mit
elastischen Bogenträgern an manchen Orten gemacht
hat, zum Theil in diesem Umstande ihren Grund hatten.
Auf jeden Fall ist es zu empfehlen, die Möglichkeit
und die Folgen solcher Bewegungen der Widerlager
bei der Konstruktion und Berechnung des Trägers zu
berücksichtigen. Es kann dies in sehr einfacher Form
geschehen, wenn man das Bogenfachwerk in ein Balken-
fachwerk verwandelt, indem man bei der Berechnung
annimmt, es seien die beiden Knotenpunkte A und B
durch einen Konstruktionstheil A B verbunden und das
eine der beiden Auflager sei wie bei einem Balken
horizontal verschiebbar. Die inneren Kräfte dieses
Balkens werden unter sonst gleichen Umständen offen-
bar mit denjenigen des Bogenträgers übereinstimmen,
vorausgesetzt, dass man dem Konstruktionstheil A B
des Balkens, dessen Spannung den Horizontalschub der
Widerlager des Bogens repräsentirt, genau dieselben
Längenänderungen beilegt wie der Stützweite A B des
Bogens. Wendet man das im Vorhergehenden ent-
wickelte Verfahren zur Berechnung des zusammenge-
setzten Balkenfachwerks auf den so eben beschriebenen
Balken an, indem man A B als überzähligen Kon-
struktionstheil einführt, so ergeben sich nach Form und
Inhalt genau dieselben Resultate, welche in der Ab-
handlung über die Theorie des Bogenfachwerks in dem
zweiten Hefte des Jahrgangs 1874 enthalten sind. Es
erscheint demnach überflüssig, auf diesen Gegenstand
hier näher einzugehen.

Anwendung auf das kontinuirliche Balkenfachwerk.

Für praktische Zwecke genügt es, die Untersuchung
auf den Fall zu beschränken, in welchem die Anzahl
der überzähligen Konstruktionstheile eben so gross
ist wie die Anzahl der Mittelstützen des Trägers.
Dies ist, wie man leicht erkennt, der Fall, wenn die
ununterbrochenen Gurtungen durch ein System von
Füllungstheilen mit einander verbunden sind. Kommen
mehrere Systeme von Füllungstheilen zur Anwendung,
so kann man, ohne einen erheblichen Fehler zu be-
gehen, dieselben zusammenlegen und für die so ver-
einfachte Form des Trägers die äusseren Kräfte be-
stimmen. Die Bedingungen, welche die Stützenlage
der Formveränderung des Trägers auferlegt, kann man
auf einfache Weise in Rechnung bringen, indem man
ganz ähnlich wie bei der Berechnung des Bogenfach-
werks fingirte Konstruktionstheile in die Betrachtung
einführt. Man kann nämlich offenbar, ohne am Zustand
des Trägers irgend Etwas zu verändern, die beweg-
lichen Mittelstützen durch pendelförmige Auflager 1, 2
(Fig. 19) ersetzen, welche um ihre unteren festen End-
punkte frei sich drehen. Betrachtet man nun diese

Pendel als Theile des Balkens und zwar als die über-
zähligen Konstruktionstheile, so kann man das im
Obigen entwickelte und durch Zahlenbeispiele erläuterte
Verfahren zur Berechnung zusammengesetzter Balken-
fachwerke ohne Weiteres auf die hier vorliegende Auf-
gabe anwenden. Auf diesem Wege soll im Folgenden
ein graphisches Verfahren zur Bestimmung der Auf-
lagerreaktionen entwickelt werden. Für die analy-
tische Behandlung der Aufgabe erscheint es, nament-
lich wenn man die Voraussetzung der horizontalen
Stützenlage der Betrachtung zu Grunde legen will, noch
etwas bequemer, als überzählige Konstruktionstheile
diejenigen Gurtungstheile einzuführen, deren Mo-
mentenpunkte in den Vertikalen der Mittelstützen lie-
gen. Durch Beseitigung dieser Konstruktionstheile wird
das kontinuirliche Balkenfachwerk in eine Anzahl ein-
facher Balkenfachwerke zerlegt, welche die einzelnen
Tragfelder überspannen. S bezeichnet sonach die Span-
nungen, welche von den Belastungen in diesen ein-
fachen, von einander unabhängigen Fachwerken her-
vorgerufen werden.

Bezeichnet man ferner mit h die Trägerhöhe zwi-
schen den Schwerpunkten der beiden Gurtungsquer-
schnitte und mit s1, s2, s3, … die Stützweiten des
1sten, 2ten, 3ten, … Tragfeldes, so ist in Bezug auf
die Bestimmung der Zahlenwerthe u zu berücksichtigen,
dass eine Zugspannung gleich Eins eines der über-
zähligen Konstruktionstheile z. B. des Theils 3 (Fi-
gur 20) vertikale Auflagerreaktionen der drei benach-
barten Stützen 2, 3 und 4 von der Grösse
und erzeugt und dass also in allen Konstruktions-
theilen der beiden einfachen Fachwerke über dem
dritten und vierten Tragfelde Spannungen u3 sich

bilden. Ebenso erstrecken sich die Spannungen u1 auf
die Theile des ersten und zweiten, die Spannungen u2
auf die Theile des zweiten und dritten Tragfeldes u. s. f.
Man erkennt hieraus, dass die Produkte u1 · u2nur
für die Konstruktionstheile des zweiten, die Produkte
u2 · u3 nur für die Theile des dritten Tragfeldes sich
bilden lassen. Deutet man also durch die Zeichen
an, dass die Summirung auf die Konstruktionstheile
des ersten oder des ersten und zweiten Tragfeldes
sich erstreckt, so nehmen die Gleichungen 9) im vor-
liegenden Falle folgende Form an:
18)

Diese Gleichungen können in Bezug auf die Unbe-
kannten S1, S2, S3 ...... aufgelöst werden ohne Bezug-
nahme auf einen bestimmten Belastungsfall. Nachdem
dies geschehen ist, müssen für jeden Belastungsfall,
welcher in Betracht gezogen werden soll, die Werthe
der Summen Σ u · S · r berechnet und in die Ausdrücke
für die Spannungen S1, S2, S3 .... eingesetzt werden.
Es ist nur noch daran zu erinnern, dass die Produkte
aus diesen Spannungen und der Trägerhöhe h gleich
den Biegungsmomenten M1, M2, M3 … der äusse-
ren Kräfte in Bezug auf die Querschnitte durch die
erste, zweite, dritte … Mittelstütze sind und dass, so-
bald jene Momente ermittelt sind, die Bestimmung und
graphische Darstellung der Spannungen in den übrigen
Konstruktionstheilen auf sehr einfache Weise geschehen
kann.

Aus der Uebereinstimmung in der Form der Glei-
chungen 18) mit den bekannten Clapeyron’schen
Gleichungen^*) lässt sich folgern, dass die Theorie
[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
des kontinuirlichen Balkenfachwerks genau in derselben
Form entwickelt werden kann wie die jetzt allgemein
angewandte Theorie der kontinuirlichen Träger. Wir
haben es nicht für zweckmässig gehalten, die weitere
Entwickelung hier auszuführen, weil Gründe für die
Annahme vorliegen, dass die Resultate dieser genaueren
^*) Theorie in der Regel nur unerheblich von den Ergeb-
nissen des bislang gebräuchlichen einfacheren Verfah-
rens abweichen. Man pflegt bekanntlich bei der Wahl
der Querschnittsdimensionen eines kontinuirlichen Bal-
kenfachwerks diejenigen äusseren Kräfte zu berück-
sichtigen, welche auf einen Träger von konstantem
Querschnitt unter sonst gleichen Umständen einwirken
würden. Wenn es erlaubt ist, aus einigen durchgerech-
neten Beispielen einen solchen Schluss zu ziehen, so
darf jenes Verfahren als zulässig anerkannt werden.
Jedenfalls dürfte es genügen, nachdem die Querschnitts-
dimensionen in der eben angegebenen Weise gewählt
worden sind, die Richtigkeit und Brauchbarkeit der
Ergebnisse durch Anwendung des oben entwickelten
Verfahrens auf einige wichtige Belastungsfälle zu prüfen.
Für diesen Zweck bedarf es einer weiteren Entwicke-
lung der Theorie nicht, da die Gleichungen 18) direkt
in Anwendung gebracht werden können. Die ziemlich
zeitraubenden Zahlenrechnungen, welche hiermit ver-
bunden sind, kann man umgehen durch Anwendung
des im Folgenden beschriebenen graphischen Verfahrens.

Graphische Bestimmung der Durchbiegungen eines ein-
fachen Balkenfachwerks.

Ein Polygon A C B (Fig. 24), dessen vertikale Or-
dinaten y1, y2, y3 .... in Bezug auf eine Abscissen-
achse A B von beliebiger Lage die Durchbiegungen der
Knotenpunkte der unteren Gurtung eines Balkenfach-
werks darstellen, nennen wir das Biegungspolygon
jener Gurtung. Die Möglichkeit, dieses Polygon zu
^*)2*
[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
konstruiren, beruht auf der folgenden statischen Be-
trachtung.

Es sei K (Fig. 25) die bewegliche Belastung eines
in seinen Endpunkten A und B unterstützten Balkens;

C und D seien zwei Punkte der Geraden A B, ferner
E F ein Schnitt, welcher zwischen C und D den Balken
schneidet und endlich G ein Punkt von beliebiger
Lage in der Vertikalebene des Balkens. Die Last K
bewegt sich von A nach C, überspringt die Strecke C D
und bewegt sich darauf von D nach B. Für jede Lage
der Last K soll das Moment der links vom Schnitt E F
auf den Balken einwirkenden Aussenkräfte in Bezug
auf den Punkt G bestimmt werden. Dasselbe ist ab-
hängig von der Stützweite s, sowie von den Abscissen b
und x des Punktes G und der Kraft K. Das Moment
ist offenbar gleich
oder gleich
je nachdem die Last K zwischen A und C oder zwi-
schen B und D liegt.

Es seien ferner K1 K2 .... (Fig. 26) eine beliebige
Anzahl ruhender Vertikalkräfte, welche zwischen C und
D auf den Balken einwirken und deren Mittelkraft,
von der Grösse und Richtung der Kraft K, durch den
Punkt G geht. Diese Vertikalkräfte erzeugen zwei Auf-
lagerreaktionen von der Grösse
und demnach in jedem Querschnitt zwischen A und C
ein Biegungsmoment gleich
und in jedem Querschnitt zwischen D und B ein Bie-
gungsmoment von der Grösse
wenn man mit x die Abscisse des Querschnitts be-
zeichnet. Das Seilpolygon A H J B A (Fig. 27), welches
in bekannter Weise diese Biegungsmomente graphisch
darstellt, ergibt also zugleich die in der zuerst be-
sprochenen Aufgabe gesuchten Momente, indem für jede
Lage der beweglichen Last K das Produkt aus der
entsprechenden Ordinate y des Seilpolygons und dem
Horizontalzug desselben die Grösse des gesuchten Mo-
mentes in Bezug auf den Punkt G darstellt. Wir be-
nutzen diese Beziehung zunächst um folgende Aufgabe
zu lösen.

Es ist das Biegungspolygon zu konstruiren,
welches entsteht, wenn nur ein einziger Konstruktions-
theil C D (Fig. 28) eines einfachen Balkenfachwerks
seine Länge um das kleine Mass Δl verändert. Für

irgend einen Knotenpunkt z. B. E ist die gesuchte
Durchbiegung nach Gleichung 2)
wenn man mit u diejenige Spannung des Konstruktions-
theils C D bezeichnet, welche durch eine im Knoten-
punkt E angebrachte Belastung von der Grösse Eins
hervorgerufen wird. Die Berechnung der Spannung u
nimmt bekanntlich die einfachste Form an, wenn es
möglich ist, das Fachwerk durch einen Schnitt F F so
zu zerlegen, dass ausser C D nur noch zwei Konstruk-
tionstheile C H und D G, welche mit C D nicht in ei-
nem Knotenpunkt zusammentreffen, geschnitten werden.
Wenn man die Momentengleichung auf den Schnitt-
punkt J dieser beiden Konstruktionstheile bezieht, so
ist u die einzige Unbekannte in derselben. Bezeichnet
man den Hebelarm der Spannung u in Bezug auf den
Drehpunkt J mit a, so ist zufolge jener Momenten-
gleichung das Moment u · a gleich der Momentensumme
der links (oder rechts) vom Schnitt F F auf den Träger
wirkenden Aussenkräfte. Das Moment u · a wird von
der Belastung Eins hervorgerufen; dasselbe nimmt
[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
demnach die Grösse u · Δ l an, wenn man auf den
Knotenpunkt E anstatt der Belastung Eins die Last
einwirken lässt. Die in Rede stehende Aufgabe ist
hierdurch auf folgende zurückgeführt: Eine Belastung
nimmt nach einander die sämmtlichen durch die
Knotenpunkte der unteren Gurtung bestimmten Lagen
an; es ist für jede Lage dieser Last die Grösse u · Δ l
des Moments der links vom Schnitt F F liegenden
Aussenkräfte in Bezug auf den Punkt J zu bestimmen.
Diese Aufgabe wird nach dem Obigen auf graphischem
Wege gelöst, indem man zwischen den Knotenpunkten
G und D, welche den geschnittenen Theil G D der
unteren Gurtung begrenzen, Vertikalkräfte K1, K2 …
anbringt, deren Mittelkraft von der Grösse durch
den Punkt J geht, und wenn man alsdann die von
jenen Belastungen erzeugten Biegungsmomente vermit-
telst eines Seilpolygons konstruirt. Dieses Seilpolygon
ist das verlangte Biegungspolygon und zwar steht der
Massstab der Abscissen zum Massstab der Durchbie-
gungen in demselben Verhältnisse, wie der Horizontal-
zug oder die Poldistanz des Seilpolygons zu Eins. Ist
also z. B. der Massstab der Abscissen 1 : 1000, so hat
man die Poldistanz gleich 0,001 aufzutragen, um die
Durchbiegungen in natürlicher Grösse zu konstruiren.

In Bezug auf die Richtungen der Belastungen K
ist zunächst daran zu erinnern, dass in der Gleichung
die Grössen positive Werthe haben, wenn Δ y eine
Hebung des betreffenden Knotenpunktes, u eine Zug-
spannung und Δ l eine Verlängerung des betrach-
teten Konstruktionstheils C D bezeichnet; sie sind da-
gegen negativ, wenn Δ y eine Senkung, u eine
Druckspannung und Δ l eine Verkürzung darstellt.
Die Durchbiegung eines Knotenpunktes hat demnach
die Richtung nach unten oder nach oben, je nachdem
Δ l und das auf den Knotenpunkt bezügliche u gleiche
oder entgegengesetzte Vorzeichen haben. Es ist
zweckmässig, bei der Konstruktion des Biegungspolygons
die Lage des Pols im Kräftepolygon so zu wählen,
dass die Durchbiegungen in Bezug auf die Schlusslinie
dieselbe Richtung — nach oben oder unten — erhalten
wie die erzeugende Belastung K. Unter dieser Voraus-
setzung ergeben sich folgende Regeln:

Gehört der betrachtete Konstruktionstheil C D (Fi-
gur 30) einer der beiden Gurtungen an, so kann die
Belastung

unmittelbar in der Vertikalen des Momentenpunktes J
angebracht werden, und zwar ist K nach unten oder
nach oben gerichtet, je nachdem u und Δ l gleiche
oder entgegengesetzte Vorzeichen haben; hierbei
ist zu beachten, dass alle Werthe von u für jeden Theil
der unteren Gurtung positiv und für jeden Theil
der oberen Gurtung negativ sind.

Ist dagegen der betrachtete Konstruktionstheil C D
ein Füllungstheil (Fig. 32), so muss, weil der Mo-

mentenpunkt J nicht zwischen G und D liegt, die
Mittelkraft K in zwei Kräfte K1 und K2 zerlegt wer-
den, die man zweckmässig in den Endpunkten G
und D des vom Schnitt F F getroffenen unteren Gur-
tungstheils anbringt. Die Belastungen K1 und K2 zu
beiden Seiten des Schnittes F F haben immer entge-
gengesetzte Richtungen, und zwar ist die Belastung
nach unten gerichtet auf derjenigen Seite des Schnit-
tes, auf welcher Spannungen u von demselben Vor-
zeichen wie Δ l erzeugt werden. Hierbei ist zu beach-
ten, dass der Schnitt F F das Fachwerk in zwei Theile
zerlegt, von welchen der eine den oberen Knotenpunkt
C und der andere den unteren Knotenpunkt D des
betrachteten Füllungstheils C D enthält, und dass alle
Belastungen des erstgenannten Trägertheils negative,
dagegen alle Belastungen des letztgenannten Träger-
theils positive Spannungen u hervorrufen. Es ergibt
sich hiernach folgendes Verfahren: man versehe den
oberen Knotenpunkt des Füllungstheils (Figur 32) mit
dem Zeichen —, den unteren mit dem Zeichen + und
den Füllungstheil selbst mit dem Vorzeichen von Δ l.
Für Figur 32 ist beispielsweise eine Verkürzung des
Füllungstheils C D angenommen und derselbe demge-
mäss mit — bezeichnet. Auf derjenigen Seite des
Schnittes F F, auf welcher das Vorzeichen des Knoten-
punktes mit dem Vorzeichen des Füllungstheils über-
einstimmt, hat die Belastung des Biegungspolygons
— in Figur 33 die Belastung K1 — die Richtung nach
unten und auf der anderen Seite die Richtung nach
[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
oben. Man kann diese beiden Richtungen, wie es in
den folgenden Beispielen geschehen ist, durch die Vor-
zeichen — und + von einander unterscheiden.

Es ist zu empfehlen, die Bestimmung der Grössen
der Belastungen K1 und K2 von der Länge a, welche
sehr häufig auf der Zeichnung nicht mit der erwünsch-
ten Genauigkeit gemessen werden kann, unabhängig zu
machen. Es geschieht dies, indem man die Gerade
D L parallel zu C G zieht und die beiden Abstände a1
und a2 der Punkte G und L von dem betrachteten
Konstruktionstheil C D misst. Denn offenbar ist:
19)

Die vorstehenden Regeln lassen sich nicht ohne
Weiteres anwenden, wenn jeder Schnitt durch den be-
trachteten Konstruktionstheil entweder mehr oder weni-
ger als zwei andere Theile trifft. In Figur 34 sind
alle Formen dieses Ausnahmefalles, welche für den
vorliegenden Zweck in Betracht zu ziehen sind, dar-
gestellt, und zwar beziehen sich dieselben auf die Kon-
struktionstheile 2, 7, 11 und 16. Schaltet man, ohne
im Uebrigen die Form des Fachwerks zu verändern,
statt der Knotenpunkte A, B, C, D Gurtungstheile A A,
B B, C C, D D (Fig. 35) von unendlich kleiner Länge
ein und ertheilt man z. B. jedem der beiden Theile
7 und 7a in Figur 35 dieselbe Längenänderung Δ l wie
dem Theil 7 in Figur 34, so wird die Formverände-
rung des Fachwerks in beiden Fällen offenbar genau
dieselbe sein. Auf das Fachwerk (Fig. 35) lassen sich
aber die oben entwickelten Regeln anwenden, und es
ist also hierdurch der Ausnahmefall auf die regelmässige
Behandlung der Aufgabe zurückgeführt.

Zur Vereinfachung der Darstellung wurden bis
jetzt nur diejenigen Durchbiegungen in Betracht ge-
zogen, welche von der Längenänderung eines einzigen
Konstruktionstheils hervorgerufen werden. Wenn statt
dessen die Formveränderung des Fachwerks durch die
Längenänderungen einer beliebigen Anzahl oder aller
Konstruktionstheile herbeigeführt wird, so ergibt sich,
indem man eine bekannte Eigenschaft des Seilpolygons
zur Anwendung bringt, das Biegungspolygon, wenn
man nach den vorstehenden Regeln die Belastungen K
oder K1 und K2 für alle Konstruktionstheile bestimmt
und das Seilpolygon dieser sämmtlichen Belastungen
konstruirt.

Die im Vorstehenden beschriebene Konstruktion des
Biegungspolygons wird, wenn es sich nur um die Durch-
biegung eines bestimmten Knotenpunktes für einen ein-
zelnen Belastungsfall handelt, im Vergleich mit der
Berechnung der Durchbiegung nach der Gleichung 2
keine Vortheile gewähren. Der Nutzen des graphischen
Verfahrens ergibt sich erst durch die Anwendung der
folgenden Beziehung:

Sind C und D zwei beliebige Knotenpunkte des
Fachwerks, so ist die Durchbiegung des Knotenpunktes
C, welche von einer Belastung P des Knotenpunktes D
hervorgerufen wird, genau so gross wie die Durchbie-
gung des Knotenpunktes D in Folge derselben Bela-
stung des Knotenpunktes C. Der Beweis für die
Richtigkeit dieser Behauptung ergibt sich fast unmittel-
bar aus der Gleichung 2. Denn bezeichnet man die
Werthe von u für den Knotenpunkt C mit u1 und für
den Knotenpunkt D mit u2, so erzeugt die Belastung P
des Knotenpunktes D Spannungen der Konstruktions-
theile von der Grösse
also elastische Längenänderungen
und in Folge dessen eine Durchbiegung des Knoten-
punktes C von der Grösse:

Ist dagegen der Knotenpunkt C mit P belastet, so
wird
und die Durchbiegung des Knotenpunktes D
also eben so gross, wie die Durchbiegung des Punktes
C im ersten Falle.

Bezeichnet man demnach mit (Fig. 37 auf Bl. 614)
y1, y2, y3 .... diejenigen Durchbiegungen, welche die
Knotenpunkte I, II, III .... des Fachwerks (Fig. 36)
erleiden, wenn ein bestimmter Knotenpunkt z. B. VI
mit dem Gewichte R belastet ist, so ergibt sich für
den Fall, in welchem die Knotenpunkte I, II, III ....
mit P1, P2, P3 .... belastet sind, die Durchbiegung y
des Knotenpunktes VI aus der Formel:
20)

Wenn die Belastungen P1, P2, P3… nicht in den
Knotenpunkten I, II, III … angebracht sind, sondern
an beliebigen Stellen zwischen jenen Punkten auf den
Fahrbahnträger einwirken, so ist es für die Anwendung
der Gleichung 20) nicht erforderlich, die Belastungen
auf die Knotenpunkte zu vertheilen, sondern man ge-
langt auf einfacherem Wege zu demselben Resultat,
wenn man bei der Bildung der Summe Σ P · y jede
Belastung P ohne Weiteres mit der in ihrer Vertikalen
zu messenden Ordinate y des Biegungspolygons multi-
[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
plicirt. Die Bildung der rechten Seite der Gleichung 20
kann demnach in allen Fällen auf sehr einfache Weise
vermittelst eines Seilpolygons erfolgen.

Beispiel. Auf Blatt 614 sind eine Anzahl Durch-
biegungen des in Figur 36 dargestellten Brückenträgers
konstruirt worden, und zwar Durchbiegungen desjeni-
gen Knotenpunktes VI, welcher die Länge der unteren
Gurtung halbirt. Der Fahrbahnträger der Brücke ist
in den Knotenpunkten der unteren Gurtung aufge-
hängt und demgemäss ist in Figur 37 das Biegungs-
polygon A der unteren Gurtung konstruirt, welches
entsteht, wenn man den Knotenpunkt VI mit
R = 100 Millionen Tonnen
belastet. Wäre der Fahrbahnträger von den Knoten-
punkten der oberen Gurtungen unterstützt, so hätte in
ganz ähnlicher Weise das Biegungspolygon der oberen
Gurtung konstruirt werden müssen.

Zu dem angegebenen Zwecke sind in dem Kräfte-
plane Figur 38 die Spannungen
S = u · R
bestimmt. Es sind darauf in der folgenden Tabelle mit
Hülfe der gegebenen Längen und Querschnitte der

[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
Konstruktionstheile die Belastungen des Biegungs-
polygons ermittelt worden, wobei der Elasticitätsmodul
des Schmiedeisens gleich 2000 Tonnen für den □Zenti-
meter gesetzt ist. Das Biegungspolygon A ist mit einer
Poldistanz gleich Tausend konstruirt. Wollte man die
Formveränderungen der Füllungstheile vernach-
lässigen und nur diejenigen der Gurtungstheile be-
rücksichtigen, so würden als Belastungen des Biegungs-
polygons nur die den Gurtungstheilen entsprechenden
Werthe von , welche in der Tabelle besonders sum-
mirt sind, in Betracht kommen. Das Biegungspolygon
würde alsdann die Form des Seilpolygons B (Figur 37)
annehmen, welches ebenfalls mit einer Poldistanz gleich
Tausend konstruirt ist. Beide Polygone A und B haben
selbstverständlich in Bezug auf die Vertikalachse durch
die Trägermitte eine symmetrische Form; vom Polygon
B ist daher nur die Hälfte gezeichnet. Die Abwei-
chungen zwischen den Ordinaten der Polygone A und B
zeigen den beträchtlichen Einfluss der Längenänderun-
gen der Füllungstheile auf die Grösse der Durchbiegung.
Dieser Einfluss macht sich, wie die Figur zeigt, vor-
zugsweise geltend, wenn der Balken in der Nähe der
Trägermitte belastet ist. Um beispielsweise für eine
gleichmässige Belastung von 13 Tonnen auf jeden der
elf Knotenpunkte der unteren Gurtung die Durchbie-
gung des Knotenpunktes VI zu ermitteln, ist durch das
Seilpolygon C (Figur 37) die Grösse Σ P · y (Glei-
chung 20) konstruirt worden. Da dieses Seilpolygon
mit einer Poldistanz gleich 200 Tonnen, das Seilpolygon
A dagegen mit einer Poldistanz gleich Tausend kon-
struirt wurde, so ergibt sich in dem erstgenannten Po-
lygon die Durchbiegung in einem
vergrösserten Massstabe. Die Abscissen in Figur 37
sind im Massstab 1 : 500 dargestellt; die Durchbiegung
im Polygon C erhält folglich die natürliche Grösse.
Hiernach ist die gesuchte Durchbiegung gleich 39 Milli-
meter. Entnimmt man die Ordinaten y nicht aus dem
Biegungspolygon A, sondern aus dem Polygon B, be-
rücksichtigt man also nur die Längenänderungen der
Gurtungstheile, so findet man vermittelst des Seil-
polygons D, welches ebenfalls mit 200 Tonnen Pol-
distanz konstruirt wurde, die Durchbiegung für den-
selben Belastungsfall gleich 35 Millimeter, also um etwa
10 Procent kleiner als oben. Endlich ist vermittelst
des Seilpolygons E die Durchbiegung konstruirt, welche
von der zwischen den Figuren 36 und 37 dargestell-
ten, aus 15 Einzelkräften bestehenden unregelmässigen
Belastung hervorgerufen wird. Diese Durchbiegung hat
die Grösse von 20 Millimetern.

Anwendung auf die Bestimmung der Auflagerdrücke des
kontinuirlichen Balkenfachwerks.

Man nehme an, es seien die sämmtlichen Mittel-
stützen beseitigt (Figur 40, Blatt 615) und der auf
seinen Endstützen A und B ruhende gewichtlose Trä-
ger sei in demjenigen Knotenpunkte C, welcher mit
der ersten Mittelstütze in Berührung stand, mit einem
Gewichte R belastet. Man konstruire für diesen Be-
lastungsfall das Biegungspolygon A (Fig. 41, Blatt 615)
derjenigen Knotenpunkte, welche die Fahrbahn des
Brückenträgers unterstützen und bezeichne mit: y1, y2,
y3 ...... die Ordinaten dieses Polygons in den Ver-
tikalen der Einzellasten P1, P2, P3 ...., welche die
gegebene Belastung des kontinuirlichen Trägers bilden;
ferner mit Q1, Q2, Q3 .... die von dieser Belastung
erzeugten Auflagerreaktionen der 1sten, 2ten, 3ten ....
Mittelstütze und endlich mit y(1), y(2), y(3) .... die Ordi-
naten des oben bezeichneten Biegungspolygons in den
Vertikalen der 1sten, 2ten, 3ten … Mittelstütze.

Wenn nun bei dieser Belastung die erste Mittel-
stütze in der Horizontalen der beiden Endauflager bleibt,
oder mit anderen Worten: wenn die Durchbiegung des
in seinen beiden Endpunkten unterstützten und mit
den Vertikalkräften P1, P2, P3 … Q1, Q2, Q3 … be-
lasteten Balkens in der Vertikalen der ersten Mittel-
stütze gleich Null ist, so muss nach Gleichung 20
oder
21)
sein. Liegt die erste Mittelstüze dagegen nicht in der
Horizontalen der beiden Endstützen, sondern um das
Mass z1unter derselben, so wird die rechte Seite der
Gleichung 21 anstatt Null gleich R · z1.

Indem man das beschriebene Verfahren für jede
Mittelstütze wiederholt, ergeben sich Beziehungen von
der Form der Gleichung 21, welche zur Bestimmung
der unbekannten Auflagerreaktionen Q benutzt werden
können.

Die Summen Σ P · y sind zweckmässig auf gra-
phischem Wege zu ermitteln, während die Entwicke-
lung der Werthe Q aus den Gleichungen 21 in der
Regel durch Rechnung erfolgen muss.

Vergleicht man das hier beschriebene Verfahren mit
der Anwendung der Gleichungen 18, so wird man den
Vorzug des ersteren hauptsächlich darin erkennen, dass
die Bildung der Werthe Σ P · y bei Weitem weniger
zeitraubend ist als diejenige der Werthe Σ u · S · r in
den Gleichungen 18. Dieser Vortheil wird desto er-
heblicher, eine je grössere Anzahl von Belastungsfällen
man in Betracht zu ziehen hat.

Beispiel. Das oben beschriebene Verfahren ist
auf Blatt 615 auf ein kontinuirliches Balkenfachwerk
mit drei Tragfeldern von 73,6 Meter Stützweite ange-
wandt worden.

Die folgende Tabelle enthält die Berechnung der
Belastungen des Biegungspolygons A der unteren
Gurtung (Figur 41), welches entsteht, wenn der gewicht-
[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
lose Träger in seinen Endpunkten A und B gestützt
und im Knotenpunkte C mit
R = 300 Millionen Tonnen
belastet wird. Zur besseren Uebersicht sind die Werthe
von in die Figur 40 eingeschrieben und die hieraus
sich ergebenden Belastungen des Biegungspolygons unter
der Figur zusammengestellt. Da Form und Dimensio-
nen des Fachwerks in Bezug auf die durch die Trä-
germitte gelegte Vertikalachse symmetrisch angeordnet
sind, so ergibt sich für den Fall, in welchem die Be-
lastung R auf den Knotenpunkt D einwirkt, ein dem
Polygon A symmetrisch geformtes Biegungspolygon B.
Die Ordinaten dieser beiden Polygone in den Vertika-
len der beiden Mittelstützen sind 117,5 und 102,4 Milli-
meter. Die Gleichungen 21 nehmen daher in dem
vorliegenden Falle folgende Form an:
oder
und
wenn man durch die Zeichen ∑A und ∑B andeutet,
dass die Ordinaten y des Polygons A oder diejenigen
des Polygons B in Rechnung zu bringen sind.

Es mögen zunächst die Auflagerdrücke ermittelt
werden, welche von einer gleichmässig vertheilten Be-
lastung eines jeden der drei Tragfelder hervorgerufen
werden. Belastet man das erste Tragfeld gleichmässig
mit 100 Tonnen, so dass die Knotenpunkte A und C
(Fig. 40) je 5 Tonnen und die übrigen neun Knotenpunkte
der unteren Gurtung des ersten Tragfeldes je 10 Tonnen
aufzunehmen haben, so ergeben die Seilpolygone C und
E (Fig. 41), welche mit einer Poldistanz gleich 100
Tonnen konstruirt sind, die Längen
und
Bei dieser Belastung ist sonach:
und
Belastet man in gleicher Weise das zweite Tragfeld
mit 100 Tonnen, so ergibt das Seilpolygon D (Fig. 41)
die Längen
Für diesen Belastungsfall ist demnach:

Endlich ergeben sich die von einer Belastung von
100 Tonnen des dritten Tragfeldes erzeugten Auf-
lagerreaktionen nach dem Gesetz der Symmetrie:

Bezeichnet man die gleichmässig vertheilte Bela-
stung des ersten, zweiten, dritten Tragfeldes mit G1,
G2 und G3, so ist nach den obigen Resultaten:
und

Für einen kontinuirlichen Träger von konstan-
tem Querschnitt und drei gleichen Tragfeldern ist:
und

Die Auflagerdrücke des hier berechneten Balken-
fachwerks weichen also nur sehr wenig von denjenigen
eines Trägers von konstantem Querschnitt ab. Dass
diese Differenzen nicht allein bei gleichmässiger Be-
lastung der einzelnen Tragfeder, sondern auch bei jeder
anderen unregelmässigen Belastung sehr klein ausfal-
len, erkennt man, wenn man die Biegungskurve A für
einen Träger von konstantem Querschnitt konstruirt
und ihre Ordinaten mit denjenigen des Polygons A in
Figur 41 vergleicht. Diese Kurve ist in Figur 41 des-
halb nicht eingetragen worden, weil die Abweichungen
zwischen beiden Linien so klein sind, dass sie im
Massstabe jener Zeichnung nicht deutlich zur Anschau-
ung gebracht werden können.

Endlich sind in der rechten Hälfte der Figur 41
für eine unregelmässige, aus sechs Einzellasten be-
stehende Belastung vermittelst der Seilpolygone F und
G, deren Poldistanz 30 Tonnen beträgt, die Längen
und
konstruirt worden. Die von dieser Belastung erzeugten
Auflagerreaktionen sind also:
und

Tabelle, enthaltend die Berechnung der Belastungen

[]Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks.
des Biegungspolygons A in Figur 41 Blatt 615.