§. 103.

I.Die Integralrechnung iſt das Umge-
kehrte der Differenzialrechnung. So wie dieſe
aus einer gegebenen Gleichung zwiſchen zwey oder
mehr veränderlichen Größen, das Verhalten der
Differenziale dieſer Größen, von welcher Ordnung
auch die Differenziale ſeyn mögen, alſo die Dif-
ferenzialgleichung zu finden lehrt, ſo wird
umgekehrt in der Integralrechnung das Verfah-
ren gezeigt, aus einer vorgegebenen Differenzial-
gleichung die Gleichung zwiſchen den veränderli-
chen Größen ſelbſt zu finden, aus welcher jene
Differenzialgleichung entſtehen würde. Das Ver-
fahren, dieſe Aufgabe zu bewerkſtelligen, nennt man
die Integration, und die erhaltene Gleichung
A 2die
[4]Zweyter Theil.
die Integralgleichung, oder auch ſchlechtweg
das Integral der vorgegebenen Differenzial-
gleichung.

II. Nehmen wir erſtlich eine Differenzial-
gleichung zwiſchen zwey veränderlichen Größen
x, y, ſo wird ſich ſolche allemahl durch P d x +
Q d y = o ausdrücken laſſen, wo P, Q nach Ge-
fallen Funktionen von x und y allein, oder auch
von beyden veränderlichen Größen zugleich ſeyn
können.

III. Sind nun P und Q Funktionen von
x allein, ſo hat man
wenn — der Kürze halber mit X bezeichnet wird.

IV. Hier iſt alſo X eine Funktion von
x, und y das Integral von X d x d. h. hieje-
nige Funktion von x, welche differenziirt X d x
geben würde. Man zeigt dies Integral
durch den Buchſtaben∫an

V. Dieſer Fall, daß P und Q, und folg-
lich auch X bloß allein eine Funktion von x (oder
eben ſo auch P, Q beyde bloß Functionen von y)
ſind,
[5]Integralrechnung. Vorbegriffe.
ſind, iſt der leichteſte in der Integralrechnung
daher denn auch gewöhnlich mit der Integration
ſolcher Differenziale der Anfang gemacht wird,
wenn gleich nach Beſchaffenheit der Function X,
je nachdem ſolche algebraiſch oder tranſcendent iſt,
auch hier oft manche Schwierigkeiten bey der In-
tegration ſich zeigen, ſo wie man denn überhaupt
leicht ſieht, daß es weit ſchwerer iſt, zu einem
vorgegebenen Differenzial das Integral zu finden,
als hingegen eine vorgegebene Function zu diffe-
renziiren, welche Operation man völlig in ſeiner
Gewalt hat.

VI. Eben ſo hat auch der Fall keine Schwie-
rigkeit, wenn P bloß allein eine Function von x,
und Q bloß allein eine Funktion von y wäre. Hier
iſt alsdann P d x bloß allein das Differenzial
einer Function von x, und Q d y bloß allein das
Differenzial einer Function von y, und wenn man
daher einen Ausdruck integriren kann, worinn
nur eine veränderliche Größe vorkömmt, d. h.
wenn man die einzeln Integrale ∫P d x; ∫Q d y
finden kann, ſo hat man, die Gleichung
wo C eine unveränderliche Größe bezeich-
net, (welche auch durch das Wort Constans an-
gedeu-
[6]Zweyter Theil.
gedeutet wird) als die Integralgleichung der vorge-
gebenen Differenzialgleichung P d x + Q d y = o
zu betrachten.

VII. Eben ſo iſt auch P d x + Q d y = o
leicht zu integriren, wenn P bloß eine Function
von y, und Q bloß eine Function von x wäre.
Denn man hätte alsdenn ; oder
, wo u. wieder
Differenziale, jedes nur von einer veränderlichen
Größe, darſtellen.

VIII. Sind aber P, Q, nach Gefallen ver-
miſchte Functionen von x und y, dann reichen
oft alle Kunſtgriffe nicht hin, die Integrale ſol-
cher Differenzialgleichungen zu finden. Ja es
können Differenzialgleichungen ſo beſchaffen ſeyn,
daß auch gar keine Relation zwiſchen den verän-
derlichen Größen ſtatt findet, woraus eine ſolche
Differenzialgleichung abgeleitet werden könnte, und
alſo ſolche Differenziale für bloße Chimären ge-
halten werden müſſen.

IX. Iſt nun endlich eine Differenzialgleichung
ſo beſchaffen, daß darinn ſogar auch höhere Dif-
feren-
[7]Integralrechnung. Vorbegriffe.
ferenziale, z. B. die Differenzialquotienten
oder auch Potenzen von vorkommen, ſo
entſtehen der Schwierigkeiten noch mehrere, um
die Integralgleichungen zu erhalten. Aber die
Integralrechnung iſt bis jetzt noch nicht zu dem
Grade der Vollkommenheit gelangt, um für jeden
Fall eine genügende Auflöſung geben zu können,
und was bis jetzt darinn geleiſtet worden, iſt un-
beträchtlich gegen dasjenige, was noch zu wünſchen
übrig iſt. Um wie viel größer noch die Schwie-
rigkeiten werden müſſen, wenn außer zwey ver-
änderlichen Größen, ſo gar noch mehrere vorkom-
men, bedarf keiner weitern Erinnerung.

X. Im gegenwärtigen Kapitel wollen wie
uns bloß mit der Integration der Differenzialglei-
chungen von der Form d y = X d x, wo X bloß
eine Function von x iſt, beſchäftigen, und alſo
zeigen, wie die Integrale
y = ∫X d x
zu finden ſind, je nachdem X eine rationale, irra-
tionale oder auch eine tranſcendentiſche Function
von x ſeyn würde.

§. 104.

1. Zur Grundlage der folgenden Unterſu-
chungen werden uns die vorzüglichſten in der Dif-
ferenzialrechnung gefundenen Differenzialformen
nützlich ſeyn.

2. So z. B. fanden wir, wenn die Function
vorgegeben war, wo C eine unveränderliche oder
Conſtante Größe bezeichnete, die Differenzialglei-
chung
Von dieſer iſt alſo umgekehrt
die Integralgleichung d. h.
dem In-
tegral von n A xn — 1 d x.

3. Man ſetze der Kürze halber n A = B;
n — 1 = m alſo
ſo iſt , wegen
Von dem Differenzial B xm d x iſt alſo das Integral
= , wovon man ſich auch wieder
durch die Differenziation überzeugen kann.

4. Für B = 1 iſt d y = xm d x alſo
der Exponent m kann hier jede ganze bejahte,
verneinte oder auch gebrochene Zahl ſeyn.

5. Die conſtante Größe C muß je-
desmahl aus den Umſtänden der Aufga-
be, welche auf die angeführte Differen-
zialgleichung geführt hat, beſtimmt wer-
den. Iſt z. B. die Aufgabe ſo beſchaffen, daß
für x = o auch y oder das Integral = o iſt,
ſo erhellet, daß in dieſem Falle auch die beſtän-
dige Größe C = o ſeyn würde.

Sollte aber z. B. y = a werden für x = o,
ſo würde C = a ſeyn müſſen, alſo
Wäre die Aufgabe ſo beſchaffen, daß y = a für
x = b würde, ſo hätte man, dieſe Werthe ſtatt
y und x in die Integralgleichung (3) geſetzt,
demnach
Mithin
[10]Zweyter Theil
Mithin, für jeden andern Werth von x
Oder
woraus man ſieht, daß für x = b; würklich
y = a wird, wie es die Bedingung der Auf-
gabe verlangte.

So werden auf eine ähnliche Weiſe die con-
ſtanten Größen in andern Integralen aus den
Bedingungen der Aufgabe beſtimmt.

6. Der einzige Fall wenn m = — 1 alſo (4)
wäre, würde für das Integral den Werth
geben, ein Ausdruck wobey ſich nichts denken läßt,
und der wegen xo = 1, unveränderlich, und zwar
eine unendliche Größe zu ſeyn ſcheint.

7. Indeſſen hat das Integral von oder
dennoch eine beſtimmte Bedeutung,
denn
[11]Integralrechnung. Vorbegriffe.
denn wir haben in der Differenzialrechnung (§.
26.) geſehen, daß der Ausdruck das
Differenzial des natürlichen Logarithmen von x be-
zeichnet, alſo iſt umgekehrt
Der Ausdruck . will alſo nur
andeuten, daß eine tranſcendente Größe wie log x
nicht als eine einzige Potenz der veränderlichen
Größe x angeſehen werden kann, und daß es an
und für ſich ungereimt iſt, einen Ausdruck wie ,
worinn xo = 1 eine unveränderliche Größe iſt,
differenziiren zu wollen.

8. Wir dürfen indeß, das oben gefundene
Integral nur auf eine
etwas andere Art ausdrücken, um zu eben der
Schlußfolge (7) zu gelangen.

9. Man ſetze (Differenzial R. §. 74. Beyſp.
II. 3.) das dortige u = xm + 1; ſo hat man we-
gen log u = (m + 1) log x;
u. ſ. w.
alſo
[12]Zweyter Theil.
alſo (8)
ꝛc.
Hier hat man alſo eine Reihe, welche allgemein
das Integral ∫xm d x darſtellt, was auch m für
einen Werth haben mag, und unter welcher Form
das Integral auch öfters vortheilhaft gebraucht
werden kann. Für m = — 1 wird m + 1 = o
und
weil alle Glieder worin die höheren Potenzen von
log x vorkommen, wegen des Factors m + 1 = o
und deſſen Potenzen = o, wegfallen.

Es iſt alſo
einer conſtanten Größe
völlig wie (7), ſo daß alſo obige Reihe auch
ſelbſt die richtige Bedeutung von für den
Fall, daß m = — 1 iſt, darſtellt.

10. Uebrigens bedarf es keines Beweiſes,
daß es einerlei iſt zu ſchreiben ∫B xm d x oder
B∫xm d x wenn B einen unveränderlichen Factor
bezeichnet, wie in (3) ſtillſchweigend zum Grunde
liegt.

§. 105.

Wir wollen nun die einzelnen Integrale, de-
ren Differenziale in der Differenzialrechnung be-
reits vorgekommen ſind, der Ordnung nach her-
ſetzen, um daraus weitere Folgerungen ableiten zu
können.

I.
II.
(§. 16. Differ.)
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
[14]Zweyter Theil.
XI. (§. 34.)
XII. (§. 35.)
XIII. (§. 37.)
XIV. (§. 38.
XV. (§. 40.)
XVI. (§. 44.)
XVII. (§. 44. III.)
XVIII. (§. 44. IV.)
XIX. (§. 44. V.)
XX. (§. 45. VI.)
XXI.
(§. 45. VII.)
XXII.

Woraus wenn, man 2 φ = 90° + ψ ſetzt,
auch ſehr leicht erhält
XXIII. = Arc ſin x = — Arc coſ x (§. 46. I.)
XXIV.
[15]Integralrechnung. Vorbegriffe.
XXIV. = Arc tang x = — Arc cot x (§. 46. III.)
XXV. = Arc ſec x = — Arc coſec x
(§. 46. V. VI.)

§. 106.

Aus dieſen Fundamentalformeln, laſ-
ſen ſich die Integrale von einer großen Menge zu-
ſammengeſetzterer Differenzialformeln ableiten, wie
nachſtehende Aufgaben ausweiſen. Daß übrigens
zu jedem Integrale das vorigen §es noch eine
conſtante Größe hinzugeſetzt werden kann, will ich
hiemit ein für allemahl erinnern.

§. 107.
Aufgabe.

Wenn X eine rationale ganze Funk-
tion von x bedeutet, die Formeld x = X d x
zu integriren d. h. den Werth vony =
∫ X d x zu finden.

AufgI. In dieſem Fall läßt ſich X alle-
mahl durch eine endliche Reihe von der Form
X = a xm + b xn + c xμ + …
ausdrücken, wo m, n, μ, ν, … ganze Zahlen
ſeyn werden, und der Glieder ſo viel als man
will, ſeyn können.

II. Alſo hat man
d x = a xm d x + b xn d x + c xμd x ..

III. Mithin durch Integration aller einzeln
Differenziale dieſes Ausdrucks, das ganze Integral
y oder ∫ (a xm + b xn + c xμ ..) d x
= ∫ a xm d x + ∫ b xn d x + ∫ c xμd x ꝛc.
Conſt.
wo Conſt die hinzuzuaddirende, aus den Bedin-
gungen einer Aufgabe zu beſtimmende beſtändige
Größe bezeichnet.

§. 108.
Anmerkung.

In (§. 107. II.) wurden zwar m, n, μ, ..
zu ganzen Zahlen angenommen, man ſieht aber
leicht, daß dieſe Exponenten auch Brüche ſeyn
können, und auch für dieſen Fall die Integration
noch ſtatt finden wird.

Beyſp. Es ſey
ſo würde zwar die in d x multiplicirte Function
jetzt keine ganze rationale Function ſeyn, aber
wegen
wird dennoch das Integral, zufolge der allgemei-
nen Formel , wo m der Ord-
nung nach = + 2; — 3; ½; ⅔ geſetzt wird,
gefunden, nemlich,
oder
B 2y
[20]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
und ſo in andern Fällen.

§. 109.
Aufgabe.

Wenn eine rationale Bruchfunk-
tion von x bedeutet, zu inte-
griren.

Aufg. I. Einige leichtere Fälle ergeben ſich
ſchon aus (§. 105. VII. X. XXIV.) woraus ſich
denn in den folgenden §§en die ſchwerern herleiten
laſſen.

2. Man ſetze in (§. 105. VII.) x = b u,
ſo hat man d x = b d u mithin
alſo

3. Ein Differenzial von der Form
hat alſo zum Integral den Ausdruck .
Hier
[21]Integralrechnung.
Hier kann nun ſtatt u auch wieder jeder andere,
auf eine veränderliche Größe ſich beziehende Buch-
ſtabe geſetzt werden. Setzt man alſo jetzt x ſtatt
u ſo muß auch
ſeyn, ein Integral von einer etwas allgemeinern
Form als das

4. Man ſieht indeß, daß das allgemeinere
auch ohne Beyhülfe des neuen Buchſtabens u,
ſogleich aus dem letztern ſelbſt hätte abgeleitet wer-
den können. Denn da in dem Ausdrucke
ſtatt x überhaupt jede veränderliche Größe geſetzt
werden kann, ſo kann man dafür auch b x ſchrei-
ben. Dann verwandelt ſich aber d x in b d x,
und man erhält daher durch dieſe Subſtitution
ſogleich
Mithin
.
wo
[22]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
wo C die hinzuzuaddirende [Conſtans] bezeichnet.
Hier hätte alſo die Bruchfunction die Form
.

Soll das Integral für x = o auch
= o werden, ſo hat man für die Beſtimmung
der Conſtante C die Gleichung
alſo
demnach

5. Nach einem ähnlichen Verfahren ſetze
man in die Formel (§. 105. X.) ſtatt x den Werth
, alſo ſtatt d x den Werth ; ſo erhält
man
wor-
[23]Integralrechnung.
woraus ſehr leicht
folgt, wenn man Zähler und Nenner des hinter
dem Integralzeichen ∫ ſtehenden Differenzials mit
a2, und Zähler und Nenner der Größe, wovon
der Logarithme genommen wird, mit a multiplicirt.

Hier wäre alſo die Bruchfunction von der
Form

6. Eben ſo ſetze man in (§. 105. XXIV.)
ſtatt x ſo erhält man nach einer ähnlichen Rech-
nung wie (5) das allgemeinere Integral
Arc tang.

Hier wäre alſo

7. Wenn man in der Formel (5) c + x
ſtatt x ſetzt, ſo läßt ſich aus ihr noch eine allge-
meinere ableiten, denn man erhält erſtlich

8. Wenn nun in dieſe der Kürze halber
a2 — b2 c2 = α
— 2 b2 c = β
b2 = γ
geſetzt wird, ſo laſſen ſich aus dieſen 3 Gleichun-
gen die Werthe von a, b, c, durch α, β, γ,
ausdrücken, und man erhält
.
Dies giebt denn (7) das Integral
.
welches noch allgemeiner als das Integral (7) iſt.

9. Es iſt nicht überflüſſig, hiebey zu be-
merken, daß es völlig einerley iſt, die Wurzel-
Größe √ (β2 + 4 α γ) bejaht oder verneint zu
nehmen. Ich will ſie der Kürze halber √ m
nennen, ſo läßt ſich leicht darthun, daß
denn es läßt ſich der negative Logarithme rechter
Hand des Gleichheitszeichens poſitiv machen, wenn
man den Bruch umkehrt, zu dem der Logarithme
gehört d. h. er läßt ſich ausdrücken durch
Multi-
[25]Integralrechnung.
Multiplicirt man nun Zähler und Nenner des
Bruchs von dem der Logarithme genommen iſt,
gemeinſchaftlich mit — 1, ſo erhält man denjeni-
gen linker Hand des Gleichheitszeichens.

10. Würde man in der zuletzt (8) gefunde-
nen Formel γ negativ nehmen, ſo erhielte man

Das Integral =
=.

11. Dieſer Logarithmiſche Ausdruck für das
Integral kann nach (§. 48.)
auch durch Kreisbogen dargeſtellt werden. Man
ſchreibe √ — 1. √ (4 α γ — β2) ſtatt √ (β2 —
4 α γ) linker Hand des Logarithmenzeichens, und
ſtatt √ (β2 — 4 α γ) rechter
Hand deß Zeichens, weil dieſe Ausdrücke gleich-
gültig ſind, ſo erhält man den logarithmiſchen
Ausdruck (10)
jetzt ſetze man weiter ;
oder
[26]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
oder φ = einem Bogen deſſen Tangente =
iſt, ſo verwandelt ſich der zu-
letzt gefundene logarithmiſche Ausdruck in
oder in (§. 48. 1) d. h. in
den Ausdruck
. Arc tang.

12. Demnach kann für das Integral (10)
auch die eben gefundene Formel geſchrieben wer-
den, d. h. wenn der Kürze halber α + βx +
γx2 = X genannt wird, ſo hat man
wozu denn noch wie gewöhnlich eine Conſtans
addirt wird.

13. In dieſen zwey Ausdrücken für
können nun nach Gefallen, α, β, γ bejaht oder
ver-
[27]Integralrechnung.
verneint ſeyn. Fände ſich nun z. B. daß β2 —
4 α γ in dem logarithmiſchen Ausdruck (10) ver-
neint wäre, ſo würde √ (β2 — 4 α γ) eine ima-
ginäre Größe. Statt der imaginären Form die
der Logarithme erhält, nimmt man alsdann den
reellen Ausdruck (12) durch Kreisbogen, in wel-
chem nunmehr √ (4 α γ — β2) eine mögliche
Größe iſt, kurz man wählt von beyden Ausdrük-
ken des Integrals allemahl denjenigen, der die
reelle Form hat, welches ſich in jedem Falle leicht
beurtheilen läßt.

14. Es verſteht ſich, daß der Kreisbogen der
in dem Integrale vorkömmt, allemahl in Deci-
maltheilen des Halbmeſſers 1 genommen werden
muß.

15. Der einzige Fall, wenn β2 — 4 α γ = o
wäre, bedarf noch einer Erläuterung. Alsdann
wäre nemlich
.
Ausdrücke, wobey ſich als Integrale nichts den-
ken läßt. Es zeigt ſich aber, daß in dieſem Falle
der Nenner α + βx + γx2 wegen β = 2 √ α √ γ
ein
[28]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
ein vollſtändiges Quadrat iſt, nemlich α +
2 √ α √ γ · x + γx2 oder (√ α + x √ γ)2
und daß ſich folglich
in
verwandelt, welches ſich nach (§. 107. B. III.)
integriren läßt, wenn man das dortige m = — 2;
a = √ α; b = √ γ ſetzt, wo ſich denn für das
Integral der Ausdruck
oder — oder — ergiebt,
wozu noch eine Conſt. addirt wird.

§. 110.

Zuſ. I. Es ſey ein Differenzial von
der Form
zu integriren.
Man ſetze α + βx + γx2 = X, ſo hat man
log (α + βx + γx2) = log X und differenziirt
Mithin
x d x
[29]Integralrechnung.
Oder
Hier iſt alſo das Integral y oder
gefunden, wenn man ſtatt den Ausdruck (§.
109. 10. 12.) entweder in Logarithmen oder in
Kreisbogen genommen, noch ſubſtituirt.

Zuſ. II.Wäre
zu integriren, wo A, B beliebige unveränder-
liche Coefficienten bedeuten, ſo ſetze man wieder
der Kürze halber α + βx + γx2 = X, und
man erhält
wo aus (§. 109. 12.) genommen wird.

§. 111.

Zuſ. III. Es ſey eine rationale
Bruchfunktion von x, und der Exponent von
x in dem Zähler M kleiner als im Nenner N,
ſo läßt ſich integriren, wenn
man die einfachen Factoren des Nen-
ners N weiß, und dadurch den Bruch in
einfache von der Form
u. ſ. w.
zerlegt, deren Zähler A, B nach (§. 82.) gefun-
den werden können. Wird dann jeder dieſer ein-
fachen Brüche mit d x multiplicirt, und integrirt,
ſo erhält man y oder
u. ſ. w.
.
(§. 109. 2.).

§. 112.

Zuſ. IV.Kömmt im Nenner der
Bruchfunktion ein einfacher Factor
z. B. α + βxmehrere mahle vor, alſo
eine Potenz deſſelben = (α + βx)n, ſo
zerlegt ſich die Bruchfunction in Brüche von der
Form
.
deren Zähler A, B, C ꝛc. nach §. 83 ꝛc. gefun-
den werden können, zu welchen Brüchen denn
noch diejenigen kommen, welche aus den übrigen
verſchiedenen Factoren des Nenners entſpringen,
und welche
heißen mögen, deren Zähler aus (§. 82.) beſtimmt
werden.

Jetzt wird alſo
wo die Integrale derjenigen Brüche in deren
Nen-
[32]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
Nennern die Potenzen vorkommen, ſämmtlich nach
(§. 107. Beyſp. III.) gefunden werden können,
wenn man ſtatt des dortigen m der Ordnung nach,
die negativen Exponenten — n; — (n — 1);
— (n — 2); u. ſ. w. ſetzt.

§. 113.

Zuſ. V.Sind unter den einfachen
Factoren des Nenners N, imaginäre von
der Formx — a (coſφ + ſinφ √ — 1);
x — a (coſφ — ſinφ √ — 1), welche in
einander multiplicirt wie (§. 84.) den
quadratiſchen reellen, oder Trinomial-
factor x2 — 2 a coſφ. x + a2geben wür-
den, ſo entſteht (§. 84. 4) aus jedem ſolchen
Trinomialfactor ein Bruch von der Form
, mithin ein Integral
welches nach (Zuſ. II.) gefunden werden kann,
wenn man das dortige α = a2;β = — 2 a coſφ
und γ = 1 ſetzt, alſo ein Integral
= ½ A log (x2 — 2 a coſφ. x + a2)
+
[33]Integralrechnung.
wegen √ (4 α γ — β2) = 2 a ſinφ.

Es wird nicht überflüſſig ſeyn, das letztere
durch einige Beyſpiele zu erläutern.

§. 114.

Zuſ. VI. Iſt in der Funktion (Zuſ. III.)
die höchſte Potenz von x in M höher als in N,
ſo läßt ſich M mit N dividiren und man erhält
zum Quotienten eine ganze Function T, und
wenn bey der Diviſion ein Reſt = R bleibt, auſ-
ſerdem noch die Bruchfunktion ; ſo daß =
T + und die höchſte Potenz von x in R nie-
driger als in N iſt. Dann iſt alſo
∫d x = ∫T d x + ∫
wo ∫T d x nach (§. 107.) und ∫d x nach
Zuſ. III. u. f. gefunden werden kann, weil nun
in R die höchſte Potenz von x niedriger als in
N iſt.

Z. B. Wäre ; ſo hat man
= x7 + x2 + ; und
∫d x = ∫x7 d x + ∫x2 d x + ∫
=
[42]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
=
wo ∫ nach Beyſp. I. Zuſ. V. gefunden
werden kann, wenn man das dortige m = 2;
n = 5, a = 1 ſetzt.

§. 115.

Zuſ. VII.Wäred y = zu
integriren, ſo ſetze man x = , ſo wird d x =
— und d y = — a— n · d u, oder
a—n = der Kürze halber mit bn bezeichnet,
d y = — bn · d u
welches ſich nach (§§. 113. 114.) integriren läßt,
nachdem man die ganze Funktion (wie Zuſ. VI.)
daraus abgeſondert hat. In dem erhaltenen In-
tegrale muß man alsdann ſtatt u wieder den Werth
ſetzen, um das Integral von zu
erhalten.

§. 116.

Zuſ. VIII.Durch eine ähnliche Sub-
ſtitution, kann das Integral des Diffe-
renzials auf die Integration
von
bn · d u
gebracht werden.

§. 117.

Zuſ. IX.Hätte man
d y =
zu integriren, ſo darf man nur das β von der
Potenz von x im Nenner wegſchaffen oder d y =
ſetzen, ſo läßt ſich dieſes nach (Zuſ. V.
B. II.) integriren, das dortige an = oder a =
geſetzt. Und ſo in ähnlichen Fällen, wo
die Potenz von x im Nenner, einen andern Factor,
als 1 haben würde.

§. 118.

Zuſ. X. Ohne die Subſtitution x =
(§. 115.) zu gebrauchen, kann man auch nach (§. 83.)
die einfachen Brüche ſuchen, welche aus der Potenz
xm des Factors x im Nenner entſtehen. Z. B.
wäre zu integriren, ſo läßt ſich
die Bruchfunction in folgende
zerlegen,
wo A, B, C, D nach (§. 83.) gefunden werden
können. Die Funktion P ergiebt ſich dann nach
(II.) des eben angeführten §es durch die Di-
viſion, nachdem A, B, C, D, bereits gefunden
ſind. Die dortigen α, β haben hier die Werthe
0; 1; und das dortige S iſt hier 1 + x3. So
erhält man
∫ = A∫ + B∫ + C∫
+ D∫ + ∫
=
[45]Integralrechnung.
= — + D log x
+ ∫
wo ∫ nach (§. 113. B. II.) gefunden
werden kann. Indeſſen mögte die Subſtitution
(§. 115.) doch wohl den Vorzug verdienen.

§. 119.
Aufgabe.

Es iſt ein Differenzial von der Form
d y = xm — 1 d x (a + b xn)p
vorgegeben, wom, n, pbeliebige Expo-
nenten, ganze bejahte, verneinte, ſelbſt
auch Bruchexponenten bedeuten können,
man ſoll daſſelbe auf verſchiedene an-
dere Differenziale reduciren, von deren
Integralen ſämmtlich das Integral des
vorgegebenen abhängt.

Aufl. I. Man nenne der Kürze halber
a + b xn = z
alſo d y = xm — 1 zp d x
ſo erhellet nunmehr ſogleich, daß wenn man einen
Ausdruck wie
x
[46]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
xm zp = u
differenziiren würde, in dieſem Differenziale ſo-
gleich xm — 1 zp d x als Beſtandtheil vorkommen
würde. Denn man erhält
m xm — 1 zp d x + p xm zp — 1 d z = d u, oder

II. m xm — 1 zp d x + n b p xm + n — 1 zp — 1 d x
= d u nachdem man nach (I.) n b xn — 1 d x ſtatt
d z geſetzt hat.

III. Würde man alſo auf beyden Seiten in-
tegriren und mit m dividiren, ſo erhielte man
∫xm — 1 zp d x = ∫xm + n — 1 zp — 1 d x
wo ſtatt u ſein Werth xm zp geſetzt werden kann.

Das Integral ∫xm — 1 zp d x (I.) wäre alſo auf
∫xm + n — 1 zp — 1 d x gebracht, in welchem der
Exponent von z um 1 niedriger iſt, welches bey
manchen Integrationen von erheblichem Vortheile
iſt. Wir wollen jetzt mit der Gleichung (II.) noch
einige Veränderungen vornehmen, ſo werden ſich
noch andere Differenziale ergeben, auf welche ſich
das vorgegebene xm — 1 zp d x bringen läßt.

IV. Man ſetze z . zp—1 oder (a + b xn)
zp — 1 ſtatt zp in das erſte Glied der Gleichung
(II.)
[47]Integralrechnung.
(II.) ſo wird m a zp — 1 xm — 1 d x + (m + p n)
b xm + n — 1 zp—1 d x = d u.

Weil nun p ganz willkührlich iſt, und von
den übrigen Größen gar nicht abhängt, ſo kann
man in die eben gefundene Gleichung auch p + 1
ſtatt p ſetzen, ſo verwandelt ſich zugleich u (I.) in
u' = xm (a + b xn)p + 1 und man erhält

V. m a zp xm — 1 d x + (m + n + n p)
b xm + n — 1 zp d x = d u' abermahls eine Glei-
chung, worin das vorgegebene Differenzial xm — 1
zp d x vorkömmt.

VI. Ferner ſetze man in das zweite Glied
der Gleichung (II.) z — a ſtatt b xn (I.), ſo er-
giebt ſich
(m + n p) xm — 1 zp d x — n p a xm — 1 zp — 1 d x = d u

VII. Da nun aber auch m von den übri-
gen Größen unabhängig iſt, ſo ſetze man in (II.)
m — n ſtatt m, und p + 1 ſtatt p, ſo ver-
wandelt ſich u in xm — n zp + 1 = u'', und man
erhält aus (II.) die neue Gleichung

VIII. (m — n) xm — n — 1 zp + 1 d x + n b
(p + 1) xm — 1 zp d x = d u''.

IX. Sodann aus (V.) m — n ſtatt m ge-
ſetzt, wodurch u' ſich in u''' = xm — n zp + 1 ver-
wandelt, die Gleichung (m — n) a zp xm — n — 1 d x
+ (m + n p) b xm — 1 zp d x = d u'''.

X. Endlich wird aus (VI.), p + 1 ſtatt p
geſetzt, wodurch u ſich in u'''' = xm zp + 1 ver-
wandelt, die Gleichung (m + n (p + 1))
xm — 1 zp + 1 d x — n (p + 1) a xm — 1 zp d x =
d u''''.

XI. In jeder der 6 gefundenen Gleichungen
(II. V. VI. VIII. IX. X.) befindet ſich nun
das in (I.) vorgegebene Differenzial xm — 1 zp d x
oder xm — 1 (a + b xn)p d x = d y.

Man ſchaffe dies Differenzial in jeder der
angeführten Gleichungen auf die linke Seite des
Gleichheitszeichens, integrire dann auf beyden
Seiten, und ſtelle die Werthe von u, u', u'' ꝛc.
her wie in (III.), ſo wird man nachſtehende 6
Gleichungen erhalten, welche in der Integralrech-
nung von dem weitläuftigſten Gebrauche ſind.
Ich will zugleich ſtatt ∫xm — 1 zp d x d. h. ſtatt
∫xm — 1 (a + b xn)p d x den Buchſtaben y ſchrei-
ben, weil das Differenzial mit d y bezeichnet wurde.

Alſo hat man

Nro. I.
∫xm — 1 d x (a + b xn)p oder
y = ∫xm + n — 1 zp — 1 d x
aus (III.)

Nro. II.
y = ∫xm + n — 1 zp dx
aus (V.)

Nro. III.
y = ∫xm — 1 zp — 1 d x
aus (VI.)

Nro. IV.
y = ∫xm — n — 1 zp + 1 d x
aus (VIII.)

Nro. V.
y = ∫xm — n — 1 zp d x
aus (IX.)

Nro. VI.
y = — ∫xm — 1 zp + 1 d x
aus (X.)

In allen dieſen 6 ſogenannten Reductions-
formeln bedeutet z die Binomialgröße a + b xn,
und jede Formel zeigt wie das Integral ∫xm — 1 d x
(a + b xn)p = y (I.) von der Integration derjeni-
gen Differenziale abhängig iſt, welche ſich in jeder
der gefundenen Formeln rechter Hand des Gleich-
heitszeichens befinden.

Die Größe zunächſt rechter Hand des Gleich-
heitszeichens, wird der algebraiſche Theil des
Integrals y, und die mit ∫ bezeichnete Größe der
ſummatoriſche oder auch involutoriſche
Theil genannt.

Wir wollen jetzt den Gebrauch der beyge-
brachten Formeln durch einige zu gegenwärtigen
Kapitel gehörige Beyſpiele erläutern.

§. 120.

BeyſpielI. 1. Es ſey p negativ aber
eine ganze Zahl = — μ, ſo erhalten wir, wenn
m,
[51]Integralrechnung.
m, n auch ganze Zahlen ſind, ein rationales Dif-
ferenzial oder , für deſſen
Integral y = ∫ ſich nach (Nro. VI.)
der Ausdruck
y =
ergiebt.

Die Integration des Differenzials
iſt alſo auf diejenige von gebracht, wo
im Nenner des letztern der Exponent von z um 1
geringer iſt, als im Nenner des erſtern.

2. Begreiflich kann nun wieder auf eine
ähnliche Weiſe ∫ auf ∫ ge-
bracht werden. Man ſetze nemlich in (1) μ — 1
ſtatt μ, ſo verwandelt ſich das dortige y =
∫ in y' = ∫, und man er-
hält
y' = +

3. Wird alſo dies ſtatt ∫ in den
Ausdruck für y (1) ſubſtituirt, ſo ergiebt ſich y
oder
∫
wo A =
und C = gefunden
wird.

Auf dieſe Art iſt alſo ∫ auf
∫ gebracht. Setzt man dieſe Schlüſſe
weiter fort, ſo läßt ſich zuletzt ∫ auf
∫ bringen, dergeſtalt, daß wenn das
Integral ∫ d. h. ∫ bekannt
iſt, man auch das Integral ∫ als
bekannt oder gefunden anſehen kann.
∫ läßt ſich aber nach (§. 117.) inte-
griren:

Aus (1) erhellet übrigens, daß μ immer
\> 1 ſeyn muß, denn für μ = 1 würde der al-
gebraiſche und ſummatoriſche Theil unendlich, in
welchem Falle die Reductionsformel (1) ſo wie ſie
da ſteht, geradezu nicht gebraucht werden kann,
ohngefähr wie (§. 104. 6).

Beyſp. II. Es ſey m = n + 1, ſo iſt
nach (Nro. V.).
y = ∫zp d x

Aber für m = n + 1 iſt y = ∫xn zp d x
= ∫xn (a + b xn)p d x; hat man alſo ∫zp d x
oder ∫(a + b xn)p d x, ſo iſt auch ∫xn
(a + b xn)p d x als bekannt anzuſehen.

Den vorzüglichſten Nutzen der gefundenen
Reductionsformeln werden wir aber erſt bey der
Integration der irrationalen Differenziale wahr-
nehmen.

§. 121.
Aufgabe.

Reductionsformeln für das Inte-
gral
y = ∫xm (α + βx + γx2)p d x
zu finden.

§. 122.

Iſt p eine ganze bejahte Zahl, ſo wird ge-
wöhnlich von dieſen Reductionsformeln kein be-
ſonderer Gebrauch gemacht. — In ſolchem
Falle verwandelt man lieber (α + βx + γx2) p
in eine Reihe, multiplicirt jedes Glied dieſer
Reihe mit xm d x, und integrirt auf die gewöhn-
liche Weiſe, als daß man ſich der gefundenen
Formeln bediente, die jedoch auch ſelbſt für den
Fall daß p eine ganze bejahte Zahl iſt, unter-
weilen Vortheile gewähren.

Aber wenn p negativ oder ein Bruch iſt,
dann ſind jene Reductionsformeln unentbehrlich,
um Integrale in endlichen Ausdrücken zu erhal-
ten. In gegenwärtiges Kapitel gehört nur der
Fall, wenn p zugleich eine ganze Zahl iſt.

Es ſey alſo p = — μ, ſo verwandelt ſich
die Formel (III.) in y oder

Hier iſt alſo auf zwey ähnliche
Integrale gebracht, wo aber in jedem wenigſtens
ein
[57]Integralrechnung.
ein Exponent um einen Grad niedriger als in dem
vorgegebenen iſt, und welche ſich auf eine ähn-
liche Art noch weiter reduciren laſſen, ſo daß,
wenn m eine ganze bejahte Zahl iſt, man durch
Fortſetzung dieſer Reduktionen das Integral
endlich auf bringen wird, deſſen
Werth denn aus (§. 109. 8 ꝛc.) genommen wer-
den kann.

Es ſey z. B. m = 1, ſo iſt
I)

Aber aus der zweyten Formel (§. 121. 6)
wird für m = o, und p = — μ, das Integral
y oder
Alſo
II)
III)
[58]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
III) In dieſer Formel iſt alſo auf
gebracht; dies ferner auf zu brin-
gen, ſubſtituire man den (II.) gefundenen Werth
von in (I.) ſo ergiebt ſich
IV) So erhellet alſo, daß ſowohl (II.),
als auch (III.), ſich zuletzt auf müſ-
ſen reduciren laſſen, wenn μ eine ganze Zahl und
zwar \> 1 iſt. Für μ = 1 würden wegen μ — 1
= o die Integraltheile rechter Hand des = Zei-
chens unendlich, und alſo nicht zu gebrauchen ſeyn.
Indeſſen hat man für μ = 1 die Integrale
und in (§§. 109. 110.) wo das dortige X
und das z des gegenwärtigen §es einerlei bedeuten.
V)
[59]Integralrechnung.
V) Wenn man die Reduction des Integrals ,
bis auf fortſetzt, ſo erhält man für das In-
tegral eine Reihe von folgender Geſtalt
in welcher die Koefſicienten, wenn der Kürze
halber
genannt wird, folgende Werthe haben
Und ſo laſſen ſich auf eine ähnliche Art Geſetze
bey andern Reductionsformeln auffinden, wenn
der Gebrauch ſolches erfordert, womit wir uns
aber nach dem Zweck des gegenwärtigen Buches
nicht beſchäftigen können. Man ſehe dergleichen in
Meier Hirſch Integraltafeln. (Berlin 1810.)
welche vortreffliche Sammlung von Integralfor-
meln jedem Rechner empfohlen werden darf.

§. 123.
Aufgabe.

Y und X ſeyen Funktionen von x
(oder X, Y, überhaupt zwey veränderliche Grö-
ßen), es iſt gegeben das Integral∫X d Y,
man ſoll daraus das Integral∫Y d X
finden.

Aufl. Weil d (X Y) = X d Y + Y d X
(§. 8. Differ.) ſo hat man
demnach

Anm. Dieſe Reductionsformel iſt von ſehr
weitläuftigen Gebrauche, wie wir in der Folge
ſehen werden. Denn oft iſt es leichter, das In-
tegral ∫X d Y als das ∫Y d X zu finden, oder
∫X d Y iſt von einer einfachern Form als ∫Y d X,
da iſt es alſo vortheilhaft, die Integration von
Y d X auf die von X d Y zu reduciren.

In der That iſt die vorhergehende Aufgabe
eine Art der Anwendung der gegenwärtigen.

Z. B. Es ſey ∫xm—1 z p d x vorgegeben und
z wie im vorhergehenden § = α + βx + γx2.

Man ſetze ſo
hat man demnach we-
gen
oder wegen
Oder p + 1 ſtatt p geſetzt
welches in der That keine andere Gleichung als
die erſte von denen (§. 121. 6) iſt; wenn man da-
ſelbſt das Glied auf die linke
Seite ſchafft.

§. 124.
Anmerkung.

Die bisherigen Fälle werden hinreichend ſeyn,
den Leſer über die vorzüglichſten Kunſtgriffe zu
beleh-
[62]Zweyter Theil. Erſtes Kapitel.
belehren, welche bey der Integration rationaler
Differenziale, und zwar insbeſondere ſolcher, bey
denen die in d x multiplicirte Funktion, eine ra-
tionale Bruchfunktion iſt, angewandt werden
können. Die Hauptſache iſt alſo immer, daß die
einfachen oder Trinomialfactoren des Nenners N
bekannt ſeyn müſſen, oder welches auf eins hin-
ausläuft, daß man die Wurzeln der Gleichung
N = o im allgemeinen anzugeben wiſſe. Da
aber dieſe Aufgabe bis jetzt noch nicht allgemein
aufgelößt werden kann, ſo begnügen wir uns mit
dem bisher von der Integration der rationalen
Differenziale beygebrachten, und wenden uns nun
zur Integration derjenigen Differenziale, wie
X d x, worinn X eine irrationale Function von
x iſt.

§. 125.
Aufgabe.

Das Integral d x zu finden,
wenn M und N Funktionen von x ſind,
welche bloß aus einfachen Potenzen von
x mit gebrochenen Exponenten beſtehen,
worunter jedoch auch ganze Exponenten
ſeyn können.

Aufl. 1. Es iſt am beſten, die Aufgabe
ſogleich mit einem Beyſpiele zu erläutern.

Es ſey alſo z. B. das irrationale Differenzial
welches mit
auf eins hinausläuft, zu integriren.

2. Man bringe die gebrochenen Exponenten nach
der Arithmetik unter den kleinſten gemeinſchaftli-
chen Nenner, ſo hat man auch

3. Um nun ſtatt dieſes Differenzials mit
Bruchexponenten, ein rationales zu erhalten, wel-
ches nach den Regeln des vorigen Kapitels in-
tegrirt werden kann, ſo ſetze man oder
x = u30; mithin d x = 30 u29 d u; dann wird
Oder im Zähler und Nenner mit u24 dividirt
d. h. wenn man aus der in 30 d u multiplicirten
Bruchfunction, die darinn enthaltene ganze
Function vermittelſt der Diviſion entwickelt
wo
[65]Integralrechnung.
wo
gefunden werden.

4. So wäre alſo nun das irrationale Diffe-
renzial (1.) auf eine rationale Form (3.) gebracht,
vermöge der man erhält
wo denn der letzte ſummatoriſche Theil nach den
Regeln des 111 §es Zuſ. III. gefunden werden
kann.

In das erhaltene Integral muß hierauf überall
d. h. ſtatt u geſetzt werden, um es wie-
der durch x auszudrücken, wodurch dann freylich
die einzeln Glieder wie A u20; B u15 ꝛc. ꝛc. wie-
der irrational werden.

Dies Beyſpiel wird zeigen, wie in andern
ähnlichen Fällen zu verfahren ſeyn würde.

Iſt nemlich überhaupt ein Differenzial, wor-
in Wurzelgrößen vorkommen, auf eine rationale
Form gebracht, ſo ſieht man die Integration nach
den Vorſchriften des vorigen Kapitels als vol-
lendet an.

§. 126.

Weit ſchwerer iſt es, ein irrationales Diffe-
renzial rational zu machen, wenn
zuſammengeſetzte Wurzelgrößen z. B. ;
; ;
u. ſ. w. in M u. N vorkommen. Bis
jetzt hat man noch kein allgemeines Verfahren,
ſolche irrationale Differenziale rational zu machen,
und das Integral in endlichen Ausdrücken zu er-
halten, wenn höhere Wurzeln als die vom zwey-
ten Grade, vorkommen, und die Größe x unter
dem Wurzelzeichen, über die zweyte Potenz geht-
Aber auch dann kann das Differenzial nur unter
gewiſſen Einſchränkungen rational gemacht, und
integrirt werden. Wir wollen einige der vorzüg-
lichſten Fälle hier in einzeln Aufgaben behandeln.

§. 127.
Aufgabe.

Es ſeyen M, N, irrationale Funktionen
von von folgender Form
wo m einen gemeinſchaftlichen Nenner
aller Bruchexponenten bedeute, man
ſoll das Differenzial
rational machen, und integriren.

Aufl. Man ſetze oder
ſo wird und
und folglich
E 2wel-
[68]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
welches Differenzial jetzt eine rationale Form hat,
nnd nach den Regeln des vorigen Kapitels inte-
grirt werden kann, weil die Exponenten m, α,
β ꝛc. ſämmtlich als ganze Zahlen betrachtet werden.

§. 128.

Zuſ. I. Es iſt klar, daß M und N außer
den angegebenen Irrationalgrößen, auch rationale
Potenzen von x enthalten können, und durch die
Subſtitution dennoch das Diffe-
renzial rational bleibt, und integrirt
werden kann.

Zuſ. II. Haben die Bruchexponenten in M
und N keinen gemeinſchaftlichen Nenner, ſo kann
man ſie doch alle unter einen ſolchen bringen, und
dann nach der Anleitung der Aufgabe verfahren.
Daher alſo integrabel ſeyn wird, was auch
M und N für Potenzen von enthalten
mögen. In dem gefundenen durch u ausgedrück-
ten Integrale, wird dann überal wiederum
(a
[69]Integralrechnung.
ſtatt u geſetzt, um das Integral
durch x ausgedrückt zu erhalten.

§. 129.
Aufgabe.

zu integriren, wenn M
und N keine anderen Irrationalgrößen
als bloß die einzige,
oder Potenzen davon z. B.
enthalten, wo m jede
ganze bejahte oder verneinte Zahl be-
deuten kann.

Aufl. I. Die Größe zer-
fällt man aus der Lehre von den Gleichungen leicht
in die beyden Factoren
(a
[74]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
wo
und
iſt.

II. Um nun das angegebene Differenzial ra-
tional zu machen, ſetze ich oder
wo u eine neue veränderliche Größe bezeichne.

III. Alſo iſt auch

IV. Und wenn man in (II.) auf beyden Sei-
ten mit dividirt
Oder auch
Woraus

V. folgt.

VI. Dieſe Subſtitution ſtatt x rechter Hand
des Gleichheitszeichens in (III.) giebt
welcher Ausdruck demnach in Rückſicht auf die
veränderliche Größe u rational iſt.

VII. Ferner findet man aus (V.) durch Dif-
ferenziirung
ebenfalls rational.

VIII. So iſt denn endlich auch jede Potenz
von der Wurzelgröße, d. h.
mithin das ganze Differenzial d x rational,
was auch M und N für Potenzen von
√ (α + βx + γx2) enthalten mögen, und
kann demnach nach den Regeln des vorigen Ka-
pitels integrirt werden.

IX. Begreiflich können M, N außer den
Potenzen jener Irrationalgröße auch Potenzen von
x enthalten, nur müſſen die Exponenten ganze
Zahlen ſeyn.

§. 130.
Beyſpiele.

§. 131.
Anmerkung.

Noch über einige Formen von irrationa-
len Differenzialen, welche ſich ra-
tional machen laſſen.

I. Aus den bisher gefundenen Integralen,
laſſen ſich durch Subſtitutionen, wieder viel
andere finden. Da z. B. jedes Differenzial von
der Form
d y
[92]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
d y = A xm d x [√ (α + βx + γx2)]n
allemahl integrabel iſt, wenn m, n ganze Zahlen
ſind, ſo wird, wenn man x = tμ ſetzt, wo μ
jeden Werth haben kann, auch jedes Diffe-
renzial von der Form
d y = Aμt(m + 1) μ — 1d t [√ (α + βtμ + γt2μ)]n
integrabel ſeyn, wenn m und n ganze Zah-
len ſind, und ſo in andern Fällen.

II. Man ſetze (m + 1) μ — 1 = k, ſo
wird m = — 1 Alſo iſt jedes Dif-
ferenzial von der Form
d y = tk d t √ (α + βtμ + γt2 μ)
allemahl integrabel, ſobald — 1
eine ganze Zahl iſt, was auch k, μ für
ganze bejahte oder verneinte Zahlen,
oder auch Brüche ſeyn mögen.

Auch könnte ſelbſt die Wurzelgröße noch auf
eine Potenz n erhoben ſeyn, nur müßte der Ex-
ponent n eine ganze Zahl ſeyn.

III. Das (II.) gefundene Differenzial kann
nemlich durch die Subſtitution tμ = x oder t = x,
alle-
[93]Integralrechnung.
allemahl wieder auf die integrable Form (I.) zu-
rückgeführt werden.

IV. Ferner ſetze man in (§. 128. Beyſp. II.)
x = tm, wo t, wie vorhin, eine neue veränderliche
Größe bezeichne, ſo wird das dortige Differenzial,
in eines von der Form t(n + 1) m — 1 d t (a + b tm)
verwandelt. Dieſes wird alſo allemahl rational
gemacht, und folglich integrirt werden können,
wenn n eine ganze Zahl iſt, wie a. a. O. voraus
geſetzt worden

Nun ſey der Kürze halber (n + 1) m — 1 = k,
ſo wird n = — 1

V.Alſo wird ein Differenzial von
der Form
d y = tk d t ( a + b tm)
allemahl auf dasjenige in (§. 128. Beyſp.
II.) reducirt, und wie dort integrirt wer-
den können, wenn — 1 d. h.
eine ganze Zahl iſt.

Durch die Subſtitution tm = x, oder t = x
wird nemlich dies Differenzial wieder in dasjenige
(§.
[94]Zweiter Theil. Zweytes Kapitel.
(§. 128. Beyſp. II.) verwandelt, und wenn nun
eine ganze Zahl iſt, wie a. a. O. inte-
grirt werden können.

VI. Da ein Differenzial von der Form
d y = tk d t (a + b tm)
ſehr häufig vorkömmt, ſo kann hier auch noch be-
merkt werden, daß es rational gemacht,
und folglich integrirt werden kann,
wenn einer ganzen Zahl gleich
iſt.

Denn man darf nur a + b tm = tm zν, alſo
oder ſetzen,
ſo verwandelt ſich das vorgegebene Differenzial in
eines von der Form
welches offenbar rational iſt, ſo bald
eine ganze Zahl wird, ſie ſey nun bejaht oder
verneint.

§. 132.
Aufgabe.

Es ſey
Man ſoll die Integration dieſes Diffe-
renzials auf die Integration von an-
dern reduciren, welche einfacher, als
das vorgegebene ſind.

Aufl. I. Man bedient ſich dazu der Re-
ductionsformeln (§. 119. XI.) wenn man in den-
ſelben ſetzt, wo ſich denn nach Beſchaffen-
heit der Exponenten m, n, je nachdem dieſel-
ben bejaht oder verneint ſind, leicht ergiebt, welche
von den daſigen Formeln am beſten angewandt
werden kann, den vorgegebenen Zweck zu erfüllen.

II. Iſt z. B. m — 1 eine ganze bejahte
Zahl, ſo wie auch n, ſo würde nach (§. 119.
XI. Nro. V.) das angegebene Differenzial auf das
einfachere x m—n—1 d x oder
gebracht werden, welches offenbar einfacher als
das vorgegebene iſt, weil der Exponent m — n — 1
\< m — 1 iſt.

III. Wäre aber z. B. m verneint und n be-
jaht, ſo würde die Formel (§. 119. XI. Nro. II.)
angewandt werden müſſen, weil nunmehr das
Differenzial xm + n — 1 z p d x einfacher als dasje-
nige der Aufgabe ſeyn würde.

IV. Und ſo würden denn auch die Fälle leicht
zu beurtheilen ſeyn, wenn poſitiv oder ne-
gativ angenommen würde.

Beyſp. I. Reductionsformel für das In-
tegral von
wenn m eine ganze bejahte Zahl iſt.

Hier wäre p = — ½; n = 2; a = 1; b = — 1
Und nun nach der Reductionsformel Nro. V.
weil das dortige z hier = 1 — x2.

Da nun m jede ganze Zahl alſo auch m + 1
bedeuten kann, ſo erhält man auch, m + 1 ſtatt
m geſetzt,
∫
[97]Integralrechnung.

So wäre alſo das Integral, worin der Ex-
ponent von x = m iſt, auf ein ähnliches redu-
cirt, worin der Exponent von x = m — 2 alſo
um zwey Grade niedriger iſt.

So kann nun auf eine ähnliche Art ferner
auf und dieſes weiter
auf ꝛc. gebracht werden.

Es iſt klar, daß auf dieſe Art das In-
tegral zuletzt auf ,
oder auch auf
Arc ſin x (§. 105. XXIII.) wird reducirt werden
können, je nachdem m eine ungerade oder gerade
Zahl ſeyn wird.

Beyſp. II. Wäre dagegen m eine ver-
neinte Zahl alſo das vorgegebene Differenzial
ſo erhält man für deſſen Integral nach (§. 119.
XI. Nro. II.) das dortige m negativ genommen
Höh. Anal.II.Th. G∫
[98]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
oder m — 1 ſtatt m geſetzt

Je nachdem alſo m gerade oder ungerade iſt,
wird die Integration des Differenzials
endlich auf oder
gebracht, deren Werthe man aus (§. 130. B. I.
II.) hat, wenn man die dortigen α = 1, β = 0
und γ = — 1 ſetzt, nemlich
weil man die log 2 als einen Theil der Conſt.
ſelbſt anſehen kann.

§. 133.
Aufgabe.

zu integriren, wenn M,
N, keine andere Irrationalgrößen, als
bloß die einzige enthalten,
und außerdem in M und N nur Potenzen
von xn mit ganzen Exponenten z. B. x 2 n;
x3 n; xm n vorkommen.

Aufl. 1. Man ſetze.
oder
mithin

2. So hat man
oder auf beyden Seiten Logarithmen genommen

3. Mithin differenziirt
G 2Oder
[100]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
Oder

4. Setzt man dieſe rationalen Werthe von
, von x n und von in den Aus-
druck , ſo wird derſelbe rational und kann
demnach nach den Regeln des erſten Kapitels in-
tegrirt werden.

5. Beyſpiel
zu integriren.

Weil ſo hat man auch
welches wegen μ = 1 und ν = 2, nach den an-
geführten Subſtitutionen ſich in
Oder in
d y
[101]Integralrechnung.
verwandelt, wovon nun freylich das Integral et-
was zuſammengeſetzt ausfallen wird.

6. Für m = o hätte man
welches völlig wie (§. 128. Beyſp. I.) zum Inte-
grale giebt
in welchem Ausdrucke ſtatt z geſetzt werden muß
, um das Integral y durch x aus-
gedrückt zu erhalten.

Sollten, wenn a, b, f, g nicht alle bejaht
ſind, logarithmiſche Theile des gefundenen Inte-
grals
[102]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
grals imaginär werden, ſo verwandelt man ſolche
wie aus (§. 130. Beyſp. II.) zu erſehen iſt, in
Kreisbogen.

7. Man ſetze m n — 1 = k, alſo ,
ſo hat man das Differenzial
welches durch die angeführte Subſtitution ſich in
verwandelt, worinn nunmehr ge-
dacht werden muß.

Sind demnach k und n in dem vorgegebe-
nen Differenziale ſo beſchaffen, daß eine
ganze Zahl iſt, wie auch k, n, bejaht, ver-
neint, oder auch Brüche ſeyn mögen, ſo läßt ſich
das Differenzial allemahl in ein rationales ver-
wandeln, weil alsdann auch m — 1 und m + 1
ganze Zahlen ſind.

8. Dies gilt überhaupt auch für das allge-
meinere Differenzial
d y
[103]Integralrechnung.
wie aus obigem ſehr leicht abzuleiten iſt.

9. Für k = o hat man das Differenzial
dies kann alſo nur rational gemacht werden, wenn
n = 1 iſt.

10. Aus dem bisherigen erhellet nun auch,
warum in den Functionen M, N der obigen Auf-
gabe überhaupt keine andere Potenzen von x vor-
kommen dürfen, als unter der Form x m n, ſo
daß m eine ganze Zahl iſt.

§. 134.
Anmerkung.

1. Dies ſind ohngefähr die vorzüglichſten ir-
rationalen Differenziale, wovon die Integration
in endlichen Ausdrücken noch in unſerer Gewalt
iſt. Enthielten die Functionen M, N (§.
133.) Irrationalgrößen von einer Form wie
, oder von noch
zuſammengeſetztern Formen, ſo hängen die Inte-
grale im Allgemeinen nicht mehr bloß von
Logarithmen oder Kreisbogen, ſondern auch von
andern
[104]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
andern tranſcendentiſchen Functionen ab, für welche
man aber noch keine ſolche Tafeln, wie für die
Logarithmen und trigonometriſchen Functionen hat.
Dies iſt auch meiſtens der Fall, wenn M, N
außer einer Irrationalgröße wie ,
auch noch andere von dieſer Form z. B.
enthalten würden. So iſt
z. B. nur das Differenzial
allgemein weder durch Logarithmen noch Kreisbogen,
noch ſonſt durch trigonometriſche Functionen integra-
bel, weil es ſich auf keinerley Weiſe rational machen
läßt. Aber man würde es durch elliptiſche oder
hyperboliſche Bögen ausdrücken können, für welche
man aber bis jetzt keine ſo bequeme Tafeln, wie
für die Kreisbögen, Logarithmen u. d. gl. hat,
daher von ſolchen Ausdrücken wenig Nutzen zu er-
warten ſteht.

2. Um indeſſen doch die Sache durch ein
Beyſpiel zu erläutern, ſo will ich das Differenzial
nehmen, worin ich γ und η als poſitiv betrachte.
Nun
[105]Integralrechnung.
Nun bezeichne a die große Axe einer Ellipſe, oder
überhaupt die eine Axe, und b die andere, x eine
Abſciſſe aus dem Mittelpunkte auf der Axe a, und
s den zugehörigen Bogen der Ellipſe, ſo findet
man leicht für das Differential dieſes Bogens den
Ausdruck

(M. ſ. den 57ten §. meiner Stereometrie,
oder des Vten Theiles meiner pract. Geom.)

Ein Differenzial, wie dieſes, hat alſo zum In-
tegrale einen elliptiſchen Bogen = s deſſen Ab-
ſciſſe = x iſt, welches man kurz ſo ausdrücken
könnte.

(Arcus ellipseos abſcissae x).

Mit dieſem Differenziale vergleiche man nun
das obige, und ſetze alſo
ſo
[106]Zweyter Theil. Zweytes Kapitel.
ſo erhält man
demnach iſt y oder
Für die Axen der Ellipſe die eben gefundenen Wer-
the a und c geſetzt.

Hätte man alſo Tafeln für elliptiſche Bögen,
aus denen man ſo gleich für eine Ellipſe deren
eine Axe , die andere
ſeyn würde, den der Abſciſſe x entſprechenden Bo-
gen s herausnehmen könnte, ſo würde dieſer den
Werth des Integrals ausdrücken.

Allein dergleichen Tafeln hat man noch nicht,
und daher hilft alſo ein Ausdruck wie Arc. ellipſ.
abſc. x nicht viel zur Ausübung, und man muß
ſich alſo, um den elliptiſchen Bogen zu finden,
mit den unendlichen Reihen begnügen, welche ich
a. a. O. für die Rectification der Ellipſe gegeben
habe, oder man muß den Werth des Bogens
durch die bequemen Annäherungsmethoden, welche
ich a. a. O. §. 61. gegeben habe, zu beſtimmen
ſuchen.

§. 135.
Aufgabe.

d y = a x d x;und zu in-
tegriren.

Aufl. 1. Für die erſte Differenzialformel
d y = a x d x hat man das Integral ſogleich nach
(§. 105. XI.) nemlich
.

2. Um aber das Integral
zu finden, oder vielmehr auf eine bekannte alge-
braiſche oder tranſcendente Ferm zu bringen, hat
man bis jetzt noch kein Mittel gefunden. Das
Integral hängt von einer tranſcendenten Function
ab,
[108]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
ab, welche in einem endlichen Ausdrucke weder
durch Kreisbogen, noch durch Logarithmen, noch
ſonſt in einer bekannten Form hat dargeſtellt wer-
den können. Aber durch eine unendliche Reihe
läßt es ſich auf folgende Art finden.

Nach (§. 74. Beyſp. II. 2.) iſt, das dortige
c = x geſetzt,
ꝛc.
Multiplicirt man nun jedes Glied dieſer Reihe
mit , und integrirt, ſo wird
ꝛc.
eine Reihe deren allgemeines Glied
iſt.

Dieſe Reihe nähert ſich für kleine Werthe
von x ſehr ſchnell, aber für große langſam. Hätte
man Tafeln, welche den Werth dieſer Reihe für
jedes x darſtellten, ſo würde man das Integral
∫
[109]Integralrechnung.
, wie andere tranſcendente Größen z. B.
Arc ſin x; log x; nur ſogleich aus den Tafeln
herausnehmen, und alſo auch andere Integrale,
welche ſich auf bringen ließen, als auf-
gelößt betrachten können. Zum Behuf der Be-
rechnung ſolcher Tafeln, wäre zu wünſchen, daß
man die angeführte Reihe auf eine andere ſich ſtär-
ker nähernde reduciren könnte (M. ſ. hievon noch
weiter unten §§ 145 ꝛc.).

§. 136.
Aufgabe.

Wenn X eine beliebige Function
von x bedeutet, das Integral∫ X a x d x
zu finden.

Aufl. 1. Man ſetze in obige Reductions-
formel (§. 123.) nach der auch
∫ X d Y = X Y — ∫ Y d X iſt
d Y = a x d x alſo
ſo erhält man
∫ X d Y oder .
Wird
[110]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Wird nun d X = P d x geſetzt, ſo iſt
und es wäre demnach die Integration des Diffe-
renzials X a x d x auf die Integration eines andern
ähnlichen P a x d x gebracht, welches letztere viel-
leicht einfacher, als das erſtere ſeyn könnte, und
ſich daher leichter integriren ließe.

2. Man ſetze d P = Q d x, ſo würde nach
einer ähnlichen Reduction
alſo ∫ P a x d x auf ∫ Q a x d x reducirt, welches
vielleicht noch einfacher als ∫ P a x d x ſeyn könnte.

3. Dies gäbe denn durch Subſtitution

4. Setzt man dieſe Reductionen auf die an-
gezeigte Art fort, indem man d Q = R d x,
d R = S d x; d S = T d x ꝛc. ſetzt, ſo erhält man

5. Alſo das Integral ∫ X a x d x auf ∫ T a x d x
reducirt, welches letztere denn nach Beſchaffenheit
der Umſtände leichter als das erſtere integrirt wer-
den könnte.

§. 137.

Zuſ. I. Man ſieht leicht, daß in obigen
Reductionen die Functionen P, Q, R ꝛc. durch
fortgeſetzte Differenziirung der urſprünglichen X ent-
ſtehen. Es iſt nemlich
u. ſ. w.

Zuſ. II. Aus (§. 136. 4.) findet ſich um-
gekehrt
Hier wäre alſo ∫ T a x d x auf ∫ X a x d x reducirt,
wo aber nunmehr S, R, Q, P, Integrale be-
zeichnen, nemlich
S = ∫ T d x; R = ∫ S d x = ∫ d x ∫ T d x
Q = ∫ R d x = ∫ d x ∫ d x ∫ T d x u. ſ. w.
Hat man alſo nur dieſe Integrale in ſeiner Ge-
walt, ſo daß ſie ſich nach den bereits in obigen
Kapiteln vorgetragenen Vorſchriften in endlichen
Formen darſtellen laſſen, ſo kann die angeführte
Re-
[112]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Reduction gleichfalls von Nutzen ſeyn, indem das
Integral ∫ X a x d x vielleicht einfacher als das er-
ſtere ∫ T a x d x ſeyn könnte.

§. 138.
Beyſpiele.

I. ∫ x n a x d xzu finden, wenn n eine
ganze poſitive Zahl iſt.

Hier iſt X = x n; alſo P = n x n — 1; Q =
n (n — 1) x n — 2; R = n (n — 1) (n — 2) x n — 3;
Wenn man dies weiter fortſetzt, ſo wird endlich
∫ x n a x d x auf ∫ o . a x d x d. h. auf ein Integral
= o reducirt, und man hat daher
bis die Reihe abbricht.

Alſo z. B. für n = 3

II.zu finden; (n = einer gan-
zen Zahl) Man ſetze ; Aber wollte
man
[113]Integralrechnung.
man hier die Methode (§. 136. 4.) anwenden,
ſo würde man immer auf ein Integral kommen,
welches zuſammengeſetzter als das vorgegebene ſeyn
würde, indem z. B. T eine höhere Potenz von x
im Nenner enthalten würde, als ſich dergleichen
im Nenner von X vorfindet. Man bedient ſich
alſo in dieſem Falle vortheilhafter der Reduction
(§. 137. Zuſ. II.).

Nemlich man ſetze daſelbſt ; ſo iſt
; Hieraus weiter

Setzt man dieſes weiter fort, ſo wird alſo
∫ T a x d x oder endlich auf re-
ducirt, und man erhält, wenn der Kürze halber
ꝛc.
geſetzt wird,
Höh. Anal.II.Th. H∫
[114]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.

Wollte man weiter auf d. h.
auf ∫ a x d x reduciren, ſo würde man auf einen
in ∫ a x d x zu multiplicirenden unendlich großen
Factor nemlich
kommen, woraus ſich nichts weiter ſchließen läßt,
daher man es bey dem Integrale , für
welches wir oben (§. 135. 2.) einen Ausdruck
durch eine unendliche Reihe angegeben haben, be-
wenden laſſen muß. Denn durch einen endlichen
Ausdruck läßt ſich dieſes Integral nicht darſtellen.

§. 139.

Zuſ. III. Findet man zu einem gewiſſen
Zwecke unendliche Reihen brauchbar, ſo kann
das Integral ∫ X a x d x auch auf folgende Art
gefunden werden. Wegen
u. ſ. w.
Wird
[115]Integralrechnung.
Wird
wo alſo ∫X ax d x durch die Integrale ∫X d x,
∫X x d x ꝛc. beſtimmt wird.

Zuſ.IV. Iſt X eine rationale ganze Fun-
ction von x, ſo wird nach den Vorſchriften (§.
136. ꝛc.) das Integral ∫X ax d x überhaupt we-
nig Schwürigkeit haben. Iſt aber X eine Bruch-
function, oder gar eine irrationale Function, ſo
wird das Integral in den meiſten Fällen ſehr
beſchwerlich und weitläuftig ausfallen. Ich be-
gnüge mich daher, hier bloß einige der einfachſten
und am häufigſten vorkommenden Fälle in Bey-
ſpielen erläutert zu haben.

§. 140.
Aufgabe.

Wenn X eine Funktion von x be-
deutet, das Integral ∫X d x (log x)n zu
finden.

Aufl. 1. Man ſetze X d x = d Y alſo
∫X d x = Y ſo erhält man zufolge der Reductions-
formel (§. 136.) in der man das dortigeX
hier (log x)n bedeuten läßt
H 2∫
[116]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.

2. Man ſetze weiter = d P, oder
= P, ſo iſt auf eben die Art
d. h. ∫d P (l x)n — 1 = (l x)n — 1 P
— (n — 1)
demnach
∫X d x (l x) n = (l x)n Y — n (l x) n — 1 P
+

3. Wenn man nun dieſe Reduction weiter
fortſetzt, nemlich = Q; = R ꝛc.
ſetzt, ſo findet ſich
∫X d x (l x)n = (l x)n Y — n (l x)n — 1 P
+ n (n — 1) (l x)n — 2 Q — ꝛc.
ſo, daß alſo das vorgegebene Integral ∫X d x (l x)n
bloß von den Integralen ∫X d x = Y; = P
∫
[117]Integralrechnung.
= Q u. ſ. w. abhängt, und daher gefun-
den werden kann, wenn nur dieſe letztern Y, P,
Q, in unſerer Gewalt ſtehen.

§. 141.
Beyſpiele.

I. Es ſey X = x m ſo iſt Y = ∫X d x =
∫x m d x = ; = P =
und ſo weiter Q = ; R =
ꝛc. Mithin
∫xm d x (l x) n = x m + 1 (A (l x)n — B (l x)n — 1
+ C (l x) n — 2 ꝛc.)
wenn der Kürze halber
= A; = B; = C ꝛc.
geſetzt wird.

II. Wenn in dieſer Formel m = — 1 iſt,
ſo werden die Integrale Y = ∫x m d x =
∫
[118]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
= P u. ſ. w. ſelbſt logarithmiſch, nemlich
Y = = l x; P =
Q =
daher
u. ſ. w. = (l x)
Nun iſt aber auch geradezu
wie aus der Differen-
ziation erhellet, daher auch
ꝛc.

III. Wäre n verneint, ſo verwandelt ſich
∫X d x (l x)n in . In dieſem Falle wür-
den die Reihen wie I. und (§. 140. 3.) unendlich.
Um das Integral in einem endlichen Ausdrucke
zu erhalten, dient unterweilen folgende Reduction.

§. 142.
Aufgabe.

Das Differenzial zu integri-
ren, wenn X = einer Function vonx.

Aufl. 1. Es iſt = X x
und oder
. Man laſſe
alſo in der Reductionsformel (§. 136.) nemlich
∫X d Y = X Y — ∫Y d X
das X hier die Function X x, und das Y
hier das — bedeuten, ſo er-
hält man die Reduction
wenn man der Kürze halber = P ſetzt.

2. Hier kann man nun auf eine ähnliche Art
auf und ſo weiter
auf ꝛc. reduciren, indem man der Ord-
nung nach = Q; = R ꝛc. ſetzt.
So gelangt man endlich auf ein Integral von der
Form , worin in dem Nenner bloß die
erſte Potenz von l x vorkömmt, und bey welchem
man es bewenden laſſen muß. — Kann ſodann
nur in einer endlichen Form dargeſtellt
werden, ſo iſt hiemit auch gefunden.

§. 143.

Zuſ.I. Für m = o, wäre demnach
= l l x + l x + ꝛc.
Es verſteht ſich, daß zu dieſem Integrale, wie
zu allen bisherigen (§§. 135 — 142.), noch eine con-
ſtante Größe hinzuaddirt werden muß, welche
denn aus den Umſtänden einer Aufgabe, welche
auf ein ſolches Integral geführt hätte, zu beſtim-
men iſt.

Anmerk. Für m = — 1 hat man das In-
tegral = l l x (§. 105. IV.) ohne weitere
Reihe.

§. 144.

Zuſ.II. Da in der (Zuſ. I.) gefundenen
Integralreihe der l l x betrachtet werden kann, als
das Integral ſo wohl von d log (+ l x) als
auch von d log (— l x), indem in beyden Fäl-
len das Differenzial ſeyn würde = + , ſo
iſt klar, daß eigentlich geſetzt werden muß
= log (± l x) + l x + ꝛc. + C.
wo
[124]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
wo denn log (± l x) mit dem untern Zeichen ge-
nommen werden muß, wenn x \< 1 iſt, alſo l x
ſchon für ſich allein negativ ſeyn würde, wodurch
denn — l x zu einer poſitiven Größe wird.

§. 145.
Anmerkung.

I. Das Integral bezeichnet eine trans-
ſcendente Function von x, welche von Herrn
Soldner der Integral-Logarithme von x
genannt wird. Da dies Integral nicht ſelten vor-
kömmt, ſo hat er die verdienſtliche Mühe über-
nommen, Tabellen für dasſelbe zu berechnen, und
ſie in einer Schrift Théorie et Tables d’une
nouvelle fonction tranſcendante (à Munic.
1809.) dem Publicum mitzutheilen. Er bezeich-
net dieſe Function mit l i. x (logarithmus
integralis ipsius x), worin ihm denn auch an-
dere, welche ſich mit dieſer Function beſchäftigt
haben, z. B. Hr. Beſſel (Königsberger
Archiv für Naturwiſſenſchaft und Math.
B. I. Königsb. 1812.) Hr. Butzengeiger in
v. Zachs monatl. Correſp. Sept. 1812. S.
285.) gefolgt ſind. Valberga-Caluſo(Me-
morie
[125]Integralrechnung.
morie di Matematica e di Fisica della societa
Italiana. Tom. XII. P. I. p. 268.) nennt die
Function den Logo-Logarithmen von x,
ſo wie die Function den Logarithmen von x
bezeichnet.

II. Zum Behuf der leichtern Berechnung der
Tafeln für die Integral- oder Logo-Logarithmen,
haben ſich obgedachte Schriftſteller bemüht, mit
obiger Reihe
l i. x = log (± l x) + l x + ꝛc. + C.
noch andere zu verbinden, welche ſchneller ſich nä-
hern, oder auch aus einem bereits berechneten
Integral-Logarithmen leicht einen andern zu fin-
den, gebraucht werden können. Begreiflich kann
hier wieder das Tayloriſche Theorem angewandt
werden.

Man laſſe die φx (§. 72.) hier den Inte-
gral-Logarithmen von x alſo l i. x bedeuten, ſo
hat man
l i (x + c) = l i. x + ꝛc.
Berech-
[126]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
Berechnet man alſo die in c, c2 u. ſ. w. multipli-
cirten Differenzialquotienten, ſo giebt die gefun-
dene Reihe den Integral-Logarithmen von x + c,
wenn derjenige von x gegeben iſt.

III. Weil
d (l i . x) = ; oder
ſo hat man
u. ſ. w.

IV. Hier läßt ſich nun leicht jedes folgende
Differenzial aus dem vorhergehenden ableiten.

Man ſetze allgemein
; ☉
und
; ☽
ſo
[127]Integralrechnung.
ſo findet ſich, wenn man die Reihe ☉ differen-
ziirt und mit der Reihe ☽ vergleicht, durch eine
leichte Rechnung

• A = — (n + 1) A
• B = — (n A + n B)
• C = — (n B + (n — 1) C)
• D = — (n C + (n — 2) D)

u. ſ. w.

V. Um alſo z. B. aus
(III.)
den Ausdruck für zu finden, ſo hat
man für n = 2 vermöge der Rechnung (III.)
A = + 2; B = + 1; C = o, D = o u. ſ. w.
Demnach (IV.)

• A = — 3. A = — 6
• B = — (2 A + 2 B) = — 6
• C = — (2 B + 1 C) = — 2
• D = — (2 C + o D) = o

und ſo alle folgenden Coeffefficienten = o
Daher oder
d
[128]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.

VI. Subſtituirt man alſo dieſe, und ſo alle
folgenden Werthe in den Ausdruck für l i. (x + c)
in (II), ſo ſieht man leicht, daß dieſes li. (x + c)
durch eine deſto ſtärker ſich nähernde Reihe gefun-
den wird, je größer x und je kleiner c iſt. Die
Anwendung auf die Berechnung der Tafeln er-
giebt ſich hieraus von ſelbſt, und würde hier zu
weitläuftig ſeyn. Die von andern angegebenen
Näherungsreihen führen nicht viel ſchneller zum
Zweck.

VII. Zur Berechnung der Tafeln für die
Function l i x oder kann auch die Appro-
ximationsmethode unten im 202ten § nützlich ſeyn.

§. 146.
Anmerkung.

Soll das in (§. 144.) angegebene Integral
für x = o verſchwinden, ſo hat es ſeine Schwie-
rigkeiten, die Conſt. für dieſen Fall zu beſtimmen.
Man ſetze x = , ſo iſt oder
l
[129]Integralrechnung.
+ C.
weil in dieſem Falle das untere Zeichen in (§.
144.) zu nehmen iſt, wodurch log (— l x) = l l u
wird. Soll nun für x = o d. h. für u = ∞
das Integral verſchwinden, ſo erhält man
Conſt. = — l l ∞ + l ∞ — u. ſ. w.
Iſt nun gleich jedes Glied dieſer Reihe unendlich,
ſo können doch alle Glieder zuſammen, wegen der
abwechſelnden Zeichen immer noch einer endlichen
Größe gleich ſeyn, welche zu beſtimmen ein eige-
ner Weg eingeſchlagen werden muß, worüber
man in der oben angeführten Soldneriſchen
Schrift das weitere nachſehen kann. Zur Erläu-
terung vergleiche man hiemit (§. 81.).

Hr. S. findet dieſe Conſt. = o, 5772156.
Daher hat man überhaupt.
l i. x = log (± l x) + l x + …
+ o, 5772156.

§. 147.

Zuſ.III. Da = l i. x, ſo iſt,
wenn man log x = y alſo x = ey mithin d x =
ey d y ſetzt
;
Mithin
= l i. ey
d. h. der Integral-Logarithme von ey, welchen man
alſo aus den Tafeln nehmen kann, wenn y folglich
auch ey als Zahl gegeben iſt. So dienen alſo die
Tafeln für die Integral-Logarithmen auch zur Be-
rechnung derjenigen Integrale, welche von dem
angezeigten abhängig ſind, wie z. B. die
obigen (§. 142. B. I. §. 138. II.).

§. 148.

So hatten wir ferner (§ 142. im dortigen
Beyſpiel no. II.) = l i. ey,
wenn log x = alſo y = (m + 1) log x =
log
[131]Integralrechnung.
log (xm + 1), mithin ey = xm + 1 geſetzt wurde.
Es iſt demnach
= l i. xm + 1
welchem Integral-Logarithmen alſo auch die oben
(§. 142.) für gefundene unendliche Reihe
gleich iſt.

§. 149.
Anmerkung.

Mehrere von Integral-Logarithmen abhängige
Integrale betrachtet Hr. Prof. Beſſel in oben
angeführter Abhandlung. So findet ſich z. B.
durch eine leichte Rechnung
d. h. = dem Integral-Lo-
garithmen von .

§. 150.
Aufgabe.

Das Integral ∫xμxd x zu finden.

Aufl.I. Nach (§. 74. Beyſp. II. 2.) iſt
für jede Zahl u
J 2u
[132]Zweyter Theil. Drittes Kapitel.
u = 1 + log u + ꝛc.

II. Nun ſey u = xμx alſo log u = μx l x
Mithin
xμx = 1 + μx l x + ꝛc.
ſo iſt
∫xμxd x = x + μ ∫x l x d x + ∫x2 (l x)2 d x ꝛc.
Wo denn die einzelnen Integrale ∫x l x d x;
∫x2 (l x)2 d x u. ſ. w. nach (§. 141.) gefunden
werden können, wenn man in die dortige allge-
meine Formel ∫xm d x (l x)n, der Ordnung nach
ſtatt m, n die Zahlen 1, 2, 3, ꝛc. ſetzt.

Zuſ. Dieſelbe Methode führt auch auf das
Integral ∫xν . xμxd x; denn man erhält
∫xν . xμxd x = ∫xνd x + μ ∫xν + 1l x d x
+ ∫xν + 2(l x)2 d x
u. ſ. w. welche einzelne Integrale denn gleichfalls
nach (§. 141.) gefunden werden können.

Mehrere Integrationen von Differenzialen
mit Exponentialgrößen hier auszuführen, würde
eine überflüſſige Arbeit ſeyn, da die bereits an-
geführ-
[133]Integralrechnung.
geführten bey weitem die brauchbarſten ſind, wel-
che in der Ausübung vorkommen, und viel andere
ſich durch geſchickte Subſtitutionen auf die ange-
führten reduciren laſſen.

§. 151.

Zur Grundlage dienen die oben (§. 105.
XIV-XXV.) angeführten Formeln.

Aufgabe.

Das Integral ∫dφſinφmcoſφn zu
finden.

Aufl.I. Wenn man ein Product von der
Form ſinφμcoſφν differenziirt, ſo erhält man
d ſinφμcoſφν = μdφſinφμ — 1coſφν + 1
— νdφſinφμ + 1coſφν — 1
oder ſtatt coſφν + 1 geſetzt coſφν — 1coſφ2 =
coſφν — 1 (1 — ſinφ2);
d ſinφμcoſφν = μdφſinφμ — 1coſφν — 1
— (μ + ν) dφſinφμ + 1coſφν — 1
Wor-
[134]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Woraus die Reduction
∫dφſinφμ + 1coſφν — 1 = — ſinφμcoſφν
+ ∫dφſinφμ — 1coſφν — 1
folgt.

II. Man hätte aber in den anfänglichen Dif-
ferenzial-Ausdruck (I.) auch ſtatt ſinφμ + 1 ſetzen
können ſinφμ — 1ſinφ2 oder ſinφμ — 1 (1 — coſφ2)
ſo würde man auf eine ähnliche Weiſe auch eine
Reductionsformel von der Geſtalt
∫dφſinφμ — 1coſφν + 1 = ſinφμcoſφν
+ ∫dφſinφμ — 1coſφν— 1
erhalten.

III. Man ſetze nun in die erſte Reductions-
Formel μ + 1 = m;ν — 1 = n. Sodann in die
zweyte μ — 1 = m;ν + 1 = n, ſo erhält man
in (I.) die Reduction
∫dφſinφmcoſφn = —
∫dφſinφm — 2coſφn (☽)
Und
[135]Integralrechnung.
Und in (II.)
(☉)

IV. In dieſen Formeln ſetze man nun und
zwar in die erſte m — 2 ſtatt m, in die zweyte
n — 2 ſtatt n, ſo können die Integraltheile rech-
ter Hand des Gleichheitszeichens auf eine ähnliche
Weiſe ferner auf
∫dφſinφm—4coſφn und ∫dφſinφmcoſφn — 4
ſodann dieſe auf eine ähnliche Art wieder auf
∫dφſinφm — 6coſφn und ∫dφſinφmcoſφn — 6
gebracht werden, durch welche Fortſetzung der
Rechnung denn endlich das vorgegebene Integral
entweder auf ∫dφcoſφn oder ∫dφſinφm oder
auf ∫dφſinφcoſφn oder auf ∫dφſinφmcoſφ
reducirt wird, deren beyde letztere ohne weitere
Rechnung integrabel ſind, nemlich
∫dφſinφcoſφn = — coſφn + 1 + C.
∫dφcoſφſinφm = ſinφm + 1 + Conſt.
Die erſtern dagegen laſſen ſich durch fortgeſetzte
Reductionen zuletzt auf ∫dφ = φ + Conſt. oder
auf
[136]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
auf ∫dφcoſφ = ſinφ + C; ∫dφſinφ =
— coſφ + Conſt. reduciren, wie aus folgender
Rechnung ſich ergiebt.

§. 152.
Anmerkung.

1. Bekanntlich kann jede Potenz eines Si-
nus oder Coſinus in eine endliche Reihe von Si-
nuſſen oder Coſinuſſen vielfacher Winkel verwan-
delt werden z. B.
coſφn = αcoſ nφ + βcoſ (n — 2)φ + γcoſ (n — 4)φ
u. ſ. w. wo n jede gerade oder ungerade Zahl be-
deuten kann. Sodann
ſinφm = α'coſ mφ + β'coſ (m — 2)φ + γ'coſ (m — 4)φ
u. ſ. w. wenn m gerade iſt, und
ſinφm = α''ſin mφ + β''ſin (m — 2)φ + γ''ſin (m — 4)φ
u. ſ. w. wenn m ungerade iſt.

2. Das Geſetz der Coefficienten α, β, α',
β' ꝛc. kann man in Klügels analytiſcher
Trigonometrie §. XXXV ꝛc. und ähnlichen
Schriften nachſehen.

3. Ein Produkt wie ſinφmcoſφn wird ſich
alſo durch lauter Partialproducte von der Form
coſ aφcoſ bφ oder coſ aφſin bφ, mithin das
Differenzial dφſinφmcoſφn in lauter Differen-
ziale von der Form dφcoſ aφcoſ bφ oder
dφcoſ aφſin bφ zerlegen laſſen, deren Integrale
ſich ohne Schwürigkeit finden laſſen. Denn z. B.
wegen
coſ aφcoſ bφ = ½ coſ (a + b)φ + ½ coſ (a — b)φ
iſt
∫dφcoſ aφcoſ bφ = ½ ∫dφcoſ (a + b)φ
+ ½ ∫dφcoſ (a — b)φ
und
u. ſ. w. Daher dieſe Integrationsmethode durch
vielfache Winkel, der obigen (§. 151.) wohl noch
vorzuziehen ſeyn mögte.

Beyſpiel. ∫dφcoſφ3ſinφ2 zu finden.

Es iſt coſφ3 = ¼ coſ 3 φ + ¾ coſφ
ſinφ2 = 1 — coſφ2 = — ½ coſ 2 φ + ½
Alſo
[141]Integralrechnung.
Alſo beyde Ausdrücke in einander multiplicirt,
coſφ3ſinφ2 = — ⅛ coſ 3 φcoſ 2 φ — ⅜ coſ 2 φcoſφ
+ ⅛ coſ 3 φ + ⅜ coſφ
Demnach
∫dφcoſφ3ſinφ2 = — ⅛ ∫dφcoſ 3 φcoſ 2 φ
— ⅜ ∫dφcoſ 2 φcoſφ
+ ⅛ ∫dφcoſ 3 φ
+ ⅜ ∫dφcoſφ
welche Partial-Integrale denn leicht nach obiger
Vorſchrift gefunden werden können. Z. B. für
∫dφcoſ 3 φcoſ 2 φ iſt obiges a = 3, b = 2
Daher
∫dφcoſ 3 φcoſ 2 φ = ½ . ⅕ ſin 5 φ + ½ . ſinφ
Beſondere Fälle dieſer Integrationsmethode ſ. m.
in obigen IntegraltafelnTab. V. S. 266 u. f.

§. 153.
Aufgabe.

Die Integrale;
zu finden.

Aufl. I. Man ſetze in die Reductionsfor-
mel ☉ (§. 151 III.) n negativ, ſo erhält man
∫
[142]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Und nun n — 2 ſtatt n geſetzt
Woraus die Reduction
folgt, in welcher das Integral rechter Hand des
Gleichheitszeichens, im Nenner eine Potenz von
coſφ enthält, welche um zwey Grade niedriger
iſt, als in dem Integrale linker Hand des Gleich-
heitszeichens.

II. Ferner ſetze man in die Reductionsfor-
mel ☽ (§. 151. III.) m negativ, und verfahre
auf eine ähnliche Art wie in (I.), ſo erhält man
die Reduction
∫
[143]Integralrechnung.
wo jetzt in dem Integrale rechter Hand des Gleich-
heitszeichens, im Nenner eine Potenz vom ſinφ
um zwey Grade niedriger vorkömmt.

III. Es erhellet hieraus, daß obige Inte-
grale durch fortgeſetzte Reductionen ſich endlich auf
∫dφſinφm oder auf ∫dφcoſφn, oder falls m
und n ungerade ſind, auf ;
werden reduciren laſſen. Die erſtern ſind nach
(§. 151. V.) und die letztern auf folgende Art
zu finden.

IV. Man ſetze in obige Reductionsformel
(§. 151. III. ☽) n = — 1, ſo hat man
Aus welcher Formel alſo erhellet, daß durch
Fortſetzung dieſer Arbeit, ſich endlich
auf = ∫dφtangφ = log ſecφ (§. 105.
XXI.)
[144]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
XXI.) oder auf = log tang (45° + ½ φ)
(§. 105. XXII.) = — log tang (45° — ½ φ)
wird reduciren laſſen.

V. Setzt man dagegen in (§. 151. III. ☉)
m negativ = — 1 ſo wird
welche Integration alſo endlich auf =
log tang ½ φ (§. 105. XXII. das dortige φ = ½ ψ
geſetzt) oder auf = ∫dφcotφ =
log ſinφ zurückgebracht wird. Einzelne Fälle des
bisherigen ſ. m. in obigen Integraltafeln.

§. 154.
Aufgabe.

Das Integral zu fin-
den.

Aufl. I. Man ſetze (§. 153. I.) das dortige
m negativ, ſo ergiebt ſich ſogleich
∫
[145]Integralrechnung.

II. Oder auch daſelbſt (II.) n negativ geſetzt

III. Woraus denn erhellet, daß durch Fort-
ſetzung dieſer Reductionen, das vorgegebene In-
tegral ſich endlich auf
= log tang ½ φ (§. 153. V.) oder
auf = log tang (45° + ½ φ) oder
auf = log tangφ
wird bringen laſſen. (Beyſpiele in den angeführ-
ten Integraltafeln).

§. 155.

Zuſ. I. Ferner hat man nach dieſen For-
meln die Reductionen für die einzeln Fälle
Höh. Anal.II.Th. K∫
[146]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
aus (§. 154. II.) wenn n = o geſetzt wird. Und
aus (§. 154. I.) wenn man das dortige m = o
ſetzt.

§. 156.

Zuſ. II. Iſt in der erſten von dieſen bey-
den Formeln (§. 155.) m = 1, ſo bedarf es kei-
ner weitern Reduction, indem ſogleich aus
(§. 154. III.) bekannt iſt. Eben ſo iſt auch in
der zweyten (§. 155.) für n = 1 ſogleich auch
aus (§. 154. III.) bekannt.

§. 157.
Anmerkung.

Die Reductionsformeln für ∫dφſinφmcoſφn,
wie auch m und n bejaht oder verneint, ganze
oder gebrochene Zahlen ſeyn mögen, laſſen ſich
auch aus denen (§. 119. XI.) ableiten.

Man ſetze ſinφ = x; ſo iſt d x = dφcoſφ;
√ (1 — x2) oder (1 — x2)½ = coſφ alſo
∫dφſinφmcoſφn oder ∫dφcoſφſinφmcoſφn—1 =
∫d x . xm . (1 — x2) welches Differenzial unter
der obigen Form (§. 119.) enthalten iſt, wenn man
ſtatt des dortigen m ſetzt m + 1
‒ ‒ ‒ a ‒ 1
‒ ‒ ‒ b ‒ — 1
‒ ‒ ‒ n ‒ 2
‒ ‒ ‒ p ‒
Wird daher in obige Reductionsformeln d x =
dφcoſφ; z = a + b xn = 1 — x2 = coſφ2; x =
ſinφ, und ſtatt m, a, b, n, p die angezeigten
Werthe geſetzt, ſo erhält man 6 Reductionsfor-
meln für ∫dφſinφmcoſφn von denen wir bis-
her nur viere zu unſerem Zwecke gebraucht haben.

Dieſe 6 Reductionsformeln hat Hr. Meier
Hirſch in ſeinen Integraltafeln. S. 261.

§. 158.
Aufgabe.

Das Integral zu fin-
den.

Aufl. Man ſetze a + b coſφ = x, ſo iſt
— b dφſinφ = d x; und wegen ſinφ =
,
das Differenzial
Mithin
Woraus denn erhellet, daß das vorgegebene In-
tegral auf die Integrationsregeln der Aufgabe (§.
129.) zurückgeführt iſt, und alſo jedesmahl, wenn
n eine ganze Zahl iſt, durch einen endlichen Aus-
druck dargeſtellt werden kann. Das weitere De-
tail führt aber auf ſehr zuſammengeſetzte Aus-
drücke, und würde hier zu weitläuftig zu entwik-
keln ſeyn.

§. 159.
Anmerkung.

Eine noch allgemeinere Formel als die vorher-
gehende wäre ; oder auch
;
u. d. gl.

Alle dieſe laſſen ſich auch durch folgende Sub-
ſtitution in Ausdrücke verwandeln, welche ſich
nach den bereits bekannten Vorſchriften integriren
laſſen.

Man ſetze ſinφ = alſo coſφ =
; tang ½ φ = y.
So wird erſtlich
d
[152]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Ein Ausdruck, welcher ohne Mühe nach (§. 109.
10) integrirt werden kann. Da nun aber auch
ſinφn = ; coſφn = ra-
rionale algebraiſche Funktionen von y ſind, ſo
ſind alſo auch z. B.
u. d. gl. auf Differen-
ziale gebracht, deren Integration, wenn ſie in
der Ausübung vorkommen ſollte, ſich nach den
bereits erklärten Regeln, bewerkſtelligen läßt,
wobey denn m, n nach Gefallen bejaht oder ver-
neint ſeyn können. Sind m und n keine ganze
Zahlen, ſondern Brüche, ſo ſind dergleichen
Differenziale durch die angeführten Subſtitu-
tionen doch wenigſtens auf algebraiſche Formen
reducirt.

Verſchiedene einzelne Fälle, unter andern auch
nach Reductionsmethoden entwickelt, kann man in
Euler’sInstitut Calc. Integr. in den bereits
öfter angeführten Integraltafeln u. d. gl. nachſchla-
gen. Anwendungen von Integralen dieſer Art
kommen in der Aſtronomie häufig vor. Man
kann
[153]Integralrechnung.
kann ſie auch durch Sinuſſe und Coſinuſſe viel-
facher Winkel, wie z. B. die obigen (§. 152.)
ausdrücken, wovon aber die Ausführung hier zu
weitläuftig ſeyn würde.

§. 160.
Aufgabe.

Die Integrale∫X d x Arc ſin x; ∫X d x
Arc coſ x u. d. gl zu finden, wenn X nach
Gefallen eine algebraiſche Function von
x bedeutet.

Aufl. I. Man ſetze ∫X d x = Y; ſo iſt
Y ein Integral, welches nach den vorhergehenden
Regeln (Kap. I. II.) als bekannt angeſehen wer-
den kann.

II. Alſo ∫X d x Arc ſin x = ∫d Y Arc ſin x,
und wegen d Arc ſin x = , nach be-
reits oft angewandten Reductionsformen
∫X d x Arc ſin x = Y Arc ſin x —
läßt ſich alſo das reducirte Differenzial
integriren, ſo iſt auch das in der Aufgabe vor-
gegebene gefunden.

III. Auf eine ähnliche Weiſe wird auch
∫X d x Arc coſ x = Y Arc coſ x +
∫X d x Arc tang x = Y[A]tang x —
u. ſ. w. gefunden.

M. ſ. Hirſch Integraltafeln, nebſt mehre-
ren einzeln Fällen S. 289.

§. 161.
Aufgabe.

Das Integral∫ φndφſinφ oder ∫ φndφcoſφ
u. d. gl. zu finden.

Aufl. I. Man ſetze ∫dφſinφ = — coſφ = Y,
ſo iſt ∫ φndφſinφ = ∫ φnd Y = φnY —
n∫Yφn—1dφ, nach (§. 136.) das dortige
X = φn geſetzt.
Alſo
∫ φndφſinφ = — φncoſφ + n∫ φn—1dφcoſφ
Und nun weiter wegen ∫dφcoſφ = ſinφ nach
einer ähnlichen Reductionsart
∫ φn—1dφcoſφ = φn—1ſinφ — (n — 1) ∫ φn—2dφſinφ
Daher
[155]Integralrechnung.
Daher
∫ φn dφſinφ = — φn coſφ + nφn — 1 ſinφ
— n (n — 1)∫ φn—2 dφſinφ

II. Auf eine völlige ähnliche Weiſe wird
∫ φn dφcoſφ = φn ſinφ + nφn — 1 coſφ
— n (n — 1)∫ φn — 2 dφcoſφ
gefunden, woraus demnach erhellet, daß die vor-
gegebenen Integrale ſich endlich auf ∫ φo dφcoſφ
= ſinφ; oder ∫ φdφcoſφ = φſinφ + coſφ,
oder auf ∫ φo dφſinφ = — coſφ; oder auf
∫ φdφſinφ = — φcoſφ + ſinφ reduciren laſſen.

III. Für ∫ φn dφtangφ läßt ſich kein end-
licher Ausdruck darſtellen. Aber durch eine un-
endliche Reihe läßt ſich das Integral leicht fin-
den, wenn man tangφ auf die bekannte Art
durch den Bogen φ ausdrückt, wofür man die
Reihe φ + Aφ3 + Bφ5 ꝛc. hat, deren Coef-
fieienten A, B ꝛc. man in Klügels anal. Trigo-
nometrie (5. Kap. I. 110.) nachſehen kann.
Wird nun jedes Glied dieſer Reihe mit φn dφ
multiplicirt und integrirt, ſo erhält man
∫ φn dφtangφ ꝛc.
Man kann für ∫ φn dφtangφ auch noch andere
Rei-
[156]Zweyter Theil. Viertes Kapitel.
Reihen finden, ich will es aber bey der angezeig-
ten bewenden laſſen.

IV. Setzt man in (I.) und (II.) n negativ,
ſo erhält man (I.)
alſo
Oder wenn man jetzt ſtatt n ſetzt n — 2

Auf eine ähnliche Weiſe wird auch in (II.)
auf reducirt, woraus denn
erhellet, daß durch fortgeſetzte Reductionen die
Integrale ; ſich zuletzt auf
; , oder wenn n eine ge-
rade
[157]Integralrechnung.
rade Zahl und \> 2 iſt, auf ;
werden bringen laſſen. Aber dieſe
letztern vier einfachen Integrale laſſen ſich in kei-
ner endlichen Form darſtellen, und hängen von
transſcendentiſchen Functionen ab, für welche
bis jetzt noch keine Tafeln wie für die Logarith-
men und trigonometriſchen Functionen berechnet
ſind.

Drückt man aber z. B. ſinφ durch die un-
endliche Reihe
u. ſ. w. aus, ſo erhält man leicht
u. ſ. w., welcher Ausdruck auch durch unmögliche
Integral-Logarithmen dargeſtellt werden kann,
wenn man ſin ſetzt,
indem man nach einer leichten Rechnung erhält
unter welcher Form aber das Integral von keinem
Nutzen iſt.