1

DJeArithmeticoder Rechenkunſt
iſt eine Wiſſenſchaft, welche uns
die Natur und die Eigenſchaf-
ten der Zahlen lehret, und zugleich
einige Regeln an die Hand
giebt, vermittelſt welcher man die meiſten in
dem gemeinen Leben vorkommenden Auf-
gaben ausrechnen oder aufloͤſen kan.

Die Arithmetic oder Rechenkunſt, welche
allhier ſoll abgehandelt werden, iſt ein Theil der
Mathematic; weswegen zu groͤſſerer Erlaͤute-
rung dienen wird, mit wenigem zu beruͤhren,
worinn dieſe Wiſſenſchaft beſtehet. Die Mathe-
matic iſt demnach eine Wiſſenſchaft, welche leh-
ret, wie man aus bekannten Groͤſſen andere, ſo
Anoch
[2]
noch nicht bekannt ſind, finden ſoll. Dasjenige
nun, davon in der Mathematic gehandelt wird,
iſt alles dasjenige, davon die Groͤſſe entweder be-
kannt iſt oder geſuchet wird. Wenn man auch
alle Theile der Mathematic betrachtet, ſo wird
man befinden, daß die Sache immer dahin ge-
he, wie eine unbekannte Groͤſſe aus anderen
ſchon bekannten Groͤſſen ſoll gefunden werden.
Die verſchiedenen Theile der Mathematic aber
entſtehen von den verſchiedenen Gattungen der
Groͤſſen, in dem einjeder nur eine beſondere Art
derſelben betrachtet. Eine beſondere Art der
Groͤſſe ſind nun die Zahlen und die Arithmetic
derjenige Theil der Mathematic, welcher mit den
Zahlen umgeht. Man kan demnach auch ſagen,
daß die Arithmetic eine Wiſſenſchaft ſey, wel-
che lehret, wie man aus bekannten oder gegebenen
Zahlen eine noch unbekannte Zahl finden ſoll; wie
wir dann ſehen, daß in allen Arithmetiſchen O-
perationen allezeit eine Zahl gefunden wird, die
vorher unbekannt geweſen. Wie aber die Arith-
metic insgemein pflegt tractirt zu werden, ſo
begreifft dieſel be noch mehr Operationen und
Regeln in ſich, als bloß aus der Natur und Be-
chaffenheit der Zahlen koͤnnen hergeleitet werden.
Man pflegt neh mlich mit der eigentlichen Arith-
metic noch einige Regeln, welche in der allge-
meinen Analyſi oder Algebra ihren Grund haben,
zu vereinigen, damit ein Menſch, welcher die-
ſelbe erlernet, auch im Stande ſey, die meiſten
Auf-
[3]
Aufgaben, ſo in dem gemeinen Leben vorzufallen
pflegen, aufzuloͤſen, ohne in der Algebra geuͤbet
zu ſeyn. Ob demnach gleich dieſe Regeln zu der
Wiſſenſchaft der Zahlen nicht gehoͤren, ſo iſt um
angefuͤhrter Urſache willen dennoch noͤthig dieſel-
ben damit vereinigt zu behalten. Und deswegen
haben wir im Anfang vorausgeſetzet, daß die A-
rithmetic auſſer der Betrachtung der Zahlen,
einige Regeln an die Hand gebe, wodurch die
meiſten in dem gewoͤhnlichen Handel und Wan-
del vorfallenden Rechnungen koͤnnen bewerckſtel-
liget werden.

2)

DieArithmeticwird allſo am fuͤglich-
ſten in zwey Theile getheilet, davon der er-
ſte alles dasjenige in ſich begreifft was bloß
allein in der Natur der Zahlen gegruͤndet
iſt. Der andere Theil aber enthaͤlt diejeni-
gen Regeln, welche bey den meiſten Faͤllen,
ſo in dem gemeinen Leben vorkommen, mit
Nutzen angebracht werden koͤnnen.

Der erſte Theil iſt wie ſchon gemeldt die
Arithmetic an und fuͤr ſich ſelbſt, als deſſen
Grund allein aus der Natur und Eigenſchaften
der Zahlen flieſſet. Und dahin gehoͤren die ſo
genannten Species theils mit gantzen, theils mit
gebrochenen Zahlen, indem dieſelben gantz und
gar auf der Natur der Zahlen beruhen. Ob aber
gleich dieſe Specie; oder Operationen in allen
Rechnungen Platz finden, und auch die ſchwehre-
ſten Rechnungen durch dieſe Operationen gantz
A 2allein
[4]
allein ausgefuͤhret werden; ſo ſind dieſelben den-
noch nur als der Werckzeug anzuſehen, dadurch
dergleichen Rechnungen bewerckſtelliget werden.
Hingegen iſt in ſolchen Faͤllen das fuͤhrnehm-
ſte, daß man wiſſe, welcher Operationen man
ſich bey einer jeglichen Gelegenheit bedienen muͤſ-
ſe, damit das Verlangte gefunden werde. Es
iſt nehmlich nicht genug die gedachten Arithme-
tiſchen Operationen zu verſtehen, ſondern man
muß fuͤr einen jeglichen Fall eine Regel wiſſen,
welche lehret was fuͤr Operationen gebraucht wer-
den muͤſſen, um dasjenige, was zu wiſſen verlangt
wird, zu finden. Dieſe Regeln haben nun ihren
Grund nicht in der Arithmetic; ſondern ſind
aus der allgemeinen Analyſi oder Algebra gelehnet;
Als wofuͤr eine jede Art von Aufgaben aus den
Umſtaͤnden ſonderbare Regeln hergeleitet werden,
durch welcher Huͤlfe man zu richtiger Aufloͤſung
gelangen kan. Es werden demnach aus der Al-
gebra ſo viel und ſolche Regeln in die Rechenkunſt
angenommen, als zu den gewoͤhnlichen Vorfaͤl-
len auszurechnen noͤthig ſind. Solchergeſtalt ſind
in die Arithmetic aufgenommen worden, die Re-
gula Detri Regula Quinque, Regula Aliga-
tionis, Regula Falſi etc. als ohne welche ein
Rechenmeiſter, welcher in der Algebra nicht ge-
uͤbet iſt, ſchwehrlich fortkommen kan.

3)

Wenn viel Stuͤcke von einer Artvor-
handen ſind, ſo wird dieſe Vielheit durch
eine Zahl angedeutet. Und deswegen ver-
ſtehet
[5]
ſtehet man durch eine Zahl, von wieviel
Stuͤcken die Rede iſt.

Da in dem erſten Theile der Rechenkunſt die
Natur der Zahlen ſoll unterſuchet, und daraus
diejenigen Operationen hergeleitet werden, wel-
che zu Vollziehung der im zweyten Theile vor-
kommenden Regeln noͤthig ſind; ſo muß man ſich
vor allen Dingen einen deutlichen Begriff von
den Zahlen zu wege bringen. Dieſes geſchieht
nun am fuͤglichſten durch Betrachtung desjenigen
welches eins genennet wird; indem eine Zahl an-
deutet, wieviel Stuͤcke von derſelben Sorte vor-
handen ſeyen. Als wenn man zum Exempel von
hundert Rubeln ſprechen hoͤret, ſo verſtehet man,
daß von demjenigen Ding, welches Rubel ge-
nennet wird, hundert Stuͤcke benennet werden;
oder die Zahl hundert zeiget an, von wieviel
Stuͤcken, deren einjedes ein Rubel iſt, die Rede
ſey. Was aber die Groͤſſe der Zahlen betrifft,
ſo wird hier vorausgeſetzet, daß derjenige, welcher
die Arithmetic zu lernen geſinnet iſt, von der
Groͤſſe einer jeden Zahl einen Begriff habe, und
die Worte wiſſe, damit die Zahlen benennet wer-
den. Hiezu iſt aber hinlaͤnglich nur immer die Zahl
benennen zu koͤnnen, welche herauskommt, wenn
zu einer gegebenen Zahl noch eins hinzugeſetzet
wird. Dann auf dieſe Art wird ein Menſch mit
Zehlen ſo weit fortfahren koͤnnen, als man ver-
langt; und wird dabey von der Menge der
Stuͤcken, welche eine jede Zahl andeutet, einen
deutlichen Begriff erhalten.

4)

Alle Zahlen, wie groß ſie auch ſind’
pflegen auf eine ſehr kurtze und bequeme
Art durch nachfolgende zehenCharacteresoder
Zeichen ausgedrucket zu werden: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9. Davon die Bedeutung ei-
nes jeden wenn derſelbe fuͤr ſich allein be-
trachtet wird, genugſam bekannt iſt, und
allſo keiner weiteren Erklaͤrung bedarf.

Zu den Arithmeriſchen Operationen iſt nicht
genug eine jede Zahl mit ihrem gehoͤrigen Nah-
men entweder zu nennen oder zu ſchreiben; ſon-
dern es wird zu Erleichterung derſelben Operatio-
nen erfordert, daß die Zahlen durch beſondere
und bequeme Zeichen oder Characteres angedeu-
tet werden. Dieſes kan nun auf vielerley Arten
geſchehen, davon die leichteſte und einfaͤltigſte
iſt, wenn ſo viel Punckten oder Striche hinter-
einander geſetzet werden, als die Zahl bedeutet:
als wenn zum Exempel acht auf dieſe Art ge-
ſchrieben wird 11111111. Dieſe Art aber iſt,
wenn die Zahlen ſehr groß ſind, einer groſſen
Weitlaͤuffigkeit und Undeutlichkeit unterworffen;
indem erſtlich lange Zeit und ein groſſer Raum
eine groſſe Zahl zu ſchreiben erfordert, und her-
nach auch, wenn eine ſolche Zahl geſchrieben,
ſehr ſchwehr fallen wuͤrde, die Zahl zu erkennen.
Nach der Roͤmiſchen Schreibart wird zwar dieſe
Weitlaͤuffigkeit und Undeutlichkeit etwas verrin-
gert, indem anſtatt fuͤnf Strichen dieſes Zeichen
V. anſtatt zehen dieſes Zeichen X. und ſo fort
ge-
[7]
geſchrieben wird; allein da dieſe Art gleichwohl
fuͤr groſſe Zahlen noch ziemlich weitlaͤuffig und
undeutlich, dabey auch nicht durch feſte Regeln
genugſam eingeſchraͤncket iſt, ſo iſt dieſelbe nicht
bequem die Arithmetiſchen Operationen darnach
einzurichten. Noch mehr Schwierigkeiten ſind
diejenigen Arten die Zahleu zu ſchreiben unter-
worfen, in welchen die Buchſtaben des Alpha-
bets zu Bedeutung der Zahlen gebraucht wer-
den; gleichwie vormahls bey den meiſten Voͤl-
ckern geſchehen. Vor dieſen Arten hat nun die
anjetzo faſt allenthalben gebraͤuchliche Art die
Zahlen durch Huͤlffe der zehen angefuͤhrten Zei-
chen zu ſchreiben, einen ſehr groſſen Vorzug, wie
mit mehrerem aus folgendem zu erſehen.

5)

Bey dieſer Schreibart der Zahlen be-
halten die obigen zehen Zeichen nicht allzeit
einerley Bedeutung: ſondern um den wahren
Werth eines jedenCharacterszu finden, muß
man auf die Stelle deſſelben Acht geben.
Als auf der erſten Stelle von der Rechten
gegen der Lincken behaͤlt derCharacterſeine
natuͤrliche Bedeutung, als wenn er vor ſich
allein geſetzet waͤre. Auf der zweyten Stel-
le bedeutet einCharacterzehenmahl mehr als
wenn er allein ſtuͤnde. Auf der dritten Stelle
bedeutet einCharacterhundertmahl mehr:
auf der vierten, tauſendmahl mehr und ſo
fort immer zehenmahl mehr auf der folgen-
den Stelle, als auf der vorhergehenden.

Hiebey iſt nun zu mercken, daß das Zeichen
o auf allen Stellen nichts bedeutet, weilen ze-
henmahl nichts und hundertmahl nichts und ſo
fort allzeit nichts ausmacht. Wie aber die
Vermehrung der Bedeutung der uͤbrigen Zeichen
nach den Stellen beſchaffen ſey, ſo iſt zu mercken
daß der Werth eines jeglichen Characters zehen-
mahl groͤſſer ſey, als auf der vorhergehenden
Stelle nach der rechten Hand. Und deswegen
hat man ſich nachfolgende Tabell noͤthtig wohl
bekannt zu machen.

• Zehenmahl eins macht zehen
• Zehenmahl zehen ‒ ‒ hundert
• Zehenmahl hundert ‒ ‒ tauſend
• Zehenmahl tauſend ‒ ‒ zehen tauſend
• Zehenmahl zehen tauſend ‒ ‒ hundert tauſend
• Zehenmahl hundert tauſend ‒ ‒ tauſendmahl
  tauſend oder eine Million
• Tauſendmahl tauſend Millionen macht eine Bil-
  lion
• Tauſendmahl tauſend Billionen ‒ ‒ eine Tril-
  lion

und ſo weiter.

Aus dieſer Tabell bekommt man allſo einen
Begriff von den Zahlen zehen, hundert, tauſend
und ſo fort; indem man daraus ſieht wieviel Stuͤ-
cke eine jede Zahl vorſtellt. Hieraus kan man
aber ferner abnehmen, wieviel einjeder Character
von den obgedachten zehen in einer jeden Stelle
bedeute. Nehmlich in der erſten Stelle von
der
[9]
der rechten gegen der lincken Hand bedeutet
wie folget:

Hieraus erhellt, daß die Bedeutung der Cha-
racteren auf der ſiebenten Stelle aͤhnlich ſey der
Bedeutung auf der erſten Stelle, indem bey
der Siebenten nur das Wort Millionen zugeſe-
tzet wird. Gleichergeſtalt wird man die Bedeu-
tung auf der achten Stelle haben, wenn man
bey der zweyten Stelle das Wort Millionen hin-
zuſetzet; und auf eben dieſe Art entſpringt die
neunte Stelle aus der dritten, die zehnte aus der
vierten, nnd ſo weiter bis auf die dreyzehnte und
folgenden, welche wieder aus der erſten und fol-
genden durch Beyſetzung des Worts Billionen
formirt werden. Endlich bedeuten die Characteres
auf der neunzehnten Stelle Trillionen, die auf
der fuͤnf und zwanzigſten Quadrillionen und ſo
fort; woraus zugleich die Benennung der mittle-
ren Stellen erhellet. Solchergeſtalt bedeutet in
die-
[11]
dieſen Zahl 7 3 0 2 5 6 8 der Character

• 8 auf der erſten Stelle ‒ acht
• 6 auf der zweyten Stelle ‒ ſechzig
• 5 auf der dritten Stelle ‒ fuͤnf hundert
• 2 auf der vierten Stelle ‒ zwey tauſend
• 0 auf der fuͤnften Stelle ‒ nichts
• 3 auf der ſechſten Stelle ‒ drey hundert tauſend
• 7 auf der ſiebenten Stelle ‒ ſieben Millionen.

Woraus allſo der Werth oder die Bedeutung
eines jeglichen Characters in einer auf dieſer Art
geſchriebenen Zahl erkannt wird.

6)

Die Groͤſſe einer Zahl, welche durch
viel hintereinander geſetzteCharacteresaus-
gedrucket wird, findet man, wenn man die
Bedeutungen allerCharacterszuſammen ſe-
tzet. Wobey die Gewohnheit mit ſich
bringt, in Benennung derſelben von der Lin-
cken zu der Rechten fortzugehen.

Gleichwie dieſe Schreibart der Zahlen will-
vuͤhrlich iſt, allſo beruhet auch die Ordnung, nach
welcher die Zahlen ausgeſprochen werden, auf der
Gewohnheit. Wir gehen aber in Benennung
der Characters deswegen hauptſaͤchlich von der
Lincken zu der Rechten, dieweilen auf dieſe Art
faſt eben der Nahme, welchen eine jegliche Zahl
in unſerer Sprache fuͤhret, herauskommt. Die-
ſemnach wurde die obige Zahl 7302568 ſo viel
ausmachen wie folgt: Sieben Millionen, drey
hundert tauſend und zwey tauſend und fuͤnf hun-
dert und ſechzig und acht. Nach der Eigenſchaft
un-
[12]
unſerer Sprache aber wird dieſe Zahl allſo aus-
geſprochen: Sieben Millionen, drey hundert
und zwey tauſend, fuͤnf hundert und acht und
ſechzig; welche Art von der vorigen nur darinn
unterſchieden iſt, daß da oben tauſend zweymahl
nach einander vorkommt, hier nur das letztere
Mahl geſetzet wird, indem es auf dieſe Art geſetzet
auch zugleich zu dem vorhergehenden gehoͤret. Uber
das ſagt man anſtatt ſechzig und acht, acht und
ſechzig: Aus welchem allen erhellet, daß dieſe
Art die Zahlen zu ſchreiben mit der gewoͤhnlichen
Art die Zahlen mit Worten auszuſprechen ſehr
genau uͤbereinkomme, indem uns eine jegliche
Zahl bey nahe die gewoͤhnlichen Worte, und das
in eben der Ordnung in den Mund legt: Wel-
che Gemeinſchaft faſt in allen Sprachen, in ei-
ner aber mehr als in der anderen beobachtet
wird.

7)

Um eine jegliche auf dieſe Art beſchrie-
bene Zahl, aus wievielCharacteren dieſelbe
auch immer beſtehet, mit den gehoͤrigen
Worten auszuſprechen, hat man nur noͤthig zu
wiſſen, |wie diejenigen Zahlen, welche nur aus
dreyenCharacteren beſtehen ausgeſprochen
werden; dieſes geſchieht nun indem man den
erſtenCharactergegen die lincke Hand mit ſei-
nem natuͤrlichen Nahmen nennet und dazu das
Wort hundert ſetzet; hierauf nennet man
in der Teutſchen Sprache den erſtenCha-
ractergegen der Rechten, und ſetzet dazu
den
[13]
den Nahmen des Mittleren, welchen er
in der zweyten Stelle, wie oben geſetzet,
erhaͤlt.

Wenn die Zahl nur aus zweyen Characteren
beſtehet, oder der erſte gegen der lincken Hand 0
iſt, ſo werden nur die zwey letzteren ausgeſpro-
chen; dann dieſer Character 0, welcher nichts
bedeutet, wird niemahls ausgeſprochen. Jn der
Teutſchen Sprache iſt nur einige Schwierigkeit,
eine Zahl, ſo aus zweyen Characteren beſtehet
auszuſprechen, indem die letztere gegen der rechten
Hand zu erſt genennet wird. Jſt aber dieſer
Character ein 0 ſo wird nur der erſte gegen der
lincken Hand mit dem Nahmen, welchen er in
der zweyten Stelle hat benennet. Alſo iſt 10 ze-
hen: 20 zwantzig; 30 dreyßig und ſo fort. Wei-
ter iſt 11 eilf oder eins und zehen; 12 zwoͤlf oder
zwey und zehen; 13 dreyzehen; 14 vierzehen und
ſo fort bis auf zwantzig. Von zwantzig aber bis
auf hundert geht die Benennung nach der ge-
gebenen Regel, nehmlich 27 heiſſet ſieben und
zwantzig; 56 heiſſet ſechs und fuͤnfzig; 89 heiſſet
neun und achtzig und ſo fort. Hat man nun die
Ausſprechung zweyer Character begriffen, ſo iſt
ſehr leicht alle Zahlen, welche mit drey Chara-
cteren geſchrieben werden, auszuſprechen, indem
nur erſtlich der erſte von der Lincken nebſt Zu-
ſetzung des Worts hundert genennet, und die
zwey folgenden wie gelehret, mit den Worten
hinzugeſetzet werden. Allſo iſt 114 hundert und
vier-
[14]
vierzehen; 570 fuͤnf hundert und ſiebenzig; 324
dreyhundert und vier und zwantzig; 208 zwey
hundert und acht; 600 ſechs hundert; und ſo
fort.

8)

Hat man nun gelernet alle Zahlen, ſo
mit dreyen oder wenigerCharacteren geſchrie-
ben werden, ausſprechen, ſo iſt ſehr leicht
alle Zahlen, aus wievielCharacteren ſie auch
immer beſtehen, mit ihren gehoͤrigen Wor-
ten auszuſprechen. Dieſes geſchiehet, indem
von der Rechten Hand anzufangen je drey und
dreyCharacteres abgeſchnitten werden, ſo daß
die gantze Zahl in eine gewiſſe Anzahl Glieder
zertheilet wird, deren jedes aus dreyCharacte-
ren beſteht. Ein jedes Glied wird nun mit
eben den Worten, als wenn es allein ſtuͤnde,
ausgeſprochen, und dazu auſſer bey dem er-
ſten von der Rechten gegen der Lincken ein
beſonderes Wort hinzugeſetzet; als bey dem
zweyten von der Rechten tauſend, bey dem
drittenMillionen,bey dem vierten tauſend, bey
dem fuͤnftenBillionenund ſo fort. Auf die-
ſe Art wird nun ein Glied nach dem ande-
ren ausgeſprochen, der Anfang aber von der
Lincken gemacht und gegen der Rechten fort-
gefahren.

Dieſe Eintheilung in Glieder, deren jedes
drey Characteres enthaͤlt, geſchiehet von der
Rechten gegen der Lincken, ſo lang Characteres
vorhanden; weswegen zu mercken, daß das letzte
Glied
[15]
Glied nicht allezeit aus drey Characteren beſtehe,
ſondern viel Mahl nur zwey oder einen enthalte;
da aber gleichwohl dieſelben, als wenn ſie allein
ſtuͤnden, ausgeſprochen werden mit Hinzuſetzung
des gehoͤrigen Worts. Was nun dieſe Woͤr-
ter betrifft, ſo ſieht man, daß von der rechten
gegen der lincken Hand dieſe Glieder nehmlich:
das zweyte, vierte, ſechſte, achte, zehente und ſo fort
alle das Wort tauſend mit ſich fuͤhren. Das
dritte aber hat bey ſich das Wort, Millionen;
das fuͤnfte, Billionen, das ſiebende, Trillionen,
das neunte, Quadrillionen und ſo fort. Eine jede
vorgegebene Zahl kan allſo auf folgende Art zur
Ausſprechung zugeruͤſtet werden.

oder auch anſtatt der Worte nur Zeichen wie
folget:

allwo die Commata anſtatt tauſend ſtehen, die
Zeichen

aber Millionen, Billi-
onen, Trillionen bedeuten. Nach den gegebenen
Regeln wird nun dieſe Zahl auf dieſe Art aus-
ge-
[16]
geſprochen. Ein und dreyßigTrillionen, vier
hundert und fuͤnfzehen tauſend, neun hundert
und ſechs und zwantzigBillionen, fuͤnf hun-
dert und fuͤnf und dreyßig tauſend, acht
hundert und ſieben und neunzigMillionen,
neun hundert und zwey und dreyßig tauſend
drey hundert und vier und achtzig. Es iſt
ſchon oben erinnert worden, daß der Character
0 nicht ausgeſprochen werde: Damit nun dieſes
den Anfaͤngern keine Schwierigkeit verurſache,
haben wir nachgehendes Exempel beygefuͤget.

Dieſe Zahl wird nun allſo ausgeſprochen:
ZehenQuadrillionen, zwey hundert tauſend
und drey hundertTrillionen, vierzig tauſend
Billionen, fuͤnf hundert tauſend und ſechs
Millionen, neun tauſend und ſieben. Auf die-
ſe Art wird nun eine jede Zahl, welche mit die-
ſen Characteren beſchrieben iſt, erkannt und mit
Worten ausgeſprochen. Nun folget wie eine
jede Zahl, welche mit Worten ausgeſprochen
wird, durch dieſe Characteres auf gemeldte Art
geſchrieben werden ſoll. Dieſes aber deſto beſſer
vorzutragen, iſt noͤthig vorher einige Woͤrter zu
erklaͤren.

9)

Jn einer nach obgemeldter Art be-
ſchriebenen Zahl ſtehen auf der erſten Stelle
von
[17]
von der Rechten gegen der Lincken dieUnitæ-
ten, weilen der auf dieſer Stelle ſtehende
Characteranzeiget, wie viel einzele Stuͤcke
vorhanden ſind. Auf der zweyten Stelle
ſind dieDecades, indem derCharacterauf
dieſer Stelle ausweiſet, wievielmahl zehen
einzele Stuͤcke vorhanden. Ferner werden die
auf der dritten StelleCentenariigenennet;
auf der viertenMillenarii;auf der fuͤnften
Decades millenariorum, auf der ſechſtenCen-
tenarii millenariorumund auf der ſiebenden
Milliones.Wenn man nun dieMillionen als
einzele Stuͤcke betrachtet, ſo befinden ſich
auf der achten Stelle wiederDecadesnehm-
lichMillionum, auf der neuntenCentenarii
und ſo wiederum fort bis aufBillionen auf
der dreyzehnten Stelle. Jn gleicher Ord-
nung geht man wiederum fort bis aufTril-
lionen und ſo weiter.

Dieſes deutlicher vor Augen zu legen die-
net folgende Tabelle, welche weiſet was die Cha-
racteres auf einer jeglichen Stelle fuͤr eine Be-
deutung haben: als

und ſo weiter.

Hiebey iſt nun zu mercken, daß eine Decas
zehen Unitæten oder einzele Stuͤcke enthalte, ein
Centenarius aber zehen Decades; ein Millenarius
zehen Centenarios; eine Decas millenariorum zehen
Millenarios und ſo weiter:

Wenn man ſich allſo einen Begriff von die-
ſen Worten gemacht, ſo ſiehet man gleich wieviel
Stuͤcke eine jegliche Zahl von einer jeglichen Sorte
ent-
[19]
enthalte, als dieſe Zahl 5738264 enthaͤlt 5 Mil-
lionen: 7 Centenarios millenariorum, 3 Deca-
des millenariorum, 8 Millenarios, 2 Centena-
rios, 6 Decades, und 4 einzele oder Unitates.
Hievon aber einen deutlichen Begriff zu geben,
ſo laſſet uns ſetzen, ein Mann habe in ſeinem
Vermoͤgen ſo viel Rubel als dieſe Zahl 5738264
ausweiſet. Die Groͤſſe dieſes Vermoͤgens wird
nun am deutlichſten erkannt, wenn man ſagt, die-
ſer Mann habe erſtlich 5 Kiſten in deren jeder eine
Million Rubl. ſey; und dann noch 7 Kiſten, jede
von hundert tauſend Rubl. drittens drey Kiſten
jede von zehen tauſend Rubl. viertens 8 Saͤcke
jeden von tauſend Rubl. fuͤnftens 2 Saͤcke jeden
von hundert Rubl. ſechſtens 6 Beutel in deren
jedem zehen Rubl. und endlich noch dazu 4 einzele
Rubl. Aus einer ſolchen Beſchreibung wird nun
ein jeder von dieſem Reichthum einen deutlichen
Begriff bekommen; und wenn wir recht nach-
dencken, ſo werden wir befinden, daß ſich einjeder
eine groſſe Zahl auf eben dieſe Art vorſtellet. Dann
was wir dorten Unitæten genennet, ſind in die-
ſem Exempel einzele Rubl. Eine Decas iſt hier
ein Beutel von zehen Rubl. Ein Centenarius
iſt hier ein Sack von hundert Rubl. und ſo fort.

10)

Um eine Zahl, welche iſt vorge-
geben worden, zu ſchreiben, muß man erſt-
lich ſehen, wie viel dieſelbe von einer jeglichen
Sorte aus der vorigenTabelleenthalte.
Hernach wenn dieſes geſchehen, muß die
B 2An-
[20]
Anzahl einer jeglichen Sorte auf die in eben
derTabelleangezeigte Stelle geſetzet werden.
Wo aber, nachdem dieſes alles geſchehen,
noch einige Stellen ledig bleiben, muͤſſen die-
ſelben mit dem nichts bedeutendenCharacter
0 erfuͤllet werden. Weswegen allſo hiezu
dienlich iſt die Stellen, wenn man weiß
wieviel derſelben vorhanden ſeyn muͤſſen, mit
Punckten zu bemercken.

Wenn allſo nach dieſer Art ſollte geſchrieben
werden, zwey hundert und ſechs tauſend, ſieben hun-
dert und fuͤnfzig; ſo hat man zu ſehen, daß erſt-
lich 2 Centenarii millenariorum vorhanden, wel-
che auf die ſechſte Stelle gehoͤren; hernach ſind
6 Millenarii da auf die vierte Stelle, und dann
7 Centenarii auf die dritte Stelle, und endlich
5 Decades auf die zweyte Stelle; ſo daß allſo
die fuͤnfte und die erſte Stelle ledig bleiben. Die-
ſe Zahl wird demnach in unſeren Characteren
allſo ſtehen 206750. Wer ſich aber in Aus-
ſprechung der Zahlen, wie vorher gelehret wor-
den, einiger maſſen geuͤbet, wird zugleich im
Stande ſeyn, eine Zahl, welche er gehoͤret ausſpre-
chen, wiederum zu ſchreiben: und wenn es auch
nicht recht gerathen ſolte, wuͤrde er den Fehler
bald mercken, wenn er ſeine geſchriebene Zahl
wiederum mit Worten ausdruͤcken ſollte. Hie-
bey aber kan man dennoch einige Regeln geben,
daß man in dieſem Wercke um ſo viel ſicherer
verfahre. Wenn die Zahl, wie es die Gewohn-
heit
[21]
heit mit ſich bringt ſo ausgeſprochen wird, daß
erſtlich die groͤſten Sorten und denn der Ordnung
nach die kleineren benennt werden, ſo kan er gleich
von der Lincken gegen der Rechten die Chara-
cteres einer jeglichen Sorte ſchreiben, wenn er
mercket, daß von allen nach der hoͤchſten folgen-
den Sorten etwas vorhanden iſt. Trifft ſich
aber daß eine oder einige Sorten nicht benennet
wurden, ſo kan er dieſelben auch gleich mer-
cken und die Stellen derſelben mit 0 ausfuͤllen.
Das fuͤrnehmſte hierinn iſt, daß man die Zahlen,
welche kleiner ſind als tauſend, wohl wiſſe zu ſchrei-
ben und auf ihre gehoͤrigen drey Stellen zu ſetzen,
denn ſo wohl die Tauſender als Millionen, Bil-
lionen ꝛc. durch ſolche Zahlen gezehlet zu werden
pflegen. Hernach iſt auch zu beobachten, daß
die Millionen, Billionen, Trillionen ꝛc. ſechs
Stellen in ihrem Bezirck haben; da dann ei-
ne jegliche Art ins beſondere kan geſchrieben wer-
den: wobey nur zu mercken, daß nach den Mil-
lionen gegen der rechten noch 6 Stellen, nach den
Billionen zwoͤlff Stellen und ſo fort folgen muͤſſen.
Endlich iſt auch zu mercken, daß niemahls von
einer Sorte mehr als neun koͤnnen geſchrieben
werden, in dem 10 Stuͤcke von einer Sorte ein
Stuͤck von der folgenden ausmachen und folglich
dahin gehoͤren. Deswegen muß ſich einer nicht
verfuͤhren laſſen, wenn man ihm zu ſchreiben
vorlegt, eilf tauſend, eilf hundert und eilf; er
muß nehmlich wiſſen, daß eilf hundert einen Mil-
B 3le-
[22]
lenarium nebſt einem Centenario ausmache und
deswegen wird er haben zwoͤlff tauſend ein hundert
und eilf, welche allſo geſchrieben werden 12111.

11)

Dasjenige, welches bisher iſt erklaͤ-
ret worden, nehmlich wie man eine durchCha-
racteresbeſchriebene Zahl mit Worten aus-
ſprechen und hinwiederum eine jede Zahl
durch ſolcheCharacteresſchreiben ſoll, wird
dieNumerationgenennet und pflegt gimei-
niglich fuͤr die erſteArithmetſcheOperation
gehalten zu werden.

Es iſt willkuͤhrlich was fuͤr Character zu
Beſchreibung der Zahlen gebrauchet werden;
eine jede Art aber der Zahlen auszudrucken er-
fordert beſondere Regeln zu den Arithmeti-
ſchen Operationen, welche aus der Beſchaffen-
heit einer jeglichen Art muͤſſen hergeleitet werden.
Wir haben aber bisher genugſam dargethan,
daß die gewoͤhnliche Art vermittelſt der zehen Cha-
racter am allerbeſten mit den Worten, dadurch die
Zahlen benennet werden, uͤbereinkommen; wie
es dann auf dieſe Art ſehr leicht iſt eine jede durch
ſolche Characteres beſchriebene Zahl mit Worten
auszuſprechen, und hinwiederum eine mit Wor-
ten benennte Zahl zu ſchreiben. Da nun die
Arithmetiſchen Operationen nach dieſer Art am
bequemſten eingerichtet worden; ſo war, ehe man
zu den Operationen ſelbſt ſchreiten koͤnnte, unum-
gaͤnglich noͤthig dieſe Ausdruͤckungs-Art der Zah-
len ausfuͤhrlich zu erklaͤren, damit daraus die Re-
geln
[23]
geln fuͤr die Operationen koͤnnten hergeleitet wer-
den. Dieſe Vorbereitung zu den Arithmetiſchen
Operationen wird nun Numeratio oder Notatio ge-
nennet, welche lehret eine jegliche Zahl ſchreiben,
und wenn eine Zahl geſchrieben, wiederum ausſpre-
chen. Die Numeration kan allſo nicht mit unter die
Operationen gezehlet werden, wenn wir durch ei-
ne Operation eine beſondere Art verſtehen, aus
zweyen oder mehr gegebenen Zahlen eine neue
herauszubringen. Da wir nun durch Ausfuͤh-
rung der Numeration das Fundament zu den
A rithmetiſchen Operationen geleget, daraus die-
ſelben gruͤndlich koͤnnen erklaͤret werden, ſo ſchrei-
ten wir zu dieſen Operationen ſelbſt fort, wenn
einige Exempel zur Ubung werden beygebracht ſeyn.

1

JN derAdditionwerden ſolche Regeln
gegeben, durch derer Huͤlfe man eine
Zahl finden kan, welche eben ſo groß iſt, als
zwey oder mehr gegebene Zahlen. Dieſe Zahl
welche durch dieſe Regeln gefunden wird,
pflegt dieSummder gegebenen Zahlen genen-
net zu werden.

Wir haben im vorigen Capitel dargethan,
daß wir von groſſen Zahlen keinen deutlichen Be-
griff haben, wenn wir nicht wiſſen, wie dieſel-
ben aus kleineren Zahlen zuſammen geſetzet ſind.
Als wenn man ſich die Zahl 1735 vorſtellet, ſo be-
ſtehet der Begriff von derſelben darinnen, daß
man weiß, daß dieſelbe aus tauſend und ſieben-
hundert und dreyßig und fuͤnf zuſammen geſetzt,
oder die Summ dieſer Zahlen ſey. Von die-
ſen Theilen aber wird voraus geſetzet, daß man
einen deutlichen Begriff habe; welches im vor-
hergehenden Capitel gnugſam iſt ausgefuͤhret wor-
den. Es beſtehet nehmlich die Erkaͤntnuͤß der
Zahlen darinn, daß man wiſſe, aus wieviel Uni-
tæten, Decaden, Centenariis, Millenariis etc.
eine jegliche Zahl beſtehe; und nach dieſen Thei-
len iſt ſowohl die Art die Zahlen zu ſchreiben als
dieſelben mit Worten auszuſprechen eingerichtet.
Wenn man ſich demnach von einer Zahl, welche
aus Zuſammenſetzung zweyer oder mehr gegebenen
Zahlen entſtehet, einen deutlichen Begriff formi-
ren will; ſo muß man unterſuchen, aus wie-
viel Unitæten, Dccadibus, Centenariis etc.
dieſelbe beſtehe. Denn wenn man dieſes gefun-
den, ſo iſt man im Stande die verlangte Zahl
ſowohl zu ſchreiben als mit Worten auszuſprechen.
Dieſe Operation nun, dadurch gefunden wird, aus
wieviel ſolcher Theilen die Summe zweyer oder
mehr gegebenen Zahlen beſtehe, wird die Addi-
tion genennt. Und deswegen erhalten wir durch
die
[27]
die Addition einen deutlichen Begriff von der
Summ zweyer oder mehr gegebenen Zahlen, und
lernen dieſelbe ſowohl ſchreiben, als mit Worten
ausſprechen. Als wenn die Summ von dieſen
zweyen Zahlen 247 und 328 verlanget wird, ſo
iſt zwar der Begriff davon ſchon ziemlich deutlich,
weil man weiß daß dieſelbe den zwey gegebenen
Zahlen zuſammengenommen gleich iſt; Man ver-
langt aber zu vollkommener Erkaͤntnuͤß dieſer
Summ zu wiſſen, aus wieviel Unitæten, De a-
dibus, Centenariis etc. dieſelbe beſtehe, damit
man dieſelbe nach der gewoͤhnlichen Art ſchreiben
und mit Worten ausſprechen koͤnne. Dieſes nun
zu bewerckſtelligen giebt uns die Addition ſichere
und leichte Regeln an die Hand, derer Richtig-
keit und Gebrauch wir allſo gruͤndlich und aus-
fuͤhrlich beſchreiben werden.

2)

ZurAdditionzweyer oder mehr Zahlen
wird erfordert, daß man wiſſe dieUnitates,
dieDecades, Centenarios etc.insbeſondere zu
addiren. Und da 10 UnitateseineDecadem;
10 DecadeseinenCentenarium; 10 Centena-
riieinenMillenariumund ſo fort ausmachen:
ſo iſt noͤthig, daß, wenn in derAddition
mehr als 9 Stuͤcke von einer Gattung vor-
kommen, dieſelben zu hoͤheren Gattungen ge-
ſchlagen werden, ſo daß niemahls mehr als
9 Stuͤcke von einer Gattung inConſideration
kommen.

Da die Zahlen, welche zuſammen geſetzet wer-
den
[28]
den ſollen, aus Unitæten, Decaden, Centena-
riis, und ſo fort beſtehen; ſo muß die Summ eben
ſo viel Unitæten und Decaden und Centenarios
und ſo weiter in ſich begreiffen, als die gegebenen
Zahlen insgeſamt in ſich enthalten. Derowe-
gen um zwey oder mehr Zahlen zuſammen zu ad-
diren wird erfordert, daß man die Unitæten
Decades, Centenarios etc. jede insbeſondere addi-
re. Da aber auſſer der 0 nicht mehr als neun
Characteres vorhanden ſind, dadurch eine ge-
wiſſe Anzahl entweder von Unitæten oder Deca-
den oder Centenatiis etc. kan angedeutet werden,
ſo koͤnnen niemahls mehr als neun von einer Sor-
te durch dieſe Characteres bemercket werden. De-
rowegen wenn mehr als neun von einer Sorte
vorkommen, ſo muͤſſen daraus ſo viel von den fol-
genden hoͤheren Sorten formirt werden, als moͤ-
glich iſt, bis weniger als 10 von einer jeglichen
Gattung uͤbrig bleiben. Dieſe Verwechſelung
geſchicht nun durch Huͤlfe der Verhaͤltniß zwiſchen
allen dieſen Gattungen, da nehmlich 10 Unitæten
eine Decadem; 10 Decades einen Centenarium,
zehen Centenarii einen Millenarium erfuͤllen
und ſo weiter. Weilen nun unſere Begriffe von
den Zahlen in ſo ferne deutlich ſind als wir be-
greiffen, aus wieviel Stuͤcken von einer jeglichen
Sorte dieſelben beſtehen; ſo giebt ſich die ob-
gedachte Verwechſelung von felbſten, ſo bald
man die Summ verſchiedener Anzahlen von Uni-
tæten, oder Decaden oder Centenariis etc. er-
kennet.
[29]
kennet. Als wenn man weiß, daß 8 und 9 zu-
ſammen, ſiebenzehen ausmachen, ſo weiß man zu-
gleich daß 8 und 9 Unitates zuſammen eben ſo
viel iſt als eine Decas nebſt 7 Unitæten. Glei-
chergeſtalt ſind 8 und 9 Decades ſo groß als ein
Centenarius und 7 Decades: und 8 und 9 Cen-
tenarii ſo groß als ein Millenarius nebſt 7 Cen-
tenariis; und ſo weiter mit allen folgenden
Sorten.

3)

Um zwey oder mehr Zahlen zuſam-
men zuſetzen oder zuaddiren wird erfordert,
daß man zu einer jeglichen Zahl koͤnne eine
von den 9 einfachen Zahlen als 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9 hinzuſetzen, welches ent-
weder durch die Abzehlung an den Fingern
oder auf eine fertigere Art durch die Erler-
nung einer Tabelle kan bewerckſtelliget wer-
den, aus welcher man ſehen kan, wieviel
heraus kommt, wenn zu einer gegebenen Zahl
eine von den 9 einfachen Zahlen hinzugeſetzet
wird.

Da alle Zahlen aus den neun erſten einfachen
Zahlen zuſammen geſetzet ſind: ſo beſtehet die Leich-
tigkeit in den Arith metiſchen Operationen darinn,
daß man mit den allergroͤſten Zahlen eben dieje-
nigen Operationen anſtellen kan, welche man
mit den neun einfachen Zahlen zu machen weiß.
Derowegen wird auch in der Addition erfordert,
daß man die einfachen Zahlen zuſammen zu ſetzen
wiſſe; und dazu werden in dieſer Operation keine
Re-
[30]
Regeln gegeben. Wenn man aber die einfachen
Zahlen zu addiren gelernet, ſo iſt man im Stan-
de ſo groſſe Zahlen als immer vorgegeben werden
zu addiren oder in eine Summ zu bringen. Es
wird demnach, ehe dieſe Regeln gegeben werden,
vorausgeſetzet, daß man wiſſe die einfachen Zah-
len zuſammen zu addiren, welches auch, wenn
man nur zehlen kan, ſehr leicht iſt und gantz keine
Schwierigkeit hat. Denn wenn man von einer
gegebenen Zahl weiter fortzehlet, ſo iſt die naͤch-
ſte welche folget um eins groͤſſer als die gegebene;
die zweyte der folgenden um zwey, die dritte um
drey und ſofort. Und auf dieſe Art kan man
durch Abzehlung an den Fingern, zu einer jegli-
chen Zahl noch eine von den neun einfachen Zah-
len hinzuſetzen. Unterdeſſen aber iſt dennoch dien-
lich, daß man nachfolgende Tabelle im Kopfe
habe, aus welcher man die Summ je zweyer ein-
fachen Zahlen anzeigen lernet:

Hat man nun dieſe Tabelle im Gedaͤchtnuͤß,
ſo kan man durch Huͤlfe derſelben auch mit leich-
ter Muͤhe zu einer jeglichen Zahl noch eine einfa-
che hinzuſetzen. Wo aber je dieſes, welches am
beſten durch eine fleißige Ubung erhalten wird,
ſolte einige Schwierigkeit haben, ſo kan dieſelbe durch
die Regeln der Addition ſelbſt gehoben werden:
dann dieſe Tabelle iſt hinlaͤnglich zu Addirung
zweyer Zahlen ſo groß ſie auch immer ſind. Wenn
aber drey oder mehr Zahlen ſollten zuſammen ge-
ſetzet werden, ſo muͤſte man auch die Summ von
je drey oder mehr einfachen Zahlen wiſſen. Weiln
nun dieſes beſchwehrlich fiele, ſo koͤnnte man
erſt-
[32]
erſtlich nur zwey Zahlen addiren; und ſo dann zu
der Summ noch eine und ſo fort, bis alle gegebe-
nen Zahlen in eine Summ ſind gebracht worden.
Weilen demnach auf dieſe Art niemahls mehr
als 2 Zahlen auf einmahl zu addiren vorfallen,
ſo kan man ſich mit der gegebenen Tabelle ſo lange
begnuͤgen und die Addition mehrerer Zahlen auf
beſagte Art anſtellen, bis man eine groͤſſere Fer-
tigkeit bekommen.

4)

Wenn zwey oder mehr Zahlen ſollen
zuſammen geſetzet oder in eineSummgebracht
werden, ſo wird dieSummgefunden wenn
man alleUnitætenzuſammen ſetzet, und denn
alleDecades,ferner alleCentenarios, Mille-
nariosund ſo fort. Es koͤnnen aber dieDe-
cades, Centenarii, Millenariiunter ſich auf
eben die Artaddiret werden, als dieUnitæten,
welche zuaddiren im vorigen iſt gelehret
worden.

Weilen die Summ gleich ſeyn muß denen ge-
gebenen Zahlen zuſammengenommen; ſo muß die-
ſelbe aus ſo viel Unitæten, Decadibus, Cente-
nariis, Millenariis etc. beſtehen, als die gege-
benen Zahlen insgeſamt enthalten. Derohalben
wird die Summ gefunden, wenn man erſtlich die
Unitæten der gegebenen Zahlen, und denn die
Decades ferner die Centenarios und Millenarios
und ſo fort addiret, und alle dieſe Sorten zu-
ſammen ſetzet. Die Summ allſo von zweyen oder
mehr Zahlen zu finden wird erfordert, daß man
wiſſe
[33]
wiſſe insbeſondere die Unitæten, ingleichem die
Decades, Centenarios, Millenarios und ſo fort
zuſammen zu ſetzen. Was die Unitæten betrift
ſo iſt die Zuſammenſetzung derſelben im vorher-
gehen den Punct gemeldet worden: denn wenn die
gegebenen Zahlen wie wir vorausſetzen, auf die
gewoͤhnliche Art entweder ausgeſprochen oder ge-
ſchrieben werden, ſo koͤnnen niemahls mehr als
9 Stuͤcke von einer Gattung vorkommen; und
demnach um die Unitæten zu addiren iſt genug
wenn man weiß zu einer jeglichen Zahl eine ein-
fache Zahl hinzuzuſetzen. Mit den anderen und
folgenden Sorten als Decadibus, Centenariis,
Millenariis und ſo fort hat es eine gleiche Be-
wandnuͤß, und wer die Unitæten zuſammen addi-
ren kan, derſelbe kan auf gleiche Weiſe die De-
cades, Centenarios und folgenden Sorten addi-
ren. Denn gleichwie 7 Unitæten und 9 Uni-
tæten, zuſammen ſechszehen Unitæten machen; ſo
machen auch 7 Decades und 9 Decades zuſam-
men ſechszehen Decades: und 7 Stuͤcke und 9
Stuͤcke von einerley Sorten, machen zuſammen
16 Stuͤcke von eben der Sorte. Woraus erhel-
let, daß verſchiedene Stuͤcke von einer jeglichen
Gattung, als Decades, Centenarii, Millena-
rii und ſofort, eben ſo leicht und auf eben die
Art zuſammen geſetzet werden, als die Unitæten.
Dieſes beſſer zu erlaͤuteren, ſo ſeyen dieſe Zahlen
5326 und 4937 gegeben, derer Summ gefunden
werden ſoll. Nach der gegebenen Anleitung
Cmuß
[34]
muß nun die Summ erſtlich 6 und 7 das iſt nach
der vorigen Tabelle 13 Unitæten enthalten, zwey-
tens 2 und 3 das iſt 5 Decades; drittens 3 und 9
das iſt 12 Centenarios; und viertens 5 und
4 das iſt 9 Millenarios. Und derohalben kan man
mit Gewißheit ſagen, daß die Summ dieſer gege-
benen Zahlen ſeye 9 Millenari, 12 Centenarii,
5 Decades und 13 Unitates. Allein hiebey iſt
dieſe Schwierigkeit, daß dieſe Zahl oder Summ
ſo wie ſie hier iſt angedeutet worden, nicht ge-
ſchrieben werden kan|, weilen mehr als 9 Cente-
narii und Unitates vorkommen; welches wieder
die Natur dieſer Schreibart laͤufft. Wenn dem-
nach in dem Addiren mehr als 9 Stuͤcke von ei-
ner Gattung vorkommen, ſo muß dieſer Schwie-
rigkeit im Schreiben abgeholfen werden; wel-
ches im folgenden Punct geſchehen ſoll.

5)

Wenn in Zuſammenſetzung derUni-
tatum, Decadum, Centenariorumund ſo fort
geſchieht, daß mehr als neun von einer Sor-
te herauskommen; ſo muͤſſen daraus von der
folgenden Sorte ſo viel Stuͤcke gemacht wer-
den, bis weniger als zehen Stuͤcke bey der-
ſelben Sorte vorhanden bleiben. Die Stuͤ-
cke aber von der folgenden Sorte muͤſſen zu
derSummderſelben Sorteaddiret werden;
Auf dieſe Art wird man nun erhalten, daß
von keiner Sorte mehr als neun Stuͤcke her-
auskommen; weswegen alsdenn die geſuchte
Summleicht wird koͤnnen geſchrieben werden

Da zehen Unitæten eine Decadem ausma-
chen, zehen Decades aber einen Centenarium, und
zehen Centenarii einen Millenarium und ſo fort,
ſo wird daraus leicht ſeyn, wenn im Addiren mehr
als neun Unitæten herauskommen aus denſelben ei-
ne oder zwey oder mehr Decades zu machen, wel-
che ſo dann bey der Addition der Decadum mit
hinzugeſetzet werden muͤſſen. Auf gleiche Weiſe
iſt es auch beſchaffen mit den Decadibus, wel-
che, wenn mehr als neun vorkommen, einen oder
zwey oder mehr Centenarios ausmachen. Fer-
ner operiret man auf eben die Art in Addirung
der folgenden Sorten, und erhaͤlt dadurch, daß
niemahls mehr als neun von einer Sorte heraus
kommen. Und wo dieſes geſchehen, ſo wird aus
dem, was im vorigen Capitel von der Schreib-
ung der Zahlen gelehrt worden iſt, leicht ſeyn
die herausgebrachte Summ zu ſchreiben. Um aber
leichter zu ſehen, wieviel eine gewiſſe Anzahl Uni-
tæten, Decades, oder eine gewiſſe Anzahl De-
cades, Centenarios in ſich begreiffen und ſo wei-
ter; ſo iſt dienlich, daß man die gefundene Summ
der Unitæten oder Decadum oder Centenario-
rum und folgenden Sorten auf die gewoͤhnliche Art
ſchreibe und ſehe, ob dieſelbe aus mehr als einem
Character beſtehe. Denn beſtehet die Summ
von einer Sorte nur aus einem Character, ſo
enthaͤlt dieſelbe kein Stuͤck von der folgenden Sor-
te, ſondern behaͤlt den Nahmen von Unitæten
oder Decaden und ſo fort, aus welchen ſie iſt ge-
C 2fun-
[36]
funden worden. Beſtehet aber die Summ auf
dieſe Art geſchrieben aus zwey Characteren, ſo
deutet der zur lincken Hand an, wie viel Stuͤck von
der folgenden Sorte in dieſer Summ enthalten, welche
folglich mit zu der Summ der folgendem Sorte
muͤſſen geſchlagen werden. Dieſes alles aber
wird deutlicher aus nachfolgendem Exempel erſe-
hen werden: Als man verlangt die Summ von
dieſen drey Zahlen 2304; 5629; und 7230 zu
wiſſen. Dieſe zu finden addiret man allſo die
Unitæten von dieſen drey Zahlen zuſammen, wel-
che ausmachen dreyzehen oder 13 Unitæten. Hier-
aus erkennet man, daß dieſe Summ 1 Decadem
und 3 Unitæten begreiffe; weswegen nur 3 Uni-
tæten vorhanden ſind; und die eine Decas wird
mit zu den Decadibus geſetzet. Die Decades
aber von dieſen drey Zahlen zuſammen genommen
geben 5 Decades, und zu dieſen die obige eine
Decas gethan macht 6 Decades; worinn alſo kein
Centenarius enthalten iſt. Ferner addire man
die 3 und 6 und 2 Centenarios; ſo findet man
eilf oder 11 Centenarios; dieſe Summ iſt allſo
ſo viel als 1 Centenarius und 1 Millenarius, wel-
cher zu den Millenariis muß hinzugethan werden.
Dieſer Millenarius allſo und 2 und 5 und 7 Mil-
lenarii machen zuſammen 15 Milenarios: das iſt
5 Millenarii und eine Decas Millenariorum. Al-
les dieſes zuſammen oder die Summ der drey ge-
gebenen Zahlen iſt derowegen eine Decas Mil-
le-
[37]
lenariorum und 5 Millenarii, und 1 Centena-
rius und 6 Decades und 3 Unitæten; welche
geſchrieben geben 15163, oder fuͤnfzehen tauſend
einhundert und drey und ſechzig. Solten aber
in Addirung einer Sorte hundert oder mehr Stuͤ-
cke herauskommen, ſo enthaͤlt die Summ zehen
oder mehr von der folgenden und folglich ein
Stuͤck zu der zweyten folgenden Sorte.
Als wenn die Summ der Decadum waͤre gefun-
den worden 125, ſo muͤſte man 2 Stuͤcke zu den
Centenariis und 1 zu den Millenariis hinzuſetzen.
Dieſes iſt alſo der Grund der Addition, aus
welchem klar erhellet, daß die auf dieſe Art ge-
fundene Zahl nothwendig die Summ der gegebenen
Zahlen ſeyn muͤſſe; indem dieſelbe allein eben ſo
viel Unitæten, Decades, Centenarios und ſo
fort in ſich enthaͤlt, als die gegebenen Zahlen ins-
geſammt. Eben dieſe Operation aber geſchwind
und fertig zu verrichten, ſo werden einige Vor-
theile gewieſen werden, dadurch die Arbeit ſehr
erleichteret wird.

6)

Wenn zwey oder mehr Zahlen ſollen
addiret oder zuſammen geſetzet werden, ſo
ſchreibe man dieſelben unter einander, ſo
daß dieUnitæten,imgleichen auch dieDe-
cadesundCentenariiund ſo weiter unter
einander zuſtehen kommen, und ziehe unter
dieſe Zahlen eine Linie, unter welche die ge-
ſuchteSummgeſetzet werden ſoll. Alsdenn
wird von der rechten Hand der Anfang ge-
C 3macht
[38]
macht und dieUnitætenzuſammenaddiret;
derenSummwenn ſie kleiner iſt als 10 wird
unter dieUnitætenunter die Linie geſchrieben,
iſt dieSummaber groͤſſer als 9 und enthaͤlt
folglich eine oder mehrDecadesnebſt etli-
chenUnitæten,ſo wird nur dieſe Anzahl der
Unitætenunter die Linie geſchrieben, die
Decadesaber beyAddrung derDecadum
noch hinzugethan. Auf gleiche Art werden
auch ferner dieDecades addiret und weiter
dieCentenarii, Millenariiund ſo fort. Wo
nun dieſes alles geſchehen, ſo iſt die Zahl,
welche herausgekommen und unter die Linie
geſetzet worden, die verlangteSummder ge-
gebenen Zahlen.

Die Zahlen, welche addiret werden ſollen,
werden deswegen unter einander geſchrieben, da-
mit die Zahlen welche in einer Reihe von oben
herab ſiehen, einerley Sorten nehmlich entweder
Unitæten oder Decadesoder Centenarii und ſo
fort bedeuten, und alſo beſſer ins Geſicht fallen
und deſto bequemer addiret werden koͤnnen. Fer-
ner faͤngt man die Addition von der Rechten,
das iſt von den kleineren Sorten an, und faͤhret
fort gegen der Lincken, das iſt zu den groͤſſeren
Sorten; weilen in Addirung der kleineren Sor-
ten groͤſſere Sorten entſtehen koͤnnen, welche als
dann zu den groͤſſeren hinzugethan werden muͤſ-
ſen: Weswegen die Addition der kleineren
Sorten zu erſt verrichtet wird. Die gantze
Ope-
[39]
Operation kan im uͤbrigen durch Exempel am deut-
lichſten gewieſen werden. Als es ſollen nach-
folgende Zahlen 53237; 8729; und 10237 addi-
ret werden; ſo werden dieſe Zahlen unter einan-
der geſchrieben wie folget:
da dann die erſte Reihe von oben herab Unitæ-
ten, die zweyte Decades, die dritte Centenarios
die vierte Millenarios, und die fuͤnfte Decades
Millenariorum bedeutet. Nun werden erſtlich
die Unitæten addiret und geſagt: 7 und 9 macht
16 und noch 7 dazu macht 23 Unitæten, das iſt
2 Decades, welche zu der zweyten Reihe muͤſ-
ſen hinzugethan und deswegen bey dieſer Reihe
mit 2 Punckten bemercket werden; die drey Uni-
tæten aber werden unter die Linie auf die erſte
Stelle von der rechten Hand, das iſt, auf die Stel-
le der Unitæten geſchrieben. Zweytens geht man
zu den Decaden und ſagt 3 und 2 macht 5 und
noch 3 macht 8 und noch 2, welche durch die 2
Puncten angedeutet worden, macht 10 Decades
das iſt, 1 Centenarius und keine Decas; weil
nun keine Decas vorhanden, ſo wird unter die
Linie auf die zweyte Stelle eine 0 geſchrieben;
der 1 Centenarius aber wird durch ein Punct bey
C 4der
[40]
der dritten Reihe der Centenariorum angedeu-
tet. Drittens ſagt man 2 und 7 macht 9 und noch
2 macht 11 und noch 1 wegen dem Punct macht 12
Centenarios, das iſt 1 Millenarius, welcher durch
ein Punct bey der folgenden Reihe angedeutet
wird und zwey Centenarii, welche unter die Li-
nie auf die dritte Stelle geſchrieben werden. Vier-
tens machen 3 Millenarii und 8 und noch einer zu-
ſammen 12 Millenarios oder 1 Decadem Millena-
riorum, ſo durch ein Punct bey dieſer Sorte an-
gezeiget wird, und 2 Millenarios welche un-
ter die Linie auf die vierte Stelle geſchrieben wer-
den. Endlich hat man noch 5 und 1 und noch 1
Decadem Millenariorum, das iſt 7 Dcades
Millenariorum, welche unter die Linie auf die
fuͤnfte Stelle geſchrieben werden. Hiemit iſt die
Operation zu ende gebracht, weswegen die Summ
der gegebenen Zahlen iſt: zwey und ſiebenzig tau-
ſend zwey hundert und drey. Aus der Ausfuͤh-
rung dieſes Exempels kan nun nicht nur der Grund
der Addition, ſondern auch der Grund von den
gemeinen Regeln erkannt werden, welche man mit
wenig Worten auf folgende Art gebraucht.

Dieſe vier Zahlen zu addiren, ſo ſagt man, nach
dem dieſelben auf die gewieſene Art ſind geſchrie-
ben
[41]
ben worden: 8 und 1 macht 9 und 3 macht 12
und 4 macht 16; ſchreibt allſo 6 und behaͤlt 1 zur
folgenden Reihe. Ferner 7 und 8 macht 15 und
9 macht 24 und 1 macht 25; ſchreibet 5 und be-
haͤlt 2. Drittens 1 und 2 macht 3 und 6 macht
9 und 2 macht 11 ſchreibt 1; und behaͤlt 1. Vier-
tens 5 und 6 macht 11 und 7 macht 18 und 5
macht 23 und 1 macht 24; ſchreibt 4 und behaͤlt
2. Fuͤnftens ſagt man 3 und 4 macht 7 und 5
macht 12 und 3 macht 15 und 2 macht 17; ſchrei-
bet 7 und behaͤlt 1. Sechſtens 9 und 8 macht
17 und 7 macht 24 und 2 und 1 macht 27; ſchrei-
bet 7 und dazu auch das 2 weilen keine Reihe
mehr folget, dazu dies noch ſolte addiret werden.
Von den gegebenen 4 Zahlen iſt demnach die
Summ 2774156. Dieſe Operation kan ferner
in nachfolgenden Exempeln angewandt werden.

Jn dieſen Exempeln haben wir dasjenige was noch
bey Addirung der folgenden Reihe muß hinzu-
gethan werden, nicht mit Puncten bemercket, wei-
len man ſich angewoͤhnen muß dieſe Puncten in
dem Gedaͤchtnuß zu behalten. Nachfolgende Ex-
empel ſind deswegen hinzugeſetzet worden, damit
man ſehe was fuͤr Fragen durch die Addition koͤn-
nen aufgeloͤſet werden.

1

JN derSubtractionwerden ſolche Regeln
gegeben, vermittelſt welcher man von
einer gegebenen Zahl, eine andere gegebene
Zahl abziehen, und die Zahl welche uͤbrig
bleibet anzeigen kan. Dieſe Zahl nun welche
uͤbrig bleibet, wenn von den gegebenen Zah-
len eine von der anderen abgezogen wird,
pfleget der Reſt genennet zu werden.

Gleichwie in der Addition gelehret wird, wie
man
[45]
man zu einer gegebenen Zahl eine andere oder
mehr gegebene Zahlen hinzuſetzen ſoll: allſo wird
in der Subtraction gelehret, wie man von einer
gegebenen Zahl eine andere gegebene Zahl abzie-
hen oder ſubtrahiren ſoll. Durch die Addition
wird allſo eine gegebene Zahl vermehret, indem
zu derſelben noch eine oder mehr Zahlen hinzuge-
ſetzet werden: durch die Subtraction aber wird
eine gegebene Zahl vermindert, indem von derſel-
ben eine andere Zahl weggenommen oder abgezo-
gen wird. Weilen demnach die Addition eine
Zahl vermehret, die Subtraction aber vermindert, ſo
ſind dieſe zwey Operationen einander entgegen geſe-
tzet. Und da in der Vermehrung und Vermin-
derung alle Veraͤnderungen der Zahlen beſtehen;
ſo koͤnnen dieſe zwey Operationen nehmlich die
Addition und Subtraction als die zwey Haupt-
Operationen, welche bey den Zahlen ſtatt finden,
gehalten werden: wie denn auch im folgenden
wird gezeiget werden, wie die uͤbrigen Operatio-
nen aus dieſen zweyen entſpringen und in denſel-
ben ihren Grund haben. Was nun die Subtra-
ction an und fuͤr ſich ſelbſt betrifft, ſo wird durch
dieſelbe eine Zahl gefunden, welche uͤbrig bleibt,
wenn man von einer gegebenen Zahl eine andere
Zahl wegnimmt oder abziehet. Da aber zu deut-
licher Erkaͤnntnuͤß einer Zahl erfordert wird,
daß man wiſſe, wie dieſelbe aus Unitæten De-
cadibus, Centenariis und den folgenden Sorten
zuſammengeſetzet ſey; ſo muͤſſen zu Bewerckſtelli-
gung
[46]
gung der S btractíon ſolche Regeln gegeben wer-
den, durch derer Huͤlffe die geſuchte Zahl nehm-
lich der Reſt in Unitæten, Decadibus, Cente-
nariis und ſo fort gefunden wird; damit dieſelbe
ſogleich geſchrieben und nach der gewoͤhnlichen Art
ausgeſprochen werden kan. Zu deſto groͤſſerer
Bequemlichkeit aber muͤſſen die Regeln ſo be-
ſchaffen ſeyn, daß ſie gleich die Unitæten, De-
cades, Centenarios und ſo fort geben, aus wel-
chen der Reſt beſtehet; und derſelbe allſo gleich,
wie die Summ in der Addition koͤnne hingeſchrie-
ben werden.

2)

Diejenige Zahl, welche von der anderen
abgezogen wird, muß kleiner ſeyn, als die
andere, von welcher ſie abgezogen wird Es
wird demnach in derSubtractionvon der groͤſſe-
ren Zahl die kleinere abgezogen und der Reſt
oder dasjenige was uͤberbleibt gefunden; wel-
cher vondieſer Eigenſchaft ſeynwird, daß wenn
man zu demſelben die kleinere Zahladdiret, die
groͤſſere Zahl heraus gebracht wird.

Wenn eine Zahl von der anderen muß weg-
genommen werden, ſo muß dieſelbe nothwendig
kleiner ſeyn; weilen man nicht mehr wegnehmen
kan, als wuͤrcklich vorhanden iſt. Wenn nehm-
lich in einem Sacke eine gewiſſe Anzahl Rubeln be-
findlich, ſo kan man nicht mehr daraus nehmen, als
darinnen iſt; eben ſo viel aber, oder weniger kan
wohl daraus genommen werden. Die Subtra-
ction lehret alſo, wie man finden ſoll, wieviel Ru-
beln
[47]
beln in dem Sacke noch uͤbrig bleiben, wenn aus
demſelben eine gewiſſe Summ ausgezehlet worden.
Hieraus iſt nun klar daß wenn ſo viel heraus
genommen wird, als darinn iſt, nichts im Sa-
cke zuruͤck bleiben werde; wird aber weniger dar-
aus genommen, ſo muß im Sacke noch etwas
zuruͤckbleiben, welches der Reſt genennet wird.
Woraus auch zugleich erhellet, daß dasjenige was
im Sacke zuruͤckbleibt und dasjenige, welches iſt
herausgenommen worden, zuſammen wieder eben
ſo viel ausmacht, als anfangs in dem Sacke vor-
handen geweſen. Das iſt allſo; der Reſt und
die kleinere Zahl zuſammen genommen, machen
die groͤſſere Zahl. Wenn allſo zwey Zahlen ge-
geben ſind, ſo lehret die Subtraction wie man ei-
ne Zahl finden ſoll, welche mit der kleineren Zahl
zuſammen die groͤſſere ausmache. Man ſieht
aus dieſem zugleich, daß wenn man den gefunde-
nen Reſt von der groͤſſeren Zahl abziehen ſolte,
die kleinere Zahl uͤbrig bleiben muͤſte. Als wenn
man von der groͤſſeren Zahl 9 die kleinere 5 ab-
ziehet, ſo iſt der Reſt 4; und dieſer Reſt hat die-
ſe Eigenſchaft, daß derſelbe nehmlich 4 und die
kleinere Zahl 5 zuſammen die groͤſſere Zahl 9 aus-
machen. Jngleichem wenn man den gefundenen
Reſt 4 von der groͤſſeren Zahl 9 abziehet, ſo blei-
bet 5 nehmlich die kleinere Zahl uͤber. Ferner
folget hieraus, daß, wenn man von der Summ
zweyer Zahlen, welche durch die Addition iſt ge-
funden worden, die eine derſelben Zahlen abzie-
het,
[48]
het, die andere Zahl nothwendig uͤbrig bleiben
muͤſſe. Und hierinn ſind diejenigen Proben ge-
gruͤndet, dadurch man zu unterſuchen pflegt, ob
ein Exempel ſo wohl von der Addition als Sub-
traction recht gerechnet worden. Welches unten
mit mehrerem ausgefuͤhret werden ſoll.

3)

Um eine Zahl von der anderen abzuzie-
hen oder zuſubtrahiren wird erfordert, daß
man erſtlich wiſſe dieUnitætenvon denUni-
tæten;dieDecadesvon denDecadibus;die
Centenariosvon denCentenariisund ſo fort
zuſubtrahiren. Und da niemahls mehr als
9 Stuͤcke von einer Gaͤttung vorkommen,
daß man, wenn es die Noth erfordert, wiſ-
ſe ein Stuͤck von einer hoͤheren Sorte in
geringere Sorten zu verwandeln, ohne daß
dadurch die gantze Zahl veraͤndert werde.

Wir ſetzen voraus, daß diejenigen Zahlen da-
von eine von der anderen abgezogen werden ſoll,
auf die gewoͤhnliche Art durch Unitæten Deca-
des, Centenarios und ſo fort gegeben ſind. Wenn
man derohalben die Unitæten der kleineren Zahl
von den Unitæten der groͤſſeren Zahl abziehet,
gleichergeſtalt auch die Decades von den Decadl-
bos, die Centenarios von den Centenariis und
ſo fort; ſo iſt klar daß dieſe uͤbergebliebenen Uni-
tæten, Decades, Centenarii und ſo fort zuſam-
men den geſuchten Reſt ausmachen muͤſſen. Die-
ſe Operation nun ins Werck zurichten, ſo iſt noͤ-
thig, daß man wiſſe die Unitæten von den Uni-
tæten
[49]
tæten, die Decades von den Decadibus und ſo
fort zu ſubtrahiren; welches deswegen zu erlernen
ſehr leicht iſt, weilen niemahls mehr als 9 Stuͤ-
cke von einer Gattung vorkommen. Obgleich
aber diejenige Zahl, von welcher die andere ſub-
trahiret werden ſoll, allezeit groͤſſer ſeyn muß; ſo
kan es doch geſchehen, daß in der groͤſſeren Zahl
weniger Stuͤcke von Unitæten, oder Decadibus
oder von einer anderen Sorten vorhanden ſind,
als in der kleineren Zahl; in welchem Fall allſo
diejenige Sorte der kleineren Zahl von eben der
Sorte der groͤſſeren Zahl nicht abgezogen werden
kan. Dieſer Schwierigkeit nun abzuhelffen, muß
von der naͤchſtfolgenden hoͤheren Sorte der groͤſſe-
ren Zahl ein Stuͤck weggenommen und zu der klei-
neren Sorte, derer es 10 Stuͤcke ausmachet,
geſchlagen werden; auf dieſe Art bekommt man
allſo 10 Stuͤcke mehr von derſelben Sorte der
groͤſſeren Zahl als vorher vorhanden waren; von
welcher Anzahl folglich allezeit eben dieſelbe
Sorte der kleineren Zahl kan abgezogen werden,
weilen in derſelben nirgend mehr als 9 Stuͤcke von
einer Sorte vorkommen.

4)

Es iſt allſo vor allen Dingen noͤthig,
daß man lerne eine jegliche einfache Zahl von
anderen Zahlen, welche nicht uͤber 9 groͤſſer
ſind als dieſelbe, abziehen. Dieſes iſt zwar
an ſich ſelbſt leicht und kan von einem je-
den im Kopfe gethan werden: jedoch kan
man ſich hiebey einer Tabelle bedienen/ wel-
che hier beygefuͤget wird.

Jn dem die Subtraction auf obbeſchriebene Art
vorgenommen und bey jeder Sorte insbeſondere
verrichtet wird, ſo iſt die Anzahl der Stuͤcke von
jeglicher Sorte der groͤſſeren Zahl entweder klei-
ner, als die Anzahl der Stuͤcke von eben der Sor-
te in der kleineren Zahl oder nicht. Jm letzteren
Fall muß allſo nur eine einfache Zahl von einer
einfachen Zahl abgezogen werden. Jm erſteren
Fall aber wird die Anzahl der Stuͤcke der groͤſſe-
ren Zahl um 10 vermehret, indem ein Stuͤcke
von der folgenden Sorte weggenommen wird,
welches 10 Stuͤcke von der kleineren Sorte be-
trifft. Jn dieſem Fall muß demnach eine einfache
Zahl von einer anderen, welche zwar groͤſſer iſt
als 9, aber doch kleiner als 20 abgezogen werden.
Man hat allſo nicht mehr noͤthig, als die nach-
folgende Tabelle zu erlernen, aus welcher man
ſieht, wie viel uͤbrig bleibt, wenn man eine ein-
fache Zahl von einer einfachen oder auch von ei-
ner, ſo kleiner iſt als 20 abzieht.

allhier iſt derjenige Theil da 0 oder nichts von einer
Zahl ſoll abgezogen werden ausgelaſſen, weilen
dadurch keine Zahl vermindert wird, ſondern un-
veraͤndert bleibet. An deren Stelle aber iſt die
Tabelle von zehen noch hinzugefuͤget worden, wel-
che zwar noch von keinem Gebrauch zu ſeyn ſchei-
net: allein im folgenden werden einige Schwie-
rigkeiten, welche ſich in vorbeſchriebener Art zu
ſubtrahiren ereignen, gehoben werden, wozu auch
der letzte Theil dieſer Tabelle erfordert wird.

5)

Wenn eine kleinere Zahl von einer
groͤſſeren abgezogen werden ſoll, und die An-
zahl von einer jeglichen Sorte in der kleine-
ren Zahl kleiner iſt, als die Anzahl von eben
der Sorte der groͤſſeren Zahl; ſo werden
durch Huͤlffe der vorigen Tabelle dieUnitæ-
tenvon denUnitæten,dieDecadesvon denDe-
cadibus,dieCentenariivon denCentenariisund
ſo weiter abgezogen. Da denn alles was bey
Ab-
[53]
Abziehung einer jeglichen Sorte herauskom-
met, zuſammen den geſuchten Reſt ausmacht.

Der Grund hievon iſt ſchon im vorigen aus-
gefuͤhret worden, denn wenn alle Theile, daraus
die zwey Zahlen beſtehen, von einander abgezo-
gen werden, ſo machen alle Reſte zuſammen
eben ſo viel aus, als wenn ein gantzes von dem
andern abgezogen wurde. Wenn aber auf dieſe
Art die Subtraction geſchieht, ſo bekommt auch
der geſuchte Reſt gleich die gewoͤhnliche Form,
welche zur Crkaͤntnuͤß und Ausſprechung der
Zahlen angenommen iſt. Als wenn von dieſer
Zahl 56897 dieſe 21506 ſoll abgezogen werden,
ſo nehme man erſtlich die 6 Unitæten der klei-
neren Zahl von den 7 Unitæten der groͤſſeren, ſo
bleibet fuͤr den Reſt 1 Unitæt. Zweytens weil
in der kleineren Zahl keine, Decas vorhanden,
welche von den 9 Decaden der groͤſſeren Zahl
ſoll abgezogen werden, ſo bleiben auch alle 9 uͤbrig
im Reſt. Drittens 5 Centenarii von 8 Cente-
nariis abgezogen, laſſen 3 Centenarios uͤbrig.
Viertens 1 Millenarius von 6 Millenariis weg-
genommen, bleiben 5 uͤbrig: Und endlich fuͤnf-
tens 2 Decades millenariorum von 5 dergleichen
abgezogen, laſſen 3 zuruͤck. Der Reſt demnach,
welcher nach Abzug der Zahl 21506 von der Zahl
56897 uͤbrig bleibet, iſt 3 Decadesmillenariorum
5 Millenarii, 3 Centenarii, 9 Decades und 1
Unitas: Das iſt 35391. Es haͤtten allſo gleich
dieſe gefundenen Reſte in einer Linie von der rech-
D 3ten
[54]
ten nach der lincken Hand geſchrieben werden koͤnnen
da dann ſo fort dieſe Zahl 35391 wuͤrde herausge-
kommen ſeyn. Zu mehrerer Leichtigkeit pflegen
deswegen die gegebenen Zahlen wie in der Addi-
tion unter einander geſchrieben, und mit einer
Linie unterzogen zu werden, unter welche die Re-
ſte von einer jeglichen Sorte in der Ordnung ge-
ſchriebenwerden wie folget.

Die Operation aber wird auf folgende Weiſe
verrichtet. 6 von 7 bleibt 1, ſo unter die Linie
unter die Unitæten geſchrieben wird. Ferner
nichts von 9 bleiben 9, welche unter die Linie auf
die zweyte Stelle geſetzet werden. Drittens auf
gleiche Weiſe 5 von 8 bleiben 3. Viertens 1 von 6
bleiben 5 und fuͤnftens 2 von 5 bleiben drey.
Nachdem nun dieſes zu ende gebracht, ſo wird
ſich der wahre Reſt unter der Linie befinden.

6)

Wenn aber die Anzahl der Stuͤcke von einer
Sorte in der unteren oder kleineren Zahl, groͤſ-
ſer als die Anzahl von eben der Sorte in der
groͤſſeren Zahl; und alſo dieSubtractionauf
beſchriebene Art nicht geſchehen kan: ſo muß
ein Stuͤck von der folgenden groͤſſeren Sor-
te der groͤſſeren Zahl weggenommen, und zu
der vorhergehenden Sorte, dergleichen es 10
Stuͤcke ausmacht, hinzugethan werden; da
dann
[55]
dann dieSubtractionvon ſtatten gehen wird.
Jn der folgendenSubtractionaber iſt wohl
zu mercken, daß die obere Zahl um 1 iſt ver-
mindert worden.

Gleichwie in der Addition, wenn mehr als
9 Stuͤcke von einer Sorte vorgekommen, von
denſelben je zehen genommen und darfuͤr eintzele
Stuͤcke zu der folgenden Sorte geſetzet worden:
alſo geſchiehet es auch, aber umgekehret, in der
Subtraction, daß wenn von einer Sorte nicht ge-
nug Stuͤcke vorhanden ſind, daß die untere Zahl
davon abgezogen werden koͤnnte, ſo wird ein Stuͤck
von der folgenden Sorte genommen, welches 10
in der vorigen betrifft und dieſe zehen noch hinzu-
geſetzt. Denn wenn von einer Zahl ein Cente-
narius zum Exempel weggenommen, hingegen
aber wiederum 10 Decades hinzugeſetzet werden,
ſo bleibt die Groͤſſe der Zahl unveraͤndert. Eine
ſolche Verwechſelung kan demnach ſicher gebraucht
werden zu Befoͤrderrng der Subtraction. Als
wenn zum Exempel dieſe Zahl 5789 ſoll ab-
gezogen werden von dieſer 7364, und dieſelben
wie gelehret unter einander geſchrieben worden,
als folget:

der Reſt

ſo ſollten erſtlich die 9 Unitæten der unteren Zahl
von den 4 Unitæten der oberen Zahl abgezogen
werden, welches aber nicht geſchehen kan. De-
D 4ro-
[56]
rowegen wird von der folgenden Sorte der obe-
ren Zahl nehmlich den 6 Decadibus eine Decas
weggenommen oder gelehnet, und zu den 4 Uni-
tæten geſchlagen, welches alſo zuſammen 14 Uni-
tæten ausmacht. Nun koͤnnen alſo von dieſen
14 Unitæten die 9 Unitæten abgezogen werden,
und bleiben 5 uͤber, welche folglich unter die Li-
nie geſchrieben werden. Wobey aber zu mercken
iſt, daß anjetzo in der oberen Zahl nicht mehr 6,
ſondern nur 5 Decades vorhanden, indem eine
davon weggenommen worden; welche Vermin-
derung derowegen mit einem Punct angedeutet
wird. Hierauf ſollten demnach 8 Decades von
5 Decadibus abgezogen werden, welches weil es
gleichfals nicht angeht, ſo wird von den 3 Cen-
tenariis ein Stuͤck weggenommen, ſo daß nur
noch 2 zuruͤckbleiben, welches durch das da zugeſetz-
te Punct angedeutet wird. Dieſer Centenarius
macht nun 10 Decades, welche mit den 5 ſchon
vorhandenen 15 Decades ausmachen. Von die-
ſen 15 werden nun die 8 Decades der unteren
Zahl abgezogen und bleiben 7 uͤber, welche unter
die Linie in die Stelle der Decaden geſetzet wer-
den. Ferner haben wir 7 Centenarios von 2 Cen-
tenariis abzuziehen, weswegen gleichergeſtalt von
den 7 Millenariis ein Stuͤck genommen und zu
den 2 Centenariis geſchlagen wird, ſo daß 12
Centenarii herauskommen. Von dieſen ziehet
man nun die 7 Centenarios ab, ſo bleiben 5
uͤber, ſo unter die Linie in die dritte Stelle geſe-
tzet
[57]
tzet werden. Endlich werden die 5 Millenarii von
den 6 oberen abgezogen, und der eine ſo uͤberblei-
bet unter die Linie geſchrieben, womit die gantze
Operation geendigt iſt, und hat alſo dieſen Reſt
gefunden 1575. Wir haben hier bey einer je-
den Operation den Grund und das Fundament
derſelben beygeſetzet, weswegen die gantze Opera-
tion ziemlich weitleiffig ſcheinet, allein wenn
die bloſſe Operation beſchrieben wird, ſo wird
dieſelbe gantz kurtz. Allſo kan man bey eben die-
ſem Exempel auf folgende Weiſe den geſuchten
Reſt gleich finden, wenn man ſagt 9 von 4 kan
man nicht, deswegen 9 von 14 bleiben 5, und
ſetzt ein Punct zu 6. Ferner 8 von 5 kan man
nicht, allſo 8 von 15 bleiben 7, und ſetzt ein
Punet zu 3. Drittens 7 von 2 kan man nicht,
allſo 7 von 12 bleiben 5, und ſetzt ein Punct zu
7. Endlich 5 von 6 bleiben 1. Auf dieſe Art
aber die Subtraction anzuſtellen faͤllt oͤffters ſehr
beſchwehrlich, wenn in den Stellen der oberen
Zahl, davon ein Stuͤck weggenommen werden
ſoll, eine 0 ſtehet, und allſo nichts vorhanden iſt.
Derowegen wollen wir im folgenden eine andere
Art anzeigen, welche dieſer Schwierigkeit nicht
unterworffen iſt. Damit man aber dieſe Schwie-
rigkeit beſſer einſehe, wollen wir davon ein Exem-
pel beyſetzen. Als von 1205 ſollen 827 abgezo-
gen werden, welche demnach wie gelehrt worden,
allſo geſchrieben werden:

Reſt.

Nun ſollen erſtlich 7 Unitæten von 5 abgezogen
werden, welches weilen es nicht geſchehen kan,
ſollte von den Decaden der oberen Zahl ein Stuͤck
weggenommen, und zu den 5 Unitæten geſetzet
werden. Allein hier iſt keine Decas in der obe-
ren Zahl vorhanden, und kan allſo die angege-
bene Regel nicht gebraucht werden. Um dem-
nach abziehen zukoͤnnen, muß von der zweyten fol-
genden Sorte nehmlich den Centenariis ein Stuͤck
weggenommen werden, und wenn auch von ſol-
chen nichts vorhanden waͤre, muͤſte ſo gar von den
Millenariis ein Stuͤck genommen werden. Jn
dieſem Exempel aber haben wir 2 Centenarios
davon ein Stuͤck genommen, welches durch das
hinzugeſetzte Punct angedeutet wird, macht 10
Decades. Da wir nun Decades haben, ſo koͤn-
nen wir davon ein Stuͤck nehmen, und zu den
Unitæten ſchlagen; da dann noch 9 Decaden zu-
ruͤck bleiben, welche man ſich anſtatt der 0 auf
der zweyten Stelle der oberen Zahl einbilden muß.
Auf dieſe Weiſe haben wir nun 15 Unitæten,
davon die 7 weggenommen bleiben 8 Unitæten
uͤber, ſo in den Reſt auf die Stelle der Unitæten
geſetzet werden. Wegen dieſer Operation haben
wir nun 2 Decades nicht von 0, ſondern von 9 De-
cadibus abzuziehen, bleiben allſo 7 uͤbrig, ſo unter
die Linie auf die zweite Stelle geſchrieben werden.
Drit-
[59]
Drittens ſind 8 Centenarii von einem Cen-
tenario abzuziehen, welches, weilen es nicht ge-
ſchehen kan, wird der eine Millenarius gleich da-
zu gethan, daß man 11 Centenarios bekommt,
davon ſo die 8 Centenarii abgezogen werden, 3
zuruͤck bleiben, und folglich dieſer Reſt 378 her-
auskommt. Aus dieſem Exempel ſieht man nun
deutlich, daß die obgegebene Regel nicht voͤllig
hinlaͤnglich ſey, ſondern oͤffters einen Zuſatz von-
noͤthen haben, wodurch in den Figuren der obe-
ren Zahl, groſſe Veraͤnderungen entſpringen.
Dieſem ſoll allſo durch die nachfolgende Regel
abgeholffen werden.

7.)

Wenn, wie vorher geſetzet worden,
die Anzahl der Stuͤcke von einer Sorte in
der unt[e]ren oder kleineren Zahl groͤſſer iſt,
als die Anzahl der Stuͤcke von eben der Sor-
te in der oberen Zahl, ſo muͤſſen zu dieſen
Stuͤcken der oberen Zahl noch 10 Stuͤcke
im Sinn hinzugeſetzet werden, da denn die
Subtraction wird geſchehen koͤnnen. So aber
dieſes geſchieht, ſo muß die Anzahl der
Stuͤcke von der folgenden Sorte in der un-
teren Zahl um ein Stuͤck vermehrer werden,
welches mit einem Punct ſo man hinzuſetzt,
angedeutet wird, und in der folgenden Sub-
traction bemereket werden muß.

Dieſe Regel entſpringt aus der vorhergehen-
den hat aber vor derſelben dieſen Vortheil vor-
aus, daß man allezeit die folgende untere Zahl
um
[60]
um ein Stuͤck vermehren kan, dieſelbe mag ei-
ne Ziffer ſeyn oder nicht. Nach der vorherge-
henden Regel aber muſte in ſolchem Fall, wenn
eine Figur in der oberen Zahl iſt um 10 vermeh-
ret worden, die folgende Figur der oberen Zahl
um 1 Stuͤck vermindert werden, welches nicht
angeht, wenn dieſelbe eine Ziffer oder 0 iſt. Der
Grund aber dieſer jetztgegebenen Regel beruhet
auf folgendem Satz. Wenn eine Zahl von ei-
ner anderen abgezogen werden ſoll, ſo kommt
eben der Reſt heraus, wenn gleich eine jede Zahl
um ein Stuͤck vermehret wird. Als 5 von 8
bleiben 3; eben dieſer Reſt kommt aber auch
heraus, wenn die beyden Zahlen 5 und 8 um ei-
nes vermehret werden, und 6 von 9 abgezogen
wird. Alſo wenn ich ſoll 2 von 7 abziehen, ſo
irre ich nicht, wenn ich 3 von 8 abziehe, denn
ich bekommen den wahren Reſt, nehmlich 5.
Die Wahrheit dieſes Satzes iſt nicht noͤthig
mit mehr Beweiſſtuͤmmeven darzuthun; ſondern
einjeder wird durch weniges Nachdencken dieſelbe
bald einſehen. Laſſet uns nun ein Exempel, ſo
nach der erſteren Regel iſt berechnet worden, da-
von wir den Grund ſchon dargethan, vor die
Hand nehmen, und uns dabey dieſes jetztgegebe-
nen Grundſatzes bedienen. Nehmlich es ſollen
38 von 82 abgezogen werden, welche Zahlen all-
ſo wie folgt zu ſtehen kommen.

der Reſt

Jch ſage nehmlich 8 Unitæten von 2 Unitæ-
ten koͤnnen nicht abgezogen werden; nehme dero-
halben eine Decadem von den 8 Decaden weg,
welche 10 Unitæten ausmacht, dieſe ſetze ich zu
den 2 Unitæten und bekomme alſo 12, davon
kan ich 8 wegnehmen und bleiben 4 Unitæten
uͤbrig, ſo ich unter die Linie ſetze. Ferner muß
ich 3 Decades nur von 7 Decaden abziehen, wei-
len von 8 ſchon eine Decas iſt weggenommen, und
zu den Unitæten geſchlagen worden. Wenn ich
aber Kraft des gegebenen Grundſatzes dieſe beyden
Zahlen 3 und 7 um eines vermehre, ſo bekom-
me ich fuͤr die obere Zahl wiederum 8, wie die-
ſelbe ſchon wuͤrcklich da ſteht, anſtatt der unteren
Zahl 3 aber bekomme ich 4, welche von 8 abgezo-
gen 4 zuruͤck laſſen, eben als wenn ich nach der
erſten Regel 3 von 7 ſubtrahiret haͤtte. Hieraus
folget, daß, wenn man eine der oberen Zahlen
um 10 vermehret hat, man anſtatt die folgende
obere Figur um eines zu verminderen, die fol-
gende untere Zahl um eines vermehren koͤnne,
welches mit einem hin zugeſetzten Punckt angeden-
tet wird. Um nun die Ubereinſtimmung dieſer
Regel mit der vorhergehenden beſſer zu zeigen, ſo
wollen wir die beyden dort gegebenen Exempel
auch auf dieſe Art allhier ausrechnen.

Reſt.

Als da 9 von 4 nicht koͤnnen abgezogen wer-
den, ſetze ich 10 zu 4, die folgende untere Figure
8 aber vermehre ich mit einem Stuͤck, ſo ich
durch das beygeſetzte Punct andeute. Sage de-
rohalben 9 von 14 bleiben 5, welche Zahl ich un-
ter die Linie auf die erſte Stelle ſetze.

Ferner ſage ich wegen dem bey dem 8 ſtehen-
den Punct 9 von 6 kan ich nicht abziehen, ſage
deswegen 9 von 16, und ſetze zu der folgenden
unteren Figur 7 ein Punckt, 9 aber von 16
genommen laſſen 7 zuruͤck, welche unter die Linie
auf die zweyte Stelle ſchreibe. Drittens ſage ich
nicht 7, ſondern wegen dem Punckt 8 von 3 kan
ich nicht, alſo 8 von 13 bleiben 5, dieſe 5 kom-
men unter die Linie auf die dritte Stelle, zu der
vierten Figur, aber der unteren Zahl nehmlich zu
5 ſetze ich ein Punckt. Endlich ſage ich 6 von 7
bleiben 1, und ſchreibe alſo 1 unter die Linie auf
die vierte Stelle. Hiemit habe alſo fuͤr den voͤl-
ligen Reſt dieſe Zahl 1575, welche auch vorher
durch die daſelbſt gegebene Reael iſt gefunden
worden. Das andere dort gegebene Exempel
war folgendes.

Reſt.

Hier ſage alſo wiederum 7 von 5 kan ich
nicht abziehen, ſetze derohalben ein Punckt zu 2
und ſage 7 von 15 bleiben 8, welche Zahl unter die
Linie
[63]
Linie auf die erſte Stelle ſchreibe. Ferner habe
ich 3 von 0 oder nichts abzuziehen, welches weil
es nicht angeht, ſo ſetze ich ein Punckt zu dem 8
und ſage 3 von 10 bleiben 7 ſo ich unter die Linie
auf die zweyte Stelle ſetze. Drittens ſind 9 von
2 abzuziehen, welches gleichfalls nicht geſchehen
kan, ſollte deswegen ein Punckt zu der folgenden
unteren Figur ſetzen, weil aber keine mehr vor-
handen, ſo kan man ſich vorſtellen, als wenn eine
0 da ſtuͤnde, und auf dieſe Stelle das Punckt
ſetzen. Jch ſage alſo nach der Regel 9 von 12
bleiben 3, ſo unter die Linie auf die 3te Stelle zu
ſtehen kommen. Und weil dies Punckt unter dem
1 eines bedeutet, ſo ſage ich 1 von 1 bleibt nichts
oder geht auf, ſetze aber die 0 nicht unter Linie
auf die vierte Stelle, weilen eine 0, ſo zu An-
fang von der lincken Hand einer Zahl ſteht keine
Bedeutung hat. Man kan aber auch bey der
dritten Subtraction, da oben wuͤrcklich 12 ſtehet,
gleich 9 von den 12 abziehen; da dann die gantze
Operation ein Ende hat, dadurch man dieſen
Reſt gefunden 378, welcher auch auf die vorher-
gegebene Art iſt heraus gebracht worden. Man
ſieht aber leicht, daß in dieſem Exempel die Ope-
ration auf dieſe Art weit bequemer faͤllt, als auf
die vorhergehende Art. Wir wollen aber noch
ein Exempel beyfuͤgen, ſo nach der vorhergehen-
den Art vielmehr Muͤhe koſten wuͤrde.

Reſt.

Nun ſage ich 5 von 4 kan ich nicht, ſetze alſo
ein Punckt zu der folgenden unteren Figur 9, wo-
durch dieſelbe in 10 verwandelt wird, und ſage
5 von 14 bleiben 9, ſo unter die Linie auf die erſte
Stelle kommen. Zwcytens ſage ich 10 von 0
oder nichts kan ich nicht, ſetze alſo ein Punckt zu
der folgenden Figur nehmlich dem 0, und ſage 10
von 10 geht auf oder bleibt 0 ſo in dem Reſt auf
die zweyte Stelle zu ſtehen kommt. Drittens
ſage ich wegen dem Punckt 1 von 1 geht auf und
ſetze alſo auch in den Reſt auf die dritte Stelle 0.
Viertens ſage 8 von 0 kan ich nicht, und ſetze
deswegen zu dem 7 ein Punct; und ſage 8 von
10 bleiben 2, ſo ich unter die Linie ſchreibe. Fuͤnf-
tens habe ich wieder 8 von 0, ſetze allſo ein Punct
zu 6 und ſage 8 von 10 bleiben 2, ſo ich unter
die Linie ſchreibe. Sechſtens ſage ich 7 von 3
kan ich nicht, ſetze allſo ein Punct auf die folgen-
de Stelle der unteren Zahl, obgleich keine Figur
mehr vorhanden und bilde mir ein, als wenn
dort eine 0 ſtuͤnde; ſage demnach 7 von 13 blei-
ben 6, welche Zahl ich unter die Linie ſchreibe.
Endlich hat man 1 von 2 abzuziehen und bleibet 1
welches im Reſt auf die folgende Stelle geſetzet
wird. Der geſuchte Reſt iſt folglich dieſe Zahl
1622009.

8.)

Wenn eine kleinere Zahl von einer
groͤſſeren abgezogen werden ſoll, ſo ſchreibe
man die kleinere ſo unter die groͤſſere, daß
dieUnitætenunter dieUnitæten,dieDecaden
un-
[65]
unter dieDecaden,und ſo fort zu ſtehen
kommen Ferner ziehe man unter dieſelben
eine Linie, unter welche der geſuchte
Reſt auf folgende Art geſchrieben wer-
den ſoll. Man fange dieOperationbey
denUnitætenzur rechten Hand an, und zie-
he dieUnitætenvon denUnitæten,ferner
dieDecadenvon denDecadenund ſo fort,
die uͤbrigen Sorten von einander ab, wenn
die Anzahl einer jeglichen Sorte in der oberen
Zahl groͤſſer iſt, als in der unteren. Jſt
aber irgendwo die Anzahl von einer Sorte
in der unteren Zahl groͤſſer, als in der obe-
ren, ſo vermehre man nach der vorhergege-
benen Regel die obere Zahl mit 10, da denn
dieS btractionbewerckſtelliget werden kan.
Jn ſolchem Fall aber muß die folgende Fi-
gur zur lincken Hand der unteren Zahl mit
einem Stuͤck, ſo durch ein Punct angedeu-
tet wird, vermehret werden. Auf ſolche
Art ſtelle man alſo dieSubtractionbey einer
jeglichen Sorte an, und ſetze einen jeglichen
Reſt auf ſeine gehoͤrige Stelle unter die Li-
nie. Da man denn nach Endigung der gan-
tzenOperationden voͤlligen geſuchten Reſt
unter der Linie finden wird.

Die beyden Zahlen werden deswegen auf ge-
meldte Art unter einander geſchrieben, damit die
Zahlen von gleichen Sorten als Unitæten, De-
caden und ſofort unter einander zu ſtehen kom-
Emen
[66]
men und allſo fuͤglicher gegen einander betrachtet
werden koͤnnen. Die groͤſſere Zahl wird aber des-
wegen jederzeit oben geſchrieben, auf daß man
ſich, wenn man das einmahl bemercket, in der
Subtraction nicht irren moͤchte. Wenn eine je-
gliche Figur der oberen Zahl groͤſſer waͤre, als die
darunter ſtehende, ſo koͤnnte man die Operation
nach Belieben, ſowohl von der rechten als lincken
Hand anfangen, und wurde auch immer einerlev
Reſt bekommen. Allein da, wenn eine Figur
in der unteren Zahl groͤſſer iſt, als die obſtehende,
die nach der lincken Hand folgende Figur in der
unteren Zahl um ein Stuͤck vermehret und allſo
veraͤndert werden muß, ſo muß in ſolchem Fall
die Operation von der rechten Hand angefangen
und nach der lincken fortgeſetzet werden. Was
nun bey Subtrahirung einer jeglichen Sorte uͤber-
bleibt, wird unter die Linie unter eben dieſe Sor-
te geſetzet, damit eine jegliche in der Subtraction
gefundene Zahl auf ihre gehoͤrige Stelle zu ſte-
hen komme. Wo eine Figur der unteren Zahl
der obſtehenden gleich iſt und allſo nichts uͤber-
bleibt, wird eine Ziffer 0 unter die Linie an die-
ſe Stelle geſchrieben, woferne ſolches nicht zu
Ende der Operation geſchieht. Denn in ſolchem
Falle waͤre es unnoͤthig die 0 zu ſchreiben, weilen
die 0 von der lincken Hand anfangs nichts be-
deuten, und auch auf die Bedeutung der folgen-
den Zahlen keinen Einfluß haben. Die gantze
Operation wird aber am fuͤglichſten durch einige
Exem-
[67]
Exempel erlaͤutert werden. Als von 273024 ſoll
abgezogen werden 65372, welche demnach auf
folgende Art geſchrieben werden.

Reſtirt.

Hierauf ſagt man 2 von 4, bleiben 2 ſo un-
ter die Linie geſchrieben werden. Ferner 7 von
2 kan man nicht, ſetzt deswegen zum folgenden
3 ein Punct und ſagt 7 von 12 bleiben 5. Drit-
tens 4 von 0 kan man nicht, ſetzt deswegen zum
folgenden 5 ein Punct und ſagt 4 von 10 bleiben
6. Viertens 6 von 3 kan man nicht, ſetzt allſo
ein Punct zu der folgenden Figur 6 und ſagt 6
von 13 bleiben 7. Fuͤnftens ſagt man 7 von 7
geht auf, ſchreibet allſo eine 0 unter die Linie.
Endlich da unter dem letzten 2 der oberen Zahl
nichts ſteht, heißt es nichts von 2 bleiben 2, ſo
unter die Linie auf die letzte Stelle nach der lin-
cken Hand kommt. Weswegen allſo der geſuchte
Reſt gefunden wird 207652. Gleichergeſtalt
werden auch folgende Exempel ausgerechnet.

Jtem

Dergleichen Exempel kan ſich nun ein jeder
ſo viel aufſetzen und ausrechnen als er zur Ubung
und zu Erlangung der gehoͤrigen Fertigkeit
von noͤthen hat. Damit man aber auch wiſſe
in was fuͤr Faͤllen die Subtraction zu ſtatten kom-
me, und was fuͤr in dem gemeinen Leben vorfal-
lende Fragen durch Huͤlfe der Subtraction koͤn-
nen aufgeloͤſet werden, ſo wollen wir dergleichen
etliche Fragen beyfuͤgen.

9)

Letztens iſt noch zu mercken eine ge-
naue Verwandſchaft, welche zwiſchen dieſen
zweyen erſtenOperationennehmlich derAd-
ditionundSubtractionſtatt findet. Denn bey
derAdditionwenn von der Summ zweyer
Zahlen die eine Zahl abgezogen wird, ſo
muß allzeit die andre zuruͤck bletben. Ferner
bey derSubtractionwenn die kleinere Zahl
zum Reſtaddiret wird, ſo kommt die groͤſſere
Zahl heraus; und wenn man den Reſt von
der groͤſſeren Zahlſubtrahiret, ſo kommt die
kleinere Zahl heraus. Hieraus entſpringen
E 3nun
[70]
nun Proben ſo wohl fuͤr dieAdditionals
dieSubtraction.Denn nach dem erſten Satz
kan einjedes Exempel derAddition,darinn
zwey Zahlen ſindaddret worden durch die
Subtractionprobirt werden. Kraft des zwey-
ten Satzes kan ein Exempel derSubtraction
durch dieAddition,und kraft des dritten
Satzes durch dieSubtractionſelbſt probirt
werden.

Daß, wenn in der Subtraction der Reſt zu
der kleineren Zahl addiret wird, die groͤſſere Zahl
herauskomme, iſt ſchon oben N. 2 gewiefen
worden. Deswegen iſt alſo die Summ des Reſts
und der kleineren Zahl der groͤſſeren Zahl gleich.
Hieraus folget nun von ſich ſelbſt, daß wenn man
von der Summ zweyer Zahlen die eine Zahl ab-
zieht, die andere uͤbrig bleibe; und folglich auch
wenn man in der Subtraction von der groͤſſeren
Zahl, als der Summe des Reſts und der kleine-
ren, den Reſt abzieht, daß die kleinere Zahl uͤber-
bleiben muͤſſe. Wenn man zum Exempel die
Zahlen 5728 und 3875 zuſammen addiret, ſo fin-
det man dieſe Summ 9603. Von dieſer Summ
wenn man allſo die Zahl 5728 abzieht, ſo bleibt die
Zahl 3875 uͤbrig. Wenn man aber 3875 abzieht
von 9603, ſo bleibt die andere Zahl 5728 uͤbrig.
Wenn man ferner von der Zahl 12304 dieſe Zahl
8436 abzieht, ſo findet man dieſen Reſt 3868.
Haͤtte man aber einen Zweyfel, ob man in der
Operation nicht gefehlet haͤtte, ſo kan man ent-
weder
[71]
weder die Zahlen 8436 und 3868 zuſammen addi-
ren und ſehen ob 12304 herauskommt. Oder man
kan 3868 von 12304 abziehen, und ſehen ob die
Zahl 8436 zuruͤck bleibt: wodurch man ſich von
der Richtigkeit der Operation vorgewiſſeren kan.
Und dieſes ſind allſo die Proben, derer man ſich
bey der Subtraction bedienen kan.

1.

Jn derMultiplicationwird gelehret, wie
man eine Zahl finden ſoll, welche ent-
weder 2 mahl oder 3 mahl oder ſo viel
mahl als man beliebet, groͤſſer ſey, als eine
gegebene Zahl. DieſeOperationgiebt dem-
nach beſondere Regeln an die Hand, durch
derer Huͤlfe man eine gegebene Zahl nach
Belieben vervielfaͤltigen, und allſo eine Zahl
finden kan, in welcher die gegebene Zahl ſo
vielmahl enthalten iſt, als man verlanget.

Der erſte Begriff, den wir uns von der
Arithmetic machen, leitet uns nur auf 2 Ope-
rationen, davon die eine in Vermehrung einer
Zahl, die andere aber in Verminderung beſtehet.
E 4Je-
[72]
Jenes geſchiehet, wenn man zu einer Zahl noch eine
oder mehr Zahlen hinzuſetzt, dieſes aber wenn
man von einer Zahl etwas hinwegnimmt: und
dieſe Operationen ſind allſo die Addition und
Subtraction, davon in den zweyen vorhergehen-
den Capiteln iſt gehandelt worden. Die uͤbri-
gen Operationen aber, welche gleichfals zur
Arithmetic gezehlet werden, entſtehen aus dieſen,
und geben beſondere Regeln fuͤr beſondere Auf-
gaben, durch welche dieſelben weit geſchwinder
und leichter aufgeloͤſet werden koͤnnen, als durch
die Addition oder Subtraction allein. Solcher-
geſtalt iſt es mit der Multiplication beſchaffen, als
darinn gelehret wird, wie man eine ſonderbahre
Art von Fragen, welche zur Addition gehoͤren,
weit bequemer aufloͤſen koͤnne, als durch die bloſſe
Addition geſchehen kan. Jn der Multiplication wird
nehmlich gelehret, wie man nur allein die Summ
zweyer oder mehr Zahlen finden ſoll, welche ein-
ander gleich ſind; da ſich die Addition auf die
Erfindung der Summ von zweyen oder mehr ge-
gebenen Zahlen, ſo einander auch nicht gleich ſind,
erſtrecket. Woraus erhellet, daß alle Fragen,
ſo zur Multiplication gehoͤren, auch durch die
Regeln der Addition aufgeloͤſet werden koͤnnen,
wozu aber mehr Zeit und Muͤhe erfordert wird,
als durch die Regeln der Multiplication. Hier
iſt aber nur die Rede von gantzen Zahlen; indem
wir von gebrochenen Zahlen erſt im folgenden ei-
nen Begriff bekommen werden. Allſo wenn man
fragt
[73]
fragt, wieviel drey mahl 128 ausmache, ſo iſt die-
ſes eine Frage, welche zur Multiplication gehoͤret;
dieſelbe kan aber auch durch die Addition aufge-
loͤſet werden, wenn man 128 drey mahl unter ein-
ander ſchreibt, und dieſe drey Zahlen zuſammen
addiret, wie folget:

wodurch denn gefunden wird, daß 128 dreymahl
genommen 384 ausmache. Dieſes Exempel kan
zwar leicht durch die Regeln der Addition ge-
rechnet werden; wenn man aber fragen ſollte,
wieviel 169 mahl 1204 ausmache, ſo muͤßte man
die Zahl 1204 hundert und neun und ſechzig Mahl
unter einander ſchreiben, und dieſe 169 Zahlen zu-
ſammen addiren, da denn die Summ die verlangte
Zahl geben wuͤrde. Dieſes aber wurde ſowohl
viel Zeit als Raum erforderen. Weswegen
hierzu die Regeln der Multiplication weit vortheil-
hafter zu gebrauchen ſind.

2)

Diejenige Zahl, davon die Frage iſt,
wieviel dieſelbe etliche mahl genommen aus-
mache, wird derMultiplicandusgenannt; die
Zahl aber welche anzeigt, wievielmahl die-
ſelbe genommen werden ſoll, wird derMul-
tiplicatorgenannt. Da man denn auch zu ſa-
gen pflegt, daß jene Zahl durch dieſemulti-
pliciret werden ſoll. Die Zahl aber welche
E 5durch
[74]
durch dieMultiplicationgefunden wird, nen-
net man dasProductum.

Wenn man die Multiplication auf die Addi-
tion reduciren will, ſo wird darinn, wie vorher
gemeldet, die Summe von 2 oder mehr Zahlen
geſucht, ſo einander gleich ſind. Hier iſt nun
erſtlich diejenige Zahl zu mercken, deren eine
jegliche der Zahlen, welche zuſammen ſollen addiret
werden, gleich iſt; und dieſe Zahl wird nach den
gewoͤhnlichen Worten, ſo zur Multiplication ge-
braucht werden, der Multiplicandus genannt.
Ferner iſt zu mercken, wie viel mahl dieſe Zahl
ſoll genommen werden, oder wie groß die An-
zahl der Zahlen, welche alle dieſer gleich ſind,
und zuſammen addiret werden ſollen. Dieſe Zahl
wird nun der Multiplicator genannt. Die Summ
aber welche aus der Addition ſo vieler Zahlen,
welche alle dem Multiplicando gleich ſind, als
der Multiplicator anzeiget herauskommt, wird
das Productum genannt. Als wenn man fragt
wie groß die Zahl ſey, welche herauskommt, wenn
man 128 drey mahl nimmt, oder wenn man fragt
wie viel drey mahl 128 ausmache, ſo iſt 128 der
Multiplicandus, die Zahl 3 aber der Multiplica-
tor und die oben gefundene Summ nehmlich 384
das Productum. Gleichergeſtalt wenn die Frage
iſt, wie viel 169 mahl 1204 ausmache, ſo iſt
1204 der Multiplicandus, 169 der Multiplicator,
und die Summ von 169 Zahlen, derer eine jede
gleich iſt der Zahl 1204, iſt das Productum.
Der
[75]
Der Multiplicandus allſo und der Multiplicator
ſind die zwey gegebenen Zahlen, oder ſind bey
jedem vorgelegten Exempel bekannt: das Pro-
ductum aber iſt die Zahl, welche gefunden wer-
den ſoll: worzu die Multiplication die noͤthigen
Regeln an die Hand giebt. Hiebey iſt aber zu
beobachten, daß der Multiplicandus und der
Multiplicator unter ſich verwechſelt werden koͤn-
nen, oder daß man ohne einen Fehler zu begehen
den Multiplicator an das Multiplicandi Stelle,
den Multiplicandum aber an des Multiplicatoris
Stelle ſetzen koͤnne. Als wenn man fragt, wie
viel 8 mal 9 ausmache, oder wie viel heraus-
komme, wenn man 9 mit 8 multipliciret, ſo iſt
zwar 9 der Multiplicandus und 8 der Multiplica-
tor: man kan aber auch 8 fuͤr den Multiplican-
dum annehmen und 9 fuͤr den Multiplicator,
denn 9 mahl 8 oder 8 neun mahl genommen macht
eben ſo viel aus, als 8 mahl 9 oder 9 acht mahl ge-
nommen, in beyden Faͤllen kommt nehmlich 72
heraus. Dieſe Ubereinſtimmung kan am fuͤglich-
ſten durch beygeſetzte F[i]gur bewieſen werden.

Jn dieſer F[i]gur ſind in einer jeg-
lichen Reihe von der lincken zur
rechten 8 Punckten, dergleichen
Reihen aber ſind an der Zahl 9,
weswegen die Anzahl aller Punck-
te ausweißt, wieviel 8 neun mahl
genommen ausmacht, nehmlich 72.

Wenn wir aber die Reihen dieſer Punckten
von oben herab betrachten, ſo finden wir in je-
der Reihe 9 Punckte, und nur 8 ſolche Reihen,
weswegen die Anzahl aller Punckte ausweißt,
wieviel 9 acht mahl genommen ausmache. Da
nun in beyden Fallen die Anzahl aller Punckte
einerley iſt nehmlich 72, ſo ſieht man hieraus,
daß 8 neun mahl genommen eben ſo viel ausmache
als 9 acht mahl genommen. Welcher Beweiß
ebenfalls ſich auf alle anderen dergleichen Exem-
pel erſtrecket, ſo daß einjeder die Wahrheit dieſes
Satzes aus dieſem angefuͤhrten Exempel leicht
einſehen wird. Da man nun nicht noͤthig hat
zwiſchen denen beyden bey einer jeglichen Multi-
plication gegebenen Zahlen, nehmlich dem Mul-
tiplicando und dem Multiplicatore einen Unter-
ſchied zu betrachten, ſo pflegen auch beyde mit ei-
nerley Nahmen beleget, und Factores genennet
zu werden: und aus Anleitung dieſes Nahmens
wird das Productum auch das Factum genennt.
Gleichergeſtalt, wenn man ſagen will, daß zum
Exempel 8 neun mahl genommen werden ſoll, ſo
pflegt man auch zu ſagen, daß die beyden Zahlen
8 und 9 mit einander ſollen multipliciret werden.
Hieraus wird nun einjeder verſtehen, wenn man
ſagt, daß die Multiplication lehre zwey gegebene
Zahlen mit einander multipliciren, in dem es
gleich viel iſt, welche von dieſen beyden Zahlen
fuͤr den Multiplicandum oder Multiplicatoren an-
genommen wird.

3)

Ehe aber einer dieOperation,wozu
dieMulriplicationdie Regeln an die Hand
gibt, wuͤrcklich anſtellen kan, ſo wird er-
fordert, daß derſelbe wiſſe alle Zahlen ſo
kleiner ſind als 10 mit einander zumultiplici-
ren, oder von je zweyen ſolchen Zahlen das
ProductumoderFactumanzuzeigen. Welches
man entweder durch dieAdditionfinden,
oder aus nachfolgender Tabelle erſehen kan.
Beſſer aber iſt es, wenn man ſich dieſe Ta-
belle wohl bekannt macht und dieſelbe gar
auswendig lernet.

Die zwey Zahlen, welche mit einander mul-
tipliciret werden ſollen, moͤgen ſo groß ſeyn als
man will, ſo werden ſolche Regeln gegeben wer-
den, daß man dieſelben mit einander multiplici-
ren, und das Productum finden kan, wenn man
nur je zwey Zahlen, davon eine jede kleiner iſt
als 10 mit einander multipliciren kan. Dieſes
wird in der Multiplication eben ſo erfordert, als
in der Addition iſt erfordert worden, daß man
wiſſe zwey Zahlen, ſo kleiner ſind als 10 zuſam-
men zu ſetzen oder zu addiren. Man hat aber
hierinn dieſen Vortheil, daß wenn man gleich
nicht wiſſen ſollte, wie viel zwey ſolche einfache
Zahlen mit einander multipliciret ausmachen,
man daſſelbe durch die Addition leicht finden kan.
Als wenn einer je nicht wiſſen ſollte, wie viel 9
ſieben mahl genommen ausmacht, ſo darf er nur
9 ſieben mahl unter einander ſchreiben und zuſam-
men
[78]
men addiren, da ihm dann die Summ das ge-
ſuchte Product geben wird. Dieſe Muͤhe aber
einem zu benehmen, ſo haben wir gewoͤhnlicher
maſſen dieſe Tabelle beygefuͤgt, woraus man ſo-
gleich das Product, welches durch Multiplici-
rung zweyer einfachen Zahlen mit einander her-
auskommt, finden kan. Damit aber einer nicht
noͤthig habe eine ſolche Tabelle allzeit bey ſich zu
fuͤhren, ſo iſt noͤthig, daß einjeder welcher im
rechnen fertig zu ſeyn verlanget, dieſe Tabelle
auswendig lerne, welche folget.

Dieſe Tabelle, welche zu erſt von dem Pytha-
goras ſeinen Schuͤlern ſoll vorgeleget werden ſeyn,
pflegt theils die Pythagoriſche Tabelle, theils
auch das ein mahl eins benennet zu werden. Dieſe
letztere Benennung fuͤhret dieſelbe deswegen, wei-
len man gemeiniglich von einmahl eins iſt eins
anzufangen pflegt. Da aber eine jede Zahl mit
eins multipliciret oder einmahl genommen in ihrer
Groͤſſe unveraͤndert bleibt, ſo haben wir die
Multiplication der einfachen Zahlen mit eins
nicht beygeſetzet. Derowegen pflegt man zu ſa-
gen, daß eins nicht multiplicire; allſo iſt einmahl
2 zwey, 1 mahl 3 drey und ſo fort in allen Zahlen
welche auch groͤſſer ſind als 9. Hiebey iſt auch
ferner zu mercken, daß eine jegliche Zahl mit 0
multipliciret nichts ausmache, weilen nichts oder
0, es mag ſo vielmahl genommen werden, als
man will, immer nichts bleibt. Dieſes kan auch
durch die obangebrachte Art die Multiplication
durch Puncten vorzuſtellen erlaͤutert werden, da
die Anzahl der Puncte, ſo in einer Reihe ſtehen,
den Multiplicandum vorſtellet, die Anzahl der
Reihen aber den Multiplicatorem: wo dann die
Anzahl aller Puncten, ſo in allen Reihen enthalten
ſind, das geſuchte Product weiſet. Wenn nun
der Multiplicator eins iſt, ſo iſt nur eine Reihe
vorhanden, und folglich das Productum ſo groß
als der Multiplicandus ſelbſt. Wenn aber der
Multiplicator nichts iſt, ſo muß gar keine Reihe
und folglich auch kein Punct vorhanden ſey, wes-
we-
[80]
wegen allſo das Product nichts ſeyn wird. Um
aber den Gebrauch der Tabelle zu weiſen, ſo iſt
zu beobachten, daß, wenn man von zweyen Zah-
len, die beyde kleiner ſind als 10, das Product
wiſſen will, man die kleinere Zahl in der erſten
Reihe von oben herab ſuche, und ſehe, wo die
andere Zahl in der zweyten Reihe daneben ſtehe,
da denn die Zahl in der dritten Reihe das Pro-
duct weiſen wird.

4)

Wenn eine Zahl ſo groß ſie auch immer
ſeyn mag, durch eine einfache Zahl, welche
kleiner iſt als 10,multipliciret werden ſoll,
ſo kan daſſelbe durch die vorhergehende Ta-
belle bewerckſtelliget werden, wenn man ſo
wohl die Anzahl derUnitætenalsDecaden,
undCentenariorumund ſo weiter mit derſel-
ben einfachen Zahlmultipliciret, indem von
keiner dieſer verſchiedenen Sorten mehr als
9 Stuͤcke vorkommen koͤnnen, und alle die
gefundenenProductazuſammen thut; welche
alle zuſammen das geſuchteProductausma-
chen.

Aus der vorhergegebenen Tabelle kan man
nicht nur finden, wieviel zum Exempel 7 mahl 8
Unitæten ausmachen, ſondern auch wieviel 7
mahl 8 Decades, oder 7 mahl 8 Centenarii, und
ſo fort, 7 mahl 8 von einer jeglichen Sorte be-
tragen. Denn da man aus derſelben Tabelle ſie-
het, daß 7 mahl 8 ſechs und fuͤnffzig machen, ſo
verſtehet man von ſich ſelbſt, daß 7 mahl 8 Uni-
tæten
[81]
tæten 56 Unitæten, 7 mahl 8 Decades aber 56
Decades, und 7 mahl 8 Centenarii 56 Centena-
rios ausmachen, und ſofort bey allen uͤbrigen Sor-
ten. Derohalben kan man durch Huͤlfe dieſer
Tabelle die Anzahl der Stuͤcke, ſo von einer je-
glichen Sorte in einer zuſammengeſetzten Zahl
vorhanden ſind, mit einer jeglichen einfachen Zahl
multipliciren. Wenn aber eine zuſammengeſetzte
Zahl durch eine gegebene Zahl multipliciret wer-
den ſoll, ſo wird man das geſuchte Product fin-
den, wenn man einen jeglichen Theil, daraus
dieſelbe Zahl beſtehet, mit dieſer vorgegebenen
multipliciret, und alle dieſe herausgebrachten Pro-
ducta zuſammen in eine Summ bringet.

Dieſes erhellet aus der Addition, als in
welcher die Multiplication gegruͤndet iſt, in wel-
cher man um die Summ vieler Zahlen zu finden,
alle beſondren Sorten oder Theile, aus welchen
dieſelben Zahlen beſtehen, zuſammen thut, da
denn alle Summen von allen beſonderen Sorten
zuſammen die gantze Summ ausmachen. Wenn
ich zum Exempel die Zahl 237 ſoll mit 4 multiplici-
ren, und dieſes durch die Addition verrichte, indem
ich die Zahl 237 vier mahl untereinander ſchreibe
und dieſe 4 Zahlen zuſammen addire wie folget:
ſo nehme ich in der That erſtlich die 7 Uni-
tæten vier mahl, zweytens auch die 3 De-
cades vier mahl, und drittens auch die 2 Cen-
tenarios vier mahl, welche 3 beſonderen
Theile vier mahl genommen zuſammen die
Fgan-
[82]
gantze Zahl vier mahl genommen ausmachen
nehmlich 948. Eben dieſes Exempel nun durch
die Multiplication auszurechnen, ſo hat man erſt-
lich zu mercken, daß die gegebene Zahl 237 aus
folgenden Theilen beſtehe, nehmlich aus 7 Uni-
tæten, 3 Decaden und 2 Centenariis. Wenn
man ferner einen jeglichen Theil mit 4 multipli-
ciret, ſo wird man finden, daß 4 mahl 7 Uni-
tæten 28 Unitæten ausmachen, 4 mahl 3 De-
cades aber 12 Decades, und 4 mahl 2 Centena-
rii 8 Centenarios. Woraus erhellet, daß die
Zahl 237 vier mahl genommen ausmache 28 Uni-
tæten, 12 Decades und 8 Centenarios: das iſt
8 Unitæten, 4 Decades und 9 Centenarios oder
948 wie oben gefunden.

5)

Um demnach eine gegebene Zahl mit
einer Zahl, welche kleiner iſt als 10 zumul-
tipliciren,multiplicire man erſtlich dieUnitæ-
tenmit der einfachen Zahl, als demMulti-
plicatorund wenn dasProductaus mehr als
9 Unitætenbeſtehet, ſo mache man daraus ſo
vielDecadesals geſchehen kan, welche in der
folgendenOperationzu denDecadibusmuͤſſen
gethan werden, die uͤbrigenUnitætenaber
ſchreibt man in dasProductin die erſte Stel-
le nach der rechten Hand Hieraufmultipli-
cire man dieDecadesmit der gegebenen Zahl
und zumProductſetze man diejenigeDecades
ſo in derMultiplicationderUnitætenentſprun-
gen, hinzu. Wenn nun dieſesProductauch
groͤſ-
[83]
ſer iſt als 9, ſo formire man daraus ſo viel
Centenariosals ſeyn kan und ſchreibe die uͤbri-
genDecadesauf die 2te Stelle insProduct.
Gleichergeſtalt verfahre man in derMulti-
plicationder folgenden Sorten, da man denn
das geſuchteProductbekommen wird.

Daß ein jeder Theil oder eine jede Anzahl
der Stuͤcke einer jeglichen Sorte, daraus die Zahl
ſo multipliciret werden ſoll, beſtehet, mit dem
Multiplicator muͤſſe multiplieiret werden, und alle
dieſe ſonderbaren Producte zuſammen das gantze
geſuchte Product ausmachen, iſt ſchon im vorher-
gehenden erwieſen worden. Wenn aber durch
dieſe Multiplication mehr als 9 Stuͤcke von einer
Sorte heraus kommen, ſo muͤſſen, wie in der Ad-
dition gelehret worden, vor je 10 ſolcher Stuͤcke
je ein Stuͤck zu der folgenden Sorte geſchlagen
werden: welche demnach ſo lange in Sinn be-
halten, biß die Multipl[i]cation mit der folgenden
Sorte geſchehen, und dann zum Product gethan
werden muͤſſen. Dieſe Operation wird aber
durch ein Exempel deutlicher begriffen wer-
den. Als wenn man ſoll dieſe Zahl 3596 mit 7
multipliciren, ſo pflegt man dieſelbe zu ſchreiben
wie folgt.

Multiplicandus
Multiplicator
Productum

Die Theile der gegebenen Zahl ſind allſo 6
Unitæten, 9 Decades, 5 Centenarii und 3 Mil-
lenarii, derer ein jeder ins beſondere mit 7 multi-
pliciret werden muß, wie folget: 7 mahl 6 Uni-
tæten macht 42 Unitæten. das iſt 4 Decades
und 2 Unitæten, dieſe 2 Unitæten ſchreibt man
unter die Linie auf die Stelle der Unitæten die 4
D[e]cades aber behaͤlt man zur folgenden Opera-
tion der Decaden. Alsdenn ſagt man 7 mahl
9 Decades macht 63 Decades, wozu die vorher
herausgekommenen 4 Decades gethan macht 67
Decades das iſt 6 Centenarii und 7 Decades,
dieſe 7 Decades ſchreibt man ins Product auf die
zweyte Stelle, die 6 Centenarios aber behaͤlt
man zum Product der folgenden Operation da
auch Centenarii herauskommen. Nehmlich 7
mahl 5 Centenarii machen 35 Centenarios, wel-
che mit den 6 vorhergehenden 41 Centenarios be-
tragen, das iſt 4 Millenarios und 1 Centenarium.
Dieſer 1 Centenarius wird auf ſeine gehoͤrige
Stelle in das Product geſchrieben und die 4 Mil-
lenarii zur folgenden Operation aufbehalten.
Endlich ſagt man 7 mahl 3 Millenarii machen 21
Millenarii dazu die vorigen 4 Millenarii hinzuge-
than machen 25 Millenarios das iſt 5 Millenarios,
ſo in die gehoͤrige Stelle ins Product geſetzet wer-
den, und 2 Decades Millenariorum welche,
weilen keine Operation mehr uͤbrig iſt gleichfalls
auf ihre gehoͤrige Stelle kommen. Das gantze
Product, welches gefunden worden, iſt demnach
dieſes
[85]
dieſes 25172, welche Zahl folglich 7 mahl groͤſſer
iſt als die vorgegebene 3596. Wenn in der Ope-
ration, wie ſie in dieſem Exempel iſt gemacht
worden, die Nahmen der Sorten ausgelaſſen
werden, weilen bey einer jeglichen Sorte die
Operation einerley iſt, ſo wird die gantze Ope-
ration weit kuͤrtzer. Auf ſolche Art wollen wir de-
rohalben folgendes Exempel ausrechnen.

• Multiplicandus
• Multiplicator
• Productum

Jn dieſem Exempel wird nehmlich eine Zahl
geſucht, welche 9 mahl groͤſſer ſey, als die vorge-
gebene Zahl 57203846; man fangt demnach die
Operation von den Unitæten an und ſagt, 9
mahl 6 oder 6 mahl 9 iſt 54, davon ſchreibt man
4 unter die Linie auf die erſte Stelle zur rechten
Hand in das Product, und 5 behaͤlt man im
Sinn. Zweytens ſagt man 9 mahl 4 oder 4
mahl 9 iſt 36, dazu thut man die 5 macht 41,
ſchreibt alſo 1 unter die Linie auf die zweyte Stelle,
und behaͤlt 4 im Sinn. Drittens ſagt man 9
mahl 8 oder 8 mahl 9 iſt 72, wozu die 4 gethan
macht 76, von dieſer Zahl ſchreibt man 6 unter
die Linie undbehaͤlt 7 im Sinn. Viertens ſagt
man 3 mahl 9 iſt 27, und 7 dazu macht 34,
ſchreibt man alſo 4 unter die Linie und behaͤlt 3
zur folgenden Operation. Fuͤnftens ſagt man
F 39
[86]
9 mahl 0 iſt 0, dazu die behaltenen 3 gethan
macht 3, welche Zahl alſo unter die Linie geſchrie-
ben wird, und hat nichts noͤthig im Sinn zu be-
halten. Sechſtens ſagt man 2 mahl 9 iſt 18 ſetzt
8 ins Product und behaͤlt 1 im Sinn. Sieben-
tens ſagt man 7 mahl 9 iſt 63, und 1 dazu iſt 64
ſetzt 4 ins Product und behaͤlt 6 im Sinn. Ach-
tens ſagt man 5 mahl 9 iſt 45 und die im Sinn
behaltenen 6 macht 51, welche gantze Zahl, wei-
len die Multiplication geendigt, ins Product ge-
ſchrieben wird; und auf dieſe Art iſt das unter
der Linie | ſtehende Product gefunden worden. Auf
gleiche Weiſe kan man nachfolgende Exempel
auch ausrechnen.

Aus welchen Exemplen genugſam zu erſehen iſt,
wie man eine jegliche Zahl, ſo groß dieſelbe auch
immer ſeyn mag, durch eine einfache Zahl multi-
pliciren und das Product finden ſoll; und iſt von
der gantzen Operation der Grund ausfuͤhrlick er-
klaret worden. Nun wollen wir alſo fortfahren
zu unterſuchen, wie die Multipl cation anzuſtellen
iſt, wenn der Multiplicator eine zuſammengeſetzte
Zahl oder groͤſſer als 9 iſt.

6)

Wenn eine Zahl ſo groß dieſelbe auch
immer iſt mit 10 multipliciret werden ſoll, ſo
hat man nur noͤthig zu derſelben Zahl von
der rechten Hand eine 0 hinzuzuſchreiben.
Soll aber eine Zahl mit 100 multiplicret wer-
den, ſo hat man zwey Nullen noͤthig hinzu-
zuſetzen. Soll man mit 1000 multipliciren, ſo
ſchreibt man drey Nullen hinzu; mit 10000 vier
Nullen und ſo fort immer ſo viel Nullen als in
ſolchenMultiplicatorennach dem 1 ſtehen.

Wenn eine Zahl mit 10 multipliciret werden
ſoll, ſo muß ein jeglicher Theil derſelben Zahl mit
10 multipliciret werden. Multipliciret man abeir
die Unitæten mit 10 ſo kommen ſo viel Decaden
heraus, als vorher Unitæten da waren. Die
Decaden aber werden in Centenarios, die Cen-
tenarii aber in Millenarios und ſo fort verwan-
delt. Da nun, wann zu derſelben Zahl von der
rechten Hand eine 0 hinzugeſetzet widr, eine jeg-
liche Sorte in die folgende, ſo zehen mahl groͤſſer
iſt, verwandelt wird, ſo wird durch Hinzuſetzung
F 4einer
[88]
einer 0 die gantze Zahl 10 mahl groͤſſer. Alſo iſt
10 mahl 5783 ſo viel 57830. Gleichergeſtalt wenn
zu einer Zahl von der rechten Hand zwey Nullen
hinzugeſchrieben werden, ſo werden die Unitæten
in entenarios, die Decaden in Millenarios,
die Centenarii in Decadesmillenariorum und ſo
fort eine jegliche Sorte in eine andere ſo 100 mahl
groͤſſer iſt verwandelt. Weswegen durch Hinzu-
ſetzung zweyer Nullen die gantze Zahl mit 100
multipliciret wird; alſo wenn 328 mit 100 mul-
tipliciret werden ſoll, ſo kommt 32800 heraus.
Auf gleiche Art ſieht man, daß wenn drey Nul-
len an eine Zahl gehaͤnget werden, dieſelbe 1000
mahl groͤſſer wird, und ſo weiter fort. Wenn
man alſo ſollte dieſe Zahl 5430 mit dieſer Zahl
1000000 multipliciren, ſo wuͤrde das Product
ſeyn dieſe Zahl 5430000000. Hieraus ſieht man
alſo, wie eine jegliche Zahl multipliciret werden
muͤſſe, wenn der Multiplicator eine ſolche Zahl iſt,
welche durch ein 1 mit einer gewiſſen Anzahl Nullen
darhinten geſchrieben wird. Und dieſes iſt das Fun-
dament von den Regeln der Multiplication, wenn
der Multiplicator eine groſſe zuſammen geſetzte Zahl
iſt, wie im folgenden weiter wird ausgefuͤhret werden.

7)

Wenn derMultiplicatoroder die Zahl
damit eine vorgegebene Zahlmultipliciret
werden ſoll, eine einfache Zahl iſt mit einer ge-
wiſſen daran gehaͤngten Anzahl Nullen als
60, 300, 4000, 70000 und dergleichen ſo
findet mann das geſuchteProduct,wenn
man
[89]
man erſtlich die vorgegebene Zahl mit der
einfachen Zahlmultipliciret und zu dem ge-
fundenenProductſo viel Nullen von der
rechten Hand hinzuſetzet, als in demMulti-
plicatorevorhanden ſind.

Wann der Multiplicator, damit eine Zahl
multiplicirt werden ſoll, eine ſolche Zahl iſt,
welche aus der Multiplication zweyer Zahlen
mit einander entſprungen, ſo bekommt man das
wahre Product, wann man die vorgegebene
Zahl erſtlich mit einer dieſer zweyen Zahlen
multiplicirt, und dann dieſer Product noch
mit der anderen Zahl. Als wann ich ſoll 47 mit
6 multipliciren, weilen 6 ſo viel iſt als 2 mal
3, ſo finde ich das verlangte Product, wann
ich erſtlich 47 mit 2 multiplicire, da ich dann
94 bekomme, und dann dieſe 94 noch mit 3
multiplicire, welches gibt 282; und dieſes iſt
die Zahl, welche herauskommt, wann 47 mit
6 multiplicirt wird. Dann weilen 6 ſo viel iſt
als 2 mal 3, ſo iſt das geſuchte Product nehm-
lich 6 mal 47 ſo viel als 2 mal 3 mal 47 oder
3 mal 2 mal 47. Um nun zufinden, was 3
mal 2 mal 47 iſt, ſo ſucht man erſtlich, was
2 mal 47 iſt, nehmlich 94; derowegen iſt 3
mal 2 mal 47 ſo viel als 3 mal 94: und folg-
lich 3 mal 94 ſo viel als 6 mal 47. Dieſes iſt
alſo der Grund dieſes Satzes, welcher bey
allen vorkommenden Exempeln von gleicher
Kraft iſt. Durch Huͤlfe dieſes Satzes koͤnnen
F 5alſo
[90]
alſo viel Exempel der Multiplication ausgerech-
net werden, wann gleich der Multiplicator keine
einfache Zahl iſt. Als wann man 127 durch
63 multipliciren wolte, ſo kan man, da 63
ſo viel iſt als 7 mal 9, die Zahl 127 erſtlich
mit 7 multipliciren, welches macht 889. Her-
nach multiplicire man 889 mit 9, ſo bekommt
man 8001, welches ſo viel iſt als 63 mal 127.
Dann 8001 iſt ſo viel als 9 mal 889, nun
aber 889 iſt ſo viel als 7 mal 127 derohalben
iſt 8001 ſo viel als 9 mal 7 mal 127. Es iſt
aber 9 mal 7 ſo viel als 63, derowegen iſt
8001 ſo viel als 63 mal 127, aus welchem
Exempel die Wahrheit dieſes Satzes noch mehr
erhellet. Um aber auf die gegebene Regel
ſelbſt zu kommen, ſo iſt zu mercken daß eine jeg-
liche Zahl, welche mit einer einfachen Zahl und
einer gewiſſen Anzahl daran gehaͤngter Nullen
geſchrieben wird, heraus komme, wann man die
einfache Zahl mit 1 nebſt eben ſo viel daran
gehaͤngten Nullen multiplicirt. Derohalben
wann mit einer ſolchen Zahl multiplicirt wer-
den ſoll, ſo multiplicire man erſtlich nur mit
der einfachen Zahl, und was herausgekommen
daſſelbe multiplicire man ferner mit 1 nebſt ſo
viel daran gehaͤngten Nullen, welches im
vorhergehenden N. 6 iſt gewieſen worden,
allwo wir gezeiget, daß um ein ſolches Product
zu finden nur noͤthig ſey, an die Zahl welche
multiplicirt werden ſoll, ſo viel Nullen hinzu-
zu
[91]
zuſetzen, als in ſolchem multiplicatore nach dem
1 ſtehen. Wann derohalben der Multiplicator,
wie wir ſetzen, eine einfache Zahl iſt nebſt ei-
ner gewiſſen Anzahl darangehaͤngter Nullen,
ſo multiplicire man den Multiplicandum erſtlich
mit der einfachen Zahl und zum Product ſchrei-
be man zur rechten Hand ſo viel Nullen, als
im Multiplicatore folgen nach der einfachen
Zahl. Als wenn man dieſe Zahl 543 mit
700 multipliciren ſoll, ſo multiplicire man erſt-
lich 543 mit 7, da man dann finden wird
3801, dazu zwey Nullen hinzugefuͤgt geben
380100 und dieſes iſt das geſuchte Product
nehmlich 700 mal 543. Da man nun die Mul-
tiplication mit der einfachen Zahl von der rech-
ten gegen der lincken verrichtet, ſo kan man gleich
von der rechten ſo viel Nullen ſchreiben als im
Multiplicatore befindlich, und dann die Multi-
plication mit der einfachen Zahl verrichten.
Auf dieſe Art wird alſo die Operation des vo-
rigen Exempels ſeyn wie folgt

• Multiplicandus
• Multiplicator
• Productum.

Gleichergeſtalt wann 2758 mit 5 00000 multipli-
ciret werden ſoll, wird die Operation alſo ſtehen.

Dieſe Operation beruhet demnach darauf
daß ſolche Multiplicatores zwey Factores haben
oder durch die Multiplication zweyer Zahlen ent-
ſprungen ſind. Nehmlich im erſtern Exempel
iſt der Multiplicator 700 ſo viel als 7 mal 100
und im letſtern iſt 500000 ſo viel als 5 mal
100000, wie aber mit ſolchen Zahlen eine jeg-
liche Zahl multiplicirt werden ſoll, iſt ſchon im
vorhergehenden gewieſen worden.

8.

Wann derMultiplicatoreine zuſam-
mengeſetzte Zahl iſt oder aus vielen Figu-
ren beſtehet, ſo muß derMultiplicandusmit
einem jeglichen Theil, daraus derMultipli-
catorbeſtehtmultiplicirt, und darauf alle
dieſe gefundenenProductezuſammenaddirt
werden, da dann die Summa, welche her-
auskommt das verlangteProductumſeyn
wird.

Wir haben oben gewieſen, daß wann der
Multiplicandus aus etlichen Theilen beſteht,
ein jeglicher Theil insbeſondere mit dem Multi-
plicator muͤſſe multiplicirt, und dieſe beſonderen
Product zuſammen geſetzet werden, als deren
Summ das geſuche Product geben muß. Da
nun der Multiplicandus und der Multiplicator un-
ter ſich verwechſelt, und einer an des anderen
Stelle geſetzet werden kan, ſo iſt eben dieſes
auch von dem Multiplicator zuverſtehen. De-
rohalben wann der Multiplicator eine zuſam-
mengeſetzte Zahl iſt, oder aus mehr als einer
Fi-
[93]
Figur beſtehet, ſo muß der Multiplicandus mit
einem jeglichen Theil des Multiplicators multi-
plicirt und alle dieſe ſonderbaren Producte zu-
ſammen addiret werden: da dann derſelben
Summe das geſuchte Product geben wird. Die
Theile aber, daraus eine zuſamme geſetzte Zahl
beſtehet, ſind die verſchiedenen Sorten als Uni-
tæten, Decades, Centenarii und ſo fort, von
deren jeder nicht mehr als 9 Stuͤcke vorhanden
ſeyn koͤnnen. Derohalben muß der Multipli-
candus erſtlich mit ſo viel Unitæten und dann
mit ſo viel Decaden, ingleichem mit ſo viel Cen-
tenariis, und ſo weiter, als im Multiplicatore
befindlich ſind multipliciret und alle heraus
gebrachten Producte in eine Summe gebracht
werden. Es iſt aber im vorhergehenden Satze
gewieſen worden, wie eine jegliche Zahl mit ei-
ner einfachen Zahl, hinter welcher etliche Nullen
ſtehen, multiplicirt werden ſoll; und eben der-
gleichen Zahlen, ſind alle dieſe Theile, aus
welchen ein zuſammengeſetzter Multiplicator
beſtehet, weswegen die Multiplication mit ei-
nem ſolchen zuſammen geſetzten, oder aus mehr
Figuren beſtehenden Multiplicator keine Schwie-
rigkeit haben wird. Als wann man 4738 mit
358 multiplicirren ſoll, ſo ſind die Theile des
Multiplicatoris erſtlich 8, dann 50 und drit-
tens 300. Derowegen multiplicire man erſtlich
die Zahl 4738 mit 8, welches gibt 37904. Zwey-
tens multiplicire man die Zahl 4738 mit 50, die-
|ſes
[94]
ſes gibt 236900. Drittens multiplicire man die
vorgegebene Zahl mit 300, dieſes gibt 1421400.
Nun dieſe drey Producta addire man zuſammen
wie folget.

ſo iſt dieſe Summe das verlangte
Product. Damit aber die gantze Operation deſto
bequemer vollzogen werden koͤnne, ſo pflegt man
dieſe beſonderen Producte gleich ſo untereinander
zu ſchreiben, daß die Unitæten unter die Unitæ-
ten, und alle gleichen Sorten untereinander zu
ſtehen kommen, damit man dieſelben gleich zu-
ſammen addiren koͤnne, als wie folget.

• Multiplicandus
• Multiplicator
• Productum

Man ſchreibt nehmlich erſtlich den Multipli-
cator unter den Multiplicandum, und zieht unter
dieſelben eine Linie. Hierauf multipliciret man
den Multiplicandum mit der Anzahl der Unitæ-
ten ſo im Multiplicatore vorhanden, nehmlich
mit 8 ſchreibt das Product unter die Linie, wie
oben bey der Multiplication mit einfachen Zahlein
iſt
[95]
iſt gelehret worden. Ferner multiplicirt man mit
den Decaden des Multiplicators als mit 50, da
man dann nach der gegebenen Regel erſtlich in
die Stelle der Unitæten eine Nulle ſetzet, und
im uͤbrigen mit 5 multipliciret. Drittens multi-
plicirt man mit den Centenariis oder in dieſem
Fall mit 300, in dem man in die zwey erſten
Stellen von der rechten Hand zwey Nullen ſetzt,
und hierauf mit 3 multiplicirt. Wenn man nun
die Figuren wohl untereinander ſchreibt, ſo kommen
auf dieſe Art in den beſonderen Producten alle
Sorte untereinander zu ſtehen, und wird deswe-
gen die Addition um ſo viel bequemer. Hat
man alſo alle dieſe beſonderen Producte gefunden
ſo wird darunter eine Linie gezogen, und dieſel-
ben zuſammen addirt, wodurch man das gantze
verlangte Product erhaͤlt. Man kan auch um
der kurtze Willen die Nullen ſo in den Producten
der hoͤheren Sorten gegen der rechten Hand ge-
ſchrieben werden muͤſſen auslaſſen, in dem dieſel-
ben bey der Addition nichts austragen wie folget.

Da dann zu mercken, daß
das Product von einer jeg-
lichen Figur des Multipli-
cators von der rechten Hand
auf eben der Stelle anfan-
ge, da die Figur des Mul-
tiplicators ſteht.

Nehmlich das Productt vonder erſten Figur
gegen der rechten Hand des Multiplicators faͤngt
an auf der erſten Stelle. Das Product von der
zweyten Figur faͤngt an auf der zweyten Stelle,
das von der dritten auf der dritten und ſo fort.

9)

Wenn zwey Zahlen, ſo groß dieſelben
auch immer ſeyn moͤgen, mit einandermul-
tipliciret werden ſollen, ſo ſchreibt man eine,
welche man fuͤr denMultiplicatorannimmt
auf gewoͤhnliche Art unter die andere, und
zieht unter dieſelben eine Linie. Hierauf
multipliciret man denMultiplicandummit ei-
ner jeglichen Figur desMultiplicatorsinsbe-
ſondere und ſchreibt dieſeProducteunterein-
ander unter die Linie Ein jedes aber von die-
ſenProducten muß auf eben derjenigen Stelle
von der rechten Hand an zuſchreiben ange-
fangen werden, auf welcher die Figur mit
welchermultipliciret wird, ſteht. Hat man nun
auf dieſe Art alleProductevon allen Figuren
desMultiplicatorsgefunden, und auf be-
ſchriebene Art unter einander geſetzet, wird
darunter nochmahls eine Linie gezogen, und
alle dieſe beſonderenProductezuſammenaddi-
ret, da dann die Summe das geſuchtePro-
ductſeyn wird.

Auf dieſe Weiſe wird alſo die Multiplication
mit den groͤſten Zahlen auf Multiplicationen mit
einfachen Zahlen, ſo kleiner ſind als 10, redu-
ciret. Und hierinn beſtehet hauptſaͤchlich der
Vortheil,
[97]
Vortheil, den die Arithmetiſchen Operationen
haben, daß da rinn gewieſen wird, wie man Ope-
rationen, welche mit den groͤſten Zahlen ſollen ver-
richtet werden, auf kleine Zahlen bringen koͤnne,
mit welchen ein jeder, der auch nicht rechnen ge-
lernet hat, leicht umgehen kan. Alſo iſt es zur
Multiplication genug, wenn man nur die einfa-
chen Zahlen mit einander zu multipliciren weißt.
Dieſes haben wir ſchon im vorhergehenden genug-
ſam ausgefuͤhret, aus welchem auch der Grund
der gantzen Operation, wie wir dieſelbe hier
beſchrieben, deutlich erhellet. Um aber in dieſer
Operation eine Fertigkeit zuerlangen, ſo iſt das
fuͤrnehmſte, daß man ſich angewoͤhne, die
Zaͤhlen recht ordentlich zu ſchreiben, ſo daß alle
welche zu einer Sorte gehoͤren, ſchnurgerad in
einer Reihe untereinander geſchrieben werden,
damit man die beſonderen Sorte deutlich von ein-
ander unterſcheiden koͤnne, und keine Confuſion
entſtehe. Von den zweyen vorgegebenen Zahlen,
welche mit einander multipliciret werden ſollen,
iſt es nun gleichguͤltig, welche man fuͤr den Mul-
tiplicatorem annehmen und unter die andere
ſchreiben will; es iſt aber doch bequemer die klei-
nere Zahl, welche aus weniger Figuren beſteht,
unter die andere zu ſchreiben, weilen man auf
dieſe Art weniger ſonderbare Producte bekommt,
ſo zuſammen addiret werden muͤſſen. Man be-
kommt aber allezeit ſo viel beſondere Producte,
und folglich ſo viel Zahlen zuſammen zu addiren,
Gals
[98]
als die Anzahl der Figuren iſt, aus welchen der
Multiplicator beſtehet: ausgenommen, wenn
eine oder mehr Figuren deſſelben Nullen oder nichts
ſind; wovon wjr nachgehends einige Erinnerun-
gen geben werden. Nun wollen wir durch einige
Exempel die obbeſchriebene Operation erlaͤuteren:
Als es ſoll dieſe Zahl 835047 mit dieſer Zahl
67894 multipliciret werden, ſo ſchreibt man die-
ſelben wie folget.

• Multiplicandus
• Multiplicator
• Product von 4
• Product von 9
• Product von 8
• Product von 7
• Product von 6
• Productum.

Jn dieſem Exempel multipliciret man nun erſtlich
den Multiplicandum mit 4 als der erſten Figur
des Multiplicators und ſchreibt das Product ſo unter
die Linie, daß die erſte Figur nehmlich 8 unter
das 4 zu ſtehen komme. Zweytens multipliciret
man den Multiplicandum mit der zweyten Figur
des Multiplicators, und faͤngt in Schreibung die-
ſes Products von der zweyten Stelle nehmlich un-
ter dem 9 zu ſchreiben an. Gleichergeſtalt faͤngt
das Product vom 8 auf der dritten Stelle nehm-
lich unter dem 8 an, und ſo fort, wie aus dem
Exempel
[99]
Exempel ſelbſt zu erſehen. Endlich addiret man
alle dieſe Producte zuſammen, da dann die
Summ das geſuchte gantze Product gibt.

Auf gleiche Weiſe ſind auch folgende Exem-
pel ausgerechnet worden.

Wann aber in dem Multiplicator irgend eine
Figur nichts oder eine Nulle iſt, ſo wurde das
gantze Product ſo daher entſpringt aus lauter
Nullen beſtehen, und folglich auch nichts ſeyn,
dieweil eine jede Zahl mit 0 multipliciret nichts
ausmacht. Wann derowegen dieſes geſchieht, ſo
laͤßt man der Kuͤrtze halben das gantze Product
aus, und ſchreitet gleich zu der Multiplication
mit den folgenden Figuren des Multiplicators
fort. Da man aber wohl beobachten-muß, daß
man nichts deſtoweniger ein jegliches Product un-
ter der Zahl des Multiplicators, aus welchen
daſſelbe entſtanden, zu ſchreiben anfange, als aus
folgenden Exempeln zu erſehen.

Wann aber entweder im Multiplicando oder im
Multiplicatore oder in beyden ſich zu Ende bey
der
[101]
der rechten Hand Nullen befinden, ſo dienet in
ſolchen Faͤllen folgende Regel, dadurch man der
uͤberfluͤßigen Nullen, uͤberhoben ſeyn kan.

10.

Wann in demMultiplicatoreoder
Multiplicandooder in beyden die letzten Figu-
ren nach der rechten Hand Nullen ſind, ſo
pflegt man alle dieſe zu Ende ſtehenden Nul-
len abzuſchneiden und dieMultiplicationmit
den uͤbrigen Zahlen zu vollziehen. Zu dem
auf dieſe Art gefundenenProductaber muͤſſen
nach der rechten Hand ſo viel Nullen hinzu-
geſetzet werden, als von Anfang ſind weg-
geworfen worden.

Wann der Multiplicator eine einfache Zahl
mit etlichen angehaͤngten Nullen iſt, ſo mul-
tipliciret man nur mit der einfachen Zahl, ſetzt
aber zum gefundenen Product ſo viel Nullen dazu,
als hinter der einfachen Zahl im Multiplicaror
geſtanden. Davon haben wir ſchon oben No. 7
den Grund angezeiget, welcher ſo beſchaffen, daß
daraus auch die Wahrheit dieſes Satzes darge-
than werden kan. Es beſteht nehmlich das Funda-
ment davon hierinn, daß wenn ein Multiplica-
tor ein Factum iſt von zwey Factor bus oder aus
der Multiplication zweyer Zahlen mit einander
entſprungen, man das wahre Product erhalte,
wenn man den Multiplicandum erſtlich mit einem
Factore des Multiplicators multiplicire, und
was herausgekommen nochmahls mit dem andern
Factore multiplicire. Jch nenne allhier aber
G 3Factores,
[102]
Factores, wie ſchon oben erinnert worden, die
beyden Zahlen, welche mit einander multipliciret
eine Zahle hervorgebracht haben.

Nun aber iſt eine jede Zahl, an welche von
der rechten Nullen gehaͤngt ſind, ein Factum
oder Product aus derſelbigen Zahl und 1 mit ſo
viel darhinter ſtehenden Nullen. Als 230 iſt
das Product von 23 und 10 oder dieſe beyden
Zahlen ſind die Factores von 230. Gleicherge-
ſtalt iſt 478000 ſo viel als 478 mahl 1000 oder
das Product von dieſen Zahlen. Wann man
derohalben eine vorgegebene Zahl mit 478000
multipliciren ſoll, ſo multiplicire man dieſelbe
erſtlich nur mit 478, und was herauskommt noch
mit 1000, welches geſchieht, wann man von
der rechten Hand drey Nullen dazu ſetzt. Wann
ſich demnach im Multiplicatore von der rechten
Hand Nullen befinden; ſo kan man erſtlich nur
die Nullen weg laſſen, und nur mit der uͤbrigen
Zahl multipliciren, zum gefundenen Product
aber muß man ſo viel Nullen von der rechten
Hand hinzuſchreiben, als man im Multiplicatore
weg gelaſſen hat. Als wann man ſoll 5339 mit
24600 multipliciren, ſo multipliciret man nur
mit 246, welche man alſo unter die Zahl 5339
ſchreibt. Damit man aber die Nullen nicht
vergeſſe, kan man dieſelben gleichwohl zum
Multiplicatore hinzuſetzen, bey der Multiplication
aber hat man auf dieſelben nicht zu ſehen;
ſondern ſchreibt dieſelben nur zum gefundenen
Product,
[103]
Product, wie aus beyſtehender Operation
zu ſehen.

Eine gleiche Beſchaffenheit hat es, wann im
Multiplicando von der rechten Hand eine oder
etliche Nullen ſtehen; weilen der Multiplicandus
mit dem Multiplicator verwechſelt, und an deſſel-
ben Stelle geſetzt werden kan. Als wann man
ſoll 1345000 mit 48 multipliciren, ſo multipli-
cire man erſtlich 48 mit 1345 und was heraus-
kommt noch mit 1000. Weil es aber gleichviel
iſt, ob man 48 mit 1345 oder 1345 mit 48
multipliciret, ſo multipliciret man der Kuͤrtze
halben 1345 mit 48 und zum gefundenen Pro-
duct ſchreibt man die drey Nullen. Man kan
auch der Deutlichkeit halben die Nullen gegen der
rechten Hand vorſchieſſend zum Multiplicando ſe-
tzen, damit man nach geendigter Operation gleich
ſehe, wieviel Nullen man zum Product zu ſetzen
habe, wie aus folgender Operation zu ſehen.

da die drey Nullen zwar bey dem Multiplicando
ſtehen, aber erſt nach geendigter Multiplication
an das Product gehaͤnget werden. Wann nun
ſo wohl der Multiplicandus als Multiplicator ſich
mit Nullen endigen, ſo kan die Operation aus
dieſen beyden Faͤllen angeſtellet werden. Als
wann man 1987000 mit 3700 multipliciren
ſollte, ſo multiplicire man erſtlich 1987000 mit
37 und zum Product ſchreibe man zwey Nullen.
Um aber 1987000 mit 37 zu multipliciren, ſo
multiplicirt man nach der gegebenen Regel 1987
mit 37 und an das Product hangt man drey
Nullen. Derowegen um die beyden vorgegebe-
nen Zahlen mit einander zu multipliciren, ſo
multiplicirt man nur, nachdem man die Nullen
beyderſeits zu Ende weggeworfen, 1987 mit 37
und ſchreibt zum gefundenen Product fuͤnf Nul-
len, nehmlich ſo viel als man weggeworfen. Die
Nullen kan man zwar ſo wohl bey dem Multipli-
cando als Multiplicatore ſtehen laſſen, ob man
gleich auf dieſelben nicht ſieht, biß die Multipli-
cation geendigt, damit man gleich ſehe, wieviel
Nullen man an das gefundene Product anzuhaͤn-
gen habe, als aus der Operation dieſes Exem-
pels zu ſehen.

Alſo wann dieſe Zahl 54032000 mit dieſer
2540000 multipliciret werden ſoll, ſo findet man
das Product auf folgende Art.

Wir beſchlieſſen alſo dieſes Capitel mit eini-
gen Exempeln, damit man den Gebrauch der
Multiplication in vielerley vorfallenden Faͤllen
ſehen koͤnne.

1.

JN derDiuiſionwird gelehret, wie man
eine Zahl finden ſoll, welche anzeigt,
wieviel mahl eine gegebene Zahl in einer an-
dren gegebenen Zahl enthalten ſey. Oder
die
[107]
dieDiuiſionlehret, wie man eine gegebene
Zahl ſo viel gleiche Theile zertheilen ſoll, als
man verlangs, und zeiget auch zugleich die
Groͤſſe eines ſolchen Theils.

Gleichwie die Multiplication aus der Ad-
dition ihren Urſprung hat, wann die Zahlen,
welche zuſammen addirt werden ſollen, einan-
der gleich ſind: alſo entſpringt die Diuiſion aus
der Subtraction. Dann wann man fragt, wie
viel mal eine Zahl in einer andern Zahl enthal-
ten ſey, ſo darf man nur ſuchen, wieviel mahl
man dieſelbe Zahl von dieſer ſubtrahiren koͤn-
ne, biß nichts uͤbrig bleibt. Die Diuiſion iſt
demnach nichts anders als eine wiederholte
Subtraction, da man immer dieſelbe Zahl von
dem was uͤbergeblieben abzieht: und ſo viel mal
man dieſelbe Zahl hat abziehen koͤnnen, ſo viel
mahl iſt dieſelbe Zahl in der |gegebenen enthal-
ten. Wann man allſo fragt wie viel mal 18 in
72 begriffen ſey; ſo kan man das finden wann
man 18 ſo viel mal von 72 wegnimmt, biß nichts
mehr uͤbrigbleibt, da dann 18 ſo viel mal in 72
enthalten iſt, ſo viel mal man hat 18 abziehen
oder wegnehmen koͤnnen.

Alſo kan dieſes Exempel durch die
Subtraction auf beygefuͤgte Art ausgerechnet
werden.

Dann wann man 18 von 72 einmahl
abzieht, ſo bleibt 54 uͤber. Zieht man
zum zweyten mahl 18 von 54 ab, ſo
bleiben noch 36 zuruͤck. Zieht man
zum dritten mahl 18 von 36 ab, ſo
bleiben 18. Wann man alſo 18 zum
vierten mahl abzieht, ſo bleibt nichts
uͤbrig. Woraus alſo erhellet, daß 18
vier mal in 72 begriffen iſt, weil
nachdem man 18 vier mahl abgezogen nichts
mehr uͤbrig bleibt. Weilen nun 18 vier mahl
in 72 begriffen iſt, ſo folgt daß 4 mahl 18
muͤſſe 72 ausmachen, welches auch durch die Mul-
tiplication bekraͤfftiget wird. Gleichergeſtalt
ſieht man auch, daß wann 72 in 18 gleiche
Theile getheilt werden ſollte, daß ein ſolcher
Theil 4 ſeyn wuͤrde, weilen 4 achtzehn mal ge-
nommen 72 ausmacht. Es kommen allſo die
zwey obgegebenen Beſchreibungen der Diuiſion
mit einander uͤberein, indeme ſo viel mahl eine
Zahl in der andern begriffen iſt, eben ſo viel
Stuͤcke ein Theil haͤlt, wann dieſe Zahl in ſo viel
gleich Theile zertheilet wird, als jene Zahl anzeigt.
Hieraus ſieht man auch ferner, daß die Diuiſion ſich
auf gleiche Art zur Multiplication verhalte, wie die
Subtraction zur Addition. Dann wann durch die
Addition zwey Zahlen in eine Summ gebracht
werden, ſo lehret die Subtraction, wie man,
wann die Summ und eine derſelben beyden Zah-
len
[109]
len gegeben ſind, die andere Zahl finden ſoll.
Als 27 und 44 machen zuſammen 71, wann
man nun fragt, was das fuͤr eine Zahl ſey,
welche mit 44 zuſammen 71 ausmache, ſo iſt
dieſes ein Exempel der Subtraction. Dann
wann man 44 von 71 abzieht, ſo findet man
die Zahl, welche ſo ſie zu 44 addirt wird, 71 aus-
macht, nehmlich 27. Gleichwie nun die Subtraction
der Addition entgegen geſetzt iſt, alſo iſt auch die
Diuiſion der Multiplication entgegen geſetzt. Dann
die Multiplication lehret, wie man aus zweyen
gegebenen Factoribus das Factum oder Product
finden ſoll. Wann aber das Factum nebſt ei-
nem Factore gegeben iſt, ſo lehret die Diuiſion,
wie man den andern Factorem finden ſoll.
Dann wann man fragt, wie viel mal eine
Zahl in der andern enthalten ſey, ſo ſucht man
eine Zahl, welche mit jener multiplicirt dieſe
ausmache. Als wann gefragt wird, wie viel
mal 12 in 180 enthalten ſey, ſo iſt es eben ſo viel,
als wann man eine Zahl verlanget, welche
mit 12 multiplicirt 180 ausmacht. Dieſe Zahl
iſt nun 15, dann 15 mal 12 macht 180. Derowegen
iſt auch 12 in 180 fuͤnffzehnmahl begriffen, und wann
man 180 in 12 gleiche Theile theilet, ſo wird ein
Theil 15 ſeyn. Wann aber die Frage iſt wieviel mahl
eine Zahl eine andre in ſich enthalte, ſo pflegt man
zu ſagen, daß jene Zahl durch dieſe diuidiret wer-
den ſoll. Als 180 durch 12 diuidiren iſt nichts anders,
als finden, wieviel mahl 12 in 180 enthalten ſey.

2)

Wann eine Zahl durch eine andredi-
uidirt werden ſoll, oder wann man fragt
wieviel eine Zahl die andre in ſich enthal-
te; ſo wird dieſelbe Zahl, welche durch die
andrediuidirt werden ſoll, oder von welcher
die Frage iſt, wie viel mal dieſelbe die an-
dre in ſich enthalte, derDiuidendusgenannt,
die andre Zahl aber, durch welche dieſelbedi-
uidirt werden ſoll, wird derDiuiſorgenannt.
Diejenige Zahl aber, welche geſucht wird
und anzeigen ſoll, wie viel mal derDiuiſor
imDiuidendoenthalten ſey, pflegt derQuo-
tusoder derquotient genannt zu werden.

Jn jeglichem Exempel allſo der Diuiſion ſind
zwey Zahlen gegeben, der Diuidendus und der
Diuiſor, und die Frage iſt wie viel mal der
Diuiſor in dem Diuidendo begriffen ſey. Da
nun der Quotus oder quotient dieſes anzeiget
ſo iſt derſelbe die Zahl, welche geſucht wird, und
um welche zu finden die Regeln der Diuiſion ge-
geben werden muͤſſen. Wie wir nun vorher
gewieſen, ſo iſt der Quotus eine Zahl, welche
mit dem Diuiſor multiplicirt im Product den
Dividendum gibt, weswegen in der Diuiſion
der Quotus das iſt eine ſolche Zahl geſucht wird,
welche, wann ſie mit dem Diuiſore multiplicirt
wird, den Diuidendum herausbringt. Wann
man alſo fragt, wie viel mal 12 in 180 enthal-
ten ſey, oder wann, wie man zu reden pflegt
180 durch 12 diuidirt werden ſollen, ſo iſt 180
der
[111]
der Diuidendus und 12 der Diuiſor. Die Zahl
aber, welche geſucht wird oder der Quotus zeigt
an, wie viel mal 12 in 180 enthalten ſey, und iſt
ſo beſchaffen, daß derſelbe 12 mal genommen
180 ausmacht. Hieraus iſt nun leicht zu ver-
ſtehen, wann ein Exempel von der Diuiſion vor-
gelegt wird, welches die beyden gegebenen Zah-
len ſind, und welche davon der Diuiſor, und
welche der Diuidendus ſey. Und dieſes iſt hoͤchſt
noͤthig daß ehe man zur Operation ſelbſt ſchrei-
tet, man das Exempel wohl verſtehe, und wiſſe
die gegebenen Zahlen recht zu benennen, damit
man mit denſelben uach den folgenden Regeln
operiren koͤnne. Als wann 12 Perſonen 1728
Rubl. unter ſich zu theilen haͤtten und man frag-
te, wie viel eine Perſon bekaͤme, ſo geht die
Frage dahin, daß man die Summe anzeige
welche einer Perſon zufaͤllt. Dieſe Summ aber
iſt ſo groß, daß wann man dieſelbe 12 mal
nimmt, 1728 herauskommen muß. Es wird allſo
in dieſem Exempel eine Zahl verlangt, welche mit
12 multiplicirt 1728 herausbringe. Dieſes Ex-
empel gehoͤrt derohalben zur Diuiſion und iſt
1728 der Diuidendus, 12 der Diuiſor, der
Quotus aber, ſo durch die Diuiſion gefunden
werden muß, zeigt an wieviel eine Perſon be-
kommen wird. Nachdem man allſo dieſes
Exempel auf dieſe Art unterſuchet hat, ſo iſt
nicht nur klar, daß daſſelbe in die Diuiſion
lauffe, ſondern auch, was fuͤr Zahlen fuͤr den
Diui-
[112]
Diuidendum und Diuiſorem angenommen wer-
den muͤſſen.

3)

Es iſt aber wohl zu mercken, daß nicht
eine jede Zahl durch eine jeded[iui]d[i]rt werden
koͤnne, ſondern derDiuidendusmuß eine ſolche
Zahl ſeyn, welche wuͤrcklich durch dieMultipli-
cationdesDiuiſorismit einer anderen Zahl ent-
ſpringen kan. Jſt aber derDiuidendusnicht ſo
beſchaffen, ſo kan man mit gantzen Zahlen
davon wir anjetzo allein handlen, nicht anzei-
gen, wieviel mahl derDiuiſoreigentlich in
demDiuidendobegriffen ſey. Jn ſolchem
Fall muß man ſich alſo begnuͤgen die naͤchſte
kleinere Zahl anzugeben fuͤr denQuotum,
wobey man aber bemercken muß, wieviel
noch zuruͤck bleibe von demDiuidendo,da-
rinn derDiuiſornicht mehr enthalten. Und
dieſes was zuruͤck bleibt, pflegt auch der
Reſt genennt zu werden, ſo aus einer ſolchen
Diuiſionentſpringt.

Jn dieſem Stuͤcke hat die Diuiſion wiederum
eine Gemeinſchafft mit der Subtraction, und fin-
den beyde eine Ausnahme, welcher die Addition und
Multiplication nicht unterworfen ſind. Die Zah-
len moͤgen beſchaffen ſeyn wie ſie wollen, ſo koͤn-
nen dieſelben allezeit ſo wohl zuſammen addirt als
mit einander multiplicirt werden. Wenn aber
eine Zahl von der anderen ſubtrahirt werden ſoll,
ſo muß jene kleiner ſeyn als dieſe, ſonſten kan
der Reſt mit den gewoͤhnlichen Zahlen, die uns
noch
[113]
noch allein bekannt ſind, nicht angedeutet werden.
Nehmlich diejenige Zahl davon eine andere ſoll
abgezogen werden, muß die Summ ſeyn von
dieſer Zahl und dem Reſt. Gleichergeſtalt, da
die Diuiſion der Multiplication entgegen geſetzt iſt,
und der verlangte Quotus ſo beſchaffen ſeyn muß,
daß derſelbe mit dem Diuiſor multiplicirt den
Diuidendum hervorbringe, ſo muß der Diuiden-
dus eine ſolche Zahl ſeyn, welche wuͤrcklich durch
die Multiplication des Diuiſors mit einer anderen
Zahl entſpringen kan. Wenn aber der Diuiden-
dus nicht alſo beſchaffen iſt, ſo kan der Quotus
durch ſolche Zahlen, davon wir anjetzo handlen,
nicht ausgedruͤckt werden, ſondern es werden
dazu gebrochene Zahlen erfordert, deren Natur
annoch unbekannt zu ſeyn geſetzet, und erſt
im folgenden erklaͤret wird. Jn Anſehung
dieſer gebrochenen Zahlen, werden die Zahlen,
damit wir bisher umgegangen ſind gantze Zahlen
genannt: und deswegen ſagen wir, daß nicht
allezeit der Quotus durch gantze Zahlen koͤnne ge-
geben werden. Es kommen derohalben zweyerley
Exempel der Diuiſion vor, davon die eine Art
ſo beſchaffen iſt, daß der Quotus eigentlich durch
gantze Zahlen beſtimmt werden kan. Die andere
Art enthaͤlt ſolche Exempel, in welchen der Quo-
tus nicht durch gantze Zahlen angegeben werden
kan. Jn den Exempeln von der erſten Art muß
alſo der Diuidendus ſo beſchaffen ſeyn, daß der-
ſelbe wuͤrcklich ein Factum ſey, davon der eine
HFactor
[114]
Factor der Diuiſor ſelbſt iſt. Ein ſolches Exem-
pel iſt wann 182 durch 13 diuidiret werden ſoll,
dann da iſt der Quotus 14, und 182 entſpringt,
wann man 13 mit 14 multiplicirt. Von ſolchen
Exempeln ſagt man, daß ſich der Diuidendus
wuͤrcklich durch den Diuiſorem diuidiren laſſe;
alſo laͤßt ſich 72 durch 8 diuidiren, dann 8 mahl
9 gibt 72. Ein Exempel ſo zur anderen Art ge-
hoͤret iſt, wann 13 durch 3 diuidiret werden ſoll.
Dann man kan keine gantze Zahl angeben, wel-
che mit 3 multiplicirt 13 ausmache; dann 3 mit 4
multiplicirt gibt 12, und 3 mit 5 multiplicirt 15;
alſo iſt der wahre Quotus groͤſſer als 4 und kleiner
als 5, und kan alſo durch keine gantze Zahl an-
gegeben werden. Derohalben weilen hier noch
nicht der Ort iſt von Bruͤchen zu handeln, ſo
muß man ſich begnuͤgen anſtatt des Quoti die
naͤchſte Zahl anzugeben, und dabey zu mercken,
wieviel dieſelbe fehle. Als in dem Exempel da 13
durch 3 diuidiret werden ſoll, ſo kan man ſagen
daß 4 der Quotus ſey, aber nicht vollkommen,
dann 4 mahl 3 macht nur 12 nicht 13, und iſt alſo
1 der Unterſcheid. Dieſer Unterſcheid iſt demnach
der Reſt, welcher bey einer ſolchen Diuiſion zu-
ruͤck bleibt. Jngleichem, wann 101 durch 12 di-
uidiret werden ſoll, ſo ſieht man daß 12 mehr
als acht mahl in 101 begriffen ſeyn, aber weniger
als 9 mahl; nun pflegt man allezeit die naͤchſt
kleinere Zahl fuͤr den Quotum zu nehmen, des-
wegen wird in dieſem Exempel 8 der Quotus ſeyn,
weil
[115]
weil aber 8 mahl 12 nur 96 macht, welche Zahl
um 5 kleiner iſt als die gegebene 101, ſo iſt der
Reſt 5. Jn ſolchen Exempeln iſt derowegen der
angegebene Quotus ſo beſchaffen, daß wann man
denſelben mit dem Diuiſore multiplicirt und zum
Product den Reſt addirt, der Diuidendus her-
auskomme. Wobey aber zu mercken, daß daſ-
ſelbe nicht der wahre Quotus ſey, dann der
wahre Quotus muß allezeit mit dem Diuiſor
multiplicirt den Diuidendum geben. Der wahre
Quotus kommt aber heraus, wann man zu die-
ſem gefundenen Quoto noch hinzuthut, was her-
auskommt, wann man den Reſt noch durch den
Diuiſor diuidirt. Jn ſolchen Exempeln pflegt
man nun zu ſagen, daß ſich der Diuidendus
durch den Diuiſorem nicht diuidiren laſſe, ſon-
dern daß ein Reſt uͤbrig bleibe. Es iſt aber klar,
daß dieſer Reſt allezeit kleiner ſeyn muͤſſe, als der
Diuiſor, dann waͤre derſelbe groͤſſer, ſo koͤnnte
auch der Quotus groͤſſer genommen werden.

4)

Um die folgenden Regeln, durch
deren Huͤlfe alle Exempel derDiuiſionaus-
gerechnet werden koͤnnen, zu begreiffen und
dieſelben auch zu gebrauchen, ſo iſt vor al-
len Dingen noͤthig, daß man alle diejenigen
Exempel, in welchen derDiuiſorkleiner iſt
als 10, und auch weniger als 10 mahl in dem
Diuidendoenthalten iſt, ſchon wiſſe im Kopf
auszurechnen, und ſo wohl denQuotum,
als auch den Reſt, wann einer uͤbrig bleibt
H 2an-
[116]
anzuzeigen. Wozu gleichwohl allhier die
noͤthige Anleitung gegeben werden wird.

Gleichwie es in der Addition, Subtraction,
und Multiplication noͤthig war, daß man die
Operationen mit den einfachen Zahlen zu machen
wußte, ehe man zu den wuͤrcklichen Regeln fort-
ſchreiten koͤnnte, als iſt eben dieſes auch bey der
Diuiſion noͤthig. Weil nun die Diuiſion der
Multiplication entgegen geſetzet wird, und in der
Multiplication erfordert worden, daß man wiſſe,
je zwey Zahlen, welche kleiner ſind als 10 mit
einander zu multipliciren, ſo wird in der Diuiſion
erfordert, daß man alle diejenigen Exempel koͤn-
ne ausrechnen, in welchen ſo wohl der Diuiſor
als der Quotus kleiner ſind als 10; in deme was
in der Multiplication der Multiplicandus und
Multiplicator waren, in der Diuiſion der Diui-
ſor und der Quotus ſind. Hiebey iſt nun haupt-
ſaͤchlich noͤthig den Unterſcheid zu bemercken zwi-
ſchen denjenigen Exempeln, in welchen der wahre
Quotus kan angegeben werden, und denjenigen,
in welchen ein Reſt zuruͤck bleibt. Was die
Exempel der erſten Art anbetrifft da der wahre
Quotus angegeben werden kan, dieſelben ſind aus
der bey der Multiplication gegebenen Tabelle
leicht zu erkennen, wann man nehmlich dieſelbe
Tabelle dem Gedaͤchtniß wohl eingepraͤgt hat.
Dann wann man zum Exempel weißt daß 6 mahl
9 ſo viel iſt als 54, ſo weißt man auch gleich daß
6 in 54 neun mahl enthalten iſt, ingleichem auch
daß
[117]
daß 9 in 54 ſechs mahl enthalten iſt. Wir
wollen aber dem ungeacht folgende Tabelle
bey fuͤgen.

Aus dieſer Tabelle ſieht man alſo alle diejenige
Faͤlle, in welchen ſo wohl der Diuiſor als der
wahre Quotus einfache Zahlen oder kleiner ſind
als 10. Und wer dieſe Tabelle wohl erlernet hat,
derſelbe wird bey einem jeglichen vorkommenden
Fall, der in dieſer Tabelle begriffen iſt, den wah-
ren
[119]
ren Quotum gleich ſagen koͤnnen. Wann zum
Exempel die Frage iſt wieviel mahl 7 in 56 ent-
halten ſey, ſo weißt derſelbe gleich, daß es 8
mahl ſey. Wir haben aber in dieſer Tabelle die-
jenigen Faͤlle ausgelaſſen, in welchen der Diuiſor
1 iſt. Dann 1 iſt in einer jeglichen Zahl ſo viel
mahl begriffen, als dieſelbe Zahl ſelbſt anzeigt.
Das iſt wann der Diuiſor 1 iſt, ſo iſt der Quo-
tus allezeit dem Diuidendo gleich. Dieſes ſieht
man aus der Multiplication, dann weilen der
Quotus mit dem Diuiſore multiplicirt den Diui-
dendum heraus bringen muß, ſo iſt klar, daß
wann der Diuiſor 1 iſt, der Quotus dem Diui-
dendo gleich ſeyn muͤſſe. Alſo wann zum Exem-
pel 23 durch 1 diuidirt werden ſoll, ſo iſt der
Quotus 23, dann 23 mahl 1 macht 23. Daher
pflegt man zu ſagen, daß eins nicht diuidire,
weilen der Diuidendus ſelbſt den Quotum an-
zeigt. Ferner erhellet auch, daß wann der Diuiſor
dem Diuidendo gleich iſt, der Quotus allezeit 1
ſeyn muͤſſe, dann eine jegliche Zahl iſt in ſich ſel-
ber ein mahl enthalten. Endlich waͤre auch an-
zu mercken, daß wann der Diuiſor 0 iſt, der
Quotus unendlich groß ſey: allein weil dieſer
Fall bey gemeinen Diuiſionen nicht vorkommt, ſo
iſt nicht noͤthig einem Anfaͤnger etwas von dem
unendlichen vorzutragen. Wir ſchreiten derohal-
ben fort zu den Exempeln der anderen Art, in
welchen der wahre Quotus nicht kan in gantzen
Zahlen angegeben werden, und bey welchen man
H 4ſich
[120]
ſich begnuͤgt den naͤchſten Quotum anzuzeigen,
nebſt dem uͤberbleibenden Reſt. Man ſieht nehm-
lich aus der vorigen Tabelle, daß die Zahlen in den
zweyten Reihen von oben herab nicht in der Or-
dnung fortgehen, ſondern daß zwiſchen denſelben
immer eine oder mehr Zahlen begriffen ſind. Wann
demnach eine ſolche Zahl, welche nicht in der Ta-
belle ſteht, ſondern zwiſchen dieſelben Zahlen hin-
eingehoͤret, durch eine einfache Zahl diuidirt wer-
den ſoll, ſo kan der wahre Quotus nicht gegeben
werden, ſondern man muß die naͤchſt kleinere
Zahl darfuͤr nehmen und den ruͤckſtehenden Reſt
dabey anzeigen. Dieſes geſchieht nun alſo, man
ſucht in demjenigen Theil der Tabelle, in wel-
chem der gegebene Diuiſor voraus ſteht, in der
zweyten Reihen die dem Diuidendo naͤchſt kleinere
Zahl, und zieht dieſelbe von dem Diuidendo ab,
da dann der Reſt den zuruͤckbleibenden Reſt der
Diuiſion anzeigt. Die Zahl aber in der dritten
Reihe, welche dabey ſteht gibt den Quotum.
Als wann die Frage iſt wieviel mahl 7 in 38 ent-
halten ſeyn, oder wann 38 durch 7 ſoll diu dirt
werden, ſo ſieht man in demjenigen Theil da 7
in der erſten Reihe ſteht, daß 35, darinn ſieben 5
mahl enthalten iſt, die naͤchſt kleinere Zahl ſey
als 38, und iſt der Reſt 3, ſo uͤberbleibt wann
35 von 38 abgezogen wird. Derohalben iſt der
Quotus 5 und der Reſt 3, wann 38 durch 7 di-
uidirt wird; dann 5 mahl 7 iſt 35 und dazu der
Reſt 3 gethan macht 38. Wann man obige
Tabelle
[121]
Tabelle wohl im Gedaͤchtniß hat, ſo ſieht man
gleich wieviel mahl man den Diuiſorem nehmen
muͤſſe, daß die naͤchſt kleinere Zahl als der Diui-
dendus iſt herauskomme. Und da iſt dann die
Zahl, ſo viel mahl der Diuiſor genommen wor-
den, der Quotus; und wann man dieſen Quo-
tum mit dem Diuiſore multiplicirt und das Pro-
duct vom gegebenen Diuidendo ſubtrahirt ſo
bleibt der Reſt uͤbrig. Als wann 59 durch 8 diui-
dirt werden ſoll, ſo ſieht man leicht, daß wann man
8 ſieben mahl nimmt die naͤchſt kleinere Zahl unter
59 herauskomme. Deswegen iſt der Quotus 7,
und 7 mahl 8 das iſt 56 von 59 abgezogen gibt 3
das iſt den uͤberbleibenden Reſt. Kurtz aber das
zu verrichten ſagt man, 8 in 59 nehme ich oder
habe ich 7 mahl, 7 mahl 8 iſt 56 von 59 bleiben
3 das iſt der Reſt. Wann alſo der Diuidendus
weniger als 10 mahl groͤſſer iſt als der Diuiſor,
und der Diuiſor eine einfache Zahl iſt, ſo kan
auf dieſe Art leicht ſo wohl der Quotus als der
Reſt gegeben werden. Als wann 87 durch 9 ge-
theilt werden ſoll, weil 87 kleiner iſt als 9 mahl
10, ſo gehoͤrt dieſes Exempel hieher. Man wird
alſo ſagen 9 in 87 iſt oder hat man 9 mahl, 9
mahl 9 iſt aber nur 81 von 87 bleibt 6, iſt dem-
nach 9 der Quotus und 6 der Reſt. Wann der
Diuidendus kleiner iſt als der Diuiſor, ſo wird
der Quotus 0 der Reſt aber iſt dem Diuidendo
gleich, als wann 4 durch 7 diuidirt werden ſoll,
ſo ſagt man 7 iſt in 4 kein mahl oder 0 mahl ent-
H 5halten.
[122]
halten. Nun aber 0 mahl 7 iſt 0 von 4 bleiben
4, und iſt alſo 4 der Reſt und 0 der Quotus.

5)

Was im vorhergehenden von derDi-
uiſionmit einem einfachenDiuiſoreiſt geſagt
worden, muß eigentlich vonUnitætenver-
ſtanden werden. Das iſt wann derDiuiden-
dusundDiuiſor Unitætenbedeuten, ſo zeigen
auch die Zahlen, welche fuͤr denQuotumund
Reſt herausgebracht werden,Unitætenan.
Wann aber nur derDiuiſor Unitætenbedeu-
tet, derDiuidendusaber entwederDecades
oderCentenariosoderMillenariosꝛc. anzeiget,
ſo muͤſſen auch die Zahlen, welche fuͤr den
Quotumund Reſt gefunden werden, von
eben dieſen Sorten nehmlich entweder von
Decadibus,oderCentenariisoderMillenariis
ꝛc. verſtanden werden.

Der Verſtand von dieſem Satz iſt kurtzlich
dieſer, daß ſo wohl der Quotus als der Reſt
ebendiejenige Art oder Sorte von Groͤſſe anzeigen,
welche der Diuidendus bedeutet; wann nemlich
der Diuitor aus bloſſen Unitæten beſtehet. Und
dieſes iſt auch nicht nur von den gemeldten Sor-
ten der Zahlen als Decaden, Centenariis und
ſo fort wahr, ſonderen auch von einer jeglichen
Benennung, welche dem Diuidendo gegeben
wird. Als wann zum Exempel 69 Rubl. durch
8 Unitæten ſollen getheilt werden, ſo ſagt man
8 in 69 iſt 8 mahl enthalten, aber 8 mahl 8
macht nur 64 von 69 bleiben 5. Weilen nun
der
[123]
der Diuidendus Rubl. anzeiget, ſo ſind 8 Rubl.
der Quotus und 5 Rubl. der Reſt. Dann 8
mahl 8 Rubl. macht 64 Rubl. und dazu den
Reſt nemlich 5 Rubl. gethan, macht 69 Rubl.
das iſt den Diuidendum wie die Natur der Di-
uiſion erfordert. Was nun in dieſem Exempel
von den Rubl. iſt geſagt worden, verſteht ſich
gleichermaſſen bey einer jeglichen Benennung,
welche der Diuidendus fuͤhrt. Und iſt alſo hier-
aus genugſam klar, daß der Quotus und Reſt
eben den Nahmen fuͤhren muͤſſen, welchen der
Diuidendus hatte; weswegen man alſo um ſo
viel weniger zu zweiflen hat, was die Benennun-
gen als Decaden, Centanarios und ſo fort be-
trifft. Derohalben gleich wie 69 Rubl. wann
man dieſelben durch 8 Unitæten Diuidirt, 8 Rubl.
fuͤr den Quotum geben und 5 Rubl fuͤr den Reſt.
Alſo geben 69 Decades durch 8 Unitæten Diui-
dirt, 8 Decades fuͤr den Quotum und 5 Deca-
des fuͤr den Reſt. Jngleichem geben 69 Cen-
tenarii durch 8 Unitæten diuidirt 8 Centenarios
fuͤr den Quotum und 5 Centenarios fuͤr den Reſt,
und ſo mit allen folgenden Sorten. Hieraus er-
hellet alſo wie groͤſſere Zahlen, als in obgegebe-
ner Tabelle befindlich ſind, durch einfache Zahlen
diuidirt werden koͤnnen. Als wann 2400 durch
4 diuidirt werden ſollen, ſo ſage ich 2400 iſt ſo
viel als 24 Centenarii, und diuidire alſo 24
Centenarios durch 4, und finde 6 Centenarios
fuͤr den Quotum ohne Reſt. Jch ſage deshalben
daß
[124]
daß der geſuchte Quotus ſey 600. Wann aber
46000 das iſt 46 Millenarii durch 7 diuidirt wer-
den ſollen, ſo wird der Quotus ſeyn 6 Millenarii
das iſt 6000, wobey 4 Millenarii reſtiren das iſt
4000 Unitæten, welche aber weiter durch 7 di-
uidirt werden koͤnnen, wovon im folgenden wei-
ter gehandelt werden wird.

6)

Wann eine zuſammen geſetzte Zahl
ſo groß dieſelbe immer ſeyn mag, durch eine
einfache Zahldiuidirt werden ſoll, ſo muß
man alle Theile derſelben, das iſt alle beſon-
deren Sorten, aus welchen dieſelbe Zahl
beſtehet, durch denDiuiſorem diuidiren, wo-
bey der Anfang von den groͤſten Sorten ge-
macht werden muß. Der Reſt aber welcher bey
einer jeglichen Sorte uͤber bleibt, wird in
die folgende geringere Sorte verwandelt und
zu derſelbigen Sorte hinzugeſetzt, und alſo
mit derDiuiſionbis zu denUnitætenals der
kleinſten Sarte fortgefahren: da dann alle
dieſe beſonderenQuotizuſammen den geſuch-
tenQuotumausmachen, und was bey der
letztenDiuiſionuͤbrig bleibt, iſt der ruͤck-
ſtehende Reſt.

Gleich wie in der Multiplication das verlangte
Product gefunden wird, wann man alle Theile
des Multiplicandi mit dem Multiplicatore mul-
tiplicirt, und alle dieſe beſonderen Product zu-
ſammen addirt; alſo findet man auch in der Di-
uiſion den geſuchten Quotum, wann man alle
Theile
[125]
Theile des Diuidendi durch den Diuiſorem diui-
dirt und alle dieſe beſonderen Quotos zuſammen
addirt. Dann da in der Diuiſion die Frage iſt,
wieviel mahl der Diuiſor in dem Diuidendo ent-
halten ſey, ſo wird man dieſe geſuchte Zahl oder
den Quotum anzeigen koͤnnen, wann man weiß,
wieviel mahl der Diuiſor in einem jeglichen Theil
des Diuidendi enthalten iſt, dann alle dieſe be-
ſonderen Quoti zuſammen geben den gantzen ge-
ſuchten Quotum. Als wann zum Exempel 6903
durch 3 diuidirt werden ſoll, ſo ſind die Theile
des Diuidendi 6 Millenarii, 9 Centenariii und
3 Unitæten. Der erſte Theil nehmlich 6 Mille-
narii durch 3 diuidirt geben 2 Millenarios fur den
Quotum. Der zweyte Theil 9 Centenarii durch
3 diuidirt geben 3 Centenarios im Quoto, und
endlich 3 Unitæten durch 3 diuidirt geben 1 Uni-
tæt im Quoto. Alle dieſe Quoti zuſammen ſind
nur 2 Millenarii 3 Centenarii und 1 Unitæt das
iſt 2301 und dieſe Zahl iſt der geſuchte Quotus,
welcher herauskommt wann 6903 durch 3 diuidirt
wird, und bleibt kein Reſt zuruͤck. Jn dieſem
Exempel hat ſich zwar ein jeglich Theil des Diui-
dendi durch den Diuiſorem ohne Reſt diuidiren
laſſen; allein aus demſelben iſt gleich wohl leicht
zu ſchlieſſen, wie man ſich zu verhalten habe,
wann bey dieſen beſonderen Diuiſionen etwas zu-
ruͤck bleiben ſollte. Dann da der Reſt, welcher
in der Diuiſion eines Theils oder einer Sorte des
Diuidendi durch den Diuiſorem zuruͤck bleibet,
noch
[126]
noch nicht diuidirt worden iſt, in dem man noch
nicht gefunden, wieviel mahl der Diuiſor darinn
enthalten iſt, ſo muß derſelbe Reſt in die folgende
kleinere Sorte verwandelt, und zu derſelben ge-
ſetzet, und darauf dieſes zuſammen durch den Di-
uiſorem getheilet werden. Auf dieſe Art muß
man alſo in der Diuiſion von den groͤſſeren Sor-
ten des Diuidendi zu den kleineren fortfahren, biß
man zu den Unitæten kommt, und wann dabey
ein Reſt zuruͤck bleibt, ſo iſt derſelbe auch der
wuͤrckliche Reſt, welcher nebſt dem Quoto muß
angezeiget werden. Als wann die Zahl 8359
durch 6 diuidirt werden ſoll, ſo muß von den 8
Millenariis, als der groͤſten Sorte des Diuidendi
der Anfang gemacht werden. Nun aber 8 Mil-
lenarii durch 6 diuidirt geben 1 Millenarium fuͤr
den Quotum und 2 Millenarii bleiben im Reſt,
oder muͤſſen noch diuidirt werden. Damit nun
dieſes geſchehen koͤnne, ſo werden daraus Cente-
narii gemacht, wodurch man alſo 20 Centena-
rios bekommt, hiezu aber die 3 Centenarii, wel-
che im Diuidendo wuͤrcklich vorhanden ſind gethan
machen 23 Centenarios; dieſe alſo durch 6 diuidirt
geben 3 Centenarios fuͤr den Quotum, und 5
Centenarii bleiben fuͤr den Reſt. Dieſe 5 Cen-
tenarios verwandelt man nun in Decades das
gibt 50 Decades, weilen aber 5 Decades im
Diuidendo wuͤrcklich vorhanden ſind, ſo hat man
55 Decades durch 6 zu diuidiren, dieſe geben
demnach 9 Decades zum Quoto und bleibt 1
Decas
[127]
Decas zuruͤck. Dieſe 1 Decas macht 10 Unitæ-
ten, welche mit den 9 Unitæten des Diuidendi
19 Unitæten ausmachen, dieſe durch 6 diuidirt
geben 3 Unitæten zum Quoto und 1 Unitæt
bleibt als Reſt. Weilen nun die Unitæten nicht
weiter in kleinere Sorten verwandelt werden koͤn-
nen, ſo bleibt alſo die 1 Unitæt wuͤrcklich zuruͤck
und kan nicht getheilet werden. Jn dieſem Exem-
pel iſt demnach 1393 der Quotus und 1 der Reſt,
und wann man den Quotum 1393 mit 6 multi-
plicirt und zum Product 1 nehmlich den Reſt ad-
dirt, ſo kommt der Diuidendus 8359 heraus.
Hieraus ſiehet man alſo warum in der Diuiſion
die Operation von den groͤſten Sorten und folg-
lich von der rechten Hand muͤſſe angefangen wer-
den, da doch iu den vorhergehenden Operationen
der Anfang von den kleineren Sorten oder von
der lincken Hand gemacht worden iſt. Jn dieſem
Exempel iſt nun der Grund und die Urſachen von
allen Operationen zugleich erklaͤret worden, wann
man aber nur allein die noͤthigen Operationen
um den Quotum und Reſt zu bekommen anſtellen
will, ſo kan man dieſelben weit kuͤrtzer auf nach-
folgende Art erhalten.

Es wird nehmlich der Diuidendus hingeſchrie-
den und der Diuiſor darvor geſetzt, und mit einer
Linie
[128]
Linie unterzogen, unter welche der Quotus ge-
ſchrieben wird. Hierauf faͤngt man von der lin-
cken Hand oder von der groͤſten Sorte des Diui-
dendi zu diuidiren an und ſagt 6 in 8 iſt ein mahl
enthalten und bleiben 2 zuruͤck; das 1 weilen
daſſelbe Millenarios bedeutet wird unter die Linie
unter das 8 nehmlich auf die Stelle der Millena-
rium geſchrieben, der Reſt aber nehmlich 2 wird
uͤber das 8 geſetzt, und in der folgenden Opera-
tion mit den Centenariis als 20 angeſehen. Dazu
werden die 3 Centenarii mit genommen, und
gibt 23, wie auch die Zahl ſelbſten gleich aus-
weiſet. Hierauf ſagt man 6 in 23 iſt 3 mahl ent-
halten und blejben 5 zuruͤck, die 3 ſchreibt man
unter die Linie nach der vorhergehenden Zahl der
Reſt 5 aber uͤber das 3, welcher mit den 5 Deca-
den des Diuidendi 55 ausmacht. Man ſagt alſo
ferner 6 in 55 iſt 9 mahl enthalten und bleibt 1
uͤber; man ſchreibt alſo 9 unter die Linie und den
Reſt 1 uͤber die Decaden nehmlich uͤber 5. Die-
ſes 1 mit dem folgenden 9 macht 19, welche durch
6 diuidirt geben 3 in Quotum und 1 bleibt zuruͤck,
die 3 werden alſo in Quotum unter die Linie ge-
ſchrieben, und der Reſt 1, weilen derſelben der
letzte iſt, wird hinter den Diuidendum angefuͤ-
get. Wann man nun die Operation auf dieſe
Art zu Ende gebracht hat, ſo wird man unter der
Linie den Quotum hinter dem Diuidendo aber den
ruͤckſtehenden Reſt finden. Auf ſolche Art ſind nun
folgende Exempel ausgerechnet worden.
4)
[129]

Bey dem erſten dieſer Exempel iſt zu erinne-
ren, daß weilen die erſte Figur von der lincken
des Diuidendi nehmlich 1 kleiner iſt als der Diui-
ſor und alſo eine 0 in den Quotum gegen der lin-
cken geſetzt werden muͤßte, welche keine Bedeu-
tung hat, ſo wird dieſes 1 gleich zur folgenden
Sorte gethan, welches 13 ausmacht und dabey
die Diuiſion angefangen. Eine gleiche Bewand-
nuͤß hat es auch mit dem anderen Exempel, in
welchem man gleich 34 durch 8 zu diuidiren an-
faͤngt. Wann aber mitten oder zum Ende des
Quoti eine 0 kommt, ſo muß dieſelbe nothwendig
geſchrieben werden, damit eine jede Figur auf
ihre gehoͤrige Stelle komme. Dieſer Fall kommt
im erſten Exempel vor, welches auf folgende Weiſe
operirt wird: 4 in 13 iſt 3 mahl enthalten und bleibt
1 uͤber, ſchreibt 3 unter| die Linie und 1 uͤber das 3
im Diuidendo. Ferner ſagt man 4 in 16 iſt 4
mahl enthalten und bleibt nichts uͤber, ſchreibt
alſo 4 unter die Linie, und weil kein Reſt vor-
handen, ſagt man 4 in 2 iſt kein mahl enthalten,
ſetzt alſo 0 in den Quotum, und weilen die 2
wuͤrcklich der Reſt ſind, ſo nimmt man dieſelben
gleich mit der folgenden 8 zuſammen, das gibt 28
darinn 4, 7 mahl begriffen iſt, und kein Reſt
zuruͤck bleibt; ſo daß alſo der Quotus iſt 3407.

7)

Wann derDiuiſoreine einfache Zahl
mit einer oder etlichen daran gehaͤngten
Cyphren iſt als 30, oder 400 oder 7000 oder
dergleichen; ſo kan dieDiuiſionauf eben die
Art gemacht werden als mit den einfachen
Zahlen. Dann man hat nur noͤthig von dem
Diuiſoredie Cyphren, und von demDiui-
dendoauch eben ſo viel Figuren von der rech-
ten Hand weg zu ſchmeiſſen, und ſo dann
dieſen herausgekommenenDiuidendumdurch
den einfachenDiuiſoremzudiuidiren, da man
dann den wahrenQuotumbekommen wird.
Zu dem Reſt aber, der uͤberbleibt, muß man
die von demDiuidendoabgeſchnittenen Figu-
ren von der rechten Hand hinzuſetzen, ſo
wird man den wahren Reſt haben.

Um dieſe Operation deutlicher vorzuſtellen
ſo laſſt uns dieſe Zahl 156327 durch 700 diui-
diren. Wir ſchmeiſſen alſo von 700 die zwey
Cyphren und von dem Diuidendo 156327 die
zwey letſten Figuren 27 weg, und diuidiren 1563
durch 7 wie folgt.

Auf dieſe Art haben wir alſo fuͤr den geſuchten
Quotum 223 gefunden. Der Reſt aber iſt nicht
2 ſondern 227; indem zu dem gefundenen Reſt
2 die abgeſchnittenen zwey Figuren 27 von dem
Diuidendo ſind angehaͤngt worden. Wann
man
[131]
man alſo die Zahl 156327 durch 700 diuidirt ſo
kommt fuͤr den Quotum heraus 223, fuͤr den
Reſt aber 227, wovon die Wahrheit gleich er-
hellet, wann man den Quotum 223 mit dem
Diuiſore 700 multiplicirt und zum Product 227
hinzuthut, da dann der vorgegebene Diuidendus
156327 herauskommt. Der Grund aber von
dieſer Operation beſtehet darinn; daß man immer
einerley Quotum findet, wann man den Diuiſorem
und den Diuidendum beyde mit einerley Zahl
multiplicirt. Als wann man den Diuidendum
und den Diuiſorem beyde mit 10 oder mit 100
oder mit 1000 oder mit einer jeglichen anderen
beliebten Zahl multiplicirt, ſo wird man immer
eben denſelben Quotum finden, der herauskommt
wann man den bloſſen Diuidendum durch den
bloſſen Diuiſorem diuidirt. Dann da der Quo-
tus mit dem Diuiſore multiplicirt den Diuiden-
dum herausbringt, ſo muß eben der Quotus mit
einem 10 mahl groͤſſeren Diuiſore multiplicirt ei-
nen 10 mahl groͤſſeren Diuidendum, mit einem
100 mahl groͤſſeren Diuiſore aber einen 100 mahl
groͤſſeren Diuidendum und ſo fort herfuͤrbrin-
gen, wie aus der Multiplication genugſam be-
kannt iſt. Da nun in dem gegebenen Exempel
1563 durch 7 diuidirt 223 fuͤr den Quotum gibt,
2 aber fuͤr den Reſt, ſo muß 100 mahl 1563
das iſt 156300 durch 100 mahl 7 das iſt
durch 700 diuidirt eben den Quotum nehmlich
223 geben. Der Reſt aber, welcher ein Theil
J 2des
[132]
des Diuidendi iſt, ſo ſich nicht weiter durch den
Diuiſorem diuidiren laͤſſt, wird folglich auch 100
mahl groͤſſer und alſo 200 ſeyn. Derowegen
wann man 156300 durch 700 diuidirt ſo wird der
Quotus 223 ſeyn, der Reſt aber 200. Da nun
156327 nur um 27 groͤſſer iſt als 156300 und
ſich dieſe 27 durch den Diuiſorem nicht diuidiren
laſſen, ſo kommen dieſe 27, wann man 156327
durch 700 diuidirt, noch mit zu dem Reſt, ſo
daß in dieſem Fall der Quotus 223 bleibt, der
Reſt aber um 27 groͤſſer und folglich 227 ſeyn
wird. Wie nun die Wahrheit der gegebenen
Regel in dieſem Exempel iſt dargethan worden,
ſo findet eben dieſer Grund in allen anderen der-
gleichen Exempeln Statt. Damit man aber in
der Berechnung eines ſolchen Exempels ſelbſt ſo
wohl die weggeworfenen Nullen des Diuiſoris
als die weggeworfenen Figuren des Diuidendi
vor Augen habe, ſo pflegt man dieſelben nicht in
der That wegzuwerfen, ſondern nur mit Querſtri-
chen abzuſchneiden, wie in bey geſetztem Exempel
zu erſehen iſt.

Allhier ſollten 2756389 durch 8000 diuidirt wer-
den, deswegen werden von den 8000 die drey
Cyphren, von dem Diuidendo aber die 3 hinter-
ſten Figuren abgeſchnitten, und nur die 2756
durch
[133]
durch 8 diuidirt, da dann 344 als der Quotus ge-
funden wird, der Reſt aber iſt, die wuͤrcklich gefunde-
nen 4, oder wegen den 3 abgeſchnittenen Figu-
ren 4000 nebſt den abgeſchnittenen Figuren ſelbſt
nehmlich 389; ſo daß der voͤllige Reſt, ſo bey
dieſem Exempel zuruͤck bleibt, 4389 ſeyn wird.
Hieraus erhellet nun eine ſehr leichte Manier durch
10 oder 100 oder 1000 und ſo fort zu theilen,
welches derjenige Fall iſt, da die vor den Cyph-
ren ſtehende einfache Zahl eine Unitæt iſt. Dann
da nachdem die Cyphren nach der gegebenen Re-
gel abgeſchnitten worden, nur durch 1 diuidirt
werden muß, die Unitæt aber den Diuidendum
nicht veraͤndert, ſondern den Quotum dem Diui-
dendo gleich hervorbringt, ſo ſind die zuruͤck ge-
bliebenen Zahlen des Diuidendi, nachdem von
dem Diuidendo ſo viel Figuren ſind abgeſchnitten
worden, als Cyphren hinter der Unitæt im Di-
uiſore ſtunden, der Quotus ſelbſt; die abgeſchnit-
tenen Figuren aber geben den Reſt. Alſo wann
76034820 durch 10000 diuidirt werden ſollen,
wie folgt

• 1 | 0000) 7603 | 4820

ſo iſt 7603 der Quotus, 4820 aber der Reſt.

8)

Wann derDiuiſoreine zuſammen ge-
ſetzte Zahl iſt, ſo wird dieDiuiſionfolgen-
der geſtalt verrichtet. Erſtlich werden von
der lincken Hand von demDiuidendoſo viel
Figuren abgeſchnitten bis dieſe abgeſchnittene
J 3Zahl
[134]
Zahl groͤſſer iſt als derDiuiſorund folglich
durch denſelbendiuidirt werden kan. Hier-
auf ſieht man wieviel mahl derDiuiſorin
dieſer abgeſchnittenen Zahl enthalten iſt,
und dieſe Anzahl gibt die erſte Figur von der
lincken Hand in denQuotum.Drittens
multiplicirt man denDiuiſoremdurch die in
Quotumgeſchriebene Zahl, und zieht dasPro-
ductvon dem gedachten Theil desDiuidendi
ab, und an den Reſt haͤngt man zur rechten
die folgende Figur desDiuidendian. Vier-
tens ſucht man wieviel mahl derDiuiſorin
dieſer Zahl enthalten iſt und ſo viel ſchreibt
man in denQuotumfuͤr die 2te Figur. Mit
dieſer Zahlmultiplicirt man fuͤnftens denDi-
uiſoremund zieht dasProductvon jener Zahl
ab. An den Reſt haͤngt man die weiter fol-
gende Figur desDiuidendi,und verfaͤhret auf
beſchriebene Art, da man dann die 3te Figur
in denQuotumbekommt. Und auf ſolche
Weiſe faͤhrt man fort, biß alle Figuren des
Diuidendibetrachtet worden ſind, da man
dann den voͤlligenQuotumhaben wird, und
was in der letztenSubtractionuͤbergeblieben,
das iſt der Reſt.

Die Diuiſion mit einem zuſammen geſetzten
Diuiſore muß auf eben die Art angeſtellet wer-
den als mit einem einfachen Diuiſore; in beyden
Faͤllen nehmlich muͤſſen einerley Operationen und
in eben der Ordnung ins Werck geſetzt werden.
Nur
[135]
Nur beſtehet der Unterſcheid darinn, daß mit
einem einfachen Diuiſore viel Operationen im
Sinne vollbracht werden koͤnnen, welche bey einem
zuſammen geſetzten Diuiſore wuͤrcklich auf dem Pa-
pier geſchehen muͤſſen. Als wann man bey einem ein-
fachen Diuiſore eine jegliche Figur des Quoti mit
dem Diuiſore multiplicirt, und das Product von
dem gehoͤrigen Theil des Diuidendi abzieht, ſo
geſchieht beydes im Kopf, welche beyden Ope-
rationen aber, wann der Diuiſor eine groſſe Zahl
iſt, auf dem Papier wuͤrcklich berechnet werden
muͤſſen. Dieſes wird nun deutlicher aus dem
folgenden Exempel zu ſehen ſeyn, in welchem wir
178093 durch 23 diuidiren wollen. Dieſes
Exempel pflegt nun erſtlich ſolcher geſtalt geſchrie-
ben zu werden.

Wann man nun den Diuiſor als eine einfache
Zahl anſieht, und die Diuiſion auf die vorher
J 4gelehrte
[136]
gelehrte Art anſtellen will, ſo muß man anfang-
lich die 3 erſten Figuren des Diuidendi nehmlich
178 zuſammen nehmen, und dieſelben durch 23
diuidiren, weilen die erſte nehmlich 1 und die
zwey erſten 17 allein kleiner ſind als der Diuiſor,
und ſich alſo durch denſelben nicht diuidiren laſſen.
Derowegen muß man ſuchen, wieviel mahl 23
in 178 begriffen iſt, und was uͤberbleibt; wel-
ches fuͤr den Anfang durch das probiren geſchehen
muß, ehe wir darzu einige Regeln geben kon-
nen. Nun aber iſt leicht zu ſehen daß 23 in 178
nicht mehr als 7 mahl enthalten iſt, weilen 8
mahl 23 ſchon 184 das iſt mehr als 178 aus-
macht. Demnach ſagt man 23 iſt in 178 ſieben
mahl enthalten, und ſchreibt ſieben in den Quo-
tum: und weilen 178 nicht Unitæten ſondern
Millenarios andeutet, ſo bedeuten auch die 7 im
Quoto Millenarios; woraus alſo gleich zu ſehen
daß im Quoto nach dem 7 noch 3 Figuren folgen
muͤſſen, nehmlich eben ſo viel, als im Diuidendo
nach 178 folgen. Nun 23 mahl 7 Millenarii
macht 161 Millenarios, welche von den 178
Millenariis abgezogen 17 Millenarios zuruͤck laſ-
ſen; dieſe Subtraction wird nun wuͤrcklich auf
dem Papier verrichtet. Dieſe reſtierenden 17
Millenarii koͤnnen nun nicht ferner durch 23 ſo
diuidirt werden, daß einer oder mehr Millenarii
in Quotum kommen, weilen 17 kleiner iſt als 23;
derowegen muͤſſen dieſe 17 Millenarii in die fol-
gende kleinere Sorte nehmlich in Centenarios
ver-
[137]
verwandelt werden; und machen folglich 170
Centenarios aus. Wan nun im Diuidendo
auch Centenarii vorhanden waͤren, ſo muͤßten
dieſelben noch dazu geſetzt werden; weilen aber
keiner da iſt, ſo hat man nur dieſe 170 Cente-
narios durch 23 zu diuidiren. 23 iſt aber in 170
wiederum 7 mahl enthalten und deswegen kom-
men 7 Centenarii in den Quotum auf die Stelle der
Centenariorum. Nun aber machen 23 mahl 7
Centenarii 161 Centenarios aus, welche von
den 170 Centenariis ſubtrahirt 9 Centenarios
zuruͤck laſſen. Dieſe 9 Centenarii machen fer-
ner 90 Decades aus, zu welchen die 9 Decades,
ſo im Diuidendo ſind, addirt 99 Decades aus-
machen; welche 99 man ohne Rechnung be-
kommt, wann man nur die 9 aus dem Diui-
dendo an den gefundenen Reſt 9 anhaͤngt. Nun
ſagt man 23 in 99 iſt nur 4 mahl enthalten, dann
5 mahl 23 macht ſchon mehr als 99 nehmlich
115. Dieſe 4 ſind nun Decades und kommen
in den Quotum auf die Stelle der Decaden, 23
mahl 4 Decaden aber machen 92 Decaden,
welche von den 99 abgezogen 7 Decaden zuruͤck
laſſen. Dieſe 7 Decaden machen endlich 70
Unitæten, welche mit den 3 Unitæten des Di-
uidendi 73 Unitæten betragen; oder man hat
nur noͤthig zu den uͤbergebliebenen 7 die 3 hinzu-
zuſchreiben. Jn 73 iſt endlich 23 nur 3 mahl
enthalten, welche 3 Unitæten ſind, und alſo im
Quoto auf die letzte Stelle geſchrieben werden
J 5muͤſſen.
[138]
muͤſſen. Weilen aber 3 mahl 23 nur 69 aus-
macht, ſo muͤſſen dieſe 69 von den 73 abgezogen
werden, da dann der Reſt 4 der wahre Reſt iſt,
welcher in dieſer Diuiſion zuruͤck bleibt; ſo daß
alſo der gefundene Quotus iſt 7743 und der
Reſt 4. Aus dieſem Exempel ſind nun die
Operationen leicht zu erſehen, welche bey der-
gleichen Diuiſionen vorgenommen werden muͤſ-
ſen. Um dieſelben aber mit deſtoweniger Muͤhe
anzuſtellen wollen wir nachfolgende Regeln an
die Hand geben, welcher Grund aus dem ange-
fuͤhrten leicht folget.

I. Wann erſtlich die Frage iſt, wieviel
mahl der Diuiſor in einem jeglichen Theil des
Diuidendi enthalten iſt, durch welche Operation
wie in dem vorigen Exempel zu ſehen ein jeglicher
Theil des Quoti gefunden wird, ſo iſt zu wiſſen,
daß der Diuiſor auf das hoͤchſte 9 mahl darinn
enthalten ſeyn koͤnne, weilen durch eine ſolche
Operation eine Zahl in den Quotum kommt,
welche nicht groͤſſer ſeyn kan als 9. Derowegen
wuͤrde man auch mit dem probieren nicht viel
Zeit verlieren, wann man den Diuiſorem mit
allen einfachen Zahlen multipliciren wollte, da-
mit man ſo gleich ſehen koͤnnte, welches Product
am naͤchſten komme. Ja wann der Diuidendus
und Diuiſor ſehr groſſe Zahlen ſind, und
auch ſehr viel Zahlen in den Quotum kommen,
ſo iſt ſehr dienlich, wann man ſich apart alle
Product des Diuiſoris durch einfache Zahlen auf-
ſchreibt,
[139]
ſchreibt, wodurch man ſich alsdann des multi-
plicirend, ſo bey einer jeden Operation vorkommt,
enthebt. Bey kleineren Exempeln aber, da man
ſich dieſe Muͤhe nicht geben will, kan man ſich
folgender geſtalt helfen. Erſtlich ſtellt man ſich
alle Figuren des Diuiſoris auſſer der erſten als
Cyphren vor, und ſiehet nach dem vorhergehen-
den Punckt, wieviel mahl alsdann dieſer Diuiſor
in dem vorgelegten Theil des Diuidendi enthal-
ten ſey. Hernach ſtellt man ſich die erſte Figur
um eins groͤſſer vor, und ſieht wiederum, wieviel
mahl dieſer Diuiſor in derſelben Zahl enthalten
ſey. Weilen nun von dieſen 2 angenommenen
Diuiſoribus jener kleiner, dieſer aber groͤſſer iſt als
der wahre Diuiſor, ſo wird jener Quotus zu
groß dieſer aber zu klein ſeyn. Man nimmt dem-
nach fuͤr den Quotum eine mitlere Zahl welche
jenem oder dieſem Quoto naͤher kommt, je nach
dem der wahre Diuiſor jenem oder dieſem naͤher
iſt. Mit dieſem Quoto probirt man nun die
Operation, und wann derſelbe noch entweder
zu groß oder zu klein gefunden wird, ſo muß man
es mit einem kleineren oder groͤſſeren probiren.
Als in dem vorhergehenden Exempel, da die
Frage war, wieviel mahl 23 in 178 enthalten
ſey, ſo diuidire man erſtlich 178 durch 20 oder
17 durch 2, und dann 178 durch 30 oder 17
durch 3. Es wird alſo fuͤr den Diuiſor 20 der
Quotus 8 ſeyn; fuͤr den Diuiſor 30 aber 5.
Weilen nun der wahre Diuiſor 23 dem erſteren
Diuiſore
[140]
Diuiſori naher kommt, ſo muß auch der wahre
Quotus dem 8 naͤher ſeyn als dem 5, wie er
dann auch 7 iſt gefunden worden. Kommt aber
der Diuiſor einem von den zweyen, welche ange-
nommen werden, gar um viel naher als dem an-
deren, ſo hat man auch nur mit dem naͤheren
allein zu probiren, und zwar mit dieſer Vorſich-
tigkeit, daß wann der kleinere naͤher kommt der
Quotus bisweilen nur um ein Unitæt zu groß,
im andren Fall aber zu klein herauskomme. Auf
dieſe Art nimmt man alſo anſtatt des wahren
Diuiſoris ſolche an, welche aus einer einfachen
Zahl mit daran gehaͤngten Cyphren beſtehen, mit
welchen die Diuiſion oder vielmehr nur die Fin-
dung des Quoti, indem der Reſt nicht von noͤthen,
nach dem vorhergehenden Punckt eben ſo leicht
als mit einfachen Zahl bewerckſtelliget wird.
Als wann die Frage iſt, wieviel mahl 319 in
1268 enthalten ſey, ſo ſehe ich nur wieviel mahl
300 darinn enthalten ſey, und probire nicht ein
mahl mit 400, weilen 319 jener Zahl weit naͤher
kommt als dieſer. Um aber zu finden wieviel
mahl 300 in 1268 enthalten ſey, ſo darf man
nur ſehen wieviel mahl 3 in 12 begriffen ſey,
welches 4 mahl iſt, alſo wird der Quotus 4 ſeyn,
oder auf das hoͤchſte nur 3. Wann aber geſucht
wird, wieviel mahl 2976 in 15873 enthalten
ſey, ſo bediene man ſich nur des Diuiſoris 3000
allein, und diuidire alſo 15 durch 3, ſo |wird der
Quotus 5 der wahre Quotus ſeyn. Vermittelſt
dieſer
[141]
dieſer Anleitung wird man nun leicht’ finden koͤn-
nen, wieviel mahl ein jeglicher vorgegebener Di-
uiſor in einem jeden Theil des Diuidendi enthal-
ten ſey, und wird alſo die Figuren, aus wel-
chen der Quotus beſteht, finden koͤnnen. Durch
eine fleißige Ubung aber wird man ſich dieſe Ar-
beit ſehr erleichtern.

II. Weilen es aber auf dieſe Art geſchehen
kan, daß man den Quotum um eins entweder
zu groß oder zu klein angenommen, ſo kan man
dieſes auf folgende Art leicht innen werden, und
alſo corrigiren. Nehmlich wann der Quotus zu
groß iſt angenommen worden, ſo kan man daſ-
ſelbe gleich mercken, wann man nur den Diui-
ſorem damit multiplicirt, und das Product groͤſ-
ſer iſt als der Theil des Diuidendi, davon daſ-
ſelbe abgezogen werden ſollte. Jſt aber dieſes
Product kleiner, ſo daß die Subtraction geſche-
hen kan, der Reſt aber, der uͤberbleibt ſo groß
oder groͤſſer als der Diuiſor, ſo iſt dieſes eine
Anzeige, daß man den Quotum zu klein ange-
nommen, und denſelben alſo um eins groͤſſer an-
nehmen muͤſſe. Vermittelſt dieſer Regeln kan
man ſich nun leicht vorſehen, daß man keinen Feh-
ler begeht.

9)

Hieraus folget nun dieſe Regel fuͤr
dieDiuiſion:Nach dem man denDiuiſorem
fuͤr denDiuidendumgeſetzet, ſo werden von
demDiuidendozur lincken entweder ſo viel
Figuren, als derDiuiſorhat, abgeſchnit-
ten,
[142]
ten, wann nehmlich dieſer Abſchnitt eine ſo
groſſe oder groͤſſere Zahl austragt als der
Diuiſoriſt: oder in widrigem Falle eine
mehr. Hierauf ſieht man wieviel mahl der
Diuiſorin dieſem Abſchnitt enthalten iſt,
und die gefundene Anzahl ſchreibt man in
Quotumals die erſte Figur zur lincken. Mit
dieſemQuoto multiplicirt man denDiuiſorem
undſubtrahirt dasProductvon dem Abſchnitt
desDiuidendi.An den Reſt haͤngt man die
nach dem Abſchnitt folgende Figur desDi-
uidendian, und ſucht wiederum wieviel
mahl derDiuiſorin dieſer Zahl enthalten iſt;
welche Zahl die zweyte Figur desQuotigibt,
und mit dieſermultiplicirt man wieder den
Diuiſorem, ſubtrahirt dasProductvon jener
Zahl und haͤngt an den Reſt die folgende
Figur desDiuidendi.Jn dieſer Zahl ſucht
man ferner wieviel mahl derDiuiſorenthal-
ten iſt, und verrichtet eben die vorigen
Operationen, bis man den voͤlligenQuotum
bekommen. Was bey der letztenSubtraction
zuruͤckbleibt, iſt der Reſt, ſo bey derDiui-
ſionnoch uͤbrig iſt.

Der Grund von dieſen Operationen iſt ſchon
im vorhergehenden deutlich genug dargethan
worden, und derowegen iſt zu fernerer Erklaͤ-
rung dieſer Regel nicht mehr noͤthig, als daß wir
dieſelbe durch etliche Exempel weiter zum Ge-
brauch anwenden.

Laß uns demnach dieſe Zahl 943769703
durch 251 diuidiren, welche Operation alſo wie
folgt, geſchehen wird.

Da der Diuiſor aus 3 Figuren beſtehet, ſo wer-
den von dem Diuidendo nur 3 Figuren abge-
ſchnitten nehmlich 943, weilen dieſe Zahl ſchon
groͤſſer iſt als der Diuiſor. Jn dieſem Abſchnitt
iſt nun der Diuiſor 3 mahl enthalten, und des-
wegen ſchreibt man 3 als die erſte Figur in den
Quotum, und multiplicirt durch 3 den Diuiſor,
das Product 753 ſchreibt man unter den Ab-
ſchnitt und ſubtrahirt. An den Reſt 190 haͤngt
man die nach dem Abſchnitt folgende Figur des
Diuidendi nehmlich 7, und ſucht wieviel mahl der
Diuiſor in 1907 enthalten iſt. Dieſes iſt nun 7
mahl, und ſchreibt deswegen 7 in den Quotum.
Mit
[144]
Mit 7 multiplicirt man ferner den Diuiſorem
und ſubtrahirt das Product 1757 von den 1907,
zum Reſt 150 ſchreibt man die folgende Figur
des Diuidendi nehmlich 6 da man dann 1506
haben wird. Jn dieſen 1506 iſt nun der Diui-
ſor 6 mahl enthalten, weswegen 6 in den Quo-
tum geſetzet, und damit der Diuiſor multiplicirt
wird. Das Product ſo eben auch 1506 aus-
macht wird alſo von 1506 abgezogen, da dann
nichts uͤbrig bleibt. Wann man nun nach der
Regel die folgende Zahl des Diuidendi 9 dazu
ſchreibt ſo hat man nur 9, in welcher Zahl der
Diuiſor kein mahl begriffen iſt; derowegen
ſchreibt man 0 in den Quotum, und da 0 mahl
251 auch 0 ausmacht, und 0 von 9 ſubtrahirt 9
zuruͤck laͤßt, ſo iſt unnoͤthig dieſe Operation hin-
zuſchreiben, ſondern man betrachtet gleich dieſe 9
als den Reſt, und ſchreibt dazu die folgende Figur
7. Man hat alſo 97, in welcher Zahl der Di-
uiſor wiederum kein mahl begriffen iſt, und
ſchreibt deswegen wieder 0 in Quotum, da dann
eben die 97 der Reſt ſeyn werden. Hieran haͤngt
man ferner die folgende Figur des Diuidendi
nehmlich 0, ſo hat man 970, in welcher Zahl
der Diuiſor nunmehr 3 mahl enthalten iſt. De-
rowegen ſchreibt man 3 in den Quotum, und
das Product des Diuiſors durch 3, nehmlich 753
ſubtrahirt man von 970, da dann 217 uͤber-
bleibt. Hierzu wird endlich die letzte Zahl des
Diuidendi 3 geſchrieben, und da 251 in 2173,
acht
[145]
acht mahl enthalten iſt, 8 in Quotum geſetzt.
Nun 8 mahl 251 macht 2008, welche Zahl von
2173 abgezogen 165 zuruͤck laͤßt. Dieſe 165
ſind demnach der Reſt, und 3760038 der ge-
ſuchte Quotus. Dieſes Exempel iſt deswegen
beygebracht worden, damit man ſehe, wie 0 in
den Quotum kommen koͤnnen, und, damit man
dieſelben nicht vergeſſe, dahin zu ſchreiben. Dann
ſo oft eine Zahl von dem Diuidendo herabge-
ſchrieben wird, ſo oft muß eine Figur in den
Quotum kommen, es ſey gleich eine wuͤrckliche
Zahl oder eine Cyphre. Und deswegen muß die
Anzahl der Figuren des Quoti allzeit um eins
groͤſſer ſeyn, als die Anzahl der Figuren, wel-
che im Diuidendo nach dem Abſchnitt folgen.
Es ſollen ferner 255543000 durch 827 diuidirt
werden wie folgt.

Jn dieſem Exempel, da der Diuiſor wieder aus
3 Figuren beſteht, muß der Abſchnitt aus 4
Figuren beſtehen, weilen 3 Figuren 255 kleiner
ſind als der Diuiſor, und folglich eine 0 zu An-
fang in Quotum kommen wuͤrde, welche von
keiner Bedeutung und alſo uͤberfluͤßig iſt. Wenn
Knun
[146]
nun 2555 durch 827 diuidirt werden, ſo kom-
men 3 in Quotum und bleiben 74 uͤber. Zu die-
ſen 74 ſchreibe man die folgende Figur des Diui-
dendi 4, ſo hat man 744 in welcher Zahl der
Diuiſor kein mahl enthalten iſt, weswegen man
in Quotum eine 0 ſetzt, und zu den 744 gleich
die folgende Figur 3 herabſchreibt. Jn 7443
iſt nun der Diuiſor 9 mahl enthalten; welche 9
in Quotum geſetzt werden. 9 mahl 827 macht
aber gleich 7443, weswegen in der Subtraction
nichts zuruͤck bleibt. Die folgende Figur des
Diuidendi 0 herabgeſchrieben, gibt in Quotum
eine 0, ingleichem auch die zwey letzten 00 des
Diuidendi; und da 0 mit dem Diuiſor multipli-
cirt 0 gibt, und 0 von 0 ſubtrahirt 0 zuruͤcklaͤßt, ſo
wird der Reſt 0 ſeyn, und der Quotus 309000.
Gleichwie ferner im 7ten Punckt iſt gewieſen
worden, daß die Diuiſion durch eine einfache
Zahl mit daran gehaͤngten Cyphren auf eben die
Art verrichtet werden koͤnne, als mit der einfa-
chen Zahl allein: alſo iſt auch aus eben denſel-
ben Gruͤnden leicht zu erſehen, daß dieſes auch
ſtatt habe bey Diuiſoren, welche aus zuſammen
geſetzten Zahlen mit daran gehaͤngten Cyphren
beſtehen. Nehmlich man kan gleichergeſtalt die
Ziffern von dem Diuiſore und eben ſo viel Figu-
ren von dem Diuidendo abſchneiden, und ſolcher
geſtalt den Quotum ſuchen. Um aber den Reſt
zu haben, muß man zu dem durch dieſe Diuiſton
gefundenen Reſt, die vom Diuidendo abgeſchnit-
tene
[147]
tenen Figuren hinzuſchreiben. Als wann zum
Exempel 1307629 durch 3700 diuidirt werden
ſollen, ſo wird die Operation folgender geſtalt
ſtehen.

Weilen nun dieſe Anleitung zur Diuiſion hinlaͤng-
lich iſt, und zu einer fertigen Ausuͤbung der ge-
gebenen Regeln weiter nichts als ein fleißiges
Exercitium erfordert wird, ſo wollen wir, um den
Gebrauch der Diuiſion im gemeinen Leben zu zei-
gen, einige Exempel hinzufuͤgen.

1.

WAnn in derDiuiſionderDiuiſorund
derDiuidendusſo beſchaffen ſind,
daß dieOperationohne Reſt nicht vollzogen
werden kan, ſo wird derQuotient,wel-
cher anzeigt, wieviel mahl derDiuiſorin dem
Diuidendoenthalten iſt, ein Bruch genannt.

Wir haben ſchon in dem vorigen Capitel bey
N. 3 angemercket, daß nicht bey einer jeglichen
Diuiſion der geſuchte Quotus accurat in gantzen
Zahlen koͤnne angezeiget werden, da wir uns
dann begnuͤgen muſten, die naͤchſte kleinere Zahl
darfuͤr anzunehmen, und dabey den Reſt anzu-
K 4mercken.
[152]
mercken. Jn dieſen Faͤllen iſt demnach der da-
ſelbſt gefundene Quotus nicht der wahre Quotus:
ſondern dazu muß noch der herauskommende Reſt
in Betrachtung gezogen werden, um einen hin-
langlichen Begriff zu haben, wieviel mahl der
Diuiſor in dem Diuidendo enthalten ſey. Als
wann 17 durch 5 getheilet werden ſoll, ſo finden
wir durch die daſelbſt gegebenen Regeln, daß
der Quotus 3, und dazu noch ein Reſt nehmlich
2 ſey. Hieraus erhellet, daß 5 in 17 mehr als 3
mahl enthalten, und folglich der wahre Quotus
groͤſſer als 3 ſeyn muͤſſe. Dann da 5 in 15 drey
mahl enthalten iſt, ſo muß 5 in 17 nothwendig
mehr als 3 mahl begriffen ſeyn. Dennoch aber
iſt 5 in 17 auch nicht gar 4 mahl enthalten,
weilen 20 diejenige Zahl iſt, welche 5 vier mahl
in ſich begreifft. Aus dieſem folget alſo, daß
der wahre Quotus, welcher anzeigen ſoll, wieviel
mahl 5 in 17 enthalten ſey, groͤſſer als 3 und
doch kleiner als 4 ſeyn muͤſſe. Da ſich nun zwi-
ſchen 3 und 4 keine gantze Zahl befindet, ſo kan
auch dieſer Quotus keine gantze Zahl ſeyn; unter-
deſſen aber iſt derſelbe doch eine Groͤſſe oder Zahl,
indem man ſagen kan, daß derſelbe Quotus groͤſ-
ſer als 3 und kleiner als 4 ſey. Dieſe Art von
Zahlen nun, welche keine gantze Zahlen ſind,
werden Bruͤche oder gebrochene Zahlen genennt.
Der wahre Quotus alſo, welcher anzeigt, wieviel
mahl 5 in 17 enthalten ſey, iſt folglich ein Bruch,
das iſt keine gantze Zahl; und von dieſem Bruch
er-
[153]
erhalten wir zugleich aus dieſem ſeinem Urſprung
einen deutlichen Begriff, indem derſelbe eine
Zahl iſt, welche anzeigt, wieviel mahl 5 in 17
enthalten iſt.

2)

Ein Bruch oder gebrochene Zahl, das
iſt der wahreQuotus,welcher aus einer
Diuiſion,da derDiuiſorin demDiuidendo
nicht juſt etliche mahl enthalten iſt, ent-
ſpringt, pflegt alſo geſchrieben zu werden:
Man ſchreibet denDiuiſorunter denDiuiden-
dum,und zieht dazwiſchen eine Linie. Ein
Bruch alſo auf dieſe Art geſchrieben deutet
an, wieviel mahl die unter der Linie ſtehende
Zahl in der daruͤber ſtehenden enthalten ſey.

Da wir ſchon einen kleinen Begriff von ei-
nem Bruche erlanget, in dem derſelbe eine Zahl
iſt, welche anzeiget, wieviel mahl eine gegebene
Zahl in einer anderen enthalten ſey, ſo wird er-
fordert, daß wir einen ſolchen Bruch auf eine
bequeme Art auszudruͤcken ſuchen. Weilen nun
bey einem Bruch nach ſeinem Urſprung zwey
Zahlen in Betrachtung kommen, nehmlich der
Diuidendus und der Diuiſor; maſſen der Bruch
den Quotum anzeigt, welcher aus einer ſolchen
Diuiſion entſpringt: ſo muͤſſen auch in der Schreib-
Art, dadurch der Bruch ausgedruͤckt wird,
dieſe beyden Zahlen vorkommen. Dieſes ge-
ſchieht nun ſehr bequem auf die angefuͤhrte Art,
da der Diuidendus uͤber den Diuiſor geſetzet und
eine Linie dazwiſchen gezogen wird. Dann auf
K 5dieſe
[154]
dieſe Weiſe erkennt man zugleich den Urſprung
und Werth eines Beuches; in dem auf dieſe
Art der Quotus angedeutet wird, welcher her-
auskommt, wann man die obere Zahl durch die
untere diuidirt. Jn dem vorher gegebenen Exem-
pel, da 17 durch 5 ſollte diuidiret werden, wird
alſo der Quotus, welcher ein Bruch iſt, auf
dieſe Art angezeiget \frac{17}{5}. Durch dieſe Schreib-
Art wird demnach ein Bruch ausgedrucket, und
daraus erkennt man zugleich, was daſſelbe fuͤr ein
Bruch ſey; nehmlich \frac{17}{5} iſt ein Bruch, und
deutet an wieviel mahl 5 in 17 enthalten ſey,
oder dieſer Bruch iſt der wahre Quotus, der ber-
auskommt, wann man 17 durch 5 diuidirt.
Gleichergeſtalt wann 8 durch 7 getheilet werden
ſoll, ſo iſt der Quotus keine gantze Zahl, ſondern
ein Bruch und wird alſo geſchrieben \frac{8}{7}. Und
durch dieſe Schreib-Art \frac{5}{3} wird der Quotus ange-
deutet, welcher herauskommt, wann man 5
durch 3 diuidirt.

3)

Um einen Bruch mit den gantzen
Zahlen beſſer zu vergleichen, ſo iſt zu mer-
cken, daß wann dieUnitætoder ein gantzes
in ſo viel gleiche Theile zertheilet wird, als
die unter der Linie ſtehende Zahl ausweiſt,
alsdann der Bruch ſo viel dergleichen Theile
enthalte, als die obere Zahl anzeigt.

Dieſe Art ſich einen Begriff von dem Werth
eines Bruchs zu machen, ſcheinet zwar von der
vorigen
[155]
vorigen unterſchieden zu ſeyn, kommt aber in der
That mit derſelben ſehr genau uͤberein. Wann
nehmlich dieſer Bruch \frac{7}{4} vorgegeben iſt, ſo deu-
tet derſelbe nach der erſten Art den Quotum an,
welcher herauskommt, wann mann 7 durch 4
diuidirt. Nach dieſer Art aber ſagen wir, daß
wann ein gantzes in 4 gleiche Theile getheilet wird,
der Bruch 7 dergleichen Theile andeute und in
ſich begreiffe. Die Ubereinſtimmung aber die-
ſer zwey verſchiedenen Arten den Werth eines
Bruchs zu beſchreiben kan auf dieſe Weiſe gewie-
fen werden. Da \frac{7}{4} den Quotum andeutet, der
herauskommt, wann man 7 durch 4 diuidirt, ſo
wird dadurch der vierte Theil von 7 angezeiget,
dann 7 durch 4 diuidiren iſt nichts anders als
den vierten Theil von 7 finden. Woraus erhel-
let daß ein jeglicher Bruch nichts anders bedeute,
als den ſo vielten Theil der obſtehenden Zahl, als
die unten ſtehende ausweiſet; welches wieder eine
neue Art iſt ſich den Werth eines Bruchs vorzu-
ſtellen. Weilen nun um bey dem gegebenen
Exempel von \frac{7}{4} zu bleiben, 7 ſieben mahl groͤſſer
iſt als 1, ſo muß folglich auch der vierte Theil
von 7, ſieben mahl groͤſſer ſeyn als der vierte Theil
von 1. Wann demnach 1 in 4 gleiche Theile
getheilet wird, ſo iſt einer derſelben der vierte
Theil von 1, und alſo \frac{7}{4} ſieben mahl groͤſſer als
ein ſolcher Theil. Woraus folget daß dieſer
Bruch \frac{7}{4} ſieben dergleichen Theile andeute,
derer
[156]
derer 4 ein gantzes oder eine Unitæt ausmachen.
Aus dieſem Exempel iſt nun leicht zu begreiffen,
daß ein jeglicher Bruch, wann man die Unitæt
oder ein gantzes in ſo viel gleiche Theile eintheilet
als die untere Zahl anzeiget, ſolcher Theile ſo
viel in ſich begreiffe, als die obere Zahl anzeiget.
Und hieraus verſteht man zugleich, daß dieſe Art
mit der vorigen auf das genaueſte uͤbereinſtimme.

4)

Wann ein Bruch auf vorbeſagte Art
geſchrieben iſt, ſo wird die uͤber der Linie
ſtehende Zahl der Zehler, die untere aber der
Nenner genannt. Ein jeder Bruch aber
wird alſo ausgeſprochen; erſtlich nennt man
den Zehler, und darauf den Nenner mit
Hinzuſetzung des Worts Theil. Als dieſer
Bruch \frac{5}{12} wird ausgeſprochen, fuͤnf zwoͤlfte
Theil.

Nach dem Urſprung der Bruͤche aus der Di-
uiſion iſt die obere Zahl der Diuidendus die untere
aber der Diuiſor. Die jetzt gegebene Benennung
aber hat ihren Grund in der eben vorher ange-
zeigten Eigenſchaft der Bruͤche, da einjeder Bruch,
wann die Unitæt oder ein gantzes in ſo viel gleiche
Theile getheilet wird als die untere Zahl anzeiget,
dergleichen Theile ſo viel in ſich begreifft als die
obere Zahl ausweiſt. Dann da die obere Zahl
die Anzahl ſolcher Theile angibt, ſo wird dieſelbe
daher fuͤglich der Zehler genannt. Die untere
Zahl heißt aber deswegen der Nenner, weil die-
ſelbe die Art dieſer Theile benennet, in dem ſie
an-
[157]
anzeigt, wieviel dergleichen Theile ein gantzes
ausmachen. Alſo iſt in dieſem Bruch \frac{7}{10} die
obere Zahl 7 der Zehler, die untere Zahl 10 aber
der Nenner. Und da man ſich den Jnhalt alſo
vorſtellt, daß, wann die Unitæt oder ein gan-
tzes in zehen gleiche Theile getheilet wuͤrde, der-
ſelbe 7 dergleichen Theile in ſich enthalte; ſo
kan derſelbe alſo fuͤglich mit Worten ausgeſpro-
chen werden, ſieben zehente Theile eines gantzen.
Dann weilen man ſich hier die Unitæt in zehen
gleiche Theile getheilet vorſtellt, ſo iſt ein ſolcher
Theil der zehnte Theil eines gantzen, und ſieben
dergleichen, ſo viel nehmlich der Bruch \frac{7}{10} be-
greifft, ſind ſieben zehnte Theile eines gantzen.
Der letzten Zuſatz aber eines gantzen, weilen
derſelbe bey allen Bruͤchen vorkommt, pflegt ge-
meiniglich der Kuͤrtze halben ausgelaſſen zu wer-
den, ſo daß dieſer Bruch \frac{7}{10} nur ſieben zehnte
Theil genannt wird. Gleichergeſtalt heiſſt dieſer
Bruch \frac{15}{28} fuͤnfzehn acht und zwantzigſte Theil,
und dieſer ¾ drey vierte Theil. Jſt der Zehler
1 ſo deutet ein ſolcher Bruch einen ſolchen Theil
an, dergleichen ſo viel, als der Nenner anzeiget,
ein gantzes ausmachen. Demnach heiſſt dieſer
Bruch ⅓ im dritter Theil, oder welches gleich-
viel ein Drittel; alſo heiſſt ¼ ein Viertel; ⅕
ein Fuͤnftel, und ſo fort. Jſt aber der Nenner
2, ſo wird anſtatt zweyte Theil oder Zweytel ge-
ſagt
[158]
ſagt halbe, als ½ heiſſt ein halbes, \frac{3}{2} drey hal-
be, und ſo fort an. Hieraus laͤſſt ſich nun ſo
wohl die Schreib-Art als Benennung der Bruͤche
leicht verſtehen; zu Erkennung des Werths oder
wahren Jnhalts der Bruͤche aber wird auſſer
dem, was ſchon allbereits iſt angebracht worden,
folgendes dienen.